Суммарный вес как найти

Была ли эта статья полезной?

Copied!

Вставки за время O(log n) возможны с расширенным двоичным деревом поиска. Хранить

order_come | start | end | weight
0            [10,    20]     32
1            [15,    25]     32
2            [5,     30]     32
3            [30,    40]     64
4            [1,     50]     16
5            [1,     60]     16

у нас есть дерево в форме

                   25
                 /    
               /        
             10          50
            /          /  
           5    20    40    60
          /    /     /
         1   15    30         ,

где каждое число представляет интервал от него до его преемника. С каждым узлом дерева связаны два числа. Первый мы называем ∆weight, определяемым как вес интервала узла минус вес интервала родителя узла, если его экстент (иначе ноль). Второй мы называем ∆max, определяемым как максимальный вес интервала, соответствующего потомку узла, минус вес узла.

Для приведенного выше примера

interval | tree node | total weight | ∆weight | ∆max
[1, 5)     1           32             -32       0
[5, 10)    5           64             -32       0
[10, 15)   10          96             32        32
[15, 20)   15          128            32        0
[20, 25)   20          96             0         32
[25, 30)   25          64             64        64
[30, 40)   30          96             64        0
[40, 50)   40          32             16        64
[50, 60)   50          16             -48       80
[60, ∞)    60          0              -16       0

Операции с двоичным деревом поиска почти всегда требуют поворотов. Когда мы вращаем дерево, как

    p          c
   /         / 
  c   r  =>  l   p
 /             / 
l   g          g   r

мы модифицируем

c.∆weight += p.∆weight
g.∆weight += c.∆weight
g.∆weight -= p.∆weight
p.∆weight -= c.∆weight
p.∆max = max(0, g.∆max + g.∆weight, r.∆max + r.∆weight)
c.∆max = max(0, l.∆max + l.∆weight, p.∆max + p.∆weight).

Суть аугментаций в следующем. Чтобы найти максимальный вес в дереве, вычислите r.∆max + r.∆value, где r — корень. Чтобы увеличить каждый вес в поддереве на заданную величину ∂, увеличьте ∆вес корня поддерева на ∂. Изменяя O(log n) узлов с включением-исключением, мы можем увеличить весь интервал. Вместе эти операции позволяют оценить вставку за время O(log n).

Чтобы найти общий вес интервала, выполните поиск этого интервала как обычно, а также сложите значения ∆weight предков этого интервала. Например, чтобы найти вес [15, 30], мы ищем 15, обходя 25 (∆вес = 64), 10 (∆вес = 32), 20 (∆вес = 0) и 15 (∆вес = 32), для общего веса 64 + 32 + 0 + 32 = 128.

Чтобы найти максимальный общий вес на гипотетическом интервале, мы выполняем модифицированный поиск примерно так. Используя другой модифицированный поиск, вычислите наибольшее значение дерева, меньшее или равное start (predstart; пусть predstart = -∞, если start означает, что все значения дерева больше start), и передайте его этому maxtotalweight.

maxtotalweight(root, predstart, end):
    if root is nil:
        return -∞
    if end <= root.value:
        return maxtotalweight(root.leftchild, predstart, end) + root.∆weight
    if predstart > root.value:
        return maxtotalweight(root.rightchild, predstart, end) + root.∆weight
    lmtw = maxtotalweight1a(root.leftchild, predstart)
    rmtw = maxtotalweight1b(root.rightchild, end)
    return max(lmtw, 0, rmtw) + root.∆weight

maxtotalweight1a(root, predstart):
    if root is nil:
        return -∞
    if predstart > root.value:
        return maxtotalweight1a(root.rightchild, predstart) + root.∆weight
    lmtw = maxtotalweight1a(root.leftchild, predstart)
    return max(lmtw, 0, root.rightchild.∆max + root.rightchild.∆weight) + root.∆weight

maxtotalweight1b(root, end):
    if root is nil:
        return -∞
    if end <= root.value:
        return maxtotalweight1b(root.leftchild, end) + root.∆weight
    rmtw = maxtotalweight1b(root.rightchild, end)
    return max(root.leftchild.∆max + root.leftchild.∆weight, 0, rmtw) + root.∆weight

Предположим, что nil имеет ∆weight = 0 и ∆max = -∞. Извините за все недостающие детали.

person
David Eisenstat
  
schedule
16.02.2017

1 ответ:

Читайте также

Математика, 3 класс

Урок №9. Связь между величинами: масса одного предмета, количество предметов, масса всех предметов

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— Что такое масса?

— Как найти массу одного предмета?

— Как найти общую массу?

Глоссарий по теме:

Масса предмета – величина, характеризующая вес предмета.

Чтобы найти массу одного предмета, нужно массу всех предметов разделить на количество предметов.

Чтобы найти массу всех предметов, нужно массу одного предмета умножить на количество предметов.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

1. Моро М. И., Бантова М. А. и др. Математика 3 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.; Просвещение, 2017. – с.23.
2. Волкова С. И. Математика. Проверочные работы 3 класс. М.; Просвещение, 2014. – с.20.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Рассмотрим задачу в картинках.

В задаче нужно определить массу каждого животного, т.е. вес.

Слово масса пришло к нам из латинского языка. Обозначает большое количество чего-нибудь или кого-нибудь. Измеряется масса килограммами, граммами. Вес очень больших предметов (машин, вагонов) измеряют тоннами. Прибор, с помощью которого измеряют массу — весы. Существуют разного вида и типа весы.

Решим задачу.

Масса пакета с мукой 2 кг. Узнай массу 4 таких пакетов.
К задаче можно составить схему, но удобнее будет заполнить таблицу.

В таблицу записываем названия величины и числовые данные.

Чтобы узнать массу 4 пакетов, мы должны 2 кг взять 4 раза. Массу всех пакетов узнаем действием умножением.

2 ∙ 4 = 8 (кг)

Вывод: Чтобы узнать массу всех предметов (пакетов, мешков, ящиков), нужно массу одного предмета умножить на количество.

Составим обратную задачу.

Масса 4 одинаковых пакетов с мукой 8 кг. Узнай массу одного пакета.

Заполняем таблицу.

Массу всех пакетов поровну распределим на 4 пакета.

8 : 4 = 2 (кг) – масса одного пакета.

Вывод: Чтобы узнать массу одного пакета, нужно массу всех пакетов разделить на количество.

Составим и решим следующую обратную задачу.

Масса одного пакета с мукой 2 кг. Сколько пакетов понадобится для 8 кг муки?

Заполняем таблицу.

Чтобы узнать количество пакетов, общую массу будем поровну раскладывать по 2 кг.

8 : 2 = 4 (п.)

Вывод: Чтобы узнать количество (пакетов, мешков, ящиков), нужно массу всех предметов разделить на массу одного предмета.

Тренировочные задания:

1. Выберите правильный ответ к задаче.

В одном пакете 2 кг яблок. Сколько килограммов в пяти пакетах?

7 кг; 10 кг; 5кг;

Правильный вариант: 10 кг.

2. Вставьте в таблицу пропущенные числа.

Правильный вариант: