Как составить однородную систему

Содержание:

• Однородные СЛАУ
• Фундаментальная система решений

Однородные СЛАУ

Однородная СЛАУ, записанная в
матричном виде, $A X=Theta$ всегда совместна,
так как $X=Theta$ всегда является ее решением.

Заметим, что если $x_{1}, x_{2}$ — это два решения однородной
СЛАУ, то их линейная комбинация также будет решением однородной СЛАУ:

$$Y=lambda_{1} x_{1}+lambda_{2} x_{2}$$
$$A Y=Aleft(lambda_{1} x_{1}+lambda_{2} x_{2}right)=lambda_{1} A x_{1}+lambda_{2} A x_{2}=lambda_{1} Theta+lambda_{2} Theta=Theta$$

Фундаментальная система решений

Рассмотрим множество всех столбцов, которые являются решениями исходной системы.

Количество элементов в ФСР равно количеству неизвестных системы минус ранг матрицы системы.
Любое решение исходной системы есть линейная комбинация решений ФСР.

Читать дальше: примеры решения СЛАУ.

Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Фундаментальная система решений. Первая часть.

Для чтения этой темы желательно, хоть и не обязательно, ознакомиться с темой «Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи», а также с темой «Базисные и свободные переменные. Общее и базисное решения системы линейных алгебраических уравнений».

Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Нулевое (тривиальное) решение.

Для начала стоит вспомнить, что такое однородные системы линейных алгебраических уравнений. В теме «Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи» вопрос классификации систем осуществлялся подробно, здесь же лишь вкратце напомню основные термины. Итак, система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется однородной, если все свободные члены этой системы равны нулю. Например, система $left { begin{aligned}
& 2x_1-3x_2-x_3-x_4=0;\
& -4x_1+5x_2+3x_4=0.
end{aligned} right.$ является однородной, так как все свободные члены этой системы (т.е. числа, стоящие в правых частях равенств) – нули.

Любая однородная СЛАУ имеет хотя бы одно решение – нулевое (его ещё называют тривиальное), в котором все переменные равны нулю. Подставим, например, $x_1=0$, $x_2=0$, $x_3=0$ и $x_4=0$ в записанную выше систему. Получим два верных равенства:

$$
left { begin{aligned}
& 2cdot 0-3cdot 0-0-0=0;\
& -4cdot 0+5cdot 0+3cdot 0=0.
end{aligned} right.
$$

Однако следствие из теоремы Кронекера-Капелли однозначно указывает на то, что если СЛАУ имеет решение, то есть только два варианта. Либо это решение единственно (и тогда СЛАУ называют определённой), либо этих решений бесконечно много (такую СЛАУ именуют неопределённой). Возникает первый вопрос: как выяснить, сколько решений имеет заданная нам однородная СЛАУ? Одно (нулевое) или бесконечность?

Та однородная СЛАУ, которая рассмотрена выше, имеет не только нулевое решение. Подставим, например, $x_1=1$, $x_2=-1$, $x_3=2$ и $x_4=3$:

$$
left { begin{aligned}
& 2cdot 1-3cdot (-1)-2-3=0;\
& -4cdot 1+5cdot (-1)+3cdot 3=0.
end{aligned} right.
$$

Мы получили два верных равенства, поэтому $x_1=1$, $x_2=-1$, $x_3=2$, $x_4=3$ – тоже является решением данной СЛАУ. Отсюда, кстати, следует вывод: так как наша СЛАУ имеет более чем одно решение, то эта СЛАУ является неопределенной, т.е. она имеет бесконечное количество решений.

Кстати сказать, чтобы не писать каждый раз выражения вроде «$x_1=1$, $x_2=-1$, $x_3=2$, $x_4=3$», пишут все значения переменных в матрицу-столбец: $left(begin{array} {c}
1 \
-1 \
2 \
3 end{array} right)$. Эту матрицу тоже называют решением СЛАУ.

Теорема Кронекера-Капелли гласит, что любая СЛАУ имеет решение (совместна) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы ($A$) равен рангу расширенной матрицы системы ($widetilde{A}$), т.е. $rang A=rangwidetilde{A}$. Так как мы уже выяснили, что любая однородная СЛАУ имеет решение (хотя бы одно), то для всех однородных СЛАУ $rang A=rangwidetilde{A}$. Так как ранги равны между собой, то можно обозначить их какой-то одной буквой, например, $r$. Итак, для любой однородной СЛАУ имеем: $rang A=rangwidetilde{A}=r$.

Теперь можно вернуться к вопросу о количестве решений однородной СЛАУ. Согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли, если $r=n$ ($n$ – количество переменных), то СЛАУ имеет единственное решение. Если же $r < n$, то СЛАУ имеет бесконечное количество решений.

Случай $r=n$ не интересен. Для однородных СЛАУ он означает, что система имеет только нулевое решение. А вот случай $r < n$ представляет особый интерес.

Этот случай уже был рассмотрен в теме «Базисные и свободные переменные. Общее и базисное решения СЛАУ». По сути, однородные СЛАУ – это всего лишь частный случай системы линейных уравнений, поэтому вся терминология (базисные, свободные переменные и т.д.) остаётся в силе.

Что такое базисные и свободные переменные? показатьскрыть

Фундаментальная система решений однородной СЛАУ.

С однородными СЛАУ связано дополнительное понятие – фундаментальная система решений. Дело в том, что если ранг матрицы системы однородной СЛАУ равен $r$, то такая СЛАУ имеет $n-r$ линейно независимых решений: $varphi_1$, $varphi_2$,…, $varphi_{n-r}$.

Любая совокупность $n-r$ линейно независимых решений однородной СЛАУ называется фундаментальной системой (или совокупностью) решений данной СЛАУ.

Часто вместо словосочетания «фундаментальная система решений» используют аббревиатуру «ФСР». Если решения $varphi_1$, $varphi_2$,…, $varphi_{n-r}$ образуют ФСР, и $X$ – матрица переменных данной СЛАУ, то общее решение СЛАУ можно представить в таком виде:

$$
X=C_1cdot varphi_1+C_2cdot varphi_2+ldots+C_{n-r}cdot varphi_{n-r},
$$

где $C_1$, $C_2$,…, $C_{n-r}$ – произвольные постоянные.

Что значит «линейно независимые решения»? показатьскрыть

Пример №1

Решить СЛАУ

$$left { begin{aligned}
& 3x_1-6x_2+9x_3+13x_4=0\
& -x_1+2x_2+x_3+x_4=0;\
& x_1-2x_2+2x_3+3x_4=0.
end{aligned} right.$$

Если система является неопределённой, указать фундаментальную систему решений.

Решение

Итак, мы имеем однородную СЛАУ, у которой 3 уравнения и 4 переменных: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$. Так как количество переменных больше количества уравнений, то такая однородная система не может иметь единственное решение (чуть позже мы строго докажем это предложение на основе теоремы Кронекера-Капелли). Найдём решения СЛАУ, используя метод Гаусса:

$$
left( begin{array} {cccc|c}
3 & -6 & 9 & 13 & 0 \
-1 & 2 & 1 & 1 & 0 \
1 & -2 & 2 & 3 & 0 end{array} right) rightarrow
left|begin{aligned}
& text{поменяем местами первую и третью}\
& text{строки, чтобы первым элементом}\
& text{первой строки стала единица.}
end{aligned}right| rightarrow \

rightarrowleft( begin{array} {cccc|c}
1 & -2 & 2 & 3 & 0\
-1 & 2 & 1 & 1 & 0 \
3 & -6 & 9 & 13 & 0
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \ r_2+r_1\ r_3-3r_1end{array} rightarrow

left( begin{array} {cccc|c}
1 & -2 & 2 & 3 & 0\
0 & 0 & 3 & 4 & 0 \
0 & 0 & 3 & 4 & 0
end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0} \ phantom{0}\ r_3-r_2end{array} rightarrow \

rightarrowleft( begin{array} {cccc|c}
1 & -2 & 2 & 3 & 0\
0 & 0 & 3 & 4 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0
end{array}right).
$$

Мы завершили прямой ход метода Гаусса, приведя расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Слева от черты расположены элементы преобразованной матрицы системы, которую мы также привели к ступенчатому виду. Напомню, что если некая матрица приведена к ступенчатому виду, то её ранг равен количеству ненулевых строк.

И матрица системы, и расширенная матрица системы после эквивалентных преобразований приведены к ступенчатому виду; они содержат по две ненулевых строки. Вывод: $rang A=rangwidetilde{A} = 2$.

Итак, заданная СЛАУ содержит 4 переменных (обозначим их количество как $n$, т.е. $n=4$). Кроме того, ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы равны между собой и равны числу $r=2$. Так как $r < n$, то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).

Найдём эти решения. Для начала выберем базисные переменные. Их количество должно равняться $r$, т.е. в нашем случае имеем две базисные переменные. Какие именно переменные (ведь у нас их 4 штуки) принять в качестве базисных? Обычно в качестве базисных переменных берут те переменные, которые расположены на первых местах в ненулевых строках преобразованной матрицы системы, т.е. на «ступеньках». Что это за «ступеньки» показано на рисунке:

На «ступеньках» стоят числа из столбцов №1 и №3. Первый столбец соответствует переменной $x_1$, а третий столбец соответствует переменной $x_3$. Именно переменные $x_1$ и $x_3$ примем в качестве базисных.

В принципе, если вас интересует именно методика решения таких систем, то можно пропускать нижеследующее примечание и читать далее. Если вы хотите выяснить, почему можно в качестве базисных взять именно эти переменные, и нельзя ли выбрать иные – прошу раскрыть примечание.

Примечание. показатьскрыть

Базисные переменные выбраны: это $x_1$ и $x_3$. Количество свободных переменных, как и количество решений в ФСР, равно $n-r=2$. Свободными переменными будут $x_2$ и $x_4$. Нам нужно выразить базисные переменные через свободные.

Я предпочитаю работать с системой в матричной форме записи. Для начала очистим полученную матрицу $left( begin{array} {cccc|c}
1 & -2 & 2 & 3 & 0\
0 & 0 & 3 & 4 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0
end{array}right)$ от нулевой строки:

$$
left( begin{array} {cccc|c}
1 & -2 & 2 & 3 & 0\
0 & 0 & 3 & 4 & 0
end{array}right)
$$

Свободным переменным, т.е. $x_2$ и $x_4$, соответствуют столбцы №2 и №4. Перенесём эти столбцы за черту. Знак всех элементов переносимых столбцов изменится на противоположный:

Почему меняются знаки? Что вообще значит это перенесение столбцов? показатьскрыть

А теперь продолжим решение обычным методом Гаусса. Наша цель: сделать матрицу до черты единичной. Для начала разделим вторую строку на 3, а потом продолжим преобразования обратного хода метода Гаусса:

$$
left( begin{array} {cc|cc}
1 & 2 & 2 & -3\
0 & 3 & 0 & -4
end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0} \ 1/3cdot{r_2} end{array} rightarrow
left( begin{array} {cc|cc}
1 & 2 & 2 & -3\
0 & 1 & 0 & -4/3
end{array}right)
begin{array} {l} r_1-2r_2 \ phantom{0} end{array} rightarrow \

rightarrow left(begin{array} {cc|cc}
1 & 0 & 2 & -1/3\
0 & 1 & 0 & -4/3
end{array}right).
$$

Матрица до черты стала единичной, метод Гаусса завершён. Общее решение найдено, осталось лишь записать его. Вспоминая, что четвёртый столбец соответствует переменной $x_2$, а пятый столбец – переменной $x_4$, получим:

$$
left{begin{aligned}
& x_1=2x_2-frac{1}{3}x_4;\
& x_2in R;\
& x_3=-frac{4}{3}x_4;\
& x_4 in R.
end{aligned}right.
$$

Нами найдено общее решение заданной однородной СЛАУ. Если есть желание, то полученное решение можно проверить. Например, подставляя $x_1=2x_2-frac{1}{3}x_4$ и $x_3=-frac{4}{3}x_4$ в левую часть первого уравнения, получим:

$$
3x_1-6x_2+9x_3+13x_4=3cdot left(2x_2-frac{1}{3}x_4right)-6x_2+9cdot left(-frac{4}{3}x_4right)+13x_4=0.
$$

Проверка первого уравнения увенчалась успехом; точно так же можно проверить второе и третье уравнения.

Теперь найдем фундаментальную систему решений. ФСР будет содержать $n-r=2$ решения. Для нахождения ФСР составим таблицу. В первой строке таблицы будут перечислены переменные: сначала базисные $x_1$, $x_3$, а затем свободные $x_2$ и $x_4$. Всего в таблице будут три строки. Так как у нас 2 свободные переменные, то под свободными переменными запишем единичную матрицу второго порядка, т.е. $left(begin{array} {cc} 1 & 0 \0 & 1end{array}right)$. Таблица будет выглядеть так:

Теперь будем заполнять свободные ячейки. Начнём со второй строки. Мы знаем, что $x_1=2x_2-frac{1}{3}x_4$ и $x_3=-frac{4}{3}x_4$. Если $x_2=1$, $x_4=0$, то:

$$
begin{aligned}
& x_1=2cdot 1-frac{1}{3}cdot 0=2;\
& x_3=-frac{4}{3}cdot 0=0.
end{aligned}
$$

Найденные значения $x_1=2$ и $x_3=0$ запишем в соответствующие пустые ячейки второй строки:

$$
begin{array} {c|c|c|c}
x_1 & x_3 & x_2 & x_4 \
hline 2 & 0 & 1 & 0 \
hline & & 0 & 1
end{array}
$$

Заполним и третью строку. Если $x_2=0$, $x_4=1$, то:

$$
begin{aligned}
& x_1=2cdot 0-frac{1}{3}cdot 1=-frac{1}{3};\
& x_3=-frac{4}{3}cdot 1=-frac{4}{3}.
end{aligned}
$$

Найденные значения $x_1=-frac{1}{3}$ и $x_3=-frac{4}{3}$ запишем в соответствующие пустые ячейки третьей строки. Таким образом таблица будет заполнена полностью:

$$
begin{array} {c|c|c|c}
x_1 & x_3 & x_2 & x_4 \
hline 2 & 0 & 1 & 0 \
hline -frac{1}{3} & -frac{4}{3} & 0 & 1
end{array}
$$

Из второй и третьей строки таблицы мы и запишем ФСР. Матрица неизвестных для нашей системы такова: $X=left(begin{array} {c} x_1 \x_2 \x_3 \x_4 end{array}right)$. В том же порядке, в котором в матрице $X$ перечислены переменные, записываем значения переменных из таблицы в две матрицы:

$$
varphi_1=left(begin{array} {c} 2 \1 \0 \0 end{array}right);;
varphi_2=left(begin{array} {c} -1/3 \0 \ -4/3 \1 end{array}right).
$$

Совокупность $varphi_1=left(begin{array} {c} 2 \1 \0 \0 end{array}right)$, $varphi_2=left(begin{array} {c} -1/3 \0 \ -4/3 \1 end{array}right)$ и есть ФСР данной системы. Общее решение можно записать теперь так: $X=C_1cdot varphi_1+C_2cdot varphi_2$. Или в развёрнутом виде:

$$
X=C_1cdotleft(begin{array} {c} 2 \1 \0 \0 end{array}right)+C_2cdotleft(begin{array} {c} -1/3 \0 \ -4/3 \1 end{array}right),
$$

где $C_1$ и $C_2$ – произвольные постоянные.

Ответ: Общее решение: $left{begin{aligned}
& x_1=2x_2-frac{1}{3}x_4;\
& x_2in R;\
& x_3=-frac{4}{3}x_4;\
& x_4 in R.
end{aligned}right.$. Или так: $X=C_1cdotleft(begin{array} {c} 2 \1 \0 \0 end{array}right)+C_2cdotleft(begin{array} {c} -1/3 \0 \ -4/3 \1 end{array}right)$, где $C_1$ и $C_2$ – произвольные константы. Фундаментальная система решений: $varphi_1=left(begin{array} {c} 2 \1 \0 \0 end{array}right)$, $varphi_2=left(begin{array} {c} -1/3 \0 \ -4/3 \1 end{array}right)$.

Пример №2

Записать ФСР однородной СЛАУ

$$
left{begin{aligned}
& x_1-5x_2-x_3-2x_4+3x_5=0;\
& 2x_1-6x_2+x_3-4x_4-2x_5=0; \
& -x_1+4x_2+5x_3-3x_4=0.
end{aligned} right.,
$$

зная общее решение. Записать общее решение с помощью ФСР.

Решение

Общее решение уже было получено в теме «метод Крамера» (пример №4). Это решение таково:

$$
left{begin{aligned}
& x_1=frac{-17x_4+144x_5}{19};\
& x_2=frac{-15x_4+41x_5}{19};\
& x_3=frac{20x_4-4x_5}{19}; \
& x_4in R; ; x_5in R.
end{aligned} right.
$$

Опираясь на предыдущий пример №1, попробуйте составить ФСР самостоятельно, а потом сверить с ответом.

Ранг матрицы системы $r=3$ (поэтому у нас три базисных переменных), количество переменных $n=5$. Количество свободных переменных и количество решений ФСР равно $n-r=2$.

Так же, как и в предыдущем примере, составим ФСР. При составлении учтём, что $x_1$, $x_2$, $x_3$ – базисные переменные, а $x_4$, $x_5$ – свободные переменные.

$$
begin{array} {c|c|c|c|c}
x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5\
hline -frac{17}{19} & -frac{15}{19} & frac{20}{19} & 1 & 0 \
hline frac{144}{19} & frac{41}{19} & -frac{4}{19} & 0 & 1
end{array}
$$

Совокупность $varphi_1=left(begin{array} {c} -17/19 \-15/19 \20/19 \1\0 end{array}right)$, $varphi_2=left(begin{array}{c} 144/19 \ 41/19 \ -4/19\0\1 end{array}right)$ и есть ФСР данной системы. Общее решение можно записать теперь так: $X=C_1cdot varphi_1+C_2cdot varphi_2$. Или в развёрнутом виде:

$$
X=C_1cdotleft(begin{array} {c} -17/19 \-15/19 \20/19 \1\0 end{array}right)+C_2cdotleft(begin{array}{c} 144/19 \ 41/19 \ -4/19\0\1 end{array}right),
$$

где $C_1$ и $C_2$ – произвольные постоянные.

Ответ: Фундаментальная система решений: $varphi_1=left(begin{array} {c} -17/19 \-15/19 \20/19 \1\0 end{array}right)$, $varphi_2=left(begin{array}{c} 144/19 \ 41/19 \ -4/19\0\1 end{array}right)$. Общее решение: $X=C_1cdotleft(begin{array} {c} -17/19 \-15/19 \20/19 \1\0 end{array}right)+C_2cdotleft(begin{array}{c} 144/19 \ 41/19 \ -4/19\0\1 end{array}right)$, где $C_1$ и $C_2$ – произвольные константы.

Продолжение этой темы рассмотрим во второй части, где разберём ещё один пример с нахождением общего решения и ФСР.

Линейная система называется однородной,
если все ее свободные члены равны 0.

(2)

В матричном виде однородная система
записывается:
.

Однородная система (2) всегда совместна.
Очевидно, что набор чисел,,
…,удовлетворяет каждому уравнению
системы. Решениеназываетсянулевым илитривиальнымрешением. Таким образом, однородная
система всегда имеет нулевое решение.

При каких условиях однородная
система (2) будет иметь ненулевые
(нетривиальные) решения?

Теорема 1.3 Однородная система
(2)имеет ненулевые решениятогда
и только тогда, когда рангrее основной матрицыменьше числа неизвестныхn.

Система (2) – неопределенная
.

Следствие 1. Если число уравненийm однородной
системы меньше числа переменных,
то система является неопределенной и
имеет множество ненулевых решений.

Следствие 2. Квадратная однородная
системаимеет ненулевые решения тогда и тогда,
когда основная матрица этой системывырождена, т.е. определитель.

В противном случае, если определитель
,
квадратная однородная система имеетединственноенулевое решение.

Пусть ранг системы (2)
т. е система (2) имеет нетривиальные
решения.

Пусть
и— частные решения этой системы, т.е.и.

Свойства решений однородной
системы

1. Если
   и—
   решения однородной системы, то их сумма
   (+)
   также является решением данной системы.

Действительно,
.

1. Если
   —
   решение однородной системы, то при
   умножении его на произвольное числотакже
   получим решение этой системы, т.е.—
   решение системы.

Действительно,
.

Объединяя, свойства 1) и 2), можно
сказать, что если
…,— решения однородной системы (2), то и
всякая их линейная комбинация—
также является ее решением. Здесь—
произвольные действительные числа.

Можно найти
линейно независимых частных решенийоднородной системы (2), с помощью которых
можно получить любое другое частное
решение данной системы, т.е. получить
общее решение системы (2).

Определение 2.2 Совокупностьлинейно независимых частных решений…,однородной системы (2) таких, что каждое
решение системы (2) можно представить
в виде их линейной комбинации, называетсяфундаментальной системой решений
(ФСР) однородной системы (2).

Пусть
…,— фундаментальная система решений, тогда
общее решение однородной системы (2)
можно представить в виде:

,
где.

Замечание. Чтобы получить
ФСР, нужно найти частные решения…,,
придавая поочередно какой-либо одной
свободной переменной значение «1», а
всем остальным свободным переменным –
значения «0».

Получим
,,
…,— ФСР.

Пример. Найти общее решение и
фундаментальную систему решений
однородной системы уравнений:

Решение. Запишем расширенную
матрицу системы, предварительно поставив
на первое место последнее уравнение
системы, и приведем ее к ступенчатому
виду. Поскольку правые части уравнений
в результате элементарных преобразований
не меняются, оставаясь нулями, столбец

можно не выписывать.

̴̴̴

Ранг системы
где— число переменных. Система неопределенная,
имеет множество решений.

Базисный минор при переменных
отличен
от нуля:выбираемв качестве базисных переменных, остальные— свободные переменные (принимают любые
действительные значения).

Последней в цепочке матрице
соответствует ступенчатая система
уравнений:

(3)

Выразим базисные переменные
через свободные переменные(обратный ход метода Гаусса).

Из последнего уравнения выразим

:и подставим в первое уравнение. Получим.
Раскроем скобки, приведем подобные и
выразим:.

Полагая
,,,
где,
запишем

— общее решение системы.

Найдем фундаментальную систему
решений

,,.

Тогда общее решение однородной системы
можно записать в виде:

.

Замечание. ФСР можно было найти
другим путем, без предварительного
отыскания общего решения системы. Для
этого полученную ступенчатую систему
(3) нужно было решить трижды, полагая
для:;
для:;
для:.

Соседние файлы в папке Теория ЛА (первый семестр)

• #

  25.03.2016583.68 Кб5~WRL3348.tmp

• #
• #
• #
• #
• #