Содержание:
Определение производной, её геометрический смысл:
Рассмотрим функцию 
называется разностным отношением (в данной точке). Разностное отношение — это функция, которая определена для всех значений аргумента, кроме 
. Это дает нам право рассматривать вопрос о существовании предела функции (11.1.1) при 
.
Определение 11.1.1. Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки 
и пусть х — некоторая точка этой окрестности, 
. Если отношение
имеет предел при 
, то этот предел называется производной функции f e точке
и обозначается 
, т.е.
Если ввести обозначения 
и 
, то формула (11.1.2) запишется в виде:
Если для некоторого значения 
выполняется условие
, то говорят, что для этого значения 
существует бесконечная производная, равная либо
,либо
.
В дальнейшем под выражением «функция имеет производную» мы будем понимать, что функция имеет конечную производную, которую будем обозначать 
Определение 11.1.2, Если функция f определена в правосторонней (левосторонней) окрестности точки
или существует конечный или бесконечный предел 
то он называется конечной или бесконечной производной справа (слева) функции f в точке х и обозначается f+(xq) (или f’.(x0)).
Из теоремы 10.2.1 об односторонних пределах следует, что функция f, определенная в некоторой окрестности точки 
, имеет производную 
тогда и только тогда, когда 
суше-ствуют и
. В этом случае
Заметим, что если у функции 
существуют правая и левая производные в точке 
, но эти производные не равны друг другу, то у этой функции не существует производной в точке 
Например, функция
не имеет производной в точке 
, так как,
. Поскольку правая производная равна:
а левая производная равна: 
Понятие производной в данной точке связано с понятием касательной к графику функции в этой точке. Чтобы выяснить эту связь, определим, прежде всего, касательную.
Пусть функция
определена на интервале (а; b), непрерывна в точке 
. Уравнение секущей, как уравнение прямой, проходящей через две точки 
имеет вид
или
или
где
Если существует предельное положение секущей 
при стремлении точки 
графика функции к точке 
(или, что то же самое, при стремлении 
), то это предельное положение называется касательной к графику функции 
в данной фиксированной точке
этого графика. Отсюда следует, что для того, чтобы существовала касательная к графику функции 
в точке 
достаточно, чтобы существовал предел
причем указанный предел 
равен углу наклона касательной к оси Ох.
Предположим, что функция 
имеет в данной точке
изводную. Докажем, что существует касательная к графику фу ции 
в точке 
, причем угловой коэффициент касательной (т.е. тангенс угла наклона ее к оси Ох) равен производной 
.
Рассмотрим рис. 11.1. Из треугольника 
найдём
и вычислим предел k(х) при
.
Поскольку в точке 
существует производная, то существует пред
но тогда и существ»
. Отсюда и из непрерывности функции f(x) следует, что 
. А это означает, что существует касателые графику функции y=f(x) в точке 
, угловой коэффициент ко равен производной функции
Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями
Предположим, что все функции, рассматриваемые ниже, определены в некоторой окрестности точки 
Теорема 11.2.1. Если функция f имеет производную в некоторой точке 
, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Рассмотрим разность
и соответствующее приращение функции 
. Найдём предел приращения функции при 
:
т.е. бесконечно малому приращению независимой переменной соответствует бесконечно малое приращение функции, значит, / непрерывна в точке 
Заметим, что обратная теорема не верна, т.е. функция может быть непрерывной в точке 
но не иметь производной в этой точке. Примером служит функция 
которая непрерывна в точке х=0, но, как мы уже показывали в п. 11.1. не имеет в этой точке производной
Теорема 11.2.2. Если функции
имеют производные в данной точке 
то и сумма функций
, разность функций
имеют производные в точке 
которые вычисляются по формулам:
Доказательство. Пусть функции 
имеют производные в точке 
. Докажем, что их сумма
так-же имеет в точке 
производную и
Обозначим
и вычислим приращение функции 
Составим разностное отношение 
, если 
, и вычислим предел этого разностного отношения
Предел суммы равен сумме пределов, так как пределы слагаемых существуют. Пределы слагаемых равны, соответственно, 
. Следовательно, в точке
предел правой части равенства существует и он равен 
• Значит, существует предел левой части, который силу определения производной равен
. Поскольку
Теорема 11.2.3. Пусть функции 
имеют производные 
точке 
, тогда и произведение 
имеет в точке 
производную, причём
а если 
, то и частное 
также имеет в точке 
проводную, вычисляемую по формуле:
Доказательство. Пусть 
. Тогда приращение функции равно 
. Обозначая 
, выразим
Подставим эти выражения в формулу приращения функции f, получим:
Составим разностное отношение
Рассматривая предел разностного отношения при 
, т.е. при 
, будем иметь
или
так как 
(функция 
имеет производную в точке 
следовательно, она непрерывна, и значит
).
Пуста 
. Тогда существует такое h>0, что
для всех 
. Выбрав 
такое, что 
, рассмотрим приращение функции
Поэтому 
Вычислив предел разкостного отношения при 
и воспользовавшись определением производной, как и при доказательстве предыдущей формулы, 
Следствие 11.2.1. Пусть функция f имеет производную в точке 
, тогда функция cf(x) (с- постоянная) также имеет в этой точке производную, причём 
‘.
Следствие 11.2.2. Пусть функции 
имеют производные в точке 
, тогда функция 
также имеет в точке 
производную, причём 
Производные сложной и обратной функций
Определим правила, позволяющие вычислять производные обратных и сложных функций.
Теорема 11.3.1. Пусть функция f определена, непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки 
и пусть в точке хо существует производная 
, тогда и обратная функция 
, определенная в некоторой окрестности точки 
имеет производную в точке 
, причём
т.е. производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.
Доказательство. Зафиксируем некоторую окрестность точки 
, на которой функция f определена, непрерывна и строго монотонна и рассмотрим функцию только в этой окрестности. Тогда существует однозначная обратная функция непрерывная, строго монотонная на некотором интервале, содержащем точку 
(на образе указанной выше окрестности точки 
и поэтому условия 
эквивалентны).
Зададим аргументу у функции 
произвольное достаточно малое и отличное от нуля приращение 
. Этому приращению соответствует приращение обратной функции
, отличное от нуля. Тогда отношение 
имеет предел и при 
и при 
, т.е.
, поэтому
Эта теорема допускает наглядную геометрическую интерпретацию (рис. 11.2). 
Известно, что производная функции в точке 
равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке
Поскольку у функции 
аргументом является переменная у, то в силу геометрической интерпретации производной можно утверждать, что производная обратной функции с геометрической точки зрения — это тангенс угла, который образует касательная к графику функции 
в точке М, с положительным направлением оси Оу, т.е. 
.
Поскольку 
, то,
Пример №1
Найти
, если 
Решение:
Имеем 
тогда 
Теорема 11.3.2. Пусть 
— сложная функция, и пусть функция 
имеет производную в точке 
, а функция 
имеет производную в точке 
. Тогда сложная функция 
так же имеет производную в точке
причём:
Доказательство. Придадим приращение
независимой переменной х функции 
. Этому приращению соответствует некоторое приращение 
функции у, равное 
. Пусть 
. Тогда приращению 
соответствует приращение функции 
и пус^ оно не Равно НУЛЮ
Составим разностное отношение 
, которое представим в виде
поскольку 
. Из непрерывности Дх Ау Ах
функции 
следует, что, при 
. Следовательно,
Заметим, что, используя правило вычисления производной сложной функции, можно находить производные функций, заданных неявно
Действительно, пусть функция 
задана неявно уравнением F(x,y)= 0. Вычисляя производную правой и левой части тождества
как производную сложной функции, находим 
разрешая полученное равенство после вычисления производной относительно 
.
Пример №2
Найти 
, если :
Решение:
Дифференцируем данное уравнение по х, считая у функцией от х:
Таблица производных
Для непосредственного вычисления производной
функции 
на основании определения производной выполняют операции по следующему правилу:
- выбирают приращение аргумента
, находят соответствующее приращение функции и составляют разностное отношение ; - преобразуют разностное отношение;
- вычисляют предел преобразованного разностного отношения, при
, находят соответствующее приращение функции 
и составляют разностное отношение 
;
Если предел существует, то и производная существует и она равна пределу разностного отношения.
Применим это правило для определения производных простейших функций.
Свойство 11.4.1. у = с (const).
,т.е. производная постоянной, равна нулю.
Свойство 11.4.2. у = sin x . 
Свойство 11.4.3. у = cos x.
Свойство 11.4.4. 
Свойство 11.4.5. у = tg x. Применим правило для производной частного двух функций:
Свойство 11.4.6. у = ctgx Применяя правило дифференцирования частного, будем иметь:
Свойство 11.4.7. 
Свойство 14.4.8. 
. Пользуясь определением логарифма, мы можем представить нашу функцию в виде сложной функции 
. По правилу вычисления производной сложной функции, получим 
Свойство 11.4.9. у = arcsinх. Если 
то функция 
обратная по отношению к функции x = siny, и применив правило вычисления производной обратной функции, имеем: 
, причем у радикала надо брать знак «+», т.к. cos y имеет в интервале 
знак«+». Аналогично,
Свойство 11.4.10. у = arctgx. Если
то Функция у = arctg x обратная по отношению к функции x = tg у ; следовательно, 
. Аналогично
Свойство 11.4.11. 
, где u и v функции от х ( называется степенно-показательной функцией). Воспользовавшись определением логарифма, заданную функцию 
можно представить в виде 
. Применяя правило вычисления производной сложной функции, получим:
Свойство 11.4.12. 
, где f(x) — постоянно положительная функция. Применяя правило вычисления производной сложной функции, получим 
. Выражение 
называется логарифмической производной.
Приведём таблицу производных простейших элементарных функций:
Пример №3
Вычислить производную функции 
Решение:
Воспользовавшись формулой вычисления производной частного, получим:
- Заказать решение задач по высшей математике
Пример №4
Вычислить производную функции 
;
Решение:
Воспользовавшись формулой вычисления производной произведения, получим:
Пример:
Вычислить производную функции у = In arcsin/6х;
Решение:
Воспользовавшись формулой вычисления производной сложной функции, получим:
Выведем ещё формулу для вычисления производной параметрически заданных функций, т.е. функций, заданных формулами вида
Если функции x = x(t) И y = y(t) имеют в точке
производные и если 
, то параметрически заданная функция
также имеет в точке 
производную, причём
В самом деле, по правилу вычисления производной сложной функции имеем 
. Поскольку t=t(x) — функция, обратная к функции x=x(t), то 
. Тогда, подставив значение производной 
в формулу
.получим (11.4.1).
Производные высших порядков
Производная 
функции 
, определенной на интервале (а, b) и имеющей производную в каждой точке этого интервала (a,b), представляет собой функцию, также определенную на интервале (a,b). И если эта функция
имеет производную в некоторой точке, то можно ввести следующее определение:
Определение 11.5.1. Пусть функция f определённая на интервале (а.b), в каждой точке 
имеет производную 
и пусть 
. Производная функции 
в точке 
называется второй производной функции f и обозначается 
,
т.е. 
После того, как введено определение второй производной, можно последовательно ввести определение третьей производной, затем четвертой производной, и т.д. Если предположить, что уже введено определение (n-1)-ой производной и что (n-1)-ая производная имеет производную в некоторой точке 
интервала (a,b),то эту производную называют n-ой производной (или производной n-ого порядка) функции 
в точке 
и обозначают
или
Кроме того считают, что 
. Ясно, что 
— Заметим, что если функция f имеет в точке
. производную порядка n, т.е. если существует
. то отскг следует, в силу определения производной, что в некоторой о ности существуют все производные низших порядков.
Определение 11.5.2. Функция f называется n раз непрерывной дифференцируемой на некотором промежутке, если на этом промежутке существует непрерывная производная n-ого порядка
функции f.
По индукции можно доказать, что: 
в частности , если
Кроме того, по индукции можно доказать, что сумма функций,, слагаемые которой имеют производные n-го порядка, также имеет производную n-го порядка, вычисляемую по формуле:’
и произведение функций имеет производную n-го порядка, вычисляемую по формуле Лейбница:
где 
— число сочетаний из n элементов по к: 
Рассмотрим некоторые производные 2-го порядка:
— для сложной функции 
вторая производная вычисляется по формуле:
— для обратной функции 
вторая производная вычисляется по формуле;
так как 
для функции 
заданной параметрически, производная второго порядка вычисляется по формуле:
Действительно, так как
, то
Пример №5
Найти 
если 
.
Решение:
Полагая в формуле Лейбница (11.5.2) 
,
и учитывая, что 
, получим:
Подчеркнем, что формула Лейбница особенно эффективна в том случае, когда одна из перемножаемых функций имеет лишь конечное число отличных от нуля производных и не представляет затруднения вычисление всех производных другой из перемножаемых функций.
- Приложения производной функции одной переменной
- Исследование поведения функций
- Предел и непрерывность функции двух переменны
- Дифференцируемость функции нескольких переменных
- Метод Гаусса — определение и вычисление
- Прямая линия на плоскости и в пространстве
- Плоскость в трехмерном пространстве
- Функция одной переменной
plyengsat609
Вопрос по алгебре:
Составить разностное отношение,если:
1) f(x) = 4x
2)f(x)=x-1
3)f(x)=4x^2
4)f(x)=x^2+2
5)f(x)=x^3-x^2
6)f(x)-2x^3+x
Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?
Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!
Ответы и объяснения 1
bated
F(x)=4x
f(x+h)=4(x+h)
lim=4x+4h-4x снизу делим это всё на h (дробь)=4
Знаете ответ? Поделитесь им!
Гость ?
Как написать хороший ответ?
Как написать хороший ответ?
Чтобы добавить хороший ответ необходимо:
- Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете
правильный ответ; - Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не
побуждал на дополнительные вопросы к нему; - Писать без грамматических, орфографических и
пунктуационных ошибок.
Этого делать не стоит:
- Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся
уникальные и личные объяснения; - Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не
знаю» и так далее; - Использовать мат — это неуважительно по отношению к
пользователям; - Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.
Есть сомнения?
Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует?
Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие
вопросы в разделе Алгебра.
Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи —
смело задавайте вопросы!
Алгебра — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики.
Найди верный ответ на вопрос ✅ «Составить разностное отношение, если: 1) f (x) = 4x 2) f (x) = x-1 3) f (x) = 4x^2 4) f (x) = x^2+2 5) f (x) = x^3-x^2 6) f (x) — 2x^3+x …» по предмету 📙 Алгебра, а если ответа нет или никто не дал верного ответа, то воспользуйся поиском и попробуй найти ответ среди похожих вопросов.
Искать другие ответы
Главная » Алгебра » Составить разностное отношение, если: 1) f (x) = 4x 2) f (x) = x-1 3) f (x) = 4x^2 4) f (x) = x^2+2 5) f (x) = x^3-x^2 6) f (x) — 2x^3+x
6.1. Производная функции, ее геометрический и физический смысл
Если x0 – точка числовой оси, то любой интервал (a,b) , ее содержащий, называется окрестностью точки x0. Пусть y = f (x) – функция, определенная в
|
некоторой окрестности (a,b) фиксированной точки x0 и |
x (a,b) – |
|||||
|
произвольная точка. |
||||||
|
Приращением аргумента называют разность x − x0 и обозначают ее ∆x . |
||||||
|
Приращением функции f (x) в точке x0, |
соответствующим приращению |
|||||
|
аргумента ∆x , называется разность (рис. 6.1) ∆y = f (x) − f (x0 ) |
или иначе |
|||||
|
∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) . |
||||||
|
Так как x0 – фиксированная точка, а x |
– переменная, то разность ∆y |
|||||
|
является функцией аргумента ∆x . |
||||||
|
Разностное отношение – это отношение приращения ∆y |
функции к |
|||||
|
соответствующему приращению ∆x аргумента: |
||||||
|
∆y = |
f (x) − f (x0 ) |
= |
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) |
. |
||
|
∆x |
x − x |
∆x |
||||
|
0 |
Разностное отношение также является функцией аргумента ∆x, определенной при всех ∆x ≠ 0.
Рис. 6.1
184
|
Определение производной. Пусть функция |
y = f (x) определена |
в |
||||||||
|
некоторой окрестности точки x0. |
||||||||||
|
Предел |
разностного отношения при |
∆x →0 |
(если он существует) |
|||||||
|
называют производной функции f в точкех0 и обозначают f ′(x0 ) : |
||||||||||
|
f ′(x0 ) = lim |
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) |
= |
lim |
∆y |
||||||
|
∆x |
||||||||||
|
∆x→0 |
∆x |
∆x→0 |
||||||||
|
или так как x = x0 + ∆ x , то при ∆ x → 0 будет x → x0 |
и |
|||||||||
|
′ |
f (x) − f (x0 ) |
|||||||||
|
f (x |
) = lim |
x − x |
. |
|||||||
|
0 |
x→x0 |
|||||||||
|
0 |
||||||||||
|
Если этот предел существует и конечен, то говорят, что функция f имеет в |
||||||||||
|
точке х0 |
конечную производную, а также называют функцию f |
|||||||||
|
дифференцируемой в точке х0. |
||||||||||
|
Если предел разностного отношения существует и равен +∞ или −∞, |
то |
|||||||||
|
говорят, что функция имеет бесконечнуюпроизводную в точке х0. |
Если предел не существует, то говорят, что функция f не имеет производной в точке х0 , т.е. не дифференцируема в этой точке.
Операция нахождения производной называется дифференцированием. Если функция имеет конечную производную в каждой точке х интервала (a, b ,
то ее называют дифференцируемой на интервале (a, b . Эта производная будет представлять собой некоторую функцию аргумента х, определенную на интервале (a, b .
Производную функцию обычно обозначают так:
|
f ′(x), |
fx′(x) , y ‘(x), y ‘, |
df (x) |
, |
df dy(x) |
, |
dy |
, |
||||||||||
|
dx |
dx |
dx |
dx |
||||||||||||||
|
а значение производной функции в точке х0: |
|||||||||||||||||
|
f ′(x0 ) , fx′(x0 ) , f ′(x) |
x=x |
, df (x0 ) , |
df (x) |
x=x , |
y ‘(x0 ), dy(x) |
x=x |
, |
dy(x0 ) . |
|||||||||
|
0 |
dx |
dx |
0 |
dx |
0 |
dx |
185
Чтобы найти производную функции y = f (x) в заданной точке x0 непосредственно по определению, следует выполнить следующие действия
I. Придаем аргументу x0 произвольное приращение ∆x ≠0 и находим выражение для соответствующего приращения у функции y = f (x) в этой точке x0: ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 )
II. Делим приращение функции у на приращение аргумента x, т.е. составляем разностное отношение ∆y
∆x
III. Ищем предел этого отношения при искомое значение f ′(x0 ) производной функции
∆x →0 . Этот предел и дает y = f (x) в точке x0 .
Пример 6.1. Найдите по определению производные следующих
|
элементарных функций: |
|||||||||||||
|
1) y = C (C – постоянная); |
2) y = x ; |
3) y = sin x. |
|||||||||||
|
Решение. 1) поскольку ∆y = f (x + ∆x) − f (x ) =C −C = 0, то |
lim ∆y = 0. |
||||||||||||
|
0 |
0 |
∆x→0 ∆x |
|||||||||||
|
Поэтому C′ = 0 – производная постоянной равна нулю; |
|||||||||||||
|
2) так как ∆y = f (x + ∆x) − f (x) = x + ∆x − x = ∆x, то lim |
∆y |
= lim |
∆x =1. |
||||||||||
|
Поэтому y (x) = x =1; |
∆x→0 ∆x |
∆x→0 |
∆x |
||||||||||
|
′ |
′ |
||||||||||||
|
3) поскольку ∆y = sin(x + ∆x) −sin x = 2sin ∆x cos(x + ∆x), |
то |
||||||||||||
|
2 |
2 |
||||||||||||
|
lim |
∆y |
= lim |
2sin(∆x 2)cos(x + ∆x 2) |
= |
|||||||||
|
∆x |
|||||||||||||
|
∆x→0 |
∆x→0 |
∆x |
|||||||||||
|
= lim |
sin(∆x 2) |
lim cos(x + ∆x |
2)= cos x . |
||||||||||
|
∆x→0 |
∆x 2 |
∆x→0 |
|||||||||||
|
Значит, |
(sin x) |
= cos x. |
|||||||||||
|
′ |
|||||||||||||
|
Пример 6.2. Пользуясь определением производной, вычислите |
f (−2) , |
||||||||||||
|
′ |
|||||||||||||
|
если f (x) = |
. |
||||||||||||
|
x +3 |
|||||||||||||
|
Решение. |
Имеем: x0 = −2, |
f (x0 ) = |
=1, |
x0 + ∆x = −2 + ∆x, |
|||||||||
|
−2 +3 |
f (x0 + ∆x) = 
−2 + ∆x +3 = 
1+ ∆ x , ∆f (x0 ) = 
1+ ∆x −1. Согласно определению производной находим
186
|
−12 ) |
|||||||||||||||||||||
|
( |
−1)( |
+1) |
( (1 |
+ ∆x)2 |
|||||||||||||||||
|
′ |
= lim |
1+ ∆x |
1 |
+ ∆x |
= |
lim |
= |
||||||||||||||
|
f (−2) |
∆x( 1+ ∆x |
+1) |
∆x( 1 |
+ ∆x +1) |
|||||||||||||||||
|
∆x→0 |
∆x→0 |
||||||||||||||||||||
|
= lim |
1+ ∆x −1 |
= |
lim |
1 |
= 1 . |
||||||||||||||||
|
∆x→0 |
∆x( 1+ ∆x |
+1) |
∆x→0 |
1+ ∆x +1 |
2 |
Пример 6.3. Пользуясь определением производной, вычислите f ′(0) для функции f (x) = 3
x .
