Как найти расстояние формула астрономия

Определить географическую широту двух пунктов оказывается гораздо проще, чем измерить расстояние между ними. Зачастую непосредственное измерение кратчайшего расстояния между этими пунктами оказывается невозможным из-за различных естественных препятствий (гор, рек и т. п.). Поэтому применяется способ, основанный на явлении параллактического смещения и предусматривающий вычисление расстояния на основе измерений длины одной из сторон (базиса — BC) и двух углов B и C в треугольнике ABC (рис. 3.9).

Параллактическим смещением называется изменение направления на предмет при перемещении наблюдателя.

Чем дальше расположен предмет, тем меньше его параллактическое смещение, и чем больше перемещение наблюдателя (базис измерения), тем больше параллактическое смещение.

Измерить расстояние от Земли до Солнца удалось лишь во второй половине XVIII в., когда был впервые определён горизонтальный параллакс Солнца. По сути дела, при этом измеряется параллактическое смещение объекта, находящегося за пределами Земли, а базисом является её радиус.

1. Теоретическая разрешающая способность телескопа:

, где λ – средняя длина световой волны (5,5·10^-7 м), D – диаметр объектива телескопа, или , где D – диаметр объектива телескопа в миллиметрах.

2. Увеличение телескопа:

, где F – фокусное расстояние объектива, f – фокусное расстояние окуляра.

3. Высота светил в кульминации:

высота светил в верхней кульминации, кульминирующих к югу от зенита ( ):

, где  – широта места наблюдения,  – склонение светила;

высота светил в верхней кульминации, кульминирующих к северу от зенита ( ):

, где  – широта места наблюдения,  – склонение светила;

высота светил в нижней кульминации:

, где  – широта места наблюдения,  – склонение светила.

4. Астрономическая рефракция:

приближенная формула для вычисления угла рефракции, выраженного в секундах дуги (при температуре +10°C и атмосферном давлении 760 мм. рт. ст.):

, где z – зенитное расстояние светила (для z

5. Время:

звездное время:

, где  – прямое восхождение какого-либо светила, t – его часовой угол;

среднее солнечное время (местное среднее время):

T_m=T_+, где T_ – истинное солнечное время,  – уравнение времени;

всемирное время:

, где  – долгота пункта с местным средним временем T_m, выраженная в часовой мере, T₀ – всемирное время в этот момент;

поясное время:

, где T₀ – всемирное время; n – номер часового пояса (для Гринвича n=0, для Москвы n=2, для Красноярска n=6);

декретное время:

или

6. Формулы, связывающие сидерический (звездный) период обращения планеты T с синодическим периодом ее обращения S:

для верхних планет:

;

для нижних планет:

, где T_ – звездный период обращения Земли вокруг Солнца.

7. Третий закон Кеплера:

, где Т₁ и Т₂ – периоды обращения планет, a₁ и a₂ – большие полуоси их орбиты.

8. Закон всемирного тяготения:

, где m₁ и m₂ – массы притягивающихся материальных точек, r – расстояние между ними, G – гравитационная постоянная.

9. Третий обобщенный закон Кеплера:

, где m₁ и m₂ – массы двух взаимно притягивающихся тел, r – расстояние между их центрами, Т – период обращения этих тел вокруг общего центра масс, G – гравитационная постоянная;

для системы Солнце и две планеты:

, где Т₁ и Т₂ – сидерические (звездные) периоды обращения планет, М – масса Солнца, m₁ и m₂ – массы планет, a₁ и a₂ –большие полуоси орбит планет;

для систем Солнце и планета, планета и спутник:

, где M – масса Солнца; m₁ – масса планеты; m₂ – масса спутника планеты; Т₁ и a₁ – период обращения планеты вокруг Солнца и большая полуось ее орбиты; Т₂ и a₂ – период обращения спутника вокруг планеты и большая полуось его орбиты;

при M m₁, а m₁ m₂,

.

10. Линейная скорость движения тела по параболической орбите (параболическая скорость):

, где G – гравитационная постоянная, M – масса центрального тела, r – радиус-вектор избранной точки параболической орбиты.

11. Линейная скорость движения тела по эллиптической орбите в избранной точке:

, где G – гравитационная постоянная, M – масса центрального тела, r – радиус-вектор избранной точки эллиптической орбиты, a – большая полуось эллиптической орбиты.

12. Линейная скорость движения тела по круговой орбите (круговая скорость):

, где G – гравитационная постоянная, M – масса центрального тела, R – радиус орбиты, v_p – параболическая скорость.

13. Эксцентриситет эллиптической орбиты, характеризующий степень отклонение эллипса от окружности:

, где c – расстояние от фокуса до центра орбиты, a – большая полуось орбиты, b – малая полуось орбиты.

14. Связь расстояний перицентра и апоцентра с большой полуосью и эксцентриситетом эллиптической орбиты:

, , , где r_П – расстояния от фокуса, в котором находится центральное небесное тело, до перицентра, r_А – расстояния от фокуса, в котором находится центральное небесное тело, до апоцентра, a – большая полуось орбиты, e – эксцентриситет орбиты.

15. Расстояние до светила (в пределах Солнечной системы):

, где R_ – экваториальный радиус Земли, ρ₀– горизонтальный параллакс светила, выраженный в секундах дуги,

или , где D₁ и D₂ – расстояния до светил, ρ₁ и ρ₂ – их горизонтальные параллаксы.

16. Радиус светила:

, где ρ – угол, под которым с Земли виден радиус диска светила (угловой радиус), R_ – экваториальный радиус Земли, ρ₀– горизонтальный параллакс светила.

17. Расстояние до звезд:

в парсеках: , где  – годичный параллакс звезды, выраженный в радианах;

в астрономических единицах: , где  – годичный параллакс звезды, выраженный в секундах дуги;

в километрах: , где  – годичный параллакс звезды, выраженный в секундах дуги, a – средний радиус (большая полуось) земной орбиты.

18. Связь блеска звезды и ее звездной величины (формула Погсона):

, где I₁ – освещенность, создаваемая звездой, звездная величина которой равна m₁, и I₂ – освещенность, создаваемая другой звездой, звездная величина которой равна m₂.

19. Абсолютная звездная величина:

, где m – видимая звездная величина, R – расстояние до звезды в парсеках.

20. Закон Стефана–Больцмана:

ε=σT⁴, где ε – энергия, излучаемая в единицу времени с единицы поверхности, Т – температура (в кельвинах), а σ – постоянная Стефана–Больцмана.

21. Закон Вина:

, где λ_max – длина волны, на которую приходится максимум излучения абсолютно черного тела (в сантиметрах), Т – абсолютная температура в кельвинах.

22. Закон Хаббла:

, где v – лучевая скорость удаления галактики, c – скорость света, Δλ – доплеровское смещение линий в спектре, λ – длина волны источника излучения, z – красное смещение, r – расстояние до галактики в мегапарсеках, H – постоянная Хаббла, равная 75 км / (сМпк).

4

Как определяют расстояние до звезд – вопрос, интересующий тех, кто увлекается чтением популярной литературы об астрономии, но не получил специального образования или не нашел информации для проведения расчетов. Простые методы, применяемые древними астрономами, основаны на угломерных измерениях с нескольких точек. А также формулах, в которых участвует время, вычисленная скорость движения небесных тел и перемещение наблюдателя вместе с планетой Земля. Все это позволяет определять дистанцию до близких, с точки зрения астрономии, объектов. Но вот расстояние до звёзд такими методами вряд ли возможно вычислить.

Предыстория вопроса

Поиски подходящих способов, чтобы определить расстояние до ближайшей звезды, занимали умы выдающихся ученых с незапамятных времен. Они наблюдали за звездным небом и дальними небесными объектами иногда на протяжении всей жизни. Революцией в этой отрасли человеческих знаний стало появление телескопов.

Также стоит отметить следующие факты:

1. Накопление знаний не всегда позволяло делать выводы. А отсутствие взаимообмена сведениями приводило к одновременным открытиям в разных регионах планеты. Если бы была возможность столь широкого обмена информацией, как в сегодняшнем мире, ученым было бы проще делать открытия. Им не приходилось бы измерять различные величины на основании собственных заблуждений и приходить к неверным выводам.
2. Первое успешное определение дистанции до звёзд состоялось в 1838 году, причем в разных частях планеты. Известный немецкий астроном Фридрих Бессель нашел, каково удаление звезды 61 Лебедя. Гениальный русский ученый В. Струве первым измерил расстояние до Веги, а британский ученый Томас Гендерсон открыл величину удаленности до Альфа Центавра.
3. Это стало кульминацией накопленных знаний и в то же время – стартом на новой ступени астрономической науки. Проведенные измерения стали успешными только благодаря тому, что расстояние до планет относительно большое и может измеряться в банальных километрах.
4. Но в 1838 году уже знали, как можно определить расстояние до звезд, правда, не очень дальних, путем измерения углового удаления и вычисления параллакса.

Википедия объясняет дальнейший успех астрономов тем, что удалось объединить усилия научной общественности. Это помогло наладить систему обмена знаниями путем использования печатных изданий, а впоследствии – Всемирной информационной сети.

Однако в современной астрономии универсальный способ находить нужные цифры удаления все еще отсутствует.

При этом используются различные методы, чтобы вычислять нужные науке числа. Переход осуществляется по мере увеличения дистанции, но кратко осваивает уже имеющийся способ расчетов и позволяет сделать основание для нового.

Астрономическая единица (а. е.) пришла на смену километрам и метрам, с которыми так удобно было определяться в земных расстояниях. Также их применяли, чтобы считать дальность расположенных достаточно близко, по космическим меркам, небесных тел и планет.

Еще в отношении самых близких соседей можно использовать астрономическую единицу в качестве величины для измерения. Ее характеристика примерно стабильна, и относительно недавно (в 1976 году) она была установлена в 149597870 км, с погрешностью в 2 км.

Расстояние до планет

Но удаленность от Солнца (астрономическая единица и есть расстояние до светила), по сравнению с тем, где расположена самая близкая чужая звезда, слишком мало, чтобы мерить космическое пространство, особенно дальний космос. Поэтому возникли такие понятия, как парсек (пк) и скорость светового луча.

Их можно применять для тех объектов, которые никогда не увидеть человеческим невооруженным глазом. Да и световой год вряд ли позволит представить, например, через какое время космический корабль сможет долететь даже до ближайшей галактики.

Наиболее простое решение получила проблема определения расстояний во Вселенной, где находится человек или Солнечная система. Теперь каждый школьник может написать на эту тему реферат или провести презентацию. При этом он не будет особенно задумываться, откуда взялись эти формулы и как определялась удаленность до земного спутника и разных объектов.

