Как найти площадь сечения призмы плоскостью проходящей - Autoru.top

Содержание

Метод сечений в стереометрии
Из опыта работы школы N 759 Северо-Восточного учебного округа г. Москвы за 1990-1997 гг.
Нахождение площади сечений в многогранниках
ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ ПЛОЩАДИ СЕЧЕНИЯ.

Метод сечений в стереометрии

Из опыта работы школы N 759 Северо-Восточного учебного округа г. Москвы за 1990-1997 гг.

Курс стереометрии общеобразовательной школы по программе, рассчитанной на два урока в неделю, страдает в своей практической части недостаточной преемственностью курса планиметрии, слабой взаимосвязью с другими учебными предметами и не является в полной мере составной частью базы знаний, необходимых учащимся для продолжения образования в высших учебных заведениях.

Метод сечений, широко известный своей универсальностью, применяется в некоторых разделах физики, в теоретической механике, сопротивлении материалов, гидравлике, в некоторых разделах высшей математики и других естественных науках и технических дисциплинах высшего образования. Этот метод оказывает значительное влияние на развитие у учащихся пространственных представлений и пространственного мышления.

Данный материал характеризуется следующими особенностями:

1. Метод сечений применяется только для многогранников, так как различные сложные (наклонные) виды сечений тел вращения не входят в программу средней школы.

2. В задачах используются в основном простейшие многогранники — с целью доступности решения таких задач как учащимися, так и учителями, а также ввиду возможности применения одних и тех же геометрических конструкций по нескольку раз для изучения различных тем.

3. Учителям, знакомящимся с данным материалом, предлагается самим оценить уровень его трудности в соответствии с уровнем подготовки своих учащихся. Материал как полностью, так и частично, может быть полезен классам и школам всех типов, в том числе и классам с углубленным изучением математики.

4. Задачи представлены в основном без числовых данных, чтобы создать возможность их многовариантного применения. В некоторых задачах намеренно повторяются алгоритмы вычисления различных элементов с целью упрочнения умений и навыков учащихся и стандартизации подхода к решению предложенных и аналогичных задач.

Материал расположен в той последовательности, в какой он применялся для обучения учащихся. Классифицировать его по тематике задач с примерным соблюдением принципа «от простого к сложному» можно весьма условно следующим образом:

I. Нахождение площади сечений в многогранниках (до изучения теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника).
II. Использование свойств подобных треугольников.
III. Нахождение расстояния и угла между скрещивающимися прямыми в многогранниках.
IV. Определение угла между плоскостями.
V. Нахождение площади сечений в многогранниках (с применением теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника).
VI. Отношение объемов частей многогранника.
VII. Наибольшее и наименьшее значения площади переменного сечения в многогранниках.
VIII. Вращение многогранников.

Применение метода сечений в практической части большинства тем стереометрии подтверждает его универсальность.

Нахождение площади сечений в многогранниках

(до изучения теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника)

Источник

ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ ПЛОЩАДИ СЕЧЕНИЯ.

Симметрия многогранников

«Симметрия» в переводе с греческого означает «соразмерность» (повторяемость). Симметричные тела и предметы состоят из равнозначных, правильно повторяющихся в пространстве частей. Особенно разнообразна симметрия кристаллов. Различные кристаллы отличаются большей или меньшей симметричностью. Она является их важнейшим и специфическим свойством, отражающим закономерность внутреннего строения.

Симметрия – это закономерная повторяемость элементов (или частей) фигуры или какого-либо тела, при которой фигура совмещается сама с собой при некоторых преобразованиях (вращение вокруг оси, отражение в плоскости).

Понятие симметрии включает в себя такие понятия, как: ось симметрии, центр симметрии и плоскость симметрии.

1) Ось симметрии — воображаемая ось, при повороте вокруг которой на некоторый угол, фигура совмещается сама с собой в пространстве .

2) Центр симметрии — это точка внутри многогранника, в которой пересекаются и делятся пополам прямые, соединяющие одинаковые элементы многогранника (грани, рёбра, углы).

3) Плоскость симметрии делит многогранник на 2 зеркально равные части (Р).

Симметрия в кубе.

Кубу свойственны все виды симметрии.

а) Центр симметрии (центр куба) — точка пресечения диагоналей куба.

б) Плоскости симметрии (9): 1) 3 плоскости симметрии, проходящие через середины параллельных ребер; 2) 6 плоскостей симметрии, проходящие через противолежащие ребра.

В) Оси симметрии (13):

1) 3 оси, проходящие через центры противолежащих граней;

2) 4 оси симметрии, проходящие через противолежащие вершины;

3) 6 осей, проходящие через середины противолежащих рёбер.

(3) Симметрия в параллелепипеде.

а) Центр симметрии — точка пересечения диагоналей прямоугольного параллелепипеда.

б) Плоскость симметрии. 3 плоскости симметрии, проходящие через середины параллельных рёбер.

в) Оси симметрии. 3 оси симметрии, проходящие через точки пересечения диагоналей противолежащих граней

1) Симметрия прямой призмы. Одна плоскость симметрии, проходящая через середины боковых рёбер.

Симметрия правильной призмы.

а) Центр симметрии. При чётном числе сторон основания центр симметрии — это точка пересечения диагоналей правильной призмы.

б) Плоскости симметрии: 1) плоскость, проходящая через середины боковых рёбер; 2) при чётном числе сторон основания — плоскости, проходящие через противолежащие рёбра.

в) Ось симметрии: а) при чётном числе сторон основания — ось симметрии проходит через центры оснований; б) оси симметрии, проходящие через точки пресечения диагоналей противолежащих боковых граней.

а) Плоскости симметрии: при четном числе сторон основания — а) плоскости, проходящие через противолежащие боковые ребра, и б) плоскости, проходящие через медианы, проведенные к основанию противолежащих боковых граней.

б) Ось симметрии: при четном числе сторон основания — ось симметрии проходит через вершину правильной пирамиды и центр основания.

Сечения многогранников

Сечение — это плоская фигура, которая образуется при пересечении пространственной фигуры плоскостью и граница которой лежит на поверхности пространственной фигуры.

Следом называется прямая, по которой плоскость сечения пересекает плоскость любой из граней многогранника.

Итак, задача состоит в построении пересечения двух фигур: многогранника и плоскости. Это могут быть: пустая фигура (а), точка (б), отрезок (в), многоугольник (г). Если пересечение многогранника и плоскости есть многоугольник, то этот многоугольник называется сечением многогранника плоскостью.

Будем рассматривать только случай, когда плоскость пересекает многогранник по его внутренности. При этом пересечением данной плоскости с каждой гранью многогранника будет некоторый отрезок. Таким образом, задача считается решенной, если найдены все отрезки, по которым плоскость пересекает грани многогранника.

Треугольник, четырехугольник, шестиугольник.

Методы построения сечений

а) Метод следов заключается в построении следов секущей плоскости на плоскость каждой грани многогранника. Построение сечения многогранника методом следов обычно начинают с построения так называемого основного следа секущей плоскости, т.е. следа секущей плоскости на плоскости основания многогранника.

б) Метод вспомогательных сечений построения сечений многогранников является в достаточной мере универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или следы) секущей плоскости оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь ввиду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются “скученными”. Тем не менее в некоторых случаях метод вспомогательных сечений оказывается наиболее рациональным.

Метод следов и метод вспомогательных сечений являются разновидностями аксиоматического метода построения сечений многогранников плоскостью.

в) Суть комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксиоматическим методом.

А теперь на примере решения задач рассмотрим метод следов.

Задача 1. Построить сечение призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки P, Q, R (точки указаны на чертеже ).

Построим след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы. Рассмотрим грань АА₁В₁В. В этой грани лежат точки сечения P и Q. Проведем прямую PQ.

Продолжим прямую PQ, которая принадлежит сечению, до пересечения с прямой АВ. Получим точку S₁, принадлежащую следу.

Аналогично получаем точку S₂ пересечением прямых QR и BC.

Прямая S₁S₂ — след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы.

Прямая S₁S₂ пересекает сторону AD в точке U, сторону CD в точке Т. Соединим точки P и U, так как они лежат в одной плоскости грани АА1D1D. Аналогично получаем TU и RT.

Построить сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки M, N, P (точки указаны на чертеже ).

Точки N и P лежат в плоскости сечения и в плоскости нижнего основания параллелепипеда. Построим прямую, проодящую через эти точки. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскость основания параллелепипеда.

Продолжим прямую, на которой лежит сторона AB параллелепипеда. Прямые AB и NP пересекутся в некоторой точке S. Эта точка принадлежит плоскости сечения.

Так как точка M также принадлежит плоскости сечения и пересекает прямую АА₁ в некоторой точке Х.

Точки X и N лежат в одной плоскости грани АА₁D₁D, соединим их и получим прямую XN.

Так как плоскости граней параллелепипеда параллельны, то через точку M можно провести прямую в грани A₁B₁C₁D₁, параллельную прямой NP. Эта прямая пересечет сторону В₁С₁ в точке Y.

Аналогично проводим прямую YZ, параллельно прямой XN. Соединяем Z с P и получаем искомое сечение – MYZPNX.

ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ ПЛОЩАДИ СЕЧЕНИЯ.

№1 SABCD – четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат ABCD, а две боковые грани SAB и SAD представляют собой прямоугольные треугольники с прямым углом ∠A. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α, если SA=AB=a.

сначала построим сечение по условию задачи.

1)Пусть AC∩BD=O. Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Заметим, что т.к. ∠SAB=∠SAD=90∘⇒SA⊥(ABC). Проведем в плоскости SAC прямую OK∥SC. Т.к. O – середина AC, то по теореме Фалеса K – середина SA. Через точку K в плоскости SAB проведем KM∥SB (следовательно, M – середина AB). Таким образом, плоскость, проходящая через прямые OK и KM, и будет искомой плоскостью. Необходимо найти сечение пирамиды этой плоскостью. Соединив точки O и M, получим прямую MN. Т.к. α∥(SBC),то α пересечет плоскость SCD по прямой NP∥SC (если NP∩SC≠∅, то α∩(SBC)≠∅, что невозможно ввиду их параллельности). Таким образом, KMNP – искомое сечение, причем KP∥AD∥MN⇒ это трапеция.

2)Т.к. все точки K,M,N,P – середины отрезков SA,AB,CD,SD соответственно, то: а) MN=AD=a б) KP=1/2AD=a/2 в) KM=1/2SB=a /2 Заметим, что по теореме о трех перпендикулярах SB⊥BC⇒KM⊥MN. Таким образом, KMNP – прямоугольная трапеция. S_KMNP=(KP+MN)* KM/ 2 =3 a 2 /8

Ответ:3 a 2 /8

№2 Найди площадь сечения прямой призмы, проходящей через середины ребер, если =120°, АВ=5 см, ВС=3см и наибольшая из площадей боковых граней равна 35см 2 .

боковая грань прямой призмы является прямоугольником.

Площадь каждой боковой грани равна произведению высоты призмы на сторону основания.

То есть большая боковая грань содержит большую сторону основания.

По условию =120°, – тупой, а поскольку напротив большей стороны лежит больший угол, то большей стороной основания будет сторона АС. Вычислим длину стороны АС по теореме косинусов.

Получим, что длина стороны АС=7см.

Зная большую сторону основания и площадь наибольшей боковой грани призмы, длину высоты призмы вычислить нетрудно.

Получим, что длина высоты призмы равна .

Найдем площадь основания, а оно равно площади сечения, по формуле .

Мы воспользуемся второй формулой. Получим, что площадь основания равна .

Ответ: 15 /4 см 2

№3 На ребре AB правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка Q, причём AQ:QB=1:2. Точка P — середина ребра AS.

Найдите площадь сечения DPQ, если площадь сечения DSB равна 6.

пусть сторона основания пирамиды равна 3а, а высота пирамиды равна h. Тогда площадь сечения DSB равна

S=BD*SO/2= 3 =6

Площадь сечения DPQ равна

Ответ:

Дана правильная треугольная пирамида SABC с вершиной S. Через середину ребра AC и точки пересечения медиан граней ASB и CSB проведена плоскость. Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если AB=21,AS=12 .

пусть LK∩SO=H. Тогда по теореме о трех перпендикулярах HK⊥AC как наклонная (HO⊥(ABC),OK⊥AC как проекция). Следовательно, и LK⊥AC.

Тогда S_ALC=AC⋅LK/2 Рассмотрим △SKB: BK=AB⋅ /2=21 /2⇒cosB=7 /12 .

Тогда по теореме косинусов для △KLB: KL 2 =729/4⇒KL=27/2

Дана правильная четырехугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁. На ребре AA₁ отмечена точка K так, что AK : KA₁ = 1 : 2. Плоскость α проходит через точки B и K параллельно прямой AC. Эта плоскость пересекает ребро DD₁ в точке M, АВ=4, АА₁=6. Найдите площадь сечения.

По теореме о трех перпендикулярах прямые BM и AC перпендикулярны, а значит, прямые BM и KL перпендикулярны. Площадь четырехугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны, равна половине произведения диагоналей. Найдем их: KL=AC=4 как диагональ квадрата, лежащего в основании призмы, тогда

Ответ: 8

Дата добавления: 2021-02-10 ; просмотров: 117 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник

Муниципальное
общеобразовательное учреждение

«Новомичуринская
средняя общеобразовательная школа №1»

Пронского
района Рязанской области

Пособие по
решению

стереометрических
задач

(№14
ЕГЭ по математике)

Автор:

Козлова Елена Александровна,

учитель математики

МОУ «Новомичуринская средняя

общеобразовательная школа № 1»

2015

Содержание

1. Введение
…………………………………………………………………………

2. Угол
между скрещивающимися прямыми …………………………………….

3. Площади
сечений многогранников ……………………………………………

4. Расстояние
от точки до плоскости …………………………………………….

5. Расстояние
от точки до прямой ………………………………………………..

6. Угол
между прямой и плоскостью ……………………………………………..

7. Угол
между плоскостями ……………………………………………………….

8. Расстояние
между скрещивающимися прямыми ……………………………..

9. Тела
вращения …………………………………………………………………..

10. Объёмы
многогранников ………………………………………………………

11. Ответы……………………………………………………………………………

Введение

«Вдохновение есть расположение души к
живейшему принятию впечатлений и соображению понятий, следственно и объяснению
оных. Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии».

А. С. Пушкин

Задание № 14 (С2) Единого государственного экзамена по
математике представляет стереометрическую задачу. При решении такого вида задач
используют поэтапно вычислительный или координатно-векторный методы.

В данном пособии даны рекомендации к решению и
приведены решения некоторых задач именно поэтапно вычислительным методом
(многие решения представлены учениками 10 – 11 классов 2012 – 2015 уч. г.).
Этот метод является традиционным и требует от учащихся знание теории,
практических умений и навыков, а также развитого пространственного воображения.
В пособии много задач для самостоятельного решения, к которым
даны ответы. Его можно использовать как на уроках геометрии, так и во
внеурочное время для подготовки к ЕГЭ.

Желаю всем, кто
увлечён геометрией, с вдохновением решать стереометрические задачи!

Елена Александровна

Угол между скрещивающимися прямыми

Определение.
Две прямые называются скрещивающимися, если они не
лежат в одной плоскости.

Признак
скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых
лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке,
не лежащей на первой прямой, то эти прямые являются скрещивающимися.

Определение.
Углом между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из углов,
образованных при пересечении прямых.

Величина
угла между двумя пересекающимися прямыми принадлежит промежутку (0⁰;
90⁰).

Определение.
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися
прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся.

При
решении задач на данную тему сначала производят параллельный перенос одной из
скрещивающихся прямых до пересечения с другой прямой. Затем находят величину
угла между двумя пересекающимися прямыми либо из прямоугольного треугольника,
либо из произвольного треугольника, используя теорему косинусов по формуле , где a
и b
– длины сторон треугольника АВС, заключающих искомый угол.

Полезно
помнить следующие утверждения:

·
скрещивающиеся ребра правильной треугольной
пирамиды взаимно перпендикулярны;

·
диагональ основания правильной
четырехугольной пирамиды и скрещивающееся с ней боковое ребро взаимно
перпендикулярны;

·
диагональ правильной четырехугольной
призмы и скрещивающаяся с ней диагональ основания взаимно перпендикулярны.

Задачи
для самостоятельного решения

1. В
кубе АС₁ найдите угол между прямыми А₁D
и D₁Е,
где Е – середина ребра СС₁.

2. В
кубе АС₁ найдите угол между прямыми АD₁
и DM,
где М – середина ребра D₁C₁.

3. В
кубе АС₁ точки Р и М – середины ребер А₁В₁и В₁С₁
соответственно. Найдите косинус угла между прямыми АР и ВМ.

4. На
ребре СС₁ куба АС₁ отмечена точка Е так, что СЕ : ЕС₁
= 1 : 2. Найдите угол между прямыми ВЕ и АС₁.

5. Сторона
основания правильной треугольной призмы АВСА₁В₁С₁равна
8. Высота призмы равна 6. Найдите угол между прямыми СА₁ и АВ₁.

6. В
правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁ все
ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ и СА₁.

7. В
правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁ все
ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ₁ и ВС₁.

8. В
правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁
сторона основания равна 4, высота равна 10. Точки К и М – середины ребер АС и А₁В₁
соответственно. Найдите косинус угла между прямыми АС₁ и КМ.

9. Боковое
ребро правильной треугольной пирамиды SABC
равно 6, а косинус угла ASB при вершине
боковой грани равен . Точка М – середина ребра SC.
Найдите косинус угла между прямыми ВМ и SA.

10. В
правильной четырехугольной пирамиде SABCD
сторона основания равна 4. Точка К – середина ребра SB.
Тангенс угла между прямыми SD
и СК равен 2. Найдите площадь боковой поверхности
пирамиды.

11. Дана
правильная четырехугольная пирамида МАВСD.
Сторона основания пирамиды равна 5. Тангенс угла между
прямыми DM
и AL,
где L
– середина МВ, равен . Найдите высоту данной
пирамиды.

12. В
правильном тетраэдре АВСD найдите угол
между высотой DH тетраэдра и медианой
боковой грани BCD.

13. Длины
всех ребер правильной четырехугольной пирамиды РАВСD
равны между собой. Найдите угол между прямыми РН и ВМ, если отрезок РН – высота
данной пирамиды, точка М – середина её бокового ребра АР.

Пример
1. В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁
все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ₁ и
ВС₁.

Решение Семячкиной Юлии (11
класс, 2012 -2013 уч. год).

Пример 2.
В правильном тетраэдре АВСD
найдите угол между высотой DH
тетраэдра и медианой боковой грани BCD.

Решение Зуевой Марии (11
класс, 2012 -2013 уч. год).

Пример 3. Дана правильная четырехугольная пирамида МАВСD. Сторона основания пирамиды равна 5. Тангенс угла между прямыми DM и AL, где L – середина МВ, равен . Найдите высоту данной пирамиды.

Решение Казаченко Виктории (11
класс, 2013 – 2014 уч. год).

Пример
4. В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁
сторона основания равна 4, высота равна 10. Точки К и М – середины ребер АС и А₁В₁
соответственно. Найдите косинус угла между прямыми АС₁ и КМ.

Решение Каковкиной Юлии (10
класс, 2014 – 2015 уч. год).

Площади сечений многогранников

Задачи для самостоятельного решения

1. В
прямоугольном параллелепипеде АС₁ известны ребра АВ = 5, АD
= 4, АА₁ = 9. Точка О принадлежит ребру ВВ₁ и делит его в
отношении 4 : 5, считая от вершины В. Найдите площадь сечения этого
параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки А, О и С₁.

2. На
ребре АВ прямоугольного параллелепипеда АС₁ взята точка Е так, что
АЕ : ЕВ = 4 : 1. Найдите площадь сечения плоскостью ЕСА₁, если АВ =
5, АD
= 4, АА₁ = 1.

3. В
правильной четырехугольной призме АС₁ сторона основания равна 6, а боковое
ребро АА₁ = 1. Точка F
принадлежит ребру С₁D₁
и делит его в отношении 2 : 1, считая от вершины С₁. Найдите площадь
сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки А, С и F.

4. В
правильной четырехугольной призме АС₁ сторона основания равна 11, а
боковое ребро АА₁ = 7. Точка К принадлежит ребру В₁С₁
и делит его в отношении 8 : 3, считая от вершины В₁. Найдите площадь
сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки В, D
и К.

5. Сторона
основания правильной треугольной призмы АВСА₁В₁С₁
равна 30. На ребрах АС, АВ и А₁В₁ выбрали точки К, Р и М
соответственно так, что АК : КС = АР : РВ = В₁М : МА₁ = 2
: 1. Площадь сечения призмы плоскостью КРМ равна 210. Найдите площадь боковой
грани данной призмы.

6. В
правильной треугольной пирамиде SАВС
с основанием АВС проведено сечение через середины ребер АВ и ВС и вершину S.
Найдите площадь сечения, если боковое ребро пирамиды равно 10, а сторона
основания равна 12.

7. В
правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС сторона основания равна
8, а боковое ребро равно 16. На ребре АС находится точка D,
на ребре АВ находится точка Е, а на ребре АМ – точка L.
Известно, что CD = BE
= LM
= 4. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E,
D,
L.

8. В
правильной треугольной пирамиде МАВС с вершиной М высота равна 3, а боковые
ребра равны 6. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей
через середины ребер АВ и АС параллельно прямой МА.

9. МАВС
– правильная пирамида, основание АВС – правильный треугольник со стороной 3. Ребро
МА перпендикулярно плоскости АВС, ребро МВ = 5. На ребре АС находится точка D,
на ребре АМ – точка L, на ребре АВ –
точка Е. АD = 2, ВЕ = МL=
1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки Е, D
и L.

10. В
правильной треугольной пирамиде SABC
с основанием АВС сторона основания равна 8, угол ASB
равен 36⁰. На ребре SC
взята точка М так, что АМ – биссектриса угла SAC.
Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки А. М, В.

11. В
правильной треугольной пирамиде SABC
с вершиной S угол между боковым
ребром и плоскостью основания равен 60⁰, сторона основания равна 1, SH
– высота пирамиды. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей
через точку Н параллельно ребрам SA
и ВС.

12. Высота
правильной треугольной пирамиды равна стороне ее основания, длина которого
равна а. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей
через сторону основания перпендикулярно противоположному ребру.

13. В
правильной треугольной пирамиде SABC
боковое ребро SA= 5, а сторона основания
АВ = 4. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через ребро АВ
перпендикулярно ребру SC.

14. В
правильной треугольной пирамиде SABC
с вершиной S сторона основания равна
4. Через прямую АВ проведено сечение,
перпендикулярное ребру SC, площадь которого
равна 18. Найдите длину бокового ребра пирамиды.

15. Через
сторону основания правильной треугольной пирамиды проведена плоскость
перпендикулярно противоположному ребру. Сторона основания пирамиды равна а,
секущая плоскость делит боковое ребро в отношении 3 : 2, считая от вершины
пирамиды. Найдите боковое ребро и площадь боковой поверхности пирамиды.

16. Площадь
боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды SABСD
равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144. Найдите
площадь сечения, проходящего через вершину S
этой пирамиды и через диагональ ее основания.

17. В
правильной четырехугольной пирамиде МАВСD
боковое ребро равно 8, высота пирамиды равна 2.
Найдите площадь сечения, проходящего через прямую BD
и середину F ребра МС.

18. Высота
правильной четырехугольной пирамиды равна 80, сторона основания равна 120.
Вычислить площадь сечения, проходящего через центр основания параллельно
боковой грани.

19. В
правильной четырехугольной пирамиде МАВСD
с вершиной М стороны основания равны 3, а боковые ребра равны 8. Найдите
площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку В и середину ребра MD
параллельно прямой АС.

20. В
правильной пирамиде МАВСD АМ = 4, АD
= 3. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ ВD
основания параллельно ребру МА и найдите его площадь.

21. В
правильной треугольной призме все ребра равны 1. Точка Е – середина ребра АС.
Найдите площадь сечения призмы плоскостью А₁В₁Е.

Пример
1. Высота правильной треугольной пирамиды
равна стороне ее основания, длина которого равна а. Найти площадь
сечения пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания перпендикулярно
противоположному ребру.

Пример 2. На ребре АВ прямоугольного
параллелепипеда АС₁ взята точка Е так, что АЕ : ЕВ = 4 : 1. Найдите
площадь сечения плоскостью ЕСА₁, если АВ = 5, АD = 4, АА₁ = 1.

Решение
Перемыщевой Анны (10 класс, 2014 – 2015 уч. год).

Пример
3. Сторона основания правильной треугольной
призмы АВСА₁В₁С₁ равна 30. На ребрах АС, АВ и
А₁В₁ выбрали точки К, Р и М соответственно так, что АК :
КС = АР : РВ = В₁М : МА₁ = 2 : 1. Площадь сечения призмы
плоскостью КРМ равна 210. Найдите площадь боковой грани данной призмы.

Решение Лутхова Андрея (10
класс, 2014 – 2015 уч. год).

Пример
4. Высота правильной четырехугольной
пирамиды равна 80, сторона основания равна 120. Вычислить площадь сечения
пирамиды плоскостью, проходящей через центр основания параллельно боковой
грани.

Решение Рыковой Елены (11
класс, 2013 – 2014 уч. г.).

Расстояние
от точки до плоскости

Определение.
Расстоянием от точки А до плоскости , не содержащей эту
точку, называется длина перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости .

Признак
перпендикулярности прямой и плоскости. Если
прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то
она перпендикулярна к этой плоскости.

Признак
перпендикулярности двух плоскостей. Если одна из двух
плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие
плоскости перпендикулярны.

Признак
параллельности прямой и плоскости. Если прямая, не
лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой
плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Признак
параллельности двух плоскостей. Если две пересекающиеся
прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости,
то эти плоскости параллельны.

При
решении задач по данной теме, применяют метод площадей, подобие треугольников,
метод объемов.

Метод
площадей. Если площадь треугольника со сторонами a,
b
и с равна S
и к стороне b
этого треугольника проведена высота h,
то h = .

Можно
воспользоваться формулой: h_b =
.

Метод
объемов. Если объем пирамиды АВСМ равен V,
то расстояние от точки М до плоскости АВС находят по формуле: . При данном методе нет необходимости в
обоснованном построении перпендикуляра из точки к плоскости.

Правила, которые помогут
решить некоторые задачи.

Правило
1. Чтобы найти расстояние от данной точки до данной
плоскости, достаточно найти расстояние от произвольной точки прямой, содержащей
данную точку, до параллельной ей данной плоскости.

Правило
2. Чтобы найти расстояние от данной точки до данной
плоскости, достаточно найти расстояние от произвольной точки плоскости,
содержащей данную точку, до параллельной ей данной плоскости.

Необходимо
знать, что:

·в
правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся ребра взаимно перпендикулярны;

·плоскость,
проходящая через высоту правильной пирамиды (треугольной, четырехугольной,
шестиугольной) и высоту её боковой грани (апофему), перпендикулярна этой
боковой грани;

·диагональ
куба перпендикулярна плоскости, проведенной через концы трех ребер куба,
выходящих из той же вершины, что и диагональ.

Задачи для
самостоятельного решения

1. В
кубе AC₁
плоскость проходит через прямую А₁В₁ и середину ребра DD₁.
Найдите расстояние от середины ребра CD
до этой плоскости, если ребро куба равно 4.

2. В
кубе AC₁
все ребра равны 1. Найдите расстояние от середины отрезка ВС₁ до
плоскости АВ₁D₁.

3. Ребро
куба AC₁
равно . Найдите
расстояние от вершины С до плоскости BDC₁.

4. В
единичном кубе AC₁
найдите расстояние от точки А до плоскости BDC₁.

5. В
основании прямого параллелепипеда АС₁ лежит квадрат ABCD
площади 36. Найдите расстояние от точки А₁ до плоскости ВС₁D,
если высота параллелепипеда равна 12.

6. В
правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁
все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости СА₁В₁.

7. В
правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁
все ребра равны 1. Найдите расстояния от точки В до плоскостей FB₁C₁
и DEA₁.

8. В
правильной треугольной пирамиде SABC
с основанием АВС боковое ребро равно 5, а сторона основания равна 6. Найдите
расстояние от вершины А до плоскости SBC.

9. В
правильной шестиугольной пирамиде МABCDEF,
стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 4, найти расстояние

1) от
центра основания пирамиды до грани EMD;

2) от
середины ребра ВС до плоскости грани ЕМD.

10. В
правильной четырехугольной пирамиде PABCD c
основанием ABCD точка М – середина ребра
РА, точка К – середина ребра РВ. Найдите расстояние от вершины А до плоскости
СМК, если РС = 6, АВ = 4.

11. SABCD
– правильная четырехугольная пирамида. Боковое ребро SA
= , сторона
основания равна 2. Найдите расстояние от точки В до плоскости ADM,
где М – середина ребра SC.

12. В
правильной четырехугольной пирамиде SABCD
с основанием ABCD сторона основания равна
6. Точка К –
середина ребра SC. Через прямую АК
проведено сечение параллельное одной из диагоналей основания, площадь которого
равна 60. Найдите расстояние от точки В до плоскости сечения.

13. В
правильной четырехугольной пирамиде МABCD
АР = 4, АD = 3. Постройте сечение
пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ ВD
основания параллельно ребру МА и найдите расстояние от точки М до плоскости
сечения.

14. Ребро
SA
пирамиды SABC перпендикулярно
плоскости основания АВС.

a) Постройте
прямую пересечения плоскости, проходящей через середины ребер АВ, АС, SА,
и плоскости, проходящей через середину ребра ВС и перпендикулярной ему.

b) Найдите
расстояние от вершины А до плоскости, проходящей через середины ребер АВ, АС и
SA,
если SA
= , AB
= AC
= 5, BC
= 2.

Пример
1. В правильной четырехугольной пирамиде МABCD
АР = 4, АD
= 3. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ ВD
основания параллельно ребру МА и найдите расстояние от точки М до плоскости
сечения.

Пример
2. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁
все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости СА₁В₁.

Решение Лобастовой Анны (11
класс, 2012 – 2013 уч. год).

Пример 3.
Ребро куба AC₁
равно .
Найдите расстояние от вершины С до плоскости BDC₁.

Расстояние
от точки до прямой

Определение.
Пусть точка А не лежит на прямой а. Расстоянием от точки А
до прямой а называется длина перпендикуляра, проведенного из данной
точки на данную прямую.

Теорема о трех
перпендикулярах. Прямая, проведенная в плоскости через
основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость,
перпендикулярна и к самой наклонной.

Расстояние от
точки до прямой можно вычислить, как длину отрезка
перпендикуляра, если удается включить этот отрезок в некоторый треугольник в
качестве одной из высот.

Полезно помнить,
что

·
расстояние между двумя параллельными
прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра;

·
расстояние между двумя параллельными
прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до другой прямой;

·
скрещивающиеся ребра правильной
треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны.

При решении задач на данную тему,
можно воспользоваться следующим правилом:

чтобы найти расстояние от
точки до прямой, достаточно найти расстояние от прямой, параллельной данной и
содержащей данную точку, до данной прямой.

Задачи
для самостоятельного решения

1. В
единичном кубе АС₁ найдите расстояние от точки D
до прямой А₁С.

2. В
единичном кубе АС₁ на диагоналях АD₁
и D₁В₁
граней взяты точки Е и F так, что D₁Е
= АD₁,
D₁F
= D₁B₁.
Найдите расстояние от точки D₁
до прямой EF.

3. В
единичном кубе АС₁ найдите расстояние от точки D₁
до прямой PQ, где Р и Q
– середины ребер А₁В₁ и ВС соответственно.

4. Длины
ребер АВ, АА₁ и АD
прямоугольного параллелепипеда АС₁ равны соответственно 12, 16 и 15.
Найдите расстояние от вершины А₁ до прямой ВD₁.

5.     Основанием
прямого параллелепипеда является ромб ABCD,
сторона которого равна 4, а угол ВАD
равен 60⁰. Найдите расстояние от точки А до прямой     С₁
D₁,
если известно, что боковое ребро параллелепипеда   равно 8.

6. Основанием
прямой призмы является равнобедренный треугольник АВС, боковая сторона которого
равна 6, а угол АСВ равен 120⁰.
Найдите расстояние от точки А до прямой В₁С₁, если
боковое ребро данной призмы равно 12.

7. В
правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁,
все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой D₁E₁.

8. В
правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁,
все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой B₁C₁.

9. В
правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁,
все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой BC₁.

10. В
правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁,
все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой АD₁.

11. В
правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁,
все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой E₁F₁.

12. В
правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁
стороны основания которой равны 3, а боковые ребра равны 4, найдите расстояние
от точки С до прямой D₁E₁.

13. В
тетраэдре АВСD, все ребра которого
равны 1, найдите расстояние от точки а до прямой, проходящей через точку В и
середину ребра СD.

14. DАВС
– правильная треугольная пирамида с вершиной D.
Сторона основания пирамиды равна , высота равна . Найдите расстояние от середины бокового
ребра ВD
до прямой МТ. Где точки М и Т – середины ребер АС и АВ соответственно.

15. В
правильной треугольной пирамиде МАВС с вершиной М, все ребра которой равны 2,
точка Р – середина ребра АВ, точка О – центр основания пирамиды. Точка К делит
МО в отношении 3 : 1, считая от вершины пирамиды. Найдите расстояние от точки С
до прямой РК.

16. SABCD
– правильная четырехугольная пирамида с вершиной S.
Ребро основания пирамиды равно , высота равна . Найдите расстояние от середины ребра АD
до прямой МТ, где точки М и Т – середины ребер СS
и ВС соответственно.

17. В
правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF,
стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние
от точки С до прямой SA.

18. В
правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁
стороны основания равны 5, а боковые ребра равны 11.

a) Постройте
сечение призмы плоскостью, проходящей через точки С, А₁ и Е₁.

b) Найдите
расстояние от точки С до прямой А₁F₁.

Пример 1.
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁,
все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой BC₁.

Решение
Соловьёвой Валерии (11 класс, 2013 – 2014 уч. год).

Пример
2. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁,
все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой B₁C₁.

Решение Таракановой Елены (10
класс, 2012 – 2013 уч. год).

Пример
3. DАВС
– правильная треугольная пирамида с вершиной D.
Сторона основания пирамиды равна , высота равна . Найдите расстояние от середины бокового
ребра ВD до прямой МТ. Где точки
М и Т – середины ребер АС и АВ соответственно.

Угол
между прямой и плоскостью

Определение.
Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной
к ней, называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Угол между прямой
и плоскостью можно вычислить, если этот угол удается включить в прямоугольный
треугольник в качестве одного из его острых углов.

Помните, что в
прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого
острого угла.

Необходимо
знать, что:

·в
правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся ребра взаимно перпендикулярны;

·диагональ
куба перпендикулярна плоскости, проведенной через концы трех ребер куба,
выходящих из той же вершины, что и диагональ;

·если
прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей
в этой плоскости.

Правила,
которые помогут решить некоторые задачи

1) Чтобы
найти угол между прямой и плоскостью, достаточно найти угол между прямой,
параллельной данной прямой, и данной плоскостью.

2) Чтобы
найти угол между прямой и плоскостью, достаточно найти угол между прямой и
плоскостью, параллельной данной плоскости.

3)    Чтобы
найти угол между прямой и плоскостью, достаточно найти угол между      прямой и
плоскостью, параллельным данным прямой и плоскости.

В случае если прямая и плоскость имеют
общую точку вне многогранника, необходимо предварительно выполнить параллельный
перенос прямой до пересечения с плоскостью либо параллельный перенос плоскости
до пересечения с прямой, чтобы общая точка стала «видимой» на данном
многограннике.

Задачи
для самостоятельного решения

1. В
кубе АС₁ найдите угол между прямой АС₁ и плоскостью ВСС₁.

2. В
кубе найдите тангенс угла между прямой АС₁ и плоскостью BDD₁.

3. В
прямоугольном параллелепипеде АС₁ известны ребра АА₁ = 4,
А₁D₁
= 6, С₁D₁
= 6. Найдите тангенс угла между плоскостью ADD₁
и прямой EF, проходящей через
середины ребер АВ и В₁С₁.

4. В
прямоугольном параллелепипеде АС₁ найдите угол между прямой АВ₁
и плоскостью АВС₁, если АВ = 2, AD
= AA₁
= 1.

5. В
кубе АС₁ найдите угол между прямой АВ₁ и плоскостью АВС₁.

6. В
единичном кубе АС₁ найдите угол между прямой А₁В₁
и плоскостью ВDС₁.

7. В
единичном кубе АС₁ найдите угол между прямой CD₁
и плоскостью АВ₁D₁.

8. Основанием
прямой призмы ABCA₁B₁C₁
является прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ = 5 и катетом ВС = . Высота призмы равна . Найдите угол между прямой С₁В
и плоскостью АВВ₁.

9. В
правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁
все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой АВ₁ и и
плоскостью и АА₁С₁.

10. В
правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁
все ребра равны 1. Точка Р – середина ребра А₁В₁. Найдите
угол между прямой АР и плоскостью BDD₁.

11. В
правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁
все ребра равны 1. Найдите угол между прямой AF
и плоскостью ВСС₁.

12. В
правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁
все ребра равны 1. Найдите угол между прямой АС₁ и плоскостью ACD₁.

13. В
правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁
сторона основания равна 1, а высота равна 6. Найдите угол между прямой F₁B₁
и
плоскостью AF₁C₁.

14. В
правильном тетраэдре АВСD найдите угол
между медианой ВМ грани АВD
и плоскостью ВСD.

15. SАВС
– правильная треугольная пирамида с основанием АВС. АВ = 7; SС
= 25. Найдите угол образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через
середины ребер АS и ВС.

16. В
правильной треугольной пирамиде SАВС
с основанием АВС известны ребра: АВ = 12, SС
= 13. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой АМ, где М –
точка пересечения медиан грани SВС.

17. Высота
SО
правильной треугольной пирамиды SАВС
составляет от высоты SМ
боковой грани SАВ. Найдите угол между
плоскостью основания пирамиды и ее боковым ребром.

18. Длины
всех ребер правильной четырехугольной пирамиды РАВСD
с вершиной Р равны между собой. Найдите угол между прямой ВМ и плоскостью ВDР,
если точка М – середина бокового ребра АР пирамиды.

19. В
правильной четырехугольной пирамиде SАВСD,
все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой АВ и плоскостью SАD.

20. В
правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF,
боковые ребра которой равны 2, а стороны основания равны 1, найдите косинус
угла между прямой АС и плоскостью SAF.

Пример 1. Длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды РАВСD с вершиной Р равны между собой.
Найдите угол между прямой ВМ и плоскостью ВDР, если точка М – середина бокового
ребра АР пирамиды.

Пример 2. В прямоугольном параллелепипеде АС₁ найдите угол
между прямой АВ₁ и плоскостью АВС₁, если АВ = 2, AD = AA₁ = 1.

Угол
между плоскостями

Чтобы найти угол между плоскостями и , надо проделать
следующие шаги:

1. Определить
линию пересечения данных плоскостей.

2. Построить
линейный угол двугранного угла, образованного пересекающимися плоскостями и .

3. Заключить
этот угол в некоторый треугольник (либо в прямоугольный либо в произвольный) и
найти его величину.

Утверждения,
которые помогут решить некоторые задачи:

1) угол
между данными плоскостями равен углу между плоскостями, параллельными данным
(или между одной из данных плоскостей и плоскостью, параллельной другой из
них);

2) угол
между плоскостями и равен
углу между прямыми m
и n,
соответственно перпендикулярными данным плоскостям;

3) угол
между плоскостями и
можно вычислить, используя формулу

cos,

где
S
– площадь многоугольника, лежащего в плоскости , S_пр
– площадь его ортогональной проекции на плоскость .

Необходимо
знать, что:

·
двугранный угол измеряется величиной его
линейного угла;

·
величина двугранного угла принадлежит
промежутку (0⁰; 180⁰);

·
величина угла между пересекающимися
плоскостями принадлежит промежутку (0⁰; 90⁰];

·
для построения линейного угла двугранного
угла, образованного пересекающимися плоскостями и , нужно выбрать на линии пересечения
плоскостей фиксированную точку так, что к ней можно было восстановить два
перпендикуляра m
и n соответственно,
«сходящихся» в выбранной точке.

При
решении задач часто используются теоремы:

Теорема косинусов.
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без
удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Теорема.
Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и
пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной
прямой.

Теорема о трех перпендикулярах.
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее
проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Задачи
для самостоятельного решения

1. В
кубе АС₁ найдите косинус угла между плоскостями ВА₁С₁
и ВА₁D₁.

2. В
единичном кубе АС₁ найдите тангенс угла между плоскостями ADD₁
и ВDC₁.

3. В
прямоугольном параллелепипеде АС₁ известны ребра АВ = 6, ВС =
6, СС₁ = 4. Найдите тангенс угла между плоскостями АСD₁и А₁В₁С₁.

4. В
прямоугольном параллелепипеде АС₁ известны ребра АВ = 6, АD
= 8, СС₁ = 16. Найдите угол между плоскостями АВС и А₁DВ.

5. В
прямоугольном параллелепипеде АС₁ известны ребра АВ = 4, ВС = 6,
СС₁ = 4. Найдите тангенс угла между плоскостями СDD₁
и ВDA₁.

6. Сторона
основания правильной треугольной призмы АВС A₁B₁C₁
равна 2, а диагональ боковой грани равна .
Найдите угол между плоскостью А₁ВС и плоскостью основания призмы.

7. В
правильной треугольной призме АВС A₁B₁C₁,
все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями АВС и СА₁В₁.

8. Основание
прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁
— ромб ABCD
с углом А = 60⁰ и стороной, равной 2. Найдите высоту призмы,
если угол между плоскостями А₁ВС и АВС равен 30⁰.

9. В
основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁
лежит квадрат ABCD со стороной 2, высота
призмы равна 1. Точка Е лежит на диагонали ВD₁,
причем ВЕ = 1. Постройте сечение призмы плоскостью А₁С₁Е
и найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью АВС.

10. В
правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁,
все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями АВС и DB₁F₁.

11. Основание
прямой четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁
– прямоугольник ABCD, где АВ = 5, AD
= . Найдите тангенс угла между плоскостью
грани AA₁D₁D
призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра CD
перпендикулярно прямой В₁D,
если расстояние между прямыми А₁С₁ и ВD
равно .

12. Основание
прямой четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁
– прямоугольник ABCD, где АВ = 12, AD
=5. Найдите угол между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей
через середину ребра AD перпендикулярно
прямой BD₁,
если расстояние между прямыми АС и В₁D₁
равно 13.

13. Сторона
основания правильной треугольной призмы АВСA₁B₁C₁
равна 2, а высота равна 3. Через вершины А, В₁ и середину ребра СС₁
проведена плоскость. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и основанием
АВС призмы.

14. В
правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁
стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 5. На ребре АА₁
отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА₁ = 2 : 1. Найдите угол между
плоскостями АВС и ВЕD₁.

15. В
правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6, а боковое ребро
наклонено к плоскости основания под углом 60⁰. Найдите величину
двугранного угла между смежными боковыми гранями.

16. В
правильной шестиугольной пирамиде стороны основания равны 1, а боковые ребра
равны 2. Найдите косинус двугранного угла при основании и косинус двугранного
угла при боковом ребре.

17. В
правильной треугольной пирамиде SABC
с вершиной S, все ребра которой равны
2, точка М – середина АВ. Точка О – центр основания пирамиды; точка F
делит SO
в отношении 3 : 1, считая от вершины пирамиды. Найдите угол между
плоскостями MBF и АВС.

18. В
правильной треугольной пирамиде МАВС с вершиной М сторона основания равна 6. На
ребре АВ отмечена точка К. Сечение МКС является равнобедренным треугольником с
основанием МС. Найдите угол между плоскостями МРС и МВС, где точка Р – середина
ребра АВ.

19. Косинус
угла между боковой гранью и основанием правильной треугольной пирамиды равен . Найдите угол между смежными боковыми
гранями этой пирамиды.

20. В
правильной четырехугольной пирамиде SABCD,
все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостью SAD
и плоскостью, проходящей через точку А перпендикулярно прямой BD.

21. В
правильной четырехугольной пирамиде SABCD
точка S
– вершина, точка М – середина ребра SА,
точка К – середина ребра SC. Найдите угол
между плоскостями ВМК и АВС, если АВ = 8 и SC
= 10.

22. В
правильной треугольной пирамиде SABC
с основанием АВС точка М – середина ребра SA,
точка К — середина ребра SB. Найдите угол
между плоскостями СМК и АВС, если SC
= 6, ВС = 4.

23. В
правильной четырехугольной пирамиде SABCD
с вершиной S все ребра равны между
собой. Точка М – середина ребра SC.
Найдите угол между плоскостью АDM
и плоскостью основания.

24. Изобразите
сечение единичного куба, проходящее через вершину D₁
и середины ребер АВ и ВС. Найдите его площадь.

25. В
основании прямой призмы АВСDА₁В₁С₁D₁
лежит ромб АВСD со стороной и углом равным 60⁰. На ребрах
АВ, В₁С₁ и DС
взяты соответственно точки E,
F
и G
так, что АЕ = ЕВ, В₁F
= FC₁
и DG
= 3GC.
Найдите косинус угла между плоскостями EFG
и АВС, если высота призмы равна 4,5.

26. В
правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁,
стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите угол между
плоскостями ВА₁D₁
и АА₁Е₁.

27. В
правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁
все ребра равны 1.

a) Постройте
прямую пересечения плоскости АА₁DD₁
с плоскостью, проходящей через точки D,
B₁
и F₁.

b) Найдите
тангенс угла между плоскостями. АВС и D B₁F₁.

Пример
1. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD,
все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостью SAD
и плоскостью, проходящей через точку А перпендикулярно прямой BD.

Пример 2.
В правильной треугольной пирамиде SABC
с основанием АВС точка М – середина ребра SA,
точка К — середина ребра SB.
Найдите угол между плоскостями СМК и АВС, если SC
= 6, ВС = 4.

Решение
Кряжовой Анастасии (10 класс, 2013 – 2014 уч. год).

Пример 3.
В прямоугольном параллелепипеде АС₁ известны ребра АВ = 4, ВС
= 6, СС₁ = 4. Найдите тангенс угла между плоскостями СDD₁
и ВDA₁.

Решение
Козловой Анастасии (10 класс, 2013 – 2014 уч. год).

Пример
4. В правильной треугольной пирамиде сторона основания
равна 6, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60⁰.
Найдите величину двугранного угла между смежными боковыми гранями.

Решение Золотухиной Екатерины
(10 класс, 2013 – 2014 уч. год).

Расстояние
между скрещивающимися прямыми

Определение.
Две прямые называются скрещивающимися, если они не
лежат в одной плоскости.

Признак скрещивающихся прямых.
Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая
пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые
являются скрещивающимися.

Теорема. Через
каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой
прямой, и притом только одна.

Определение. Общим
перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок, концы которого
лежат на этих прямых, и он перпендикулярен каждой из этих прямых.

Определение. Расстоянием
между двумя скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.

Правило 1. Чтобы
найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, достаточно найти
расстояние от какой-либо точки одной из этих прямых до параллельной ей
плоскости, содержащей другую прямую.

Правило 2. Чтобы
найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, достаточно найти
расстояние между параллельными плоскостями (от какой-либо точки одной плоскости
до другой плоскости), содержащими эти скрещивающиеся прямые.

Задачи для самостоятельного решения

1. В
кубе АС₁ найдите расстояние между прямыми АА₁ и D₁B₁.

2. В
кубе найдите расстояние между прямыми АВ и А₁С.

3. В
правильной четырехугольной призме сторона основания равна 6, боковое ребро
равно 8. Найдите расстояние от стороны основания до не пересекающей ее диагонали
призмы.

4. В
единично кубе найдите расстояние между прямыми АВ₁ и ВС₁
(между непересекающимися диагоналями двух смежных граней).

5. В
кубе с ребром а найдите расстояние между прямыми АС и В₁D.

6. В
правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁все
ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми АА₁ и ВС₁.

7. Дана
правильная треугольная призма АВСА₁В₁С₁, все
ребра основания которой равны 2. Сечение, проходящее
через боковое ребро АА₁ и середину м ребра В₁С₁
является квадратом. Найдите расстояние между прямыми А₁ В и АМ.

8. В
правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁,
все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми АА₁ и СF₁.

9. В
пирамиде DABC известны длины ребер АВ
= АС = DB
= DC
= 13, DA = 6, BC
= 24. Найдите расстояние между прямыми DA
и ВС.

10. В
правильной четырехугольной пирамиде SABCD,
все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми SA
и ВС.

11. В
правильной четырехугольной пирамиде SABCD
сторона основания равна 3, а высота равна 6. Найдите расстояние между медианой
АМ боковой грани ASB и ребром SD.

Пример
1. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD,
все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми BD
и SA.

Пример
2. В правильной четырехугольной призме
сторона основания равна 6, боковое ребро равно 8. Найдите расстояние от стороны
основания до не пересекающей ее диагонали призмы.

Пример
3. Дана правильная треугольная призма АВСА₁В₁С₁,
все ребра основания которой равны 2. Сечение, проходящее
через боковое ребро АА₁ и середину м ребра В₁С₁
является квадратом. Найдите расстояние между прямыми АВ и АМ.

Тела
вращения

Задачи

1. Радиус
основания конуса с вершиной Р равен 6, а длина его образующей равна 9. На
окружности основания конуса выбраны точки А и В, делящие окружность на две
дуги, длины которых относятся как 1 : 3. Найдите площадь сечения конуса
плоскостью АВР.

2. Радиус
основания конуса равен 8, а его высота равна 15. Плоскость сечения содержит
вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 14. Найдите расстояние от
центра основания конуса до плоскости сечения.

3. Отрезок
АС – диаметр основания конуса, отрезок АР – образующая этого конуса и АР = АС.
Хорда основания ВС составляет с прямой АС угол 60⁰. Через АР
проведено сечение конуса плоскостью, параллельной прямой ВС. Найдите расстояние
от центра основания конуса О до плоскости сечения, если радиус основания конуса
равен 1.

4. Диаметр
окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость
пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Найдите тангенс угла между
этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

5. Высота
цилиндра равна 3. Равнобедренный треугольник АВС с боковой стороной 10 и углом
А, равным 120⁰, расположен так, что его вершина А лежит на
окружности нижнего основания цилиндра, а вершины В и С – на окружности верхнего
основания цилиндра. Найдите угол между плоскостью АВС и плоскостью основания
цилиндра.

Объемы
многогранников

Задачи

1. В
правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁
боковое ребро равно 8, а ребро основания равно 1.
Точка D
– середина ребра ВВ₁. Найдите объем пятигранника АВСА₁D.

2. В
правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁
боковое ребро равно , а ребро основания равно 4.
Точка D
– середина ребра ВВ₁. Найдите объем пятигранника А₁В₁С₁СD.

3. Правильные
треугольники АВС и ВСМ лежат в перпендикулярных плоскостях, ВС = 8. Точка Р –
середина СМ, а точка Т делит отрезок ВМ так, что ВТ : ТМ = 1 : 3. Найдите
объем пирамиды МРТА.

4. Правильные
треугольники АВС и АВМ лежат в перпендикулярных плоскостях, АВ = 10. Точка Р – середина АМ, а точка Т делит
отрезок ВМ так, что ВТ : ТМ = 3 : 1. Найдите объем пирамиды МРТС.

Ответы.

Угол
между скрещивающимися прямыми

1. ; 2. ; 3. ; 4.
; 5. ;
6. ; 7. ;
8. ; 9. ;
10. 64; 11. 5; 12. ;
13. .

Площади сечений многогранников

1.
; 2. ; 3.
; 4. ;
5. 330; 6. ; 7. ; 8. ;
9. ; 10. ;
11. ; 12. ;
13. ; 14. 84; 15. и ; 16.
36; 17. ; 18. 4500; 19.
; 20. ; 21. .

Расстояние
от точки до плоскости

1.;
2. ; 3. ;
4. ; 5. 8; 6. ; 7. и
; 8. ;
9. и 10. ; 11. 1; 12. ; 13. .
14. 1.

Расстояние
от точки до прямой

1.;
2. ; 3. ;
4. 12; 5. 10; 6. 15; 7. 2; 8. ; 9. ;
10. ; 11. 2; 12. ; 13. ;
14. ; 15. 1; 16. ; 17. .
18. 14.

Угол
между прямой и плоскостью

1.; 2. ; 3. ; 4. ;
5. 30⁰; 6. ; 7. ; 8. 45⁰;
9. ; 10. ;
11. 60⁰; 12. ;
13. ;                       14. ; 15. ;
16. ; 17. ;
18. ;                     19. ; 20. .

Угол
между плоскостями

1.;
2. ; 3. ;
4. ; 5. ;
6. 30⁰; 7. ; 8. 1; 9.
; 10. ;
11. ; 12. 45⁰; 13. ; 14. ;
15. ; 16. и
; 17. ;
18. ; 19. ;
20. ; 21. ;
22. ; 23. ; 24. ;
25. ; 26. . 27. .

Расстояние
между скрещивающимися прямыми

1.
; 2. ;
3. ; 4. ;
5. ; 6. ;
7. ; 8. ;
9. 4; 10. ; 11. 2.

Тела
вращения

1.
; 2. ;
3. ; 4. . 5.
;

Объемы
многогранников

1.
3; 2.
6; 3. 24; 4. .

Источник

На практике часто возникают задачи, которые требуют умения строить сечения геометрических фигур различной формы и находить площади сечений. В данной статье рассмотрим, как строятся важные сечения призмы, пирамиды, конуса и цилиндра, и как рассчитывать их площади.

Объемные фигуры

Из стереометрии известно, что объемная фигура совершенно любого типа ограничена рядом поверхностей. Например, для таких многогранников, как призма и пирамида, этими поверхностями являются многоугольные стороны. Для цилиндра и конуса речь идет уже о поверхностях вращения цилиндрической и конической фигур.

Вам будет интересно:Что значит слыть: толкование, синонимы

Если взять плоскость и пересечь ею произвольным образом поверхность объемной фигуры, то мы получим сечение. Площадь его равна площади части плоскости, которая будет находиться внутри объема фигуры. Минимальное значение этой площади равно нулю, что реализуется, когда плоскость касается фигуры. Например, сечение, которое образовано единственной точкой, получается, если плоскость проходит через вершину пирамиды или конуса. Максимальное значение площади сечения зависит от взаимного расположения фигуры и плоскости, а также от формы и размеров фигуры.

Ниже рассмотрим, как рассчитывать площади образованных сечений для двух фигур вращения (цилиндр и конус) и двух полиэдров (пирамида и призма).

Цилиндр

Круговой цилиндр является фигурой вращения прямоугольника вокруг любой из его сторон. Цилиндр характеризуется двумя линейными параметрами: радиусом основания r и высотой h. Ниже схематически показано, как выглядит круговой прямой цилиндр.

Для этой фигуры существует три важных типа сечения:

круглое;
прямоугольное;
эллиптическое.

Эллиптическое образуется в результате пересечения плоскостью боковой поверхности фигуры под некоторым углом к ее основанию. Круглое является результатом пересечения секущей плоскости боковой поверхности параллельно основанию цилиндра. Наконец, прямоугольное получается, если секущая плоскость будет параллельна оси цилиндра.

Площадь круглого сечения рассчитывается по формуле:

S1 = pi*r2

Площадь осевого сечения, то есть прямоугольного, которое проходит через ось цилиндра, определяется так:

S2 = 2*r*h

Сечения конуса

Конусом является фигура вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Конус имеет одну вершину и круглое основание. Его параметрами также являются радиус r и высота h. Пример конуса, сделанного из бумаги, показан ниже.

Видов конических сечений существует несколько. Перечислим их:

круглое;
эллиптическое;
параболическое;
гиперболическое;
треугольное.

Они сменяют друг друга, если увеличивать угол наклона секущей плоскости относительно круглого основания. Проще всего записать формулы площади сечения круглого и треугольного.

Круглое сечение образуется в результате пересечения конической поверхности плоскостью, которая параллельна основанию. Для его площади справедлива следующая формула:

S1 = pi*r2*z2/h2

Здесь z — это расстояние от вершины фигуры до образованного сечения. Видно, что если z = 0, то плоскость проходит только через вершину, поэтому площадь S1 будет равна нулю. Поскольку z < h, то площадь изучаемого сечения будет всегда меньше ее значения для основания.

Треугольное получается, когда плоскость пересекает фигуру по ее оси вращения. Формой получившегося сечения будет равнобедренный треугольник, сторонами которого являются диаметр основания и две образующие конуса. Как находить площадь сечения треугольного? Ответом на этот вопрос будет следующая формула:

S2 = r*h

Это равенство получается, если применить формулу для площади произвольного треугольника через длину его основания и высоту.

Сечения призмы

Призма — это большой класс фигур, которые характеризуются наличием двух одинаковых параллельных друг другу многоугольных оснований, соединенных параллелограммами. Любое сечение призмы — это многоугольник. В виду разнообразия рассматриваемых фигур (наклонные, прямые, n-угольные, правильные, вогнутые призмы) велико и разнообразие их сечений. Далее рассмотрим лишь некоторые частные случаи.

Если секущая плоскость параллельна основанию, то площадь сечения призмы будет равна площади этого основания.

Если плоскость проходит через геометрические центры двух оснований, то есть является параллельной боковым ребрам фигуры, тогда в сечении образуется параллелограмм. В случае прямых и правильных призм рассматриваемый вид сечения будет представлять собой прямоугольник.

Пирамида

Пирамида — это еще один многогранник, который состоит из n-угольника и n треугольников. Пример треугольной пирамиды показан ниже.

Если сечение проводится параллельной n-угольному основанию плоскостью, то его форма будет в точности равна форме основания. Площадь такого сечения вычисляется по формуле:

S1 = So*(h-z)2/h2

Где z — расстояние от основания до плоскости сечения, So — площадь основания.

Если секущая плоскость содержит вершину пирамиды и пересекает ее основание, то мы получим треугольное сечение. Для вычисления его площади необходимо обратиться к использованию соответствующей формулы для треугольника.

Источник

Привет!

Пусть ΔАВС — правильный,ABC, CC₁=h.
Построим линейный угол двугранного угла с ребром MN.
Построим отрезки H₁H, TH₁
(раз MN || АВ) и(A₁H₁=AH, A₁H₁ || АН, поэтому A₁H₁HA — параллелограмм с прямым углом A₁AH, A₁H₁HA — прямо угольник) то по теореме о 3-х перпендикулярах имеем: Т₁Н₁┴ MN.
Тогда линейный угол двугранного данного угла.
4-угольник ABNM- трапеция (MN || A₁B₁).
Из ΔTHH₁ имеем: Н₁H:TH=tgα, или