|
Решение. |
Имеем: |
x0 = 0, |
f (x0 ) = f (0) = 0 , |
x0 + ∆x = ∆x, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f (x + ∆x) = 3 |
. Согласно определению производной находим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∆x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∆f (0) |
3 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
′ |
∆x |
= lim |
∆x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
lim |
3 |
= |
lim |
= +∞. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f |
(0) = lim |
∆x |
∆x |
(∆x)3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∆x→0 |
∆x→0 |
∆x→0 |
∆x→0 3 (∆x)2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Таким образом, имеем бесконечную производную в точке |
x0 = 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Производные основных элементарных функций |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1) |
С′ = 0; |
2) |
(x |
m |
′ |
m-1 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
) = mx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3) ( |
)′ = |
1 |
4) 1 |
′ |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
; |
= − |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
x |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5) (ex )′ = ex ; |
6) (ax )′ = ax ln a ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7) |
(ln x)′ = |
1 ; |
|
(loga x)′ |
= |
1 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
xln a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
9) |
(sin x)′ |
= cos x ; |
10) |
(cos x)′ |
= −sin x ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
′ |
1 |
′ |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
11) |
(tg x) |
= |
; |
12) |
(ctg x) = − |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
cos2 x |
sin2 x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
13) |
(arcsin x)′ = |
1 |
; |
14) |
(arccos x)′ = − |
1 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1− x2 |
1− x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
15) |
(arctg x)′ = |
1 |
; |
16) |
(arcctg x)′ = − |
1 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1+ x2 |
1+ x2 |
187
Односторонние производные. Правой производной функции y = f (x) в
точке х=х0 называется правый предел отношения ∆∆yx , если он существует:
|
f+′(x0 ) = f ′(x0 |
+ 0) |
= lim ∆y |
= |
lim |
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) |
. |
|
∆x→0+ ∆x |
x→x0 +0 |
∆x |
Левой производной функции y = f (x) в точке х=х0 называется левый предел отношения ∆∆yx , если он существует:
|
f−′(x0 ) = f ′(x0 −0) = |
lim ∆y |
= |
lim |
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) |
. |
|
∆x→0− ∆x |
x→x0 −0 |
∆x |
Производные слева и справа называются односторонними производными. Односторонние производные могут быть конечными, бесконечными или вовсе не существовать.
Из свойств пределов функций следует, что производная функции f (x) в
точке х0 существует тогда и только тогда, когда в этой точке существуют обе односторонние производные f−′(x0 ) , f+′(x0 ), и они совпадают междусобой. При этом f ′(x0 ) = f−′(x0 ) = f+′(x0 )
Если у функции f (x) существуют правая и левая производные в точке х0, но эти производные не равны друг другу, то у этой функции не существует производной в точке х0
|
( f ′(x0 −0) = A, f ′(x0 + 0) = B, A ≠ B) ( f ′(x0 ) |
не существует). |
|
Например, функция f (x) =| x | имеет в точке х=0 |
левую производную |
f−′(0) = −1, правую производную f+′(0) =1, непрерывна в этой точке, но не имеет в ней производной, так как f−′(0) ≠ f+′(0).
Под производной функции в граничной точке промежутка понимают соответствующую одностороннюю производную. Так, если функция f (x) рассматривается на отрезке [a,b], то под производной в точке а понимается правая производная, а под производной в точке b – левая производная.
Вычисление односторонней производной непосредственно по определению отличается от вычисления обычной производной лишь тем, что ∆x <0 – при нахождении левой и ∆x >0 – при нахождении правой производной.
188
Непрерывность и дифференцируемость. Если функция y = f (x)
дифференцируема в данной точке x, то она и непрерывна в этой точке (т.е. бесконечно малым приращениям аргумента соответствуют бесконечно малые приращения функции). Непрерывность функции есть необходимое (но не достаточное) условие существования производной.
Функция, непрерывная в некоторой точке х, может не иметь в этой точке производной. Такую точку называют угловой точкой графика функции или
точкой его излома (рис. 6.2).
|
Рис. 6.2 |
||||||||
|
Физический |
смысл |
производной. |
Разностное |
отношение |
∆y |
|||
|
∆x |
||||||||
|
представляет |
собой |
среднюю скорость |
изменения |
функции на |
отрезке |
|||
|
[x0, x0 + ∆x]. |
Существование |
производной |
в точке |
x0 |
означает, |
что |
при |
стремлении ∆x к нулю разностное отношение (средняя скорость изменения) стабилизируется возле своего предельного значения, называемого мгновенной скоростью в точке x0.
Производная в точке x0 – это предельная (мгновенная) скорость изменения функции y = f (x) в точке x0 (иными словами, скорость изменения зависимой переменной у по отношению к изменению независимой переменной х в точке x0). В частности, если х – время, а y = f (x) – координата точки, движущейся по прямой, в момент х, то f ′(x0 ) – это мгновенная скорость точки в момент времени x0.
Пример 6.4. Дано уравнение прямолинейного движения точки s = 2t2 +3. Определите среднюю скорость движения: а) за первые 5 секунд; б) за промежуток времени от конца 2 -й до конца 5 -й секунды; в) мгновенную скорость в момент t = 5.
Решение. Придадим аргументу t приращение ∆t и найдем приращение координаты s
∆s = s(t0 + ∆t) − s(t0 ) = 2(t02 + 2t0 ∆t+ ∆t2 ) +3 −(2t02 +3) = 4t0 ∆t+ 2 ∆t2 .
Составим разностное отношение ∆s = 4t0 ∆t+ 2 ∆t2 = 4t0 + 2 ∆t :
∆t ∆t
189
|
а) здесь t0 = 0, |
∆t = 5. |
Тогда vср = (4t0 |
+ 2 ∆t) |
t0 |
=0 = 4 0 + 2 5 =10; |
|||||||||
|
б) здесь t0 = 2, |
∆t = 3. |
Тогда vср = (4t0 |
+ 2 ∆t) |
∆t=5 |
= 4 2 + 2 3 =14; |
|||||||||
|
t0=2 |
||||||||||||||
|
( |
t0 =5 ) |
∆t=3 |
||||||||||||
|
в) v(5) = lim v |
= lim |
(4t |
+ 2 ∆t) |
= lim (4 5 + 2 ∆t)= 20. |
||||||||||
|
∆t→0 ср |
∆t→0 |
0 |
∆t→0 |
|||||||||||
|
Геометрический смысл производной. |
Пусть f (x) |
определена на некотором |
||||||||||||
|
промежутке (a, b . Прямую, |
проходящую через две точки графика M (x0, f (x0 )) и |
|||||||||||||
|
P(x0 + ∆x, f (x0 + ∆x)) ,называютсекущей. |
||||||||||||||
|
Угол β наклона секущей MP (рис. 6.3) к оси |
||||||||||||||
|
Ox функционально зависит от приращения |
||||||||||||||
|
∆x . Величина этого угла в радианах |
||||||||||||||
|
заключена в пределах от 0 до π , а тангенс |
||||||||||||||
|
равен разностному отношению: |
||||||||||||||
|
tg β = ∆f , |
β (0, π ). |
|||||||||||||
|
∆x |
Рис. 6.3
При стремлении ∆x к нулю точка P приближается к точке M. Секущая MP при этом поворачивается вокруг точки M и стремится к своему предельному положению, которое однозначно определяется предельным значением α угла наклона β . При этом тангенс угла α равен по величине пределу разностного отношения, т.е. производной функции в точке x0:
|
tgα = lim tg β = lim |
∆f |
= f ′(x0 ) |
|
|
P→M |
∆x→0 |
∆x |
Касательная к графику функции в точке M (x0, f (x0 )) – это прямая, определяемая как предельное положение секущей MP при стремлении ∆x к нулю.
Если у функции y = f (x) в данной фиксированной точке х0 есть производная, то в точке (x0, f (x0 )) существует касательная к графику функции y = f (x), причем угловой коэффициент k этой касательной (т.е. тангенс угла наклона ее к оси Ох) равен производной f ′(x0 ) .
Касательная к кривой y = f (x) в точке (x0, f (x0 )) задается уравнением y − y0 = f ′(x0 ) (x − x0 )
190
Нормаль к кривой y = f (x) в точке (x0, f (x0 )) – это перпендикуляр к касательной, проходящий через эту точку.