Существенную помощь в определении расстояний от далеких планет до Солнца оказал Третий закон великого астронома Иоганна Кеплера. Согласно данному закону квадрат периода обращения планет соотносится, как кубы средних расстояний до центра Солнечной системы.

Сколько составляет расстояние до Луны и самого близкого желтого карлика, удалось определить с помощью метода радиолокации. И хотя для этого потребуется определенное время, но полученная цифра будет достаточно точной.

Как измеряют расстояние до звезд

Определение этих цифр происходит с помощью разных способов измерений. Выбор каждой методики осуществляется в зависимости от дальности расположения и масштаба, который нужно соблюдать при проведении измерений.

Параллакс позволяет определять на расстоянии не более 100 парсеков, но с некоторыми погрешностями (около 50 %). Чем меньше расстояние, тем меньше наблюдается неточностей. Данный метод измерения позволил выяснить дистанцию от 6 тыс. звезд. Например, от Проксимы (красного карлика) Центавра – каких-то 1,31 пк.

В основе метода лежит смещение видимых, близких звезд относительно дальних, которые визуально представляются неподвижными.

Этот оптический эффект природа дает благодаря собственно движению Земли по ее годичной орбите. Несмотря на грозное словесное описание, метод параллакса в тригонометрическом выражении выглядит довольно просто и не представляет никакой сложности в решении.

Чтобы наглядно представить себе, как это выглядит, можно посмотреть видео, которых немало снято популяризаторами. Они предназначены для просмотра теми классами, где изучают астрономию. Пример такого видео приведен ниже.

Определение расстояния

Цефеиды – звезды, размер которых позволяет их использовать в качестве ориентира. Они дают возможность узнавать расстояние по периоду пульсации и изменчивости их блеска. Наблюдение за ними показало определенную периодичность излучения, которую и используют в специальных вычислениях. Этот метод ориентирован на звездный блеск.

Его периодичность и мощность позволяет дифференцировать скопление отдельных звезд в относительно близкой галактике. Это стало возможным после изобретения суперсовременных телескопов. С помощью данного метода можно выяснить, какую цифру составляет примерная дистанция. Но его нельзя использовать для дальних галактик.

Красное смещение – тоже не очень точный метод, в котором требуется пересчет на космологическую модель. Однако он пригоден для подсчета того, чего не видит человеческий глаз. Слишком большое расстояние (10 млн. световых лет) до них должен проходить даже свет. И каково сейчас состояние этих объектов на наблюдаемой границе Вселенной, даже сложно принимать в воображении.

Определенным ориентиром в вычислениях может стать и термоядерный взрыв с выделением огромного количества энергии от сверхновых звезд (двойных с белым карликом). Здесь точность вычислений может зависеть от скорости достижения предела массы. Но чтобы понять, как можно выражать расстояние, уже нужны другие знания и особые методы обработки получаемой информации.

Фотометрический метод основан на простом понимании законов движения света. Блеск звезды или другого источника света, равного освещенности другого, означает и одинаковое расстояние. Зная, сколько свет будет лететь от одного объекта, можно вычислить, что эта величина равна дистанции до другого с аналогичной освещенностью. Считают ее по специальной формуле фотометрических расстояний.

Близкие звезды

Проведенные измерения, направленные на ближайшие, видимые звезды, и расчет времени на прохождение до них светового луча позволили определить ближайших соседей, их примерный спектр и цвет. Оптические иллюзии не всегда обозначают в точности действительно близкие по отношению к другим объектам.

Однако с Альфа Центавра и ее Проксимой дело обстоит сложно. Она находится в 270 тыс. раз дальше, чем Солнце, да и масса у нее почти в 7 раз меньше. Но, несмотря на близость, она почти не видна невооруженным глазом. Также заслуживают внимания интересные факты:

• звезда Барнарда тоже находится относительно недалеко – почти 2 парсека, четвертая по расстоянию. Она также почти не видна на небосклоне и открыта только в начале прошлого столетия;
• ярчайший Сириус находится в 8,6 светового года, но его можно видеть практически в любом полушарии. И хотя он не так близок, как звезда Барнарда и Проксима, но хорошо виден благодаря своей яркости;
• Полярная звезда, которую можно обнаружить рядом с Большой Медведицей, находится в более чем 447 световых лет. Несмотря на целых 137 парсеков, она видна намного лучше, чем Проксима и другие звезды. Потому что она сверхгигант, представляющий собой тройную звездную систему.

Полярная звезда – интересный феномен природы, как будто кем-то оборудованный для ведения землянами расчетов и наблюдений. Ее высота над горизонтом равна широте земной поверхности, с которой в данный момент ведется наблюдение.

А если нужно идти на север, то оно практически всегда совпадает с направлением, взятым на сверхгиганта.

Неудивительно, что древние мореплаватели придавали ей особый смысл. Хотя это не мистический, а физический объект, расположенный на огромном расстоянии. Вполне вероятно, что закономерность была случайной, обусловленной циклическим совпадением движения, а видимая сфера постоянно меняет степень освещенности. Это связывают с ее температурой, наличием старших и младших в триаде.

Фальшь, присущая визуальному впечатлению от звездного неба, легко объясняется, когда у человечества есть уже не просто минимальные, а конкретные знания. Каждое из новых достижений в изучении звездного неба и расстояний – это своеобразный тест, сдаваемый перед началом очередного этапа. Сейчас человечество прошло четыре ступени в изучении и обозначении расстояний до звезд и стоит на пороге пятого, еще более сложного этапа.

