Как составить закон распределения суммы выигрыша

2.2.1. Закон распределения дискретной случайной величины

Закон распределения дискретной случайной величины – это соответствие между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Чаще всего закон

записывают таблицей:

Довольно часто встречается термин ряд распределения, но в некоторых контекстах он звучит двусмысленно, и поэтому я буду

использовать слово закон.

И сразу очень важный момент: поскольку случайная величина  обязательно примет одно из

значений , то

соответствующие события образуют полную группу и сумма вероятностей их наступления равна

единице:

или, если записать свёрнуто:

Справка: – это значок

переменная-«счётчик», которая «пробегает» все значения от 1 до .

Так, например, закон распределения выпавших на кубике очков имеет следующий вид:

…как говорится, без комментариев.
Возможно, у вас сложилось впечатление, что дискретная случайная величина может принимать только «хорошие» целые значения. Развеем

иллюзию – они могут быть любыми:

Задача 82
Пусть некая игра имеет следующий закон распределения выигрыша:

(в 1-й строке размер выигрыша в условных единицах, а во 2-й – его вероятность)

Найти .

Решение: так как случайная величина  может принять только одно из трёх значений, то соответствующие события

образуют полную группу, а значит, сумма их вероятностей равна единице:

Разоблачаем «партизана»:

 – таким образом,

вероятность выигрыша  условных

единиц составляет 0,4.

Контроль: , в чём и

требовалось убедиться.

Ответ:

Не редкость, когда закон распределения требуется составить самостоятельно. Для этого используют классическое определение вероятности, теоремы сложения / умножения вероятностей и другие фишки:

Задача 83
В коробке находятся 50 лотерейных билетов, среди которых 12 выигрышных, причём 2 из них выигрывают по 1000 рублей, а остальные – по

100 рублей. Составить закон распределения случайной величины  – размера выигрыша, если из коробки наугад извлекается один билет.

Решение: как вы заметили, значения случайной величины принято располагать в порядке их возрастания. Поэтому мы

начинаем с самого маленького выигрыша, и именно  рублей. Всего таковых билетов 50 – 12 = 38, и по классическому определению:
 – вероятность того, что

наудачу извлечённый билет окажется безвыигрышным.

С остальными случаями всё просто. Вероятность выигрыша  рублей составляет:
И для :

Проверка:  – и это особенно

приятный момент таких заданий.

Ответ: искомый закон распределения выигрыша:

Следующее задание для самостоятельного решения:

Задача 84
Вероятность того, что стрелок поразит в мишень, равна . Составить закон распределения случайной величины  – количества попаданий после 2 выстрелов.

Вспоминаем теоремы умножения и сложения! Решение и ответ в конце книги.

Закон распределения полностью описывает случайную величину, однако на практике бывает полезно (а иногда и полезнее) знать лишь

некоторые её числовые характеристики:

2.2.2. Математическое ожидание дискретной случайной величины

2.1. Случайные величины

| Оглавление |



Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах. 

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте. 

Как быстро и эффективно исправить почерк?  Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью. 

Как то громко звучит: «Постройте закон…». Надо всего лишь рассчитать вероятности случаев проигрыша и выигрыша конкретных предметов, в зависимости от того что произойдет в итоге всей лотереи. И представить в виде таблицы. Ну как назвали, так назвали. Пусть будет закон

Считаем:

1 билет из 100 выиграет предмет стоимостью 210 гривен: Вероятность выиграть P(210) = 0,01. Но было затрачено 3 гривны. Поэтому выигрыш составил 210 — 3 = 207 гривен.

1 билет из 100 выиграет предмет стоимостью 60 гривен: Вероятность выиграть P(60) = 0,01. Но было затрачено 3 гривны. Поэтому выигрыш составил 60 — 3 = 57 гривны.

98 билетов из 100 проигрывают по 3 гривны. Вероятность проигрыша P(-3) = 0,98

Получаем таблицу распределения

Выигрыш ……….. |… -3 | 207 | 57… |

распределение… | 0,98 | 0,01 | 0,01 |

Сумма всех вероятностей равна 0,98 + 0,01 + 0,01 = 1

П.С.

Вообще интересна не сама табличка, а дальше подсчет мат. ожидания выигрыша или «стоимость» игры.

-3•0,98 + 207•0,01 + 57•0,01 = -0,3. То есть, как и должно быть лотерея (игра) проигрышная для участника со «стоимостью» проигрыша 30 копеек.

Но это можно подсчитать и без вероятностей и законов распределения.

Затраты на 100 участников по 1 билету. 100 билетов по 3 гривны = 300 гривен.

Выигрыш составит: 1 предмет 210 гривен, 2 предмет 60 гривен = 210 + 60 = 270 гривен.

Итого проигрыш на 100 участников по 1 билету составляет: 300 — 270 = 30 гривен.

Теперь разделим это на 100 участников поровну и получим: 30 : 100 = 0,3 гривны или 30 копеек.

Получаем то же самое.

В сумме выигрыша Х, видимо, надо учитывать затраты на покупку билетов.
Значения Х:
-20 — ни одного выигрышного билета,
40 — один выигрышный билет (60 руб),
180 — один выигрышный билет (200 руб),
240 — два выигрышных билета.
Вероятности этих значений равны соответственно

[math]p_1=P(X=-20)=frac{98}{100}cdotfrac{97}{99}[/math]

[math]p_2=P(X=40)=frac{2}{100}cdotfrac{98}{99}[/math]

[math]p_3=P(X=180)=frac{2}{100}cdotfrac{98}{99}[/math]

[math]p_4=P(X=240)=frac{2}{100}cdotfrac{1}{99}[/math]

Математическое ожидание [math]M[X]=-20p_1+40p_2+180p_3+240p_4=-14.8[/math]

Дисперсия [math]D[X]=M[X^2]-(M[X])^2=849.808[/math]

9

Дискретные случайные величины

Случайная
величина. Закон распределения

Случайной
называют величину, которая в результате
испытаний может принять одно из возможных
значений, заранее неизвестное и зависящее
от случайных причин.

Если
задано пространство Ω элементарных
исходов 
, то случайной величиной называют функцию
от элементарных исходов :

Х
= Х ()
, 
є Ω .

Дискретной
называют случайную величину, которая
принимает конечное или счетное
(бесконечное) число различных значений
с соответствующими вероятностями.
Следовательно, для задания случайной
величины необходимо знать ее возможные
значения Х ()
= х₁,
х₂,
х₃,…,
х_n,
… и соответствующие этим значениям
вероятности Р (Х = х_i),
i=1,2,3,…,n,…

Пример
1

Число родившихся
мальчиков на 100 новорожденных есть
дискретная случайная величина с
возможными конечными значениями от 0
до 100.

Пример 2

Пусть ведется
стрельба до первого промаха, тогда число
выстрелов есть дискретная случайная
величина, принимающая счетное число
значений, которое заранее нельзя
ограничить.

Законом
распределения
дискретной случайной величины называют
соответствие между ее возможными
значениями и их вероятностями. Его
можно задать таблично, аналитически
или графически.

Иными
словами, закон распределения есть
функция Р(х), связывающая возможные
значения случайной величины x
с соответствующими им вероятностями
P.

Закон распределения
удобно задавать в виде таблицы:

События
Х = х₁ ,
Х = х₂,
… , Х = х_n
образуют полную группу, следовательно,
сумма их вероятностей равна 1, т. е. р₁
+
р₂
+…
+ р_п
= 1.

Пример 3

В группе из 50
человек организована лотерея. Разыгрываются
два выигрыша по 10 рублей и один выигрыш
в 30 рублей. Составить закон распределения
суммы чистого выигрыша (выигрыш минус
стоимость билета) по одному билету
стоимостью в 1 руб.

Случайная величина
может принимать три значения –1, 9 и 29
руб. Первому значению благоприятствует
47 случаев из 50, второму 2 из50 и третьему
один из 50. Следовательно, Р(Х= -1) = 0,94;
Р(Х=9) = 0,04, Р(Х=29) = 0,02.

Закон распределения
имеет вид:

Контроль:
ΣР_i=
0,94 + 0,04 + 0,02 = 1.

Пусть
Х – дискретная случайная величина.
Рассмотрим событие, состоящее в том,
что Х примет значение, меньше какого-либо
произвольного числа х, т.е. Х < х. Это
событие будет иметь определенную
вероятность Р (Х < х). При изменении х
будет меняться и вероятность, т.е.
вероятность можно рассматривать как
функцию переменной х, которую обозначим
F(х).

Функцией
распределения
F(x)
случайной величины Х называется функция,
определяющая для каждого х вероятность
того, что Х примет значение меньшее х,
т.е.

F(х)
= Р (Х < х) (1)

Рассмотрим свойства
функции распределения.

1. Функция
   распределения дискретной случайной
   величины является неубывающей функцией,
   т.е. F(х₂)
   ≥ F(х₁),
   если х₂ >
   х₁.

2. Значения функции
   распределения заключены между 0 и 1 при
   изменении х от — ∞ до +∞.

3. Вероятность того,
   что случайная величина примет какое
   либо значение, принадлежащее интервалу
   (а, в), равна приращению функции
   распределения на этом интервале:

P(а
≤ х < в) = F
(в) – F
(а). (2)

Отметим, что функция
распределения – это аналитический
способ задания случайной величины. Зная
ряд распределения, можно найти функцию
распределения и построить ее график.

Пример 4

Дискретная случайная
величина задана рядом распределения

Значение X	2	4	7
Вероятность P	0,5	0,2	0,3

Найти функцию
распределения и построить ее график.

Если
значения случайной величины х < 2, то
F(х).
= Р (Х < 2) = 0, так как Х не имеет значений,
меньших 2.

Если
значения Х принадлежит интервалу 2 ≤ х
< 4, то F(х)
= 0,5, так как Х может принимать только
значение 2 с вероятностью 0,5.

Если
4 ≤ х < 7, то F(х)
= 0,7. Действительно, Х может принимать
значение 2 с вероятностью 0,5 или значение
4 с вероятностью 0,2. Тогда по теореме
сложения вероятностей несовместных
событий вероятность такого события
есть 0,5 + 0,2 = 0,7,

Если
х ≥ 7, то F(х)
= 1. Действительно, событие Х ≥ 7 достоверно,
так как Х при этом может иметь любое из
возможных значений, и вероятность его
равна 1.

Функцию
распределения принято записывать в
следующем виде:

График этой функции
имеет вид (рис.5):

Рис.5

Числовые
характеристики дискретной случайной
величины

Закон распределения
полностью характеризует случайную
величину. Однако он не всегда бывает
известен или им не всегда удобно
пользоваться. В ряде случаев случайные
величины лучше описывать числами,
которые описывают их суммарно. Такие
числа называют числовыми характеристиками
случайной величины. К числу таких
числовых характеристик относят
математическое ожидание, дисперсию и
среднее квадратическое отклонение.

Математическим
ожиданием
дискретной
случайной величины называют сумму
произведений всех ее возможных значений
на их вероятности:

(3)

Если
случайная величина X
принимает счетное множество значений,
то ее математическое ожидание есть ряд,
причем МX
существует, если ряд сходится абсолютно.

Таким образом,
математическое ожидание есть величина
неслучайная (детерминированная).

Пример 1

Дан ряд распределения
случайной величины

X	2	3	5
P	0,3	0,1	0,6

Найти
ее математическое ожидание.

Решение: М (Х) = 2 ·
0,3 + 3 · 0,1 + 5 · 0,6 = 3,9.

Математическое
ожидание дискретной случайной величины
обладает следующими свойствами:

1. Математическое
ожидание постоянной величины равно
самой постоянной:

М (С) = С.

2.
Постоянный множитель можно выносить
за знак математического ожидания:

М (СХ) = СМ (Х).

3. Математическое
ожидание суммы случайных величин равно
сумме их математических ожиданий:

М
(Х₁+
Х₂)
= М (Х₁)
+ М (Х₂).

4. Математическое
ожидание произведения двух случайных
независимых величин равно произведению
их математических ожиданий:

М
(Х₁
Х₂)
= М (Х₁)
М (Х₂).

Пример 2

Дискретные
независимые случайные величины заданы
законами распределения:

X1	1	2
P	0,2	0,8

X2	2	4
P	0,3	0,7

Найти
математические ожидания произведения
Х₁ ·
Х_2.

Задачу можно решить
двумя способами:

1
способ.
Можно составить закон распределения
новой случайной величины Х₁·Х_2.
и найти ее
математическое ожидание. Возможные
значения новой величины есть все
возможные произведения значений величины
Х₁
на все возможные произведения величины
Х₂.
Так как эти величины независимы, то
вероятности появления значений величины
Х₁Х₂
есть произведение соответствующих
вероятностей величины Х₁
и Х₂
. Перемножив значения Х₁
и Х₂
получим 2, 4, 8. Перемножив вероятности,
имеем 0,06; 0,24; 0,14; 0,56. Так как у новой
случайной величины есть два совпадающих
значения 4, то их объединяем в одно, а
следовательно, соответствующие
вероятности складываем (по теореме
сложения вероятностей для независимых
событий). Тогда имеем следующий ряд
распределения

и искомое
математическое ожидание равно

М(Х₁Х₂)
= 2·0,06
+4·0,38+8·0,56=6,12.

2
способ.
Используя свойства математического
ожидания, найдем математическое ожидание
произведения двух независимых случайных
величин, подсчитав отдельно М(Х₁
) и М(Х₂
)

М(Х₁)
= 1·0,2+2·0,8=1,8: М(Х₂)=2·0,3+4·0,7=3,4:

М(Х₁
·
Х₂)=1,8
3,4 = 6,12.

Отметим,
что математическое ожидание суммы двух
и более случайных величин можно также
подсчитывать двумя способами: либо
образуя новую случайную величину Х₁
+ Х₂
+ Х₃
+…+
Х_n
, либо используя свойство 3. При образовании
новой случайной величины вероятности
появления ее возможных значений есть
произведение соответствующих вероятностей
слагаемых.

Отклонением
называют разность между случайной
величиной и ее математическим ожиданием.
Отклонение Х — М(Х) есть, в свою очередь,
тоже случайная величина, математическое
ожидание которой равно 0, т.е.

М[Х-М(Х)]
= 0.

Это легко доказать,
воспользовавшись свойствами математического
ожидания.

Дисперсией
(рассеянием) дискретной случайной
величины называют математическое
ожидание квадрата отклонения случайной
величины от ее математического ожидания

D
(Х)=М[Х-М(Х)]²
.

Дисперсией, как
характеристикой случайной величины,
удобно пользоваться в тех случаях, когда
необходимо знать рассеяние возможных
значений случайной величины вокруг ее
среднего значения (математического
ожидания).

Дисперсию удобно
вычислять по следующей формуле

D
(Х) = М (Х²)-
[М(Х
)]²
,

т.е. как разность
между математическим ожиданием квадрата
случайной величины Х и квадратом ее
математического ожидания.

Пример
3. Найти
дисперсию случайной величины Х, заданной
законом распределения

Сначала найдем
математическое ожидание

М(Х)
= 2·
0,1+ 3 ·
0,6 + 5 ·
0,3 = 3,5.

Запишем
закон распределения величины Х²

и
найдем М(Х²)
= 4·0,1+9·0,6+25·0,3=13,3.
Тогда дисперсия равна

D(Х)=М(Х²
)-[М(Х)]
² =13,3-(3,5)
² = 1,05.

Перечислим основные
свойства дисперсии.

1.
Дисперсия неслучайной величины С равна
нулю: D(С)=0.

2. Постоянный
множитель выносится за знак дисперсии
в квадрате:

D(СХ)=С²
D(Х).

3. Дисперсия суммы
двух независимых случайных величин
равна суммы дисперсией этих величин

D
(Х₁
+ Х₂)=
D
(Х₁
) +D
(Х₂
).

Это свойство
распространяется и на сумму нескольких
независимых случайных величин.

4. Дисперсия разности
двух независимых случайных величин
равна сумме их дисперсией:

D
(Х₁
– Х₂
) = D
[
Х₁
+ (-1) Х₂
]
= D
(Х₁
) + D
[
(-1)Х₂
]
=

=
D
(Х₁)+(-1)
² D
(Х₂)
= D
(Х₁)+
D(Х₂).

Так как дисперсия
имеет размерность квадрата случайной
величины, то это не всегда удобно.
Например, при оценке рассеяния величины
денежного выигрыша вокруг его среднего
значения, мы получим величину выражающуюся
в квадратных рублях.

Более удобной
числовой характеристикой для оценки
рассеяния является среднее квадратическое
отклонение случайной величины, которое
определяется как корень квадратный из
дисперсии

.

Пример
4. Случайные
величины Х₁
и Х₂
независимы. Найти дисперсию и среднее
квадратическое отклонение случайной
величины

Z
= 3Х₁
— 2Х₂
+5,

если
D
(Х₁
) = 1 и D
(Х₂
) = 4.

Воспользовавшись
свойствами дисперсии, имеем

D
(Z)
= D
(3Х₁
— 2Х₂
+5) = D(3Х₁)
+ D[Х₁
(-2)]
+ D(5)
= 9D(Х₁
) + 4D(Х₂
) = 9+16=25,

=5.

Виды
дискретных распределений