Как найти плоскость сечения прямоугольного параллелепипеда - Autoru.top

Пошаговое построение сечения параллелепипеда

Построение сечения методом следов — это поэтапное отыскание точек, принадлежащих одной и той же плоскости грани и одновременно плоскости сечения, то есть прямым, проходящим через точки, принадлежащие сечению. Метод подходит для использования тогда, когда следы секущей плоскости и прямые граней многогранника пересекаются в области чертежа, то есть если сечение параллельно или почти параллельно основанию, этот метод построения не подойдет.

Задача 1.

Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки .

Задача 1. Дано

Шаг 1. Чезез точки и , которые принадлежат одной грани, и, следовательно, одной плоскости, проводим прямую. Точки этой прямой все принадлежат секущей плоскости. Точка лежит в плоскости основания, поэтому неплохо бы найти найти точку прямой , которая также принадлежала бы основанию. Для этого проводим прямую , и находим точку ее пересечения с прямой — .

Задача 1. Шаг 1.

Шаг 2. Проводим прямую , принадлежащую плоскости основания. Находим точку пересечения этой прямой ребра — .

Задача 1. Шаг 2.

Шаг 3. Точка лежит в задней грани, поэтому надо бы найти точку прямой , которая принадлежала бы плоскости задней грани. Для этого проведем прямую , которая принадлежит как плоскости основания, так и плоскости задней грани, и найдем точку ее пересечения с прямой — . Через две точки задней грани проводим прямую , и находим место пересечения этой прямой с ребром — .

Задача 1. Шаг 3.

Шаг 4. Окончание построения. Соединяем полученные точки отрезками, и строим многоугольник сечения.

Задача 1. Шаг 4.

Задача 2.

Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки

Задача 2. Дано.

Шаг 1. Точки и лежат в одной плоскости, можно соединить их прямой. Прямая пересечет ребро в точке .

Задача 2. Шаг 1.

Шаг 2. Точки и также лежат в одной плоскости. Соединяем их прямой и отыскиваем точку пересечения ею ребра — .

Задача 2. Шаг 2

Шаг 3. Найдем точку секущей плоскости, принадлежащую передней грани, чтобы затем через эту точку и точку можно было бы тоже провести след секущей плоскости. Для того, чтобы найти такую точку, проведем луч и найдем его пересечение с прямой — ведь обе эти прямые принадлежат плоскости верхней грани. Точка пересечения — точка . Точки и можно соединить отрезком.

Задача 2. Шаг 3.

Шаг 4. Находим точку пересечения отрезком ребра — точку .

Задача 2. Шаг 4

Шаг 5. После этого соединяем отрезками полученные точки и закрашиваем многоугольник сечения.

Задача 2. Шаг 5

Задача 3.

Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки

Задача 3. Дано.

Шаг 1. Построим прямую , это можно сделать, так как обе точки принадлежат одной грани. Точка принадлежит грани основания, поэтому нужна точка в этой плоскости.

Задача 3. Шаг 1

Шаг 2. Для того, чтобы найти точку, одновременно принадлежащую и секущей плоскости, и плоскости нижней грани, продолжим прямую и найдем точку ее пересечения с прямой — .

Задача 3. Шаг 2.

Шаг 3. Проводим прямую и находим точку пересечения этой прямой с ребром — точка .

Задача 3. Шаг 3.

Шаг 4. Теперь надо найти точку в плоскости передней грани, потому что в этой плоскости у нас уже есть точка — точка . Для того, чтобы найти такую точку, продлим прямую и найдем пересечение этой прямой с прямой — точка .

Задача 3. Шаг 4

Шаг 5. Проводим прямую , отыскиваем точки пересечения ею ребер — точку , и ребра — точку .

Задача 3. Шаг 5.

Шаг 6. Соединяем точки и получаем многоугольник сечения.

Задача 3. Шаг 6

Окончательный вид сечения с другого ракурса:

Окончательный вид

Задача 4.

Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки . Точка в задней грани.

Задача 4. Дано

Шаг 1. Проводим прямую через две точки одной плоскости — и . Определяем точку пересечения данной прямой ребра — .

Задача 4. Шаг 1.

Шаг 2. Продолжение прямой пересечется с продолжением прямой — так как обе прямые принадлежат плоскости задней грани. Точка также принадлежит задней грани, но также и боковой. А в боковой грани у нас есть точка , и тогда можно провести прямую .

Задача 4. Шаг 2.

Шаг 3. Точка — точка пересечения прямой ребра . Продлим также ребро и найдем пересечение прямой и прямой — точку , которая принадлежит плоскости основания.

Задача 4. Шаг 3

Шаг 4. Соединяем Точки и плоскости основания, определяем точку пересечения данной прямой с ребром — точку . Соединяем полученные точки отрезками. Штрихуем полученный многоугольник сечения.

Задача 4. Шаг 4.

Окончательный вид сечения с другого ракурса:

Окончание построения

12 комментариев

Мария
✉️
03.12.2017 15:16:25

Спасибо большое.Все очень доступно изложено,с замечательными иллюстрированными примерами.

Людмила
✉️
20.10.2018 15:37:24

спасибо за желание объяснять:доступно, подробно.

Анна Валерьевна
✨
20.10.2018 15:38:43

Отлично, рада, что пригодилось.

Алексей
✉️
28.10.2018 20:23:47

Вы не разобрали вариант, когда точки T,U,V лежат на разных гранях, скажем, если на рисинке Т лежит на A1B1, U лежит на AD, V лежит на CC1. Что тогда? Действует ли метод? Спасибо

Анна Валерьевна
✨
29.10.2018 07:19:56

Да, действительно, такой случай не рассмотрен. Так как в этом случае более эффективным является метод внутреннего проецирования: https://easy-physic.ru/metod-vnutrennego-proecirovaniya/. Я обещаю сделать в ближайшее время.

Анна Валерьевна
✉️
01.11.2018 15:48:48

Сделала статью. Выйдет, правда, в феврале.

Борис
✉️
05.11.2018 08:09:29

Уважаемая Анна Валерьевна!
Позвольте поблагодарить Вас за интересный и содержательный сайт.
Здоровья Вам, творческих успехов и удачи.

Незнакомец.

Анна Валерьевна
✨
06.11.2018 09:55:33

Спасибо Вам!

Евгений
✉️
06.05.2019 18:39:20

Спасибо за работу.Мне она пригодилась)

LarryGot
✉️
11.04.2022 22:45:45

Jessievob
✉️
14.04.2022 07:02:27

Stevetaind
✉️
17.04.2022 09:45:49

Источник

�� .

�� :

1) �� , �� ;

2) �� , ��

�) �� , �� (�� );

�) �� .

�� :

�� 1.

�� ABCDA₁B₁C₁D₁. �� , �� M, N, L.

�� M � L, �� AA₁D₁D.

�� ML ( �� ) � �� A₁D₁, �� AA₁D₁D. �� X₁.

�� X₁ �� A₁D₁, � �� A₁B₁C₁D₁, �� N, �� .

X₁ N �� A₁B₁ � �� .

�� K � M, �� AA₁B₁B.

�� DD₁C₁C:

�� ML (�� ) � �� DD₁, �� AA₁D₁D, �� X₂;

�� KN (�� ) � �� D₁C₁, �� A₁B₁C₁D₁, �� X₃;

�� X₂ � X₃�� DD₁C₁C. �� X₂ X₃ , �� C₁C � �� T, � �� DC � �� P. � �� L � P, �� ABCD.

MKNTPL — �� .

�� 2.

�� , �� . �� .

�� M � L, �� AA₁D₁D.

�� N, �� NT �� ML. �� NT � ML �� .

�� ML ( �� ) � �� A₁D₁, �� AA₁D₁D. �� X₁.

�� X₁ �� A₁D₁, � �� A₁B₁C₁D₁, �� N, �� .

X₁ N �� A₁B₁ � �� .

�� K � M, �� AA₁B₁B.

�� TP �� T, �� KM ( �� ).

�� P � L ( �� ).

MKNTPL — �� .

Источник

Как построить сечение параллелепипеда плоскостью ?

Секущая плоскость может рассекать параллелепипед по-разному, из-за чего сечением может являться 1) треугольник, 2) четырехугольник, 3) пятиугольник, 4) шестиугольник.

Рассмотрим случай, когда сечением параллелепипеда оказывается пятиугольник. При построении сечения руководствуемся правилом, согласно которому отрезки, по которым секущая плоскость пересекает параллелепипед, параллельны.

Конкретный вид сечения всегда зависит от расположения точек, задающих секущую плоскость.