Тема 3.2. Законы движения небесных тел. Определение расстояний и размеров тел в Солнечной системе.

3.2.1. Законы движения небесных тел.

Важную роль в формировании представлений о строении Солнечной системы сыграли также законы движения планет, которые были открыты Иоганном Кеплером (1571—1630) и стали первыми естественнонаучными законами в их современном понимании. Работы Кеплера создали возможность для обобщения знаний по механике той эпохи в виде законов динамики и закона всемирного тяготения, сформулированных позднее Исааком Ньютоном. Многие ученые вплоть до начала XVII в. считали, что движение небесных тел должно быть равномерным и происходить по «самой совершенной» кривой— окружности. Лишь Кеплеру удалось преодолеть этот предрассудок и установить действительную форму планетных орбит, а также закономерность изменения скорости движения планет при их обращении вокруг Солнца.

В своих поисках Кеплер исходил из убеждения, что «в мире правит число», высказанного еще Пифагором. Он искал соотношения между различными величинами, характеризующими движение планет, — размеры орбит, период обращения, скорость. Кеплер действовал фактически вслепую, чисто эмпирически. Он пытался сопоставить характеристики движения планет с закономерностями музыкальной гаммы, длиной сторон описанных и вписанных в орбиты планет многоугольников Иоганн Кеплер и т. д.

Кеплеру необходимо было построить орбиты планет, перейти от экваториальной системы координат, указывающих положение планеты на небесной сфере, к системе координат, указывающих ее положение в плоскости орбиты. Он воспользовался при этом собственными наблюдениями планеты Марс, а также многолетними определениями координат и конфигураций этой планеты, проведенными его учителем Тихо Браге.Орбиту Земли Кеплер считал (в первом приближении) окружностью, что не противоречило наблюдениям. Для того чтобы построить орбиту Марса, он применил способ, который показан на рисунке 3.5.

Пусть нам известно угловое расстояние Марса от точки весеннего равноденствия во время одного из противостояний планеты — его прямое восхождение  α₁, которое выражается углом Т₁М₁ где Т₁ — положение Земли на орбите в этот момент, а М₁ — положение Марса. Очевидно, что спустя 687 суток (таков звездный период обращения Марса) планета придет в ту же точку своей орбиты. Если определить прямое восхождение Марса на эту дату, то, как видно из рисунка 3.5, можно указать положение планеты в пространстве, точнее, в плоскости ее орбиты. Земля в этот момент находится в точке Т₂, и, следовательно, угол T₂M₁ есть не что иное, как прямое восхождение Марса — α₂. Повторив подобные операции для нескольких других противостояний Марса, Кеплер получил еще целый ряд точек и, проведя по ним плавную кривую, построил орбиту этой планеты.

Изучив расположение полученных точек, он обнаружил, что скорость движения планеты по орбите меняется, но при этомрадиус-вектор планеты за равные промежуткивремени описывает равные площади.Впоследствии эта закономерность получила название второго закона Кеплера.

Этот закон, который часто называют законом площадей, иллюстрируется рисунком 3.6. Радиус-вектором называют в данном случае переменный по своей величине отрезок, соединяющий Солнце и ту точку орбиты, в которой находится планета. АА₁ ВВ₁ и СС₁ — дуги, которые проходит планета за равные промежутки времени. Площади заштрихованных фигур равны между собой.

Согласно закону сохранения энергии, полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют силы тяготения, остается неизменной при любых движениях тел этой системы. Поэтому сумма кинетической и потенциальной энергий планеты, которая движется вокруг Солнца, неизменна во всех точках орбиты и равна полной энергии. По мере приближения планеты к Солнцу возрастает ее скорость — увеличивается кинетическая энергия, но вследствие уменьшения расстояния до Солнца уменьшается энергия потенциальная.

Установив закономерность изменения скорости движения планет, Кеплер задался целью определить, по какой кривой происходит их обращение вокруг Солнца. Он был поставлен перед необходимостью сделать выбор одного из двух возможных решений:     1) считать, что орбита Марса представляет собой окружность, и допустить, что на некоторых участках орбиты вычисленные координаты планеты расходятся с наблюдениями (из-за ошибок наблюдений) на 8′; 2) считать, что наблюдения таких ошибок не содержат, а орбита не является окружностью. Будучи уверенным в точности наблюдений Тихо Браге, Кеплер выбрал второе решение и установил, что наилучшим образом положения Марса на орбите совпадают с кривой, которая называется эллипсом, при этом Солнце не располагается в центре эллипса. В результате был сформулирован закон, который называется первым законом Кеплера.

Каждая планета обращается вокруг Солнца по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Как известно, эллипсом называется кривая, у которой сумма расстояний от любой точки Р до его фокусов есть величина постоянная. На рисунке 3.6 обозначены: О — центр эллипса; F и F₁ — фокусы эллипса; АВ — его большая ось. Половина этой величины (а), которую обычно называют большой полуосью, характеризует размер орбиты планеты. Ближайшая к Солнцу точка А называется перигелий, а наиболее удаленная от него точка В — афелий. Отличие эллипса от окружности характеризуется величиной его эксцентриситета: е = OS/OA. В том случае, когда эксцентриситет равен О, фокусы и центр сливаются в одну точку — эллипс превращается в окружность.

Примечательно, что книга, в которой в1609 г. Кеплер опубликовал первые два открытых им закона, называлась «Новая астрономия, или Физика небес, изложенная в исследованиях движения планеты Марс…».

Оба этих закона, опубликованные в 1609 г., раскрывают характер движения каждой планеты в отдельности, что не удовлетворило Кеплера. Он продолжил поиски «гармонии» в движении всех планет, и спустя 10 лет ему удалось сформулировать третий закон Кеплера.

Квадраты звездных периодов обращения планет относятся между собой, как кубы больших полуосей их орбит.

Формула, выражающая третий закон Кеплера, такова:

где Т₁ и Т₂ — периоды обращения двух планет; а₁ и а₂ — большие полуоси их орбит.

Вот что писал Кеплер после открытия этого закона: «То, что 16 лет тому назад я решил искать, <…> наконец найдено, и это открытие превзошло все мои самые смелые ожидания…»

Действительно, третий закон заслуживает самой высокой оценки. Ведь он позволяет вычислить относительные расстояния планет от Солнца, используя при этом уже известные периоды их обращения вокруг Солнца. Не нужно определять расстояние от Солнца каждой из них, достаточно измерить расстояние от Солнца хотя бы одной планеты. Величина большой полуоси земной орбиты — астрономическая единица (а. е.) — стала основой для вычисления всех остальных расстояний в Солнечной системе.

Пример решения задач

Противостояния некоторой планеты повторяются через 2 года. Чему равна большая полуось ее орбиты?

3.2.2. Определение расстояний и размеров тел в Солнечной системе.

Представление о Земле как о шаре, который свободно, без всякой опоры находится в космическом пространстве, является одним из величайших достижений науки древнего мира.

Считается, что первое достаточно точное определение размеров Земли провел греческий ученый Эратосфен (276— 194 до н. э.), живший в Египте. Идея, положенная в основу измерений Эратосфена, весьма проста: измерить длину дуги земного меридиана в линейных единицах и определить, какую часть полной окружности эта дуга составляет. Получив эти данные, можно вычислить длину дуги в 1°, а затем длину окружности и величину ее радиуса, т. е. радиуса земного шара. Очевидно, что длина дуги меридиана в градусной мере равна разности географических широт двух пунктов: φ_B – φ_A.

Для того чтобы определить эту разность, Эратосфен сравнил полуденную высоту Солнца в них в один и тот же день. Измерив высоту Солнца h_B(рис. 3.8) в полдень 22 июня в Александрии, где он жил, Эратосфен установил, что Солнце отстоит от зенита на 7,2°. В этот день в полдень в городе Сиена (ныне Асуан) Солнце освещает дно самых глубоких колодцев, т. е. находится в зените h_A.

Следовательно, длина дуги составляет 7,2°. Расстояние между Сиеной (А) и Александрией (В) около 5000 греческих стадий — l.

Стадией в Древней Греции считалось расстояние, которое проходит легко вооруженный греческий воин за тот промежуток времени, в течение которого Солнце, коснувшееся горизонта своим нижним краем, целиком скроется за горизонт.

Несмотря на кажущееся неудобство такой единицы и достаточную громоздкость словесного определения, ее введение выглядело вполне оправданным, учитывая, что строгая периодичность небесных явлений позволяла использовать их движение для счета времени.

Обозначив длину окружности земного шара через L, получим такое выражение: 

откуда следует, что длина окружности земного шара равняется 250 000 стадий.

Точная величина стадии в современных единицах неизвестна, но, зная, что расстояние между Александрией и Асуаном составляет 800 км, можно полагать, что 1 стадия = 160 м. Это означает, что результат, полученный Эратосфеном, практически не отличается от современных данных, согласно которым длина окружности Земли составляет 40 000 км.

Эратосфен ввел в практику использование терминов «широта» и «долгота». Видимо, появление этих терминов связано с особенностями формы карт того времени: они повторяли по очертаниям побережье Средиземного моря, которое длиннее по направлению запад-восток (по долготе), чем с севера на юг (по широте).

Определить географическую широту двух пунктов оказывается гораздо проще, чем измерить расстояние между ними. Зачастую непосредственное измерение кратчайшего расстояния между этими пунктами оказывается невозможным из-за различных естественных препятствий (гор, рек и т. п.). Поэтому применяется способ, основанный на явлении параллактического смещения и предусматривающий вычисление расстояния на основе измерений длины одной из сторон (базиса — ВС) и двух углов В и С в треугольнике ABC(рис. 3.9).

Параллактическим смещением называется изменение направления на предмет при перемещении наблюдателя.

Чем дальше расположен предмет, тем меньше его параллактическое смещение, и чем больше перемещение наблюдателя (базис измерения), тем больше параллактическое смещение.

Для определения длины дуги используется система треугольников — способ триангуляции, который впервые был применен еще в 1615 г. Пункты в вершинах этих треугольников выбираются по обе стороны дуги на расстоянии 30 — 40 км друг от друга так, чтобы из каждого пункта были видны по крайней мере два других. Основой для вычисления длин сторон во всех этих треугольниках является размер базиса АС (рис. 3.10). Точность измерения базиса длиной в 10 км составляет около 1 мм. Во всех пунктах устанавливают геодезические сигналы — вышки высотой в несколько десятков метров. С вершины сигнала с помощью угломерного инструмента (теодолита) измеряют углы между направлениями на два-три соседних пункта. Измерив углы в треугольнике, одной из сторон которого является базис, геодезисты получают возможность вычислить длину двух других его сторон. Проводя затем измерение углов из пунктов, расстояние между которыми вычислено, можно узнать длину двух очередных сторон в треугольнике. Зная длину сторон этих треугольников, можно определить длину дуги АВ.

В какой степени форма Земли отличается от шара, выяснилось в конце XVIII в. Для уточнения формы Земли Французская академия наук снарядила сразу две экспедиции. Одна из них работала в экваториальных широтах Южной Америки в Перу, другая — вблизи Северного полярного круга на территории Финляндии и Швеции. Измерения показали, что длина одного градуса дуги меридиана на севере больше, чем вблизи экватора. Последующие исследования подтвердили, что длина дуги одного градуса меридиана увеличивается с возрастанием географической широты. Это означало, что форма Земли — не идеальный шар: она сплюснута у полюсов. Ее полярный радиус на 21 км короче экваториального.

Для школьного глобуса масштаба 1:50 000 000 отличие этих радиусов будет всего 0,4 мм, т. е. совершенно незаметно.

Отношение разности величин экваториального и полярного радиусов Земли к величине экваториального называется сжатием. По современным данным оно составляет 1/298 или 0,0034. Это означает, что сечение Земли по меридиану будет не окружностью, а эллипсом, у которого большая ось проходит в плоскости экватора, а малая совпадает с осью вращения.

В XX в. благодаря измерениям, точность которых составила 15 м, выяснилось, что земной экватор также нельзя считать окружностью. Сплюснутость экватора составляет всего 1/30 000 (в 100 раз меньше сплюснутости меридиана). Более точно форму нашей планеты передает фигура, называемая эллипсоидом, у которого любое сечение плоскостью, проходящей через центр Земли, не является окружностью.

В настоящее время форму Земли принято характеризовать следующими величинами:

• экваториальный радиус — 6378,160 км;
• полярный радиус — 6356,777 км;
• сжатие эллипсоида — 1 : 298,25;
• средний радиус — 6371,032 км;
• длина окружности экватора — 40075,696 км.

13.2 Определение расстояний в Солнечной системе.

Горизонтальный параллакс

Измерить расстояние от Земли до Солнца удалось лишь во второй половине XVIII в., когда был впервые определен горизонтальный параллакс Солнца. По сути дела, при этом измеряется параллактическое смещение объекта, находящегося за пределами Земли, а базисом является ее радиус.

Горизонтальным параллаксом (р) называется угол, под которым со светила виден радиус Земли, перпендикулярный лучу зрения (рис. 3.11).

Из треугольника OASможно выразить величину — расстояние OS = D:

,

где R— радиус Земли. По этой формуле можно вычислить расстояние в радиусах Земли, а зная его величину, — выразить расстояние в километрах.

Очевидно, что чем дальше расположен объект, тем меньше его параллакс. Наибольшее значение имеет параллакс Луны, который меняется в связи с тем, что Луна обращается по эллиптической орбите, и в среднем составляет 57′. Параллаксы планет и Солнца значительно меньше. Так, параллакс Солнца 8,8Ѕ. Такому значению параллакса соответствует расстояние до Солнца, примерно равное 150 000 000 км. Это расстояние принимается за одну астрономическую единицу (1 а. е.) и используется при измерении расстояний между телами Солнечной системы.

Известно, что для малых углов sin p ≈ p, если угол р выражен в радианах. В одном радиане содержится 206 265Ѕ. Тогда, заменяя sin р на р и выражая этот угол в радианной мере, получаем формулу в виде, удобном для вычислений:

или (с достаточной точностью)

Во второй половине XX в. развитие радиотехники позволило определять расстояния до тел Солнечной системы посредством радиолокации. Первым объектом среди них стала Луна. Затем радиолокационными методами были уточнены расстояния до Венеры, Меркурия, Марса и Юпитера. На основе радиолокации Венеры величина астрономической единицы определена с точностью порядка километра. Столь высокая точность определения расстояний — необходимое условие для расчетов траекторий полета космических аппаратов, изучающих планеты и другие тела Солнечной системы. В настоящее время благодаря использованию лазеров стало возможным провести оптическую локацию Луны. При этом расстояния до лунной поверхности измеряются с точностью до сантиметров.

Пример решения задач.

На каком расстоянии от Земли находится Сатурн, когда его горизонтальный параллакс равен 0,9″?

13.4. Определение размеров светил

Зная расстояние до светила, можно определить его линейные размеры, если измерить его угловой радиус ρ (рис. 3.12).

Формула, связывающая эти величины, аналогична формуле для определения параллакса:

Учитывая, что угловые диаметры даже Солнца и Луны составляют примерно 30′, а все планеты видны невооруженному глазу как точки, можно воспользоваться соотношением: sin ρ ≈ ρ. Тогда:

 и .

Следовательно,

.

Если расстояние Dизвестно, то

где величина ρ выражена в радианах.

Пример  решения задач

Чему равен линейный диаметр Луны, если она видна с расстояния 400 000 км под углом примерно 30′?

Почему так трудно определить размеры небесных объектов и расстояния до них? Все дело в том, что размеры удаленных объектов мы можем определить только по сравнению размерами известных объектов, а на небе нам не с чем сравнивать. Мы видим на небе множество светящихся точек, но яркость точки может определяться как ее размером, абсолютной светимостью, так и расстоянием до нее.

Поэтому в астрономии практически невозможно определить оптическими методами линейный размер удаленного объекта, можно определить только его угловой размер.

