Закон распределения дискретной случайной величины (ДСВ) представляет собой соответствие между значениями х1, х2,…,хn этой величины и их вероятностями p1, p2,…,pn
Может быть задан аналитически, графически или таблично.
Самый простой способ представления закона распределения дискретной случайной величины — в виде таблицы ряда распределения, то есть
| X | x1 | x2 | …… | xn |
| P | p1 | p2 | …… | pn |
х1, х2,…,хn — значения дискретной случайной величины;
p1, p2,…,pn — вероятности значений X дискретной случайной величина.
Также должно выполняться условия, что сумма вероятностей равна 1, то есть
∑p=p1+p2+ … +pn=1
Графически закон распределения ДСВ задается в виде многоугольника распределения см. здесь., а аналитически, например, с применением формулы Бернулли.Рассмотрим примеры
Пример 1
Монета подбрасывается 10 раз, герб выпал 6 раз, а орел — 4 раза. Составить закон распределения дискретной случайной величины.
Решение
Вероятности равны:
p1(6)=6/10=0,6;
p2(4)=4/10=0,4
Пример 2
Из корзины извлечено 4 белых шара, 6 черных, 8 синих и 2 красных шара. Найти закон распределения случайной величины X возможного выигрыша на один билет.
Решение
Объем выборки равен
n=4+6+8+2=20
X принимает следующие значения:
x1=4; x2=6; x3=8; x1=2
Найдем их вероятности:
p1(4)=4/20=0,2;
p2(6)=6/20=0,3;
p3(8)=8/20=0,4;
p4(2)=2/20=0,1
Получаем таблицу закона распределения дискретной случайной величины
| X | 4 | 6 | 8 | 2 |
| P | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.1 |
Пример 3
По контрольной работе по математике школьники получили оценки:
удовлетворительно — 5 человек;
хорошо — 13 человек;
отлично — 7 человек.
Составьте таблицу закона распределения ДСВ
Решение
n=5+13+7=26
Вычислим вероятности:
p1(5)=5/25=0,2;
p2(13)=13/25=0,52;
p3(7)=7/25=0,28
Таблица имеет вид:
| X | 5 | 13 | 8 | 2 |
| P | 0.2 | 0.52 | 0.28 | 0.1 |
Пример 4
Партия из 8 изделий содержит 5 стандартных. Наудачу отбираются 3 изделия. Составить таблицу закона распределения числа стандартных изделий среди отобранных.
Решение
Для составления закона распределения воспользуемся формулой комбинаторики сочетание без повторений, то есть всего 8 изделия, а отобрать необходимо 3 изделия получаем:
при P(X=0) — вероятность того, что среди трех отобранных изделий не окажется ни одного стандартного;
при P(X=1) — вероятность того, что среди трех отобранных изделий окажется одно стандартное и два нестандартных изделия;
при P(X=2) — вероятность того, что среди трех отобранных изделий окажется два стандартных и одно нестандартное изделие;
при P(X=3) — вероятность того, что среди трех отобранных изделий все три изделия стандартные.
Составим таблицу распределения
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0.018 | 0.268 | 0.536 | 0.178 |
Пример 5
В партии из шести деталей имеется четыре стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X — числа стандартных деталей среди отобранных.
Решение
Возможные варианты значений СВ X: 1, 2, 3
$n=C_6^3$ — числу способов, которыми можно выбрать три детали из шести;
$C_4^x$ — число способов, которыми из четырех деталей выбирают х деталей.
$C_2^{3 — x}$ — общее число способов отбора нестандартных деталей
Тогда вероятности события A вычисляются по формуле
Закон распределения дискретной случайной величины X для составления ряда распределения:
Получаем таблицу ряда распределения ДСВ
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0 | 0.2 | 0.6 | 0.2 |
17528
Дискретные распределения вероятностей и их параметры
- Общие свойства дискретного распределения
- Функция распределения дискретной случайной величины
- Числовые характеристики дискретного распределения
- Таблица дискретных распределений, их параметров и числовых характеристик
- Примеры
п.1. Общие свойства дискретного распределения
Величина, которая в результате испытания может принимать то или иное числовое значение, называется случайной величиной.