Рассмотрим случай расположения точек А, B и С на рёбрах параллелепипеда (рис.1). Для построения сечения проводим отрезки AB и ВС. Далее пользуемся вышеуказанным правилом и проводим две прямые: 1) прямую, параллельную ВС, проводим через точку А — в плоскости передней грани параллелепипеда и 2) прямую, параллельную АВ, проводим через точку С — в плоскости боковой грани параллелепипеда. Таким образом, получаем точки Е и D на рёбрах нижней грани параллелепипеда (рис.2). Для завершения построения пятиугольного сечения соединяем точки E и D.

модератор выбрал этот ответ лучшим

Tangram
[177K]

9 лет назад

Прежде чем приступать к построению сечений параллелепипеда, следует вспомнить правило: отрезки, по которым секущая плоскость пересекает две противоположные грани параллелепипеда, параллельны. Также следует учесть, что секущая плоскость может рассекать параллелепипед по-разному: сечением параллелепипеда может являться треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник. Рассматривать следует все эти четыре случая.

Случай первый (самый простой): сечение – треугольник.

Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Точки KMN располагаются на рёбрах A1B1, A1D1 и AA1 соответственно. Строим сечение параллелепипеда плоскостью KMN. Точки M и N одновременно находятся в двух плоскостях: в плоскости AA1D1 и в секущей плоскости. Следовательно, MN – линия пересечения двух указанных плоскостей. Точно так же получаем MK и KN. То есть искомым сечением будет являться треугольник MKN.

Этот и три другие более сложные случаи подробно, доходчиво и в разных вариантах исполнения изложены в ролике урока «Построение сечений в параллелограмме». Смотрим с конца второй минуты и до конца ролика, а лучше — с самого начала, чтобы повторить свойства параллелепипеда. Полезно также прочитать объяснения после ролика.

Успехов в построениях!

Zolotynka
[551K]

6 лет назад

1) Нарисуем две точки на задней поверхности и проведем через них линию, будем вести ее до тех пор, пока она не «встретится» с правой вертикальной стороной задней поверхности параллелепипеда, и поставим там зеленую точку.

2) Проведем параллельную линию, проходящую через точку на передней поверхности; отметим пересечение красной точкой, а затем продлим линию вниз и поставим там синюю точку.

3) Соединяем точки как показано на рисунке параллельными линиями:

4) Соединяем точки между собой и получаем шестиугольник. Наш шестиугольник и будет представлять собой сечение параллелепипеда плоскостью, см. ниже:

moreljuba
[62.5K]

6 лет назад

Прежде чем построить сечение параллелепипеда необходимо определиться с теми точками. через которые проходит плоскость. Далее важно помнить, что те линии плоскости, которые пересекают параллельные стороны также будут проходить параллельно друг другу. Также важно при построении понимать, что искомое сечение может быть представлено и треугольником — и шестиугольником.

А вот пример построения:

Источник

Как найти сечение параллелепипеда

Сечения геометрических фигур имеют различные формы. У параллелепипеда сечение всегда представляет собой прямоугольник или квадрат. Оно имеет ряд параметров, которые могут быть найдены аналитическим способом.

Инструкция

Через параллелепипед можно провести четыре сечения, которые представляют собой квадраты или прямоугольники. Всего он имеет два диагональных и два поперечных сечения. Как правило, они имеют разные размеры. Исключением является куб, у которого они одинаковы.
Перед тем как строить сечение параллелепипеда, составьте представление о том, что представляет собой эта фигура. Существует два вида параллелепипедов — обычный и прямоугольный. У обычного параллелепипеда грани располагаются под некоторым углом к основанию, а у прямоугольного они перпендикулярны ему. Все грани прямоугольного параллелепипеда представляют собой прямоугольники или квадраты. Из этого следует,что куб — это частный случай прямоугольного параллелепипеда.

У любого сечения параллелепипеда есть определенные характеристики. Основными из них являются площадь, периметр, длины диагоналей. Если из условия задачи известны стороны сечения или какие-либо иные его параметры, этого достаточно, чтобы найти его периметр или площадь. По сторонам определяются также диагонали сечений. Первый из этих параметров — площадь диагонального сечения.
Для того чтобы найти площадь диагонального сечения, нужно знать высоту и стороны основания параллелепипеда. Если даны длина и ширина основания параллелепипеда, то диагональ найдите по теореме Пифагора:
d=√a^2+b^2.
Найдя диагональ и зная высоту параллелепипеда, вычислите площадь сечения параллелепипеда:
S=d*h.