|
Нормаль к кривой y = f (x) в точке (x0, f (x0 )) задается уравнением |
||||||||
|
y − y = − |
1 |
(x − x ) . |
||||||
|
0 |
f ′(x0 ) |
0 |
||||||
|
Если f ′(x0 ) = +∞ (или −∞), |
то в |
этом |
случае |
угол |
α равен π 2, а |
|||
|
касательная к графику функции y = f ( x) |
в точке x0 перпендикулярна к оси Ох и |
|||||||
|
задается уравнением x = x0 . Если |
f ′(x0 ) = 0, |
то в точке (x0, f (x0 )) графика |
||||||
|
функции касается горизонтальная прямая |
y = f (x0 ) . |
|||||||
|
Пусть две кривые пересекаются в точке |
(x0, y0 ), |
т.е. |
y0 = f (x0 ) = g(x0 ). |
Угол ϕ между кривыми y = f (x) и y = g(x) в точке их пересечения может быть
|
определен как угол между касательными или, |
что то же самое, угол между |
||||||||||||||||||||
|
нормалями, проведенными к кривым в этой точке: |
|||||||||||||||||||||
|
tgϕ |
= |
k2 − k1 |
= |
g ‘(x0 ) − f ′(x0 ) |
. |
||||||||||||||||
|
1+ k1k2 |
1+ f ′(x0 )g ‘(x0 ) |
||||||||||||||||||||
|
Пример 6.5. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой y = x3 |
|||||||||||||||||||||
|
в точке M0 (2 ; |
|||||||||||||||||||||
|
Решение. Имеем |
f |
(x) = x |
3 |
, f |
′ |
3 |
′ |
2 |
; |
f (x0 ) = f (2) =8; |
|||||||||||
|
(x) = (x |
) = 3x |
||||||||||||||||||||
|
f ′(x0 ) = f ′(2) = 3 22 =12. |
Используя |
уравнение |
y − y0 = f ′(x0 )(x − x0 ) , |
||||||||||||||||||
|
получаем уравнение касательной y =12(x − 2) +8, |
или |
y =12x −16 . Используя |
|||||||||||||||||||
|
уравнение y − y = − |
1 |
(x − x ) , получаем уравнение нормали: |
|||||||||||||||||||
|
0 |
f ′(x0 ) |
0 |
|||||||||||||||||||
|
y =8 − |
1 |
(x − 2) или 12y = 96 − x + 2 , |
т.е. |
x +12y −98 = 0. |
|||||||||||||||||
|
12 |
|||||||||||||||||||||
|
Пример 6.6.. По оси Ох движутся две материальные точки, законы |
|||||||||||||||||||||
|
движения которых x |
= t3 |
− 4 |
и x = 7 t2 |
−12t +3 (x – в метрах, t — в секундах). |
|||||||||||||||||
|
1 |
3 |
2 |
3 |
||||||||||||||||||
Найдите моменты времени, в которые их скорости окажутся равными. Решение. Находим скорости обеих точек: x1′ = t2 , x2′ = 7t −12. Так как
x1′ = x2′ , то t2 = 7t −12 , t2 −7t +12 = 0 , t1 = 3с, t2 = 4 с.
191
Задачи для самостоятельного решения
|
6.1. Составить выражение для |
∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) |
и найти область |
||
|
определения функции ∆y , если: |
а) |
f (x)= arcsin x, |
x0 =1 2 ; |
|
|
б) f (x)= ln x, x0 = 2 ; |
в) |
f (x) |
= sin x, x0 = 2π . |
6.2.Дана функция y = x2 . Найти приближенные значения производной в точке x = 3 , полагая последовательно ∆x равным:
|
а) 0,5; |
б) 0,1; |
в) 0,01; |
г) 0,001. |
6.3. Пользуясь определением производной, найти производную функции:
|
а) |
y =10x в точке x |
= 0 ; |
б) y = ln x в точке |
x = 2 ; |
||||
|
0 |
0 |
|||||||
|
в) |
y = |
в точке x0 = 4 . |
||||||
|
x |
||||||||
|
6.4. Исходя из определения производной, найти f ′(0): |
||||||||
|
а) f (x)= x3 +5x2 ; |
б) f (x)= 3x2 +5x −3; |
в) f (x)= |
. |
|||||
|
4x +1 |
6.5. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к параболе y = x2 :
|
а) в начале координат; |
б) в точке (3; 9); |
в) в точке пересечения ее с |
|
прямой y = 3x − 2 . |
6.6. Под каким углом пересекается парабола y = x2 с прямой 3x − y − 2 = 0?
6.7.Под каким углом пересекаются параболы y = x2 и y2 = x ?
6.8.Составить уравнение касательной и нормали, проведенных к кривой y = x3
вточке с абсциссой 2.
6.9. 1. Пользуясь определением производной, найти производную функции в точке с абсциссой x0 .
2. Составить уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой x0 :
|
а) y = −x2 4, x = 2; |
б) y = 2x2 +3x −1, x = − 2 |
|||||||||||||||||
|
0 |
0 |
|||||||||||||||||
|
в) |
y = x − x3, |
x = − 1 |
г) |
y =8 |
−32, |
x |
= 4; |
|||||||||||
|
x |
||||||||||||||||||
|
0 |
0 |
|||||||||||||||||
|
y = 3 |
− 20, |
|||||||||||||||||
|
д) |
y = x + |
x3 |
, |
x |
= 1 |
е) |
x2 |
x |
= −8; |
|||||||||
|
0 |
0 |
|||||||||||||||||
|
y = |
1+ |
, |
||||||||||||||||
|
ж) |
x |
x |
= 4; |
з) |
y =84 |
−70, |
x |
=16; |
||||||||||
|
x |
||||||||||||||||||
|
1− |
x |
0 |
0 |
|||||||||||||||
|
и) y = 2x2 −3x +1, x = 1 |
к) y = x2 −3x + 6, x = 3; |
|||||||||||||||||
|
0 |
0 |
192
6.10.1 . Пользуясь определением производной, найти производную функции в точке с абсциссой x0 .
2. Составитьуравнениекасательнойкданнойкривойвточкесабсциссой x0 :
|
а) y = 2x |
2 +3, x = − 1; |
б) y = x29 + 6, x = 1 |
|||||
|
0 |
0 |
||||||
|
в) y = 2x + 1 , x = 1 |
г) y = x4 +1, x = 1; |
||||||
|
x |
0 |
0 |
|||||
|
д) y = |
x5 +1 |
, x = 1 |
е) y = |
x16 +9 |
, x = 1 |
||
|
x4 |
+1 |
0 |
1−5x2 |
0 |
|||
6.11.Дано уравнение прямолинейного движения точки: s = 5t + 6. Определить среднюю скорость движения: а) за первые 6 секунд; б) за промежуток времени от конца 3-й до конца 6-й секунды.
6.12. Дано уравнение прямолинейного движения: s(t) = t3 +3 / t . Найти среднюю скорость движения за промежуток времени от t = 4 до t1 = 4+Δt,
полагая t =2; 1; 0,1; 0,03.
6.13.Закон движения точки по прямой задан формулой s = t3 – 3t2 + 3t + 5 (s – в метрах, t – в секундах). В какие моменты времени t скорость точки равна нулю?
|
6.14. Две точки движутся по прямой по законам s = t3 |
−5t2 |
+17t − 4 и |
|
|
1 |
|||
|
s = t3 |
−3t . В какой момент времени их скорости равны? |
||
|
2 |
6.15. Тело, брошенное вверх, движется по закону s = −4,905t2 +981t +950 (s – в метрах, t – в секундах). Найдите скорость тела в любой момент времени и его начальную скорость. В какой момент времени скорость тела станет равной нулю и какой наивысшей высоты в этот момент времени достигнет тело.
6.16. Переменные величины у и х связаны соотношением y2 =12x.. Аргумент х возрастает равномерно со скоростью 2 единицы в секунду. С какой скоростью возрастает упри x = 3 ?
6.17. Ордината точки, описывающей окружность y2 + x2 = 25, убывает со скоростью 1,5 см/с. С какой скоростью изменяется абсцисса точки, когда ордината становится равной 4 см?
6.18.В какой точке эллипса 9y2 +16x2 = 400 ордината убывает с такой же скоростью, с какой абсцисса возрастает?
193
6.19.Сторона квадрата увеличивается со скоростью v. Какова скорость изменения периметраиплощадиквадратавтотмомент,когдасторонаегоравнаa?
6.20.Радиускругаизменяетсясоскоростьюv.Каковаскоростьизменениядлины окружностииплощадикругавтотмомент,когдаегорадиусравен r?
6.21.Радиус шара изменяется со скоростью v. С какой скоростью изменяются объем и поверхность шара?
6.22.Предполагая, что объем ствола дерева пропорционален кубу его диаметра и что последний равномерно увеличивается из года в год, показать, что скорость роста объема, когда диаметр равен 90 см, в 25 раз больше скорости, когда диаметр равен 18 см.
6.23. В какой точке кривой y2 = 4x3 касательная перпендикулярна к прямой
x+3y −1 = 0 ?
6.24.Выяснить, в каких точках кривой y = sin 2x касательная составляет с осью Ох угол x =π
4 .
6.25.Выяснить, в какой точке кривой y = 2x3 −1 касательная составляет с осью Ох угол α =π
3.
|
x3 |
9x |
2 |
|||||||||||
|
6.26. |
Найти точки на кривой y = |
− |
+ 20x −7 , в которых касательные |
||||||||||
|
3 |
2 |
||||||||||||
|
параллельны оси Ох. |
|||||||||||||
|
6.27. |
Найти |
точку |
на |
кривой |
y = 3x2 −5x −11, |
касательная |
в |
которой |
|||||
|
параллельна прямой x − y +10 = 0 . |
|||||||||||||
|
6.28. Найти |
точку |
на |
кривой |
y = 3x2 − 4x + 6 , касательная в которой |
|||||||||
|
параллельна прямой 8x − y −5 = 0 . |
|||||||||||||
|
6.29. |
Найти |
точку |
на |
кривой |
y = −3x2 + 4x −7 , |
касательная |
в |
которой |
|||||
|
перпендикулярна к прямой x − 20y +5 = 0 . |
|||||||||||||
|
6.30. |
Найти |
точку |
на |
кривой |
y = 5x2 − 4x +1, |
касательная |
в |
которой |
|||||
|
перпендикулярна к прямой x + 6y +15 = 0 . |
6.31.Траектория движения тела – кубическая парабола 12y = x3 В каких ее точках скорости возрастания абсциссы и ординаты одинаковы?
6.32.По оси Ох движутся две материальные точки, законы движения которых x = 4t2 −7 и x = 3t2 − 4t +38 . С какой скоростью эти точки удаляются друг от друга в момент встречи?
194
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Составить разностное отношение, если : 1) f(x) = 4x
2)f(x) = x — 1
3)f(x) = 4x ^ 2
4)f(x) = x ^ 2 + 2
5)f(x) = x ^ 3 — x ^ 2
6)f(x) — 2x ^ 3 + x.
Вы находитесь на странице вопроса Составить разностное отношение, если : 1) f(x) = 4×2)f(x) = x — 13)f(x) = 4x ^ 24)f(x) = x ^ 2 + 25)f(x) = x ^ 3 — x ^ 26)f(x) — 2x ^ 3 + x? из категории Алгебра.
Уровень сложности вопроса рассчитан на учащихся 10 — 11 классов. На странице
можно узнать правильный ответ, сверить его со своим вариантом и обсудить
возможные версии с другими пользователями сайта посредством обратной связи.
Если ответ вызывает сомнения или покажется вам неполным, для проверки
найдите ответы на аналогичные вопросы по теме в этой же категории, или создайте
новый вопрос, используя ключевые слова: введите вопрос в поисковую строку,
нажав кнопку в верхней части страницы.