Как найти диагонали прямоугольника вписанного в окружность - Autoru.top

Прямоугольник. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ прямоугольника, радиус описанной вокруг прямоугольника окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Прямоугольник − это параллелограмм, у которого все углы прямые (Рис.1).

Можно дать и другое определение прямоугольника.

Определение 2. Прямоугольник − это четырехугольник, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника

Так как прямоугольник является параллелограммом, то все свойства параллелограмма верны и для прямоугольника.

1. Стороны прямоугольника являются его высотами.
2. Все углы прямоугольника прямые.
3. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его соседних двух сторон.
4. Диагонали прямоугольника равны.
5. Около любого прямоугольника можно описать окружность, при этом диаметр описанной окружности равна диагонали прямоугольника.

Длиной прямоугольника называется более длинная пара его сторон.

Шириной прямоугольника называется более короткая пара его сторон.

Диагональ прямоугольника

Определение 3. Диагональ прямоугольника − это отрезок, соединяющий две несмежные вершины прямоугольника.

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. Прямоугольник имеет две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

(1)

Из равенства (1) найдем d:

(2)

Пример 1. Стороны прямоугольника равны . Найти диагональ прямоугольника.

Решение. Для нахождения диаметра прямоугольника воспользуемся формулой (2). Подставляя в (2), получим:

Ответ:

Окружность, описанная около прямоугольника

Определение 4. Окружность называется описанной около прямоугольника, если все вершины прямоугольника находятся на этой окружности (Рис.3):

Формула радиуса окружности описанной около прямоугольника

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около прямоугольника через стороны прямоугольника.

Нетрудно заметить, что радиус описанной около прямоугольника окружности равна половине диагонали (Рис.3). То есть

( small R=frac<large d> <large 2>)

(3)

Подставляя (3) в (2), получим:

( small R=frac<large sqrt> <large 2>)

(4)

Пример 2. Стороны прямоугольника равны . Найти радиус окружности, описанной вокруг прямоугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника воспользуемся формулой (4). Подставляя в (4), получим:

Ответ:

Периметр прямоугольника

Определение 5. Периметр прямоугольника − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Периметр прямоугольника вычисляется формулой:

(5)

где ( small a ) и ( small b ) − стороны прямоугольника.

Пример 3. Стороны прямоугольника равны . Найти периметр прямоугольника.

Решение. Для нахождения периметра прямоугольника воспользуемся формулой (5). Подставляя в (5), получим:

Ответ:

Формулы сторон прямоугольника через его диагональ и периметр

Выведем формулу вычисления сторон прямоугольника, если известны диагональ ( small d ) и периметр ( small P ) прямоугольника. Заметим: чтобы прямоугольник существовал, должно удовлетворяться условие ( small frac P2>d ) (это следует из неравенства треугольника).

Чтобы найти стороны прямоугольника запишем формулу Пифагора и формулу периметра прямоугольника:

(6)

(7)

Из формулы (7) найдем ( small b ) и подставим в (6):

(8)

(9)

Упростив (4), получим квадратное уравнение относительно неизвестной ( small a ):

(10)

Вычислим дискриминант квадратного уравнения (10):

Сторона прямоугольника вычисляется из следующих формул:

(12)

После вычисления ( small a ), сторона ( small b ) вычисляется или из формулы (12), или из (8).

Примечание. Легко можно доказать, что

( frac< P><2>>d ; ⇒ ; P>2cdot d ; ⇒ ) ( small P^2>4 cdot d^2 ; ⇒ ; 4d^2-P^2 2d .) Следовательно выполняется неравенство (*).

Пример 4. Диагональ прямоугольника равна , а периметр равен . Найти стороны прямоугольника.

Решение. Для нахождения сторон прямоугольника воспользуемся формулами (11), (12) и (8). Найдем сначала дискриминант ( small D ) из формулы (11). Для этого подставим , в (11):

Подставляя значения и в первую формулу (12), получим:

Найдем другую сторону ( small b ) из формулы (8). Подставляя значения и в формулу, получим:

Ответ: ,

Признаки прямоугольника

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Признак 2. Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов его смежных сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Признак 3. Если углы параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Как найти диагональ прямоугольника вписанного в окружность

Найдите диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 11.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Найдите диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 5.

Угол A является прямым, он опирается на диагональ BD, которая является диаметром:

Диагональ прямоугольника

Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы равны 90 градусов, т. е. прямые.

Диагональ прямоугольника — прямая проложенная из противоположных вершин прямоугольника.

Диагонали прямоугольника равны и они делят прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника.

Чтобы найти диагональ прямоугольника необходимо вспомнить теорему Пифагора, ведь диагональ — это гипотенуза прямоугольного треугольника, а стороны (длина и ширина) прямоугольника являются катетами треугольника.

Как найти диагональ прямоугольника

Воспользуемся теоремой Пифагора и формулой

d — диагональ квадрата

a — длина прямоугольника

b — ширина прямоугольника

Подставив в формулу вместо a длину прямоугольника, а вместо b — ширину прямоугольника и произведя расчет мы получим диагональ прямоугольника. Следует помнить, что у прямоугольника две диагонали и они равны между собой.

Диагональ прямоугольника онлайн калькулятор

Чтобы найти диагональ с помощью калькулятора введите длину и ширину прямоугольника и нажмите кнопку Рассчитать. В результате вы получите ответ и подробное решение.

Нахождение диагонали прямоугольника используется в различных жизненных ситуациях. К примеру, при проектировании фундамента дома необходимо проверить его диагонали — они должны быть равны между собой. Также на сайте можно рассчитать диагональ квадрата.

источники:

http://ege.sdamgia.ru/test?likes=27902

http://calculat.ru/diagonal-pryamougolnika

Источник

Прямоугольник и его свойства

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Диагонали прямоугольника равны.

1. В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении 1:2 , меньшая его сторона равна . Найдите диагональ данного прямоугольника.

Всё просто. Рассмотрите прямоугольный треугольник ABD . Найдите, чему равен угол и его синус, а затем найдите .

Ответ: .

А сейчас рассмотрим еще одну задачу, в которой применяются свойства диагоналей прямоугольника.

2. Острые углы прямоугольного треугольника равны $24^{circ}$ и $66^{circ}$ . Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Казалось бы, при чем здесь прямоугольник? Дан прямоугольный треугольник, из вершины прямого угла проведены высота и медиана. А что можно сказать о длине этой медианы?

Давайте достроим чертеж до прямоугольника. Поскольку диагонали прямоугольника равны (это свойство прямоугольника) и делятся пополам в точке пересечения, отрезки , и тоже будут равны. Каждый из них равен половине диагонали прямоугольника. Мы доказали теорему:

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Итак, , значит, треугольник равнобедренный, и угол равен $24^{circ}$ .

По свойству высоты, проведенной из вершины прямого угла,
$angle AC mkern -3mu H = angle ABC = 24^{circ}$ .

Тогда угол MCH (между медианой и высотой треугольника ABC ) равен $90^{circ}-24^{circ}-24^{circ}=42^{circ}$ .
Ответ: .

Как вы думаете, где находится центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника? Ведь центр описанной окружности — точка, равноудаленная от всех вершин треугольника. Очевидно, эта точка — середина гипотенузы.

В прямоугольном треугольнике центром описанной окружности является середина гипотенузы.

1. Найдите диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен .

Проведем диагональ .

Получим, что равна .
Ответ: .

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Прямоугольник иu0026nbsp;его свойства» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Углы прямоугольника равны 90º.⇒
Углы вписанного прямоугольника — вписанные и опираются на половину окружности, т.е. опираются на диаметр.
Диагональ вписанного прямоугольника — диаметр описанной окружности.
d=2R=10
Диагональ вписанного прямоугольника равна 10 (ед. длины)
––––––––––
Как вариант — диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника и является их общей гипотенузой.
Центр описанной окружности прямоугольного треугольника — середина гипотенузы. Следовательно, половина диагонали равна радиусу, а вся диагональ — диаметру описанной окружности.
d=10 (ед. длины)

Источник

Диагональ прямоугольника

4.7

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 157.

4.7

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 157.

В школьном курсе математики одной из первых в изучении фигур является прямоугольник. Диагональ прямоугольника участвует в решении многих задач. Поэтому имеет смысл подробнее рассмотреть этот элемент фигуры.

Определение

Прямоугольник является четырехугольником с равными углами и попарно равными и параллельными противоположными сторонами.

Поэтому диагональ будет делить данную геометрическую фигуру на два прямоугольных треугольника. Получается, что значение этого отрезка можно будет найти через корень квадратный суммы квадратов соответствующих сторон прямоугольника (по теореме Пифагора).

Диагональ прямоугольника обозначают маленьким латинским символом d или двумя заглавными буквами, по названию вершин, которые соединяет диагональ.

Длина диагонали прямоугольника, вокруг которого описана окружность, равняется диаметру этой окружности.

Рис. 1. Диагональ вписанного прямоугольника.

Это свойство может помочь в решении задач на нахождение сторон треугольника.

Характеристики понятия

Диагональ прямоугольника это отрезок, соединяющий вершины прямоугольника, находящиеся напротив друг друга. Рассматриваемый параметр можно найти, используя периметр основной геометрической фигуры, ее площадь или соотношение соответствующих сторон. Для этого используют формулу диагонали прямоугольника:

$d=sqrt{a^2+b^2}$, где а и b – стороны прямоугольника.

Рис. 2. Свойства прямоугольника

Значение

В математике различают свойства диагоналей прямоугольника. Так, эти отрезки пересекаются в одной точке, и точкой пересечения делятся пополам. В одном прямоугольнике диагонали будут равными.

Рис. 3. Диагональ прямоугольника.

На этом рисунке четко просматриваются углы, которые формируют диагонали.

Если диагонали параллелограмма равны, то эта геометрическая фигура является прямоугольником. Можно утверждать то же самое, когда сумма квадратов отрезков параллелограмма равна квадрату его диагонали (естественно речь идет о теореме Пифагора).

Что мы узнали?

Свойства диагонали прямоугольника используются для нахождения важных параметров этой фигуры. Решения задач, в которых требуется доказать наличие определенного типа четырехугольника нередко рассматривают диагонали параллелограмма. С помощью данных отрезков можно найти площадь фигуры, которой они принадлежат.