Периметр диагонального сечения тоже можно вычислять по двум величинам — диагонали основания и высоте параллелепипеда. В этом случае вначале найдите две диагонали (верхнего и нижнего оснований) по теореме Пифагора, а затем сложите с удвоенным значением высоты.

Если провести плоскость, параллельную ребрам параллелепипеда, можно получить сечение-прямоугольник, сторонами которого являются одна из сторон основания параллелепипеда и высота. Площадь этого сечения найдите следующим образом:
S=a*h.
Периметр этого сечения найдите аналогичным образом по следующей формуле:
p=2*(a+h).

Последний случай возникает, когда сечение проходит параллельно двум основаниям параллелепипеда. Тогда его площадь и периметр равны значению площади и периметра оснований, т.е.:
S=a*b — площадь сечения;

p=2*(a+b).

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Практическое занятие : «Параллелепипед. Построение сечений параллелепипеда ».

1. Цель практической работы: . Закрепить знания теоретического материала о многогранниках, навыки решения задач на построение сечений, умения анализировать чертеж.

2.Дидактическое оснащение практической работы: АРМ, модели и развёртки многогранников, измерительные инструменты, ножницы, клей, плотная бумага.

Время:2 часа

Задания к работе:

Задание 1

Построить сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки M, N, P, лежащие, на прямых, соответственно, A₁ B_1, АD, DC

Образец и последовательность решения задачи:

1.Точки N и P лежат в плоскости сечения и в плоскости нижнего основания параллелепипеда. Построим прямую, проходящую через эти точки. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскость основания параллелепипеда.

2.Продолжим прямую, на которой лежит сторона AB параллелепипеда. Прямые AB и NP пересекутся в некоторой точке S. Эта точка принадлежит плоскости сечения.

3.Так как точка M также принадлежит плоскости сечения и пересекает прямую АА₁ в некоторой точке Х.

4.Точки X и N лежат в одной плоскости грани АА₁D₁D, соединим их и получим прямую XN.

5.Так как плоскости граней параллелепипеда параллельны, то через точку M можно провести прямую в грани A₁B₁C₁D₁, параллельную прямой NP. Эта прямая пересечет сторону В₁С₁ в точке Y.

6.Аналогично проводим прямую YZ, параллельно прямой XN. Соединяем Z с P и получаем искомое сечение – MYZPNX.

Задание 2

Вариант1. Построить сечение параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 плоскостью, заданной следующими точками M, N и P

1 Уровень: Все три точки лежит на рёбрах, выходящих из вершиныА

2 Уровень. M лежит в грани AA1D1D, N лежит в грани АА1В1В, P лежит в грани СС1D1D.

3 Уровень. M лежит на диагонали B1D, N лежит на диагонали АС1, P лежит на ребре С1D1.

Вариант2. Построить сечение параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 плоскостью, проходящей через прямую DQ, где точка Q лежит на ребре СС1 и точку Р, заданную следующим образом

1 Уровень: Все три точки лежит на рёбрах, выходящих из вершиныС

2 Уровень: М лежит на продолжении ребра А1В1, причем точка А1 находится между точками В1 и Р.

3 Уровень: Р лежит на диагонали В1D

Порядок выполнения работы:

1.Изучите теоретический материал по темам:

Параллелепипед.

Прямой параллелепипед.

Наклонный параллелепипед.

Противолежащие грани параллелепипеда.

Свойства диагоналей параллелепипеда.

Понятие секущей плоскости и правила её построения.

Какие виды многоугольников получаются в сечении куба и параллелепипеда.

2. Постройте параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁

3.Разберите решение задачи № 1

4.Последовательно постройте сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки P, Q, R задачи № 1.

5.Постройте ещё три параллелепипеда и выделите на них сечения к задачам 1, 2, и 3 уровней

Критерии оценивания:

Литература: Атанасян Л.С. Геометрия: Учебник для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кодомцев и др. — М.: Просвещение, 2010г Зив Б.Г. Задачи по геометрии: Пособие для учащихся 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. / Б.Г. Зив, В.М. Мейлер, А.Г. Баханский. — М.: Просвещение, 2010. В. Н. ЛитвиненкоЗадачи на развитие пространственных представлений. Книга для учителя. — М.: Просвещение, 2010г

Дидактический материал к заданию практического занятия

К задаче № 1: