Решение как найти дискриминант квадратного уравнения

Решение квадратных уравнений

6 июля 2011

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

1. Не имеют корней;
2. Имеют ровно один корень;
3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант.

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b² − 4ac.

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

1. Если D < 0, корней нет;
2. Если D = 0, есть ровно один корень;
3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

1. x² − 8x + 12 = 0;
2. 5x² + 3x + 7 = 0;
3. x² − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8)² − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3² − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6)² − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

Задача. Решить квадратные уравнения:

1. x² − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x² = 0;
3. x² + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x² − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2)² − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x − x² = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2)² − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

[begin{align} & {{x}_{1}}=frac{2+sqrt{64}}{2cdot left( -1 right)}=-5; \ & {{x}_{2}}=frac{2-sqrt{64}}{2cdot left( -1 right)}=3. \ end{align}]

Наконец, третье уравнение:
x² + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12² − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

[x=frac{-12+sqrt{0}}{2cdot 1}=-6]

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

1. x² + 9x = 0;
2. x² − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax² + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax² = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax² + c = 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c/a) ≥ 0. Вывод:

1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax² + c = 0 выполнено неравенство (−c/a) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
2. Если же (−c/a) < 0, корней нет.

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c/a) ≥ 0. Достаточно выразить величину x² и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax² + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

1. x² − 7x = 0;
2. 5x² + 30 = 0;
3. 4x² − 9 = 0.

x² − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x₁ = 0; x₂ = −(−7)/1 = 7.

5x² + 30 = 0 ⇒ 5x² = −30 ⇒ x² = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x² − 9 = 0 ⇒ 4x² = 9 ⇒ x² = 9/4 ⇒ x₁ = 3/2 = 1,5; x₂ = −1,5.

Смотрите также:

1. Теорема Виета
2. Следствия из теоремы Виета
3. Тест на тему «Значащая часть числа»
4. Метод коэффициентов, часть 1
5. Однородные тригонометрические уравнения: общая схема решения
6. Задача B4: строительные бригады

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

на главную

Дискриминант
квадратного уравнения

Поддержать сайт

Надеюсь, изучив данную статью, вы научитесь находить корни полного квадратного уравнения.

С помощью дискриминанта решаются только полные квадратные уравнения, для решения неполных квадратных уравнений используют другие методы, которые вы найдете в статье «Решение неполных квадратных уравнений».

Какие же квадратные уравнения называются полными? Это уравнения вида ах² + b x + c = 0, где коэффициенты a, b и с не равны нулю. Итак, чтобы решить полное квадратное уравнение, надо вычислить дискриминант D.

D = b² – 4ас .

В зависимости от того какое значение имеет дискриминант, мы и запишем ответ.

Если дискриминант отрицательное число (D < 0),то корней нет.

Если же дискриминант равен нулю, то х = (-b)/2a. Когда дискриминант положительное число (D > 0),

тогда х₁ = (-b — √D)/2a ,  и  х₂ = (-b + √D)/2a .

Например. Решить уравнение х² – 4х + 4= 0.

D = 4² – 4 · 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Ответ: 2.

Решить уравнение 2х² + х + 3 = 0.

D = 1² – 4 · 2 · 3 = – 23

Ответ: корней нет.

Решить уравнение 2х² + 5х – 7 = 0.

D = 5² – 4 · 2 · (–7) = 81

х₁ = (-5 — √81)/(2·2)= (-5 — 9)/4= – 3,5

х₂ = (-5 + √81)/(2·2) = (-5 + 9)/4=1

Ответ: – 3,5 ; 1.

Итак представим решение полных квадратных уравнений схемой на рисунке1. 

По этим формулам можно решать любое полное квадратное уравнение. Нужно только внимательно следить за тем, чтобы уравнение было записано многочленом стандартного вида

ах² + bx + c, иначе можно допустить ошибку. Например, в записи уравнения х + 3 + 2х² = 0, ошибочно можно решить, что

а = 1, b = 3 и с = 2. Тогда

D = 3² – 4 · 1 · 2 = 1 и тогда уравнение имеет два корня. А это неверно. (Смотри решение примера 2 выше).

