Как составить таблицу корреляции

При большом числе
наблюдений одно и то же значение случайной
величины Х
может встретиться
раз, одно и то же значение случайной
величиныY
может встретиться
раз, а одна и та же пара чисел (х,
у)
может наблюдаться
раз. Поэтому данные наблюдений группируют,
т.е. подсчитывают частоты,,.
Все сгруппированные данные за-писывают
в виде таблицы, которую называют
корреляционной.

Поясним ее строение
на простом примере. Имеем таблицу:

В
первой строке указаны наблюдаемые
значения (1,
2, 3, 4, 5)
слу-чайной величины Х,
а в первом столбце таблицы – наблюдаемые
значения (1,
0,
1,
2)
случайной величины Y.
На пересечении строк и столбцов находятся
частоты
наблюдаемых
пар значений случайных величин Х
и Y.
Например, частота 6
указывает, что пара чисел (4,
1)
наблюдалась 6
раз.
Все
частоты помещены в прямоугольнике,
стороны которого проведены жирными
линиями.

В
последнем столбце записаны суммы частот
строк. Например, сумма частот второй
строки равна
—
это число указывает, что значение
случайной величины Y,
равное 0
(в
сочетании с различными значениями
случайной величины Х
),
наблюдалось 11
раз.

В
последней строке записаны суммы частот
столбцов. Например, сумма частот
четвертого столбца равна
—
это число указывает, что значение
случайной величины Х,
равное 4
(в
сочетании с различными значениями
случайной величины Y
),
наблюдалось 15
раз.

Общее
число наблюдений

4.4. Выборочный коэффициент корреляции

Ранее мы полагали,
что значения Х
и соответствующие им значения Y
наблюдались по одному разу. На практике,
безусловно, одна пара случайных величин
(х,
у)
может наблюдаться любое число раз.

Поэтому формула
для коэффициента регрессии (4.4) примет
вид

(4.5)

где в сумме учтено, что пара
(х,
у)
наблюдалась
раз,
а
и
выборочные средние квадратические
отклонения случайных величин Х
и Y.

Умножим обе части
равенства (4.5) на дробь
и назовем это выражение выборочным
коэффициентом корреляции

Тогда уравнение
линейной регрессии Y
на Х
будет иметь вид

Замечание 2.
Выборочный коэффициент корреляции
является безраз-мерной оценкой
коэффициента регрессии

Таким образом,
основная задача корреляционного анализа
состоит в оценке степени линейной связи
между случайными величинами Х
и Y,
которая
устанавливается при помощи выборочного
коэффициента корре-ляции

Если выборочный
коэффициент корреляции
мал, то линейная связь считается слабой
и ее можно не принимать во внимание.
Если же выборочный коэффициент корреляцииблизок к1,
то линейная связь сильная и к ней следует
относиться практически как к функциональной.
В противном случае, связь принято считать
статистической. И, наконец, при
связь между случайными величинамиХ
и Y
имеет строго линейный характер.

Замечание.
Выборочный коэффициент корреляции
является лишь оценкой теоретического
коэффициента корреляциигенеральной сово-купности, поэтому
возникает необходимость проверить
гипотезу о значи-мости выборочного
коэффициента корреляции.
Однако, если
выборка имеет достаточно большой
объем и хорошо представляет генеральную
совокупность, т.е. является репрезентативной,
то вывод (гипотезу) о ли-нейной зависимости
между случайными величинами Х
и Y
, полученный по данным выборки, можно
распространить и на всю генеральную
сово-купность.

Например, для
оценки теоретического коэффициента
корреляции

генеральной
совокупности (если она распределена
нормально) можно воспользоваться
формулой

На практике в результате независимых наблюдений над величинами X и Y, как правило, имеют дело не со всей совокупностью всех возможных пар значений этих величин, а лишь с ограниченной выборкой из генеральной совокупности, причем объем n выборочной совокупности определяется как количество имеющихся в выборке пар.

Первоочередной задачей статистической обработки экспериментального материала является систематизация полученных данных и выяснение формы соответствующей генеральной совокупности.

Пусть величина Х в выборке принимает значения x₁, x₂,….x_m, где количество различающихся между собой значений этой величины, причем в общем случае каждое из них в выборке может повторяться. Пусть величина Y в выборке принимает значения y₁, y₂,….y_k, где k — количество различающихся между собой значений этой величины, причем в общем случае каждое из них в выборке также может повторяться. В этом случае данные заносят в таблицу с учетом частот встречаемости. Такую таблицу с группированными данными называют корреляционной.

Первым этапом статистической обработки результатов является составление корреляционной таблицы (таблица 1).

В первой строке основной части таблицы в порядке возрастания перечисляются все встречающиеся в выборке значения величины X. В первом столбце также в порядке возрастания перечисляются все встречающиеся в выборке значения величины Y. На пересечении соответствующих строк и столбцов указываются частоты n_ij (i=1,2,…,m; j=1,2,…,k) равные количеству появлений пары (x_i;y_i) в выборке. Например, частота n₁₂ представляет собой количество появлений в выборке пары (x₁;y₁).

Так же n_xin_ij, 1≤i≤m, сумма элементов i-го столбца, n_yjn_ij, 1≤j≤k, — сумма элементов j-ой строки и n_xi=n_yj=n

Аналоги формул (3), полученные по данным корреляционной таблицы, имеют вид:

(6)

Пример 3. Изучалась зависимость между качеством стандартности товаров Y(%) и количеством товаров (X) шт. Результаты наблюдений приведены в виде корреляционной таблицы.

Требуется:
1) Найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X.
2) Определить выборочные аналоги функции регрессии.
3) Сравнить между собой при каждом значении Х приближения средних значений Y, полученные по функции регрессии и по уравнению прямой регрессии.

Решение: Пользуясь данными, приведенными в этой таблице, по формулам (6), находим:

Следовательно,
a=79.475-1.111•24.24=79.475-26.930=52.544

Таким образом, выборочное уравнение прямой регрессии Y на X выражается формулой:

Y=79.475+1.111(x-24.24)=79.475+1.111x-26.930=52.545+1.111x

Откуда:

где Y_лин(x=x₁)=52.545+1.111•18=72.5 и т.д. y_x1=(5•70+7•75)/12=72.91 и т.д.

Сопоставляя полученные результаты, приходим к выводу, что значения, вычисленные по уравнению выборочной регрессии и по линейной зависимости хорошо согласуются.

Заключение. Величины, вычисленные путем подстановки возможных значений Х в уравнение прямой регрессии и в функцию регрессии, практически совпадают.

Замечание. Для упрощения вычислений в корреляционной табл. удобно от (x_i;y_i) перейти к новым переменным (u_i;v_i), положив u_i=(x_i-x₀)/h₁; v_j=(y_j-y₀)/h₂ (*)

где x₀ и y₀ варианты соответствующие наибольшим частотам соответственно x_i и y_i. h_i=x_i+1-x_i.

Обратный пересчет осуществляется по формулам:

Пример 1 . По данной корреляционной таблице построить прямые регрессии с X на Y и с Y на X . Найти соответствующие коэффициенты регрессии и коэффициент корреляции между X и Y .

Решение:
Уравнение линейной регрессии с y на x будем искать по формуле

а уравнение регрессии с x на y, использовав формулу:

где x x , y — выборочные средние величин x и y, σ_x, σ_y — выборочные среднеквадратические отклонения.
Находим выборочные средние:
x = (15(1 + 1) + 20(2 + 4 + 1) + 25(4 + 50) + 30(3 + 7 + 3) + 35(2 + 10 + 10) + 40(2 + 3))/103 = 27.961
y = (100(2 + 2) + 120(4 + 3 + 10 + 3) + 140(2 + 50 + 7 + 10) + 160(1 + 4 + 3) + 180(1 + 1))/103 = 136.893
Выборочные дисперсии:
σ 2 _x = (15 2 (1 + 1) + 20 2 (2 + 4 + 1) + 25 2 (4 + 50) + 30 2 (3 + 7 + 3) + 35 2 (2 + 10 + 10) + 40 2 (2 + 3))/103 — 27.961 2 = 30.31
σ 2 _y = (100 2 (2 + 2) + 120 2 (4 + 3 + 10 + 3) + 140 2 (2 + 50 + 7 + 10) + 160 2 (1 + 4 + 3) + 180 2 (1 + 1))/103 — 136.893 2 = 192.29
Откуда получаем среднеквадратические отклонения:
и
Определим коэффициент корреляции:

где ковариация равна:
Cov(x,y) = (35•100•2 + 40•100•2 + 25•120•4 + 30•120•3 + 35•120•10 + 40•120•3 + 20•140•2 + 25•140•50 + 30•140•7 + 35•140•10 + 15•160•1 + 20•160•4 + 30•160•3 + 15•180•1 + 20•180•1)/103 — 27.961 • 136.893 = -50.02
Запишем уравнение линий регрессии y(x):

и уравнение x(y):

Построим найденные уравнения регрессии на чертеже, из которого сделаем следующие вывод:
1) обе линии проходят через точку с координатами (27.961; 136.893)
2) все точки расположены близко к линиям регрессии.

Пример 2 . По данным корреляционной таблицы найти условные средние y и x . Оценить тесноту линейной связи между признаками x и y и составить уравнения линейной регрессии y по x и x по y . Сделать чертеж, нанеся его на него условные средние и найденные прямые регрессии. Оценить силу связи между признаками с помощью корреляционного отношения.
Корреляционная таблица:

Уравнение линейной регрессии с y на x имеет вид:

Уравнение линейной регрессии с x на y имеет вид:

найдем необходимые числовые характеристики.
Выборочные средние:
x = (2(5) + 4(4 + 6) + 6(2 + 3 + 1) + 8(3 + 2) + 10(3 + 1) + )/30 = 5.53
y = (2(5) + 4(4 + 6) + 6(2 + 3 + 1) + 8(3 + 2) + 10(3 + 1) + )/30 = 1.93
Дисперсии:
σ 2 _x = (2 2 (5) + 4 2 (4 + 6) + 6 2 (2 + 3 + 1) + 8 2 (3 + 2) + 10 2 (3 + 1))/30 — 5.53 2 = 6.58
σ 2 _y = (1 2 (5 + 4 + 2) + 2 2 (6 + 3 + 3) + 3 2 (1 + 2 + 3) + 5 2 (1))/30 — 1.93 2 = 0.86
Откуда получаем среднеквадратические отклонения:
σ_x = 2.57 и σ_y = 0.93
и ковариация:
Cov(x,y) = (2•1•5 + 4•1•4 + 6•1•2 + 4•2•6 + 6•2•3 + 8•2•3 + 6•3•1 + 8•3•2 + 10•3•3 + 10•5•1)/30 — 5.53 • 1.93 = 1.84
Определим коэффициент корреляции:


Запишем уравнения линий регрессии y(x):

и вычисляя, получаем:
y_x = 0.28 x + 0.39
Запишем уравнения линий регрессии x(y):

и вычисляя, получаем:
x_y = 2.13 y + 1.42
Если построить точки, определяемые таблицей и линии регрессии, увидим, что обе линии проходят через точку с координатами (5.53; 1.93) и точки расположены близко к линиям регрессии.
Значимость коэффициента корреляции.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=30-m-1 = 28 находим t_крит:
t_крит (n-m-1;α/2) = (28;0.025) = 2.048
где m = 1 — количество объясняющих переменных.
Если t_набл > t_критич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).
Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически — значим.

Пример 3 . Распределение 50 предприятий пищевой промышленности по степени автоматизации производства Х (%) и росту производительности труда Y (%) представлено в таблице. Необходимо:
1. Вычислить групповые средние i и j x y, построить эмпирические линии регрессии.
2. Предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость:
а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;
б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости α= 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;
в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить рост производительности труда при степени автоматизации производства 43%.
Скачать решение

Пример . По корреляционной таблице рассчитать ковариацию и коэффициент корреляции, построить прямые регрессии.

Пример 4 . Найти выборочное уравнение прямой Y регрессии Y на X по данной корреляционной таблице.
Решение находим с помощью калькулятора.
Скачать
Пример №4

Пример 5 . С целью анализа взаимного влияния прибыли предприятия и его издержек выборочно были проведены наблюдения за этими показателями в течение ряда месяцев: X — величина месячной прибыли в тыс. руб., Y — месячные издержки в процентах к объему продаж.
Результаты выборки сгруппированы и представлены в виде корреляционной таблицы, где указаны значения признаков X и Y и количество месяцев, за которые наблюдались соответствующие пары значений названных признаков.
Решение.
Пример №5
Пример №6
Пример №7

Пример 6 . Данные наблюдений над двумерной случайной величиной (X, Y) представлены в корреляционной таблице. Методом наименьших квадратов найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X. Построить график уравнения регрессии и показать точки (x;y)б рассчитанные по таблице данных.
Решение.
Скачать решение

Пример 7 . Дана корреляционная таблица для величин X и Y, X- срок службы колеса вагона в годах, а Y — усредненное значение износа по толщине обода колеса в миллиметрах. Определить коэффициент корреляции и уравнения регрессий.

Решение.
Скачать решение

Пример 8 . По заданной корреляционной таблице определить групповые средние количественных признаков X и Y. Построить эмпирические и теоретические линии регрессии. Предполагая, что между переменными X и Y существует линейная зависимость:

1. Вычислить выборочный коэффициент корреляции и проанализировать степень тесноты и направления связи между переменными.
2. Определить линии регрессии и построить их графики.

Скачать

Корреляционный анализ – популярный метод статистического исследования, который используется для выявления степени зависимости одного показателя от другого. В Microsoft Excel имеется специальный инструмент, предназначенный для выполнения этого типа анализа. Давайте выясним, как пользоваться данной функцией.

Суть корреляционного анализа

Предназначение корреляционного анализа сводится к выявлению наличия зависимости между различными факторами. То есть, определяется, влияет ли уменьшение или увеличение одного показателя на изменение другого.

Если зависимость установлена, то определяется коэффициент корреляции. В отличие от регрессионного анализа, это единственный показатель, который рассчитывает данный метод статистического исследования. Коэффициент корреляции варьируется в диапазоне от +1 до -1. При наличии положительной корреляции увеличение одного показателя способствует увеличению второго. При отрицательной корреляции увеличение одного показателя влечет за собой уменьшение другого. Чем больше модуль коэффициента корреляции, тем заметнее изменение одного показателя отражается на изменении второго. При коэффициенте равном 0 зависимость между ними отсутствует полностью.

Расчет коэффициента корреляции

Теперь давайте попробуем посчитать коэффициент корреляции на конкретном примере. Имеем таблицу, в которой помесячно расписана в отдельных колонках затрата на рекламу и величина продаж. Нам предстоит выяснить степень зависимости количества продаж от суммы денежных средств, которая была потрачена на рекламу.

Способ 1: определение корреляции через Мастер функций

Одним из способов, с помощью которого можно провести корреляционный анализ, является использование функции КОРРЕЛ. Сама функция имеет общий вид КОРРЕЛ(массив1;массив2).

Выделяем ячейку, в которой должен выводиться результат расчета. Кликаем по кнопке «Вставить функцию», которая размещается слева от строки формул.

Открывается окно аргументов функции. В поле «Массив1» вводим координаты диапазона ячеек одного из значений, зависимость которого следует определить. В нашем случае это будут значения в колонке «Величина продаж». Для того, чтобы внести адрес массива в поле, просто выделяем все ячейки с данными в вышеуказанном столбце.

В поле «Массив2» нужно внести координаты второго столбца. У нас это затраты на рекламу. Точно так же, как и в предыдущем случае, заносим данные в поле.

Как видим, коэффициент корреляции в виде числа появляется в заранее выбранной нами ячейке. В данном случае он равен 0,97, что является очень высоким признаком зависимости одной величины от другой.

Способ 2: вычисление корреляции с помощью пакета анализа

Кроме того, корреляцию можно вычислить с помощью одного из инструментов, который представлен в пакете анализа. Но прежде нам нужно этот инструмент активировать.

Переходим во вкладку «Файл».

В открывшемся окне перемещаемся в раздел «Параметры».

Далее переходим в пункт «Надстройки».

В нижней части следующего окна в разделе «Управление» переставляем переключатель в позицию «Надстройки Excel», если он находится в другом положении. Жмем на кнопку «OK».

В окне надстроек устанавливаем галочку около пункта «Пакет анализа». Жмем на кнопку «OK».

После этого пакет анализа активирован. Переходим во вкладку «Данные». Как видим, тут на ленте появляется новый блок инструментов – «Анализ». Жмем на кнопку «Анализ данных», которая расположена в нем.

Открывается список с различными вариантами анализа данных. Выбираем пункт «Корреляция». Кликаем по кнопке «OK».

Открывается окно с параметрами корреляционного анализа. В отличие от предыдущего способа, в поле «Входной интервал» мы вводим интервал не каждого столбца отдельно, а всех столбцов, которые участвуют в анализе. В нашем случае это данные в столбцах «Затраты на рекламу» и «Величина продаж».

Параметр «Группирование» оставляем без изменений – «По столбцам», так как у нас группы данных разбиты именно на два столбца. Если бы они были разбиты построчно, то тогда следовало бы переставить переключатель в позицию «По строкам».

В параметрах вывода по умолчанию установлен пункт «Новый рабочий лист», то есть, данные будут выводиться на другом листе. Можно изменить место, переставив переключатель. Это может быть текущий лист (тогда вы должны будете указать координаты ячеек вывода информации) или новая рабочая книга (файл).

Когда все настройки установлены, жмем на кнопку «OK».

Так как место вывода результатов анализа было оставлено по умолчанию, мы перемещаемся на новый лист. Как видим, тут указан коэффициент корреляции. Естественно, он тот же, что и при использовании первого способа – 0,97. Это объясняется тем, что оба варианта выполняют одни и те же вычисления, просто произвести их можно разными способами.

Как видим, приложение Эксель предлагает сразу два способа корреляционного анализа. Результат вычислений, если вы все сделаете правильно, будет полностью идентичным. Но, каждый пользователь может выбрать более удобный для него вариант осуществления расчета.

Отблагодарите автора, поделитесь статьей в социальных сетях.

Корреляционная таблица позволяет изложить материал сжато, компактно и наглядно.

Построение корреляционной таблицы начинают с группировки значений фактического и результативного признаков. Для этого надо разбить все данные значения на требуемое количество интервалов (если количество интервалов не оговаривается в задании, можно выбрать k = 7, 8 или 10). Длина интервала вычисляется по формулам , , где k — количество интервалов. В первый столбик следует вписать значения факторного признака (X), а первую строку заполнить значениями результативного признака (Y).

	[ymin, ymin + hy)	[ymin + hy, ymin + 2hy)	…	[ymax — hy, ymax ]	n(y)
[xmin, xmin + hx)	n11	n12	…	n1k
[xmin + hx, xmin + 2hx)	n21	n22	…	n2k
…	…	…	…	…	…	…
[xmax — hx, xmax ]	nk1	nk2	…	nkk
n(x)			…		n
			…

Таблица 1. Корреляционная таблица.

Числа n_ij, полученные на пересечении строк и столбцов, означают частоту повторения данного сочетания значений X и Y, , где n — объем выборки. Если n_ij расположены в таблице беспорядочно, можно говорить об отсутствии связи между переменными. В случае образования какого-либо характерного сочетания n_ij допустимо утверждать о связи между Х и Y. При этом, если n_ij концентрируется около одной из двух диагоналей, имеет место прямая или обратная линейная связь.
и — середины соответствующих интервалов. Теперь можно пересчитать числовые характеристики по сгруппированной выборке, используя для этого формулы: , , .

Дата добавления: 2015-09-11 ; просмотров: 3232 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Корреляционная таблица

Пример 1 . По данной корреляционной таблице построить прямые регрессии с X на Y и с Y на X . Найти соответствующие коэффициенты регрессии и коэффициент корреляции между X и Y .

Решение:
Уравнение линейной регрессии с y на x будем искать по формуле

а уравнение регрессии с x на y, использовав формулу:

где x x , y — выборочные средние величин x и y, σ_x, σ_y — выборочные среднеквадратические отклонения.
Находим выборочные средние:
x = (15(1 + 1) + 20(2 + 4 + 1) + 25(4 + 50) + 30(3 + 7 + 3) + 35(2 + 10 + 10) + 40(2 + 3))/103 = 27.961
y = (100(2 + 2) + 120(4 + 3 + 10 + 3) + 140(2 + 50 + 7 + 10) + 160(1 + 4 + 3) + 180(1 + 1))/103 = 136.893
Выборочные дисперсии:
σ 2 _x = (15 2 (1 + 1) + 20 2 (2 + 4 + 1) + 25 2 (4 + 50) + 30 2 (3 + 7 + 3) + 35 2 (2 + 10 + 10) + 40 2 (2 + 3))/103 — 27.961 2 = 30.31
σ 2 _y = (100 2 (2 + 2) + 120 2 (4 + 3 + 10 + 3) + 140 2 (2 + 50 + 7 + 10) + 160 2 (1 + 4 + 3) + 180 2 (1 + 1))/103 — 136.893 2 = 192.29
Откуда получаем среднеквадратические отклонения:
и
Определим коэффициент корреляции:

где ковариация равна:
Cov(x,y) = (35•100•2 + 40•100•2 + 25•120•4 + 30•120•3 + 35•120•10 + 40•120•3 + 20•140•2 + 25•140•50 + 30•140•7 + 35•140•10 + 15•160•1 + 20•160•4 + 30•160•3 + 15•180•1 + 20•180•1)/103 — 27.961 • 136.893 = -50.02
Запишем уравнение линий регрессии y(x):

и уравнение x(y):

Построим найденные уравнения регрессии на чертеже, из которого сделаем следующие вывод:
1) обе линии проходят через точку с координатами (27.961; 136.893)
2) все точки расположены близко к линиям регрессии.

Пример 2 . По данным корреляционной таблицы найти условные средние y и x . Оценить тесноту линейной связи между признаками x и y и составить уравнения линейной регрессии y по x и x по y . Сделать чертеж, нанеся его на него условные средние и найденные прямые регрессии. Оценить силу связи между признаками с помощью корреляционного отношения.
Корреляционная таблица:

Уравнение линейной регрессии с y на x имеет вид:

Уравнение линейной регрессии с x на y имеет вид:

найдем необходимые числовые характеристики.
Выборочные средние:
x = (2(5) + 4(4 + 6) + 6(2 + 3 + 1) + 8(3 + 2) + 10(3 + 1) + )/30 = 5.53
y = (2(5) + 4(4 + 6) + 6(2 + 3 + 1) + 8(3 + 2) + 10(3 + 1) + )/30 = 1.93
Дисперсии:
σ 2 _x = (2 2 (5) + 4 2 (4 + 6) + 6 2 (2 + 3 + 1) + 8 2 (3 + 2) + 10 2 (3 + 1))/30 — 5.53 2 = 6.58
σ 2 _y = (1 2 (5 + 4 + 2) + 2 2 (6 + 3 + 3) + 3 2 (1 + 2 + 3) + 5 2 (1))/30 — 1.93 2 = 0.86
Откуда получаем среднеквадратические отклонения:
σ_x = 2.57 и σ_y = 0.93
и ковариация:
Cov(x,y) = (2•1•5 + 4•1•4 + 6•1•2 + 4•2•6 + 6•2•3 + 8•2•3 + 6•3•1 + 8•3•2 + 10•3•3 + 10•5•1)/30 — 5.53 • 1.93 = 1.84
Определим коэффициент корреляции:


Запишем уравнения линий регрессии y(x):

и вычисляя, получаем:
y_x = 0.28 x + 0.39
Запишем уравнения линий регрессии x(y):

и вычисляя, получаем:
x_y = 2.13 y + 1.42
Если построить точки, определяемые таблицей и линии регрессии, увидим, что обе линии проходят через точку с координатами (5.53; 1.93) и точки расположены близко к линиям регрессии.
Значимость коэффициента корреляции.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=30-m-1 = 28 находим t_крит:
t_крит (n-m-1;α/2) = (28;0.025) = 2.048
где m = 1 — количество объясняющих переменных.
Если t_набл > t_критич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).
Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически — значим.

Пример 3 . Распределение 50 предприятий пищевой промышленности по степени автоматизации производства Х (%) и росту производительности труда Y (%) представлено в таблице. Необходимо:
1. Вычислить групповые средние i и j x y, построить эмпирические линии регрессии.
2. Предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость:
а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;
б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости α= 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;
в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить рост производительности труда при степени автоматизации производства 43%.
Скачать решение

Пример . По корреляционной таблице рассчитать ковариацию и коэффициент корреляции, построить прямые регрессии.

Пример 4 . Найти выборочное уравнение прямой Y регрессии Y на X по данной корреляционной таблице.
Решение находим с помощью калькулятора.
Скачать
Пример №4

Пример 5 . С целью анализа взаимного влияния прибыли предприятия и его издержек выборочно были проведены наблюдения за этими показателями в течение ряда месяцев: X — величина месячной прибыли в тыс. руб., Y — месячные издержки в процентах к объему продаж.
Результаты выборки сгруппированы и представлены в виде корреляционной таблицы, где указаны значения признаков X и Y и количество месяцев, за которые наблюдались соответствующие пары значений названных признаков.
Решение.
Пример №5
Пример №6
Пример №7

Пример 6 . Данные наблюдений над двумерной случайной величиной (X, Y) представлены в корреляционной таблице. Методом наименьших квадратов найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X. Построить график уравнения регрессии и показать точки (x;y)б рассчитанные по таблице данных.
Решение.
Скачать решение

Пример 7 . Дана корреляционная таблица для величин X и Y, X- срок службы колеса вагона в годах, а Y — усредненное значение износа по толщине обода колеса в миллиметрах. Определить коэффициент корреляции и уравнения регрессий.

Решение.
Скачать решение

Пример 8 . По заданной корреляционной таблице определить групповые средние количественных признаков X и Y. Построить эмпирические и теоретические линии регрессии. Предполагая, что между переменными X и Y существует линейная зависимость:

1. Вычислить выборочный коэффициент корреляции и проанализировать степень тесноты и направления связи между переменными.
2. Определить линии регрессии и построить их графики.

Скачать

Корреляционная таблица

Первоочередной задачей статистической обработки опытных данных является систематизация полученных результатов. Допустим, что в результате исследований для дискретных случайных величин X и У экспериментально определены соответствующие пары значений (х,,)>,). Тогда результаты первичных наблюдений случайных величин X и У с объемом выборки п [равно числу пар (х„у/)] удобно записать в виде табл. 8.1.

Таблица 8.1. Результаты наблюдений случайных величин^ и У

Пусть в результате экспериментов величина X в выборке принимает значения xi, хг, хз,. , х*, а величина У — у, у2, уз, ,yi, где ки I- количество различающихся между собой значений X и У соответственно, причем в общем случае каждые из них в выборке могут повторяться.

Если число наблюдений над случайными величинами X и У велико, то их удобно предварительно сгруппировать и представить в виде табл. 8.2, которую называют корреляционной. Корреляционную таблицу можно рассматривать как статистическое распределение выборки при исследовании двумерного признака объектов генеральной совокупности. В первой строке и столбце таблицы в порядке возрастания перечисляются все встречающиеся в выборке значения величин X и Yсоответственно. На пересечении соответствующих строк и столбцов указываются частоты m_lf (i = 1,2,3. #; j = 1,2,3. /), равные количеству появлений пары в выборке. Для иллюстрации частота т₂ представляет собой количество появлений в выборке пары (х_1уу₂). Пустые клетки означают, что соответствующие им частоты равны нулю.

В последней строке таблицы указываются числа т_х , равные количеству появлений в выборке значений x_h а в последнем столбце -числа m_v значенийyj.

Очевидно, что объем выборки

» аблица 8.2. Корреляционная таблица

На основании табл. 8.2 для каждого значения д:„ где / = 1,2,3. можно записать индивидуальный закон эмпирического распределения случайной величины Y (табл. 8.3).

Таблица 8.3. Эмпирическое распределение случайной величины Y

Используя данные этой таблицы, можно определить условное среднее значение у_х случайной величины Y, соответствующее значению Х=х,:

Зависимость условного среднего значения у_х случайной величины У от величины X, т.е. эмпирическую корреляционную зависимость У_д, удобно представлять в форме табл. 8.4. В первой строке этой таблицы перечислены все встречающиеся в выборке значения величины X, а во второй — вычисленные на основании формулы (8.4) условные средние значения у_х величины У.

Таблица 8.4. Эмпирическая корреляционная зависимость

Если при большом объеме выборки содержится немалое число различных значений х, и у, то имеет смысл представить результаты наблюдений случайных величин X и У в виде интервальной корреляционной таблицы (табл. 8.5).

Таблица 8.5. Интервальная корреляционная таблица

Здесь т_ч — количество появления пары (ад) в выборке, для которых значение х попадает в интервал [x;-i,x/], значение у — в интервал [y,-i,y)]. Количество интервалов, их длина, а также граничные значения хо.уо и хад определяются так же, как и для статистического интервального ряда распределения случайных величин.

Для дальнейших вычислений информацию, представленную в виде интервальной корреляционной табл.8.5, можно преобразовать в обычную корреляционную табл. 8.6, взяв в качестве значений признаков X и Y середины интервалов.

Таблица 8.6. Корреляционная таблица

Здесь х’ = (х, + х,_,) / 2, у. = (у, + у )/2 — центры соответствующих интервалов. В дальнейшем для единообразия корреляционной таблицы удобно от х’,у* перейти к новым переменным

Для наглядности данные корреляционной таблицы изображают в виде так называемого корреляционного поля. Корреляционное поле — это нанесенное в прямоугольной системе координат (рис. 8.1) множество всех п экспериментальных точек с координатами (xij/i). На корреляционном поле строят ломанную линию, соединяющую точки с координатами (х,,у_х). Эта линия

называется выборочной ломаной линией регрессии Y на X

(рис. 8.1, г). Если эта линия — прямая (рис. 8.1, а и в), то корреляционная связь между признаками X и Y называется линейной, а если нет (рис.8.1, б) — нелинейной. Если с увеличением X значение у_х возрастает, то корреляционная связь называется

прямой (рис. 8.1, а), а если уменьшается — обратной (рис. 8.1, в).

Может случиться, что в данной точке содержится не одна (рис. 8.1, г), а несколько пар точек с координатами (х,у,), извлеченным из корреляционной таблицы. В этом случае эти точки следует немного отделить друг от друга так, чтобы они образовали компактную группу из т,, пар, окружающих данную точку (х,у_<). Точки вокруг линии регрессии символизируют разброс возможных значений у, величины У вокруг линии регрессии. Линия регрессии У на X демонстрирует, как в среднем меняется случайная величина У при изменении случайной величины X. По характеру поведения выборочной линии регрессии можно визуально оценить наличие корреляционной эмпирической зависимости по всем статистическим совокупностям X и У.

Рис. 8.1. Корреляционное поле

Пример 8.1. Изучалась зависимость между массой новорожденных павиан-гамадрилов X (в кг) и массой их матерей У (в кг). Результаты наблюдений приведены в табл. 8.7 в виде двумерной выборки.

Таблица 8.7, Массы новорожденных павиан и их матерей

Как построить корреляционную таблицу

Пример 1 . По данной корреляционной таблице построить прямые регрессии с X на Y и с Y на X . Найти соответствующие коэффициенты регрессии и коэффициент корреляции между X и Y .

Решение:
Уравнение линейной регрессии с y на x будем искать по формуле

а уравнение регрессии с x на y, использовав формулу:

где x x , y – выборочные средние величин x и y, σ_x, σ_y – выборочные среднеквадратические отклонения.
Находим выборочные средние:
x = (15(1 + 1) + 20(2 + 4 + 1) + 25(4 + 50) + 30(3 + 7 + 3) + 35(2 + 10 + 10) + 40(2 + 3))/103 = 27.961
y = (100(2 + 2) + 120(4 + 3 + 10 + 3) + 140(2 + 50 + 7 + 10) + 160(1 + 4 + 3) + 180(1 + 1))/103 = 136.893
Выборочные дисперсии:
σ 2 _x = (15 2 (1 + 1) + 20 2 (2 + 4 + 1) + 25 2 (4 + 50) + 30 2 (3 + 7 + 3) + 35 2 (2 + 10 + 10) + 40 2 (2 + 3))/103 – 27.961 2 = 30.31
σ 2 _y = (100 2 (2 + 2) + 120 2 (4 + 3 + 10 + 3) + 140 2 (2 + 50 + 7 + 10) + 160 2 (1 + 4 + 3) + 180 2 (1 + 1))/103 – 136.893 2 = 192.29
Откуда получаем среднеквадратические отклонения:
и
Определим коэффициент корреляции:

где ковариация равна:
Cov(x,y) = (35•100•2 + 40•100•2 + 25•120•4 + 30•120•3 + 35•120•10 + 40•120•3 + 20•140•2 + 25•140•50 + 30•140•7 + 35•140•10 + 15•160•1 + 20•160•4 + 30•160•3 + 15•180•1 + 20•180•1)/103 – 27.961 • 136.893 = -50.02
Запишем уравнение линий регрессии y(x):

и уравнение x(y):

Построим найденные уравнения регрессии на чертеже, из которого сделаем следующие вывод:
1) обе линии проходят через точку с координатами (27.961; 136.893)
2) все точки расположены близко к линиям регрессии.

Пример 2 . По данным корреляционной таблицы найти условные средние y и x . Оценить тесноту линейной связи между признаками x и y и составить уравнения линейной регрессии y по x и x по y . Сделать чертеж, нанеся его на него условные средние и найденные прямые регрессии. Оценить силу связи между признаками с помощью корреляционного отношения.
Корреляционная таблица:

Уравнение линейной регрессии с y на x имеет вид:

Уравнение линейной регрессии с x на y имеет вид:

найдем необходимые числовые характеристики.
Выборочные средние:
x = (2(5) + 4(4 + 6) + 6(2 + 3 + 1) + 8(3 + 2) + 10(3 + 1) + )/30 = 5.53
y = (2(5) + 4(4 + 6) + 6(2 + 3 + 1) + 8(3 + 2) + 10(3 + 1) + )/30 = 1.93
Дисперсии:
σ 2 _x = (2 2 (5) + 4 2 (4 + 6) + 6 2 (2 + 3 + 1) + 8 2 (3 + 2) + 10 2 (3 + 1))/30 – 5.53 2 = 6.58
σ 2 _y = (1 2 (5 + 4 + 2) + 2 2 (6 + 3 + 3) + 3 2 (1 + 2 + 3) + 5 2 (1))/30 – 1.93 2 = 0.86
Откуда получаем среднеквадратические отклонения:
σ_x = 2.57 и σ_y = 0.93
и ковариация:
Cov(x,y) = (2•1•5 + 4•1•4 + 6•1•2 + 4•2•6 + 6•2•3 + 8•2•3 + 6•3•1 + 8•3•2 + 10•3•3 + 10•5•1)/30 – 5.53 • 1.93 = 1.84
Определим коэффициент корреляции:

Запишем уравнения линий регрессии y(x):

и вычисляя, получаем:
y_x = 0.28 x + 0.39
Запишем уравнения линий регрессии x(y):

и вычисляя, получаем:
x_y = 2.13 y + 1.42
Если построить точки, определяемые таблицей и линии регрессии, увидим, что обе линии проходят через точку с координатами (5.53; 1.93) и точки расположены близко к линиям регрессии.
Значимость коэффициента корреляции.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=30-m-1 = 28 находим t_крит:
t_крит (n-m-1;α/2) = (28;0.025) = 2.048
где m = 1 – количество объясняющих переменных.
Если t_набл > t_критич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).
Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически – значим.

Пример 3 . Распределение 50 предприятий пищевой промышленности по степени автоматизации производства Х (%) и росту производительности труда Y (%) представлено в таблице. Необходимо:
1. Вычислить групповые средние i и j x y, построить эмпирические линии регрессии.
2. Предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость:
а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;
б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости α= 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;
в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить рост производительности труда при степени автоматизации производства 43%.
Скачать решение

Пример . По корреляционной таблице рассчитать ковариацию и коэффициент корреляции, построить прямые регрессии.

Пример 4 . Найти выборочное уравнение прямой Y регрессии Y на X по данной корреляционной таблице.
Решение находим с помощью калькулятора.
Скачать
Пример №4

Пример 5 . С целью анализа взаимного влияния прибыли предприятия и его издержек выборочно были проведены наблюдения за этими показателями в течение ряда месяцев: X – величина месячной прибыли в тыс. руб., Y – месячные издержки в процентах к объему продаж.
Результаты выборки сгруппированы и представлены в виде корреляционной таблицы, где указаны значения признаков X и Y и количество месяцев, за которые наблюдались соответствующие пары значений названных признаков.
Решение.
Пример №5
Пример №6
Пример №7

Пример 6 . Данные наблюдений над двумерной случайной величиной (X, Y) представлены в корреляционной таблице. Методом наименьших квадратов найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X. Построить график уравнения регрессии и показать точки (x;y)б рассчитанные по таблице данных.
Решение.
Скачать решение

Пример 7 . Дана корреляционная таблица для величин X и Y, X- срок службы колеса вагона в годах, а Y – усредненное значение износа по толщине обода колеса в миллиметрах. Определить коэффициент корреляции и уравнения регрессий.

Решение.
Скачать решение

Пример 8 . По заданной корреляционной таблице определить групповые средние количественных признаков X и Y. Построить эмпирические и теоретические линии регрессии. Предполагая, что между переменными X и Y существует линейная зависимость:

1. Вычислить выборочный коэффициент корреляции и проанализировать степень тесноты и направления связи между переменными.
2. Определить линии регрессии и построить их графики.

Корреляционный анализ – популярный метод статистического исследования, который используется для выявления степени зависимости одного показателя от другого. В Microsoft Excel имеется специальный инструмент, предназначенный для выполнения этого типа анализа. Давайте выясним, как пользоваться данной функцией.

Суть корреляционного анализа

Предназначение корреляционного анализа сводится к выявлению наличия зависимости между различными факторами. То есть, определяется, влияет ли уменьшение или увеличение одного показателя на изменение другого.

Если зависимость установлена, то определяется коэффициент корреляции. В отличие от регрессионного анализа, это единственный показатель, который рассчитывает данный метод статистического исследования. Коэффициент корреляции варьируется в диапазоне от +1 до -1. При наличии положительной корреляции увеличение одного показателя способствует увеличению второго. При отрицательной корреляции увеличение одного показателя влечет за собой уменьшение другого. Чем больше модуль коэффициента корреляции, тем заметнее изменение одного показателя отражается на изменении второго. При коэффициенте равном 0 зависимость между ними отсутствует полностью.

Расчет коэффициента корреляции

Теперь давайте попробуем посчитать коэффициент корреляции на конкретном примере. Имеем таблицу, в которой помесячно расписана в отдельных колонках затрата на рекламу и величина продаж. Нам предстоит выяснить степень зависимости количества продаж от суммы денежных средств, которая была потрачена на рекламу.

Способ 1: определение корреляции через Мастер функций

Одним из способов, с помощью которого можно провести корреляционный анализ, является использование функции КОРРЕЛ. Сама функция имеет общий вид КОРРЕЛ(массив1;массив2).

Выделяем ячейку, в которой должен выводиться результат расчета. Кликаем по кнопке «Вставить функцию», которая размещается слева от строки формул.

Открывается окно аргументов функции. В поле «Массив1» вводим координаты диапазона ячеек одного из значений, зависимость которого следует определить. В нашем случае это будут значения в колонке «Величина продаж». Для того, чтобы внести адрес массива в поле, просто выделяем все ячейки с данными в вышеуказанном столбце.

В поле «Массив2» нужно внести координаты второго столбца. У нас это затраты на рекламу. Точно так же, как и в предыдущем случае, заносим данные в поле.

Как видим, коэффициент корреляции в виде числа появляется в заранее выбранной нами ячейке. В данном случае он равен 0,97, что является очень высоким признаком зависимости одной величины от другой.

Способ 2: вычисление корреляции с помощью пакета анализа

Кроме того, корреляцию можно вычислить с помощью одного из инструментов, который представлен в пакете анализа. Но прежде нам нужно этот инструмент активировать.

Переходим во вкладку «Файл».

В открывшемся окне перемещаемся в раздел «Параметры».

Далее переходим в пункт «Надстройки».

В нижней части следующего окна в разделе «Управление» переставляем переключатель в позицию «Надстройки Excel», если он находится в другом положении. Жмем на кнопку «OK».

В окне надстроек устанавливаем галочку около пункта «Пакет анализа». Жмем на кнопку «OK».

После этого пакет анализа активирован. Переходим во вкладку «Данные». Как видим, тут на ленте появляется новый блок инструментов – «Анализ». Жмем на кнопку «Анализ данных», которая расположена в нем.

Открывается список с различными вариантами анализа данных. Выбираем пункт «Корреляция». Кликаем по кнопке «OK».

Открывается окно с параметрами корреляционного анализа. В отличие от предыдущего способа, в поле «Входной интервал» мы вводим интервал не каждого столбца отдельно, а всех столбцов, которые участвуют в анализе. В нашем случае это данные в столбцах «Затраты на рекламу» и «Величина продаж».

Параметр «Группирование» оставляем без изменений – «По столбцам», так как у нас группы данных разбиты именно на два столбца. Если бы они были разбиты построчно, то тогда следовало бы переставить переключатель в позицию «По строкам».

В параметрах вывода по умолчанию установлен пункт «Новый рабочий лист», то есть, данные будут выводиться на другом листе. Можно изменить место, переставив переключатель. Это может быть текущий лист (тогда вы должны будете указать координаты ячеек вывода информации) или новая рабочая книга (файл).

Когда все настройки установлены, жмем на кнопку «OK».

Так как место вывода результатов анализа было оставлено по умолчанию, мы перемещаемся на новый лист. Как видим, тут указан коэффициент корреляции. Естественно, он тот же, что и при использовании первого способа – 0,97. Это объясняется тем, что оба варианта выполняют одни и те же вычисления, просто произвести их можно разными способами.

Как видим, приложение Эксель предлагает сразу два способа корреляционного анализа. Результат вычислений, если вы все сделаете правильно, будет полностью идентичным. Но, каждый пользователь может выбрать более удобный для него вариант осуществления расчета.

Отблагодарите автора, поделитесь статьей в социальных сетях.

Корреляционная таблица позволяет изложить материал сжато, компактно и наглядно.

Построение корреляционной таблицы начинают с группировки значений фактического и результативного признаков. Для этого надо разбить все данные значения на требуемое количество интервалов (если количество интервалов не оговаривается в задании, можно выбрать k = 7, 8 или 10). Длина интервала вычисляется по формулам , , где k — количество интервалов. В первый столбик следует вписать значения факторного признака (X), а первую строку заполнить значениями результативного признака (Y).

Таблица 1. Корреляционная таблица.

Числа n_ij, полученные на пересечении строк и столбцов, означают частоту повторения данного сочетания значений X и Y, , где n — объем выборки. Если n_ij расположены в таблице беспорядочно, можно говорить об отсутствии связи между переменными. В случае образования какого-либо характерного сочетания n_ij допустимо утверждать о связи между Х и Y. При этом, если n_ij концентрируется около одной из двух диагоналей, имеет место прямая или обратная линейная связь.
и — середины соответствующих интервалов. Теперь можно пересчитать числовые характеристики по сгруппированной выборке, используя для этого формулы: , , .

Дата добавления: 2015-09-11 ; просмотров: 3232 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Содержание:

Корреляционный анализ:

Связи между различными явлениями в природе сложны и многообразны, однако их можно определённым образом классифицировать. В технике и естествознании часто речь идёт о функциональной зависимости между переменными x и у, когда каждому возможному значению х поставлено в однозначное соответствие определённое значение у. Это может быть, например, зависимость между давлением и объёмом газа (закон Бойля—Мариотта).

В реальном мире многие явления природы происходят в обстановке действия многочисленных факторов, влияния каждого из которых ничтожно, а число их велико. В этом случае связь теряет свою однозначность и изучаемая физическая система переходит не в определённое состояние, а в одно из возможных для неё состояний. Здесь речь может идти лишь о так называемой статистической связи. Статистическая связь состоит в том, что одна случайная переменная реагирует на изменение другой изменением своего закона распределения. Следовательно, для изучения статистической зависимости нужно знать аналитический вид двумерного распределения. Однако нахождение аналитического вида двумерного распределения по выборке ограниченного объёма, во-первых, громоздко, во-вторых, может привести к значительным ошибкам. Поэтому на практике при исследовании зависимостей между случайными переменными X и У обычно ограничиваются изучением зависимости между одной из них и условным математическим ожиданием другой, т.е.

Вопрос о том, что принять за зависимую переменную, а что — за независимую, следует решать применительно к каждому конкретному случаю.

Знание статистической зависимости между случайными переменными имеет большое практическое значение: с её помощью можно прогнозировать значение зависимой случайной переменной в предположении, что независимая переменная примет определенное значение. Однако, поскольку понятие статистической зависимости относится к осредненным условиям, прогнозы не могут быть безошибочными.    Применяя некоторые вероятностные методы, как будет показано далее, можно вычислить вероятность того, что ошибка прогноза не выйдет за определенные границы.

Введение в корреляционный анализ

Связь, которая существует между случайными величинами разной природы, например, между величиной X и величиной Y, не обязательно является следствием прямой зависимости одной величины от другой (так называемая функциональная связь).

В некоторых случаях обе величины зависят от целой совокупности разных факторов, общих для обеих величин, в результате чего и формируется связанные друг с другом закономерности. Когда связь между случайными величинами обнаружена с помощью статистики, мы не можем утверждать, что обнаружили причину происходящего изменения параметров, скорее мы лишь увидели два взаимосвязанных следствия.

Например, дети, которые чаще смотрят по телевизору американские боевики, меньше читают. Дети, которые больше читают, лучше учатся. Не так-то просто решить, где тут причины, а где следствия, но это и не является задачей статистики.

Статистика может лишь, выдвинув гипотезу о наличии связи, подкрепить ее цифрами. Если связь действительно имеется, говорят, что между двумя случайными величинами есть корреляция. Если увеличение одной случайной величины связано с увеличением второй случайной величины, корреляция называется прямой.

Например, количество прочитанных страниц за год и средний балл (успеваемость). Если, напротив рост одной величины связано с уменьшением другой, говорят об обратной корреляции. Например, количество боевиков и количество прочитанных страниц. Взаимная связь двух случайных величин называется корреляцией, корреляционный анализ позволяет определить наличие такой связи, оценить, насколько тесна и существенна эта связь. Все это выражается количественно.

Как определить, есть ли корреляция между величинами? В большинстве случаев, это можно увидеть на обычном графике. Например, по каждому ребенку из нашей выборки можно определить величину (число страниц) и (средний балл годовой оценки), и записать эти данные в виде таблицы. Построить оси X и Y, а затем нанести на график весь ряд точек таким образом, чтобы каждая из них имела определенную пару координат (,) из нашей таблицы. Поскольку мы в данном случае затрудняемся определить, что можно считать причиной, а что следствием, не важно, какая ось будет вертикальной, а какая горизонтальной.

Если график имеет вид а), то это говорит о наличии прямой корреляции, в случае, если он имеет вид б) — корреляция обратная. Отсутствие корреляции тоже можно приблизительно определить по виду графика — это случай в).

С помощью коэффициента корреляции можно посчитать насколько тесная связь существует между величинами.

Пусть, существует корреляция между ценой и спросом на товар. Количество купленных единиц товара в зависимости от цены у разных продавцов показано в таблице: Видно, что мы имеем дело с обратной корреляцией. Для количественной оценки тесноты связи используют коэффициент корреляции:

Коэффициент r мы считаем в Excel, с помощью функции далее статистические функции, функция KOPPEЛ. По подсказке программы вводим мышью в два соответствующих поля два разных массива (X и Y). В нашем случае коэффициент корреляции получился r = -0,988.

Надо отметить, что чем ближе к 0 коэффициент корреляции, тем слабее связь между величинами. Наиболее тесная связь при прямой корреляции соответствует коэффициенту r, близкому к +1. В нашем случае, корреляция обратная, но тоже очень тесная, и коэффициент близок к -1.

Что можно сказать о случайных величинах, у которых коэффициент имеет промежуточное значение? Например, если бы мы получили r = 0,65. В этом случае, статистика позволяет сказать, что две случайные величины частично связаны друг с другом. Скажем на 65% влияние на количество покупок оказывала цена, а на 35% — другие обстоятельства. И еще одно важное обстоятельство надо упомянуть.

Поскольку мы говорим о случайных величинах, всегда существует вероятность, что замеченная нами связь — случайное обстоятельство. Причем вероятность найти связь там, где ее нет, особенно велика тогда, когда точек в выборке мало, а при оценке Вы не построили график, а просто посчитали значение коэффициента корреляции на компьютере. Так, если мы оставим всего две разные точки в любой произвольной выборке, коэффициент корреляции будет равен или +1 или -1. Из школьного курса геометрии мы знаем, что через две точки можно всегда провести прямую линию. Для оценки статистической достоверности факта обнаруженной Вами связи полезно использовать так называемую корреляционную поправку:

Связь нельзя считать случайной, если:

В то время как задача корреляционного анализа — установить, являются ли данные случайные величины взаимосвязанными, цель регрессионного анализа — описать эту связь аналитической зависимостью, т.е. с помощью уравнения. Мы рассмотрим самый несложный случай, когда связь между точками на графике может быть представлена прямой линией. Уравнение этой прямой линии

Зная уравнение прямой, мы можем находить значение функции по значению аргумента в тех точках, где значение X известно, a Y — нет. Эти оценки бывают очень нужны, но они должны использоваться осторожно, особенно, если связь между величинами не слишком тесная. Отметим также, что из сопоставления формул для b и r видно, что коэффициент не дает значение наклона прямой, а лишь показывает сам факт наличия связи.

Определение формы связи. Понятие регрессии

Определить форму связи — значит выявить механизм получения зависимой случайной переменной. При изучении статистических зависимостей форму связи можно характеризовать функцией регрессии (линейной, квадратной, показательной и т.д.).

Условное математическое ожидание случайной переменной К, рассматриваемое как функция х, т.е. , называется

функцией регрессии случайной переменной Y относительно X (или функцией регрессии Y по X). Точно так же условное математическое ожидание

 случайной переменной X, т.е. называется функцией регрессии случайной переменной X относительно Y (или функцией регрессии X по Y).

На примере, дискретного распределения найдём функцию регрессии.

Функция регрессии имеет важное значение при статистическом анализе зависимостей между переменными и может быть использована для прогнозирования одной из случайных переменных, если известно значение другой случайной переменной. Точность такого прогноза определяется дисперсией условного распределения.

Несмотря на важность понятия функции регрессии, возможности её практического применения весьма ограничены. Для оценки функции регрессии необходимо знать аналитический вид двумерного распределения (X, Y). Только в этом случае можно точно определить вид функции регрессии, а затем оценить параметры двумерного распределения. Однако для подобной оценки мы чаще всего располагаем лишь выборкой ограниченного объема, по которой нужно найти вид двумерного распределения (X, Y), а затем вид функции регрессии. Это может привести к значительным ошибкам, так как одну и ту же совокупность точекна плоскости можно одинаково успешно описать с помощью различных функций. Именно поэтому возможности практического применения функции регрессии ограничены. Для характеристики формы связи при изучении зависимости используют понятие кривой регрессии.

Кривой регрессии Y по X (или Y на А) называют условное среднее значение случайной переменной У, рассматриваемое как функция определенного класса, параметры которой находят методом наименьших квадратов по наблюдённым значениям двумерной случайной величины (х, у), т.е.

Аналогично определяется кривая регрессии X по Y (X на Y):

Кривую регрессии называют также эмпирическим уравнением регрессии или просто уравнением регрессии. Уравнение регрессии является оценкой соответствующей функции регрессии.

Возникает вопрос:    почему для определения кривой регрессии

используют именно условное среднее Функция у(х) обладает одним замечательным свойством: она даёт наименьшую среднюю погрешность оценки прогноза. Предположим, что кривая регрессии — произвольная функция. Средняя погрешность прогноза по кривой регрессии определяется математическим ожиданием квадрата разности между измеренной величиной и вычисленной по формуле кривой регрессии, т.е. . Естественно потребовать вычисления такой кривой регрессии, средняя погрешность прогноза по которой была бы наименьшей. Таковой является Это следует из свойств минимальности рассеивания около центра распределения

Если рассеивание вычисляется относительно то средний квадрат отклонения увеличивается. Поэтому можно сказать, что кривая регрессии, выражаемая как минимизирует среднеквадратическую погрешность прогноза величины Y по X.

Основные положения корреляционного анализа

Статистические связи между переменными можно изучать методом корреляционного и регрессионного анализа. С помощью этих методов решают разные задачи; требования, предъявляемые к исследуемым переменным, в каждом методе различны.

Основная задача корреляционного анализа — выявление связи между случайными переменными путём точечной и интервальной оценки парных коэффициентов корреляции, вычисления и проверки значимости множественных коэффициентов корреляции и детерминации, оценки частных коэффициентов корреляции. Корреляционный анализ позволяет также оценить функцию регрессии одной случайной переменной на другую.

Предпосылки корреляционного анализа следующие:  

•  1) переменные величины должны быть случайными;
• 2) случайные величины должны иметь совместное нормальное распределение.

Рассмотрим простейший случай корреляционного анализа — двумерную модель. Введём основные понятия и опишем принцип проведения корреляционного анализа. Пусть X и Y — случайные переменные, имеющие совместное нормальное распределение. В этом случае связь между X и Y можно описать коэффициентом корреляции p;. Этот коэффициент определяется как ковариация между X и Y, отнесённая к их среднеквадратическим отклонениям:
(1.1)

Оценкой коэффициента корреляции является выборочный коэффициент корреляции r. Для его нахождения необходимо знать оценки следующих параметров:   .    Наилучшей оценкой

математического ожидания является среднее арифметическое, т.е.

Оценкой дисперсии служит выборочная дисперсия, т.е.

Тогда выборочный коэффициент корреляции

Коэффициент р называют также парным коэффициентом корреляции, а r— выборочным парным коэффициентом корреляции.

При совместном нормальном законе распределения случайных величин X и Y, используя рассмотренные выше параметры распределения и коэффициент корреляции, можно получить выражение для условного математического ожидания, т. е, записать выражение для функции регрессии одной случайной величины на другую. Так, функция регрессии Y на X имеет вид:

функция регрессии X на Y — следующий вид:

Выражения — называют коэффициентами регрессии.

Подставив в (1.3) соответствующие оценки параметров, получим уравнения регрессии, график которых — прямая линия, проходящая через точку Запишем уравнение регрессии у на х и х на у:

Таким образом, в корреляционном анализе на основе оценок параметров двумерной нормальной совокупности получаем оценки тесноты связи между случайными переменными и можем оценить регрессию одной переменной на другую. Особенностью корреляционного анализа является строго линейная зависимость между переменными. Это обусловливается исходными предпосылками. На практике корреляционный анализ можно применять для обработки наблюдений, сделанных на предприятиях при нормальных условиях работы, если случайные изменения свойства сырья или других факторов вызывают случайные изменения свойств продукции.

Свойства коэффициента корреляции

Коэффициент корреляции является одним из самых распространенных способов измерения связи между случайными переменными. Рассмотрим некоторые свойства этого коэффициента.

Теорема 1. Коэффициент корреляции принимает значения на интервале (-1, +1).

Доказательство. Докажем справедливость утверждения для случая дискретных переменных. Запишем явно неотрицательное выражение:

Возведём выражение под знаком суммы в квадрат:

Первое и третье из слагаемых равны единице, поскольку из определения дисперсии следует, что

Таким образом, окончательно получаем

Если коэффициент корреляции положителен, то связь между переменными также положительна и значения переменных увеличиваются или уменьшаются одновременно. Если коэффициент корреляции имеет отрицательное значение, то при увеличении одной переменной уменьшается другая.

Приведём следующее важное свойство коэффициента корреляции: коэффициент корреляции не зависит от выбора начала отсчёта и единицы измерения, т. е. от любых постоянных таких, что т.е.

Таким образом, переменные X и У можно уменьшать или увеличивать в а раз, а также вычитать или прибавлять к значениям X и У одно и то же число b. В результате величина коэффициента корреляции не изменится.

Если коэффициент корреляции то случайные переменные некоррелированы. Понятие некоррелированности не следует смешивать с понятием независимости, независимые величины всегда некоррелированы. Однако обратное утверждение невероятно: некоррелированные величины могут быть зависимы и даже функционально, однако эта связь не линейная.

Выборочный коэффициент корреляции вычисляют по формуле (1.2). Имеется несколько модификаций этой формулы, которые удобно использовать при той или иной форме представления исходной информации. Так, при малом числе наблюдений выборочный коэффициент корреляции удобно вычислять по формуле

Если информация имеет вид корреляционной таблицы (см. п 1.5), то удобно пользоваться формулой

где — суммарная частота наблюдаемого значенияпризнака х при всех значениях — суммарная частота наблюдаемого значения признака упри всех значениях х; — частота появления пары признаков (x, у).

Из формулы (1.2) очевидно, что т.е. величина выборочного коэффициента корреляции не зависит от порядка следования переменных, поэтому обычно пишут просто r.

Поле корреляции. Вычисление оценок параметров двумерной модели

На практике для вычисления оценок параметров двумерной модели удобно использовать корреляционную таблицу и поле корреляции. Пусть, например, изучается зависимость между объёмом выполненных работ (у) и накладными расходами (x). Имеем выборку из генеральной совокупности, состоящую из 150 пар переменных    Считаем, что предпосылки корреляционного анализа выполнены.

Пару случайных чисел    можно изобразить графически в виде точки с координатами. Аналогично можно изобразить весь набор пар случайных чисел (всю выборку). Однако при большом объёме выборки это затруднительно. Задача упрощается, если выборку упорядочить, т.е. переменные сгруппировать. Сгруппированные ряды могут быть как дискретными, так и интервальными.

По осям координат откладывают или дискретные значения переменных, или интервалы их изменения. Для интервального ряда наносят координатную сетку. Каждую пару переменных из данной выборки изображают в виде точки с соответствующими координатами для дискретного ряда или в виде точки в соответствующей клетке для интервального ряда. Такое изображение корреляционной зависимости называют полем корреляции. На рис. 1.1 изображено поле корреляции для выборки, состоящей из 150 пар переменных (ряд интервальный).
 

Если вычислить средние значения у в каждом интервале изменения х [обозначим их )], нанести эти точки на рис. 1.1 и соединить между собой, то получим ломаную линию, по виду которой можно судить, как в среднем меняются у в зависимости от изменения х. По виду этой линии можно также сделать предположение о форме связи между переменными. В данном случае ломаную линию можно аппроксимировать прямой линией, так как она достаточно хорошо приближается к ней. По выборочным данным можно построить также корреляционную табл. 1.1.

Корреляционную таблицу, как и поле корреляции, строят по
сгруппированному ряду (дискретному или интервальному). Табл. 1.1 построена на основе интервального ряда. В первой строке и первом столбце таблицы помещают интервалы изменения х и у и значения середин интервалов. Так, например, 1,5 — середина интервала изменения *=1-2,15— середина интервала изменения у= 10-20. В ячейки, образованные пересечением строк и столбцов, заносят частоты попадания пар значений (л у) в соответствующие интервалы по х и у. Например, частота 4 означает, что в интервал изменения у от 10 до 20 попало 4 пары наблюдавшихся значений. Эти частоты обозначают В 9-й строке и 10-м столбце находятся значения — суммы по соответствующим столбцу и строке.

Как будет показано в дальнейшем, корреляционно таблицей удобно пользоваться при вычислении коэффициентов корреляций и параметров уравнений регрессии.

Корреляционная таблица построена на основе интервального ряда, поэтому для оценок параметров воспользуемся формулами гл. 1 для вычисления средней арифметической и дисперсии. Имеем:

(1.6)
 

Проверка гипотезы о значимости коэффициента корреляции

На практике коэффициент корреляции р обычно неизвестен. По результатам выборки может быть найдена его точечная оценка — выборочный коэффициент корреляции r.

Равенство нулю выборочного коэффициента корреляции ещё не свидетельствует о равенстве нулю самого коэффициента корреляции, а следовательно, о некоррелированности случайных величин X и Y. Чтобы выяснить, находятся ли случайные величины в корреляционной зависимости, нужно проверить значимость выборочного коэффициента корреляции г, т.е. установить, достаточна ли его величина для обоснованного вывода о наличии корреляционной связи. Для этого проверяют нулевую гипотезу . Предполагается наличие двумерного нормального распределения случайных переменных; объём выборки может быть любым. Вычисляют
которая имеет распределение Стьюдента с k=n-2
степенями свободы. Для проверки нулевой гипотезы по уровню значимости а и числу степеней свободы к находят по таблицам распределения Стьюдента (t-распределение; см. табл. 1 приложения) критическое значение  удовлетворяющее условию, то нулевую гипотезу об отсутствии корреляционной связи между переменными X и Y следует отвергнуть. Переменные считают зависимыми. При нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

В случае значимого выборочного коэффициента, корреляции есть смысл построить доверительный интервал для коэффициента корреляций р. Однако для этого нужно знать закон распределения выборочного коэффициента корреляции r.

Плотность вероятности выборочного коэффициента корреляции имеет сложный вид, поэтому прибегают к специально подобранным функциям от выборочного коэффициента корреляции, которые сводятся к хорошо изученным распределениям, например нормальному или Стьюдента. Чаще всего для подбора функции применяют преобразование Фишера. Вычисляют статистику:

где r=thz — гиперболический тангенс от z.

Распределение статистики z хорошо аппроксимируется нормальным распределением с параметрами

В этом, случае доверительный интервал для римеетвид Величины находят по таблицам по следующим значениям:

где — нормированная функция Лапласа для q % доверительного интервала (см. табл. 2 приложений значение функции

Если коэффициент корреляции значим, то коэффициенты регрессии также значимо отличаются от нуля, а интервальные оценки для них можно получить по следующим формулам:

где имеет распределение Стьюдента с k=n—2 степенями свободы.
 

Корреляционное отношение

На практике часто предпосылки корреляционного анализа нарушаются: один из признаков оказывается величиной не случайной, или признаки не имеют совместного нормального распределения. Однако статистическая зависимость между ними существует. Для изучения связи между признаками в этом случае существует общий показатель зависимости признаков, основанный на показателе изменчивости — общей (или полной) дисперсии.

Полной называется дисперсия признака относительно его математического ожидания. Так, для признака Y это Дисперсию можно разложить на две составляющие, одна из которых характеризует влияние фактора X на Y, другая — влияние прочих факторов.

Очевидно, чем меньше влияние прочих факторов, тем теснее связь, тем более приближается она к функциональной. Представим в следующем виде:

Первое слагаемое обозначимЭто дисперсия функции регрессии относительно математического ожидания признака (в данном случае признака У);.она измеряет влияние признака X на Y. Второе слагаемое обозначим. Это дисперсия признака Y относительно функции регрессии. Её называют также средней из условных дисперсий или остаточной дисперсией измеряет влияние на Y прочих факторов.

Покажем, что действительно можно разложить на два таких слагаемых:

Для простоты полагаем распределение дискретным. Имеем

так как при любом х справедливо равенство

Третье слагаемое в равенстве (1.10) равно нулю, поэтому равенство (1.9) справедливо. Поскольку второе слагаемое в равенстве (1.9) оценивает влияние признака X на Y, то его можно использовать для оценки тесноты связи между X и Y. Тесноту связи удобно оценивать в единицах общей дисперсии т.е. рассматривать отношение. Эту величину обозначают и называют теоретическим корреляционным отношением. Таким образом,

Разделив обе части равенства (1.9) на получим

Из последней формулы имеем

Поскольку так как — составная часть то из равенства (1.12) следует, что значение всегда заключено между нулем и единицей.

Все сделанные выводы справедливы и для    Из равенства (1.12)
следует, что только тогда, когда , т.е. отсутствует влияние прочих факторов и всё распределение сконцентрировано на кривой регрессии . В этом случае между Y и X существует функциональная зависимость.

Далее, из равенства (1.12) следует, что тогда и только тогда, когда

= const, т.е. линия регрессии У по X — горизонтальная прямая, проходящая через центр распределения. В этом случае можно сказать, что переменная У не коррелирована с X (рис. 1.2,а, б, в).

Аналогичными свойствами обладает— показатель тесноты связи между X и У.

Часто используют величину

Считают, что она не может быть отрицательной. Значения величины также могут находиться лишь в пределах от нуля до единицы. Это очевидно из формулы (1.13).

Значения лежащие в интервалеявляются показателями тесноты группировки точек около кривой регрессии независимо от её вида (формы связи). Корреляционное отношение связано следующим образом: В случае линейной зависимости между переменными

Разность может быть использована как показатель нелинейности связи между переменными.

При вычислении по выборочным данным получаем выборочное корреляционное отношение. Обозначим его. Вместо дисперсий в этом случае используются их оценки. Тогда формула (1.12) принимает вид
 

Понятие о многомерном корреляционном анализе

Частный коэффициент корреляции. Основные понятия корреляционного анализа, введенные для двумерной модели, можно распространить на многомерный случай. Задачи и предпосылки корреляционного анализа были сформулированы в п. 1.3. Однако если при изучении взаимосвязи переменных по двумерной модели мы ограничивались рассмотрением парных коэффициентов корреляции, то для многомерной модели этого недостаточно. Многообразие связей между переменными находит отражение в частных и множественных коэффициентах корреляции.

Пусть имеется многомерная нормальная совокупность с m признаками В этом случае взаимозависимость между признаками

можно описать корреляционной матрицей. Под корреляционной матрицей будем понимать, матрицу, составленную из парных коэффициентов корреляции (вычисляются по формуле (1,1)):

где — парные коэффициенты корреляции; m — порядок матрицы.

Оценкой парного коэффициента корреляции является выборочный парный коэффициент корреляции, определяемый по формуле (1.2), однако для m признаков формула (9.2) принимает вид

где — порядковые номера признаков.

Как и в двумерном случае, для оценки коэффициента корреляции необходимо оценить математические ожидания и дисперсии. В многомерном корреляционном анализе имеем т математических ожиданий и m дисперсий, а также m(m—1)/2 парных коэффициентов корреляции. Таким образом, нужно произвести оценку 2m+m(m—1)/2 параметров.

В случае многомерной корреляции зависимости между признаками более многообразны и сложны, чем в двумерном случае. Одной корреляционной матрицей нельзя полностью описать зависимости между признаками. Введём понятие частного коэффициента корреляции l-го порядка.

Пусть исходная совокупность состоит из т признаков. Можно изучать зависимости между двумя из них при фиксированном значении l признаков из m-2 оставшихся. Рассмотрим, например, систему из 5 признаков. Изучим зависимости между при фиксированном значении признака В этом случае имеем частный коэффициент корреляции первого порядка, так как фиксируем только один признак.

Рассмотрим более подробно структуру частных коэффициентов корреляции на примере системы из трёх признаков . Эта система позволяет изучить частные коэффициенты корреляции только первого порядка, так как нельзя фиксировать больше одного признака. Частный коэффициент корреляции первого порядка для признаков при фиксированном значении выражается через парные коэффициенты
корреляции и имеет вид

Частный коэффициент корреляции, так же как и парный коэффициент корреляции, изменяется от —1 до +1, В общем виде, когда система состоит из m признаков, частный коэффициент корреляции l-го порядка может быть найден из корреляционной матрицы. Если 1=m—2, то рассматривается матрица порядка m, при— подматрица порядкаl+2, составленная из элементов матрицы , которые отвечают индексам коэффициента частной
корреляции. Например, корреляционная матрица системы из пяти признаков имеет вид

Для определения частного коэффициента корреляции второго порядка, например следует использовать подматрицу четвертого порядка,
вычеркнув из исходной матрицы третью строку и третий столбец, так как признак не рассматривают.

В общем виде формулу частного коэффициента корреляции l-го порядка (1=m—2) можно записать в виде

где — алгебраические дополнения к элементу корреляционной
матрицы — алгебраические дополнения к элементам и ркк корреляционной матрицы

Очевидно, что выражение (1.16) является частым случаем выражения (1.17), в чём легко убедиться, рассмотрев корреляционную матрицу

Оценкой частного коэффициента корреляции l-го порядка является выборочный частный коэффициент корреляции l-го порядка. Он вычисляется на основе корреляционной матрицы, составленной из выборочных парных коэффициентов корреляции:

Формула выборочного частного коэффициента корреляции имеет вид

где — алгебраические дополнения к соответствующим элементам матрицы (1.18).

Частный коэффициент корреляции l-го порядка, вызволенный на основе п наблюдений над признаками, имеет такое же распределение, что и парный коэффициент корреляции, вычисленный наблюдениям. Поэтому значимость частных коэффициентов корреляции оценивают так же, как и в п. 1.6.

Множественный коэффициент корреляции

Часто представляет интерес оценить связь одного из признаков со всеми остальными. Это можно сделать с помощью множественного, или совокупного, коэффициента корреляции

где —определитель корреляционной матрицы—алгебраическое
дополнение к элементу

Квадрат коэффициента множественной корреляции называется

множественным коэффициентом детерминации. Коэффициенты множественной корреляции и детерминации — величины положительные, принимающие значения в интервале Оценками этих

коэффициентов являются выборочные множественные коэффициенты корреляции и детерминации, которые обозначают соответственно и

Формула для вычисления выборочного множественного коэффициента корреляции имеет вид

где —определитель корреляционной матрицы, составленной из выборочных парных коэффициентов корреляции; алгебраическое дополнение к элементу

Многомерный корреляционный анализ позволяет получить оценку функции регрессии — уравнение регрессии. Коэффициенты в уравнении регрессии можно найти непосредственно через выборочные парные коэффициенты корреляции или воспользоваться методом многомерной регрессии, который мы рассмотрим в вопросе 2.7. В этом случае все предпосылки регрессионного анализа оказываются выполненными и, кроме того, связь между переменными строго линейна.

Ранговая корреляция

В некоторых случаях встречаются признаки, не поддающиеся количественной оценке (назовём такие признаки объектами). Попытаемся, например, оценить соотношение между математическими и музыкальными способностями группы учащихся. «Уровень способностей» является переменной величиной в том смысле; что он варьирует от одного индивидуума к другому. Его можно измерить, если выставлять каждому индивидууму отметки. Однако этот способ лишен объективности, так как разные экзаменаторы могут выставить одному и тому же учащемуся разные отметки. Элемент субъективизма можно исключить, если учащиеся будут ранжированы. Расположим учащихся по порядку, в соответствии со степенью способностей и присвоим каждому из них порядковый номер, который назовем рангом. Корреляция между рангами более точно отражает соотношение между способностями учащихся, чем корреляция между отметками.

Тесноту связи между рангами измеряют так же, как и между признаками. Рассмотрим уже известную формулу коэффициента корреляции

Пусть      тогда,    учитывая,

что,можно записать

В зависимости от того, что принять за меру различия между величинами можно получить различные коэффициенты связи между рангами. Обычно используют коэффициент корреляции рангов Кэнделла и коэффициент корреляции рангов Спирмэна р.

Введём следующую меру различия между объектами: будем считать Поясним сказанное на примере. Имеем две последовательности:

Рассмотрим отдельно каждую из них. В последовательности X первой паре элементов —2; 4 припишем значение +1, так как второй паре 2; 5 также припишем значение +1, третьей паре 2; 1 припишем значение —1, поскольку  и т.д. Последовательно перебираем все пары, причём каждая пара должна быть учтена один раз. Так, если учтена пара 2; 1, то не следует учитывать пару 1;    2. Аналогичные действия проделаем с последовательностью У, причём порядок перебора пар должен в точности повторять порядок перебора пар в последовательности X. Результаты этих действий представим в виде табл. 1.3.

Рассмотрим формулу (    1 .22). В нашем случае и равна

количеству пар, участвовавших в переборе. Каждая пара встречается только один раз, поэтому их общее количество равно числу сочетаний из n по 2, т.е. Обозначая получаем формулу коэффициента корреляции рангов Кэнделла:

Теперь рассмотрим другую меру различия между объектами. Если обозначить через средний ранг последовательности X, через — средний ранг последовательности Т, тоПоскольку ранги последовательности X и Y есть числа натурального ряда, то их сумма равна     а    средний    ранг    
Тогда Сумма
чисел натурального ряда равна

Тогда 

Введём новую величину d, равную разности между рангами: d=X—Y, и определим через неё величину. Имеем:

Коэффициент корреляции рангов Спирмэна

У коэффициентов разные масштабы, они отличаются шкалами измерений. Поэтому на практике нельзя ожидать, что они совпадут. Чаще всего, если значения обоих коэффициентов не слишком, близки к 1, p; по абсолютной величине примерно на 50% превышает Выведены неравенства, связывающие Например, при больших n можно пользоваться следующим приближённым соотношением:       или

Коэффициент p легче рассчитать, однако с теоретической точки зрения больший интерес представляет коэффициент

При вычислении коэффициента корреляций рангов Кэнделла для подсчёта s можно использовать следующий приём:    одну из последовательностей упорядочивают так, чтобы её элементы были числами натурального ряда; соответственно изменяют и другую последовательность. Тогда сумму можно подсчитывать лишь по последовательности К, так как все равны +1.

Если нельзя установить ранговое различие нескольких объектов, говорят, что такие объекты являются связанными. В этом случае объектам приписывается средний ранг. Например, если связанными являются объекты 4 и 5, то им приписывают ранг 4.5; если связанными являются объекты 1, 2, 3, 4 и 5, то их средний ранг (1+2+3+4+5)/5=3. Сумма рангов связанных объектов должна быть равна сумме рангов при ранжировании без связей. Формулы коэффициентов корреляции для в этом случае также можно вывести из формулы обобщённого коэффициента корреляции, только знаменатель выражения (1.21) в этом случае не равен n(n—1)/2. Если / последовательных членов связаны, то все оценки, относящиеся к любой вобранной из них паре, равны нулю; число таких пар t(t—1), Следовательно,

Соответственно для другой последовательности

где t и u—число связанных пар в последовательностях.

Обозначая получаем

Аналогично находим выражение для р. Только в этом случае

 , где е и г — число связанных пар в
последовательностях, а

Если имеется несколько последовательностей, то возникает необходимость определить общую меру согласованности между ними. Такой мерой является коэффициент копкордации.

Пусть ь — число последовательностей, т — количество рангов в каждой последовательности. Тогда коэффициент конкордации

где d — фактически встречающееся отклонение от среднего значения суммы рангов одного объекта.

Коэффициент корреляции рангов может быть использован для быстрого оценивания взаимосвязи между признаками, не имеющими нормального распределения, и полезен в тех случаях, когда признаки поддаются ранжированию, но не могут быть точно измерены.

Пример:

Для данных табл. 13 найти выборочный коэффициент корреляции, проверить его значимость на уровне 

Решение. Для вычислений составим таблицу. Находим суммы

 и заносим их в таблицу. Вычислим

Подставляя полученные значения сумм в (8), найдем выборочный коэффициент корреляции

Проверим значимость  на уровне  Для этого вычислим статистику

По таблице распределения П6 Стьюдента  находим критическое значение  Так как  то считаем  значимым.

Пример:

Для данных табл. 13 найти корреляционное отношение 

Для вычисления эмпирического корреляционного отношения найдем групповые средние 

Тогда

Вычисляем корреляционное отношение