Древние греки изобрели тригонометрию, которая позволяет определить количественные соотношения между углами, линейными размерами и линейными расстояниями. С помощью простых математических соотношений, включающих базовую тригонометрию, мы можем вычислить расстояния до удаленных объектов, размеры которых известны (или размеры, если расстояния известны).

Уравнение малых углов

Если углы малые, то синус угла примерно равен тангенсу, который, в свою очередь примерно равен самому углу в радианной мере. 

Уравнение малых углов включает в себя угловой размер объекта, его линейный размер и расстояние. Если известны какие-либо две из этих величин, можно вычислить третью. Обратимся к угловому размеру с символом a, выраженному в секундах дуги. Обозначим диаметр объекта как d, а расстояние до него как D. Тогда уравнение малого угла

a / 206 265 = d / D

Число 206 265 называется константой пропорциональности. Число 206 265 на самом деле является числом секунд дуги в угле 57,3°, который является специальным углом, называемым радианом. Радиан определяется как центральный угол дуги, длина которой равна радиусу окружности. Длина окружности равна 2πr, Радиан равен 360° / 2 π = 57,3° или около шестой части полного круга. 

Вот пример использования уравнения малого угла. Предположим, что ваш друг ростом в 2 метра стоит через поле от вас, где он виден под углом ½°, или 1800″. Как он далеко от вас? Мы хотим найти расстояние D, выразим эту величину из уранения:

D = 206 265 d / a

Используя метрические единицы, найдем

D = (2.1 x 10⁵ x 2) / (1.8 x 10³) = 2.3 х 10² метра = 230 метров

Если ваш друг имеет рост 2 метра и угловой размер его составляет ½ ° (или 1800 угловых секунд), расстояние D составляет 230 метров. Обратите внимание, что мы округляем все наши оценки до двух значащих цифр, потому что измерение угла вряд ли будет очень точным.

Как поняли древние греки, уравнение малого угла можно использовать для определения астрономических расстояний. Они не могли точно измерить диаметр Луны, но они знали ее угловой размер a, который также составляет примерно ½°, или 1800″.

Если мы используем современные знания о том, что диаметр Луны составляет около 3500 километров, мы можем оценить расстояние до нее так же, как мы это сделали для расстояния друга выше. В метрических единицах d будет 3,5 × 10⁶ метров. Уравнение будет гласить:

D = (2.1 × 10⁵ × 3.5 × 10⁶) / (1.8 × 10³) ≈ 4 х 10⁸ метров ≈ 4 x 10⁵ километров.

Реальное среднее расстояние до Луны 384 000 км. Неплохая точность!

Методы определения расстояний до звезд

Годичный параллакс

Кажущееся перемещение более близкой звезды на фоне очень далеких звезд происходит по эллипсу с периодом в 1 год и отражает движение наблюдателя вместе с Землей вокруг Солнца. Маленький эллипс, описываемый звездой, называется параллактическим эллипсом. В угловой мере большая полуось этого эллипса равна величине угла, под которым со звезды видна большая полуось земной орбиты, перпендикулярная направлению на звезду. Этот угол называется годичным параллаксом (π).

Параллактические смещения звезд служат неопровержимым доказательством обращения Земли вокруг Солнца. Расстояния до звезд определяются по их годичному параллактическому смещению, которое обусловлено перемещением наблюдателя (вместе с Землей) по земной орбите.

Если CT = a есть средний радиус земной орбиты, SC = r — расстояние до звезды S от Солнца C, а угол π — годичный параллакс звезды, то

Так как годичные параллаксы звезд оцениваются десятичными долями секунды, а 1 радиан равен 206265′′, то расстояние до звезды можно определить из соотношения

При измерении расстояний до звезд астрономическая единица слишком мала. Поэтому для удобства определения расстояний до звезд в астрономии применяется специальная единица длины — парсек (пк), название которой происходит от слов «параллакс» и «секунда».

Парсек — это расстояние, с которого радиус земной орбиты был бы виден под углом в 1′′.

1 пк = 206 265 а. е. = 3,086 · 10¹³ км.

Таким образом, расстояние до звезд в парсеках будет определяться выражением

В астрономических единицах обычно выражаются расстояния до тел Солнечной системы. Расстояния до небесных тел, находящихся за пределами Солнечной системы, обычно выражаются в парсеках, килопарсеках (1 кпк = 10³ пк) и мегапарсеках (1 Мпк = 10⁶ пк), а также в световых годах (1 св. г. = 9,46 · 10¹² км = 63 240 а. е. = 0,3067 пк или 1 пк = 3,26 св. г.).

Световой год — расстояние, которое электромагнитное излучение (в вакууме) проходит за 1 год.

Источник

Фотометрический метод определения расстояний

Освещенности, создаваемые одинаковыми по мощности источниками света, обратно пропорциональны квадратам расстояний до них. Следовательно, видимый блеск одинаковых светил (т.е. освещенность, создаваемая у Земли на единичной площадке, перпендикулярной лучам света) может служить мерой расстояний до них. Выражение освещенностей в звездных величинах (m — видимая, M — абсолютная звездная величина) приводит к следующей основной формуле фотометрических расстояний r_ф(пк):

Для светил, у которых известны тригонометрические параллаксы, можно, определив M по этой же формуле, сопоставить физические свойства с абсолютными звездными величинами. Это сопоставление показало, что абсолютные звездные величины многих классов светил (звезд, галактик и др.) можно оценивать по ряду их физических свойств.

Основным способом оценки абсолютных величин звезд является спектральный способ: в спектрах звезд одного и того же спектрального класса обнаружены особенности, указывающие на их абсолютные величины (чаще всего это усиление линий ионизованных атомов с возрастанием светимости звезд). По таким признакам звезды разделены на классы светимости. По классам и более мелким подклассам светимости, оцениваемым по спектрам звезд, можно находить абсолютные величины с погрешность до 0,5^m. Эта погрешность соответствует относительной погрешности 30%.

Цефеиды (стандартные свечи)

Важный метод определения фотометрических расстояний в Галактике и до соседних звездных систем — галактик — основан на характерном свойстве переменных звезд — цефеид. Короткопериодические цефеиды (с периодами колебаний блеска менее суток) в среднем имеют абсолютную величину +0,5^m. Они встречаются в шаровых звездных скоплениях, в центральной области и сферической короне Галактики и относятся к ее звездному населению II типа. По цефеидам в конечном счете найдены расстояния до шаровых звездных скоплений и установлено расстояние от Солнца до центра Галактики.

Для долгопериодических цефеид (периоды колебаний от 1 до 146 сут.), относящихся к звездному населению I типа (плоской составляющей Галактики), установлена важная зависимость период-светимость, согласно которой, чем короче период колебаний блеска, тем цефеида слабее по абсолютной величине. С помощью этой зависимости можно определить абсолютные величины цефеид по длительности их периодов колебаний блеска и, следовательно, фотометрические расстояния до цефеид и звездных скоплений, спиральных рукавов и звездных систем, где они наблюдаются (см. Период-светимость зависимость). Погрешность определения расстояний по цефеидам составляет для звездных скоплений в среднем 40% (в отдельных случаях меньше).

Информация о материале

Просмотров: 15680

Смена времен года — вечное и неизменное явление природы. Причина его заключается в движении Земли вокруг Солнца.

Путь, по которому в космическом пространстве движется земной шар, имеет форму вытянутого круга — эллипса. Солнце находится не в центре этого эллипса, а в одном из его фокусов. Поэтому на протяжении года расстояние от Солнца до Земли периодически меняется: от 147,1 млн. км (в начале января) до 152,1 млн. км (в начале июля). Переход от тёплого времени года (весна, лето) к холодному (осень, зима) происходит вовсе не потому, что Земля то приближается к Солнцу, то удаляется от него. 

Истинная причина смены времен года — это наклон земной оси. Ось вращения, воображаемая линия, соединяющая северный и южный полюса Земли, не перпендикулярна плоскости земной орбиты, по которой она движется вокруг Солнца. И отклонение оси от перпендикуляра составляет 23,5°. Ось направлена на север в точку среди звезд возле Полярной звезды. (На самом деле, ось медленно меняет свое направление и со временем будет указывать не на Полярную, а на другую звезду.)

Лето приходит в Северное полушарие, когда ось, направленная через Северный полюс вверх, указывает примерно в сторону Солнца. В этой ситуации Солнце в полдень находится выше над горизонтом, чем во все остальные сезоны года, поэтому оно лучше освещает Северное полушарие и дает больше тепла. В это же самое время ось, проходящая вниз через Южный полюс, направлена от Солнца, поэтому Солнце в полдень находится ниже над горизонтом, чем в любое другое время года, и хуже освещает Южное полушарие. В это время в Австралии наступает зима.

Летом светлого времени суток больше, чем зимой, потому что Солнце находится выше над горизонтом. Поэтому ему требуется больше времени, чтобы сначала подняться на эту высоту, а потом — спуститься. И, поскольку день длится дольше, в это время года теплее.

По мере того как Земля движется по орбите вокруг Солнца, кажется, что Солнце перемещается по небу по некой окружности, которая называется эклиптикой. Плоскость эклиптики наклонена к плоскости экватора точно под таким же углом, как ось Земли — 23,5°. 

Равноденствие — момент пересечения небесного экватора центром видимого солнечного диска. Весеннее равноденствие наступает, когда Солнце переходит из южного полушария небесной сферы в северное и обычно происходит около 21 марта. Осеннее равноденствие бывает около 23 сентября. Вблизи равноденствия продолжительность дня в средних широтах примерно равна продолжительности ночи.

Когда Солнце переходит из южного полушария небесной сферы в северное, т. е. пересекает небесный экватор «снизу вверх», наступает первый день весны, который называется днем весеннего равноденствия. Он приходится на 20–21 марта. В Южном полушарии Земли наступает астрономическая осень, а в Северном — астрономическая весна. Вблизи равноденствия продолжительность дня в средних широтах примерно равна продолжительности ночи.

Когда Солнце достигает самой высокой (северной) точки на эклиптике, это день летнего солнцестояния. Приходится примерно на 21–22 июня. С этого дня в Северном полушарии начинается астрономическое лето, а в Южном — астрономическая зима.

Когда Солнце переходит из северного полушария небесной сферы в южное, т. е. пересекает небесный экватор «сверху вниз», это начало осени, день осеннего равноденствия. Обычно он приходится примерно на 23 сентября. В Южном полушарии Земли наступает астрономическая весна, а в Северном — астрономическая осень.

Когда Солнце достигает самой нижней (южной) точки на эклиптике, это день зимнего солнцестояния. Приходится примерно на 21–22 декабря. С этого дня в Северном полушарии начинается астрономическая зима, а в Южном — астрономическое лето.

Источник

Информация о материале

Просмотров: 8873