Как составить приращение функции

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Решение:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Пример:

Решение:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Приращение функции

Понятие
приращения аргумента и приращения
функции.

Пусть
x – произвольная точка, ледащая в
некоторой окрестности фиксированной
точки x₀.
разность x – x₀ называется приращение
независимой переменной (
или приращением
аргумента)
в точке x₀ и
обозначается Δx. Таким образом, 

Δx = x –x₀,

откуда
следует, что

x = x₀ +
Δx.

Говорят
также, что первоначальное значение
аргумента x₀ получило
приращение Δx. Вследствие этого значение
функции f изменится на величину 

f(x) – f(x₀)
= f (x₀ +Δx)
– f(x₀).

Эта
разность называется приращением
функции f
в точке x₀,
соответствующим приращению Δx, и
обозначается символом Δf (читается
«дельта эф»), т.е. по определению 

Δf = f (x₀ +
Δx) – f (x₀),

откуда 

f (x) = f (x₀ +Δx)
= f (x₀)
+ Δf.

При
фиксированном x0 приращение Δf есть
функция от Δx. Δf называют также приращение
зависимой переменной и обозначают через
Δy для функции y = f(x) .

Определение
непрерывной в точке функции через
приращение.

Функция f(x) называется непрерывной
в точке x₀,
если существует lim_x → x0 f(x) ,
равный значению функции f(x) в
этой точке:

т.е.

Производная функции одной переменной

Определение
производной функции в точке.

Пусть
в некоторой окрестности точки 
 определена функция 
 Производной
функции 
 в
точке 
 называется предел,
если он существует,

Геометрический
смысл производной и дифференциала.

Если
функция у = f(x) дифференцируема в точке
x₀,
то ее производная в этой точке равна
тангенсу угла наклона касательной к
оси Ох, а дифференциал равен приращению
ординаты касательной

f'(x₀)
= tg a.

Уравнения
касательной и нормали к графику функции.

Уравнение
касательной имеет вид:

У
= f'(x₀)
• (x — x₀)
+ f(x₀)

Если
функция у = f(x) имеет в точке x₀бесконечную
производную, то ее касательной является
вертикальная прямая х = х₀.

Под
нормалью к кривой понимается прямая,
перпендикулярная касательной и проходящая
через точку касания. Если f'(x₀) 
 0,
то уравнение нормали имеет вид:

Понятие
дифференцируемости функции в точке.

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в
точке x0,
если ее приращение Δy в
точке x0 может
быть представлено в виде: Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx,
где A — некоторое число, независящее
от Δx,
а α(Δx)—
бесконечно малая функция от переменной Δx,
т.е. limΔx→0α(Δx)=0.

Теорема
о необходимом и достаточном условии
дифференцируемости .

Теорема

Для
того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в
точке x0,
необходимо и достаточно, чтобы она в
этой точке имела конечную
производную.

Доказательство 

Необходимость.
Предположим: функция дифференцируема
в точке x0,
т.е. Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx.
Разделив обе части данного равенства
на Δx,
получим: ΔxΔy=A+α(Δx).

Из
определения производной функции в
точке: y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy=limΔx→0(A+α(Δx))=A.

Т.е.
получили, что существует конечная
производная функции в
точке x0 и y/(x0)=A.

Достаточность.
Пусть существует конечная
производная y/(x0)∈R .
Покажем дифференцируемость
функции. y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy.

Если
функция f(x) имеет
конечный предел b при Δx→0 ,
то ее можно представить: f(x)=b+α(x)
(α(x)→0) .
Исходя из этого: ΔxΔy=y/(x0)+α(Δx),
где limΔx→0α(Δx)=0, Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx→ A=y/(x0) .
Теорема доказана.

Связь
свойств дифференцируемости и непрерывности
.

Если
функция y=y(x) дифференцируема
в точке x0,
то она и непрерывна в этой
точке.

Справедливость
утверждения следует
из Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx и limΔx→0Δy=0,
а по определению функция непрерывна,
если малому приращению аргумента
соответствует малое приращение
функции. 

Обратное
утверждение не верно.

Например,
функция y=∣x∣  непрерывна
в точкеx=0,
но не дифференцируема в этой точке. 

Таким
образом, не всякая непрерывная функция
дифференцируема, а любая дифференцируемая
функция непрерывна.

Дифференциал
функции. Физический смысл производной.

Дифференциалом функции f(x)
в точке х называется главня линейная
часть приращения функции.

  Обозначается dy или df(x)

Производная
функции пути по времени есть мгновенная
скорость материальной точки в момент
времени х:

v(x)
= f'(x).

Поскольку
dy = f'(x)dx = v(x)dx, то дифференциал функции
пути равен расстоянию, которое прошла
бы точка за бесконечно малый промежуток
времени dx, если бы она двигалась равномерно
со скоростью, равной величине мгновенной
скорости в момент времени х.

Вторая
производная функции пройденного пути
также имеет простой смысл — это мгновенное
ускорение точки в данный момент времени

a(x)=v'(x)
= f»(x).

Производная
суммы, разности, произведения и частного
функций (все с доказательством кроме
последнего).

Производная
суммы (разности) функций

Производная
алгебраической суммы функций выражается
следующей теоремой.

Производная
суммы (разности) двух
дифференцируемых функций равна сумме
(разности) производных этих функций:

Производная
произведения функций.

Пусть u(x) и u(x) —
дифференцируемые функции. Тогда
произведение функций u(x)v(x) также
дифференцируемо и

Производная
произведения двух функций не равана
произведению производных этих функций.

Производная
частного функций.

Пусть u(x) и u(x) —
дифференцируемые функции. Тогда,
если v(x)
≠ 0,
то производная частного этих функций
вычисляется по формуле

Производная
сложной функции .

«Двухслойная»
сложная функция записывается в виде

где u
= g(x) —
внутренняя функция, являющаяся, в свою
очередь, аргументом для внешней
функции f. 

Если f и g —
дифференцируемые функции, то сложная
функция 
 также
дифференцируема по x и
ее производная равна

Данная
формула показывает, что производная
сложной функции равна произведению
производной внешней функции на производную
от внутренней функции. Важно, однако,
что производная внутренней функции
вычисляется в точке x,
а производная внешней функции — в точке u
= g(x)! 

Определение
логарифмической производной функции.

Логарифмической
производной функции y=f(x) называется
производная ее логарифма. 
 тогда
производная функции y=f(x) может
быть найдена так: 

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Приращение
функции

Не всегда в жизни нас интересуют точные
значения каких-либо величин. Иногда интересно узнать изменение этой величины,
например, средняя скорость автобуса, отношение величины перемещения к
промежутку времени и т.д. Для сравнения значения функции в некоторой точке со
значениями этой же функции в других точках, удобно использовать такие понятия,
как «приращение функции» и  «приращение аргумента».

Понятия «приращение функции» и «приращение
аргумента»

Допустим, х – некоторая
произвольная точка, которая лежит в какой-либо окрестности точки х₀.
Приращением аргумента в точке х₀ называется разность х-х₀.
Обозначается приращение следующим образом: ∆х.

·        
∆х=х-х₀.

Иногда эту величину еще
называют приращением независимой переменной в точке х₀. Из формулы
следует: х = х₀+∆х. В таких случаях говорят, что начальное значение
независимой переменной х₀, получило приращение ∆х.

Если мы изменяем аргумент, то
и значение функции тоже будет изменяться.

·        
f(x) – f(x₀) = f(x₀ + ∆х) – f(x₀).

Приращением
функции f в точке x₀, соответствующим
приращению ∆х называется разность f(x₀ + ∆х) – f(x₀).
Приращение функции обозначается следующим образом ∆f. Таким образом получаем,
по определению:

·        
∆f= f(x₀ +∆x) – f(x₀).

Иногда, ∆f еще называют
приращением зависимой переменной и для обозначения используют ∆у, если функция
была, к примеру, у=f(x).

Геометрический смысл приращения 

Посмотрите на следующий
рисунок.

Как видите, приращение
показывает изменение ординаты и абсциссы точки. А отношение приращения функции
к приращению аргумента определяет угол наклона  секущей, проходящей через
начальное и конечное положение точки.

Рассмотрим примеры приращения функции и аргумента

Пример
1. Найти приращение аргумента ∆х и приращение функции ∆f в
точке х₀, если f(х) = х², x₀=2  a) x=1.9
b) x =2.1

Воспользуемся формулами,
приведенными выше:

a) ∆х=х-х₀ = 1.9 –
2 = -0.1;

·        
∆f=f(1.9) – f(2) = 1.9² – 2² =
-0.39;

b) ∆x=x-x₀=2.1-2=0.1;

·        
∆f=f(2.1) – f(2) = 2.1² – 2² =
0.41.

Пример
2. Вычислить приращение ∆f для функции
f(x) = 1/x в точке х₀, если приращение аргумента равняется ∆х.

Опять же, воспользуемся
формулами, полученными выше.

·        
∆f = f(x₀ + ∆x) – f(x₀) =1/(x₀-∆x)
– 1/x₀ = (x₀ – (x₀+∆x))/(x₀*(x₀+∆x))
= -∆x/((x₀*(x₀+∆x)).

Пример
3.. Найти приращение функции y=2x² при x0=3 и Δx=0,1

Решение. Подставляя
в формулу, получаем, что приращение функции:

Δy=y(3+0,1)−y(3)=2⋅(3+0,1)²−2⋅3²=1,22

Ответ. Δy=1,22