Случайная величина называется дискретной, если она принимает не более чем счетное количество значений.
Дискретная случайная величина называется конечной, если она принимает конечное число значений.
Согласно данному определению дискретная величина может быть определена либо на бесконечном счетном множестве, либо на конечном множестве (которое всегда счетное).
Напомним, что счетным называется множество, которое эквивалентно множеству натуральных чисел, т.е. элементы которого можно пронумеровать (см. §11 справочника для 8 класса).
Например:
1) При подбрасывании игрального кубика мы получаем всего 6 исходов. Случайная величина X – выпавшее число очков – принимает конечное число значений (Omega=left{1;2;3;4;5;6right}), т.е. является дискретной конечной случайной величиной.
2) Случайная величина X – количество поступивших вызовов на сервер за сутки – не ограничена сверху и может принимать значения (Omega=left{1;2;3;…right})
Правило, устанавливающее связь между значениями случайной величины и вероятностью получения каждого из этих значений в испытании, называется законом распределения.
Случайная величина полностью описывается своим законом распределения.
Закон распределения может быть задан аналитически (формулой), таблично или графически.
Закон распределения конечной дискретной случайной величины, заданный в виде таблицы, называют рядом распределения.
Например:
В результате измерения температуры учеников школы получен следующий ряд распределения:
| t, °C | 36,3 | 36,4 | 36,5 | 36,6 | 36,7 | 36,8 | 36,9 | 37,0 | 37,1 |
| p(t) | 0,05 | 0,07 | 0,15 | 0,33 | 0,31 | 0,11 | 0,04 | 0,01 | 0,01 |
Значения (left{x_1,x_2,…,x_kright}), которые может принимать конечная случайная величина X, являются несовместными и образуют полную группу событий. Сумма их вероятностей: $$ sum_{i=1}^k p_i=1, p_igeq 0 $$
Чтобы вспомнить о несовместных событиях и полной группе событий – см. §39 справочника для 9 класса.
Например:
Пусть в урне находится 2 белых и 3 черных шара. Мы достаем шар, смотрим на его цвет, возвращаем его обратно и все шары перемешиваем. Таким образом, событие A=«достали белый шар» каждый раз является независимым от предыдущих и имеет вероятность (p=frac25).
Пусть мы провели n=3 испытания. В 3 испытаниях можно получить от 0 до 3 белых шаров. Вероятность событий (kinleft{0;1;2;3right}) описывается биномиальным законом распределения (см. §40 справочника для 9 класса): $$ P_3(k)=C_3^k p^k q^{3-q}, k=overline{0;3} $$ Получаем закон распределения: begin{gather*} P_3(0)=C_3^0 p^0 q^{3-0}=q^3=left(frac35right)^3=frac{27}{125}\ P_3(1)=C_3^1 p^1 q^{3-1}=3pq^2=3cdot frac25cdot left(frac35right)^2=frac{54}{125}\ P_3(2)=C_3^2 p^2 q^{3-2}=3p^2q=3cdot left(frac25right)^2cdot frac35=frac{36}{125}\ P_3(3)=C_3^3 p^3 q^{3-3}=p^3=left(frac25right)^3=frac{8}{125} end{gather*}
| k | 0 | 1 | 2 | 3 |
| (P_3(k)) | (frac{27}{125}) | (frac{54}{125}) | (frac{36}{125}) | (frac{8}{125}) |
Сумма вероятностей: $$ sum_{k=0}^3 P(k)=frac{27+54+36+8}{125}=1 $$
п.2. Функция распределения дискретной случайной величины
Функцией распределения дискретной случайной величины называют функцию, которая определяет вероятность, что значение случайной величины X не превышает граничное значение x: $$ F(x)=P(Xleq x) $$
Для дискретной случайной величины функция распределения будет ступенчатой кусочно-непрерывной функцией, область значений которой: (F(x)in[0;1]).
Слева на графике функции распределения будет нулевая «ступенька», а справа – единичная «ступенька».
Например:
Найдем из закона распределения случайной величины k, полученного в предыдущем примере для урны с шарами, функцию распределения.
| k | 0 | 1 | 2 | 3 |
| (P_3(k)) | (frac{27}{125}) | (frac{54}{125}) | (frac{36}{125}) | (frac{8}{125}) |
| (F(k)) | (frac{27}{125}) | (frac{27+54}{125}=frac{81}{125}) | (frac{81+36}{125}=frac{117}{125}) | (frac{117+8}{125}=1) |
Изобразим графически закон распределения в виде гистограммы:
Построим график для функции распределения: begin{gather*} F(k)= begin{cases} 0, kleq 0\ frac{27}{125}, 0lt kleq 1\ frac{81}{125}, 1lt klt 2\ frac{117}{125}, 2lt kleq 3\ 1, kgt 3 end{cases} end{gather*} 
п.3. Числовые характеристики дискретного распределения
Числовыми характеристиками дискретного распределения являются математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение (СКО).
Подробно о свойствах этих характеристик – см. §41 справочника для 9 класса.
Здесь мы приведем только основные определения.
Математическое ожидание дискретной случайной величины X = {xi} равно сумме произведений всех возможных значений xi на соответствующие вероятности pi: $$ M(X)=x_1p_1+x_2p_2+…+x_{n}p_{n}=sum_{i=1}^n x_{i}p_{i} $$ Математическое ожидание является средним значением величины X.
Дисперсия дискретной случайной величины X = {xi} – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: $$ D(X)=M(X-M(X))^2 $$ На практике дисперсия рассчитывается по формуле: $$ D(X)=M(X)^2-M^2(X)=sum_{i=1}^n x_i^2p_i-M^2(X) $$
Среднее квадратичное отклонение (СКО) дискретной случайной величины X = {xi} – это корень квадратный от дисперсии: $$ sigma(X)=sqrt{D(X)} $$ СКО характеризует степень отклонения случайной величины от среднего значения.
Например:
Рассчитаем числовые характеристики для урны с шарами из предыдущего примера.
Составим расчетную таблицу:
| (x_i) | 0 | 1 | 2 | 3 | ∑ |
| (p_i) | (frac{27}{125}) | (frac{54}{125}) | (frac{36}{125}) | (frac{8}{125}) | (1) |
| (x_i p_i) | (0) | (frac{54}{125}) | (frac{72}{125}) | (frac{24}{125}) | (1,2) |
| (x_i^2) | 0 | 1 | 4 | 9 | — |
| (x_i^2 p_i) | (0) | (frac{54}{125}) | (frac{144}{125}) | (frac{72}{125}) | (2,16) |
Получаем begin{gather*} M(X)=sum_{i=0}^3 x_i p_i=1,2=frac65\ D(X)=sum_{i=0}^3 x_i^2 p_i-M^2(X)=2,16-1,2^2=0,72=frac{18}{25}\ sigma(X)=sqrt{D(X)}=sqrt{frac{18}{25}}=frac{3sqrt{2}}{5} end{gather*} В научных статьях и технической документации принято записывать случайные величины в виде (x=M(X)pmsigma (X)).
В данном случае для числа вынутых белых шаров в 3 испытаниях можем записать: $$ k=frac{6pm 3sqrt{2}}{5} $$
п.4. Таблица дискретных распределений и их параметров
| Название | Принятое обозначение |
Плотность распределения |
Мат. ожидание |
Дисперсия |
| Дискретное равномерное | (U(N)) | begin{gather*} P(left{kright})=frac1N\ Ninmathbb{N}, kinleft{1,…,Nright} end{gather*} | (frac{N+1}{2}) | (frac{N^2-1}{12}) |
| Бернулли | (B(1,p)) | begin{gather*} P(0)=1-p=q\ P(1)=p\ kinleft{0;1right} end{gather*} | (p) | (pq) |
| Биномиальное | (B(n,p)) | begin{gather*} P(left{kright})=C_n^k p^k q^{n-k}\ ninmathbb{N}, k=inleft{0,1,…,nright} end{gather*} | (np) | (npq) |
| Пуассона | (Pois(lambda)) | begin{gather*} P(left{kright})=frac{lambda^k}{k!}e^{-lambda}\ lambdagt 0, k=inleft{0,1,…,nright} end{gather*} | (lambda) | (lambda) |
| Геометрическое | (Geopm(p)) | begin{gather*} P(left{kright})=pq^{k-1}\ k=inleft{0,1,2,…right} end{gather*} | (frac1p) | (frac{q}{p^2}) |
| Гипер-геометрическое | (HG(D,N,n)) | begin{gather*} P(left{kright})=frac{C_D^k C_{N_D}^{n-k}}{C_N^n} end{gather*} | (frac{nD}{N}) | $$frac{frac{nD}{N}left(1-frac DNright)(N-n)}{N-1}$$ |
п.5. Примеры
Пример 1. Выведите формулы для мат.ожидания и дисперсии дискретного равномерного распределения
Случайная величина имеет дискретное равномерное распределение, если она принимает конечное число N значений с равными вероятностями. Значения исходов (k_iinleft{1,…,Nright}). Вероятность каждого из исходов (p_i=frac1N, i=overline{1,N}).
Предварительно заметим, что по формуле суммы арифметической прогрессии: $$ sum_{i=1}^N k_i=1+2+…+N=frac{N(N+1)}{2} $$ А сумму квадратов можно найти по формуле Архимеда (доказательство – см. пример 2 в §25 справочника для 9 класса): $$ sum_{i=1}^N k_i^2=1^2+2^2+…+N^2=frac{N(N+1)(2N+1)}{6} $$ Найдем математическое ожидание: $$ M(X)=sum_{i=1}^N k_ip_i=sum_{i=1}^N k_icdot frac1N=frac1N(1+2+…+N)=frac1Ncdotfrac{N(N+1)}{2}=frac{N+1}{2} $$ Найдем дисперсию: begin{gather*} D(X)=sum_{i=1}^N k_i^2 p_i-M^2(X)=sum_{i=1}^N k_i^2cdotfrac1N-M^2(X)=\ =frac1Ncdotfrac{N(N+1)(2N_1)}{6}-left(frac{N+1}{2}right)^2=frac{(N+1)(2N+1)}{6}-frac{(N+1)^2}{4}=\ =frac{N+1}{2}left(frac{2N+1}{3}-frac{N+1}{2}right)=frac{N+1}{2}cdotfrac{4N+2-3N-3}{6}=frac{N+1}{2}cdotfrac{N-1}{6}=frac{N^2-1}{12} end{gather*} В частности, для игрального кубика: $$ N=6; p_i=frac16; M(X)=frac{6+1}{2}=3,5; D(X)=frac{6^2-1}{12}=2frac{11}{12} $$
Ответ: (M(X)=frac{N+1}{2}; D(X)=frac{N^2-1}{12})
Пример 2. Выведите формулы для мат.ожидания и дисперсии распределения Бернулли.
Случайная величина k имеет распределение Бернулли, если k принимает значения 1 или 0 с вероятностями p и 1-p соответственно. $$ P(0)=1-p=1, P(1)=p, kinleft{0;1right} $$
Закон распределения:
| (k_i) | 0 | 1 |
| (p_i) | 1-p | p |
Найдем математическое ожидание: $$ M(X)=0cdot (1-p)+1cdot p=p $$ Найдем дисперсию: begin{gather*} D(X)=(0^2cdot(1-p)+1^2cdot p)-M^2(X)=p-p^2=p(1-p)=pq end{gather*}
Типичным примером является бросание монеты, где (M(X)=p=0,5) и (D(X)=0,5cdot 0,5=0,25). Дисперсия максимальна для нефальшивой монеты.
Рассмотрим другой пример – бросание фальшивой монеты, для которой вероятность выпадения орла (k=1) равна p=0,7. Тогда (M(k)=p=0,7), дисперсия (D(k)=0,7cdot 0,3=0,21). Как и ожидалось, для фальшивой монеты средняя величина возрастает (70% бросков заканчивается выпадением орла). При этом дисперсия уменьшается.
Ответ: (M(X)=p, D(X)=pq)
Пример 3. Выведите формулы для мат.ожидания и дисперсии биномиального распределения.
Схема Бернулли – это последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны только два исхода – «успех» и «неудача».
При этом вероятность успеха в каждом испытании постоянна и равна (pin(0;1)).
Вероятность неудачи в каждом испытании (q=1-p).
Вероятность того, что событие A появится в n испытаниях Бернулли ровно k раз, выражается биномиальным распределением: $$ P_n(k)=C_n^k p^k q^{n-k} $$
Математическое ожидание и дисперсию для одного опыта Бернулли мы получили в примере 2: (M(X)=p, D(X)=pq).
Общее число успехов при n опытах складывается из числа успехов при каждом опыте, т.е. (X=X_1+X_2+…+X_n). Все опыты между собой независимы.
По свойству мат.ожидания суммы независимых событий (см. §41 справочника для 9 класса): begin{gather*} M(X)=M(X_1+X_2+…+X_n)=M(X_1)+M(X_2)+…+M(X_n)=\ =underbrace{p+p+…+p}_{n раз}=np end{gather*} По свойству дисперсии суммы независимых событий (см. §41 справочника для 9 класса): begin{gather*} D(X)=D(X_1+X_2+…+X_n)=D(X_1)+D(X_2)+…+D(X_n)=\ =underbrace{pq+pq+…+pq}_{n раз}=npq end{gather*} Например, пусть событие A=«уронить молоток на ногу» имеет вероятность p=0,1.
Тогда для n=100 забиваний гвоздей вы в среднем уроните молоток на ногу
(M(X)=np=100cdot 0,1=10) раз
Дисперсия этого события (D(X)=npq=100cdot 0,1cdot 0,9=9)
СКО (sigma(X)=sqrt{D(X)}=3)
По правилу «трех сигм» интервал оценки: begin{gather*} 10-3cdot 3lt Xlt 10+3cdot 3\ -17lt Xlt 37\ 0leq Xleq 36 end{gather*} Скорее всего (вероятность 99,72%), вы уроните молоток от 0 до 36 раз.
Ответ: (M(X)=np, D(X)=npq)
Пример 4. Выведите формулы для мат.ожидания и дисперсии распределения Пуассона.
Если проводится очень много испытаний Бернулли, для каждого из которых вероятность появления события A мала: (nrightarrowinfty, prightarrow 0, nprightarrowlambda), вероятность того, что событие A появится ровно k раз выражается распределением Пуассона: $$ p_k(lambda)=frac{lambda^k}{k!}e^{-lambda}, k=inleft{0,1,2,…right} $$
Распределение Пуассона получается из биномиального распределения предельным переходом (nrightarrowinfty, prightarrow 0, nprightarrowlambda).
Найдем математическое ожидание как предел мат. ожидания биномиального распределения: $$ M(X)=lim_{nprightarrowlambda}M_B(X)=lim_{nprightarrowlambda}(np)=lambda $$ Т.е. параметр (lambda) является средним числом удачных исходов.
Дисперсия, если учесть что (prightarrow 0), а значит (q=1-prightarrow 1) $$ D(X)=underset{qrightarrow 1}{lim_{nprightarrowlambda}} D_B(X)=underset{qrightarrow 1}{lim_{nprightarrowlambda}}(npq)=lambdacdot 1=lambda $$
Например, в городе размерами 10х10 км болеет гриппом 1000 человек.
С какой вероятностью в комнате размерами 10х10 м:
а) не окажется больных;
б) окажется 1 больной?
Площадь города в метрах (S=(10^4)^2=10^8) м2
Площадь комнаты в метрах (s_0=10^2) м2
Среднее количество больных в комнате: (lambda=Nfrac{s_0}{S}=10^3cdotfrac{10^2}{10^3}=10^{-3}=0,001)
а) вероятность того, что в комнате не окажется больных: $$ p_0=frac{0,001^0}{0!}e^{-0,001}=e^{-0,001}approx 1-0,001=0,999 $$ Здесь мы использовали формулу приближенных вычислений (e^xapprox 1+x, xrightarrow 0) (см. §52 данного справочника).
б) вероятность того, что в комнате окажется один больной: $$ p_1=frac{0,001^1}{1!}e^{-0,001}=0,000999approx 0,001 $$ Вероятность всех остальных случаев пренебрежимо мала.
Таким образом, при малых (lambda) вероятности (p_0approx 1-lambda, p_1approxlambda), т.е. фактически мы получаем распределение Бернулли.
Ответ: (M(X)=lambda , D(X)=lambda)
величины,
таблица распределения
Соотношение, устанавливающее
тем или иным способ связь между возможными
значениями случайной величины и их
вероятностями, называется законом
распределения случайной величины.
Сначала дадим определение
закона распределения дискретной
случайной величины. Закон дискретной
случайной величины, обычно задается в
виде таблицы: где в первой строке
выписывается значения случайной
величины, а во второй строке – их
соответствующие вероятности
.
Таблица распределения
дискретной случайной
величины в общем виде
имеет вид:
|
|
|
|
… |
|
… |
|
|
|
|
… |
|
… |
Контроль—
,
где
множество
всех положительных целых чисел.
Эта таблица называется законом
распределения данной дискретной
случайной величины Х, при этом
должно выполняться обязательное условие:
—контроль.
Таким образом, контроль означает, что
множество значений, принимаемых случайной
величиной, образует полную группу
событий.
Пример 2. Подбрасывание монеты:
.
Если выпадет герб (событиеА), то
;
если выпадет решетка (событие
),
то
.
Здесь
.
Составим закон распределения данной
случайной величины
|
|
1 |
0 |
|
|
0,5 |
0,5 |
Контроль
.
Пример 3.(Бросание игральной
косточки). При данном эксперименте
множество значений дискретной случайной
величины определяется
и
а множество соответствующих вероятностей
равенствами:
Следовательно, имеем таблицу распределения
д.с.в.
;
в виде:
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
Контроль
.
Закон распределения случайной величины
можно задать графическим способом, при
этом на оси абсциссы откладывают
возможные значения случайной величины,
а на оси ординат откладывают вероятности
этих величин.
Ломанную, соединяющую последовательно
точки
называют многоугольником (или полигоном)
распределения
Сделать чертёж
17 из кн.Письменного
Продолжим рассмотрение примеров.
Пример 4.В денежной лотерее
разыгрывается 1 выигрыш в 1000 у.е. , 10
выигрышей – по 100 у.е., 100 выигрышей по
10 у.е. и 1000 выигрышей по 1 у.е. при общем
количестве билетов 10000. Выписать закон
распределения случайного выигрышаХдля владельца одного билета.
Решение. Составим множество значений
д.с.в.
.
Имеем
ибо 10000-(1+10+100+1000)=8889 – количество
безвыигрышных лотерей. Составим закон
распределения данной случайной величины.
|
|
1000 |
100 |
10 |
1 |
0 |
|
|
0,0001 |
0,001 |
0,01 |
0,1 |
0,8889 |
Контроль
.
Пример 5. Дан ряд распределения
случайной величины
,
после проведения опыта:
|
|
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
|
|
0,2 |
0,3 |
0,35 |
0,1 |
0,05 |
Контроль
..
Пример 6.При некотором эксперименте
даны вероятности значений дискретной
случайной величины значение 11 имеет
вероятность 0,03; значение 13- вероятность
0,2;
значение 17 — вероятность 0,15;
значение 19 — вероятность 0,15; значение
23- вероятность 0,25; значение 29 — вероятность
0,07;
Следовательно, имеем таблицу распределения
д.с.в.
;
в виде:
|
|
11 |
13 |
17 |
19 |
23 |
29 |
|
|
0,03 |
0,2 |
0,3 |
0,15 |
0,25 |
0,07 |
Контроль
.
Соседние файлы в папке Теория вероятностей от исмоилова
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
06.02.20162.36 Mб71~WRL0002.tmp
- #
06.02.20161.87 Mб67~WRL0005.tmp
- #
06.02.20161.01 Mб66~WRL0205.tmp
- #
06.02.20162.41 Mб65~WRL0264.tmp
- #
06.02.20162.17 Mб65~WRL0310.tmp
Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно
возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин,
которые заранее не могут быть учтены.
Случайные
величины обозначаются прописными буквами
, а их возможные значения – соответствующими строчными буквами
. Например, если случайная величина
имеет три возможных
значения, то они будут обозначены так:
.
Дискретной называют случайную
величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с
определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной
величины может быть конечным или бесконечным.
Законом распределения дискретной
случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их
вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и
графически.
При табличном задании закона
распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит
возможные значения, а вторая – их вероятности:
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
… |
|
Приняв во внимание, что в одном
испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение,
заключаем, что события
образуют полную
группу; следовательно, сумма вероятностей этих событий, то есть сумма
вероятностей второй строки таблицы, равна единице:
Если множество возможных значений
бесконечно
(счетно), то ряд
сходится и его
сумма равна единице.
Для наглядности закон распределения
дискретной случайной величины можно изобразить и графически. Для этого в
прямоугольной системе координат строят точки
, а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную
фигуру называют многоугольником распределения.
Смежные темы решебника:
- Непрерывная случайная величина
- Функция распределения вероятностей
- Математическое ожидание
- Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
Задача 1
В партии
из 25 кожаных курток 5 имеют скрытый дефект. Покупают 3 куртки. Найти закон
распределения числа дефектных курток среди купленных. Построить многоугольник
распределения.
Задача 2
Устройство
состоит из пяти независимых элементов. Вероятность безотказной работы каждого
элемента в одном опыте равна p=0,7. Для случайной
величины X элементов, безотказно работавших в одном опыте,
построить закон распределения, их графики, найти ее числовые характеристики.
Задача 3
С
вероятностью попадания при явном выстреле p=0.88 охотник стреляет по
дичи до первого попадания, но успевает сделать не более n=6
выстрелов.
ДСВ X — число
промахов:
а) Найти
закон распределения X.
б)
Построить многоугольник распределения.
в) Найти
вероятность событий: X<2, X<3,
1<X<3.
Задача 4
Составьте
закон распределения дискретной случайной величины ξ, вычислите ее
математическое ожидание, медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение,
коэффициенты асимметрии и эксцесса, все моменты, а также начертите ее
многоугольник распределения и график функции распределения. Сделайте выводы по
результатам расчетов.
Производятся
последовательные испытания 5 приборов, причем испытания прекращаются сразу
после того, как проверяемый прибор окажется надежным. Вероятность выдержать
испытание для каждого прибора равна 0,8.
ξ – число испытаний, после которых закончится проверка.
Задача 5
В первой урне
6 шаров – 3 белых и 3 черных. Во второй 5 шаров –3 белых и 2 черных. Из первой
урны наудачу переложили во вторую 2 шара, после чего, из второй в первую
переложили 1 шар. Найти закон распределения случайной величины Х – числа белых
шаров в первой урне, после всех перекладываний шаров. Какова вероятность того,
что число белых шаров не больше, чем первоначально. Построить многоугольник
распределения.
Задача 6
В коробке
N=9 карандашей, из которых M=6 красных. Из этой коробки
наудачу извлекается n=5 карандашей.
а) Найти
закон распределения случайной величины X равной числу красных
карандашей в выборке.
б)
Построить многоугольник распределения.
в) Найти
вероятность события: 0<X<4.
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Задача 7
Производятся
последовательные испытания 5 приборов, причем испытания прекращаются сразу
после того, как проверяемый прибор оказался надежным. Вероятность выдержать
испытание для каждого прибора равна 0,8. X – число испытаний, после
которых закончится проверка. Составьте закон распределения случайной величины X,
вычислите ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое
отклонение, а также начертите ее многоугольник распределения и график функции
распределения.
Задача 8
Проведено
n=5 независимых опытов. Вероятность взрыва в каждом опыте равна p=2/7.
Составить закон распределения числа взрывов, вычислить математическое ожидание,
дисперсию, среднеквадратическое отклонение и построить многоугольник
распределения.
Задача 9
Найти закон
распределения указанной дискретной СВ X и ее функции. распределения
F(x). Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и
среднее квадратичное отклонение σ(Х). Построить график
функции распределения F(x).
Вероятность отказа прибора за время испытания
на надежность равна 0,2; СВ Х — число приборов, отказавших в работе, среди 5
испытываемых.
Задача 10
В интернет-магазине
приобретается смартфон. Курьер приносит на дом покупателю 5 одинаковых
смартфонов, среди которых три (заранее неизвестно какие) бракованные.
Покупатель проверяет один за другим, пока не найдет хороший прибор, но делает
не более трех попыток.
Составить
закон распределения случайной величины – числа произведенных попыток.
Найти ее
математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Построить
функцию распределения.
Задача 11
В команде
9 спортсменов, из них 4 — первого разряда и 5 — второго. Наудачу отобраны 3
спортсмена. Найти ряд распределения дискретной случайной величины Х — числа
спортсменов второго разряда среди отобранных.
Задача 12
К контролеру с конвейера поступили 4 детали.
Вероятность брака для каждой детали равна 0,1. Детали проверяют одну за другой,
пока не наберут 2 доброкачественные.
Найти закон распределения вероятностей для числа проверенных деталей.
Задача 13
Двое рабочих,
выпускающих однотипную продукцию, допускают производство изделий второго сорта
с вероятностями соответственно равными 0,4 и 0,3. У каждого рабочего взято по 2
изделия. Для случайной величины Х —
числа изделий второго сорта среди отобранных для проверки четырех найти закон
распределения, математическое ожидание и дисперсию.
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Задача 14
На викторине
задаются 3 вопроса. Вероятность правильно ответить на первый – p, на
второй – r, на третий – s. После неправильного
ответа игрок выбывает из игры. Найти распределение числа правильных ответов.
Вычислить математическое ожидание. Решить задачу, если:
а) p=0.7; r=0.6; s=0.3;
б)
p=0.8; r=0.4; s=0.1.
Задача 15
На
некоторой остановке автобус останавливается только по требованию. Вероятность
остановки равна 0,2. За смену автобус проходит мимо этой остановки 5 раз.
Составить закон распределения числа остановки за смену, найти математическое
ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Задача 16
Вероятность
того, что при составлении бухгалтерского баланса допущена ошибка, равна 0,3.
Аудитору на заключение представлено 3 баланса предприятия. Составить закон
распределения числа положительных заключений на проверяемые балансы.
Задача 17
Два товароведа
проверяют партию изделий. Производительность их труда соотносится как 5:4.
Вероятность определения брака первым товароведом составляет 85%, вторым – 90%.
Из проверенных изделий отбирают четыре. Найти а) математическое ожидание и б)
дисперсию числа годных изделий среди отобранных.
Задача 18
Два
станка выпускают детали с вероятностями брака 0,01 и 0,05 соответственно. В
выборке одна деталь выпущена первым станком и две – вторым. Найти распределение числа бракованных деталей
в выборке.
Задача 19
Монета
подбрасывается до тех пор, пока герб не выпадет 2 раза, но при этом делается не
более 4 бросаний. Найти распределение числа подбрасываний.
Задача 20
Вероятность
сдачи данного экзамена для каждого из n=5 студентов равна p=0.6.
Случайная величина X (СВ X) — число студентов, сдавших экзамен. Найти закон
распределения указанной дискретной СВ X и ее функцию распределения F(x).
Вычислить математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и
среднее квадратическое отклонение σ(x). Построить график функции распределения F(x).