Как составить ряд фибоначчи - Autoru.top - решение различных проблем

Числа Фибоначчи — это числа такой последовательности, в которой первые два элемента — 0 и 1, а каждый последующий элемент равен сумме двух предшествующих. Выглядит это так:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, …

Примечание Иногда 0 опускается, и в этом случае ряд начинается с 1, но мы будем использовать последовательность с 0 на первой позиции.

Формула записывается следующим образом:

Вычисление ряда Фибоначчи — стандартная задача, которую задают на собеседованиях, чтобы проверить кандидата на понимание алгоритмов. Не так популярна, как сортировка, но всё же.

Давайте вычислим ряд и его отдельные элементы, использовав для этого язык Java.

Цикл
Рекурсия
Stream
Тест

Вычислить ряд Фибоначчи циклом

Предположим, что нам нужно вывести на экран первые десять чисел последовательности Фибоначчи. Мы помним, что:

первый элемент ряда — 0, второй — 1;
каждый последующий — сумма двух предыдущих.

Тогда наша последовательность будет иметь такой вид:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34

Но нам нужно вывести результат с использованием программы. Держите код с объяснениями в комментариях:

public class Main{
	public static void main(String[] args) {
	    
	        //Объявляем переменные при известных первых двух:
		int num0 = 0;
		int num1 = 1;
		int num2;
		
		//Первые две переменные выводим вне цикла:
		System.out.print(num0 + " " + num1 + " ");
		for(int i = 3; i <= 10; i++){
			num2 = num0 + num1;
			
			//Каждый следующий элемент выводим в цикле:
			System.out.print(num2 + " ");
			
			//Предыдущим двум переменным присваиваем новые значения:
			num0 = num1;
			num1 = num2;
		}
	}
}

Выполнение завершится на десятом элементе. Количество элементов при этом можно менять, изменив значение в условиях цикла.

Найти число Фибоначчи через рекурсию

Рекурсивная функция — это такая функция, которая вызывает саму себя. Она также неплохо отрабатывает в алгоритмических задачах вроде чисел Фибоначчи, но ей требуется больше времени.

Почему так происходит? Всё дело в том, что рекурсивная функция приводит к многоразовому вызову одних и тех же операций. Именно из-за этого её не рекомендуется использовать, но если уж на собеседовании прозвучит такая задача, вы будете готовы.

Рассмотрим пример, в котором нам нужно получить n-ое число в ряде Фибоначчи:

public int fibonacciValue(num) {
  if (num <= 1) {
     return 0;
  } else if (num == 2) {
     return 1;
  } else {
     return fibonacciValue(num - 1) + fibonacciValue(num - 2);
  }
}

Если в качестве num задать большое значение, программа зависнет.

Тип int в Java может хранить значения до 2147483647, так что вычислить получится лишь первые 46 чисел Фибоначчи. Тип long хранит до 9223372036854775807, а это 91 число Фибоначчи. Класс BigInteger призван работать с действительно большими значениями, вот только само выполнение программы это никак не ускорит.

Использовать для вычисления Stream

Stream в Java — это компонент для самостоятельной внутренней итерации своих же элементов. Подробнее о нём вы можете почитать в нашей статье о Java Stream API.

И, разумеется, Stream подходит для вычисления элементов последовательности Фибоначчи:

Stream.iterate(new int[]{0, 1}, arr -> new int[]{arr[1], arr[0]+ arr[1]})
    
   //Задаём лимит значений:
   .limit(num)
   
   //Отбираем по первому элементу каждого массива:
   .map(y -> y[0])
   
   //Выводим в консоль:
   .forEach(x -> System.out.println(x));

В данном примере метод iterate() будет возвращать упорядоченный поток, ограниченный лимитом в num значений и созданный с применением функции к начальному массиву arr. В консоль будет выведено следующее:

{0,1}
{1,1}
{1, 2}
{2, 3}
{3, 5}
{5, 8}
{8, 13}
{13, 21}
…

А так мы получим сумму чисел последовательности по элемент num включительно:

int fibonacciValuesSum = Stream.iterate(new int[]{0, 1}, arr -> new int[]{arr[1], arr[0]+ arr[1]})
     .limit(num)
     .map(y -> y[0])
     .mapToInt(Integer::intValue)
     .sum();
System.out.println(fibonacciValuesSum);

Математический тест

Любите математику? Попробуйте решить наш математический тест:

Источник

На чтение 3 мин Просмотров 192к. Опубликовано 27.05.2022

Содержание

Введение
Числа Фибоначчи циклом while
Числа Фибоначчи циклом for
Числа Фибоначчи рекурсией
Заключение

Введение

В статье разберём 3 способа получения ряда Фибоначчи на Python. Первые два способа будут с использованием циклов, а третий – рекурсивный.

Числа Фибоначчи – бесконечная последовательность чисел, каждое из которых является суммой двух предыдущих и так до бесконечности.

Формула:

Ряд Фибоначчи

Числа Фибоначчи циклом while

Для начала создадим переменную, в которую будет вводиться длина ряда:

n = int(input('Введите длину ряда: '))

Далее создадим две переменные (f1 и f2), которые будут равняться начальным единицам и выведем их:

f1 = f2 = 1
print(f1, f2, end=' ')

Создадим переменную i, которая будет равняться двум:

Добавим цикл, который не закончится, пока переменная i будет меньше переменной n:

while i < n:
	f1, f2 = f2, f1 + f2 # f1 приравнивается к f2, f2 приравнивается к f1 + f2
	print(f2, end=' ') # Выводится f2
	i += 1
print()

Числа Фибоначчи на Python:

n = int(input('Введите длину ряда: '))
f1 = f2 = 1
print(f1, f2, end=' ')

i = 2
while i < n:
	f1, f2 = f2, f1 + f2 # f1 приравнивается к f2, f2 приравнивается к f1 + f2
	print(f2, end=' ') # Выводится f2
	i += 1
print()

Числа Фибоначчи циклом for

Создадим переменную, в которую будет вводиться длина ряда:

n = int(input('Введите длину ряда: '))

Далее создадим две переменные (f1 и f2), которые будут равняться начальным единицам и выведем их:

f1 = f2 = 1
print(f1, f2, end=' ')

Добавим цикл, который начинается с 2, и заканчивается на n:

for i in range(2, n):
    f1, f2 = f2, f1 + f2 # f1 приравнивается к f2, f2 приравнивается к f1 + f2
    print(f2, end=' ') # Выводится f2

Числа Фибоначчи на Python:

n = int(input('Введите длину ряда: '))
f1 = f2 = 1
print(f1, f2, end=' ')
 
for i in range(2, n):
    f1, f2 = f2, f1 + f2
    print(f2, end=' ')

Числа Фибоначчи рекурсией

Для начала создадим рекурсивную функцию, назовём её fibonacci и добавим ей параметр n:

Добавим условие, что если n = 1, или n = 2, то возвращается единица, так как первый и второй элементы ряда Фибоначчи равны единице. Если же условие не срабатывает, то элементы складываются:

def fibonacci(n):
    if n == 1 or n == 2: # Если n = 1, или n = 2, вернуть в вызывающую ветку единицу, так как первый и второй элементы ряда Фибоначчи равны единице.
        return 1
    return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)

Числа Фибоначчи на Python:

def fibonacci(n):
    if n == 1 or n == 2:
        return 1
    return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)


n = int(input())
print(fibonacci(n))

Заключение

В данной статье мы научились вычислять n-ное число ряда Фибоначчи на Python. Надеюсь Вам понравилась статья, удачи! 🙂

Источник

Загрузить PDF

Последовательность Фибоначчи – это ряд чисел, в котором каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Числовые последовательности часто встречаются в природе и искусстве в виде спиралей и «золотого сечения». Самый простой способ вычислить последовательность Фибоначчи – это создать таблицу, но такой метод не применим к большим последовательностям. Например, если нужно определить 100-й член последовательности, лучше воспользоваться формулой Бине.

1
Нарисуйте таблицу с двумя столбцами. Количество строк таблицы зависит от количества чисел последовательности Фибоначчи, которые нужно найти.
- Например, если нужно найти пятое число последовательности, нарисуйте таблицу с пятью строками.
- Используя таблицу, нельзя найти некоторое случайное число без вычисления всех предыдущих чисел. Например, если нужно найти 100-е число последовательности, нужно вычислить все числа: от первого до 99-ого. Поэтому таблица применима только для нахождения первых чисел последовательности.
2
В левом столбце напишите порядковые номера членов последовательности. То есть напишите цифры по порядку, начиная с единицы.
- Такие цифры определяют порядковые номера членов (чисел) последовательности Фибоначчи.
- Например, если нужно найти пятое число последовательности, в левой колонке напишите следующие цифры: 1, 2, 3, 4, 5. То есть нужно найти с первого по пятое число последовательности.
3
В первой строке правой колонки напишите 1. Это первое число (член) последовательности Фибоначчи.
- Имейте в виду, что последовательность Фибоначчи всегда начинается с 1. Если последовательность начинается с другого числа, вы неправильно вычислили все числа вплоть до первого.
4
К первому члену (1) прибавьте 0. Получится второе число последовательности.
- Запомните: чтобы найти любое число последовательности Фибоначчи, просто сложите два предыдущих числа.
- Чтобы создать последовательность, не забудьте о 0, который стоит перед 1 (первым членом), поэтому 1 + 0 = 1.
5
Сложите первый (1) и второй (1) члены. Получится третье число последовательности.
- 1 + 1 = 2. Третий член равен 2.
6
Сложите второй (1) и третий (2) члены, чтобы получить четвертое число последовательности.
- 1 + 2 = 3. Четвертый член равен 3.
7
Сложите третий (2) и четвертый (3) члены. Получится пятое число последовательности.
- 2 + 3 = 5. Пятый член равен 5.
8

Сложите два предыдущих числа, чтобы найти любое число последовательности Фибоначчи. Этот метод основан на формуле: $F_{{n}}=F_{{n-1}}+F_{{n-2}}$ .^[1] Эта формула не является замкнутой, поэтому при помощи этой формулы нельзя найти любой член последовательности без вычисления всех предыдущих чисел.

Реклама

1
2

В формулу подставьте порядковый номер числа (вместо ). – это порядковый номер любого искомого члена последовательности.
3

В формулу подставьте золотое сечение. Золотое сечение приблизительно равно 1,618034; подставьте в формулу это число.^[5]
4

Вычислите выражение в скобках. Не забывайте про правильный порядок выполнения математических операций, в котором выражение в скобках вычисляется в первую очередь:.
5

Возведите числа в степени. Возведите в соответствующие степени два числа, которые находятся в числителе.
6

Вычтите два числа. Перед тем как приступить к делению, вычтите числа, которые находятся в числителе.
7
Полученный результат разделите на квадратный корень из 5. Квадратный корень из 5 приблизительно равен 2,236067.
- В нашем примере: ${frac {11,180339}{2,236067}}=5,000002$ .
8
Полученный результат округлите до ближайшего целого числа. Последний результат будет десятичной дробью, которая близка к целому числу. Такое целое число представляет собой число последовательности Фибоначчи.
- Если в вычислениях использовать неокругленные числа, вы получите целое число. Работать с округленными числами намного легче, но в этом случае вы получите десятичную дробь.^[6]
- В нашем примере вы получили десятичную дробь 5,000002. Округлите ее до ближайшего целого числа и получите пятое число последовательности Фибоначчи, которое равно 5.
Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 27 790 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Уровень сложности
Простой

Время на прочтение
4 мин

Количество просмотров 2.7K

Ряд Фибоначчи

Чи́сла Фибона́ччи (вариант написания — Фибона́чи^[2]) — элементы числовой последовательности

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, … (последовательность A000045 в OEIS),

в которой первые два числа равны 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел^[3]. Названы в честь средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи)^[4].

— Википедия

Ряд Фибоначчи

Ряд Фибоначчи в природе

Ряд Фибоначчи часто упоминается на собеседованиях, потому что в нем демонстрируется множество мощных методов, включая рекурсию. Он является отличным примером того, что мы называем мемоизацией(запоминанием). Понимание ряда Фибоначчи и его работы очень полезно.
Математически ряд Фибоначчи представляет собой последовательность чисел, которые следуют этому уравнению: F(n) = F(n-1) + F(n-2). Эта последовательность встречается в различных интересных контекстах, например, в природе, в раковинах, спиральных структурах и галактиках, а также в дизайне римских полов, и даже брокеры используют ряд Фибоначчи для прогнозирования акций.

func fib(_ n: Int) -> Int {
    if n == 0 {
        return 0
    } else if n == 1 {
        return 1
    } else {
        return fib(n - 1) + fib(n - 2)
    }
}

В коде серия Фибоначчи выглядит следующим образом: для F(0) и F(1) возвращаем их значения напрямую, а затем алгоритм сводится к этой строке — return fib(n-1) + fib(n-2). Это является ключевым моментом алгоритма и демонстрирует использование рекурсии.
Однако у ряда Фибоначчи есть проблема: с увеличением чисел в последовательности алгоритм требует все больше времени для вычисления. Это связано с тем, что время, необходимое для вычислений, растет экспоненциально, и сложность алгоритма составляет O(2^n). Это делает вычисления очень затратными.
Наша задача — найти способ оптимизировать этот алгоритм и сделать его быстрее. Именно здесь на помощь приходит мощная техника, известная как мемоизация, которую важно знать и понимать.

Мемоизация

Чтобы понять мемоизацию, нужно рассмотреть проблему с рядом Фибоначчи. Для простых чисел, таких как число до F(5), ряд Фибоначчи вычисляется достаточно быстро. Однако, при вычислении чисел более высокого порядка, повторное вычисление чисел становится очень затратным по времени.

Мемоизация — это техника оптимизации, ускоряющая алгоритмы за счет кэширования или хранения результатов вычислений для их использования в будущих вычислениях. В случае ряда Фибоначчи, мы можем создать словарь (назовем его «Memo») для хранения ранее вычисленных чисел. Затем, когда мы вычисляем каждое число ряда Фибоначчи, мы сохраняем результат в массиве и возвращаем его. Таким образом, в следующий раз нам не нужно вычислять это число снова и снова.

var memo = [Int: Int]()

func fib(_ n: Int) -> Int {
    if n == 0 { return 0 }
    else if n == 1 { return 1 }
  
    if let result = memo[n] { return result }
  
    memo[n] = fib(n - 1) + fib(n - 2)
    return memo [n]!
}

Благодаря мемоизации, эффективность алгоритма возрастает значительно. Теперь вместо того, чтобы за 19 секунд вычислить ряд Фибоначчи из 30 чисел, мы можем вычислить тысячи чисел. Это увеличение на 3333%. Мы превратили алгоритм из экспоненциального (O(2^n)) в линейный (O(n)).

Именно поэтому ряд Фибоначчи и мемоизация являются отличными примерами для интервью. Они объединяют рекурсию и мемоизацию, показывая, как сделать затратный алгоритм быстрее. Знание и понимание ряда Фибоначчи и мемоизации помогут вам решать подобные задачи быстро и эффективно.

import UIKit

func fibNaive(_ n: Int) -> Int {
    print(n)
    if n == 0 {
        return 0
    } else if n == 1 {
        return 1
    } else {
        return fibNaive(n - 1) + fibNaive(n - 2)
    }
}

fibNaive(20) // 20 = 13s / 22 = 54 s
var memo = [Int: Int]()

func fib(_ n: Int) -> Int {
    if n == 0 { return 0}
    else if n == 1 { return 1 }

    if let result = memo[n] { return result }

    memo[n] = fib(n - 1) + fib(n - 2)

    return memo[n]!
}

fib(22) // 90 max

Что касается создания одного из них с нуля, то это очень просто. Представляю к вашему вниманию две реализации: одну наивную, которая ничего не запоминает и не хранит, и вторую, где мы используем мемоизацию и храним наши результаты по мере их вычисления.

На мгновение остановимся на мемоизированном варианте, чтобы показать, сколько времени требуется для выполнения очень маленького вычисления Фибоначчи для числа 20. Если мы запустим его для простого числа, например, 20, вы увидите, что счетчик работает, пересчитывая одни и те же числа снова и снова. В среднем это занимает около 13 секунд, что не так уж и много. Теперь, если я увеличу его на один или два, это займет еще больше времени. Это экспоненциальный рост, увеличивающийся в размерах, и для очень маленьких приращений числа требуется все больше и больше времени. Именно так работает ряд Фибоначчи, и именно поэтому он так затратен.

Теперь давайте сравним это с мемоизированной версией и посмотрим, каково это — хранить эти значения. Во втором случае мы будем хранить наши результаты в словаре. Каждый раз, когда мы вычисляем F(n-1) + F(n-2), мы будем хранить его в ключе, представленном N, каким бы ни было число в этот момент (20, 21, 22 и т. д.). Мы просто сохраним этот результат. Затем, по мере выполнения последовательных вычислений, если мы можем извлечь результат из словаря, мы просто вернем его, не вычисляя его снова.

Заключение:

Это удобно не только для рядов Фибоначчи, но и для всего, что связано с дорогостоящими вычислениями, которые можно сохранить, кэшировать и использовать в будущих результатах.

В этом и заключается сила мемоизации.

Она используется для самых разных вещей.

Ряд Фибоначчи — отличный пример. Когда дело доходит до реального интервью.

Я слышал, как людей просили воспроизвести ряд Фибоначчи.

Это не огромный алгоритм, он сводится к одной строчке и двум случаям: конец равен нулю и единице. Но мой совет — просто запомните эту строчку, потому что она демонстрирует такую вещь как рекурсия.

Как только вы это поймете, очень просто перейти к мемоизированному примеру, где вы сможете продемонстрировать как взять трудозатратный алгоритм и сделать его более эффективным. Вы знаете — это называется мемоизацией.

Источник

Числа Фибоначчи – это ряд чисел, в котором каждое последующее число равно сумме двух предыдущих:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 и т. д.

То есть последовательность всегда начинается с двух единиц. А каждое следующее число является определяется по формуле:

Для определения чисел Фибоначчи часто используется рекурсивный алгоритм:

Если n = 1 или n = 2, вернуть 1 (поскольку первый и второй элементы ряда Фибоначчи равны 1).
Вызвать рекурсивно функцию с аргументами n-1 и n-2.
Результат двух вызовов сложить и вернуть полученное значение.

Реализация с использованием рекурсии

Реализация на Си

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdio.h>
int fibonacci(int N)  // рекурсивная функция
{
  if (N == 1 || N == 2)
    return 1; // первые 2 числа равны 1
  return fibonacci(N — 1) + fibonacci(N — 2); // складываем предыдущие 2 числа
}
int main()
{
  int N;
  printf(«N=»);
  scanf(«%d», &N); // вводим число N
  for (int i = 1; i <= N; i++) // В цикле выводим N чисел Фибоначчи
    printf(«%d «, fibonacci(i));
  getchar(); getchar();
  return 0;
}

Результат выполнения

У решения с рекурсией есть большая проблема: пересекающиеся вычисления. Когда вызывается fibonacci(N), то подсчитываются значения функции N-1 и для N-2. Но если требуется вычислить fibonacci(N-1), то значения для N-2 и N-3 вычисляются заново.

Поэтому поставленную задачу определения чисел Фибоначчи можно решить без использования рекурсии.

Реализация с использованием цикла

В этом алгоритме используется свойство, что для определения следующего числа Фибоначчи используются только два предыдущих значения.

Алгоритм при этом будет следующий

Ввести номер N определяемого элемента.
Проинициализировать два первых элемента a и b значениями 1, и если N<=2 вывести 1
Выполнять нижеследующие действия N-2 раза
- Сложить a и b, присвоив результат третьей переменной c.
- Поменять начальные значения: a = b, b = c
Вывести значение b.

Реализация на Си

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21

#include <stdio.h>
int main()
{
  int N;
  printf(«N=»); // вводим число N
  scanf(«%d», &N);
  int a = 1, b = 1, c;
  if (N <= 2) // Первые два числа (a и b) равны 1
    printf(«1 «);
  else
  {
    for (int i = 3; i <= N; i++)
    {
      c = a + b; // вычисляем следующее число как сумму двух предыдущих
      a = b; b = c; // перемещаем два предыдущих числа
    }
    printf(«%d «, b); // выводим последнее число
  }
  getchar(); getchar();
  return 0;
}

Результат выполнения — такой же, как в предыдущем случае.

Назад: Алгоритмизация

Источник

Вычислить ряд Фибоначчи циклом

Найти число Фибоначчи через рекурсию

Использовать для вычисления Stream

Математический тест

Введение

Числа Фибоначчи циклом while

Числа Фибоначчи циклом for

Числа Фибоначчи рекурсией

Заключение

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Ряд Фибоначчи

Мемоизация

Заключение:

Реализация с использованием рекурсии

Реализация с использованием цикла

Не пропустите также: