Общая хорда двух окружностей как найти - Autoru.top

Общая хорда двух окружностей

Общая хорда двух пересекающихся окружностей перпендикулярна прямой, проходящей через центры этих окружностей.

Дано : окр. (O1; R) ∩ окр. (O2; r)=A, B.

Соединим центры окружностей с точками A и B. Обозначим точку пересечения прямой O1O2 с хордой AB как F.

Рассмотрим треугольники O1AO2 и O1BO2.

3) O1O2 — общая сторона.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠AO1F=BO1F, то есть O1F- биссектриса угла AO1B.

Треугольник AO1B — равнобедренный с основанием AB (O1A=O1B=R). Следовательно, биссектриса O1F является также его высотой и медианой. Таким образом,

Аналогично доказывается, что

По теореме о существовании и единственности прямой, перпендикулярной данной,через точку F можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой AB.

Следовательно, центры окружностей O1, O2 и точка F лежат на одной прямой O1O2, а общая хорда окружностей перпендикулярна этой прямой:

Хорда окружности — определение, свойства, теорема

Хорда в геометрии

Каждая хорда имеет свою длину. Ее можно определить с помощью теоремы синусов. То есть длина хорды окружности зависит от радиуса и вписанного угла, опирающегося на данный отрезок. Формула для определения длины выглядит следующим образом: B*A = R*2 * sin α, где R — радиус, AB — это хорда, α — вписанный угол. Также длину можно вычислить через другую формулу, которая выводится из теоремы Пифагора: B*A = R*2 * sin α/2 , где AB — это хорда, α — центральный угол, который опирается на данный отрезок, R — радиус.

Если рассматривать хорды в совокупности с дугами, то получаются новые объекты. Например, в кругу можно дополнительно выделить две области: сектор и сегмент. Сектор образуется с помощью двух радиусов и дуги. Для сектора можно вычислить площадь, а если он является частью конуса, то еще и высоту. Сегмент, в свою очередь, это область, состоящая из отрезка и дуги.

Для того чтобы проверить правильность своего решения в нахождении длины, можно обратиться к онлайн-калькуляторам в интернете. Они представлены в виде таблицы, в которую нужно вписать только известные параметры, а программа сама выполнит необходимые вычисления.

Это очень полезная функция, так как не приходится вспоминать различные уравнения и производить сложные расчеты.

Свойства отрезка окружности

Для решения геометрических задач необходимо знать свойства хорды окружности. Для нее характерны такие показатели:

Это отрезок с наибольшей длиною в окружности это диаметр. Он обязательно будет проходить через центр круга.
Если есть две равные дуги, то их отрезки, которые их стягивают, будут равны.
Хорда, которая перпендикулярна диаметру, будет делить этот отрезок и его дугу на две одинаковые части (справедливо и обратное утверждение).
Самый маленький отрезок в окружности это точка.
Хорды будут равны, если они находятся на одном расстоянии от центра окружности (справедливо и обратное утверждение).
При сравнении двух отрезков в кругу большая из них окажется ближе к центру окружности.
Дуги, которые находятся между двумя параллельными хордами, равны.

Помимо основных свойств отрезка круга, нужно выделить еще одно важное свойство. Оно отражено в теореме о пересекающихся хордах.

Ключевая теорема

Имеется круг с центром в точке O и радиусом R. Для теоремы нужно в круг вписать две прямые, пускай это будут хорды BA и CD, которые пересекаются в точке E. Перед тем как перейти к доказательству, нужно сформулировать определение теоремы. Оно звучит следующим образом: если хорды пересекаются в некоторой точке, которая делит их на отрезки, то произведения длин отрезков первой хорды равно произведению длин отрезков второй хорды. Для наглядности можно записать эту формулу: AE*BE= EC*ED. Теперь можно перейти к доказательству.

Проведем отрезки CB и AD. Рассмотрим треугольники CEB и DEA. Известно, что углы CEB и DEA равны как вертикальные углы, DCB и BAD равны за следствием с теоремы про вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу. Треугольники CEB и DEA подобны (первый признак подобия треугольников). Тогда выходит пропорциональное соотношение BE/ED = EC/EA. Отсюда AE*BE= EC*ED.

Помимо взаимодействия с внутренними элементами окружности, для хорды еще существуют свойства при пересечении с секущейся и касательными прямыми. Для этого необходимо рассмотреть понятия касательная и секущая и определить главные закономерности.

Касательная — это прямая, которая соприкасается с кругом только в одной точке. И если к ней провести радиус круга, то они будут перпендикулярны. В свою очередь, секущая — это прямая, которая проходит через две точки круга. При взаимодействии этих прямых можно заметить некоторые закономерности.

Касательная и секущая

Существует теорема о двух касательных, которые проведены с одной точки. В ней говорится о том, что если есть две прямые OK и ON, которые проведены с точки O, будут равны между собой. Перейдем к доказательству теоремы.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника AFD и AED. Поскольку катеты DF и DE будут равны как радиусы круга, а AD — общая гипотенуза, то между собой данные треугольники будут равны за признаком равенства треугольников, с чего выходит, что AF = AE.

Если возникает ситуация, когда пересекаются касательная и секущая, то в этом случае также можно вывести закономерность. Рассмотрим теорему и докажем, что AB 2 = AD*AC.

Предположим у нас есть касательная AB и секущая AD, которые берут начало с одной точки A. Обратим внимание на угол ABC, он спирается на дугу BC, значит, за свойством значение его угла будет равно половине градусной меры дуги, на которую он опирается. За свойством вписанного угла, величина угла BDC также будет равно половине дуги BC. Таким образом, треугольники ABD и ABC будут подобны за признаком подобия треугольников, так как угол A — общий, а угол ABC равен углу BDC. Опираясь на теорию, получаем соотношение: AB/CA = DA/AB, переписав это соотношение в правильную форму, получаем равенство AB 2 = AD*AC, что и требовалось доказать.

Как есть теорема про две касательные, так есть и теорема про две секущие. Она так же просто формулируется, как и остальные теоремы. Поэтому рассмотрим доказательство и убедимся, что AB*AC = AE*AD.

Проведем две прямые через точку A, получим две секущие AC и AE. Дорисуем две хорды, соединяя точки C и B, B и D. Получим два треугольника ABD И CEA. Обратим внимание на вписанный четырехугольник BDCE. За свойством вписанных четырехугольников узнаем, что значения углов BDE и ECB в сумме будут давать 180 градусов. И сумма значений углов BDA и BDE также равна 180, за свойством смежных углов.

Отсюда можно получить два уравнения, из которых будет выведено, что углы ECB и BDA будут равны: BDA + BDE = 180; BDE + ECB = 180. Все это записываем в систему уравнений, отнимаем первое от второго, получаем результат, что ECB = BDA.

Если вернутся к треугольникам ABD И CEA, то теперь можно сказать, что они подобны, так как угол А — общий, а углы ECA и BDA — равны. Теперь можно записать соотношение сторон: AB/AE = AD/AC. В итоге получим, что AB*AC = AE*AD.

Решение задач

При решении задач, связанных с окружностью, хорда часто выступает главным элементом, опираясь на который можно найти остальные неизвестные элементы. В каждой второй задаче задаются два параметра, чтобы найти третий неизвестный. В задачах, которые, связанные с кругом, хорда — это обязательный элемент:

Найти высоту детали, которая была получена путем сгибания заготовки в дугу. В начальных данных обязательно присутствует хорда и длина дуги.
Дана развертка, нужно найти длину части кольца. Задается хорда и диаметр.
Также можно находить длину хорды. В случае если заданы уравнения прямой и окружности, которые пересекаются.

Для решения задач с отрезком в окружности удобно использовать схематические рисунки. Их рисуют с помощью линейки и циркуля, и принцип решения задач становится более наглядным.

Как найти общую хорду окружности

Please wait.

We are checking your browser. mathvox.ru

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6ce9a8ab9eca3a6b • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare

Две окружности на плоскости.
Общие касательные к двум окружностям

Взаимное расположение двух окружностей

Фигура	Рисунок	Свойства
Две окружности на плоскости

Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r₁ и r₂ с центрами O₁ и O₂ определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Каждая из окружностей лежит вне другой

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Внешнее касание двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Внутреннее касание двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Окружности пересекаются в двух точках

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r₁ – r₂ лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r₁ и r₂ с центрами O₁ и O₂ определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Каждая из окружностей лежит вне другой

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Внешнее касание двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Внутреннее касание двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Окружности пересекаются в двух точках

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r₁ – r₂ лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r₁ и r₂ с центрами O₁ и O₂ определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Каждая из окружностей лежит вне другой

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Внешнее касание двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Внутреннее касание двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Окружности пересекаются в двух точках

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r₁ – r₂ лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Внутренняя касательная к двум окружностям

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Внутреннее касание двух окружностей

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Окружности пересекаются в двух точках

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Внешнее касание двух окружностей

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Каждая из окружностей лежит вне другой

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Внешняя касательная к двум окружностям

Внутренняя касательная к двум окружностям

Внутреннее касание двух окружностей

Окружности пересекаются в двух точках

Внешнее касание двух окружностей

Каждая из окружностей лежит вне другой

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Внешняя касательная к двум окружностям

Внутренняя касательная к двум окружностям

Внутреннее касание двух окружностей

Окружности пересекаются в двух точках

Внешнее касание двух окружностей

Каждая из окружностей лежит вне другой

Фигура	Рисунок	Формула
Внешняя касательная к двум окружностям

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Внутренняя касательная к двум окружностям

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Общая хорда двух пересекающихся окружностей

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Внешняя касательная к двум окружностям

Внутренняя касательная к двум окружностям

Общая хорда двух пересекающихся окружностей

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Внешняя касательная к двум окружностям

Внутренняя касательная к двум окружностям

Общая хорда двух пересекающихся окружностей

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Утверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r₁ и r₂ равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r₁ и r₂ равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r₁ и r₂ равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле

Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3,

Общая хорда двух окружностей

Дано : окр. (O1; R) ∩ окр. (O2; r)=A, B.

Соединим центры окружностей с точками A и B. Обозначим точку пересечения прямой O1O2 с хордой AB как F.

Рассмотрим треугольники O1AO2 и O1BO2.

3) O1O2 — общая сторона.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠AO1F=BO1F, то есть O1F- биссектриса угла AO1B.

Аналогично доказывается, что

источники:

http://nauka.club/matematika/geometriya/khorda-okruzhnosti.html

http://b4.cooksy.ru/articles/kak-nayti-obschuyu-hordu-okruzhnosti

Источник

Утверждение

Дано: окр. (O1; R) ∩ окр. (O2; r)=A, B.

Доказать:

$[AB bot {O_1}{O_2}]$

Доказательство:

Соединим центры окружностей с точками A и B. Обозначим точку пересечения прямой O1O2 с хордой AB как F.

Рассмотрим треугольники O1AO2 и O1BO2.

1) O1A=O1B=R;

2) AO2=BO2=r;

3) O1O2 — общая сторона.

Значит, ∆O1AO2=∆O1BO2 (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠AO1F=BO1F, то есть O1F- биссектриса угла AO1B.

$[{O_1}F bot AB.]$

Аналогично доказывается, что

$[{O_2}F bot AB.]$

$[AB bot {O_1}{O_2}.]$

Что и требовалось доказать.

Источник

$begingroup$

Two circles having radii $7$cm & $19$ cm are separated by a distance of $22$ cm between their centers. If they are intersecting each other at two points $P$ & $Q$ then what will be the length of the common chord PQ?

a.) $frac{9sqrt{205}}{13}$

b.) $frac{8sqrt{255}}{11}$

c.) $frac{9sqrt{233}}{13}$

d.) $frac{8sqrt{155}}{11}$

I tried this by assuming one circle to be centered at the origin but it’s creating utter mess. I am 12th grade. Thanks for your help!

asked Jun 11, 2015 at 18:15

Bhaskara-IIIBhaskara-III

1,5633 gold badges14 silver badges30 bronze badges

$endgroup$

$begingroup$

$$7^2-x^2=19^2-(22-x)^2$$
$$x=frac{43}{11}$$
so
$$h^2=7^2-frac{43^2}{11^2}=frac{4080}{121}$$
$$h=frac{4sqrt{255}}{11}$$
hence
the Chord $PQ$ = $2h$

$$PQ=frac{8sqrt{255}}{11}$$

answered Jun 11, 2015 at 18:33

$endgroup$

$begingroup$

Connect the centers and the intersection points.

Using this enter link description here you find the area to be $4 sqrt{255}$. $22h/2$ will also be the area. So you find $h$ to be $4 sqrt{255}/11$ But the chord is $2h$. So final answer

$$frac{8 sqrt{255}}{11}$$

answered Jun 11, 2015 at 18:25

$endgroup$

$begingroup$

OK, i found a general formula to compute the length of common chord of two intersecting circles radii $r_1, r_2$ separated by a distance $d$ between their center
$$=frac{sqrt{(d^2-(r_1-r_2)^2)((r_1+r_2)^2-d^2)}}{d}$$
inserting the values, $r_1=7, r_2=19$ & $d=20$, i get length of common chord
$$=frac{sqrt{(22^2-(7-19)^2)((7+19)^2-22^2)}}{22}=frac{sqrt{340cdot 192}}{22}=frac{8sqrt{255}}{11}$$

answered Oct 20, 2016 at 13:54

Bhaskara-IIIBhaskara-III

1,5633 gold badges14 silver badges30 bronze badges

$endgroup$

You must log in to answer this question.

Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged

.

Источник

Содержание

Окружность

1. Окружность – это геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

2. Геометрическое место точек, удаленных от заданной точки $O$ на заданное расстояние $R$, называют окружностью с центром в точке $O$ и радиусом $R$.

Обозначают такую окружность так: $omega(O;R)$.

Касательные и хорды

Теорема

Если $d$ – это расстояние от точки $O$ до прямой $l$, а $omega$ – окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$, тогда

если $d>R$, то прямая не пересекает окружность;
если $d=R$, то прямая является касательной к окружности;
если $d<R$, то прямая пересекает окружность в двух точках.

Доказательство

Первый случай

Пусть $d < R$.

На прямой $p$ от точки $H$ отложим два отрезка $HA$ и $HB$, длины которых равны $sqrt{r^2-d^2}$.

По теореме Пифагора $OA=OB=sqrt{OH^2+HA^2}=sqrt{d^2+(r^2-d^2)}=r$.

Следовательно, точки $A$ и $B$ лежат на окружности и, значит, являются общими точками прямой $p$ и данной окружности.

Докажем, что прямая $p$ и данная окружность не имеют других общих точек.

Предположим, что они имеют ещё одну общую точку $C$.

Тогда медиана $OD$ равнобедренного треугольника $OAC$, проведенная к основанию $AC$, является высотой этого треугольника, поэтому $ODperp p$.

Отрезки $OD$ и $OH$ не совпадают, так как середина $D$ отрезка $AC$ не совпадает с точкой $H$ – серединой отрезка $AB$.

Получается, что из точки $O$ проведены два перпендикуляра: отрезки $OH$ и $OD$ – к прямой $p$, что невозможно.

Второй случай

Пусть $d=r$.

В этом случае $OH=r$, то есть точка $H$ лежит на окружности и, значит, является общей точкой прямой и окружности.

Прямая $p$ и окружность не имеют других общих точек, так как для любой точки $M$ прямой $p$, отличной от точки $H$, $OM>OH=r$ (наклонная $OM$ больше перпендикуляра $OH$), и, следовательно, точка $M$ не лежит на окружности.

Третий случай

Пусть $d>r$.

В этом случае $OH>r$, поэтому для любой точки $M$ прямой $p$ $OMgeqslant OH>r$.

Следовательно, точка $M$ не лежит на окружности.

Определение

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к этой окружности.
Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей к данной окружностью.

Определение

Касательная к кривой – это предельное положение секущей.

Теорема о характерном свойстве касательной

(Свойство касательной): касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
(Признак касательной): если прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то она является касательной.

Доказательство

Докажем первый пункт теоремы.

Пусть $p$ – касательная к окружности с центром $O$, $A$ – точка касания.

Докажем, что $pperp OA$.

Предположим, что это не так.

Тогда радиус $OA$ является наклонной к прямой $p$.

Так как перпендикуляр, проведенный из точки $O$ к прямой $p$, меньше наклонной $OA$, то расстояние от от точки $O$ до прямой $p$ меньше радиуса.

Следовательно, прямая $p$ и окружность имеют две общие точки.

Но это противоречит условию, так как $p$ – это касательная.

Таким образом $pperp OA$.

Докажем второй пункт теоремы.

Из условия следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведенным из центра окружности к данной прямой.

Поэтому расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, и, следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку.

Но это и означает, что данная прямая является касательной к окружности.

Теорема

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
Если прямые, проходящие через точку $M$, касаются окружности в точках $A$ и $B$, то $MA=MB$.
Если прямые, проходящие через точку $M$, касаются окружности в точках $A$ и $B$, и $AB$ пересекает $MO$ в точке $H$, то $ABperp MO$ и $AH=HB$

Доказательство

Рассмотрим окружность с центром в точке $O$, вписанную в угол $M$.

Пусть данная окружность касается сторон угла в точках $A$ и $B$.

Докажем, что $angle AMO=angle BMO$.

Действительно, треугольники $AMO$ и $BMO$ равны, по катету и гипотенузе ($OA=OB$, $OM$ – общая).

Тогда $angle AMO=angle BMO$ и $MA=MB$.

Кроме того, так как треугольник $triangle MAB$ равнобедренный, а $MH$ – не только биссектриса угла $angle AMB$, но и медиана и высота, то есть $AH=HB, ABperp MO$.

Свойства хорд окружности

Диаметр перпендикулярен хорде, тогда и только тогда, когда он проходит через ее середину.
Хорды одной окружности равны тогда и только тогда, когда они равноудалены от ее центра.
Хорды одной окружности равны тогда и только тогда, когда они стягивают равные центральные углы.

Доказательство

Докажем первый пункт теоремы.

Рассмотрим окружность с центром $O$, в которой хорда $AB$ пересекает диаметр $CD$ в точке $E$.

Если $E$ – это середина $AB$, то $OE$ – это медиана равнобедренного треугольника $AOB$, а, следовательно, и $OE$ – высота.

Обратно, если $OE$ — высота, то и медиана.

Докажем второй пункт теоремы.

Рассмотрим окружность с центром $O$, в которой проведены хорды $AB$ и $CD$.

Пусть расстояния $OE$ и $OF$ до этих хорд равны.

Тогда треугольники $OAE, OEB, OFD$ и $OFC$ равны по катету и гипотенузе ($OA=OB=OD=OC$, так как это радиусы).

Тогда $AE=EB=DF=FC$, и, следовательно, $AB=2AE=2DF=CD$.

Докажем третий пункт теоремы.

Рассмотрим окружность с центром $O$, в которой проведены хорды $AB$ и $CD$.

Если $angle AOB=angle COD$, то $triangle AOB=triangle COD$ по первому признаку равенства ($CO=OB=OD=OA$, так как это радиусы), следовательно, $AB=CD$.

Обратно, если $AB=CD$, то $triangle AOB=triangle COD$ по третьему признаку равенства, следовательно, $angle AOB=angle COD$.

Две окружности

Теорема

Точка касания двух окружностей лежит на прямой, соединяющей их центры.
Центры двух пересекающихся окружностей лежат на серединном перпендикуляре к их общей хорде.

Теорема о взаимном расположении двух окружностей

Если $R+r
Если $R+r=d$, то окружности касаются внешним образом.
Если $R-r
Если $R-r=d$, то окружности касаются внешним образом.
Если $R-r>d$, то окружности не пересекаются, и одна окружность лежит внутри другой.

Источник

Общая хорда двух окружностей

Хорда окружности — определение, свойства, теорема

Хорда в геометрии

Свойства отрезка окружности

Ключевая теорема

Касательная и секущая

Решение задач

Как найти общую хорду окружности

Please wait.

We are checking your browser. mathvox.ru

Why do I have to complete a CAPTCHA?

What can I do to prevent this in the future?

Две окружности на плоскости.Общие касательные к двум окружностям

Взаимное расположение двух окружностей

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Общая хорда двух окружностей

You must log in to answer this question.

Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged .

Содержание

Окружность

Касательные и хорды

Теорема

Доказательство

Первый случай

Второй случай

Третий случай

Определение

Определение

Теорема о характерном свойстве касательной

Доказательство

Докажем первый пункт теоремы.

Докажем второй пункт теоремы.

Теорема

Доказательство

Свойства хорд окружности

Доказательство

Докажем первый пункт теоремы.

Докажем второй пункт теоремы.

Докажем третий пункт теоремы.

Две окружности

Теорема

Теорема о взаимном расположении двух окружностей

Не пропустите также:

Две окружности на плоскости.
Общие касательные к двум окружностям

Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged

.