Поэтому, если уравнение записано не многочленом стандартного вида, вначале полное квадратное уравнение надо записать многочленом стандартного вида (на первом месте должен стоять одночлен с наибольшим показателем степени, то есть ах², затем с меньшим  – bx, а затем свободный член с.

При решении приведенного квадратного уравнения и квадратного уравнения с четным коэффициентом при втором слагаемом можно использовать и другие формулы. Давайте познакомимся и с этими формулами. Если в полном квадратном уравнении при втором слагаемом коэффициент будет четным (b = 2k), то можно решать уравнение по формулам приведенным на схеме рисунка 2. 

Полное квадратное уравнение называется приведенным, если коэффициент при х² равен единице и уравнение примет вид х² + px + q = 0. Такое уравнение может быть дано для решения, либо получается делением всех коэффициентов уравнение на коэффициент а, стоящий при х².

На рисунке 3 приведена схема решения приведенных квадратных уравнений. Рассмотрим на примере применение рассмотренных в данной статье формул.

Пример. Решить уравнение

3х² + 6х – 6 = 0.

Давайте решим это уравнение применяя формулы приведенные на схеме рисунка 1.

D = 6² – 4 · 3 · (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 · 3) = 6√3

х₁ = (-6 — 6√3 )/(2 · 3) = (6 ( -1- √(3)))/6 = –1 – √3

х₂ = (-6 + 6√3 )/(2 · 3) = (6 ( -1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3

Можно заметить, что коэффициент при х в этом уравнении четное число, то есть b = 6 или b = 2k , откуда k = 3. Тогда попробуем решить уравнение по формулам , приведенным на схеме рисунка D₁ = 3² – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D₁) = √27 = √(9 · 3) = 3√3

х₁ = (-3 — 3√3)/3 = (3 (-1 — √(3)))/3 = – 1 – √3

х₂ = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3. Заметив, что все коэффициенты в этом квадратном уравнении делятся на 3 и выполнив деление, получим приведенное квадратное уравнение x² + 2х – 2 = 0 Решим это уравнение, используя формулы для приведенного квадратного уравнения рисунок 3.

D₂ = 2² – 4 · (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D₂) = √12 = √(4 · 3) = 2√3

х₁= (-2 — 2√3)/2 = (2 (-1 — √(3)))/2 = – 1 – √3

х₂= (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3.

Как видим, при решении этого уравнения по различным формулам мы получили один и тот же ответ. Поэтому хорошо усвоив формулы приведенные на схеме рисунка 1 , вы всегда сможете решить любое полное квадратное уравнение.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Что такое квадратные уравнения?

А теперь подробно с примерами обсудим квадратные уравнения.

Любые уравнения, сводящиеся к виду (ax^2+bx+c=0), называются квадратными. Где буквы ( b,; с) — любые числа, (aneq0). Почему (aneq0) мы обсудим ниже.

Обратите внимание на порядок слагаемых в квадратном уравнении:
(a) — всегда стоит первая и обязательно умножается на (x^2), она называется старшим коэффициентом (или первым);
(b) — принадлежит второму слагаемому и всегда умножается просто на переменную (x), это у нас второй коэффициент;
(c) — называют свободным членом, она не умножается ни на какую переменную.

В дальнейшем старайтесь приводить квадратное уравнение к виду (ax^2+bx+c=0), чтобы слагаемые стояли именно в таком порядке. Это очень важно при решении уравнений, и поможет избежать множества ошибок.

Потренируемся определять значения коэффициентов ( a, ; b,; с), чтобы запомнить порядок:

Пример 1
$$2x^2+3x+4=0;$$
$$a=2 quad b=3 quad c=4.$$

Пример 2
$$5x^2-3x-0,7=0;$$
$$a=5 quad b=-3 quad c=-0,7.$$

Пример 3
$$-x^2+2x+10=0;$$
Минус перед (x^2) можно представить в виде (-x^2=-1*x^2). Единицу обычно не пишут, поэтому минус перед первым слагаемым означает, что (a=-1):
$$a=-1 quad b=2 quad c=10.$$

Пример 4
$$3+x^2-5x=0;$$
Слагаемые стоят в неправильном порядке. Так коэффициенты находить неудобно, поэтому переставим все слагаемые в нужном порядке. От перемены мест слагаемых сумма не меняется:
$$x^2-5x+3=0;$$
$$a=1 quad b=-5 quad c=3.$$

Пример 5
$$2x^2-3x=0;$$
В уравнении нет свободного члена (c), поэтому он будет равен (0):
$$a=2 quad b=-3 quad c=0.$$

Пример 6
$$-4x^2+1=0;$$
А здесь уже нет второго коэффициента (b):
$$a=-4 quad b=0 quad c=1.$$

Уравнения, приведенные в примерах №5 и 6, называются неполными квадратными уравнениями, так как в них коэффициенты (b) или (c) равны нулю.

А вот если в уравнении коэффициенты ( a, ; b,; с) не равны 0, то такое уравнение называется полным.

От того, полное ли квадратное уравнение или неполное, зависит, как мы будем его решать. Начнем с неполных уравнений, они немного легче, но почему-то как раз в них все часто ошибаются.

Неполные квадратные уравнения

Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором один из коэффициентов (b) или (c) равен нулю, (aneq0).

Как решать квадратное уравнение (ax^2+bx=0)?

Рассмотрим уравнение, в котором (c=0), оно будет иметь вид:
$$ax^2+bx=0;$$
Чтобы его решить, нужно вынести общий множитель (x) за скобки:
$$x(ax+b)=0;$$
И вспомнить правило, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Здесь два множителя: (x) и ((ax+b)). Приравниваем их к нулю и решаем каждое по-отдельности:
$$x=0;$$
Тут решать-то нечего, сразу дан корень.
Второе:
$$ax+b=0;$$
Обычное линейное уравнение:
$$ax=-b;$$
$$x=frac{-b}{a};$$

Получили, что уравнение имеет сразу два корня:(x=0) и (x=frac{-b}{a}).

Разберем на примере:

Пример 7
$$2x^2+8x=0;$$
Выносим общий множитель (x):
$$x(2x+8)=0;$$
$$quad x_1=0 quad и quad 2x+8=0;$$
$$2x+8=0;$$
$$2x=-8;$$
$$x_2=-4.$$
Ответ: (x_1=0 quad и quad x_2=-4.)

Как решать квадратное уравнение (ax^2+с=0)?

Вот с такими уравнениями надо быть очень внимательными. Важно помнить, что любое число (выражение), возведенное в квадрат, всегда больше или равно нуля, оно не может быть отрицательным.

Общая схема решения уравнений вида (ax^2+с=0):

• Выражаем (x^2) из уравнения:
  $$ax^2+c=0;$$
  $$ax^2=-c;$$
  $$x^2=frac{-c}{a};$$
• Если (-frac{c}{a} geq 0):
  $$x_1=sqrt{-frac{c}{a}};$$
  $$x_2=-sqrt{-frac{c}{a}};$$
• Если (-frac{c}{a} lt 0):
  РЕШЕНИЙ НЕТ.

Пример 8
$$2x^2-8=0;$$
$$2x^2=8;$$
$$x^2=frac{8}{2};$$
$$x^2=4;$$
$$x=pmsqrt{4};$$
$$x_1=2;$$
$$x_2=-2;$$
Ответ: (x_1=2 quad и quad x_2=-2.)

Пример 9
$$4x^2+36=0;$$
$$2x^2=-36;$$
$$x^2=frac{-36}{2}=-18;$$
Так как (-18 < 0), а (x^2) не может быть отрицательным, то это уравнение не имеет корней.
Ответ: Нет корней.

Пример 10
$$frac{1}{2}x^2-frac{1}{18}=0;$$
$$frac{1}{2}x^2=frac{1}{18};$$
Чтобы избавиться от (frac{1}{2}), умножим уравнение слева и справа на (2):
$$x^2=frac{2}{18};$$
$$x^2=frac{1}{9};$$
$$x=pmsqrt{frac{1}{9}};$$
$$x_1=frac{1}{3};$$
$$x_2=-frac{1}{3};$$
Ответ: (x_1=frac{1}{3} quad и quad x_2=-frac{1}{3}.)

Решение квадратных уравнений через дискриминант

Квадратные уравнения (ax^2+bx+c=0), у которых все коэффициенты ( a, ; b,; с) не равны 0, называются полными квадратными уравнениями.

Чтобы их решать, нужно уметь находить дискриминант квадратного уравнения. Ничего страшного в этом нет, несмотря на странное называние. Дискриминантом уравнения (ax^2+bx+c=0) называют выражение:
$$D=b^2-4ac;$$

1. Если дискриминант получился больше нуля ((D ge 0)), то квадратное уравнение имеет два корня, которые можно найти по формулам:
   $$x_1=frac{-b+sqrt{D}}{2a};$$
   $$x_2=frac{-b-sqrt{D}}{2a};$$
2. Если дискриминант равен нулю ((D=0)), то квадратное уравнение имеет один корень:
   $$x=frac{-b}{2a};$$
3. Если дискриминант меньше нуля ((D<0)), то квадратное уравнение не имеет корней.

Примеры квадратных уравнений

Пример 11
$$2x^2-9x+4=0;$$
Прежде чем решать уравнение, я рекомендую выписать все коэффициенты:
$$a=2 quad b=-9 quad c=4.$$
Используя значения коэффициентов, можем посчитать дискриминант:
$$D=b^2-4ac=(-9)^2-4*2*4=81-32=49;$$
Ура, дискриминант посчитан и он больше нуля! Значит корней будет два, найдем их по формулам:
$$x_1=frac{-b+sqrt{D}}{2a}=frac{-(-9)+sqrt{49}}{2*2}=frac{9+7}{4}=frac{16}{4}=4;$$
$$x_2=frac{-b-sqrt{D}}{2a}=frac{-(-9)—sqrt{49}}{2*2}=frac{9-7}{4}=frac{2}{4}=frac{1}{2};$$
Ответ: (x_1=4 quad и quad x_2=frac{1}{2}.)

Пример 12
$$10x^2+x-21=0;$$
$$a=10 quad b=1 quad c=-21.$$
$$D=b^2-4ac=1^2-4*10*(-21)=1+840=841;$$
$$x_1=frac{-b+sqrt{D}}{2a}=frac{-1+sqrt{841}}{2*10}=frac{-1+29}{20}=frac{28}{20}=frac{7}{5};$$
$$x_2=frac{-b-sqrt{D}}{2a}=frac{-1-sqrt{841}}{2*10}=frac{-1-29}{20}=frac{-30}{20}=frac{-3}{2};$$
Ответ: (x_1=frac{7}{5} quad и quad x_2=-frac{3}{2}.)

Пример 13
$$(x-7)^2=2x^2+11x+23;$$
Это уравнение еще нужно привести к стандартному виду, для этого раскроем скобки по формуле «квадрат разности» ((a-b)^2=a^2-2ab+b^2):
$$x^2-14x+49=2x^2+11x+23;$$
Перекинем все слагаемые в левую часть, не забывая при этом менять знак на противоположный:
$$x^2-14x+49-2x^2-11x-23=0;$$
Приводим подобные слагаемые:
$$-x^2-25x+26=0;$$
$$a=-1 quad b=-25 quad c=26.$$
$$D=b^2-4ac=(-25)^2-4*(-1)*26=625+104=729;$$
$$x_1=frac{-b+sqrt{D}}{2a}=frac{-(-25)+sqrt{729}}{2*(-1)}=frac{25+27}{-2}=frac{52}{-2}=-26;$$
$$x_2=frac{-b-sqrt{D}}{2a}=frac{-(-25)-sqrt{729}}{2*(-1)}=frac{25-27}{-2}=frac{-2}{-2}=1;$$
Ответ: (x_1=-26 quad и quad x_2=1.)

Пример 14
$$3x^2+7x+6=0;$$
$$a=3 quad b=7 quad c=6.$$
$$D=b^2-4ac=7^2-4*3*6=49-72=-23;$$
Стоп! Дискриминант получился отрицательный, это означает, что у этого квадратного уравнения не будет корней.
Ответ: Нет корней.

Пример 15
$$4x^2-4x+1=0;$$
$$a=4 quad b=-4 quad c=1.$$
$$D=b^2-4ac=(-4)^2-4*4*1=16-16=0;$$
Дискриминат получился равен нулю. В этом случае у квадратного уравнения будет всего один корень, который можно найти по формуле:
$$x=frac{-b}{2a}=frac{-(-4)}{2*4}=frac{4}{8}=frac{1}{2};$$
Ответ: (x=frac{1}{2}.)

Полезно знать! Если дискриминант получился равен нулю, то перед вами формула полного квадрата. Это значит, что квадратный многочлен можно разложить по формуле ((apm b)^2=a^2pm 2ab+b^2).
И пример №15 можно решить, используя эту формулу:
$$4x^2-4x+1=0;$$
$$(2x-1)^2=0;$$
Квадрат равен нулю только в том случае, если выражение под квадратом равно нулю:
$$2x-1=0;$$
$$2x=1;$$
$$x=frac{1}{2};$$
Ответ получили точно такой же, как и при решении через дискриминант.

Дискриминант деленный на 4

Квадратные уравнения иногда удобно решать по упрощенной формуле дискриминанта. Но применять ее можно не во всех случаях, а только, если коэффициент (b) в уравнении (ax^2+bx+c=0) четный (делится на 2).

Итак, представим, что коэффициент (b) четный, тогда дискриминант можно посчитать по формуле:
$$D_4=left(frac{b}{2}right)^2-ac;$$
А корни уравнения находятся по формулам:
$$x_1=frac{-frac{b}{2}+sqrt{D_4}}{a};$$
$$x_2=frac{-frac{b}{2}-sqrt{D_4}}{a};$$
Кстати, обычный дискриминант (D) отличается от (D_4) в 4 раза:
$$D_4=frac{D}{4}=frac{b^2-4ac}{4}=frac{b^2}{4}-frac{4ac}{4}=left(frac{b}{2}right)^2-ac;$$
Поэтому (D_4) называют «дискриминантом деленным на 4».

Эти формулы нужны, чтобы, когда это возможно, сократить вычисления. Разберем на примере:

Пример 16
$$7x^2-20x-1067=0;$$
$$a=7 quad b=-20 quad c=-1067.$$
(b=-20) — четный, поэтому воспользуемся дискриминантом деленным на 4:
$$D_4=left(frac{b}{2}right)^2-ac=left(frac{-20}{2}right)^2-7*(-1067)=(-10)^2+7469=100+7469=7569;$$
$$x_1=frac{-frac{b}{2}+sqrt{D_4}}{a}=frac{-frac{-20}{2}+sqrt{7569}}{7}=frac{10+87}{7}=frac{97}{7};$$
$$x_2=frac{-frac{b}{2}-sqrt{D_4}}{a}=frac{-frac{-20}{2}-sqrt{7569}}{7}=frac{10-87}{7}=frac{-77}{7}=-11;$$
Ответ: (x_1=frac{97}{7} quad и quad x_2=-11.)

Возникает вопрос, зачем вообще нужен этот (D_4), если все можно считать через обычный дискриминант? Если бы мы считали пример №16 как обычно, то наш дискриминант, который и так получился не маленьким — ((D_4=7659)), был бы в четыре раза больше. А чем больше числа, тем сложнее расчеты.

Теорема Виета для решения квадратных уравнений

Теорема Виета — это еще один способ упростить решение полных квадратных уравнений. Ее очень часто используют для решения несложных квадратных уравнений в уме и для анализа квадратного многочлена, особенно это актуально в сложных заданиях с параметром в ЕГЭ.

Прежде чем сформулировать теорему Виета, познакомимся с приведенными квадратными уравнениями.

Приведенное квадратное уравнение

Квадратные уравнения (ax^2+bx+c=0), у которых коэффициент (a) при (x^2) равен (1), называют приведенными.

Например:
$$x^2+4x-3=0;$$
$$x^2-140x-65=0;$$
Любое полное квадратное уравнение всегда можно свести к приведенному. Для этого надо поделить все уравнение на коэффициент (a):

Пример 17
Привести квадратное уравнение к приведенному.
$$3x^2-15x+9=0;$$
Разделим уравнение на (a=3). (Так можно делать: если левую и правую части уравнения поделить на одно и то же число, то корни уравнения от этого не изменятся.)
$$frac{3x^2-15x+9}{3}=frac{0}{3};$$
В результате каждое слагаемое поделится на (3):
$$frac{3x^2}{3}-frac{15x}{3}+frac{9}{3}=0;$$
$$x^2-5x+3=0;$$

Формулы Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения (x^2+bx+c=0) равна второму коэффициенту (b) со знаком минус, а произведение корней равно свободному члену (c).

Пусть (x_1), и (x_2) — корни квадратного уравнения (x^2+bx+c=0), тогда справедливы формулы:
$$ begin{cases}
x_1+x_2=-b; \
x_1*x_2=c. \
end{cases}$$
На первый взгляд может показаться, что это очень запутанно, но на самом деле, теорема Виета часто помогает решить уравнение в уме. Попробуем на практике:

Пример 18
$$x^2+4x+3=0;$$
$$a=1 quad b=4 quad c=3.$$
Воспользуемся теоремой Виета и выпишем формулы:
$$ begin{cases}
x_1+x_2=-b; \
x_1*x_2=c. \
end{cases}$$
Подставим коэффициенты:
$$ begin{cases}
x_1+x_2=-4; \
x_1*x_2=3. \
end{cases}$$

Нужно найти такие (x_1) и (x_2), которые удовлетворяют и первому, и второму уравнениям в системе. Подобрать корни достаточно просто: рассмотрим второе уравнение, какие два числа дают при умножении (3ку)?

Либо: (3=1*3);
Либо: (3=(-1)*(-3)).

Осталось проверить, будут ли найденные множители удовлетворять первому уравнению в системе, просто подставим их:
$$1+3 neq -4;$$
$$-1+(-3) = -4;$$
Вот мы и нашли корни системы уравнений: (x_1=-1) и (x_2=-3). А самое главное, мы нашли корни исходного квадратного уравнения.
Ответ: (x_1=-1 quad и quad x_2=-3.)

Если потренироваться, то все эти вычисления можно легко проводить в уме, если коэффициенты небольшие. Главное запомнить, что произведение корней должно быть равно свободному члену (c), а сумма корней равна ((-b)).

Теорема Виета, если (aneq1)

По теореме Виета можно решать не только приведенные квадратные уравнения (у которых (a=1)). Но перед тем, как применять формулы Виета, надо привести уравнение к приведенному, поделив на первый коэффициент (a):
$$ax^2+bx+c=0; quad mid :a$$
$$frac{ax^2}{a}+frac{bx}{a}+frac{c}{a};$$
$$x^2+frac{b}{a}*x+frac{c}{a};$$
Получили приведенное квадратное уравнение, для которого можно записать формулы Виета, где вторым коэффициентом будет (frac{b}{a}), а свободным членом (frac{c}{a}):
$$ begin{cases}
x_1+x_2=-frac{b}{a}; \
x_1*x_2=frac{c}{a}. \
end{cases}$$

Пример 19
$$12x^2+x-1=0;$$
$$a=12 quad b=1 quad c=-1.$$
Коэффициент (a=12 neq 1), поэтому разделим все уравнение на (a=12):
$$12x^2+x-1=0; quad mid :12$$
$$x^2+frac{1}{12}x-frac{1}{12}=0;$$
$$a=1 quad b=frac{1}{12} quad c=-frac{1}{12}.$$

Теорема Виета:
$$ begin{cases}
x_1+x_2=-frac{1}{12}; \
x_1*x_2=-frac{1}{12}. \
end{cases}$$

Подбираем корни:
$$x_1=-frac{1}{3};$$
$$x_2=frac{1}{4};$$

Ответ: (x_1=-frac{1}{3} quad и quad x_2=frac{1}{4}.)

Теорема Виета удобна, когда у квадратного уравнения небольшие коэффициенты и можно легко подобрать корни. В остальных случаях лучше пользоваться дискриминантом.

Существуют разные способы нахождения корней квадратного уравнения. Пожалуй, самый основной и распространенный способ – через вычисление дискриминанта. В этом случае он рассчитывается по формуле:

D=b2–4acD = b^2 – 4ac

Если второй коэффициент уравнения четный, можно решать уравнение через kk, тогда будет другая формула дискриминанта:

D1=k2–acD_1 = k^2 – ac

Если первый коэффициент уравнения равен 1, то можно воспользоваться теоремой Виета, которая имеет 2 условия:

x1+x2=−bx_1 + x_2 = -b
x1⋅x2=cx_1 cdot x_2 = c

Но если мы захотим решить уравнение основным способом, ошибки не будет. Нахождение корней уравнения через дискриминант – универсальный способ, а остальные введены для удобства вычислений.

Задача 1

Решим уравнение: 3×2+7x−6=0.3x^2 + 7x — 6 = 0.

Обозначим коэффициенты:

a=3a = 3,

b=7b = 7,

c=−6c = -6

Далее находим дискриминант по формуле:

D=b2–4acD = b^2 – 4ac

D=72–4∗3∗(−6)=49+72=121=112D = 7^2 – 4 * 3 * (-6) = 49 + 72 = 121 = {11}^2

D>0D > 0 – значит, уравнение имеет 2 корня.

Находим корни уравнения по следующим формулам:

x1=(−b+√D)/2ax_1 = (-b + √D) / 2a
x2=(−b−√D)/2ax_2 = (-b — √D) / 2a

Подставляем численные значения:

x1=(−7+11)/2∗3=4/6=23x_1 = (-7 + 11) / 2*3 = 4 / 6 = frac{2}{3}

x2=(−7–11)/2∗3=−18/6=−3x_2 = (-7 – 11) / 2*3 = -18 / 6 = -3

Ответ: x1=23x_1 = frac{2}{3}, x2=−3x_2 = -3.

Задача 2

Решим уравнение: −x2+7x+8=0.-x^2 + 7x + 8 = 0.

Обозначим коэффициенты:

a=−1a = -1,

b=7b = 7,

c=8.c = 8.

Далее находим дискриминант по формуле:

D=b2–4acD = b^2 – 4ac

D=72–4⋅(−1)⋅8=49+32=81=92D = 7^2 – 4 cdot (-1) cdot 8 = 49 + 32 = 81 = 9^2

D>0D > 0 – значит, уравнение имеет 2 корня.

Находим корни уравнения по следующим формулам:

x1=(−b+√D)/2ax_1 = (-b + √D) / 2a
x2=(−b−√D)/2ax_2 = (-b — √D) / 2a

Подставляем численные значения:

x1=(−7+9)/2∗(−1)=2/(−2)=−1x_1 = (-7 + 9) / 2 * (-1) = 2 / (-2) = -1
x2=(−7–9)/2∗(−1)=−16/(−2)=8x_2 = (-7 – 9) / 2 * (-1) = -16 / (-2) = 8

Ответ: x1=−1x_1 = -1, x2=8x_2 = 8.

Задача 3

Решим уравнение: 4×2+4x+1=0.4x^2 + 4x + 1 = 0.

Обозначим коэффициенты:
a=4a = 4,

b=4b = 4,

c=1.c = 1.

Далее находим дискриминант по формуле: D=b2–4acD = b^2 – 4ac

D=42–4⋅4⋅1=16–16=0D = 4^2 – 4 cdot 4 cdot 1 = 16 – 16 = 0

D=0D = 0 – значит, уравнение имеет 1 корень.

Находим корень уравнения по следующей формуле: x=−b/2ax = -b / 2a

Подставляем численные значения:

x=−4/2⋅4=−4/8=−1/2=−0,5x = -4 / 2 cdot 4 = -4 / 8 = -1 / 2 = -0,5

Ответ: x=−0,5.x = -0,5.

Задача 4

Решим уравнение: 2×2+x+1=0.2x^2 + x + 1 = 0.

Обозначим коэффициенты:
a=2a = 2,

b=1b = 1,

c=1.c = 1.

Далее находим дискриминант по формуле: D=b2–4acD = b^2 – 4ac

D=12–4∗2∗1=1–8=−7D = 1^2 – 4 * 2 * 1 = 1 – 8 = -7

D<0D < 0 – значит, уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Решение квадратного уравнения через k

Если у квадратного уравнения коэффициент bb четный, то можно решать уравнение через kk, при этом k=12bk = frac{1}{2} b.

Задача 5

Решим уравнение: −x2+2x+8=0.-x^2 + 2x + 8 = 0.

Обозначим коэффициенты:

a=−1a = -1,

b=2b = 2,

c=8c = 8

bb – четное.

k=12b=1k = frac {1}{2} b = 1.

Далее находим дискриминант по формуле: D1=k2–acD_1 = k^2 – ac

D1=12–(−1)∗8=1+8=9=32D_1 = 1^2 – (-1) * 8 = 1 + 8 = 9 = 3^2

D1>0D_1 > 0 – значит, уравнение имеет 2 корня.

Находим корни уравнения по следующим формулам:

x1=(−k+D1)/ax_1 = (-k + {sqrt D}_1) / a
x2=(−k−D1)/ax_2 = (-k — {sqrt D}_1) / a

Подставляем численные значения:

x1=(−1+3)/(−1)=2/(−1)=−2x_1 = (-1 + 3) / (-1) = 2 / (-1) = -2
x2=(−1–3)/(−1)=−4/(−1)=4x_2 = (-1 – 3) / (-1) = -4 / (-1) = 4

Ответ: x_1 = -2, x_2 = 4.

Задача 6

Решим уравнение: 9×2–6x+1=0.9x^2 – 6x + 1 = 0.

Обозначим коэффициенты:
a=9a = 9,

b=−6b = -6,

c=1c = 1

bb – четное.

K=12b=−3.K = frac{1}{2} b = -3.

Далее находим дискриминант по формуле: D1=k2–acD_1 = k^2 – ac

D1=(−3)2–9∗1=9–9=0D_1 = {(-3)}^2 – 9 * 1 = 9 – 9 = 0

D1=0D_1 = 0 – значит, уравнение имеет 1 корень.

Находим корень уравнения по следующей формуле: x=−k/ax = -k / a

Подставляем численные значения:

x=3/9=13x = 3 / 9 = frac{1}{3}

Ответ: x=13.x = frac{1}{3}.

Нахождение корней уравнения по теореме Виета

Если в квадратном уравнении a=1a = 1, то можно найти корни уравнения по теореме Виета.

Задача 7

Найдем корни уравнения: x2+3x+2=0.x^2 + 3x + 2 = 0.

Обозначим коэффициенты:
a=1a = 1,

b=3b = 3,

c=2c = 2.

Запишем 2 условия теоремы Виета:

x1+x2=−bx_1 + x_2 = -b
x1∗x2=cx_1 * x_2 = c

Теперь методом подбора найдем 2 числа, которые будут соответствовать этим условиям. Вероятно, это числа -2 и -1.

Значит, корни уравнения равны:

x1=−2x_1 = -2
x2=−1x_2 = -1

Ответ: x1=−2x_1 = -2, x2=−1x_2 = -1.

Задача 8

Найдем корни уравнения: x2–5x+6=0.x^2 – 5x +6 = 0.

Обозначим коэффициенты:

a=1a = 1,

b=−5b = -5,

c=6c = 6

Запишем 2 условия теоремы Виета:

x1+x2=−bx_1 + x_2 = -b
x1∗x2=cx_1 * x_2 = c

Теперь методом подбора найдем 2 числа, которые будут соответствовать этим условиям. Вероятно, это числа 2 и 3.

Значит, корни уравнения равны:

x1=2x_1 = 2
x2=3x_2 = 3

Ответ: x1=2x_1 = 2, x2=3.x_2 = 3.

Тест по теме «Примеры решения квадратных уравнений»