Как по графику найти корни принадлежащие отрезку

Задание №12. Уравнения — профильный ЕГЭ по математике

Задание 12 Профильного ЕГЭ по математике – это решение уравнений. Чаще всего, конечно, это тригонометрические уравнения. Но встречаются и другие типы – показательные, логарифмические, комбинированные.

Сейчас задание 12 Профильного ЕГЭ на решение уравнения состоят из двух пунктов: собственно решения и отбора корней на определенном отрезке.

Что нужно знать, чтобы справиться с этой задачей на ЕГЭ? Вот необходимые темы для повторения.

Что необходимо помнить при решении уравнений?

1) Помним про область допустимых значений уравнения! Если в уравнении есть дроби, корни, логарифмы или арксинусы с арккосинусами — сразу записываем ОДЗ. А найдя корни, проверяем, входят они в эту область или нет. Есть в уравнении есть — помним, что он существует, только если

2) Стараемся записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

3) Если есть возможность сделать замену переменной — делаем замену переменной! Уравнение сразу станет проще.

4) Если еще не выучили формулы тригонометрии — пора это сделать! Много формул не нужно. Самое главное — тригонометрический круг, формулы синусов и косинусов двойных углов, синусов и косинусов суммы (разности), понижения степени. Формулы приведения не надо зубрить наизусть! Надо знать, как они получаются.

5) Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.

Например, вы нашли серию решений , где — целое, а найти надо корни на отрезке На указанном промежутке лежит точка . От нее и будем отсчитывать. Получим:

6) Получив ответ, проверьте его правильность. Просто подставьте найденные решения в исходное уравнение!

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Упростим левую часть по формуле приведения.

Вынесем за скобки. Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок

Видим, что указанному отрезку принадлежат решения

Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.

Например, вы нашли серию решений , где — целое, а найти надо корни на отрезке На указанном промежутке лежит точка От нее и отсчитываем.

2. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Это уравнение — комбинированное. Кроме тригонометрии, применяем свойства степеней.

Степени равны, их основания равны. Значит, равны и показатели.

Это ответ в пункте (а).

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку

Отметим на тригонометрическом круге отрезок и найденные серии решений.

Видим, что указанному отрезку принадлежат точки и из серии

Точки серии не входят в указанный отрезок.

А из серии в указанный отрезок входит точка

Ответ в пункте (б):

3. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Применим формулу косинуса двойного угла:

Перенесем всё в левую часть уравнения и разложим по формуле разности квадратов.

Обратите внимание: мы отметили серии решений на тригонометрическом круге. Это помогло нам увидеть, как их записать одной формулой.

б) Для разнообразия отберем корни на отрезке с помощью двойного неравенства.

Какой способ отбора корней лучше — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства? У каждого из них есть «плюсы» и «минусы».

Пользуясь тригонометрическим кругом, вы не ошибетесь. Вы видите и интервал, и сами серии решений. Это наглядный способ.

Зато, если интервал больше, чем один круг, удобнее отбирать корни с помощью двойного неравенства. Например, надо найти корни из серии на отрезке Это больше 10 кругов! Конечно, в таком случае лучше решить двойное неравенство.

4. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Самое сложное здесь — область допустимых значений (ОДЗ). Условие заметно сразу. А условие появляется, поскольку в уравнении есть

Уравнение равносильно системе:

Отберем решения с помощью тригонометрического круга. Нам нужны те серии решений, для которых , то есть те, что соответствуют точкам справа от оси .

Ответ в пункте а)

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок

Как обычно, ориентируемся на начало круга. Видим, что указанному промежутку принадлежат точки

5. а) Решите уравнение

б) Найдите корни, принадлежащие отрезку

Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Это значит, что уравнение равносильно системе:

Решим эту систему с помощью тригонометрического круга. Отметим на нем углы, для которых или . Заметим, что среди них находятся и углы, для которых

Числа серии не могут быть корнями исходного уравнения, т.к. для этих чисел не выполнено условие . Остальные серии решений нас устраивают.

Тогда в ответ в пункте (а) войдут серии решений:

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку любым способом — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства.

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.

19.1. Уравнение cos x = a

Объяснение и обоснование

1. Корни уравненияcosx=a.

При |a| > 1 уравнение не имеет корней, поскольку |cos x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке из пункта 1 таблицы 1 при a > 1 или при a 1 уравнение не имеет корней, поскольку |sin x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке 1 при a > 1 или при a n arcsin a + 2πn, n ∈ Z (3)

2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.

Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).

Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда

Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,

Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,

Примеры решения задач

Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:

19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a

Объяснение и обоснование

1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a

Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке функция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x₁ = arctg a и для этого корня tg x = a.

Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:

При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n ∈ Z).

Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x₁=arсctg a.

Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:

таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни

Примеры решения задач

Вопросы для контроля

1. Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
2. Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
3. Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
4. Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.

Упражнения

Решите уравнение (1-11)

Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)

40. Алгебра Читать 0 мин.

40.659. Отбор корней

Задача 1

а) Решите уравнение: sinx = 0,5.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [-π; 2π].

Решение:

б) Теперь будем искать корни, принадлежащие отрезку [-π; 2π].

Рассмотрим 3 способа отбора корней:

• Способ №1. С помощью двойного неравенства:

Этот способ наиболее точный и если учащиеся владеют навыками решения двойного неравенства, то понятный и подходит совершенно всем и в любых случаях.

• Способ №2. С помощью окружности:

a) На окружности найдем края отрезка: точки –π и 2π.

б) Смотрим на точки — из каких серий решения попали в этот отрезок.

в) Выбираем эти точки.

Если данные отрезки бывают длиной больше 2π, тогда можно потерять некоторые корни, поэтому рекомендуется: нарисовать вторую концентрическую окружность, будто соответствующую следующему периоду (это просто модель, которая помогает решить задачу). Этот способ хорошо дается тем, кто умеет определять на окружности точки и отсчитывать периоды.

• Способ №3. С помощью графика:

а) Чертим график у = sinx;

в) Проводим прямую у = $frac<1><2>$;

г) Отмечаем точки с ординатой $frac<1><2>$ на искомом отрезке, получаем х = $frac<pi><6>$ и 5 · $frac<pi><6>$.

Способ очень наглядный и подойдет тем, кто не усвоил вышеизложенные два способа.

Семенова Анна Васильевна –

учитель математики

МБОУ Хоринской СОШ им. Г.Н.Чиряева

Верхневилюйского района

Республики Саха (Якутия)

Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях

Тригонометрия традиционно относится к наиболее трудному для школьников материалу. Главной причиной этой трудности является большое количество формул и различных фактов, которые школьники должны не только помнить наизусть, но и уметь гибко и широко варьировать их применимость. Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений специфична.

При отборе корней в процессе решения тригонометрических уравнений обычно используют один из следующих способов.

Арифметический способ. Перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней приходиться в случаях, когда требуется отобрать корни, принадлежащие заданному промежутку или некоторому условию.

Алгебраический способ отбора корней наиболее удобен в тех случаях, когда последовательный перебор значений параметров приводит к вычислительным трудностям, промежуток для отбора корней большой, значения обратных тригонометрических функций, входящих в серии решений, не являются табличными. Для этого решают неравенство относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисления корней.

Геометрический способ. В последние годы в учебниках используются разные модели к иллюстрации решения простейших тригонометрических уравнений с применением тригонометрического круга, графика тригонометрической функции или числовой прямой.

а) Тригонометрическую окружность удобно использовать при отборе корней на промежутке, длина которого не превосходит 2, или в случае, когда значения обратных тригонометрических функций, входящих в серию решений, не являются табличными.

б) При изображении решении простейших тригонометрических уравнений иногда используют графики простейших тригонометрических функций. Для нахождения решения тригонометрического уравнения при этом подходе требуется построение «кусочка» графика.

в) Числовую прямую удобно использовать при отборе корней на промежутке, длина которого превосходит 2.

 Процессе обучения решению задач, в которых требуется отобрать корни тригонометрического уравнения, следует обсудить разные способы выполнения этого действия, а также выяснить случаи, когда тот или иной способ может оказать наиболее удобным или наоборот непригодным.

Примеры решения задач

Предлагаем на конкретных примерах рассматривать различные способы и приемы отбора корней на отрезках.

Пример 1.

а) Решите  уравнение    

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку    .

Решение.

 а) Применяя формулу приведения , запишем уравнение в виде        

Вынося общий множитель sinx за скобки, получаем

Отсюда           или        

Из уравнения                                

Из уравнения                                                                                                

б) Отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку

1. Арифметический способ.

Пусть  .   Подставляя n=…  , получаем   . Отрезку  принадлежат корни:             ,  .

Пусть . Подставляя k=…  получаем  . Отрезку  принадлежит только

Пус      Подставляя    =…   получаем . Полученные значения  отрезку  не принадлежат.

 Отрезку  принадлежат корни: .    

2. Алгебраический способ.

Отберем корни, принадлежащие отрезку . Решаем двойное неравенство.

Пусть .

 Тогда             

Пусть   

Тогда   

Пусть     

Тогда   

 Последнее  неравенство не имеет целочисленных решений.

Отрезку  принадлежат корни: .

3. Геометрический способ

1. В данном примере отбор корней на тригонометрическом круге не рассматривается, так как длина промежутка превосходит 
2. Корни, принадлежащие отрезку , отберем по графику у = sinx. Прямая y=0  (ось ) пересекает график в точках  и  , абсцисса которых принадлежит отрезку .

Прямая   пересекает график в единственной точке, абсцисса которой принадлежит  (см. рис.). Так как период функции y=sinx равен , то эта абсцисса равна .

                                                                                          у

В отрезке  содержится три корня: .

1. Рассмотрим отбор корней с помощью координатной прямой.                                               

 y=sinx                               ////////////////////////////////////////////////

ответ: а) ,

           б).

Пример 2.

а) Решите  уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение.

а) Вынося общий множитель sinx за скобки, получаем

Отсюда      или                 

Из уравнения            

Из уравнения    находим:                            

 Отметим, что решение уравнения  

б) Рассмотрим отбор корней на отрезке .

1. Арифметический способ

Пусть  .   Подставляя n=…  , получаем   . Отрезку   принадлежит корень .

Пусть  .Подставляя k=…  получаем          . Отрезку   принадлежит только  .

Пусть  .Подставляя k =…  получаем  . Отрезку   принадлежит только  .

Отрезку    принадлежат корни:  .

2. Алгебраический способ

Отберем корни, принадлежащие отрезку . Решаем двойное неравенство.

Пусть  .

Тогда    

Пусть  

Тогда  

 .

Пусть

Тогда   

Отрезку    принадлежат корни:

1. Геометрический способ

1. Корни уравнения  изображается точкой А, а корни уравнения  — точками В и С, отрезок   изображен жирной дугой (см. рис.). В указанном отрезке содержаться три корня уравнения  .

                                      у

                                                                           х

1. Корни, принадлежащие отрезку  , отберем по графику у=sinx. Прямая y=0  (ось ) пересекает график в точке , абсцисса которой принадлежит отрезку , равна    

у

Корни, принадлежащие отрезку  , отберем по графику у=сosx. Прямая y=  пересекает график в двух точках, абсцисса которых принадлежат отрезку , Так как период функции  равен , то эти абсциссы равны   и .    

              у

В отрезке  содержится три корня:  .

1. Рассмотрим отбор корней с помощью координатной прямой.

у=sinx                       ////////////////////////////////////////

у=сosx                      /////////////////////////////////////

Ответ.          

              б)  .

Пример 3.

а) Решите  уравнение .                    

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение. 

а) Решая квадратное уравнение относительно sin, находим, что     или

Уравнение   так как      

Уравнение   

Отметим, что решение уравнения можно записать в виде                                       

б) Рассмотрим отбор корней на отрезке

1. Арифметический способ.

Пусть  .   Подставляя n=…, получаем   . Отрезку  принадлежит корень .

Пусть   . Подставляя n=…  , получаем  . Отрезку  принадлежит корень .

Отрезку  принадлежат корни:

2. Алгебраический cпособ.

Отберем корни, принадлежащие отрезку  . Решаем двойное неравенство.

Пусть  

Тогда                  

Пусть   .

Тогда     

Отрезку  принадлежат корни:

3. Геометрический способ.

1. В данном примере отбор корней на тригонометрическом круге не рассматривается, так как длина промежутка превосходит 

2. Корни, принадлежащие отрезку ,  отберем по графику у=sinx. Прямая   пересекает график в двух точках, абсциссы которых принадлежат отрезку . Так как период функции y=sinx равен , то эти абсциссы равны , .

                                          у                      

Отрезку  принадлежат корни:

3.Рассмотрим отбор корней с помощью координатной прямой.

 у=                                /////////////////////

Отрезку  принадлежат корни:

Ответ. а) 

             б)

Пример 4.

а) Решите  уравнение          

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Используя формулу для синуса двойного аргумента, запишем уравнение в виде      

Вынося общий множитель  за скобки, получаем

          или        

Из уравнения  находим:   , откуда

Из уравнения находим  откуда

б) Отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку  

1. Арифметический способ.

