Как найти проекцию стороны на плоскость

При решении геометрических задач в пространстве часто возникает проблема определения расстояния между плоскостью и точкой. В некоторых случаях это необходимо для комплексного решения. Эту величину можно вычислить, если найти проекцию на плоскость точки. Рассмотрим этот вопрос подробнее в статье.

Уравнение для описания плоскости

Перед тем как перейти к рассмотрению вопроса касательно того, как найти проекцию точки на плоскость, следует познакомиться с видами уравнений, которые задают последнюю в трехмерном пространстве. Подробнее — ниже.

Уравнением общего вида, определяющим все точки, которые принадлежат данной плоскости, является следующее:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Первые три коэффициента — это координаты вектора, который называется направляющим для плоскости. Он совпадает с нормалью для нее, то есть является перпендикулярным. Этот вектор обозначают n¯(A; B; C). Свободный коэффициент D однозначно определяется из знания координат любой точки, принадлежащей плоскости.

Далее в статье будем использовать записанное уравнение. Оно требуется, чтобы найти проекцию точки на плоскость.

Понятие о проекции точки и ее вычисление

Предположим, что задана некоторая точка P(x₁; y₁; z₁) и плоскость. Она определена уравнением в общем виде. Если провести перпендикулярную прямую из P к заданной плоскости, то очевидно, что она пересечет последнюю в одной определенной точке Q (x₂; y₂; z₂). Q называется проекцией P на рассматриваемую плоскость. Длина отрезка PQ называется расстоянием от точки P до плоскости. Таким образом, сам PQ является перпендикулярным плоскости.

Как можно найти координаты проекции точки на плоскость? Сделать это не сложно. Для начала следует составить уравнение прямой, которая будет перпендикулярна плоскости. Ей будет принадлежать точка P. Поскольку вектор нормали n¯(A; B; C) этой прямой должен быть параллелен, то уравнение для нее в соответствующей форме запишется так:

(x; y; z) = (x₁; y₁; z₁) + λ*(A; B; C).

Где λ — действительное число, которое принято называть параметром уравнения. Изменяя его, можно получить любую точку прямой.

После того как записано векторное уравнение для перпендикулярной плоскости линии, необходимо найти общую точку пересечения для рассматриваемых геометрических объектов. Ее координаты и будут проекцией P. Поскольку они должны удовлетворять обоим равенствам (для прямой и для плоскости), то задача сводится к решению соответствующей системы линейных уравнений.

Понятие проекции часто используется при изучении чертежей. На них изображаются боковые и горизонтальные проекции детали на плоскости zy, zx, и xy.

Вычисление расстояния от плоскости до точки

Как выше было отмечено, знание координат проекции на плоскость точки позволяет определить дистанцию между ними. Используя обозначения, введенные в предыдущем пункте, получаем, что искомое расстояние равно длине отрезка PQ. Для его вычисления достаточно найти координаты вектора PQ¯, а затем рассчитать его модуль по известной формуле. Конечное выражение для d расстояния между P точкой и плоскостью принимает вид:

d = |PQ¯| = √((x₂ — x₁)² + (y₂ — y₁)² + (z₂ — z₁)²).

Полученное значение d представлено в единицах, в которых задается текущая декартова координатная система xyz.

Пример задачи

Допустим, имеется точка N(0; -2; 3) и плоскость, которая описывается следующим уравнением:

2*x — y + z + 4 = 0.

Следует найти точки проекцию на плоскость и вычислить между ними расстояние.

В первую очередь составим уравнение прямой, которая пересекает плоскость под углом 90^o. Имеем:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + λ*(2; -1; 1).

Записывая это равенство в явном виде, приходим к следующей системе уравнений:

x = 2*λ;

y = -2 — λ;

z = λ + 3;

2*x — y + z + 4 = 0.

Подставляя значения координат из первых трех равенств в четвертое, получим значение λ, определяющее координаты общей точки прямой и плоскости:

2*(2*λ) — (-2 — λ) + λ + 3 + 4 = 0 =>

6*λ + 9 = 0 =>

λ = 9/6 = 3/2 = 1,5.

Подставим найденный параметр в уравнение прямой и найдем координаты проекции исходной точки на плоскость:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + 1,5*(2; -1; 1) = (3; -3,5; 4,5).

Для вычисления дистанции между заданными в условии задачи геометрическими объектами применим формулу для d:

d = √((3 — 0 )² + (-3,5 + 2 )² + (4,5 — 3 )²) = 3,674.

В данной задаче мы показали, как находить проекцию точки на произвольную плоскость и как вычислять между ними расстояние.

Проецирование плоских фигур

Подробности

Категория: Основы начертательной геометрии

ИЗОБРАЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ

Плоскостью называется поверхность, образуемая движением прямой линии, которая движется параллельно самой себе по неподвижной направляющей прямой .

Проекции плоскости на комплексном чертеже будут различны в зависимости от того, чем она задана. Как известно из геометрии, плоскость может быть задана: а) тремя точками, не лежащими на одной прямой; б) прямой линией и точкой, лежащей вне этой прямой; в) двумя пересекающимися прямыми; г) двумя параллельными прямыми.

На комплексном чертеже (рис. 99) проекции плоскости также задаются проекциями этих элементов, например, на рис 99, а — проекциями трех точек А, , и С, не лежащих на одной прямой; на рис. 99, б — проекциями прямой ВС и точки А у не лежащей на этой прямой; на рис. 99, в — проекциями двух пересекающихся прямых; на рис. 99, г проекциями двух параллельных прямых линий АВ и CD.

На рис. 100 плоскость задана прямыми линиями, по которым эта плоскость пересекает плоскости проекций. Такие линии называются следами плоскости.
Линия пересечения данной плоскости Р с горизонтальной плоскостью проекций Н называется горизонтальным следом плоскости Р и обозначается Р_н.
Линия пересечения плоскости Р с фронтальной плоскостью проекций V называется фронтальным следом этой плоскости и обозначается Р_v.

Линия пересечения плоскости Р с профильной плоскостью проекций W называется профильным следом этой плоскости и обозначается P_w.

Следы плоскости пересекаются на осях проекций. Точки пересечения следов плоскости с осями проекций называются точками схода следов. Эти точки обозначаются Р_x, Р_y и Р_z.

Расположение следов плоскости Р на комплексном чертеже по отношению к осям проекций определяет положение самой плоскости по отношению к плоскостям проекций. Например, если плоскость Р имеет фронтальный и профильный следы P_v и P_w, параллельные осям Ох и Оу то такая плоскость параллельна плоскости Н и называется горизонтальной (рис. 101, и). Плоскость Р со следами Р_н и P_w , параллельными осям проекций Ох и Oz (рис. 101, называется фронтальной, а плоскость Р со следами P_v и P_н параллельными осям проекций Оу и Oz, — профильной (рис. 101, в).

Горизонтальная, фронтальная и профильная плоскости, перпендикулярные к двум плоскостям проекций, называются плоскостями уровня. Если на комплексном чертеже плоскость уровня задана не следами, а какой-нибудь плоской фигурой, например, треугольником или параллелограммом (рис. 101, г, д, е), то на одну из плоскостей проекций эта фигура проецируется без искажения, а на две другие плоскости проекций — в виде отрезков прямых.

ПРОЕЦИРУЮЩИЕ ПЛОСКОСТИ И ПЛОСКОСТЬ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ

Плоскость, перпендикулярная к плоскости Н (рис. 102, а),называется горизонтально-проецирующей плоскостью. Фронтальный след P_v этой плоскости перпендикулярен оси Ох, а горизонтальный след Р_н расположен под углом к оси Ох (комплексный чертеж на рис. 102, а)

Если горизонтально-проецирующая плоскость задана не следами, а какой-либо фигурой, например треугольником АВС (рис. 102, 6), то горизонтальная проекция этой плоскости представляет собой прямую линию, а фронтальная и профильная проекции — искаженный вид треугольника АВС.

Фронтально-проецирующей плоскостью называется плоскость, перпендикулярная к фронтальной плоскости проекций (рис. 102, в).

Горизонтальный след этой плоскости перпендикулярен оси Ох, а фронтальный след расположен под некоторым углом к оси Ох (комплексный чертеж на рис. 102, в).

При задании фронтально-проецирующей плоскости не следами, а, например, параллелограммом ABCD фронтальная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию (рис. 102, г), а на горизонтальную и профильную плоскости проекций параллелограмм проецируется с искажением.

Профильно-проецирующей плоскостью называется плоскость, перпендикулярная к плоскости W (рис. 102, д). Следы P_v и Р_н этой плоскости параллельны оси Ох.

При задании профильно-проецирующей плоскости не следами, а, например, треугольником АВС (рис. 102, е) профильная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию. Плоскости, перпендикулярные двум плоскостям проекций, как было сказано, называются плоскостями уровня.

Если плоскость Р не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций (рис. 102, ж), то такая плоскость называется плоскостью общего положения. Все три

следа P_v, Р_н и P_w плоскости Р наклонены к осям проекций.

Если плоскость общего положения задана не следами, а, например, треугольником АВС (рис. 102, з), то этот треугольник проецируется на плоскости H, V и W в искаженном виде.

ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ И ПРЯМОЙ, РАСПОЛОЖЕННЫХ НА ПЛОСКОСТИ

Если прямая расположена на плоскости, то она должна проходить через две какие-либо точки, принадлежащие этой плоскости. Такие две точки могут быть взяты на следах плоскости — одна на горизонтальном, а другая на фронтальном. Так как следы прямой и плоскости находятся на плоскостях проекций и то следы прямой, принадлежащей плоскости, должны быть расположены на одноименных следах этой плоскости (рис. 103, а);например, горизонтальный след Н прямой — на горизонтальном следе плоскости, фронтальный след V прямой — на фронтальном следе Рv плоскости (рис. 103, б).

Для того чтобы на комплексном чертеже плоскости Р, заданной следами, провести какую-либо прямую общего положения, необходимо наметить на следах плоскости точки v’ или считать их следами искомой прямой (точнее, v’ — фронтальной проекцией горизонтального следа прямой).

Опустив перпендикуляры из v’ и на ось проекций х, находим на ней вторые проекции следов прямой: v — горизонтальную проекцию фронтального следа прямой и h’ — фронтальную проекцию горизонтального следа прямой. Соединив одноименные проекции следов, т. е. v’c h и v c h прямыми, получим две проекции прямой линии, расположенной в плоскости общего положения Р.

Очень часто требуется провести на плоскости горизонталь и фронталь, которые называются главными линиями плоскости или линиями уровня. Главные линии помогают решать многие задачи проекционного черчения.

Горизонталь и фронталь имеют в системе двух плоскостей V и Н только по одному следу (например, горизонталь имеет только фронтальный след). Поэтому, зная один след главной линии, проекцию главной линии проводят по заранее известному направлению. Это направление для горизонтали видно из рис. 104, а, где показана плоскость общего положения и горизонталь, лежащая на ней. Из рисунка видно, что горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости.

Таким образом, чтобы на комплексном чертеже плоскости Р провести в этой плоскости какую-либо горизонталь, нужно наметить на следе Р_v плоскости точку v’ (рис. 104, б) и считать ее фронтальной проекцией фронтального следа горизонтали. Затем через точку v’ параллельно оси х проводят прямую, которая будет фронтальной проекцией горизонтали.

Опустив перпендикуляр из точки v’ на ось x , получают точку v, которая будет горизонтальной проекцией фронтального следа горизонтали. Прямая, проведенная из точки v параллельно следу P_H плоскости, представляет собой горизонтальную проекцию искомой горизонтали. Построение проекции фронтали показано на рис. 104, в и г.

11 с редко требуется провести горизонталь и фронталь на проецирующих плоскостях. Рассмотрим, например, построение горизонтали на фронтально-проецирующей плоскости (рис. 105). На следе плоскости Р_v намечаем фронтальную проекцию фронтального следа горизонтали и на оси находим его горизонтальную проекцию v (рис. 105, а). Затем через точку проводим параллельно Р_н горизонтальную проекцию горизонтали; фронтальная проекция горизонтали совпадает с точкой v’.

Если плоскость задана не следами, а пересекающимися или параллельными прямыми, то построение проекций горизонтали или фронтали, расположенных в этой плоскости, выполняется следующим образом.

Пусть плоскость задана двумя параллельными прямыми AВ и СD (рис. 105, 6). Для построения горизонтали, лежащей в этой плоскости, проводим параллельно оси х фронтальную проекцию горизонтали и отмечаем точки е’и f’ пересечения фронтальной проекции горизонтали с фронтальными проекциями параллельных прямых, которыми задана плоскость. Через точки е’и f’ проводим вертикальные линии связи до пересечения с ab и cd в точках е и f. Точки е и f соединяем прямой линией, которая и будет горизонтальной проекцией горизонтали.

Если требуется найти следы плоскости, заданной пересекающимися или параллельными прямыми, надо найти следы этих прямых и через полученные точки провести искомые следы плоскости.

Рассмотрим комплексный чертеж параллелограмма ABCD (рис. 106, a),который задает некоторую плоскость X. Отрезок DC расположен в плоскости H, следовательно, его горизонтальная проекция dc является горизонтальным следом плоскости (точнее — горизонтальной проекцией горизонтального следа плоскости).

Чтобы найти фронтальный след этой плоскости, необходимо продолжить горизонтальную проекцию dc прямой DC до пересечения с осью х в точке Р_х, через которую должен пройти искомый фронтальный след плоскости.

Второй точкой v’, через которую пройдет искомый фронтальный след плоскости, является фронтальный след прямой АВ (фронтальная проекция фронтального следа). Фронтальную проекцию фронтального следа прямой АВ находим, продолжая горизонтальную проекцию ab прямой АВ до пересечения с осью х в точке v, которая будет горизонтальной проекцией искомого фронтального следа прямой АВ. Фронтальная проекция фронтального следа этой прямой находится на перпендикуляре, восставленном из точки v к оси х, в точке v’ его пересечения с продолжением фронтальной проекции а’в’ прямой АB. Соединив точки P_x  с v’, находим фронтальный след P_v плоскости.

Пример решения подобной задачи приведен на рис 106, б.

Часто на комплексных чертежах приходится решать такую задачу: по одной из заданных проекций точки, расположенной на заданной плоскости, определить две другие проекции точки. Ход решения задачи следующий.

Через заданную проекцию точки, например фронтальную проекцию n’ точки N, расположенной на плоскости треугольника АВС (рис. 107), проводим одноименную проекцию вспомогательной прямой любого направления, например m’к’.

Горизонталью плоскости называется прямая, принадлежащая этой плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций Н.

Строим другую проекцию mк вспомогательной прямой. Для этого проводим вертикальные линии связи через точки m’ и к’ до пересечения с линиями ас и вс. Из точки n’ проводим линию связи до пересечения с проекцией mк в искомой точке n.

Профильную проекцию n» находим по общим правилам проецирования.

В качестве вспомогательной прямой для упрощения построения чаще используются горизонталь или фронталь.

Чтобы найти какую-либо точку на плоскости Р, например точку А (рис. 108, а и б) надо найти ее проекции а’и а, которые располагаются на одноименных проекциях горизонтали, проходящей через эту точку. Через точку А проведена горизонталь Av’ .

Проводим проекции горизонтали: фронтальную — через v’ параллельно оси х, горизонтальную — через v параллельно следу Р_н плоскости Р. На фронтальной проекции горизонтали намечаем фронтальную проекцию а’ искомой точки и, проводя вертикальную линию связи, определяем горизонтальную проекцию а точки А.

Если точка лежит на проецирующей плоскости, то построение ее проекций упрощается. В этом случае одна из проекций точки всегда расположена на следу плоскости (точнее, на его проекции). Например, горизонтальная проекция а точки А, расположенной на горизонтально-проецирующей плоскости Р, находится на горизонтальной проекции горизонтального следа плоскости (рис. 108, в и г)

При заданной фронтальной проекции a’ точки А, лежащей на горизонтально-проецирующей плоскости , найти вторую проекцию этой точки (горизонтальную) можно без вспомогательной прямой, посредством проведения линии связи через а’ до пересечения со следом Р_Н.

Если точка расположена на фронтально-проецирующей плоскости Р (рис. 108, д и е), то ее фронтальная проекция а’ находится на фронтальном следе Х_v плоскости Р.

ПРОЕКЦИИ ПЛОСКИХ ФИГУР

Зная построение проекций прямых и точек, расположенных на плоскости, можно построить проекции любой плоской фигуры, например, прямоугольника, треугольника, круга.

Как известно, каждая плоская фигура ограничена отрезками прямых или кривых линий, которые могут быть построены по точкам.

Проекции фигуры, ограниченной прямыми линиями (треугольника и многоугольника), строят по точкам (вершинам). Затем одноименные проекции вершин соединяют прямыми линиями и получают проекции фигур.

Проекции круга или другой криволинейной фигуры строят при помощи нескольких точек, которые берут равномерно по контуру фигуры. Одноименные проекции точек соединяют плавной кривой по лекалу.

Проекции плоской фигуры строят различными способами в зависимости от положения фигуры относительно плоскостей проекций и Наиболее просто построить проекции фигуры, расположенной параллельно плоскостям Н и V; сложнее — при расположении фигуры на проецирующей плоскости или на плоскости общего положения.

Рассмотрим несколько примеров.

Если треугольник АВС расположен на плоскости, параллельной плоскости H (рис. 109, a), то горизонтальная проекция этого треугольника будет его действительным видом, а фронтальная проекция — отрезком прямой, параллельным оси х. Комплексный чертеж треугольника АВС показан на рис. 109, 6. Такой треугольник можно видеть на изображении резьбового резца (рис. 109, в),передняя грань которого треугольная.

Трапеция ABCD расположена на фронтально-проецирующей плоскости (рис. 110, а). Фронтальная проекция трапеции представляет собой отрезок прямой линии, а горизонтальная — трапецию (рис. 110, б)

Задняя грань отрезного резца (рис. 110, в) имеет форму трапеции.

Рассматривая плоскость, параллельную горизонтальной, фронтальной или профильной плоскости проекций (плоскость уровня), можно заметить, что любая фигура, лежащая в этой плоскости, имеет одну из проекций, представляющую собой действительный вид этой фигуры; вторая и третья проекции фигуры совпадают со следами этой плоскости.

Рассматривая проецирующую плоскость, заметим, что любая точка, отрезок прямой или кривой линии, а также фигуры, расположенные на проецирующей плоскости, имеют одну проекцию, расположенную на следе этой плоскости. Например, если круг лежит на фронтально-проецирующей плоскости Р (рис. 111), то фронтальная проекция круга совпадает с фронтальным следом Pv плоскости Р. Две другие проекции круга искажены и представляют собой эллипсы. Большие оси эллипсов равны проекциям диаметра круга 37. Малые оси эллипсов равны проекциям диаметра круга 15, перпендикулярного диаметру 37.

На рис. 111,6 показано колено трубы с двумя фланцами. Горизонтальная проекция контура нижнего фланца, который расположен в горизонтальной плоскости, будет действительным видом окружности. Горизонтальная проекция контура верхнего фланца изобразится в виде эллипса.

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ

Две плоскости могут быть взаимно параллельными или пересекающимися.

Из стереометрии известно, что если две параллельные плоскости пересекают какую-либо третью плоскость, то линии пересечения этих плоскостей параллельны между собой. Исходя из этого положения, можно сделать вывод, что одноименные следы двух параллельных плоскостей Р и Q  также параллельны между собой.

Если даны две профильно-проецирующие плоскости Р и К (рис. 112, а), то параллельность их фронтальных и горизонтальных следов на комплексном чертеже в системе V и Н недостаточна для того, чтобы определить, параллельны эти плоскости или нет. Для этого необходимо построить их профильные следы в системе V, Н и W (рис. 112, б). Плоскости Р и K будут параллельны только в том случае, если параллельны их профильные следы P_w и K_w.

Одноименные следы пересекающихся плоскостей Р и Q (рис. 112, в) пересекаются в точках V и H,    которые принадлежат обеим плоскостям, т. е. линии их пересечения. Так как эти точки расположены на плоскостях проекций, то, следовательно, они являются также следами линии пересечения плоскостей. Чтобы на комплексном чертеже построить проекции линии пересечения двух плоскостей Р и Q, заданных следами P_v, Р_н и Q_v,Q_h, необходимо отметить точки пересечения одноименных следов плоскостей, т. е. точки v’ и h (рис. 112, г); точка v’ — фронтальная проекция фронтального следа искомой линии пересечения плоскостей Р и Q, h — горизонтальная проекция горизонтального следа этой же прямой. Опуская перпендикуляры из точек v’ и h на ось х, находим точки v и h’. Соединив прямыми одноименные проекции следов, т. е. точки v’ и h’, v и h’ получим проекции линии пересечения плоскостей Р и Q.

ПРЯМАЯ, ПРИНАДЛЕЖАЩАЯ ПЛОСКОСТИ

Дана плоскость, заданная треугольником АВС, и прямая, заданная отрезком MN. На рис. 113, а треугольник АВС и отрезок MN заданы горизонтальными и фронтальными проекциями. Требуется определить, лежит ли прямая в плоскости данного треугольника.

Для этого фронтальную проекцию отрезка m’n’ продолжаем до пересечения с отрезками a’b’ и c’d’ (проекциями сторон треугольника АВС), получаем точки (рис. 113, б).

Из точек е’к’ проводим линии связи на горизонтальную проекцию до пересечения с отрезками ab и ca , получаем точки еk. Продолжим горизонтальную проекцию mn отрезка прямой MN до пересечения с проекциями сторон bа и са, если точки пересечения совпадут с ранее полученными точками e и k то прямая MN принадлежит плоскости треугольника.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ

Если прямая АВ пересекается с плоскостью Р, то на комплексном чертеже точка их пересечения определяется следующим образом.

Через прямую А В проводят любую вспомогательную плоскость Q. Для упрощения построений плоскость Q обычно берется проецирующей (рис. 114, a). В данном случае проведена вспомогательная горизонтально-проецирующая плоскость Q. Через горизонтальную проекцию аb прямой АВ проводят горизонтальный след Q_H плоскости Q и продолжают его до пересечения с осью x в точке Q_x . Из точки Q_x к оси х восставляют перпендикуляр Q_xQ_y , который будет фронтальным следом Q_v вспомогательной плоскости Q.

 Вспомогательная плоскость Q пересекает данную плоскость Р по прямой VH, следы которой лежат на пересечении следов плоскостей Р и Q. Заметив точки пересечения следов P_v и Q_v — точку v’ и  следов Q_н и P_H — точку h,опускают из этих точек на ось х перпендикуляры, основания которых — точки v’ и h’ — будут вторыми проекциями следов прямой VH. Соединяя точки v’и h’, v и h, получают фронтальную и горизонтальную проекции линии пересечения плоскостей.

 Точка пересечения М заданной прямой AB и найденной прямой VH и будет искомой точкой пересечения прямой АВ с плоскостью Р. Фронтальная проекция m’ этой точки расположена на пересечении проекций a’b’ и v’h’. Горизонтальную проекцию m точки М находят, проводя вертикальную линию связи из точки m’ до пересечения с ab.

Если плоскость задана не следами, а плоской фигурой, например, треугольником (рис. 114, 6), то точку пересечения прямой MN с плоскостью треугольника АВС находят следующим образом.

Через прямую МN проводят вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость . Для этого через точки m’ и n’ проводят фронтальный след плоскости Р_у продолжают его до оси x и из точки пересечения следа плоскости Р_у с осью х опускают перпендикуляр Р_н, который будет горизонтальным следом плоскости Р.

 Затем находят линию ED пересечения плоскости Р с плоскостью данного треугольника ABC. Фронтальная проекция e’d’ линии ED совпадает с m’n’. Горизонтальную проекцию ed находят, проводя вертикальные линии связи из точек е’и d’ до встречи с проекциями ab и ас сторон треугольника АВС. Точки e и d соединяют прямой. На пересечении горизонтальной проекции ed линии ED с горизонтальной проекцией прямой MN находят горизонтальную проекцию k искомой точки К. Проведя из точки k вертикальную линяю связи, на ходят фронтальную проекцию k’ Точка К — искомая точка пересечения прямой МК с плоскостью треугольника АВС.

В частном случае прямая может быть перпендикулярна плоскости Р.Из условия перпендикулярности прямой к плоскости следует, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим на этой плоскости (в частности, этими прямыми могут быть следы плоскости). Тогда проекции прямой АВ будут перпендикулярны одноименным следам этой плоскости (рис 115, а) Фронтальная проекция а’b’ перпендикулярна фронтальному следу Р_у, а горизонтальная проекция ab перпендикулярна горизонтальному следу Р_н плоскости Р.

Если плоскость задана параллельными или пересекающимися прямыми, то проекции прямой, перпендикулярной этой плоскости, будут перпендикулярны горизонтальной проекции горизонтали и фронтальной проекции фронтали, лежащих на плоскости.

Таким образом, если, например, на плоскость, заданную треугольником АВС необходимо опустить перпендикуляр, то построение выполняется следующим образом (рис. 115, б).

На плоскости проводят горизонталь СЕ и фронталь FA. Затем из заданных проекций d и d’ точки D опускают перпендикуляры соответственно на  ce и f’a’.  Прямая, проведенная из точки D будет перпендикулярна плоскости треугольника АВС.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ

Задачи на построение линии пересечения плоскостей, заданных пересекающимися прямыми, можно решать подобно задаче на пересечение плоскости с прямыми линиями. На рис. 116 показано построение линии пересечения плоскостей, заданных треугольниками    АВС и DEF. Прямая MN построена по найденным точкам пересечения сторон DE и EF треугольника DEF с плоскостью треугольника АВС.

Например, чтобы найти точку M, через прямую DF проводят фронтально-проецирующую плоскость Р, которая пересекается с плоскостью треугольника АВС по прямой 12. Через полученные точки 1′ и 2′ проводят вертикальные линии связи до пересечения их с горизонтальными проекциями ав и ас сторон треугольника АВС в точках 1 и 2. На пересечении горизонтальных проекций df и 12 получают горизонтальную проекцию m искомой точки М, которая будет точкой пересечения прямой DF с плоскостью АВС. Затем находят фронтальную проекцию m’ точки M. Точку N пересечения прямой EF с плоскостью АВС находят так же, как и точку М.

Соединив попарно точки m’ и n’, m  и n, получают проекции линий пересечения MN плоскостей АВС и DEF.

Содержание:

Плоскостью называется поверхность, образуемая движением прямой линии, которая движется параллельно самой себе по неподвижной направляющей прямой.

Способы задания плоскости

На чертеже плоскость может быть задана (рис. 4.1) несколькими способами:

• а) проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой (рис. 4.1, а);
• б) проекциями прямой и точки, нс лежащей на этой прямой (рис. 4.1,0 ;
• в) проекциями двух пересекающихся прямых (рис. 4.1, в);
• г) проекциями двух параллельных прямых (рис. 4.1, г);
• д) проекциями любой плоской фигуры (рис. 4.1, д);
• е) следами плоскости (рис. 4.1, е).

От одного задания плоскости можно перейти к другому. Напри­мер, если мы проведем через точки А и В (рис. 4.1, а) прямую, то от задания плоскости тремя точками мы перейдем к заданию плоскости точ­кой и прямой (рис. 4,1, б) и т.д. В ряде случаев плоскость более наглядно может быть изображена при помощи прямых, по которым она пересекает плоскости проекций. Прямые, по которым плоскость пересекает плоскости проекций, называются следами плоскости (рис. 4.2):

Точки пересечения плоскости с осями проекций называются точками схода следов.

Чтобы построить след плоскости, необходимо построить одно­именные следы двух прямых, лежащих в плоскости (рис. 4.2).

Положение плоскости относительно плоскостей проекций

Относительно плоскостей проекций плоскость может занимать следующие положения:

• Плоскость наклонена ко всем плоскостям проекций.
• Плоскость перпендикулярна плоскости проекций.
• Плоскость параллельна плоскости проекций.

Плоскость, не перпендикулярную и не параллельную ни одной из плоскостей проекций, называют плоскостью общего положения. Такими являются плоскости, изображенные на рис. 4.1, 4.2, а также на рис. 4.3.

Плоскость, которая по мере удаления от наблюдателя повышается, называется восходящей (рис. 4.4). Плоскость, понижающаяся по мере удаления от наблюдателя, называется нисходящей (рис. 4.5).

Чтобы на чертеже различить изображения восходящей и нисходящей плоскостей, проанализируем проекции треугольника, которым она задана. Из чертежа, на котором изображена восходящая плоскость (рис. 4.4), видно, что обе проекции треугольника АВС — горизонтальная и фронтальная — имеют одинаковые обходы порядка обозначений (по часовой стрелке). Проекции треугольника которыми задана нисходящая плоскость (рис. 4.5), имеют противоположные обходы обозначений: горизонтальная — против движения часовой стрелки, фронтальная — по часовой стрелке.

Плоскости частного положения. Плоскости, перпендикулярные или параллельные к плоскостям проекций, называют плоскостями частного положения.

Плоскость, перпендикулярную к плоскости проекций, называют проецирующей.

Горизонтально-проецирующая плоскость (рис. 4.6)

Фронтально-проецирующая плоскость (рис.4.7.)

Профильно-проецирующая плоскость рис (4.8.)

Плоскость проецируется в прямую линию на ту плоскость проекций. которой она перпендикулярна. Эту проекцию можно рассматривать и как след плоскости. На эту же плоскость проекций в натуральную величину проецируются углы наклона данной плоскости к двум другим плоскостям проекций.

Проецирующие плоскости обладают собирательным свойством: если точка, линия или фигура расположены в плоскости, перпендикулярной плоскости проекций, то на этой плоскости их проекции совпадают со следом проецирующей плоскости.

Плоскости, параллельные плоскости проекций, называются плос­костями уровня. Плоскости уровня перпендикулярны одновременно двум плоскостям проекций (двояко проецирующие).

Горизонтальная плоскость (рис. 4.9)

Фронтальная плоскость (рис. 4.10)

Профильная плоскость (рис.4.11)

Любая линия или фигура, лежащая в плоскости уровня, проецируется без искажения на ту плоскость проекций, которой данная плоскость параллельна. На две другие плоскости проекций плоскость уровня проецируется в виде отрезков прямых линий (следов), перпендикулярных оси проекций, разделяющей эти плоскости проекций.

Точка и прямая в плоскости

К числу основных задач, которые решают на плоскости, относят следующие:

• проведение в плоскости прямой;
• построение в плоскости некоторой точки;
• построение недостающей проекции точки, лежащей в плоскости;
• проверка принадлежности точки плоскости.

Решение этих задач основано на известных положениях геомет­рии: прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие плоскости, или если она проходит через одну точку этой плоскости параллельно прямой, лежащей в этой плоско­сти.

Построение в плоскости прямой линии

Чтобы построить в плоскости прямую линию (рис. 4.12), необходимо отметить две точки, принадлежащие плоскости, например, точки А и К. Затем через них провести прямую

На рис. 4.13 прямая ВК принадлежит плоскости треугольника АВС, так как она проходит через вершину В и параллельна стороне треугольника

Построение в плоскости некоторой точки

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости.

Для построения в плоскости точки в этой плоскости проводят вспомогательную прямую и на ней отмечают точку.

На чертеже плоскости, заданной проекциями точки и прямой (рис. 4.14), проведены проекции вспомогательной прямой принадлежащей плоскости. На ней отмечены проекции точки D, принадлежащей этой плоскости.

Построение недостающей проекции точки

На рис. 4.15 плоскость задана треугольником Принадлежащая этой плоскости точка D задана проекцией d’. Требуется найти горизонтальную проекцию точки D. Ее строят с помощью вспомогательной прямой. Прямая принадлежит плоскости и проходит через точку D. Для этого проводим фронтальную проекцию пря­мой АК, строим ее горизонтальную проекцию и на ней отмечаем го­ризонтальную проекцию d точки.

Проверка принадлежности точки плоскости

Для проверки принадлежности точки плоскости используют вспомогательную прямую. Прямая принадлежит плоскости.

Так, на рис. 4.16 плоскость задана параллельными прямыми АВ и СО, точка — проекциями е и е’ Проекции вспомогательной прямой проводят так, чтобы она проходила через одну из проекций точки. Например, фронтальная проекция вспомогательной прямой проходит через фронтальную проекцию точ­ки е’. Построив горизонтальную проекцию прямой 1 — 2, видим, что горизонтальная проекция е точки ей не принадлежит. Следовательно, точка Е не принадлежит плоскости.

Главные линии плоскости

Прямых, принадлежащих плоскости, очень много. Среди них есть прямые, занимающие особое, частное положение в плоскости. К ним относятся горизонтали, фронтали, профильные прямые и линии наибольшего наклона к плоскостям проекций. Эти линии называются глав­ными линиями плоскости. Горизонталь — прямая, лежащая в плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций (рис. 4.17).

Фронтальная проекция горизонтали параллельна оси х, про­фильная — осн у.

Фронталь — прямая, лежащая в плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций (рис. 4.18). Горизонтальная проекция фронтали параллельна оси х, профильная — оси z.

Профильная прямая — прямая, лежащая в плоскости и параллельная профильной плоскости проекций. Горизонтальная проекция про­ фильной прямой параллельна оси у, фронтальная — оси z (рис. 4.19).

Рассмотренные линии являются линиями наименьшего наклона к плоскостям проекций.

Из трех линий наибольшего наклона к плоскостям проекций отметим линию наибольшего наклона к горизонтальной плоскости. Эту линию называют линией ската.

Линия ската — это прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная ее горизонтальному следу или ее горизонтали (рис. 4.20). Линия наибольшего наклона па чертеже позволяет определить величину двугранного угла между заданной плоскостью и плоскостью проекций. Этот угол будет равен линейному углу, который составляет линия наибольшего наклона со своей проекцией на эту плоскость.

Для определения угла наклона используем метод прямоугольного треугольника (рис. 4.21).

Взаимное положение прямой и плоскости

Взаимное положение прямой и плоскости определяется количест­вом общих точек:

• а) если прямая имеет две общие точки с плоскостью, то она принадлежит этой плоскости;
• б) если прямая имеет одну общую точку с плоскостью, то прямая пересекает плоскость;
• в) если точка пересечения прямой с плоскостью удалена в бесконечность, то прямая и плоскость параллельны.

Задачи, в которых определяется взаимное расположение различных геометрических фигур относительно друг друга, называются позиционными задачами.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какойнибудь прямой, лежащей в этой плоскости. Чтобы построить такую прямую, надо в плоскости задать прямую и параллельно ей провести нужную прямую.

Пусть плоскость Р задана треугольником CDE. Через точку А (рис. 4.22) необходимо провести пря­мую АВ, параллельную плоскости Р.

Для этого через фронтальную проекцию точки А проведем фронтальную проекцию искомой прямой параллельно фронтальной проекции любой прямой, лежащей в плоскости Р, на­пример прямой Через горизонтальную проекцию а точки А параллельно cd проводим горизонталь­ную проекцию искомой прямой Прямая АВ параллельна плоскости Р, заданной треугольником CDE.

Прямая будет также параллельна плоскости, если она лежит в плоскости, параллельной данной.

Построение точки пересечения прямой с плоскостью

Задача на построение точки пересечения прямой с плоскостью широко применяется в начертательной геометрии. Она лежит в основе решения следующих задач:

• на пересечение двух плоскостей;
• на пересечение поверхности с плоскостью;
• на пересечение прямой с поверхностью;
• на взаимное пересечение поверхностей.

Построить точку пересечения прямой с плоскостью — значит найти точку, принадлежащую одновременно заданной прямой и плоскости. Графически такая точка определяется как точка пересечения прямой с линией, лежащей в плоскости.

Плоскость занимает проецирующее положение

Если плоскость занимает проецирующее положение (например, она перпендикулярна фронтальной плоскости проекций, рис. 4.23), то фронтальная проекция точки пересечения должна одновременно принадлежать фронтальному следу плоскости и фронтальной проекции прямой, то есть быть в точке их пересечения. Поэтому сначала определяется фронтальная проекция точки К (точки пересечения прямой АВ с фронтально-проецирующей плоскостью а затем ее гори­зонтальная проекция.

Прямая занимает проецирующее положение

На рис. 4.24 изображена плоскость общего положения и фронтально-проецирующая прямая АВ, пересекающая плоскость в точке К. Фронтальная проекция точки — точка — совпадает с точками Для построения горизонтальной проекции точки пересечения проведем через точку К в плоскости Р прямую (например, 1 -2). Сначала построим ее фронтальную проекцию, а затем горизонтальную. Точка К является точкой пересечения прямых АВ и 1-2, то есть точка К одновременно ле­жит на прямой АВ и в плоскости Р и, следовательно, является точкой их пересечения.

Прямая и плоскость занимают общее положение

В этом случае линия, лежащая в плоскости и пересекающаяся с данной прямой, может быть получена как линия пересечения вспомогательной секущей плоскости Р, проведенной через прямую АВ, с данной плоскостью (линия MN] (рис. 4.25 и 4.26).

Точку пересечения прямой с плоскостью строят по следующему плану.

1. Через прямую проводят вспомогательную плоскость Р (лучше проецирующую);
2. Строят линию пересечения MN заданной плоскости и вспомогательной плоскости F;
3. Так как прямые АВ и MN лежат в одной плоскости Р, то определяют точку их пересечения (точку К), которая является точкой пересечения прямой АВ с плоскостью
4. Определяют взаимную видимость прямой АВ и плоскости

Для определения видимых участков прямой АВ анализируем положение точек на скрещивающихся прямых (конкурирующих точек).

Так, точки М и L находятся на скрещивающихся прямых АВ и CD: Их фронтальные проекции совпадают. По горизонтальной проекции при взгляде по стрелке на плоскость V видно, что точка L (проекция находится перед точкой М (проекция то есть она закрывает точку М при проецировании на фронтальную плоскость. Следовательно, прямая АВ слева от точки К расположена перед треугольником CDE и на фронтальной проекции она будет видима. Вправо от точки К прямую АВ закрывает треугольник CDE до точки N, соответственно отрезок показан как невидимый. Невидимый участок на горизонтальной проекции прямой АВ выявлен анализом положения точек 1 и 2 принадлежащих скрещивающимся прямым АВ и DE. По фронтальной проекции видно, что если смотреть по стрелке на плоскость Н, то сначала видно точку 1, расположенную выше точки 2. На горизонтальной проекции точка 1 за­крывает точку 2. В этом месте прямая АВ закрыта треугольником CDE до точки их пересечения К (участок проекции

Взаимное положение плоскостей

Общим случаем взаимного положения двух плоскостей является их пересечение. В частном случае, когда линия пересечения удалена в бесконечность, плоскости становятся параллельными. Параллельные плоскости совпадают при сокращении расстояния между ними до нуля.

Параллельные плоскости

Плоскости будут параллельными, если две пересекающиеся пря­мые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Например, через точку D (рис. 4.27) требуется провести плоскость, параллельную заданной Проводим через точку две прямые, параллельные двум любым прямым, находящимся в заданной плоскости, например сторонам треугольника.

Пересекающиеся плоскости

Линия пересечения двух плоскостей определяется

• двумя точками, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям;
• одной точкой, принадлежащей двум плоскостям, и известным направлением линии.

В обоих случаях задача заключается в нахождении точек, общих для двух плоскостей.

Пересечение двух проецирующих плоскостей

Если плоскости занимают частное положение, например, как на рис. 4.28, являются горизонтально-проецирующими, то проекцией линии пересечения на плоскость проекций, которой данные плоскости перпендикулярны (в данном случае горизонтальной), будет точка. Фронтальная проекция линии пересечения перпендикулярна оси проекций.

Пересечение проецирующей плоскости и плоскости общего положения

В этом случае одна проекция линии пересечения совпадает с проекцией проецирующей плоскости на той плоскости проекций, которой она перпендикулярна. На рис. 4.29 показано построение проекций линии пересечения фронтально-проецирующей плоскости, заданной следами, а на рис. 4.30 — горизонтально-проецирующей плоскости (треугольник АВС) с плоскостью общего положения (треугольник DEF).

На фронтальной проекции (рис. 4.29) в пересечении следа плоско­сти и сторон DE и DF треугольника DEF находим фронтальные проекции линии пересечения. По линиям связи находим горизонтальные проекции точек М и N линии пересечения.

При взгляде по стрелке на плоскость Н по фронтальной проекции видно, что часть треугольника левее линии пересечения MN находится над плоскостью Р, то есть будет видимой на горизонтальной плоскости проекций. Остальная часть — под плоскостью , то есть неви­дима. Подобным образом находится линия пересечения для плоскостей, изображенных на рис. 4.30.

Пересечения плоскостей общего положения

Общий прием построения линии пересечения таких плоскостей заключается в следующем. Вводим вспомогательную плоскость (посредник) и строим линии пересечения вспомогательной плоскости с двумя заданными (рис. 4.31). В пересечении построенных линий находим общую точку двух плоскостей. Чтобы найти вторую общую точку, повторяем построение с помощью еще одной вспомогательной плоскости.

При решении подобных задач удобнее в качестве посредников применять проецирующие плоскости.

На рис. 4.32 дано построение линии пересечения двух треугольников. Решение выполняем в следующей последовательности. Проводим две вспомогательные фронтально-проецирующие плоскости — плоскость Р через сторону АС и плоскость через сторону ВС треугольника АВС. Плоскость Р пересекает треугольник DEF по прямой 1- 2. В пересечении горизонтальных проекций 1-2 и ас находим горизонтальную проекцию точки линии пересечения.

Плоскость пересекает треугольник DEF по прямой 3-4. В пересечении горизонтальных проекций 3-4 и находим горизонтальную проекцию точки N(n) линии пересечения. Фронтальные проекции этих точек, а следовательно, и линии пересечения, находим, проводя линии связи.

Анализ взаимной видимости треугольников на плоскостях проек­ций выполняем с помощью конкурирующих точек.

Для определения видимости на фронтальной плоскости проекций сравниваем фронтально-конкурирующие точки I и 5. Эти точки лежат на скрещивающихся прямых АС и DE. Их фронтальные проекции сов­падают. На горизонтальной проекции видно, что при взгляде по стрелке на плоскость V точка 5 расположена ближе к наблюдателю. Поэтому она закрывает точку 1. Следовательно, участок прямой АС левее точки М будет видимым на фронтальной плоскости проекций.

Для определения видимости на горизонтальной плоскости проек­ций сравниваем горизонтально-конкурирующие точки 6 и 7. Они лежат на скрещивающихся прямых АС и DF. Их горизонтальные проекции совпадают. При взгляде по стрелке на плоскость Н видно, что точка 6 и прямая АС расположены выше точки 7 и прямой DF. Следовательно, участок AM прямой АС на горизонтальной плоскости проекций будет видимым.

Способы преобразования чертежа

Для упрощения решения метрических и позиционных задач при­меняются различные способы преобразования ортогональных проекций. После таких преобразований новые проекции позволяют решать задачу минимальными графическими средствами.

Способ замены плоскостей проекций

Способ замены плоскостей проекций состоит в том, что одна из плоскостей заменяется новой. Эта плоскость выбирается перпендикулярно оставшейся плоскости проекций. Геометрическая фигура при этом не меняет своего положения в пространстве. Новую плоскость располагают так, чтобы по отношению к ней геометрическая фигура за­нимала частное положение, удобное для решения задачи. На новую плоскость проекций фигура проецируется с помощью перпендикулярных лучей.

На рис. 4.33 изображен пространственный чертеж отрезка прямой общего положения АВ и его проекции на плоскостях Н и V. Заменив плоскость V новой вертикальной плоскостью параллельной отрезку АВ, получим новую систему двух взаимно перпендикулярных плоскостей и Н. Относительно этих плоскостей отрезок АВ занимает частное положение — новая ось проекций. Новая проекция отрезка АВ равна его натуральной величине, а угол равен натуральной ве­личине угла наклона отрезка АВ к плоскости Н. При замене фронтальной плоскости (как видно из рис. 4.33) по­стоянными остаются координаты точки, так как расстояние от точек до горизонтальной плоскости проекций Н не изменяется. Следовательно, для построения новой проекции отрезка (рис. 4.34) необходимо:

При замене горизонтальной плоскости проекции Н на новую плоскость координаты точек остаются неизменными, так как расстояние от точки до фронтальной плоскости проекций не изменится. Эти координаты используются при проецировании точки на новую плоскость расположенную перпендикулярно плоскости проекций V. Если для решения задачи необходима замена двух плоскостей проекций, то есть от исходной системы плоскостей проекции необходимо перейти к новой то ото можно сделать по одной из следующих схем:

или

Четыре основные задачи, решаемые способом замены плоско­стей проекций

1. Прямую общего положения преобразовать в прямую, параллельную одной из плоскостей проекций. Такое преобразование позволяет определить натуральную величину отрезка прямой и углы наклона его к плоскостям проекций (рис. 4.35 и 4.36).

При решении задачи новую плоскость, например, (рис. 4.35), ставим в положение, параллельное отрезку. В этом случае новая ось проекций будет проходить параллельно горизонтальной проекции прямой:

Через горизонтальные проекции перпендикулярно новой оси проводим линии связи и на них откладываем z координаты точек (то есть расстояние от оси х до фронтальной проекции точек). Новая проекция будет равна натуральной величине отрезка, а угол равен углу наклона отрезка к плоскости Н.

При замене горизонтальной плоскости проекций на новую располагаем эту плоскость параллельно отрезку АВ. Так мы определим натуральную величину отрезка и угол наклона его к плоскости V — угол (рис. 4.36).

В этом случае ось проекций новой плоскости проводим параллельно фронтальной проекции прямой а координаты у берем с горизонтальной плоскости проекций:

2. Прямую, параллельную одной из плоскостей проекций, преобразовать в проецирующую прямую, то есть поставить в положение, перпендикулярное плоскости проекций, чтобы прямая на эту плоскость спроецировалась в точку (рис. 4.37).

Так как данная прямая параллельна горизонтальной плоскости проекций, то для преобразования ее в проецирующую прямую, необходимо заменить фронтальную плоскость V на новую Располагаем плоскость перпендикулярно АВ . Тогда на плоскость прямая спроецируется в точку

Чтобы прямую общего положения АВ (рис. 4.38) преобразовать в проецирующую, проводят две замены, то есть обе задачи, первую и вторую, решают последовательно. Сначала прямую общего положения преобразуют в прямую, параллельную плоскости проекций (прямую уровня), а затем эту прямую преобразуют в проецирующую.

3. Плоскость общего положения преобразовать в проецирующую (рис. 4.39), то есть в расположенную перпендикулярно к одной из плоскостей проекций.

Заменим, например, плоскость V на новую плоскость Расположим перпендикулярно плоскости Н и плоскости Р. Плоскость будет перпендикулярна плоскости Р если мы ее расположим перпендикулярно какой- нибудь линии плоскости. Для упрощения решения задачи в качестве этой линии возьмем горизонталь (линию, параллельную го­ризонтальной плоскости проекций). Строим в плоскости Р горизонталь C1 и перпендику­лярно ей проводим новую плоскость Ось проводим в любом месте перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали Строим новую фронтальную проекцию плоскости Р. Горизонталь на новую плоскость спроецируется в точку а плоскость — в линию

Для преобразования плоскости Р в горизонтально-проецирующую плоскость, необходимо заменить плоскость Н на новую, расположив ее перпендикулярно плоскости V и фронтали плоскости Р (которую предварительно проводим в этой плоскости).

4. Преобразовать плоскость из плоскости проецирующей в плоскость уровня (плоскость, параллельную одной из плоскостей проекций). При таком преобразовании мы определяем натуральную величину плоской фигуры (рис. 4.40 и 4.41).

На рис. 4.40 изображена фронтально-проецирующая плоскость. Заменим горизонтальную плоскость на новую Расположим ее перпендикулярно плоскости V и параллельно плоскости Р. Новую ось проекций проводим параллельно фронтальной проекции и новые линии связи перпендикулярно Так как заменена горизонтальная плоскость проекций, то координаты остаются неизменными. Перенесем их на новую плоскость. В результате получаем новую горизонтальную проекцию треугольника, равную натуральной величине треугольника АВС.

Задача решается аналогично, если плоскость горизонтально-проецирующая (рис. 4.41). В этом случае заменяется фронталь­ная плоскость V на новую Она проводится перпендикулярно плоскости Н и параллельно плоскости Р. Ось строится параллельно линии . При такой замене координаты z не изменяются. Измеряем их на фронтальной плоскости проекций и откладываем на линиях связи от но­вой оси

Для того чтобы преобразовать плоскость общего положения в плоскость, которая будет параллельна одной из плоскостей проекций, необходимо провести две замены, то есть решить совместно третью и четвертую задачи (рис. 4.42).

Определение расстояния между двумя скрещивающимися прямыми

Пример:

Кратчайшим расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми является длина перпендикуляра, проведенного к той и другой прямой. Решение задачи зависит от расположения прямых относительно плоскостей проекций. Рассмотрим пример, когда одна прямая перпендикулярна плоскости проекций (например, AS — горизонтально- проецирующая прямая); вторая (например, ВС) — прямая общего положения, рис. 4.43.

Прямая AS перпендикулярна плоскости Н, поэтому перпендику­ляр к ней будет параллелен плоскости Н и на эту плоскость спроецируется в натуральную величину. Для построения горизонтальной проекции перпендикуляра — необходимо из точки опустить перпендикуляр на . Отмстив горизонтальную проекцию точки М — точку находим ее фронтальную проекцию — Так как прямая то ее фронтальная проекция будет параллельна оси х. Проводим

Чтобы определить расстояние между прямыми, занимающими общее положение, необходимо произвести последовательную замену плоскостей таким образом, чтобы в новой системе плоскостей проекций одна из прямых занимала проецирующее положение.

Способ вращения

Способ вращения заключается в том, что положение геометрических элементов приводится в удобное для решения задачи относительно плоскостей проекций вращением вокруг оси, которая проводится перпендикулярно какой-нибудь плоскости проекций; положение плоскостей проекций при этом остается неизменным. На эпюре строят новые проекции повернутых геометрических элементов.

На рис. 4.44 показано вращение точки В вокруг оси перпендикулярной плоскости Н. Точку В вращаем вокруг оси (рис. 4.44. а) по окружности, радиус которой является перпендикуляром, опущен­ным из точки В на ось вращения Точка — центр вращения точки В.

Точка В опишет при вращении дугу окружности, которая располагается в плоскости перпендикулярной оси вращения. А так как ось перпендикулярна плоскости Н, плоскость Т будет горизонтальной плоскостью.

Ось вращения — проецирующая прямая, перпендикулярная плоскости Н. траектория поворота точки В проецируется на плоскость Н окружностью, а на плоскость V — отрезком прямой линии. Переместив горизон­тальную проекцию точки В в новое положение то есть повернув ее на заданный угол строим фронтальную проекцию точки с по­мощью линии проекционной связи. Так как вращение происходит в плоскости перпендикулярной плоскости V, фронтальная проекция точки В будет находиться на следе плоскости . плоскость вращения на эпюре обычно не проводят.

Траектория вращения точки проецируется в дугу окружности на плоскость проекций, которой перпендикулярна ось вращения. На плоскость, которой ось вращения параллельна, траектория вращения точки проецируется в отрезок, параллельный оси проекций.

При определении натуральной величины отрезка для упрощения построений ось вращения проводят через конец отрезка. На рис. 4.45, а ось вращения проведена через точку А перпендикулярно плоскости при вращении точка В отрезка АВ описала дугу окружности с центром в точке, которая проецируется на плоскость Н в точку а, в ту же точку проецируется ось Траектория точки В на плоскость Н споецировалась без искажения, а ее фронтальная проекция совпала с осью Ох, так как точка В лежит в плоскости Н. движение точки В остановлено в тот момент, когда горизонтальная проекция ab отрезка АВ стала параллель­ной оси Ох. Отрезок расположился параллельно плоскости V и проецируется на нее в натуральную величину.

На рис. 4.45, б ось вращения проведена перпендикулярно плоскости V через точку С. Ее фронтальная проекция совпала с фронтальной проекцией оси вращения точки D. Фронтальная проекция отрезка CD повернута до положения, параллельного оси Ох. Отрезок стал параллельным плоскости Н и спроецировался на нее в натуральную ве­личину. Траектория точки D при вращении проецируется на плоскость Н отрезком параллельным оси Ох.

На рис. 4.46 показан поворот треугольника АВС (плоскость тре­угольника АВС перпендикулярна плоскости в положение, параллельное плоскости Н. для этого через одну из вершин треугольника (А) проводим ось вращения перпендикулярно плоскости V. Отрезок проекцию треугольника АBC на плоскость V — поворачиваем в положение, параллельное оси Ох. Траектория поворота вершин треугольника спроецировалась на плоскость V в дуги окружностей, а на плоскость Н — в отрезки прямых, параллельных оси Ох. Проведя линии проекционной связи из точек до пересечения с этими отрезками, получаем проекцию треугольника после поворота. Точка А своего положения не изменила, так как она находится на оси вращения. На плоскость Н треугольник спроецировался в натуральную ве­личину, так как его плоскость параллельна плоскости Н.

Способ плоскопараллельного перемещения

Способ вращения без указания осей или способ плоскопараллельного перемещения может быть применен в тех же случаях, что и рассмотренный выше способ вращения. Рассмотрим примеры, приведенные на рис. 4.47. Изобразим на плоскости на свободном месте чертежа фронтальную проекцию прямой CD в новом положении так, что она будет параллельна оси Ох (проекция рис. 4.47, а). В этом случае существует такая ось вращения, поворот вокруг которой приведет прямую CD в положение, параллельное плоскости Н. Ось вращения можно не указывать, так как все построения могут быть проделаны без нее. На горизонтальной плоскости проекций траектории перемещения совпадут с прямыми, параллельными оси Ох. Опустив из точек линии связи до пересечения с этими прямыми, получим проекцию прямой которая в новом положении проецируется на плоскость Н в натуральную величину.

На рис. 4.47, б без указания оси вращения показан поворот треугольника АВС в положение, параллельное плоскости Н. Его фронталь­ная проекция изображена на произвольном месте плоскости V параллельно оси Ох.

Из сказанного следует, что проекции геометрических элементов при вращении не изменяет своей величины на той плоскости проекций, которой перпендикулярна ось вращения. Это происходит потому, что угол наклона прямой или плоскости к плоскости проекций, к которой перпендикулярна ось, не изменяется при перемещении этих геометрических элементов. Взаимное расположение точек при повороте, а значит и форма и величина проекции вращаемого объекта на этой плоскости проекций остаются без изменений. Меняется лишь ее положение.

На этом и основан способ вращения без указания осей. Одну из проекций вычерчиваем в новом положении по отношению к оси проекций Ох, а на другой плоскости проекций проводим прямые, параллель­ные оси Ох, изображающие на плоскости проекций путь перемещения точек. В пересечении линий проекционной связи, проведенных от проекций точек после поворота, и линий, параллельных оси Ох, получаем точки, определяющие положение второй проекции после поворота.

Способ совмещения

Способ совмещения можно рассматривать как частный случай вращения. Он применяется для определения натуральной величины геометрической фигуры, расположенной в плоскости. Эту плоскость вместе с геометрической фигурой, лежащей в этой плоскости, вращают вокруг одного из следов, совмещая с той плоскостью проекций, в которой лежит этот след. В совмещенном положении геометрическая фигура изображается в натуральную величину. Если геометрическая фигура за­дана на эпюре без следов, то следы плоскости нужно построить. Рас­смотрим пример совмещения только для проецирующей плоскости. На­клонный след плоскости проходит через прямую, в которую проецируется геометрическая фигура, а второй след — перпендикулярно оси про­екций.

На рис. 4.48 показано совмещение плоскости с фронтальной плоскостью проекций V вращением ее вокруг фронтального следа . Плоскость Р перпендикулярна плоскости V. Через вершины треугольника АВС проведены в плоскости Р горизонтали и фронтали.

Вершины треугольника лежат в точках пересечения этих линий.

Горизонтальные проекции горизонталей параллельны горизонтальному следу плоскости Р, а горизонтальные проекции фронталей параллельны оси Ох. На фронтальную плоскость проекций горизонтали, которые перпендикулярны плоскости V, проецируются в точки на след На этот же след проецируются и фронтали.

Для построения совмещенного положения плоскости Р с плос­костью V проводим совмещенный горизонтальный след плоскости Р перпендикулярно фронтальному следу через точку схода следов Следы расположены в пространстве перпендикулярно друг другу, и в совмещенном положении прямой угол между ними сохранится. Затем проводим в совмещенной плоскости Р горизонтали и фронтали через точки их пересечения со следами плоскости. Горизонтали пересекают след в точках, совпадающих с проекциями и через эти точки проводим горизонтали параллельно совмещенному следу

Фронтали пересекают горизонтальный след в точках 1, 2, 3. Из этих точек проводим дуги с центром в точке находим точки и через них проводим совмещенные фронтали параллельно следу так как все фронтали плоскости параллельны ее фронтальному следу.

Каждая из проведенных фронтален, пересекаясь с соответствующей горизонталью, дает одну из вершин треугольника. Треугольник АВС в совмещенном положении изображается в натуральную величину.

Что такое плоскость

Плоскостью называется поверхность, обладающая тем свойством, что прямая, проходящая через любые две точки этой поверхности, лежит в ней всеми остальными точками.

Задание плоскости на чертежах осуществляется заданием геометрических элементов, определяющих положение этой плоскости в пространстве.

Как задать плоскость

Различают следующие способы задания плоскости:

• —    задание равнозначными геометрическими элементами;
• —    задание следами этой плоскости;
• —    задание плоскими фигурами.

Рассмотрим подробнее каждый из этих способов.

К первому способу относят задание плоскости изображениями (Рис.4.1):

• а)    трёх точек, не лежащих на одной прямой;
• б)    прямой и точки вне этой прямой;
• в)    двух пересекающихся прямых;
• г)    двух параллельных прямых.

Следом плоскости на данной плоскости координат называется линия пересечения плоскости с указанной плоскостью координат. Задание плоскости следами обеспечивает наглядность изображения и позволяет наиболее просто решать задачи, связанные с построением изображений геометрических элементов, расположенных в этой плоскости.

Плоскостью общего положения называют плоскость, пересекающую все оси координат.

Покажем на чертеже (Рис.4.2, а) изображения осей координат и отметим на них произвольные точки

Соединяя эти точки прямыми линиями, получим изображение плоскости в виде треугольника, называемого треугольником следов. Сторонами этого треугольника являются линии пересечения плоскости общего положения с плоскостями координат — следы плоскости.

Их называют: горизонтальным следом , фронтальным следом профильным следом плоскости

Точки называют точками схода следов. Положение плоскости относительно плоскостей координат определяется отрезками называемыми параметрами плоскости

Три заданных по величине и знаку параметра плоскости определяют положение её в системе координат.

Изображение следов плоскости в прямоугольных проекциях получают, откладывая на соответствующих осях координат (см. Рис.2, б) значения параметров плоскости. Соединяя точки схода следов прямыми линиями, получают изображения следов плоскости. Отметим, что отрезок откладывается дважды — на горизонтальной и вертикальной составляющих оси

Для задания положения плоскости достаточно показать на чертеже два следа этой плоскости, так как при этом задаются все три параметра плоскости.

Рассмотрим пример построения следов плоскости общего положения с одним отрицательным параметром.

Пусть задана плоскость (). Откладывая на изображениях осей координат (Рис.4.3, а) значения параметров (с учётом коэффициентов искажения по осям), получим изображения точек схода следов

Соединив попарно эти точки прямыми линиями, получим изображения следов  При этом, как правило, показывают сплошными линиями только те части следов, которые располагаются на плоскостях координат, ограничивающих первый октант.

Для построения прямоугольных проекций следов плоскости нанесём на чертёж (см. Рис.4.3, б) оси координат. Откладывая заданные значения параметров, отмечаем точки схода следов Соединяя эти точки попарно прямыми линиями, получаем изображения следов.

Любую плоскую фигуру можно представить как часть плоскости, ограниченную ломаной или кривой линиями. Следовательно, задавая положения плоской фигуры в пространстве, тем самым мы задаём положение плоскости, частью которой является эта фигура. Положение плоской фигуры в пространстве определяется двумя её проекциями на плоскости координат. Так, чтобы построить проекции плоского многоугольника, достаточно построить проекции его вершин.

Треугольник, параллелограмм и трапеция, расположенные в плоскости общего положения, проецируются на плоскости координат соответственно в виде треугольника, параллелограмма и трапеции.

Это обусловлено тем, что три вершины треугольника как три любые точки, не лежащие на одной прямой, всегда лежат в одной плоскости. Покажем на чертеже (Рис.4.4, а) произвольную горизонтальную проекцию параллелограмма

Фронтальную его проекцию найдём, построив вертикальные проекции вершин и выдерживая лишь проекционные связи между точками и параллель-ность между проекциями соответствующих сторон  Построение проекций трапеции (Рис.4.4, б) аналогично построению проекций параллелограмма. При этом должна быть выдержана лишь параллельность двух её сторон, например:

Прямая и точка в плоскости

Известно, что прямая лежит в плоскости, если две точки прямой лежат в этой плоскости. Чтобы построить прямую, лежащую в заданной плоскости, достаточно соединить прямой линией две точки, заведомо лежащие в плоскости. Такими точками могут быть и точки, расположенные на следах плоскости.

Пусть дана плоскость общего положения (Рис.4.5, а). Требуется построить прямую, лежащую в этой плоскости. Отметим на изображениях следов две произвольные точки, соответственно, и Соединяя прямой точки и , получим изображение отрезка, лежащего в плоскости . Точки и  принадлежат следам расположены, соответственно, в плоскостях координат и  Следовательно, для построенной прямой точки и   являются следами.

Из изложенного следует, что прямая лежит в плоскости, если её следы лежат на соответствующих следах плоскости.

Построим горизонтальную и фронтальную проекции прямой (Рис.4.5, а). При этом горизонтальная проекция горизонтального следа и фронтальная проекция  фронтального следа совпадут с изображениями точек и  Фронтальную проекцию горизонтального следа и горизонтальную проекцию фронтального следа получим, построив изображение перпендикуляров, опущенных из точек и на ось   и  Соединяя прямыми линиями соответствующие проекции следов, найдём изображения проекций прямой .

Чтобы построить прямоугольные проекции прямой общего положения, лежащей в плоскости, заданной следами (см. Рис.4.5, б), отмечают на следах плоскости две точки, например и  Принимая эти точки, соответственно, за горизонтальную проекцию горизонтального следа и фронтальную проекцию фронтального следа искомой прямой, строят проекции и , опуская перпендикуляры из точек и  на ось  Соединяя соответствующие проекции следов прямыми линиями, получают проекции прямой, лежащей в плоскости

Чтобы построить точку, лежащую в плоскости, нужно провести вспомогательную прямую, лежащую в плоскости, и на не взять точку. Например, точка  взятая на прямой (Рис.4.5, б), лежит в плоскости

Рассмотрим частные случаи положения прямой в плоскости общего положения. К таким случаям относят прямые, лежащие в данной плоскости и параллельные какой — либо плоскости координат (линии уровня). Прямая, лежащая в плоскости и параллельная плоскости называется горизонталью плоскости. Горизонталь параллельна горизонтальному следу плоскости.

Построим проекции горизонтали плоскости общего положения (Рис.4.6, а, б).

Для этого на следе плоскости возьмём любую точку (см. Рис.4.6, а) и из неё проведём прямую, параллельную изображению следа  Для построения вторичных проекций горизонтали отметим на чертеже изображения проекций и фронтального следа этой горизонтали. Изображение фронтальной проекции горизонтали найдём, проведя через точку прямую, параллельную оси Изображением горизонтальной проекции горизонтали будет прямая, проведённая через точку параллельно изображению самой прямой и, следовательно, параллельно следу h’0tt- Возьмём на построенной горизонтали точку 1 и построим изображение её проекций. Для данного случая

Для построения прямоугольных проекций горизонтали (Рис.4.6, б) достаточно взять на следе произвольную точку (фронтальная проекция фронтального следа горизонтали) и построить горизонтальную проекцию этой точки. Фронтальную проекцию горизонтали получим, проведя через точку прямую, параллельную оси Горизонтальной проекцией горизонтали будет прямая, проведённая через точку параллельно следу . Отметим проекции точки 1, лежащей на горизонтали. При этом   и  

Прямая, лежащая в плоскости произвольного положения и параллельная плоскости называется фронталью плоскости.

Построим косоугольные проекции осей координат и плоскости заданной следами (см. Рис.4.7,а). Возьмём произвольную точку на следе и проведём через неё прямую, параллельную  Это и будет изображением фронтали. Построение вторичных проекций фронтали и точки на ней (например, точки 2) аналогично построению, показанному в предыдущем примере. При этом  Для построения прямоугольных проекций фронтали (см. Рис.4.7, б) достаточно на следе взять произвольную точку (горизонтальная проекция горизонтального следа фронтали) и построить её фронтальную проекцию

Горизонтальную проекцию фронтали получим, проведя через точку прямую, параллельную оси  Фронтальной проекцией фронтали будет прямая, проведённая через точку параллельно следу  Отметим проекции точки 2, лежащей на фронтали

Прямая, лежащая в плоскости и параллельная плоскости   называется профильной. Рассматривать её построение не будем, так как оно аналогично построению горизонтали и фронтали.

Частные случаи положения плоскости

К частным случаям положения плоскости относят плоскости:

• —    перпендикулярные одной из плоскостей координат;
• —    параллельные одной из плоскостей координат;
• —    проходящие через ось координат;
• —    проходящие через начало координат.

Рассмотрим более подробно построение изображений плоскостей, перпендикулярных какой — либо плоскости координат. Такие плоскости называют проецирующими плоскостями.

Возможны три типа плоскостей, перпендикулярных к плоскостям координат, а именно:

1. плоскости, перпендикулярные к плоскости 
2. плоскости, перпендикулярные к плоскости
3. плоскости, перпендикулярные к плоскости

Плоскость, перпендикулярная к плоскости , параллельна оси Параметр Z такой плоскости равен бесконечности.

Построим косоугольную проекцию такой плоскости (см. Рис.4.8, а).

Откладывая на осях координат параметры  и находим точки схода следов и  соединяя которые прямой линией, получим изображение горизонтального следа  Так как точка схода удалена в бесконечность, то изображения фронтального и профильного следов получим, проводя из точек и прямые, параллельные оси  

Следы   и  , как параллельные оси , соответственно перпендикулярны к осям

Возьмём в плоскости а произвольную точку и построим её вторичные проекции. Горизонтальную проекцию найдём на следе Изображения фронтальной и профильной проекций получим, построив параллелепипед координат точки.

Заметим важное обстоятельство: горизонтальная проекция точки или любого геометрического элемента, расположенного в плоскости , перпендикулярной к плоскости  совпадает со следом  

Плоскость, перпендикулярная к плоскости называется горизонтально — проецирующей плоскостью. Построим прямоугольные проекции плоскости, перпендикулярной к плоскости  Для этого на осях координат отметим точки и (см. Рис.4.8, б). След   получим, соединяя прямой линией точку с точкой , отмеченной на вертикальной оси   Следы и найдём, проводя прямые, параллельные оси из точек и  отмеченной на горизонтальной оси   Построим прямоугольные проекции точки  лежащей в горизонтально-проецирующей плоскости. Её горизонтальной проекцией будет произвольная точка на следе  Проекции   и   найдём, задаваясь значением координаты  точки.

Рассмотрим построение проекций плоскости, перпендикулярной к плоскости  Откладывая на изображениях осей координат параметры X и Z (см. Рис.4.9, а), находим точки и   соединяя которые прямыми линиями, получаем изображение следа Изображения следов и найдем, проводя из точек схода следов и прямые, параллельные оси

В прямоугольных проекциях (см. Рис.4.9, б) след — прямая, проведённая из точки ха параллельно вертикальной оси  а след -прямая, проведённая из точки za параллельно горизонтальной оси

Изображение фронтальной проекции точки (см. Рис.4.8, а, б) совпадает со следом  а изображения проекций и могут быть построены по заданной координате у  этой точки.

Плоскость, перпендикулярная к плоскости , называется фронтально — проецирующей плоскостью.

Построим изображение следов плоскости, перпендикулярной к плоскости (см. Рис.4.10, а, б). Такая плоскость параллельна оси Откладывая на осях координат параметры Y и Z, отметим точки схода следов и .

Изображение следа найдём, соединяя прямой линией точку с точкой (в прямоугольных проекциях на Рис.4.10, б — через точку на горизонтальной оси ). Отметим, что при прямоугольном проецировании  Если взять точку в плоскости , то изображение её профильной проекции будет находиться на следе .

Изображения проекций и могут быть построены по заданной координате X этой точки.

Плоскость, перпендикулярная к плоскости , называется профильно-проецирующей плоскостью.

Взаимное положение прямой и плоскости

Возможны следующие случаи взаимного положения прямой и плоскости:

• —    прямая лежит в плоскости;
• —    прямая параллельна плоскости;
• —    прямая перпендикулярна к плоскости;
• —    прямая пересекает плоскость.

Первый случай взаимного положения прямой и плоскости был ранее рассмотрен. Отметим лишь, что прямая лежит в плоскости, если её следы лежат на соответствующих следах плоскости.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой — либо прямой, лежащей в плоскости. Задача о проведении прямой, параллельной заданной плоскости, через данную точку — неопределённа, так как в плоскости может быть проведено бесчисленное множество прямых и такое же количество параллельных им прямых может быть проведено через данную точку. Для определённости решения должно быть задано дополнительное условие ( направление прямой или одна из её проекций).

Пример 1. Даны проекции и   точки и горизонтальная проекция  прямой параллельной заданной плоскости Построить фронтальную проекцию этой прямой (см. Рис.4.11).

Построение осуществляем в такой последовательности. В заданной плоскости строим проекции вспомогательной прямой, параллельной искомой. Для этого проведём и построим фронтальную проекцию этой прямой. Затем проводим недостающую проекцию искомой прямой параллельно соответствующей проекции вспомогательной прямой, т.е. через точку проводим прямую

Пример 2. Через точку заданную проекциями и  провести прямую, параллельную горизонтали плоскости, заданной треугольником (см. Рис.4.12). В этом случае в качестве дополнительного условия задано направление прямой. Проведём в плоскости треугольника произвольную горизонталь . Искомые проекции прямой, проходящей через точку и параллельной горизонтали , получим, проведя через точки и прямые, параллельные соответствующим проекциям горизонтали. Точка взята произвольно.

Прямая перпендикулярна к плоскости, если её прямоугольные проекции перпендикулярны к соответствующим следам этой плоскости.

Для доказательства данного утверждения изобразим плоскости координат и произвольную плоскость (см. Рис.4.13).

Пусть прямая перпендикулярна к плоскости  и пересекает её в точке Известно, что эта прямая должна быть перпендикулярна и к любой прямой, проведённой в плоскости через точку

Проведём через точку горизонталь плоскости  Тогда (в натуре) <АВС=90° Построим горизонтальные проекции горизонтали и прямой  Если то  так как плоскости, ограниченные четырёхугольниками  перпендикулярны плоскости и взаимно перпендикулярны. Отсюда следовательно горизонтальная проекция перпендикулярна к горизонтальному следу плоскости.

Аналогичным построением можно показать, что фронтальные и профильные проекции прямой перпендикулярны к соответствующим следам плоскости.

Пример 3. Из произвольной точки на плоскости, заданной следами, построить перпендикуляр к ней.

Пусть даны плоскость и точка  лежащая в плоскости лежат на проекциях горизонтали этой плоскости (см. Рис.4.14). Проекции перпендикуляра, восстановленного из точки к плоскости а, изображаются в виде прямых, проведённых из точек и и перпендикулярно к соответствующим следам плоскости и   Точка взята произвольно.

Пример 4. Из точки А восстановить перпендикуляр к плоскости, заданной треугольником (Рис.4.15).

В данном случае нет необходимости строить следы плоскости, так как известно, что они параллельны соответствующим проекциям горизонтали и фронтали плоскости. Поэтому строим проекции горизонтали AF и фронтали АЕ. Проекции перпендикуляра, восстановленного из точки А к плоскости треугольника, получим, проведя а  

Точка взята на перпендикуляре произвольно.

Случай пересечения прямой с плоскостью будет разобран после изложения следующего параграфа.

Взаимное положение плоскостей

Плоскости могут быть параллельны, взаимно перпендикулярны и могут пересекаться.

Известно, что две параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым. Следы двух параллельных плоскостей — это линии их пересечения с плоскостями координат. Следовательно, соответствующие следы двух параллельных плоскостей — параллельны.

Пример 1. Через точку, заданную проекциями и  провести плоскость, параллельную плоскости, заданной следами (см. Рис.4.16). Направление следов искомой плоскости известно (они параллельны следам  Следовательно, для решения задачи достаточно найти точку, принадлежащую одному из следов, т.е. найти след любой прямой, лежащей в искомой плоскости и проходящей через точку А. Такой прямой может быть, например, горизонталь. Строим проекции горизонтали  и Проводим через точку фронтальный след искомой плоскости Горизонтальный след  получим, проведя прямую через точку схода следов параллельно следу

Пример 2.Через точку провести плоскость а параллельную плоскости треугольника BCD (Рис.4.17).

Направления следов искомой плоскости определим, проводя в плоскости треугольника горизонталь и фронталь, например BE и ВК. Далее строим проекции горизонтали плоскости , проходящей через точку и   Фронтальный след искомой плоскости получим, проведя через точку  прямую, параллельную  Горизонтальный след  проходит через точку схода следов и параллелен горизонтальной проекции горизонтали.

Отметим, что искомая плоскость может быть изображена двумя пересекающимися прямыми, параллельными сторонами заданного треугольника и проведёнными через точку А.

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Задача о проведении плоскости, перпендикуляр ной к заданной, через данную точку неопределённа, так как через перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, можно провести бесчисленное множество плоскостей. В качестве дополнительного условия может быть задана, например, прямая, через которую следует провести плоскость, перпендикулярную заданной.

Пример 3.Через прямую провести плоскость (Рис.4.18), перпендикулярную к плоскости

Искомая плоскость должна проходить через перпендикуляр к плоскости Построим проекции перпендикуляра, опущенного из произвольной точки заданной прямой (например, точки В) на плоскость  ). Плоскость, определяемая двумя пересекающимися прямыми АВ и ВС, будет искомой. Для построения следов искомой плоскости необходимо найти проекции следов прямых АВ и ВС. Следы и получим, проводя прямые через одноимённые проекции горизонтальных и фронтальных следов указанных прямых.

Пример 4.Через точку  провести горизонтально проецирующую плоскость перпендикулярную к плоскости (Рис.4.19).

В данном случае дополнительным условием является задание типа плоскости. Искомая плоскость должна проходить через перпендикуляр, опущенный из точки А на плоскость . Горизонтальная проекция этого перпендикуляра должна совпадать с горизонтальным следом искомой плоскости и быть перпендикулярной к следу  Поэтому след искомой плоскости получим, проведя через горизонтальную проекцию прямую, перпендикулярную к следу  След   — прямая, перпендикулярная к оси ох, проведённая из точки схода следов

Необходимо указать, что в общем случае соответствующие следы взаимно перпендикулярных плоскостей не перпендикулярны друг к другу.

Две плоскости пересекаются по прямой линии. Линия пересечения двух плоскостей проходит через точки пересечения одноимённых следов этих плоскостей.

Рассмотрим построение проекций линии пересечения двух плоскостей и (Рис.4.20, а, б), заданных следами.

Изображения одноимённых следов этих плоскостей пересекаются в точках М и N (Рис.4.20, а). Прямая MN — линия пересечения плоскостей  и .

Изображения проекций линии пересечения плоскостей получим, соединяя прямыми линиями изображения соответствующих проекций её следов.

Построим прямоугольные проекции (Рис.4.20, б) следов искомой линии пересечения плоскостей и . Проекции и этих следов совпадают с точками пересечения соответствующих следов плоскостей и . Проекции и найдём на оси ох. Проекции искомой линии пересечения получим, соединяя прямыми линиями соответствующие проекции её следов.

Рассмотрим построение проекций линий пересечения двух плоскостей, у которых два одноимённых следа взаимно параллельны.

Пусть даны две пересекающиеся плоскости и (Рис.4.21), у которых горизонтальные следы параллельны  Проекции фронтального следа искомой линии пересечения отыскиваются просто:  в точке пересечения — на оси ох. Так как следы и не пересекаются, то, следовательно, горизонтального следа искомая прямая не имеет. Такой линией может быть лишь общая для обеих плоскостей  и горизонталь. Проекции ее получим, проведя из точки прямую, параллельную оси а из точки прямую, (Рис.4.20, а,) параллельную следам и  Отметим, что если у пересекающихся плоскостей параллельны фронтальные следы, то линией их пересечения будет общая фронталь. Кроме того, общей горизонталью или фронталью двух пересекающихся плоскостей будет также линия пересечения таких плоскостей, одна из которых параллельна плоскости или (Рис.4.22).

Рассмотрим случай построения проекций линии пересечения плоскостей горизонтальные следы которых пересекаются вне пределов чертежа (Рис.4.23). Одной из точек, принадлежащих линии пересечения этих плоскостей, будет точка пересечения их фронтальных следов. Отметим проекции этой точки. Проекции второй точки искомой линии пересечения найдём с помощью вспомогательной плоскости , параллельной плоскости  Любая линия, лежащая в плоскости , параллельна плоскости Следовательно, линиями пересечения плоскостей и с плоскостью будут фронтали плоскостей и Горизонтальные проекции этих фронталей совпадут со следом  Фронтальные их проекции найдём, отметив проекции точек   и пересечения следов и со следом и проведя через точки прямые, соответственно параллельные следам и  Точка пересечения построенных фронталей является общей для плоскостей , и , т.е. искомой второй точкой линии пересечения плоскостей и . Проведя прямые линии через соответствующие проекции точек N и К, получим проекции искомой линии пересечения плоскостей и .

Характерными являются случаи пересечения двух проецирующих плоскостей. Например, линия пересечения двух горизонтально проецирующих плоскостей и ( Рис.4.24) как линия пересечения двух плоскостей с плоскостью, им перпендикулярной, перпендикулярна к плоскости  Горизонтальная её проекция — точка, совпадающая с пересечением следов  а фронтальная проекция — перпендикуляр к оси ох, восстановленный из точки (точка взята произвольно).

В случае, когда у двух плоскостей и имеется общая точка схода следов (Рис.4.25), линия пересечения этих плоскостей также находится с помощью вспомогательной плоскости. Одна общая точка этих плоскостей очевидна . Возьмём вспомогательную горизонтальную плоскость . Плоскости и пересекаются по горизонтали плоскости и — по горизонтали (см. Рис.4.22). Фронтальные проекции этих горизонталей совпадают со следом горизонтальные проекции пересекаются в точке Точка — общая для всех трёх плоскостей , и , т. е. это вторая общая точка для плоскостей , . Соединяя точку с точкой  получим проекции линии пересечения.

Если пересекаются две профильно — проецирующие плоскости и (Рис.4.26, а, б), то очевидно, что линия их пересечения — прямая, параллельная оси ох.

Найти её можно двумя способами, либо по общим правилам (см. Рис.4.20), применив для нахождения общей точки , через которую пройдёт линия пересечения вспомогательную плоскость общего положения (Рис.4.26, б), либо построить произвольную ось zoy и найти профильные следы плоскостей и . Точка пересечения этих следов есть профильная проекция линии пересечения (Рис.4.26, а).

Если одна из профильно — проецирующих плоскостей проходит через ось  угол наклона плоскости к плоскостям координат задается произвольной точкой лежащей в этой плоскости), а вторая — горизонтальная (или вертикальная), проходящая через точку К, то очевидно (см. Рис.4.27, а, б), что линия пересечения 1-2 пройдёт через точку К, а её проекции — через соответствующие проекции точки через через

Рассмотренный случай находит применение, когда находится линия пересечения плоскости общего положения с профильно-проецирующей плоскостью проходящей через ось ох (Рис.4.28).

Проводим вспомогательную горизонтальную плоскость (произвольно)  Ищем линию пересечения плоскостей и (см. Рис.4.27). Находим линию пересечения плоскостей (см. Рис.4.22).

Фронтальные проекции этих линий совпадают с фронтальным следом плоскости  а горизонтальные проекции пересекаются в точке  Эта точка — общая для трёх плоскостей и и, следовательно, вторая искомая точка линии пересечения плоскостей и (первая точка — точка схода следов ). Соединяя точку с точками и получаем проекции линии пересечения

Пересечение прямой линии с плоскостью

Точку пересечения (встречи) прямой линии с плоскостью определяют тремя последовательными построениями:

1. через прямую проводят вспомогательную плоскость (как правило, проецирующую);
2. строят линию пересечения заданной и вспомогательной плоскостей;
3. отмечают точку пересечения построенной линии заданной прямой, которая и является искомой точкой встречи.

Рассмотрим примеры построения точек пересечения прямых с плоскостями.

Пусть даны косоугольные проекции (Рис.4.29, а) плоскости и пересекающей её прямой  Требуется найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью .

Проведём через прямую АВ горизонтально — проецирующую плоскость . Изображение её горизонтального следа совпадает с изображением горизонтальной проекции прямой АВ. Изображение фронтального следа — прямая, проведённая из точки перпендикулярно к оси ох. Построим линию пересечения плоскостей и . Проекции N и М следов этой линии совпадут с изображением точек пересечения одноимённых следов и . Соединяя точки N и М, получим линию пересечения плоскостей и . Изображение искомой точки К пересечения прямой АВ с плоскостью а найдём, отметив точку пересечения прямой АВ и линии пересечения NM плоскостей и .

В прямоугольных проекциях построение точки пересечения прямой с плоскостью осуществляется в аналогичной последовательности.

Пусть даны (см. Рис.4.29, б) плоскость и пересекающая её прямая  Проведём через прямую АВ горизонтально — проецирующую плоскость Её горизонтальный след   совпадает с горизонтальной проекцией прямой АВ. Фронтальный след получим, проведя из точки схода следов прямую, перпендикулярную к оси ох. Построим проекции линии пересечения заданной и вспомогательной плоскостей. Горизонтальная проекция горизонтального следа этой прямой, а также фронтальная проекция её фронтального следа совпадут с точками пересечения соответствующих следов плоскостей и . Проекции и   найдём на оси ох. Соединяя одноимённые проекции следов прямыми линиями, получаем проекции пересечения плоскостей и . Фронтальную проекцию   искомой точки пересечения прямой АВ с плоскостью а найдём, отметив точку пересечения фронтальных проекций заданной прямой и построенной линии пересечения. Её горизонтальную проекцию получим на горизонтальной проекции прямой АВ.

Рассмотрим случай пересечения прямой, перпендикулярной к плоскости координат, с плоскостью общего положения.

Пусть дана плоскость общего положения и пересекающая её прямая  перпендикулярная к плоскости (Рис.4.30, а, б).

Проведём через прямую АВ вспомогательную горизонтально — проецирующую плоскость. Любая прямая, проведённая через точку, в которую проецируется на плоскость Н заданная прямая, может быть принята за горизонтальный след такой плоскости. С целью упрощения построений этот след проводят так, чтобы вспомогательная плоскость пересекалась бы с заданной по общей горизонтали или фронтали.

Проведём через точку из точки схода следов (см. Рис.4.30, а). Линия пересечения плоскостей и будет общей горизонталью обеих плоскостей. Фронтальную проекцию искомой точки пересечения прямой АВ с плоскостью найдём, отметив точку пересечения фронтальных проекций заданной прямой и построенной горизонтали. Горизонтальная проекция совпадает с точкой  в которую проецируется на плоскость прямая АВ.

Если провести (см. Рис.4.30, б), то вспомогательная плоскость будет параллельна плоскости  При этом линия пересечения плоскостей и будет общей фронталью обеих плоскостей. Проекции искомой точки пересечения прямой АВ с плоскостью а найдём, отметив точки пересечения соответствующих проекций заданной прямой и построенной фронтали.

Рассмотрим постороение точки встречи прямой общего положения с плоскостью, заданной плоской фигурой, например треугольником (Рис.4.31).

Проведём через прямую АВ вспомогательную фронтально — проецирующую плоскость . Её фронтальный след совпадает с фронтальной проекцией прямой АВ. Построим проекции линии пересечения заданной и вспомогательной плоскостей. Фронтальная проекция этой линии совпадает со следом . Фронтальные проекции двух точек, принадлежащих линии пересечения указанных плоскостей, найдем, отметив пересечения следа с фронтальными проекциями сторон треугольника. Горизонтальную проекцию линии пересечения плоскостей получим, соединяя прямой линией горизонтальные проекции и этих точек.

Горизонтальную проекцию искомой точки встречи прямой АВ с плоскостью треугольника CDE найдём, отметив точку пересечения горизонтальных проекций заданной прямой и построенной линии пересечения плоскостей. Фронтальную её проекцию найдём на фронтальной проекции прямой АВ.

Определим видимость проекций с помощью конкурирующих точек.

Если считать, что плоскость CDE непрозрачна, то отрезки прямой, перекрытые треугольником, будут невидимыми и должны быть показаны на чертеже штриховыми линиями. Очевидно, что видимость отрезков прямой изменяется в точке пересечения прямой с плоскостью. Начнём с определения видимости отрезков на плоскости  Отметим на чертеже две точки, принадлежащие прямой АВ и плоскости треугольника CDE и являющиеся конкурирующими по отношению к плоскости Н. Такими точками могут быть точки 3 и 4, горизонтальные проекции которых и находятся в пересечении   а фронтальные проекции 3 и 4 -на соответствующих проекциях  Луч, проецирующий обе точки на плоскость встретит раньше точку 3, принадлежащую прямой АВ. Следовательно, видимой будет горизонтальная проекция отрезка прямой. Часть проекции перекрытая проекцией треугольника, невидима и показана на чертеже штриховой линией.

Видимость фронтальных проекций и  может быть определена, например, с помощью точек 1 и 5, конкурирующих по отношению к плоскости В этом случае видима точка 1, принадлежащая стороне DE треугольника, так как горизонтальный луч, проецирующий точки 1 и 5 на плоскость встретит раньше точку 1. Следовательно, фронтальная проекция треугольника перекрывает часть проекции отрезка КВ. Проекция отрезка АК видима и изобразится на чертеже сплошной линией.

Задание плоскости

Плоскость на комплексном чертеже можно задать:

• тремя точками, не лежащими на одной прямой (рис. 5.1, а);
• прямой и не принадлежащей ей точкой (рис. 5.1, б);
• двумя пересекающимися прямыми (рис. 5.1, в);
• двумя параллельными прямыми (рис. 5.1, г);
• любой плоской фигурой (рис. 5.1, д);
• следами (рис.5.2)

Часто применяется способ задания плоскости с помощью прямых линий (взаимно пересекающихся или параллельных), по которым данная плоскость пересекается с плоскостями проекций . Это задание плоскости следами сохраняет наглядность изображения (рис. 5.2).

Следы плоскости

Линия пересечения какой-либо плоскости с плоскостью проекций () называется следом плоскости. Следу присваивается наименование той плоскости проекций, которой он принадлежит. Например, горизонтальный след получен при пересечении заданной плоскости с плоскостью и обозначается фронтальный — с плоскостью (), профильный — с плоскостью . Два следа одной и той же плоскости пересекаются на оси проекции в точке, называемой точкой схода следов.

Каждый из следов плоскости совпадает со своей одноименной проекцией, остальные проекции оказываются лежащими на осях координат. Например, горизонтальный след плоскости Р (рис. 5.2) совпадает со своей горизонтальной проекцией , фронтальная его проекция находится на оси x, а профильная на оси у. По расположению следов плоскости можно судить о положении данной плоскости в пространстве.

Положение плоскости относительно плоскостей проекций

Любая произвольно взятая в пространстве плоскость может занимать общее или частное положение. Плоскостью общего положения называется плоскость, которая не перпендикулярна и не параллельна ни к одной из плоскостей проекций (см. рис. 5.2). Все остальные плоскости относятся к плоскостям частного положения и подразделяются на проецирующие плоскости и плоскости уровня.  

Проецирующей называется плоскость, перпендикулярная к одной из плоскостей проекций. Например, горизонтально-проецирующая плоскость перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекции  (рис. 5.3).

Горизонтальные проекции всех геометрических объектов (точек, прямых, фигур), лежащих в этой плоскости, совпадают с горизонтальным следом . Угол β, который образуется между плоскостями Σ и , проецируется на без искажения. Фронтальный след перпендикулярен к оси x. Фронтально-проецирующая плоскость перпендикулярна к фронтальной плоскости  (рис. 5.4).

Фронтальные проекции всех геометрических объектов (точек, прямых, фигур), лежащих в этой плоскости, совпадают с фронтальным следом плоскости . Угол α, который образуется между заданной плоскостьюи , проецируется на  без искажения. Горизонтальный след плоскости перпендикулярен к оси x.

Профильно — проецирующая плоскость Т ( ) перпендикулярна к профильной плоскости проекции (рис. 5.5).

Профильные проекции всех геометрических объектов лежащих в этой плоскости, совпадают с профильным следом плоскости .Углы α и β, которые образуются между заданной плоскостью и плоскостями проекций и (угол α = углу наклона плоскости T к плоскости проекции ; угол β = углу наклона плоскости Т к плоскости проекций ), плоскость Т проецируются на плоскость без искажений. Горизонтальный и фронтальный следы плоскости параллельны оси х.

Профильно-проецирующая плоскость может проходить через ось x (рис. 5.6). Следы такой плоскости совпадают друг с другом и с осью x, поэтому не определяют положение плоскости в системе двух плоскостей проекций. Необходимо кроме следов задать в плоскости точку (рис. 5.6). В частном случае эта плоскость может быть биссекторной плоскостью, если угол α = β, а точка А равноудалена от плоскостей проекций и .

 

Плоскостью уровня называется плоскость, перпендикулярная одновременно к двум плоскостям проекций и параллельная третьей. Таких плоскостей может быть три разновидности (рис. 5.7):

Из определения плоскостей уровня следует, что одна из проекций точки, линии, фигуры, принадлежащих этим плоскостям, будет совпадать с одноименным следом плоскости уровня, а другая проекция будет натуральной величиной этих геометрических образов

Признаки принадлежности точки и прямой плоскости. Главные линии плоскости

Для определения принадлежности точки и прямой плоскости, следует руководствоваться следующими положениями:

• точка принадлежит плоскости, если через нее можно провести линию, лежащую в плоскости;
• прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие этой плоскости;
• прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку данной плоскости и параллельна прямой, принадлежащей этой плоскости.

Через одну точку на плоскости можно провести бесконечное множество прямых.

Это могут быть произвольные линии и линии, занимающие особое положение по отношению к плоскостям проекций .

Прямая, принадлежащая рассматриваемой плоскости, проведенная параллельно горизонтальной плоскости проекций, называется горизонталью плоскости.

Прямая, принадлежащая рассматриваемой плоскости, проведенная параллельно фронтальной плоскости проекций, называется фронталью плоскости.

Горизонталь и фронталь являются линиями уровня плоскости. Горизонталь плоскости следует начинать строить с фронтальной проекции, т.к. она параллельна оси x, горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости. Все горизонтали плоскости параллельны между собой, можно считать горизонтальный след плоскости нулевой горизонталью (рис. 5.8).

Фронталь плоскости следует начинать строить с горизонтальной проекции, т.к. она параллельна оси x, фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу. Фронтальный след плоскости — нулевая фронталь. Все фронтали плоскости параллельны между — собой (рис. 5.9).

К линии уровня относится и профильная прямая, лежащая в заданной плоскости и параллельная .

К линиям уровня плоскости относятся и профильные прямые, лежащая в заданной плоскости и параллельные .

К главным линиям плоскости, кроме линии уровня, относятся линии наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций.

Определение угла наклона плоскости к плоскостям проекций

Плоскость общего положения наклонена к плоскостям проекций. Для определения величины угла наклона заданной плоскости к какой- либо плоскости проекции используются линии наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций: к — линия ската, к плоскости проекций — линия наибольшего наклона плоскости к плоскости .

Линии наибольшего наклона плоскости — это прямые, образующие с плоскостью проекций наибольший угол, проводятся в плоскости перпендикулярно к соответствующим линиям уровня. Линии наибольшего наклона и ее соответствующая проекция образуют линейный угол, которым измеряется величина двухгранного угла, между данной плоскостью и плоскостью проекций (рис. 5.10).

Взаимное положение двух плоскостей

Две плоскости в пространстве по отношению друг к другу могут занимать два положения:

• плоскости пересекаются, при этом линия их пересечения всегда прямая;
• плоскости параллельны друг другу.

Условия пересечения плоскостей

Две произвольные плоскости в пространстве всегда пересекаются по прямой линии. Как известно, две точки вполне определяют положение прямой в пространстве. Следовательно, задача по построению линии пересечения плоскостей сводится к определению положения двух принадлежащих обеим плоскостям точек.

Условия параллельности плоскостей

Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости:

• если плоскости заданы пересекающимися прямыми, то они будут параллельны в случае, когда одноименные проекции прямых, лежащих в разных плоскостях, будут параллельны;
• если плоскости заданы линиями уровня (фронталями и горизонталями), то они будут параллельны в случае, когда одноименные проекции линий уровня параллельны между собой;
• если плоскости заданы следами, то они параллельны тогда, когда параллельны их одноименные следы;
• если плоскости заданы любым другим способом, то в них необходимо построить пересекающиеся прямые (общего положения, уровня или следы) и сравнить одноименные их проекции. У параллельных плоскостей одноименные проекции пересекающихся прямых взаимно параллельны.

Взаимное положение прямой линии и плоскости

Прямая линия и плоскость в пространстве относительно друг друга могут занимать следующие положения:

• прямая параллельна плоскости (частный случай — прямая лежит в плоскости);
• прямая пересекается с плоскостью (частный случай — прямая перпендикулярна к плоскости).

Иногда на чертеже нельзя непосредственно установить взаимное положение прямой линии и плоскости (рис. 7.1).

В этом случае прибегают к некоторым вспомогательным построениям, в результате которых от вопроса о взаимном положении прямой линии и плоскости переходят к вопросу о взаимном положении двух прямых. В задачах такого типа используют метод введения вспомогательной плоскости.

Заключается он в следующем:

• — через данную прямую m проводят вспомогательную плоскость . Подбор вспомогательной плоскости производится с учетом построений в ходе решения задачи, чтобы решение задачи было наиболее простым;

Строят линию пересечения плоскостей — заданной  и вспомогательной ; устанавливают взаимное положение прямой m и линии пересечения плоскостей n.

При этом возможны следующие случаи:

• прямая m параллельна прямой n, следовательно, прямая m параллельна плоскости Σ;
• прямая m пересекает прямую n, следовательно, прямая m пересекает плоскость Σ.

Пересечение прямой линии и плоскости

Если одна из пересекающихся фигур занимает частное положение, то точка пересечения находится значительно проще.  

Задание: найти точку пересечения отрезка прямой АВ с проецирующей плоскостью Р (рис. 7.2).

 

Решение: проанализировав чертеж, легко заметить, что плоскость Р занимает проецирующее положение (плоскость Р перпендикулярна к плоскости.)

В первую очередь определяем фронтальную проекцию С 2 точки пересечения отрезка прямой АВ с плоскостью Р. Горизонтальная проекция искомой точки находится с помощью линии связи на горизонтальной проекции отрезка прямой АВ. На плоскость  плоскость Р проецируется в линию, совпадающую с фронтальным следом , следовательно прямая видима по обе стороны от следа .

При определении видимости горизонтальной проекции прямой необходимо установить, какой участок прямой находится над плоскостью Р, т.е. будет видимым на горизонтальной проекции. Таким участком является часть проекции отрезка, расположенная левее проекции .  

Задание: найти точку пересечения проецирующей прямой m с плоскостью (АВС) (рис. 7.3).

 

Решение: из чертежа видно, что плоскость, заданная треугольником ABC, занимает общее положение относительно плоскостей проекции, прямая m является горизонтально проецирующей,. В первую очередь определяется горизонтальная проекция искомой точки пересечения прямой m с плоскостью .

Для нахождения фронтальной проекции точки в плоскости треугольника ABC проводится вспомогательная прямая 1-2. Построение начинается с горизонтальной проекции. В пересечении её фронтальной проекции 1 2 -2 2 с фронтальной проекцией прямой m находят фронтальную проекцию искомой точки К.  

Задание: найти точку пересечения прямой m общего положения с плоскостью общего положения Σ (ABC) (рис. 7.4).  

Решение: в данной задаче прямая m и плоскость Σ занимают общее положение относительно плоскостей проекции. Задача решается по следующей схеме:

Видимость прямой m относительно плоскости Σ (АВС) определяется с помощью метода конкурирующих точек.

Метод конкурирующих точек заключается в следующем: Для определения видимости прямой m на горизонтальной плоскости выбирается пара точек 1 и D (см.рис.7.4). У этих точек координаты у одинаковы , координаты z различны () , точка D выше точки 1 (координата точки D больше координаты точки 1).

Следовательно, на горизонтальной проекции точка D видима, а 1 невидима.Tак как точка 1 принадлежит прямой m, то левее проекции точка прямая m находится ниже плоскости треугольника ABC, то есть она не видима (должна быть проведена штриховой линией).

Для определения видимости на фронтальной проекции можно воспользоваться парой точек 2 и 3 и рассмотреть вопрос видимости аналогично точкам 1 и D.

Параллельность прямой и плоскости

Прямая и плоскость параллельны, если в плоскости имеется прямая, параллельная заданной прямой.  

Задание: построить проекции прямой, проходящей через точку А и параллельной прямой m, принадлежащей плоскости Σ (BCD) (рис. 7.5).

 

Решение: в условии задачи задана фронтальная проекция прямой m. Находим горизонтальную проекцию прямой m. Условия параллельности прямой и плоскости: прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-то прямой, расположенной в данной плоскости. Используя это условие, строят проекции искомой прямой, проходящие через точку А; проводятся параллельно , — параллельно .

Прямая линия, перпендикулярная к плоскости

Обратимся к рисунку 8.1, на котором изображена плоскость  и перпендикулярная к ней прямая n.

Прямая n перпендикулярна к любой прямой плоскости , т.е. Каждый такой прямой угол проецируется на плоскость проекций в виде некоторого угла, но угол между прямой n и горизонталью плоскости h проецируется на горизонтальную плоскость проекций в виде прямого угла, так как его сторона параллельна плоскости

Если

Угол между прямой n фронталью f плоскости проецируется на фронтальную плоскость проекций прямым углом (его сторона ). Если

Если прямая перпендикулярна к плоскости, то ее проекции перпендикулярны к одноименным проекциям линий уровня этой плоскости.

На рисунке 8.2 через точку N проведена прямая m, перпендикулярная к плоскости Σ. Для этого в плоскости Σ (а^b) определены горизонталь h и фронталь f, и горизонтальная проекция перпендикуляра проведена перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция — перпендикулярно к фронтальной проекции фронтали: .

Действительно, из чертежа следует, что прямая m перпендикулярна к прямой h, так как угол между горизонтальными проекциями сторон угла прямой и одна сторона его (h) параллельна плоскости. Точно так же прямая m перпендикулярна к прямой f. Но если прямая линия перпендикулярна к двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

В том случае, когда плоскость задана следами (рис. 8.3), проекции перпендикуляра располагаются перпендикулярно к одноименным следам плоскости:  

Плоскость, перпендикулярную к данной прямой, определяют с помощью пересекающихся линий уровня. На рисунке 8.4 (а — условие, 6 — решение) через точку А проведена плоскость Σ, перпендикулярная к заданной прямой m.

Горизонталь h плоскости проходит через точку А ). Фронталь этой плоскости может быть также проведена через точку А, но может пересекать горизонталь и в любой другой точке, поскольку все они находятся в искомой плоскости.

На рисунке 8.4 фронталь проходит через точку В 

На рисунке 8.5 показана прямая n перпендикулярная горизонтально проецирующей плоскости. Эта прямая является горизонталью. На рисунке 8.6 изображена прямая n, перпендикулярная к фронтально проецирующей плоскости. Эта прямая n является фронталью.

На рисунке 8.7 изображен отрезок прямой (MN), перпендикулярный к профильно проецирующей плоскости Σ. Заметим, что, проведя проекции мы еще не определим величину искомого перпендикуляра.

Это не должно нас удивлять, так как (h≡f), а перпендикулярность прямой и плоскости обеспечивается перпендикулярностью этой прямой к двум пересекающимся прямым плоскости. Для решения задачи нужно построить профильный след. Тогдa

Если требуется определить, перпендикулярна ли некоторая прямая m к заданной плоскости Σ, то через какую-нибудь точку М этой прямой следует провести перпендикуляр n к плоскости Σ (рис. 8.8). При совпадении линии m и n прямая m перпендикулярна к плоскости Σ .

Примеры решения задач

Задание: Построить перпендикуляр из точки А на плоскость и найти точку пересечения перпендикуляра с плоскостью.  

Решение: исходя из принципа перпендикулярности прямой и плоскости (прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости), необходимо в плоскости провести две пересекающиеся прямые: горизонталь h и фронталь f (рис. 8.9).

Затем из точки А проводим нормаль n к плоскости Σ. На основании теоремы о проецировании прямого угла . Если плоскость задана следами, то  (рис. 8.10).

Основание перпендикуляра определяется как точка пересечения его с плоскостью. Для этого нужно провести через нормаль проецирующую плоскость , найти линию пересечения  плоскостей Σ и  и на пересечении проекции этой линии с проекцией нормали отметить общую точку В для нормали и плоскости.

Способы задания плоскости на чертеже

Плоскостью называется поверхность, образуемая перемещением прямой линии, которая движется параллельно самой себе по неподвижной направляющей прямой.

Положение плоскости в пространстве и на чертеже (рис. 3.1) можно определить:

1. тремя точками, не лежащими на одной прямой;
2. прямой и точкой вне ее;
3. двумя пересекающимися прямыми;
4. двумя параллельными прямыми;
5. любой плоской фигурой.

Плоскость, не перпендикулярная ни одной плоскости проекций, называется плоскостью общего положения. На комплексном чертеже проекции элементов, задающих плоскость, занимают общее положение.

Плоскость, перпендикулярная или параллельная одной из плоскостей проекций, называется плоскостью частного положения.

Рисунок 3.1 — Способы задания плоскости на чертеже: 1- тремя точками, 2- прямой и точкой, 3- двумя пересекающимися прямыми, 4- двумя параллельными прямыми, 5- плоской фигурой

Кроме того, плоскость может быть задана следами плоскости. Следом плоскости называется линия пересечения заданной плоскости с любой из плоскостей проекций.

На рис. 3.2 изображена плоскость Р, которая пересекается с плоскостями проекций, и образует следующие следы:

• — горизонтальный след — в пересечении с горизонтальной плоскостью проекций;
• — фронтальный след — в пересечении с фронтальной плоскостью проекций;
• — профильный след — в пересечении с профильной плоскостью проекций.

Рисунок 3.2 — Плоскоть задананная следами

Два следа плоскости сходятся на осях в точках , которые называются точками схода следов.

Плоскости общего и частного положения

По отношению к плоскостям проекций плоскости могут занимать различное положение.

Плоскость, не перпендикулярную ни к одной из плоскостей проекций называют плоскостью общего положения.

Наглядное изображение плоскости общего положения Р дано на рисунке 3.2, которая задана следами.

Плоскость общего положения пересекает каждую из осей х, у, z.

Следы плоскости общего положения никогда не перпендикулярны к осям проекций.

При построении плоскости следами последние обычно ограничиваются участками, расположенными в первом октанте.

К плоскостям частного положения относят плоскости, перпендикулярные к плоскостям проекций.

Положение плоскости относительно плоскостей проекций

Проецирующие плоскости

Плоскость, перпендикулярная одной из плоскостей проекций, называется проецирующей. Различают:

Рисунок 3.3 — Проецирующие плоскости; а- горизонтально-проецирующая, б- фронтально-проецирующая, в- профильно-проецирующая плоскость

У проецирующих плоскостей одна проекция вырождается в прямую. Поэтому проекция фигуры, принадлежащей такой плоскости (треугольник ABC), вырождается в прямую (А’В’С).

Проецирующая плоскость однозначно задается на чертеже своей линейной проекцией

Плоскости уровня

Плоскость, параллельная одной из плоскостей проекций, называется плоскостью уровня. Различают (рис. 3.4):

Плоскость уровня является частным случаем проецирующей плоскости, поэтому на чертеже задается своей линейной проекцией

Фигура, принадлежащая плоскости уровня, проецируется на соответствующую плоскость проекций в натуральную величину.

Рисунок 3.4 — Плоскости уровня

Проецирующие плоскости и плоскости уровня находят широкое применение в качестве вспомогательных элементов при решении различных задач начертательной геометрии, а также используются в техническом черчении при построении разрезов и сечений на чертежах.

Решение этих задач основано на известных положениях геометрии:

Главные линии плоскости

К числу прямых, занимающих особое положение в плоскости, относятся горизонтали, фронтали, профильные линии и линии наибольшего наклона.

Прямая, принадлежащая данной плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций Н называется горизонталью h плоскости.

Прямая, принадлежащая данной плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекции V называется фронталью плоскости f.

Профильной линией р плоскости называется прямая, принадлежащая данной плоскости и параллельная профильной плоскости проекций W.

Построение на чертеже проекций профильной линии следует начинать с проведения фронтальной и горизонтальной проекций

Прямая, принадлежащая данной плоскости и перпендикулярная к ее линиям особого положения называется линией наибольшего наклона плоскости.

В любой плоскости можно провести бесчисленное множество главных линий: а) горизонтали; б) фронтали; в) профильные прямые; г) линии наибольшего ската. Линии наибольшего ската — прямые, проведенные в плоскости перпендикулярно к горизонталям этой плоскости.

Построение горизонтали (рис. 3.5) начинают с ее фронтальной проекции ; построение фронтали плоскости начинают с ее горизонтальной проекции .

Построение на чертеже проекций профильной линии следует начинать с проведения фронтальной и горизонтальной проекций; линию ската начинают строить с ее горизонтальной проекции , которая перпендикулярна

Рисунок 3.5 — Поэтапное построение главных линий плоскости;

а) горизонтали; б) фронтали; в) профили; г) линии наибольшего ската.

Взаимное расположение прямой линии и плоскости

Параллельность прямой и плоскости

Возможны следующие три случая относительного расположения прямой и плоскости: прямая принадлежит плоскости, прямая параллельна плоскости, прямая пересекает плоскость.

На основании свойства плоскости: если прямая линия соединяет две точки данной плоскости, то такая прямая всеми своими точками лежит в этой плоскости. Построение прямых, принадлежащих плоскости рассмотрены на слайде (главные линии плоскости).

Из стереометрии известно: если прямая параллельна плоскости, то она параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскости. На эпюре параллельность прямой m и плоскости ABC доказывается тем, что m» // a», m’ // a’ ; прямая принадлежит плоскости ABC.

Рисунок 3.6 – Прямая параллельная плоскости ∆АВС

Пересечение прямой и плоскости

Для определения точки пересечения прямой m с плоскостью α(∆АВС) выполняют следующие операции.

1. Через прямую m проводят проецирующую плоскость β (рис. 20). В данном примере проводят горизонтальную проецирующую плоскость β’.
2. Определяют линию n пересечение плоскости β с плоскостью α (∆АВС). На рисунке 20 горизонтальная проекция этой линии n’ совпадает с m’ по построению, а фронтальная n’ определяется проекциями точек 1′ и 2′ на фронтальные проекции А» В» и В»C» сторон треугольника АВС.
3. Находят точку K пересечения прямой m с плоскостью α. Фронтальная проекция n» линии пересечения n пересекает m» в точке K».

Поскольку n лежит в плоскости α, то точка K принадлежит как плоскости α, так и прямой m, т.е является точкой их пересечения . Ее горизонтальная проекция K’ определяется проекциями K» на m».

Рисунок 3.7 – Прямая пересекающая плоскость ∆АВС

Видимость прямой и плоскости относительно горизонтальной плоскости проекций определяется с помощью горизонтально конкурирующих точек 2 и 3.

Точка 2 лежит на стороне АС, а 3- на прямой m. Их фронтальные проекции 2» и 3» показывают, что точка 2 находится ниже точки 3 и поэтому на горизонтальной плоскости проекций горизонтальная проекция 2′ точки 2 будет закрыта проекцией 3′ точки 3. Отсюда следует, что проекция А’C’ стороны АС расположена ниже проекции m’ и участок этой прямой с левой стороны до K’ будет видным. Относительную видимость на фронтальной плоскости проекций можно определить с помощью фронтально конкурирующих точек 4 и 5. Как показывают горизонтальные проекции этих точек 4′ и 5′, точка 4 лежит ближе к наблюдателю, чем точка 5,но поскольку последняя принадлежит прямой m, то участок её фронтальной проекции 5»K» невидим.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым этой плоскости, например её горизонтали и фронтали.

Пример: Провести перпендикуляр из точки К к плоскости треугольника АВС.

Решение задачи начинают с построения горизонтали h(h’,h») и фронтали ƒ(ƒ’,ƒ») плоскости треугольника (см. рис. 3.8). Затем к этим прямым проводят из точки К перпендикуляр n, как показано на рисунке.

Рисунок 3.8 – Прямая перпендикулярная плоскости треугольника ABC

Прямая n перпендикулярна плоскости α(АВС), так как n перпендикулярно f и n перпендикулярно h (на основании свойства ортогонального проецирования).

При построении на комплексном чертеже перпендикуляра к плоскости нужно иметь в виду следующее: если n перпендикулярно α(h∩ƒ), то фронтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна фронтальной проекции фронтали, а его горизонтальная проекция – горизонтальной проекции горизонтали (n’ перпендикулярно h’; n» перпендикулярно ƒ»’). Действительно и обратное утверждение.

Если прямая линия пересекает плоскость под прямым углом, то на комплексном чертеже проекции этой прямой располагаются перпендикулярно проекциям соответствующих линий уровня плоскости.

Если, например, на плоскость, заданную треугольником ABC, необходимо опустить перпендикуляр из точки К, то построение выполняют следующим образом.

На плоскости проводят горизонталь h (h», h’) и фронталь f (f ‘, f »). Затем из заданных проекций K’ и K» точки К опускают перпендикуляры соответственно на h’ и f ».

Прямая, проведенная таким образом из точки К, будет перпендикулярна плоскости треугольника ABC (так как прямая, перпендикулярная плоскости должна быть перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости).

Пример задания плоскости

Плоскость может быть задана:

1 .Проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой

2. Проекцией прямой и точки, не лежащей на этой прямой

3. Проекциями двух пересекающихся прямых

4.    Проекциями двух параллельных прямых

5. Проекциями любой плоской фигуры

6.  Следами

Следы плоскости

Прямые, по которым некоторая плоскость пересекает плоскости проекций, называются следами плоскости.

Следы пересекаются в одной точке, лежащей на оси — точка схода следа.

Ph — горизонтальный след плоскости Pv — фронтальный след плоскости Pw — профильный след плоскости Рх, Ру, Pz — точки схода следов

След плоскости — это прямая, принадлежащая данной плоскости и плоскости проекций. А поэтому след на эпюре совпадает с одноименной своей проекцией, а другие его проекции лежат на осях.

Ph — горизонтальный след плоскости совпадает со своей горизонтальной проекцией, фронтальная его проекция лежит на оси X, а профильная — на оси У.
Положение плоскости относительно плоскостей проекций

По положению в пространстве различают плоскости общего и частного положения.

Плоскости общего положения не параллельны и не перпендикулярны ни одной из плоскостей проекций.
 

Плоскости уровня

Это плоскости, параллельные одной из плоскостей проекций.
1.    Плоскость параллельная — горизонтальная плоскость уровня

2. Плоскость, параллельная П2- фронтальная плоскость уровня

3. Плоскость, параллельная П3 — профильная плоскость уровня

Проецирующие плоскости

Это плоскости, перпендикулярные одной из плоскостей проекций.

1.    Плоскость, перпендикулярная — горизонтально-проецирующая плоскость

2. Плоскость, перпендикулярная — фронтально-проецирующая плоскость

3. Плоскость, перпендикулярная — профильно-проецирующая плоскость

Прямые особого положения

Горизонталь (h) — прямая, лежащая в данной плоскости и и параллельная горизонтальной плоскости проекции.

Фронталь (f) — прямая, лежащая в плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций.

Все горизонтальные проекции горизонтали параллельны горизонтальному следу плоскости.

Все фронтальные проекции фронтали параллельны фронтальному следу плоскости.

Прямая и точка в плоскости

1.    Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие плоскости (или через одну точку этой плоскости параллельно прямой, лежащей в данной плоскости).

2.    Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит любой прямой этой плоскости.

Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей

1.    Прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, лежащей в данной плоскости.

а // а (через К провести прямую параллельно а)

Алгоритм решения:

1 2 a a // а

2.    Прямая, перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым данной плоскости.

В качестве таких прямых принимаем фронталь и горизонталь ( исходя из правила проецирования прямого угла).

Перпендикуляр к плоскости перпендикулярен любой прямой, проведенной в этой плоскости.

3.    Плоскости параллельны между собой, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

3.    Плоскости перпендикулярны, если прямая, принадлежащая одной плоскости, перпендикулярна другой плоскости.
а (А АВС) К(К,;К2) а//В

Задача: через прямую а провести плоскость, перпендикулярную АВС.
X

Искомую плоскость В задаем двумя пересекающимися прямыми а и опущенным к АВС.

Строим горизонталь и фронталь

Исходя из правила построения перпендикуляра к плоскости, проводим прямую

Получаем искомую плоскость

Пересечение прямой линии с плоскостью

Прямая пересекает плоскость в точке, называемой точкой встречи.

Алгоритм решения состоит из трех операций:

1. Прямая заключается во вспомогательную плоскость ( в данном случае во фронтально-проецирующую
2. Определяется линия пересечения заданной плоскости со вспомогательной и находят по линиям связи. На горизонтальной проекции точка пересечения прямой d с — точка встречи определяем по линиям связи).
3. Выясняется взаимное положение двух прямых: заданной и линии пересечения плоскостей 1 2 .
4. Определяются видимые и не видимые участки прямой методом конкурирующих точек.

Взаимное пересечение двух плоскостей

Задачи на определение точки встречи прямой с плоскостью очень важны в
можно решать задачи на определение

Через прямую АС про водим горизонтально-проеци-рующую плоскость и в точках

По линиям связи определяем и

Пересечение даёт Определяем на

Аналогично находим точку L. Видимость определяем методом конкурирующих точек по узлам
начертательной геометрии. Пользуясь ими

Расстояние от точки до прямой

Для определения проекции расстояния от точки А до прямой общего положения m через А проведем плоскость, перпендикулярную m

Через m проведем фронтально-проецирующую плоскость L. Найдём точку пересечения прямой m с этой плоскостью точку . Определяем по линиям связи).

Полученный отрезок АВ и есть расстояние от точки А до прямой m проекции этого отрезка).

Расстояние от точки до плоскости

Построить плоскость, параллельную и отстоящую от нес на n мм

Кратчайшее расстояние — перпендикуляр. Значит, из Д восстановим перпендикуляр к

Определение плоскости

В геометрии плоскость представляют как бесконечную поверхность, имеющую на всем протяжении одинаковое направление. Плоскость безгранична и бесконечна.

Способы задания плоскости на эпюре

На эпюре плоскость задается проекциями тех элементов, которыми она задана в пространстве. Плоскость (рис. 5.1, 5.2)однозначно определяют:

• три точки, не лежащие на одной прямой α(ABC) (рис 5.1, а);
• пересекающиеся прямые β(b × c) (рис 5.1, б);
• прямая и точка γ(a, D) (рис 5.1, в);
• параллельные прямые δ(l || n) (рис 5.1,г);

Рис. 5.1. Способы задания плоскостей:
а — a (ABC); б -β (b×c); в -γ (a,D); г — δ(l || n)

• следы плоскости — линии пересечения плоскости с плоскостями проекций μ(μ₁,μ₂) (рис. 5.2)

Рис. 5.2. Задание плоскости следами μ(μ₁,μ₂):
а — наглядное изображение;
б — комплексный чертеж

• проекции плоской фигуры (треугольника, окружности, и т. д.).

Классификация плоскостей

В зависимости от положения относительно плоскостей проекций различают плоскости общего положения и плоскости частного положения.

Плоскость общего положения — плоскость, наклоненная под произвольными углами к плоскостям проекций (см. рис. 5.1, 5.2).

Плоскости частного положения можно разделить на две группы -проецирующие плоскости и плоскости уровня. Плоскости частного положения чаще всего задаются следами.

Проецирующие плоскости

Плоскости, перпендикулярные одной из плоскостей проекций, называются проецирующими.

Горизонтально-проецирующая плоскость δ(δ₁)П₁ — плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций П₁(рис. 5.3). Горизонтально-проецирующая плоскость задается горизонтальным следом плоскости δ₁, который является геометрическим местом горизонтальных проекций всех точек, принадлежащих данной плоскости.

Углы наклона горизонтально-проецирующей плоскости к П₂ и П₃ проецируются на горизонтальную плоскость проекций в натуральную величину.
;

Рис. 5.3. Горизонтально-проецирующая плоскостью δ(δ1):
а — наглядное изображение;
б — комплексный чертеж

Фронтально-проецирующая плоскость γ(γ₂) П₂ — плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций П₂, задается фронтальным следом плоскости γ₂ (рис. 5.4).

Рис. 5.4. Фронтально-проецирующая плоскость у(у₂):
а — наглядное изображение;
б — комплексный чертеж

Проекции всех линий и точек, лежащих во фронтально-проецирующей плоскости, совпадают с фронтальным следом этой плоскости. Углы наклона фронтально-проецирующей плоскости τ — к П₁ и φ — к П₂ проецируются на фронтальную плоскость проекций без искажения.

Профильно-проецирующая плоскость σ(σ3) П₃ — плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций П₃, задается профильным следом плоскости σ₃ (рис. 5.5).

Рис. 5.5. Профильно-проецирующая плоскость σ(σ₃):
а — наглядное изображение;
б — комплексный чертеж

Углы наклона профильно-проецирующей плоскости к П₁ и П₂ проецируются на профильную плоскость проекций без искажения.

Плоскости уровня

Плоскости, параллельные одной из плоскостей проекций, называются плоскостями уровня. Как и проецирующие плоскости, плоскости уровня задаются следами. Все объекты, лежащие в плоскости уровня, проецируются на параллельную плоскость проекций в натуральную величину.

Горизонтальная плоскость уровня ν || П₁ — плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций.
Треугольник ABC, лежащий в горизонтальной плоскости уровня ν(ν₂),проецируется на Π₁ в натуральную величину (рис. 5.6).

Рис. 5.6. Горизонтальная плоскость уровня ν (ABC):
а — наглядное изображение;
б — комплексный чертеж

Фронтальная плоскостьуровняμ(μ1) || П₂ — плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций. На рис. 5.7 показана окружность l с центром в точке О и диаметром AB, лежащая во фронтальной плоскости уровня μ(μ₁). Эта окружность проецируется на П₂ без искажения.

Рис. 5.7. Фронтальная плоскость уровня μ(μ¹):
а — наглядное изображение;
б — комплексный чертеж

Профильная плоскость уровня ω||Π₃ — плоскость, параллельная профильной плоскости проекций. Отрезок [AB], лежащий в профильной плоскости уровня ω(ω₃) , проецируется на плоскость П₃ в натуральную величину (рис. 5.8)

Рис. 5.8. Профильная плоскость уровня ω(ω₁):
а — наглядное изображение;
б — комплексный чертеж

Относительное положение двух плоскостей

Две плоскости в пространстве могут совпадать, пересекаться или быть параллельными.

Плоскости параллельны (рис. 5.9), если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Рис. 5.9. Параллельные плоскости общего положения:

Проекции плоскости

Из геометрии известно, что плоскость в пространстве определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой. В соответствии с этим на чертеже плоскость может быть задана:

• – проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой (рис. 3.1, а);
• – проекциями прямой и точки, взятой вне прямой (рис. 3.1, б);
• – проекциями двух параллельных прямых (рис. 3.1, в);
• – проекциями двух пересекающихся прямых (рис. 3.1, г);
• – проекциями замкнутого отсека любой формы – треугольника, четырехугольника и т. д. (рис. 3.2). 

Точка и прямая в плоскости

Из геометрии известны теоремы о принадлежности точки и прямой линии плоскости:

1-я теорема: точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой линии, лежащей в этой плоскости.

2-я теорема: прямая линия принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, лежащие в этой плоскости.

На рис. 3.2 показано применение этих теорем для построения горизонтальной проекции точки К(K», K’-?), лежащей в плоскости, заданной треугольником ABC.

Для решения этой задачи требуется выполнить следующий графический алгоритм (графические действия):

1-е действие. Провести в заданной плоскости фронтальную проекцию вспомогательной прямой m(m») через две точки этой плоскости – например, через точку А(A») и заданную фронтальную проекцию точки K(K»); эта прямая пересекает сторону ВС треугольника в точке 1(1″,1′).

2-е действие. Провести горизонтальную проекцию вспомогательной прямой m(m’) через горизонтальные проекции точек А(A’) и 1(1′).

3-е действие. Построить по линии связи искомую горизонтальную проекцию точки K(K’) на горизонтальной проекции вспомогательной прямой m(m’).

На рис. 3.3, а, б показано решение задачи, где требуется достроить горизонтальную проекцию четырехугольника ABCD(A»,B»,C»,D»; A’,B’,C’,D’-?, C’-?). Для решения задачи выполнены следующие графические построения:

• – проведены проекции диагонали AC(A»C», A’C’);
• – проведена фронтальная проекция диагонали BD(B»D»);
• – определены проекции вспомогательной точки 1(1″1′), принадлежащей диагоналям AC и BD;
• – проведена через точки B’ и 1′ горизонтальная проекция диагонали d(d’), на которой должна лежать проекция вершины D(D’);
• – построена по линии связи горизонтальная проекция D’ вершины D по ее принадлежности прямой d(d’);
• – достроена горизонтальная проекция A’B’C’D’ четырехугольника ABCD.

Прямые особого положения в плоскости. Горизонталь h и фронталь f плоскости

Прямые линии, лежащие в плоскости и параллельные фронтальной плоскости проекций V, называются фронталями – f(f»,f’).

Прямые линии, лежащие в плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций H, называются горизонталями – h(h»,h’).

На рис. 3.4 показано построение в плоскости треугольника DEF проекций фронтали и горизонтали.

Поскольку фронталь плоскости f параллельна фронтальной плоскости проекций V, построение ее проекций следует начинать с горизонтальной проекции фронтали f’, которая должна быть на чертеже параллельна оси x. Фронтальная проекция фронтали f» строится по ее принадлежности заданной плоскости с помощью вспомогательной точки 1(1′,1″).

Поскольку горизонталь плоскости h параллельна горизонтальной плоскости проекций H, построение ее проекций следует начинать с фронтальной проекции горизонтали h», которая должна быть на чертеже параллельна оси x. Горизонтальная проекция горизонтали h’ строится по ее принадлежности заданной плоскости с помощью вспомогательной точки 2(2′,2″).

Прямые линии, лежащие в плоскости и перпендикулярные горизонтали этой плоскости, называются линиями наибольшего наклона (ската) плоскости. Они определяют угол наклона плоскости к плоскости проекций H.

На рис. 3.5, а изображена линия наибольшего ската m в плоскости α, а на рис. 3.5, б – построение ее проекций на чертеже этой плоскости, заданной следами.

• Чертежи на заказ

Понятие о следах плоскости

Следами плоскости называются линии, по которым плоскость пересекается с плоскостями проекций:

• – горизонтальный след – линия пересечения плоскости с плоскостью проекций H;
• – фронтальный след – линия пересечения плоскости с плоскостью проекций V;
• – профильный след – линия пересечения плоскости с плоскостью проекций W.

!!! На чертежах вырожденные в прямые линии проекции плоскостей частного положения совпадают с соответствующими следами этих плоскостей и их можно обозначать как следы (см. рис. 3.6, 3.7, 3.8, 3.9, 3.10 и 3.11) этих плоскостей.

Положение плоскости относительно плоскостей проекций. Плоскости общего положения и плоскости частного положения

Относительно плоскостей проекций V, H и W плоскости в пространстве могут занимать семь различных положений – общее и шесть частных – и имеют соответствующие названия и характерные признаки проекций на чертежах. Следовательно, по заданным проекциям плоскости можно представить ее положение в пространстве, то есть «прочитать» чертеж плоскости.

Плоскость, не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций (см. рис. 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5), называется плоскости общего положения.0

!!! Запомните характерные признаки плоскости общего положения на чертеже – ни одна ее проекция не вырождается в линию, и каждая проекция искажает величину той формы, которой плоскость задана на чертеже.

• Плоскости частного положения, перпендикулярные одной плоскости проекций, называются проецирующими плоскостями.

Фронтально-проецирующая плоскость перпендикулярна фронтальной плоскости проекций V.

На рис. 3.6 плоскость задана двумя пересекающимися прямыми DE и EF; горизонталь плоскости h преобразуется здесь во фронтально-проецирующую прямую (hV).

!!! Запомните характерные признаки фронтально-проецирующей плоскости на чертеже – ее фронтальная проекция представляет собой прямую (вырожденная проекция β_V), наклоненную к оси проекций x, и определяет угол наклона плоскости к плоскости проекций H. Горизонтальная и профильная проекции плоскости представляют собой искаженную по величине форму, которой эта плоскость задана на чертеже.

Горизонтально-проецирующая плоскость перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций H.

На рис. 3.7 плоскость задана треугольником ABC; фронталь плоскости f преобразуется в горизонтально-проецирующую прямую (fH).

!!! Запомните характерные признаки горизонтально-проецирующей плоскости на чертеже – ее горизонтальная проекция представляет собой прямую (вырожденная проекция α_V), наклоненную к оси проекций x, и определяет угол наклона плоскости к плоскости проекций V. Фронтальная и профильная (не показана) проекции плоскости представляют собой искаженную по величине форму, которой эта плоскость задана на чертеже.

Профильно-проецирующая плоскость перпендикулярна профильной плоскости проекций W.

На рис. 3.8 плоскость задана двумя параллельными прямыми KL и MN; фронталь и горизонталь плоскости преобразуются в профильно-проецирующие прямые.

!!! Запомните характерные признаки профильно-проецирующей плоскости на чертеже – ее профильная проекция представляет собой прямую (вырожденная проекция δ_W), наклоненную к осям проекций x и y, и определяет углы наклона плоскости к плоскостям проекций V и H. Фронтальная и горизонтальная проекции этой плоскости представляют собой искаженную по величине форму, которой эта плоскость задана на чертеже.

• Плоскости частного положения, перпендикулярные двум плоскостям проекций и параллельные третьей плоскости проекций называются плоскостями уровня.

Фронтальная плоскость уровня параллельна фронтальной плоскости проекций V и перпендикулярна плоскостям проекций H и W.

На рис. 3.9 фронтальная плоскость уровня задана параллелограммом DEFG; фронтальная проекция этой плоскости является ее натуральной величиной.

!!! Запомните характерные признаки фронтальной плоскости на чертеже – ее горизонтальная и профильная проекции проецируются в прямые (вырожденные проекции β_H и β_W), параллельные соответственно осям проекций x и z.

Горизонтальная плоскость уровня параллельна горизонтальной плоскости проекций Н и перпендикулярна плоскостям проекций V и W.

На рис. 3.10 горизонтальная плоскость уровня задана треугольником ABC; горизонтальная проекция этой плоскости является ее натуральной величиной.

!!! Запомните характерные признаки горизонтальной плоскости на чертеже – ее фронтальная и профильная проекции проецируются в прямые (вырожденные проекции α_V и α_W), параллельные соответственно осям проекций x и y.

Профильная плоскость уровня параллельна плоскости проекций W и перпендикулярна плоскостям проекций V и H.

На рис. 3.11 плоскость задана кругом с центром в точке О и ее профильная проекция имеет натуральную величину этого круга.

!!! Запомните характерные признаки профильной плоскости на чертеже – ее фронтальная и горизонтальная п р о е к ц и и представляют собой прямые (вырожденные проекции δ_V и δ_H), перпендикулярные оси проекций x и параллельные осям z и y.

Проведение плоскости частного положения через прямую общего положения (заключение прямой линии в плоскость частного положения)

Очень часто для решения различных задач требуется провести через прямую общего положения плоскость частного положения. Это графическое действие называется «заключить» прямую в плоскость частного положения (проецирующую или уровня).

На рис. 3.12, а, б показано графическое оформление этого действия.

На рис. 3.12, а прямая общего положения АВ(A»B», A’B’) заключена во фронтально-проецирующую плоскость β. Это означает, что прямая теперь лежит в этой плоскости и, следовательно, фронтальный след плоскости β(β_V) совпадает с фронтальной проекцией АВ(А»В») прямой; графически это действие оформляется продолжением фронтальной проекции прямой с обозначением следа надписью β_V (рис. 3.12, б).

!!! Горизонтальная проекция плоскости β не оформляется на чертеже, но подразумевается (показана ограниченным тонкой волнистой линией отсеком произвольной формы, так как плоскость в пространстве не имеет границ).

На рис. 3.12, в прямая общего положения CD(C»D», C’D’) заключена в горизонтально-проецирующую плоскость δ и это действие оформлено обозначением следа надписью δ_h на продолжении горизонтальной проекции заданной прямой (рассуждения аналогичны).

Структуризация материала третьей лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 3.13 (лист 1). На последующих листах 2 и 3 компактно приведены иллюстрации к этой схеме для визуального закрепления основной части изученного материала при повторении (рис. 3.14 и 3.15).

Положение плоскости относительно плоскостей проекций

Плоскость общего положения. Задание плоскости на чертеже.

Прямой и точкой

Пересекающимися прямыми

Параллельными прямыми

Замкнутым отсеком

а

Плоскости частного положения — проецирующие

Характерные линии плоскости

 Горизонтально-проецирующая плоскость: H

Фронтально-проецирующая плоскость: V

Профильно-проецирующая плоскость: W

Плоскости частного положения — уровня

Горизонтальная плоскость уровня: //H(V u W)

Фронтальная плоскость уровня: //V(H u W)

Профильная плоскость уровня: //W( H u V)

Изображение плоскости на чертеже

Что такое плоскость? Из геометрии известно, что плоскость представляет собой бесконечную поверхность, которая на всем своем протяжении имеет одинаковое направление. Примером получения плоскости в пространстве может служить параллельное перемещение одной прямой по второй неподвижной прямой. Простейшими плоскостями считаются плоские геометрические фигуры (треугольник, круг и т.п.)

Плоскость на чертеже может быть задана (рис. 3.1):

• —    проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой (см. рис. 3.1, а);
• —    проекциями отрезка прямой и точкой, не лежащей на прямой (см. рис. 3.1, б);
• —    проекциями двух пересекающихся отрезков прямых (см. рис. 3.1, в);
• —    проекциями двух отрезков параллельных прямых (см. рис. 3.1, г);
• —    проекциями плоской фигуры (треугольника) (см. рис. 3.1, д);

Соединяя проекции точек на первых четырех рисунках, можно перейти к изображению в виде треугольника или других плоских фигур.

На рис. 3.1, е изображена в пространстве плоскость, заданная треугольником  Эта же плоскость показана на чертеже (см. рис. 3.1, д) двумя ее проекциями.

Плоскость на чертеже также может быть задана следами плоскости. Следами плоскости называются линии пересечения плоскости с плоскостями проекций (рис. 3.2, а, б).

Плоскость  (см. рис. 3.2) образует с плоскостями проекций  трехгранный угол, вершина которого находится в пересечении следов. Две грани этого угла совпадают с плоскостями проекций и находятся между осью  и следами плоскости  а третий угол — между следами  и  — всегда меньше суммы двух других углов. Это значит, что на чертеже угол, заключенный между следами  (см. рис. 3.2, б), всегда больше угла, заключенного между этими следами в пространстве (см. рис. 3.2, а).

На рис. 3.2, а показаны горизонтальный  и фронтальный   следы. Точка пересечения следов, расположенная на оси  называется точкой схода следов  Так как след плоскости является прямой, лежащей в плоскости проекций, то горизонтальная проекция фронтального следа  будет находиться на оси  Здесь же будет находиться и фронтальная проекция  горизонтального следа плоскости  Обычно эти проекции следов не используются при решении задач и поэтому их можно не изображать и не обозначать.

Целесообразно следы плоскости обозначить на чертежах по наименованию самих плоскостей проекций  или по обозначению их индексов, например,  или же  (рис. 3.3). Такое обозначение более удобно при решении задач. Следует иметь в виду, что со следами плоскости совпадают (сливаются) их проекции. Так, с горизонтальным следом плоскости  совпадает горизонтальная проекция этого следа, а с фронтальным следом плоскости  совпадает фронтальная проекция этого следа.

Построение следов плоскости  заданной двумя пересекающимися прямыми   показано на рис. 3.4. Чтобы построить фронтальный след плоскости  необходимо найти фронтальные следы  и  прямых  Здесь же будут находиться и их фронтальные проекции  Соединив данные следы прямой линией, получим фронтальный след плоскости  Определив горизонтальные следы прямых  и соединив их прямой линией, получим горизонтальный след плоскости  Из рис. 3.4 видно, что для построения следа  достаточно найти один след  прямой  и соединить эту точку с точкой схода следов 

Прямая и точка в плоскости

Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, находящиеся в этой плоскости, или если она проходит через одну точку плоскости и параллельна прямой, принадлежащей данной плоскости (рис. 3.5).

На рис. 3.5, а плоскость  задана двумя пересекающимися прямыми Чтобы прямая принадлежала этой плоскости, необходимо на прямых  взять точки, например  и через них провести прямую  На рис. 3.5, б прямая  принадлежит плоскости, так как она проходит через точку  принадлежащую плоскости  и параллельна прямой 

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, находящейся в этой плоскости. На рис. 3.6 показано построение проекции точки  на чертеже, заданном треугольником 

Для решения задачи проводим в плоскости, заданной треугольником  прямую  проходящую через произвольно выбранные точки  и принадлежащую плоскости треугольника. На прямой  в произвольном месте берем точку  Фронтальная проекция точки  находится на фронтальной проекции прямой  а горизонтальная проекция точки  — на горизонтальной проекции прямой  Точку  можно было взять и на любой из сторон треугольника 

Чтобы построить проекции точки  принадлежащей плоскости  заданной следами (рис. 3.7), проводим в этой плоскости произвольно фронтальную и горизонтальную проекции прямой  принадлежащей плоскости  и на соответствующих проекциях прямой отмечаем проекции точек 

Главные линии плоскости

К главным линиям плоскости относятся горизонтали  фронтали  профильные прямые  и линии наибольшего наклона к плоскостям проекций.

Горизонталью  плоскости называется прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций (рис. 3.8). Так как горизонталь плоскости параллельна горизонтальной плоскости проекций  то фронтальная ее проекция будет параллельна оси  Для построения проекций горизонтали проводим через точку  прямую, параллельную оси  Это будет фронтальная проекция горизонтали  Горизонтальную проекцию горизонтали  находим по линии связи.

На рис. 3.9. показано наглядное изображение плоскости  и горизонтали  с ее проекциями  При построении проекций горизонтали на чертеже плоскости, заданной следами  (рис. 3.9, а, б), проводим через произвольно выбранную точку  (проекция  на следе  прямую параллельно оси  Горизонтальная проекция горизонтали  пройдет через точку  параллельно горизонтальному следу 

Фронталью плоскости  называется прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция фронтали на чертеже параллельна оси  а фронтальную проекцию фронтали находим при помощи линии связи (рис. 3.10).

На рис. 3.11, а показано наглядное изображение плоскости  и фронтали  с ее проекциями  а на рис. 3.11, б представлен чертеж плоскости, заданной следами, и горизонтальная и фронтальная проекции фронтали этой плоскости.

Профильной прямой  называется прямая линия, принадлежащая плоскости и параллельная профильной плоскости проекций (рис. 3.12).

В этом случае фронтальная и горизонтальная проекции профильной прямой  параллельны  а профильная проекция  т.е. равняется натуральной величине отрезка 

Линиями наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций (горизонтальной, фронтальной и профильной) называются прямые, принадлежащие этой плоскости и перпендикулярные фронталям, горизонталям, профильным прямым плоскости, или же соответствующим следам плоскости. Линию наибольшего наклона к горизонтальной плоскости проекций чаще всего называют линией ската.

Так, если в точку  плоскости  (рис. 3.13, а) поместить шарик, то траектория  его движения  определится прямой  линией  т.е. линией ската, перпендикулярной к горизонтали  а также к горизонтальному следу  плоскости 

Чтобы в плоскости  (рис. 3.13, б), заданной следами, провести линию ската, необходимо на этой плоскости взять произвольную точку  и через ее горизонтальную проекцию  провести линию перпендикулярно  горизонтальному следу либо горизонтальной  проекции горизонтали  Прямой угол между спроецируется на горизонтальную плоскость проекций без искажения, так как одна из его сторон, а

Определение угла наклона плоскости к плоскостям проекций производится аналогичным образом. Для этого необходимо провести фронталь в плоскости, а затем линию перпендикулярно к ней, или же профильную прямую и перпендикуляр к ней.

Положение плоскости относительно плоскостей проекций

Плоскость в пространстве может занимать относительно плоскостей проекций  следующие положения: наклонно ко всем плоскостям проекций — плоскость общего положения (см. рис. 3.2, 3.3), перпендикулярно к одной из плоскостей проекций — проецирующая плоскость, перпендикулярно одновременно к двум плоскостям проекций, т.е. параллельно третьей плоскости проекций — плоскость уровня.

Проецирующие плоскости: горизонтально-проецирующая (перпендикулярна к  фронтально-проецирующая (перпендикулярна к  профильно проецирующая (перпендикулярна к 

В горизонтально-проецирующей плоскости (рис. 3.15, а, б) фронтальный след  расположен перпендикулярно к плоскости проекций  и к оси  а горизонтальный след может быть расположен под любым углом, кроме прямого. Горизонтальный след обладает собирательным свойством, т.е. любая точка, фигура, находящаяся в плоскости  всегда проецируется на горизонтальный след  это относится и к точке  (см. рис. 3.15, а, б), принадлежащей плоскости 

На рис. 3.15, в изображен треугольник  который занимает проецирующее положение относительно плоскости проекций  Точка  принадлежит данному треугольнику. Фронтальная ее проекция  совпадает с Горизонтальная проекция  проецируется на горизонтальную проекцию треугольника  Угол  заключенный между осью  и горизонтальным следом плоскости  а также между горизонтальной проекцией треугольника  и осью  есть угол наклона плоскостей  и треугольника  к фронтальной плоскости проекций.

Фронтально-проецирующие плоскости  изображенные наглядно следами  и треугольником  показаны на рис. 3.16, а, б, в.

В данном случае (см. рис. 3.16, а и б) горизонтальный след  расположен перпендикулярно  и оси  Точка  находящаяся в плоскости спроецируется обязательно на фронтальный след  Треугольник  (см. рис. 3.16, в) занимает проецирующее положение относительно плоскости проекций  поэтому фронтальная его проекция изобразится в виде отрезка прямой 

Угол  (см. рис. 3.16, б, в), заключенный между  и осью  а также между  и осью  есть угол наклона плоскостей  к плоскости проекций 

Профильно-проецирующая плоскость показана на рис. 3.17. На рис. 3.17, а показано наглядное изображение профильно-проецирующей плоскости точка  принадлежащая этой плоскости и ее проекции. Профильная проекция точки  находится на профильном следе  На рис. 3.17, б и рис. 3.17, в изображены профильно-проецирующие плоскости, заданные следами плоскости  и треугольником 

Профильно-проецирующая плоскость, проходящая через ось  называется осевой, а если она делит двугранный угол между плоскостями проекций пополам, то она еще называется биссекторной.

Плоскости уровня. К ним относятся горизонтальная плоскость — параллельная  фронтальная — параллельная  и профильная — параллельная  Эти плоскости уровня перпендикулярны одновременно двум другим плоскостям проекций. Например, горизонтальная плоскость перпендикулярна одновременно фронтальной и профильной плоскостям проекций.

На рис. 3.18, а показано наглядное изображение горизонтальной плоскости  в системе плоскостей проекций  а на рис. 3.18, б — чертеж данной плоскости, изображенный фронтальным и профильным следами  Показано также, как точка  находящаяся в плоскости  проецируется на плоскости проекций.

Прямая линия, параллельная плоскости

Прямая линия относительно плоскости может занимать следующие положения: находиться в плоскости, быть параллельной плоскости и пересекаться с плоскостью.

Из геометрии известно, что прямая линия параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, находящейся в этой плоскости. Пусть требуется через точку  провести прямую, параллельную плоскости, заданной треугольником  (рис. 4.1).

В треугольнике  проводим произвольно отрезок  и  а через точку  проводим прямую  параллельную данному отрезку, т.е.  Через данную точку  можно провести бесчисленное множество прямых, параллельных плоскости треугольника  в том числе и параллельных сторонам треугольника.

Если бы была поставлена задача провести через точку  прямую, параллельную треугольнику  и фронтальной плоскости проекций, то в данном случае можно провести только одну прямую, параллельную и треугольнику и  Для этого в треугольнике проводим фронталь  а через точку  — прямую  параллельную фронтали (рис. 4.2).

В случае построения прямой, параллельной плоскости  заданной следами, необходимо в плоскости  провести произвольно прямую или горизонталь (фронталь), а затем провести проекции прямой, проходящей через точку  параллельные соответствующим проекциям прямых, взятых в плоскости  (рис. 4.3).

На рис. 4.3, а в плоскости  проведен отрезок произвольной прямой  а через точку  — прямая  одноименные проекции которой параллельны проекциям отрезков, взятых в плоскости, т.е. 

На рис. 4.3, б в плоскости  проведена горизонталь  а через — прямая  параллельная  и через  проведена прямая  параллельная 

Прямая линия, перпендикулярная плоскости

Прямая линия перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости (рис. 4.4).

На комплексном чертеже легко построить проекции прямого угла между прямой общего положения и линией уровня (фронталью, горизонталью). На основании свойств прямого угла прямой угол проецируется в натуральную величину, например, на  если одна из его сторон параллельна этой плоскости проекций, т.е. является фронталью. Чтобы прямой угол проецировался на  без искажения, необходимо, чтобы одна из его сторон была параллельна  т.е. была горизонталью. На рис. 4.5 показано, как проведен перпендикуляр из точки  к фронтали и горизонтали.

Если задать плоскость двумя пересекающимися прямыми  одна из которых будет фронталью, а вторая — горизонталью и провести из точки  перпендикуляр к  т.е. к фронтальной проекции фронтали, а из  — перпендикуляр к  т.е. к горизонтальной проекции горизонтали, то этот отрезок будет перпендикулярен заданной плоскости (рис. 4.6).

Для того чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, необходимо и достаточно, чтобы на чертеже ее горизонтальная проекция была перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция прямой — перпендикулярна фронтальной проекции фронтали.

В случае, если плоскость задана следами, то, учитывая, что горизонтальная проекция горизонтали  всегда параллельна горизонтальному следу  а фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу  то, чтобы из точки  провести прямую перпендикулярно плоскости  (рис. 4.7), необходимо ее горизонтальную проекцию провести перпендикулярно горизонтальному следу  а фронтальную проекцию -перпендикулярно фронтальному следу 

Прямая линия, пересекающаяся с плоскостью частного положения

Точку пересечения (встречи) прямой линии с плоскостью частного положения определяют непосредственно из чертежа, без дополнительных построений, так как известно, что следы плоскостей частного положения обладают собирательным свойством, и любая точка, находящаяся в плоскости, обязательно проецируется на один из следов плоскости; вторая проекция точки находится по линии связи. Подробно это рассмотрим на примере пересечения отрезка  с горизонтально проецирующей плоскостью  (рис. 4.8).

Отрезок  пересекается с плоскостью  в точке  горизонтальная ее проекция  находится на следе  как точка, принадлежащая этой плоскости. Фронтальная проекция  определяется по линии связи (см. рис. 4.8, а и б). Часть отрезка  на фронтальной плоскости проекций, а именно, за точкой пересечения  закрыта плоскостью, поэтому она изображается штриховой линией.

На рис. 4.8, в приведен пример определения точки пересечения прямой  с горизонтально-проецирующей плоскостью.

Пересечение плоскости частного положения с плоскостью общего положения

Рассмотрим построение линии пересечения плоскости общего положения  и проецирующей  заданных следами (рис. 4. 10).

Из наглядного изображения (рис. 4.10, а) видно, что на пересечении горизонтальных следов плоскостей  находится горизонтальный след линии пересечения этих плоскостей  и его горизонтальная проекция На пересечении фронтальных следов  находится фронтальный след линии пересечения  и его проекция  Соединив одноименные проекции точек  получим фронтальную и горизонтальную проекции линии пересечения  причем последняя совпадает с горизонтальным следом плоскости  Это же решение показано на чертеже (см. рис. 4.10, б).

Пример построения линии пересечения горизонтально-проецирующей плоскости  заданной следами, и плоскости общего положения, заданной треугольником, приведен на рис. 4.11.

На рис. 4.11, а показано наглядное изображение двух плоскостей с линией пересечения 12, на рис. 4.11, б это показано на чертеже. Горизонтальная проекция линии пересечения  в таких случаях находится всегда на горизонтальном следе.

Построение линии пересечения плоскости общего положения  и плоскости уровня, в частности, горизонтальной плоскости  показано на рис. 4.12.

Так как плоскость  и плоскость проекций  параллельны между собой, а общей пересекающей их плоскостью является плоскость  то линия пересечения плоскостей  есть горизонтальный след  а плоскостей  — отрезок прямой линии  (см. рис. 4.12, а). Исходя из вышеизложенного, они должны быть параллельны между собой, т.к. две параллельные плоскости одновременно пересекаются третьей плоскостью  Фронтальная проекция линии пересечения совпадает с фронтальным следом  плоскости  и проходит параллельно оси  горизонтальная проекция линии пересечения проходит параллельно горизонтальному следу  к тому же отрезок  является горизонталью. На рис. 4.12, б приведен чертеж пересечения плоскости общего положения  и горизонтальной плоскости 

Проведение плоскостей частного положения через прямую линию

Для решения задач на определение точек пересечения прямой с различными плоскостями необходимо проводить дополнительные построения, такие, например, как проведение через прямую проецирующих плоскостей или плоскостей уровня. Через прямую общего положения можно провести любую проецирующую плоскость (рис. 4.13, 4.14), а через прямые, параллельные плоскостям проекций, можно провести как проецирующие плоскости, так и плоскости уровня (см. рис. 4.14).

В заключение необходимо определить видимые и невидимые части прямой  относительно плоскостей проекций  считая, что треугольник  является непрозрачным. Для этого необходимо сравнить положение в пространстве двух конкурирующих точек, одна из которых принадлежит прямой  а вторая — стороне треугольника 

При определении видимости прямой  относительно горизонтальной плоскости проекций рассмотрим взаимное положение прямой  и стороны  треугольника  В точке пересечения их горизонтальных проекций  совпадают две горизонтальные проекции  точек 3 и 4. Точка принадлежит стороне  треугольника  точка  принадлежит прямой По расположению фронтальных проекций  этих точек устанавливаем, что точка  находится выше точки  относительно горизонтальной плоскости проекций  Это значит, что участок прямой линии  от точки пересечения  с треугольником  до точки  находится под треугольником. Следовательно, горизонтальная проекция отрезка  будет невидимой и она изображена штриховой линией.

При определении видимости прямой  относительно фронтальной плоскости проекций рассмотрим взаимное положение прямой  и стороны  треугольника  В точке пересечения их фронтальных проекций   совпадают две фронтальные проекции  точек 1 и 5. Точка принадлежит стороне  точка  принадлежит прямой  По расположению горизонтальных проекций  этих точек замечаем, что точка ) находится далее от плоскости проекции  и ближе к нам, чем точка  Это значит, что прямая  до точки пересечения  с треугольником  находится перед треугольником. Следовательно, фронтальная проекция  прямой  будет видимой до точки  а фронтальная проекция отрезка  будет невидимой и она изображена штриховой линией.

При определении точки пересечения прямой  с плоскостью, заданной следами  (рис. 4.18), необходимо также прямую  заключить в горизонтально-проецирующую плоскость  и найти их линию пересечения  Фронтальная проекция точки пересечения прямой  будет находиться на фронтальной проекции линии пересечения  горизонтальная проекция  находится при помощи линии связи.

Пересечение двух плоскостей общего положения

Линия пересечения двух плоскостей — это прямая, принадлежащая как одной, так и другой плоскости. Но положение любой прямой в пространстве определяется положением двух ее точек. Поэтому для построения линии пересечения двух плоскостей надо найти две точки, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям.

Рассмотрим построение линии пересечения двух плоскостей  заданных следами (рис. 4.19, а — наглядное изображение, см. рис. 4.19, б -чертеж).

На наглядном изображении (см. рис. 4.19, а) показана линия пересечения этих плоскостей —  Она проходит через точку  в которой пересекаются фронтальные следы , и точку  в которой пересекаются горизонтальные следы 

Точка  является фронтальным следом линии пересечения плоскостей, а точка  — горизонтальным следом линии пересечения. Одновременно в этих точках находятся и соответствующие проекции этих следов  Так как точка  находится во фронтальной плоскости проекций, то горизонтальная проекция  будет находиться на оси  Аналогично и с точкой  Соединяя прямыми линиями одноименные проекции точек  получим проекции прямой  — линии пересечения плоскостей  (см. рис. 4.19, б).

При построении линии пересечения двух плоскостей общего положения, заданных непрозрачными треугольниками  (рис. 4.20) воспользуемся способом построения точек пересечения прямой линии с плоскостью общего положения, т.е. в качестве прямых линий примем две стороны,  треугольника  и определим точки пересечения их с плоскостью, заданной треугольником 

Для нахождения точки пересечения стороны  треугольника  с треугольником  проводим через  фронтально-проецирующую плоскость  (показан след  Эта плоскость пересекает треугольник  по линии  На пересечении горизонтальной проекции стороны  и горизонтальной проекции линии пересечения  находится горизонтальная проекция точки пересечения  стороны  с треугольником  Фронтальная проекция  этой точки определена при помощи линии связи.

Точка пересечения стороны  треугольника  с плоскостью, заданной треугольником  определяется аналогичным образом. Для этого через  проводим фронтально-проецирующую плоскость 

Видимость участков треугольников определена таким же образом, как и в примере, приведенном на рис. 4.17.

Видимость треугольников относительно горизонтальной плоскости проекций  определена при помощи конкурирующих точек  и находящихся на сторонах  треугольников. Точка  принадлежит стороне  треугольника  а точка  принадлежит стороне  треугольника Горизонтальные проекции этих точек совпадают  т.к. находятся в точке пересечения горизонтальных проекций сторон  Фронтальная проекция  принадлежащая  находится выше фронтальной проекции  принадлежащей  Следовательно, горизонтальная проекция  будет видимой на 

Относительно фронтальной плоскости проекций  видимость определена при помощи конкурирующих точек  Так как на  горизонтальная проекция  точки 7, принадлежащая стороне  расположена дальше от  т.е. ближе к нам, чем горизонтальная проекция  точки 4, принадлежащей стороне  то видимой на  будет фронтальная проекция  стороны  на участке 

Взаимно параллельные плоскости

Две плоскости в пространстве могут занимать два различных положения: они могут быть параллельны между собой или пересекаться.

Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Рассмотрим параллельность плоскостей на примере. Пусть требуется через точку  построить плоскость  и параллельную плоскости, заданной треугольником  и  (рис. 5.1).

Через точку  проводим прямые  Это значит, что горизонтальная проекция  должна быть параллельна  а фронтальная проекция  должна быть параллельна  Что же касается прямой  то горизонтальная проекция  Построенная плоскость параллельна плоскости  так как пересекающиеся прямые соответственно параллельны двум пересекающимся сторонам  треугольника 

Если плоскости заданы следами, то признаком параллельности данных плоскостей является параллельность одноименных следов  и  (рис. 5.2, а и б).

Рассмотрим пример построения параллельной плоскости, проходящей через заданную точку. Пусть требуется через точку  провести плоскость  заданную следами, параллельно плоскости  также заданной следами (рис. 5.3).

Для решения задачи через точку  проводим в первом случае горизонталь  (см. рис. 5.3, а), т.е.  проводим параллельно следу плоскости  — параллельно оси  и находим фронтальный след этой горизонтали Через  проводим фронтальный след плоскости  параллельно  а через точку схода следов  проводим  параллельно  Во втором случае (см. рис. 5.3, б), чтобы построить плоскость  параллельную плоскости  применена фронталь  Ход решения виден из чертежа. Это относится ко всем видам плоскостей, за исключением профиль-но-проецирующих плоскостей. Чтобы определить, параллельны ли такие плоскости при параллельности одноименных следов, например, горизонтальных и фронтальных (рис. 5.4, а, б), необходимо построить профильные следы данных плоскостей. Если они параллельны, то и плоскости параллельны, а если пересекаются, то и плоскости пересекаются (см. рис. 5.4). В данном случае профильные проекции следов пересекаются:  следовательно, плоскости также пересекаются. Проекциями линии пересечения  служат отрезки 

Следует отметить, что плоскости также пересекаются, если хотя бы одна пара одноименных следов пересекается. На рис. 5.5, а показаны две горизонтально-проецирующие плоскости,  у которых фронтальные следы  параллельны, а горизонтальные пересекаются. Такие плоскости пересекаются по линии  На рис. 5.5, б показана фронтальная проекция линии пересечения Горизонтальная проекция этой линии проецируется в точку  т.к. расположена перпендикулярно к плоскости проекций 

Взаимно перпендикулярные плоскости

Две плоскости взаимно перпендикулярны:

• —    если одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости (рис. 5.6);
• —    если одна из плоскостей проходит перпендикулярно прямой, расположенной в другой плоскости (рис. 5.7).

Иными словами, две плоскости взаимно перпендикулярны, если имеется возможность провести прямую, принадлежащую одной плоскости и одновременно перпендикулярную к другой плоскости.

В первом случае (см. рис. 5.6) плоскость  перпендикулярна плоскости  так как проходит через отрезок  перпендикулярный плоскости  На рис. 5.7 плоскость  перпендикулярна плоскости  так как проходит перпендикулярно отрезку  принадлежащему плоскости 

Рассмотрим построение взаимно перпендикулярных плоскостей на чертеже. Пусть требуется провести плоскость через отрезок прямой перпендикулярную плоскости, заданной треугольником Задача будет решена, если из точки  отрезка  провести прямую перпендикулярно к треугольнику  (рис. 5.8). Для этого в треугольнике  проводим фронталь и горизонталь. Затем из точки  проводим перпендикуляр  (горизонтальная проекция горизонтали), а из точки  — перпендикуляр  (фронтальная проекция фронтали). Таким образом, плоскость, заданная двумя пересекающимися прямыми перпендикулярна треугольнику   т.к. проходит через перпендикуляр к нему 

Рассмотрим второй случай. Пусть требуется из точки  провести плоскость перпендикулярно к стороне  треугольника  (рис. 5.9).

Иными словами, чтобы сторона  была перпендикулярна новой плоскости, проходящей через точку  должна быть перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали  — перпендикулярна фронтальной проекции фронтали  новой плоскости  — Поэтому из точки  проводим перпендикулярно  пройдет параллельно оси  а из точки  проводим перпендикуляр к пройдет параллельно оси  Данные плоскости взаимно перпендикулярны, т.к. плоскость  проходит перпендикулярно стороне  треугольника 

На приведенных примерах (рис. 5.10 и рис. 5.11) изображены взаимно перпендикулярные плоскости, которые заданы треугольником  и следами плоскости.

Плоскость  перпендикулярна плоскости треугольника  (см. рис. 5.10). Она проходит перпендикулярно прямой  лежащей в плоскости треугольника 

Плоскость  также перпендикулярна плоскости треугольника  (см. рис. 5.11), так как она перпендикулярна горизонтали т.е. Одновременно она еще перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, т.е. является горизонтально-проецирующей плоскостью.

Следует также отметить, что перпендикулярность горизонтальных следов плоскости общего положения  и горизонтально-проецирующей  (рис. 5.12) соответствует взаимной перпендикулярности этих плоскостей.

Это легко доказать, если попытаться провести прямую, принадлежащую плоскости  перпендикулярно плоскости  Такой прямой является горизонталь, которая проведена через точку  взятую на следе плоскости 

Перпендикулярность фронтальных следов плоскости общего положения и фронтально проецирующей также дает основание утверждать о перпендикулярности этих плоскостей. Доказательство аналогичное.

Однако если одноименные следы двух плоскостей общего положения перпендикулярны между собой, то такие плоскости не перпендикулярны (рис. 5.13), т.к. здесь не соблюдается условие перпендикулярности плоскостей. Невозможно провести прямую, принадлежащую одной плоскости, например,  и перпендикулярно ко второй плоскости  Если взять в плоскости  горизонтальную проекцию прямой и провести ее перпендикулярно горизонтальному следу  то это будет горизонтальная проекция горизонтали, а фронтальная проекция горизонтали должна быть проведена параллельно оси   т.е. не перпендикулярно 

Взаимно перпендикулярные прямые

Как известно (см. раздел 4.2), легко построить прямой угол между прямой общего положения и прямой уровня (фронталью, горизонталью).

Чтобы построить две взаимно перпендикулярные прямые общего положения, необходимо предварительно выполнить дополнительные построения, т.к. прямой угол между такими прямыми проецируется на плоскости проекций с искажением.

Пусть требуется из точки  (рис. 5.14) провести перпендикуляр к прямой общего положения 

Для решения задачи необходимо выполнить следующее:

Для этого нужно заключить прямую  в проецирующую плоскость, например, горизонтально-проецирующую плоскость  (след  и найти линию их пересечения (12). На этой линии находится точка  пересечения прямой  с плоскостью  Соединив точки  получим искомый отрезок  перпендикулярный прямой  так как он находится в плоскости, перпендикулярной прямой 

На рис. 5.15 приведено решение задачи на проведение через точку прямой линии, перпендикулярной прямой общего положения  Здесь в качестве плоскости, перпендикулярной прямой  проведена плоскость  заданная следами  Для ее построения применена фронталь  проведенная через точку  и перпендикулярно прямой  Определив горизонтальный след фронтали  проводим через него горизонтальный след плоскости  перпендикулярно  Фронтальный след  проводим перпендикулярно  Определив линию пересечения   двух плоскостей  находим точку  пересечения прямой  с плоскостью  Отрезок  является перпендикуляром к прямой 

Метрические задачи на определение расстояний

Рассмотрим решение задач на определение расстояний от точки до плоскости и до прямой линии общего положения. Пусть требуется определить расстояние от точки  до плоскости  расположенной перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций (рис. 5.16).

Из точки  проводим перпендикуляр к плоскости  Горизонтальная проекция перпендикуляра будет перпендикулярна горизонтальному следу  а фронтальная проекция перпендикуляра будет перпендикулярна фронтальному следу  Расстояние от точки  до плоскости  определится проекциями  Сначала определим точку  которая находится на пересечении перпендикуляра и горизонтального следа  Фронтальная проекция точки  находится по линии связи.

При определении расстояния от точки  до плоскости общего положения заданной следами (рис. 5.17), необходимо:

Отрезок  есть расстояние от точки  до плоскости 

На рис. 5.18 показано определение расстояния от точки  до плоскости, заданной параллельными прямыми 

Чтобы провести из точки  перпендикуляр к плоскости необходимо в первую очередь в плоскости провести фронталь  и горизонталь  Фронтальная проекция перпендикуляра проведена из точки  перпендикулярно  а горизонтальная — из точки  перпендикулярно  Точка пересечения  перпендикуляра с плоскостью  найдена при помощи фронтально-проецирующей плоскости  (фронтальный след  Истинная величина расстояния  определена путем построения прямоугольного треугольника 

При определении расстояния от точки  до прямой общего положения  (см. раздел 5.3, рис. 5.14) из точки  проведена плоскость  перпендикулярная прямой  Затем найдена точка пересечения  прямой  с заданной плоскостью. Соединив точки  получим проекцию расстояния от точки  до прямой  Для определения истинной величины расстояния от точки  до прямой  необходимо построить на одной из проекций,  прямоугольный треугольник.

Плоскость в проекциях с числовыми отметками

В проекциях с числовыми отметками плоскость может быть задана:

1. тремя точками, не лежащими на одной прямой (рис. 13.7, а);
2. прямой и точкой, не лежащей на прямой (см. рис. 13.7, б);
3. двумя параллельными прямыми (см. рис. 13.7, в);
4. двумя пересекающимися прямыми (см. рис. 13.7, г);

5) масштабом уклона плоскости (рис. 13.8, а и б).

Задание плоскости масштабом уклона является наиболее наглядным и удобным.

Масштабом уклона плоскости называется градуированная проекция линии наибольшего наклона плоскости.

На рис. 13.8, а изображена плоскость  с горизонталями  отстоящими друг от друга по высоте на расстоянии 1м, и линией наибольшего наклона  перпендикулярной этим горизонталям. Горизонтали и линия наибольшего наклона спроецированы на плоскость. Проекция линии наибольшего наклона изображается двумя параллельными прямыми (тонкой и толстой), и вдоль этой проекции со стороны тонкой линии указываются отметки горизонталей в сторону подъема плоскости. Это и есть масштаб уклона плоскости, обозначается он  Углом наклона (падения) плоскости  называется угол наклона этой плоскости  к плоскости проекций  (рис. 13.9, а).

Иногда необходимо определить положение плоскости относительно меридиана Земли. Для этой цели вводятся понятия: направление простирания плоскости и угол простирания плоскости 

За направление простирания плоскости принимают правое направление горизонталей, если смотреть в сторону возрастания отметок.

Угол простирания плоскости — это угол между направлением меридиана и направлением простирания плоскости. Угол отсчитывают от северного конца меридиана против часовой стрелки до направления простирания (см. рис. 13.9, б).

Угол простирания плоскости и ее уклон определяют положение плоскости относительно сторон света.

Прямая в плоскости

В проекциях с числовыми отметками при проектировании инженерных сооружений появляется необходимость решения некоторых вспомогательных задач.

Рассмотрим способы решения этих задач на конкретных примерах.

На рис. 13.10 показано построение произвольной прямой  в плоскости, заданной масштабом уклона  Задача имеет множество решений. В плоскости  выбирают две произвольные точки  принадлежащие горизонталям плоскости, имеющие соответственно отметки 3 и 6. Соединив точки получим прямую  принадлежащую плоскости 

На рис. 13.11 показано построение произвольной плоскости , проходящей через прямую  Эта задача также имеет множество решений. Градуируем прямую  и через полученные точки 11, 12 и 13 проводим горизонтали плоскости произвольного направления, отметки которых соответствуют отметкам точек прямой.

На рис. 13.12, а показано наглядное изображение плоскости  с заданным уклоном, проходящей через прямую  общего положения 

Построение выполняем в следующем порядке:

1. строим прямой круговой конус с вершиной в произвольной точке В на прямой, образующие которого имеют уклон  равный заданному уклону плоскости;
2. горизонтали искомой плоскости будут касательными к одноименным горизонталям конуса;
3. образующая касания конуса является линией наибольшего наклона искомой плоскости, а ее горизонтальная проекция — масштабом уклона искомой плоскости.

На рис.13.12, б дано построение плоскости с заданным уклоном проходящей через прямую  общего положения Построение выполняем в следующем порядке:

1) находим интервал  плоскости  соответствующий уклону плоскости 

2) проводим горизонтали конуса — концентрические окружности на расстоянии интервала  друг от друга (радиус основания конуса равен интервалу).

3) градуируем прямую  и проводим через полученные точки прямой касательные к одноименным горизонталям конуса. Эти касательные и будут горизонталями искомой плоскости;

4) задача имеет два решения, так как через каждую точку прямой можно провести две различные касательные к окружности.

Взаимное положение двух плоскостей

Если две плоскости  пересекаются, то для построения линии их пересечения необходимо найти точки пересечения двух пар одноименных горизонталей этих плоскостей (рис. 13.13).

На рис. 13. 14 дано построение линии пересечения двух плоскостей  и заданных масштабом уклонов, где  — линия их пересечения.

Если две плоскости параллельны, то в проекциях с числовыми отметками масштабы уклонов их будут параллельны, интервалы равны, отметки возрастают в одну сторону (рис. 13.15).

Взаимное положение прямой линии и плоскости

На рис. 13.16 дано наглядное изображение точки пересечения прямой с плоскостью. Для определения точки пересечения прямой с плоскостью необходимо:

1. через заданную прямую  провести произвольную вспомогательную плоскость 
2. найти линию пересечения  заданной  и вспомогательной  плоскостей;
3. определить точку пересечения  прямой  с линией пересечения  так как линия  принадлежит плоскости  то точка  — это точка пересечения прямой  с плоскостью 

На рис. 13.17 прямая  пересекает плоскость  заданную 

Для определения точки пересечения прямой с плоскостью необходимо выполнить следующие построения:

1. проградуировать прямую 
2. проградуировать сторону  треугольника 
3. построить две горизонтали в  первую провести через точку  и точку с отметкой 5 на прямой  а вторую — через точку с отметкой 4 на прямой  параллельно первой горизонтали;
4. заключить прямую   во вспомогательную плоскость  Для этого через точки прямой с отметками 4 и 5 проводим горизонтали таким образом, чтобы они пересекали одноименные горизонтали плоскости  в пределах чертежа. Полученные точки принадлежат линии пересечения  двух плоскостей 
5. продолжить линию пересечения  до пересечения с прямой  Точка  является точкой пересечения прямой  с плоскостью 

Если прямая перпендикулярна плоскости, то ее проекция перпендикулярна горизонталям плоскости или параллельна масштабу уклона плоскости.

Интервал прямой по величине будет обратен интервалу плоскости, и отметки будут возрастать в разных направлениях.

На рис. 13.18 изображены плоскость  с горизонталями, масштаб уклона  и прямая  перпендикулярная плоскости 

Известно, что горизонтальная проекция перпендикуляра к плоскости составляет прямой угол с одноименными проекциями горизонталей этой плоскости 

Рассмотрим прямоугольный треугольник  высота которого, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, равна 1 м. Отрезки перпендикуляра  и линии наибольшего наклона плоскости  являются катетами треугольника  Разность отметок концов каждого катета равна единице.

Из чертежа 13.18 видно, что  — интервал перпендикуляра к плоскости  — интервал плоскости 

На рис. 13.19 дан пример определения расстояния от точки  до плоскости заданной масштабом уклона.

Построения необходимо выполнять в следующей последовательности:

1. Из точки  опускаем перпендикуляр на плоскость  т.е. проводим через точку  прямую, параллельную масштабу уклона 

2. Градуируем проекцию перпендикуляра. Для этого определим интервал перпендикуляра по формуле  — интервал плоскости,  — интервал прямой  перпендикулярной плоскости.

Интервал перпендикуляра можно определить другим способом с помощью прямоугольного треугольника. Для этого в любом месте чертежа возьмем произвольную точку  и через нее проведем отрезок  равный единице линейного масштаба. Отложим отрезок  равный интервалу линии наклона плоскости на перпендикуляре к прямой  соединим точки  и  Проведем прямую  перпендикулярную  и пересекающуюся с прямой  в точке  Отрезок  равен интервалу перпендикуляра. Откладываем от точки  вверх и вниз на прямой отрезки, равные интервалу перпендикуляра, таким образом, чтобы отметки прямой возрастали в сторону, противоположную направлению возрастания отметок масштаба уклона.

3. Проведем через перпендикуляр вспомогательную плоскость, изобразив ее горизонталями 

4. Строим линию  пересечения двух плоскостей (одноименные горизонтали двух плоскостей будут пересекаться).

5. Находим точку встречи  перпендикуляра с плоскостью. Отрезок является проекцией некоторого расстояния, натуральная величина которого определена с помощью прямоугольного треугольника 

Проекции тел и поверхностей

Проекции с числовыми отметками позволяют судить о форме тел по одной горизонтальной проекции и высотным отметкам, указывающим характерные точки поверхности

Многогранники задаются проекциями своих ребер с указанием отметок их вершин (рис. 14.1, а и б).

Если тела ограничены кривыми поверхностями, то они задаются проекциями горизонтальных сечений, которые являются линиями пересечения поверхности данного тела плоскостями, параллельными плоскости По и отстоящими друг от друга на расстоянии, которое называется высотой сечения и может быть равно 1 м, 5 м, 10 м и т.д.(рис. 14.2, а и б).

Земная (топографическая) поверхность — это поверхность случайного вида, образование которой не описывается математическими законами.

Топографическая поверхность изображается проекциями горизонталей, которые представляют собой линии пересечения земной поверхности плоскостями уровня и сопровождаются отметками, указывающими высоту сечения (рис. 14.3, а и б).

Пересечение поверхности плоскостью

Линией пересечения любой поверхности плоскостью называется линия, соединяющая точки пересечения их горизонталей с одинаковыми отметками.

Сечение топографической поверхности вертикальной плоскостью называется профилем

На рис. 14.4, а топографическая поверхность задана горизонталями (17, 1S, 19, 20), плоскость — горизонтальным следом, совпадающим с направлением  В точках пересечения прямой  с горизонталями поверхности восстанавливаем перпендикуляры, на которых откладываем отметки точек и соединяем их плавной линией. Профиль можно строить совмещенным с планом, можно вынести за пределы чертежа (см. рис. 14.4).

На рис. 14.5 дано построение профиля по линии  многогранной поверхности. Так как каждая грань поверхности является плоскостью, то достаточно спроецировать две точки с каждой грани, чтобы получить линию пересечения этой грани плоскостью.

На рис 14.6 топографическая поверхность, заданная горизонталями 11 — 15, пересекается произвольной плоскостью, заданной масштабом уклона 

Изображаем плоскость  горизонталями, перпендикулярными масштабу уклона  находим точки пересечения одноименных горизонталей. Соединяем плавной линией полученные точки. Линия  является линией пересечения поверхности плоскостью.

Пересечение прямой линии с поверхностью

Чтобы построить точку пересечения прямой  с поверхностью, необходимо заключить прямую в плоскость общего положения (рис. 14.7). Для этого градуируем прямую  и через точки 8, 9,10 и 11 проводим в произвольном направлении горизонтали, которыми задаем плоскость. Точки пересечения горизонталей с одинаковыми отметками соединяем плавной кривой. Полученная линия встречается с заданной прямой в искомой точке 

Для нахождения точки пересечения прямой с поверхностью можно использовать другой способ. На рис. 14.8 дана прямая  пересекающая топографическую поверхность. Все построения выполняем в следующем порядке:

1. заключаем прямую в вертикальную плоскость 
2. строим профиль топографической поверхности;
3. спроецировав прямую на вспомогательную вертикальную плоскость, отмечаем фронтальные проекции точек пересечения прямой  с профилем топографической поверхности.

Отметки точек определяем по их фронтальным проекциям 

Примеры решения инженерных задач в проекциях с числовыми отметками

При проектировании различных инженерных земляных сооружений, таких как строительные площадки, железные и автомобильные дороги и пр., приходится строить их откосы и линии пересечения этих откосов.

Откосами называются плоскости и поверхности, которые ограничивают строительную площадку со всех сторон и соединяют ее с поверхностью местности.

В том случае, когда уровень строительной площадки выше уровня поверхности местности, площадка выполняется в виде насыпи, а когда ниже, то в виде выемки. Углы наклона (уклона) откосов задаются при проектировании сооружения и зависят от типа грунта.

Пример 1.

Построить откосы строительной площадки и определить линии их пересечения

На рис. 14.9 показан план строительной площадки, ограниченной контуром  Отметка уровня площадки +10 м Отметка горизонтальной плоскости местности, на которой выполняется площадка, равна +7 м.

Площадка ограничена отрезками прямых  и дугой окружности  центр которой находится в точке 

Проектирование откосов площадки заключается в проведении плоскостей с заданным уклоном  через горизонтальные отрезки прямых и поверхность прямого кругового конуса, заданного горизонталью (дуга  с отметкой +10 м) нуклоном образующей 

Интервалы плоскостей  равны  поэтому проводим горизонтали параллельно отрезкам  на расстоянии, равном одной единице масштаба. Интервалы плоскостей  и конической поверхности равны  поэтому горизонтали плоскостей  и горизонтали конуса, представляющие собой окружности с центром  проводим с интервалом, равным полутора единицам масштаба. Для определения линии пересечения откосов находим точки пересечения горизонталей с одинаковыми отметками. Плоскости  пересекаются по прямым  соответственно. Отрезок прямой  касается дуги окружности  поэтому плоскость  проведенная через этот отрезок, касается поверхности конуса, так как плоскость и коническая поверхность имеют одинаковые уклоны  — линия касания плоскости  конуса).

Плоскость  в отличие от плоскости  не касается конуса, а пересекает его поверхность по кривой линии  т.к. плоскость  проводится через прямую  пересекающую конус. Для определения линии пересечения конической поверхности плоскостью находим точки пересечения их горизонталей с одинаковыми отметками.

Пример 2.

Построить линии пересечения откосов горизонтальной площадки с отметкой кромки +20 м и дороги, соединяющей площадку с местностью (рис. 14.10).

Уклоны откосов площадки равны  уклон дороги —  Отметка горизонтальной местности равна +17 м. Площадка выполняется в виде насыпи.

Из рис. 14.10 видно, что дорога, соединяющая площадку с местностью, является участком прямолинейной наклонной дороги.

Кромки дороги  не являются горизонталями, поэтому горизонтали откоса на этом участке не параллельны им.

Решение задачи сводится к проведению плоскости заданного уклона  через наклонную прямую  За вершину прямого кругового конуса с вертикальной осью примем точку  Основание конуса расположено в горизонтальной плоскости с отметкой 17.

Радиус основания (интервал) этого конуса определяется по формуле: 

Поэтому проекция горизонтали 19, проходящей через точку  коснется душ окружности, радиус которой равен двум единицам масштаба.

Остальные горизонтали этого откоса (плоскости  проводим через точки прямой  параллельно горизонтали с отметкой 19. Аналогично строим откос (плоскость  через прямую 

Горизонтали откоса (плоскости  проводим с интервалом 

Линию пересечения откоса площадки (плоскости  с откосами дороги (плоскостями  определяем по точкам пересечения их горизонталей с одинаковыми отметками 

Пример 3.

Построить границы земляных работ при проектировании строительной площадки с примыкающим к ней со стороны насыпи прямолинейным участком дороги на топографической поверхности.

На рис. 14.11 дана строительная площадка с отметкой  на заданной топографической поверхности Уклоны откосов площадки равны уклон выемки  уклон насыпи  а уклон дороги 

Для определения границы земляных работ необходимо выполнить следующие построения:

1. Определить границы выемки и насыпи на пересечении 42-ой горизонтали топографической поверхности с кромками площадки, имеющими отметку 42. Точки пересечения называются точками нулевых работ.

2. Провести горизонтали откосов выемки н насыпи с интервалами  (плоскости откосов выемки и насыпи задать масштабами уклонов 

3. Провести градуирование бровок дороги (42 -39).

Для проведения горизонталей откосов, проходящих через бровки дороги, необходимо провести вспомогательные конусы с радиусами оснований  т.к. дорога расположена со стороны насыпи (плоскости откосов насыпи задать масштабами уклонов 

4. Построить линии пересечения соседних откосов как точки пересечения горизонталей откосов с одинаковыми отметками.

5. Построить границы земляных работ как линии пересечения откосов выемки и насыпи с топографической поверхностью. Эти линии проходят через точки пересечения горизонталей откосов н горизонталей топографической поверхности с одинаковыми отметками.

Проекция точки на плоскость онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти проекцию точки на заданную плоскость. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения проекции точки на данную плоскость введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Проекция точки на плоскость − теория, примеры и решения

Для нахождения проекции точки M₀ на плоскость α, необходимо:

• построить прямую L, проходящую через точку M₀ и ортогональной плоскости α.
• найти пересечение данной плоскости α с прямой L(Рис.1).

Общее уравнение плоскости имеет вид:

где n(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.

Уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и имеющий направляющий вектор q(l, m, n) имеет следующий вид:

Для того, чтобы прямая (2) была ортогональна плоскости (1), направляющий вектор q(l, m, n) прямой (2) должен быть коллинеарным нормальному вектору n(A,B,C) плоскости (1)(Рис. 1). Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой (2) можно взять нормальный вектор плоскости (1) .

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и ортогональной плоскости (1) имеет следующий вид:

Для нахождения точку пересечения прямой L с плоскостью α, проще всего рассматривать параметрическое уравнение прямой. Составим ее

Выразим переменные x, y, z через рараметр t.

Подставим значения x,y,z из выражения (4) в (1) и решим относительно t.

Подставляя значение параметра t в выражения (4), находим проекцию M₁ точки M₀ на плоскость (1).

Пример 1.Найти проекцию M₁ точки M₀(4, -3, 2) на плоскость

Решение.

Нормальный вектор плоскости имеет вид:

т.е. A=5, B=1, C=−8.

Координаты точки M₀: x₀=4, y₀=−3, z₀=2.

Подставляя координаты точки M₀ и нормального вектора плоскости в (5), получим:

Из выражений (7) находим:

Ответ:

Проекцией точки M₀(4, -3, 2) на плоскость (6) является точка:

Проекции треугольника, многоугольника и круга

Для примера изобразим прямоугольник ABCD без осей проекций (рис. 115, а). Расстояние горизонтальной и профильной проекций от фронтальной проекции выберем произвольно. Встает вопрос о том, можно ли теперь «восстановить» положение осей, а следовательно, и плоскостей проекций. Для построения постоянной прямой чертежа (рис. 115, б) используем горизонтальную и профильную проекции любой точки, например точки А. Через точку А₁ проведем горизонтальную линию связи, а через точку А₃ — вертикальную линию связи. Проведенные прямые пересекутся между собой в точке А₀, через которую проведем постоянную прямую k₁₂₃ под углом 45 градусов к горизонтальной линии связи. Очевидно, что постоянная прямая будет единственной. Этого нельзя сказать о системе координатных плоскостей, которых может быть много. Действительно, одну из систем можно определить, приняв горизонтально-вертикальную линию связи за направление осей проекций x₁₂ и z₂₃. Точка A₀ будет для этой системы началом координат O₁₂₃. Плоскость прямоугольника будет прикасаться своей стороной AD к фронтальной плоскости проекции П₂. Вторую систему можно получить, если провести координатные оси х’₁₃ и z’₂₃ через точку О’₁₂₃, являющуюся точкой пересечения постоянной прямой с линией D₂D₃. В новой системе прямоугольник будет стоять на горизонтальной плоскости проекций П1, пересекаясь с ней по прямой DC. В промежутке между осями первых двух систем можно провести еще большое количество осей, которые определят новые системы плоскостей. Одну из таких систем определяют оси х₂1₂ и z₂2₃, пересекающиеся между собой в точке О₁, являющейся началом координат третьей системы плоскостей. В последнем случае прямоугольник отстоит от всех трех плоскостей проекций.

Итак, найдя постоянную прямую чертежа, мы можем построить одну из возможных систем плоскостей проекций. Очевидно, что начало координат любой системы должно находиться на постоянной прямой чертежа. Отсюда следует, что постоянная прямая чертежа является геометрическим местом точек, фиксирующих начало координат всех возможных систем плоскостей проекций П₂, П₃.

При построении проекций четырехугольника общего положения нельзя взять четыре произвольные точки. Как только мы возьмем три точки, плоскость определится, и четвертую точку надо строить при условии, чтобы она принадлежала этой плоскости. Практически пользуются диагоналями проекций четырехугольника (рис. 115, в).

Фронтальную проекцию четырехугольника ABCD Рис. 116 строим произвольно; также произвольно строим горизонтальные проекции трех точек А₁, В₁ и С₁ треугольника A₁B₁C₁. Для построения горизонтальной проекции D₁ точки D проводим фронтальные проекции А₂С₂ и D₂B₂ диагоналей четырехугольника.

Проекции диагоналей пересекутся между собой в точке Е₂. Находим горизонтальную проекцию E₂ этой точки на горизонтальной проекции А₁С₁ будущей диагонали АС; соединяем точки В₁ и E₁ и на продолжении этой линии находим точку D₁ на вертикальной линии связи D₂D₁. При таком построении четырехугольник ABCD будет плоским. Пользуясь вспомогательными прямыми, пересекающимися со сторонами четырехугольника, можно построить проекции пятиугольника, шестиугольника и т. д.

Построим проекции правильного шестиугольника, вписанного в окружность, при горизонтальном их расположении (рис, 116, а). Построение начинаем с проведения окружности; затем вписываем в нее правильный шестиугольник А₁В₁C₁D₁E₁F₁.

Фронтальная проекция шестиугольника изобразится прямой горизонтально расположенной линией A₂D₂, точки B₂F₂ и С₂Е₂, принадлежащие этой линии, попарно совпадут.

В практике нередко приходится строить наклонно расположенные многоугольники, и особенно, окружности. Придадим плоскостям шестиугольника и круга наклонное положение, т. е. расположим их во фронтально-проецирующей плоскости т (рис. 116, б). При таком расположении плоскости прямые FB и ЕС шестиугольника и диаметр HG круга останутся фронтально-проецирующими прямыми и спроецируются на плоскость П₁ в истинную величину. Наоборот, прямые ВС, AD и FE спроецируются с искажением, зависящим от величины угла наклона плоскости т. В связи с этим горизонтальная проекция шестиугольника не будет являться правильным шестиугольником, а горизонтальная проекция круга будет проецироваться эллипсом, большая ось которого H₁G₁, малая — A₁D₁

Аналитический портал Ua-News Главные новости Украины: политика, интернет, шоу-BIZ, спорт, столица.

Прямоугольный треугольник формулы

Треугольник называется прямоугольным, если у него один из углов является прямым. Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, а сторона, лежащая напротив прямого угла, гипотенузой.

Прямоугольный треугольник: основные формулы

Прямоугольный треугольник: формулы площади и проекции

1. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна : h = (ab):c.
2. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу: CH 2 = AH·BH.
3. Катет прямоугольного треугольника — среднее пропорциональное или среднее геометрическое между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу: CA 2 = AB·AH; CB 2 = AB·BH.
4. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна ее половине.
5. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. S = (ab):2.
6. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения гипотенузы и высоты. S = (hc):2.

Прямоугольный треугольник: формулы тригонометрия

1. Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. cosα = AC: AB.
2. Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. sinα = BC:AB.
3. Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему. tgα = BC:AC.
4. Котангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к противолежащему. ctgα = AC:BC.
5. Основное тригонометрическое тождество: cos 2 α + sin 2 α = 1.
6. Теорема косинусов: b 2 = a 2 + c 2 – 2ac·cosα.
7. Теорема синусов: CB :sinA = AC : sinB = AB.

Прямоугольный треугольник: формулы для описанной окружности

1. Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы : R=AB:2.
2. Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.

Прямоугольный треугольник: формулы для вписанной окружности

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, вычисляется по формуле: r = (a + b -c):2.

Рассмотрим применение тригонометрических формул прямоугольного треугольника при решении задания 6(вариант 32) из сборника для подготовки к ЕГЭ по математике профиль автора Ященко.

В треугольнике ABC угол С равен 90°, sinA = 11/14, AC =10√3. Найти АВ.

1. Применяя основное тригонометрическое тождество, найдем cosA = 5√3/14.
2. По определению косинуса острого угла прямоугольного треугольника имеем: cosA = AC : AB, AB = AC : cosA = 10√3·14:5√3 = 28.

Проекции катетов на гипотенузу

Так как высота, проведенная к гипотенузе, представляет собой проведенный к ней перпендикуляр, то катеты — это наклонные, а отрезки гипотенузы, на которые делит ее высота — проекции катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника.

В треугольнике ABC, изображенном на рисунке, AD — проекция катета AC на гипотенузу AB, BD — проекция катета BC на гипотенузу.

Катеты, их проекции на гипотенузу, гипотенуза и высота прямоугольного треугольника связаны между собой формулами.

1) Свойство высоты, проведенной к гипотенузе.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) между проекциями катетов на гипотенузу.

2) Свойства катетов прямоугольного треугольника.

Катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.