Пусть .   Подставляя k=…  , получаем   . Отрезку  принадлежит корень .

Пусть  . Подставляя m=…  , получаем   . Отрезку  принадлежит корень  Пусть .  Подставляя n=…  , получаем    . Отрезку  принадлежат два корня:             ,.

Отрезку  принадлежат корни .

2. Алгебраический способ.

Отберем корни, принадлежащие отрезку .

Пусть .

Тогда  

.    

Пусть                                                                                           

Тогда      

.

Пусть

Тогда  

 .  

Отрезку  принадлежат корни .

3. Геометрический способ.

1. Корни уравнения  изображаются точками А и В, а корни уравнения  —  точками C и D, отрезок   изображен жирной дугой (см. рис.). В указанном отрезке содержаться четыре корня уравнения:

                                      у

                                                       D       1

                                                                            х

                            А                                             В

                                С

2. Корни, принадлежащие отрезку , отберем по графику у=sinx. Прямая   пересекает график в двух точках, абсциссы которых принадлежат отрезку . Так как период функции y=sinx равен , то эти абсциссы равны , .  

                                              у

Корни, принадлежащие отрезку , отберем по графику у = tgx. Прямая   пересекает график в двух точках, абсциссы которых принадлежат отрезку . Так как период функции y = tgx равен , то эти абсциссы равны .

                                                                              у

                                                                            1

                                                                                                       0                                                              

                                                                                                     х

Отрезку  принадлежат корни

3.Рассмотрим отбор корней с помощью координатной прямой.

у = sinx                                    ./////////////////////////

у = tgx                                                        

Отрезку  принадлежат корни

Ответ. а)                    

           б)

Пример 5.

а) Решите  уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Используя формулу для косинуса двойного угла и формулу приведения, запишем уравнение в виде

Решаем квадратное уравнение относительно ,

Отсюда  

Уравнение  так как                                  

Из уравнения  х = .

Отметим, что решение уравнения

х=  или    х= .

б) отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку

1. Арифметический способ.

Пусть .   Подставляя k =…  , получаем  

 . Отрезку  принадлежит корень .

Пусть  . Подставляя k =…  , получаем   . Отрезку  принадлежит корень .

 Отрезку  принадлежат корни

2. Алгебраический способ.

Отберем корни, принадлежащие отрезку . Решаем двойное неравенство.

Пусть .

Тогда  

.    

  Пусть .

Тогда  

.    

Отрезку  принадлежат корни

3. Геометрический способ.

1. Корни уравнения  изображаются точками А и В, отрезок изображен жирной дугой (см. рис.). В указанном отрезке содержаться два корня уравнения: 

                                     у

                             А

                                                                          х

                               В              

2. Корни, принадлежащие отрезку , отберем по графику у=. Прямая   пересекает график в двух точках, абсциссы которых принадлежат отрезку , Так как период функции y = равен , то эти абсциссы равны ;  .

                                                                                                    у

1. Рассмотрим отбор корней с помощью координатной прямой.

      у=.                      ////////////////                    /////////////////            

Отрезку  принадлежат корни                                                                        

Ответ:   а)   х = .  

               б)                                                

Отбор корней с помощью тригонометрического круга

В заданиях, где требуется отобрать корни тригонометрического уравнения, принадлежащие определенному числовому промежутку, можно использовать тригокруг. Этот метод отбора корней является наиболее распространенным. Его плюсы заключаются в том, что это визуальный метод, т. е. отбор корней происходит наглядно, но у этого есть и свои недостатки – углов бесконечное множество, из которых только 360° можно визуализировать на тригокруге, поэтому может возникнуть путаница с количеством оборотов по нему.

«ОБОРОТЫ» ПО ТРИГОКРУГУ И СООТВЕТВЕТСТВУЮЩИЕ ИМ УГЛЫ:

АЛГОРИТМ ОТБОРА КОРНЕЙ С ПОМОЩЬЮ ТРИГОКРУГА

1. Отмечаем получившийся угол на тригокруге. Это будет серия ответов – бесконечное количество углов, визуально находящееся на тригокруге в одной точке.

2. Отмечаем нужную дугу, т. е. обозначаем указанный промежуток, в котором нужно отобрать корни.

3. Определяем корни, попадающие в эту дугу.

4. Находим искомые углы учитывая обороты – прибавляем соответствующее количество периодов к отмеченному на окружности углу.

Пример:

Даны корни уравнения:

(x_{1} = frac{pi}{3} + 2pi n, nmathbb{in Z})

(x_{2} = frac{2pi}{3} + 2pi n, nmathbb{in Z})

Найдите корни, принадлежащие отрезку (leftlbrack — pi, frac{3pi}{2} rightrbrack).

1. Каждый из этих корней включает в себя бесконечное количество углов. Отметим эти серии ответов на тригокруге:

1. При этом мы знаем, что нужные корни должны находиться на промежутке (leftlbrack — pi, frac{3pi}{2} rightrbrack). Этот промежуток занимает больше, чем один оборот. Обозначим его так:

1. Так как промежуток занимает больше одного круга, каждая серия ответов так или иначе попадет в этот него.

2. Теперь определим, на каком обороте серии ответов попадут именно в этот промежуток. Если мы будем идти по тригокругу от (- pi) до (frac{3pi}{2}), то попадем в точки с сериями ответов по одному разу – в первом обороте после нуля. Тогда получим следующие углы:

Запишем ответ.

Ответ: (frac{pi}{3});( frac{2pi}{3}).

Важно! Чтобы решение было обоснованным, очень важно отметить всё на круге: и точки, и углы, и промежуток.

Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях

Подготовила

учитель математики

Болотина Татьяна Гавриловна МКОУ « Возовская СОШ» Поныровского района,

Курской области

2017 год

Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях

арифметический способ

алгебраический способ

геометрический способ

функционально-графический способ

● Арифметический способ:

а) непосредственная подстановка полученных корней в уравнение и имеющиеся ограничения;

б) перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.

● Алгебраический способ:

а) решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней;

б) исследование уравнения с двумя целочисленными параметрами.

● Геометрический способ:

а) изображение корней на тригонометрической окружности с последующим отбором и учетом имеющихся ограничений;

б) изображение корней на числовой прямой с последующим отбором и учетом имеющихся ограничений.

● Функционально-графический способ:

выбор корней с помощью графика простейшей тригонометрической функции.

Арифметический способ (непосредственная подстановка полученных корней в уравнение и имеющиеся ограничения)

Найдите корни уравнения cos x = 0,5, удовлетворяющие неравенству sin x ≤ 0.

Решение

cos x = 0,5, x = + 2πn, n ϵ Z,

Проверим выполнение условия sin x ≤ 0.

Для x = + 2πn, n ϵZ,sin= sin =

Первая серия корней является посторонней.

Для x = — + 2πn, n ϵ Z,sin= sin=.

Ответ: x = + 2πn, n ϵ Z

а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение.

а) Решая квадратное уравнение относительно sin, находим,

или

Уравнениетак как

Уравнение

Запишем решение уравнения в виде:

б) Рассмотрим отбор корней на отрезке

• Арифметический способ

Перебирая значения переменной, обозначающей целые числа, мы должны добиться того, чтобы найти все точки внутри промежутка и по одной точке слева и справа от данного промежутка.

Пусть x = + 2πk, k ϵ Z.

при k = -1, x=- ∉ [- π; 2π]

при k = 0, x=

при k = 1, x=∉ [- π; 2π]

Пусть x = + 2πn, n ϵ Z.

при n= -1, x= — ∉ [- π; 2π]

при n = 0, x = ϵ [- π; 2π]

при n = 1, x = ∉ [- π; 2π]

Отрезку [- π; 2π] принадлежат корни , .

[- π; 2π] [- 180°; 360°]

Пусть x = + 2πn, n ϵ Z.

при n = -1, x= — = -330 ° ∉ [- π; 2π]

при n = 0, x = = 30° ϵ [- π; 2π]

при n = 1, x = =390 ° ∉ [- π; 2π]

Пусть x = + 2πk, k ϵ Z.

при k = -1, x=- = -210 ° ∉ [- π;2π]

при k = 0, x=

при k = 1, x== 510 ° ∉ [- π; 2π]

Отрезку [- π; 2π] принадлежат корни ,

Рассмотрим отбор корней с помощью координатной прямой.

Покажем дополнительные точки, которые находятся внутри отрезка [- π; 2π], слева и справа от него

n= -1 ,x

k = — 1 , x

n = 0 , x

k = 0 , x

Отрезку [- π; 2π] принадлежат корни , , .

n = 1 , x

k = 1 , x

Ответ: а) х = + 2πn, n ϵ Z ; х = + 2πk, k ϵ Z.

б) , .

2. Алгебраический способ .

Корни уравнения должны принадлежать отрезку [- π; 2π].

Это значит, что – π ≤ x ≤ 2π.

Пусть x = + 2πk, k ϵ Z.

Пусть x = + 2πn, n ϵ Z

Тогда – π ≤ + 2πk ≤ 2π;

Тогда – π ≤ + 2πn ≤ 2π;

— 2πk ≤ ;

— 2πn ≤ ;

— n ≤ ;

— k ≤ ;

k = 0; x= .

n = 0; x= .

Отрезку [- π; 2π] принадлежат корни , .

3. Геометрический способ

( Отбор корней с помощью тригонометрической окружности)

sin x =

π —

x

3. Геометрический способ

( Отбор корней с помощью тригонометрической окружности)

sin x =

π —

x

Отрезку [- π; 2π] принадлежат

корни , .

3. Функционально-графический способ

Корни принадлежащие отрезку [- π; 2π], отберем по графику y= sin x. Прямая y = пересекает график в двух точках, абсциссы которых принадлежат отрезку [- π; 2π]. Так как период функции y = sin x равен 2π, то эти абсциссы равны π — =

Отрезку [- π; 2π] принадлежат корни , .

а) Решите уравнение 2sin 4 x + 3 cos 2x + 1 = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 3π]

2 sin 4 x + 3(1 – 2sin 2 x) +1 = 0

2 sin 4 x – 6 sin 2 x + 4 = 0

sin 4 x – 3 sin 2 x + 2 = 0, сделаем замену.

sin 2 x = t

t 2 – 3 t 2 + 2 = 0

По теореме Виета или через дискриминант

t 1 = 1 или t 2 = 2

[π; 3π]

sin 2 x = 1 или sin 2 x = 2

sinx = ±1 или sinx = ± — уравнение корней не имеет

sinx = ±1

x = + πn, n ϵ Z

Геометрический способ

Отбор по окружности. На числовой окружности нужно показать нужный нам отрезок.

x ϵ [π; 3π]

Отберем все точки которые попадают на этот отрезок

x = π + = ,

x = 2π + =

Рассмотрим отбор корней с помощью координатной прямой.

Покажем дополнительные точки, которые находятся внутри отрезка [π; 3π] , слева и справа от него

x = + πn, n ϵ Z

n = 0, x =

x = + πn, n ϵ Z n = — 1, x = — π = —

n = 1, x = + π = ϵ[π; 3π]

n = 2, x = + 2π= ϵ[π; 3π]

Алгебраическийспособ

Корни должны попадать в отрезок [π; 3π]

Это значит, что π ≤ x ≤ 3π

π ≤ + πn ≤ 3π

π — ≤ πn ≤ 3π —

≤ πn≤

≤ n≤

Это значит, что 0,5 ≤ n ≤ 2,5

n = 1; x = , n = 2; x = .

sin x = ±1

y = sin x, y = 1, y = — 1

Ответ: а) x = + πn, n ϵZ

б) ;

Спасибо за внимание

Автор проекта:

Шелкова Полина,

Класс: 10

Руководитель:

Злобова Людмила Викторовна,

учитель математики

ВВЕДЕНИЕ

Слово «тригонометрия» греческое, оно переводится как «измерение треугольников» (τρίγονον — «тригон» — треугольник и μετρειν — «метрео» — измеряю).

Тригонометрия, как и всякая другая наука, выросла из практической деятельности человека. Потребности развивающегося мореплавания, для которого требовалось умение правильно определять курс корабля в открытом море по положению небесных светил, оказали большое влияние на развитие астрономии и тесно связанной с ней тригонометрией. Предполагают, что основополагающее значение для развития тригонометрии в эпоху ее зарождения, имели работы древнегреческого астронома Гиппарха Никейского (180-125 лет до н. э.) (прил. №3). Систематическое использование полной окружности в 360° установилось в основном благодаря Гиппарху и его таблице хорд (прил. №2). Т.е. таблицы, которые выражают длину хорды для различных центральных углов в круге постоянного радиуса, что является аналогом современных таблиц тригонометрических функций. Впрочем, до нас не дошли оригинальные таблицы Гиппарха, как и почти все, что им написано. И мы, можем составить себе о них представление главным образом по сочинению «Великое построение» или «Альмагесту» знаменитого астронома Клавдия Птолемея, жившего в середине II века н.э.

Несмотря на то, что в работах ученых древности нет «тригонометрии» в строгом смысле этого слова, но по существу они, пользуясь известными им средствами элементарной геометрии, решали те задачи, которыми занимается тригонометрия. Например, задачи на решение треугольников (определение всех сторон и углов треугольника по трем его известным элементам), теоремы Евклида и Архимеда представленные в геометрическом виде, эквивалентны специфическим тригонометрическим формулам. Главным достижением средневековой Индии стала замена хорд синусами. Это позволило вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии, как учению о тригонометрических величинах.

Учёные стран Ближнего и Среднего Востока с VIII века развили тригонометрию своих предшественников. Уже в середине IX века среднеазиатский учёный аль-Хорезми написал сочинение «Об индийском счёте». После того, как трактаты мусульманских ученых были переведены на латынь, многие идеи греческих, индийских и мусульманских математиков стали достоянием европейской, а затем и мировой науки. В дальнейшем потребности географии, геодезии, военного дела, способствовали развитию тригонометрии. Особенно усиленно шло ее развитие в средневековое время. Большая заслуга в формировании тригонометрии как отдельной науки принадлежит азербайджанскому ученому Насир ад-Дину ат-Туси (1201-1274), написавшему «Трактат о полном четырехстороннике». Творения ученых этого периода привели к выделению тригонометрии как нового самостоятельного раздела науки. Однако в их трудах еще не была введена необходимая символика. Современный вид тригонометрия получила в трудах Леонарда Эйлера (1707-1783). На основании трудов Эйлера были составлены учебники тригонометрии, излагавшие ее в строгой научной последовательности (прил. №4). Тригонометрические вычисления применяются во многих областях человеческой деятельности: в геометрии, в физике, в астрономии, в архитектуре, в геодезии, инженерном деле, в акустике, в электронике и т.д.

I РАЗДЕЛ (теоретический)

Тема проекта и её актуальность: почему я выбрала тему «Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях»?

• Расширить и углубить свои знания, полученные в курсе геометрии 8-9 класса.
• Тригонометрические уравнения рассматриваются в курсе алгебры и начал математического анализа 10-11 класса.
• Тригонометрические уравнения включены в КИМы ЕГЭ по математике.

Решение тригонометрических уравнений и отбор корней, принадлежащих заданному промежутку — это одна из сложнейших тем математики, которая выносится на Единый Государственный Экзамен. По результатам анкетирования многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать тригонометрические уравнения и особенно затрудняются в отборе корней, принадлежащих промежутку. Немаловажно также знать, тригонометрические формулы, табличные значения тригонометрических функций для решения целого ряда заданий Единого Государственного Экзамена по математике.

Цель проекта: изучить способы отбора корней в тригонометрических уравнениях и выбрать для себя наиболее рациональные подходы для качественной подготовки к ЕГЭ.

Задачи:

• познакомиться с историческими сведениями о возникновении тригонометрии, как науки;
• изучить соответствующую литературу;
• научиться решать тригонометрические уравнения;
• найти теоретический материал и изучить методы отбора корней в тригонометрических уравнениях;
• научиться отбирать корни в тригонометрических уравнениях, принадлежащим заданному промежутку;
• подготовиться к ЕГЭ по математике.

Приёмы отбора корней тригонометрического уравнения на заданном промежутке.

При решении тригонометрических уравнений предлагается провести отбор корней из множества значений неизвестного. В тригонометрическом уравнении отбор корней можно осуществлять следующими способами: арифметическим, алгебраическим, геометрическим и функционально-графическим.

Арифметический способ отбора корней состоит в непосредственной подстановке полученных корней в уравнение, учитывая имеющиеся ограничения, при переборе значений целочисленного параметра.

Алгебраический способ предполагает составление неравенств, соответствующих дополнительным условиям, и их решение относительно целочисленного параметра.

Геометрический способ предполагает использование при отборе корней двух вариантов: тригонометрической окружности или числовой прямой. Тригонометрическая окружность более удобна, когда речь идет об отборе корней на промежутке или в случае, когда значение обратных тригонометрических функций, входящих в решения, не являются табличными. В остальных случаях предпочтительнее модель числовой прямой. Числовую прямую удобно использовать при отборе корней на промежутке, длина которого не превосходит 2 или требуется найти наибольший отрицательный или наименьший положительный корень уравнения.

Функционально-графический способ предполагает отбор корней осуществлять с использование графиков тригонометрических функций. Чтобы использовать данный способ отбора корней, требуется умение схематичного построения графиков тригонометрических функций.

II РАЗДЕЛ (практический)

Покажу практически три наиболее эффективных и рациональных, с моей точки зрения, метода отбора корней на примере решения следующего тригонометрического уравнения:

sinx=cos2x;

sinx−cos2x=0; [применили формулу двойного угла: cos2x = cos²x−sin²x]

sinx−(cos²x−sin²x)=0;

sinx−(1−sin²x−sin²x)=0;

sinx−(1−2sin²x)=0;

2sin²x+sinx−1=0.

Введем новую переменную: sinx = t, -1 ≤ t ≤1, получим

2t²+t-1=0

D=b²-4ac, т.е. D=9

t₁ = -1, t₂ = ½.

Вернемся к замене:

б) Рассмотрим три способа отбора корней, попадающих в отрезок .

1 способ: обратимся к единичной окружности. Отметим на ней дугу, соответствующую указанному отрезку, т.е. выполним отбор корней арифметическим способом и с помощью тригонометрической окружности:

2 способ: указанный отрезок соответствует неравенству: Подставим в него полученные корни:

3 способ: разместим корни уравнения на числовой прямой. Сначала отметим корни, подставив вместо n, и нуль (0), а потом добавим к каждому корню периоды.

Нам останется только выбрать корни, которые попали в нужный нам отрезок.

Ответ:

(Более подробный пример в приложении №1)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При работе над моим проектом я изучила методы решения тригонометрических уравнений и способы отбора корней тригонометрических уравнений. Выяснила для себя положительные и отрицательные моменты. При апробации этих подходов в отборе корней тригонометрического уравнения, понимаешь, что каждый из этих способов удобен по-своему в том или ином случае. Например, алгебраический способ (решение неравенством) наиболее эффективен, когда промежуток для отбора корней достаточно большой, в тоже время он дает практически стопроцентное нахождение целочисленного параметра для вычисления корней, а применение арифметического способа приводит к громоздким вычислениям. При отборе корней уравнения, удовлетворяющих дополнительным условиям, т.е. когда корни уравнения принадлежат заданному промежутку, мне проще и нагляднее получить корни с помощью тригонометрической окружности, а проверить себя можно арифметическим способом. Замечу, что при решении тригонометрических уравнений трудности, связанные с отбором корней, возрастают, если в уравнении приходится учитывать ОДЗ. Как показывает практика и анкетирование моих одноклассников, из четырёх возможных методов отбора корней тригонометрического уравнения по дополнительным условиям, наиболее предпочтительным является отбор корней по окружности. Анкетирование проходили 12 респондентов, изучающих тригонометрию (прил. №5). Большинство из них отвечали, что этот раздел математики достаточно сложный: большой объем информации, очень много формул, табличных значений, которые нужно знать и уметь применять на практике. Еще как одна из проблем — небольшое количество времени, отведенное на изучение этого сложного раздела математики. И я разделяю их мнение. При такой сложности, многие считают, что тригонометрия важный раздел математики, который находит применение в других науках и практической деятельности человека.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб для общеобразоват. организаций: базовый и углубленный уровни/ [С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников и др.]-3 -е изд.- М.: Просвещение, 2016.
2. Алгебра и начала математического анализа: Учеб для 10-11 кл.общеобразоват. организаций / А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницин и др. под редакцией А.Н.Колмогорова — М. Просвещение, 2017.
3. С.В Кравцев и др. Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных — М: Издательство: «Экзамен», 2005.
4. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. — Тригонометрические уравнения: методы решения и отбор корней. — М.: Математика ЕГЭ, 2012.

Электронные ресурсы

1. https://ru.wikipedia.org/wiki/Тригонометрия
2. https://www.yaklass.ru/p/ege/matematika/podgotovka-k-ege-po-matematike-profilnyi-uroven-10744/trigonometricheskie-uravneniia-s-ogranicheniiami-zadacha-13-536475/re-a4b9cc95-fe96-40c2-b70c-f46548b726a0
3. https://mat.1sept.ru/1999/no19.htm

4. Геометрия. Урок 1. Тригонометрия

5. https://math-ege.sdamgia.ru/
6. https://alexlarin.net/ege21.html
7. https://www.academia.edu/10962821/МАТЕМАТИКА_ЕГЭ_2012_Тригонометрические_уравнения_методы_решений_и_отбор_корней_типовые_задания_С1
8. http://teacher-andreeva.ru/wp-content/uploads/2016/03/тригоном-ур-я.pdf
9. https://reshimvse.com/article.php?id=100