Как составить операторную схему замещения

Содержание:

Операторный метод расчета переходных процессов:

Для решения линейных дифференциальных и интегродифференциальных уравнений в теории электрических цепей нашел широкое применение так называемый операторный метод, основанный на преобразованиях Лапласа.

Сущность этого метода заключается в том что функции вещественного переменного t преобразуются в функции комплексного переменного

Переход от функции вещественного переменного t к функции комплексного переменного p  осуществляется с помощью прямого преобразования Лапласа

Обратный переход от функции комплексного переменного р к функциям вещественного переменного t осуществляется на основании обратного преобразования Лапласа

Функцию  называют оригиналом, а функцию — изображением оригинала по Лапласу или просто изображением.

Напомним, что для того чтобы функция имела изображение (8.1), необходимо, чтобы она:

1. удовлетворяла условиям Дирихле;
2. была равна нулю для отрицательных значений t, т. е. при
3. в интервале не возрастала быстрее, чем некоторая показательная функция

где — произвольные положительные числа, т.е. здесь не требуется абсолютная интегрируемость функции как это требуется в интегралах Фурье. Поэтому преобразования Лапласа возможны для более широкого класса функций, чем преобразования Фурье.

Применение свойств преобразования Лапласа в сочетании с теоремой разложения дает возможность составить таблицы изображений и оригиналов, облетающие и ускоряющие нахождение оригиналов по изображениям [4, 26]. Применение операторного метода совместно с компьютерными математическими программными средами делает анализ и расчет электрических цепей доступным, быстрым и интересным.

Особенностью метода является необходимость выполнения трех этапов:

Эквивалентные операторные схемы замещения элементов

Активное сопротивление:

На рис. 8.1 изображена схема замещения в операторном виде участка цепи с активным сопротивлением. Для этого участка цепи связь между операторным напряжением и током записывается в виде 

Индуктивность:

Для участка цепи с индуктивностью при ненулевых начальных условиях операторная схема замещения изображена на рис. 8.2.

Связь между операторным напряжением и током записывается в виде

Емкость:

Для участка цепи с емкостью при ненулевых начальных условиях операторная схема замещения изображена на рис. 8.3.

Связь между напряжением и током устанавливает соотношение

В эквивалентных операторных схемах для индуктивности и емкости с ненулевыми начальными условиями возникают дополнительные источники ЭДС которые называются внутренними. Они указывают на то, что в магнитном поле катушки и в электрическом поле конденсатора в момент коммутации была запасена энергия. Таким образом, начальные условия автоматически учитываются при переходе от интегрально-дифференциальных уравнений к алгебраическим (постоянную интегрирования вычислять не нужно).

Порядок расчета:

1. определяют независимые начальные условия;
2. составляют эквивалентную операторную схему замещения для послекоммутационной цепи;
3. составляют систему уравнений в операторной форме в соответствии с выбранным рациональным методом расчета эквивалентной схемы замещения и решают ее относительно изображений неизвестных величин;
4. для нахождения оригиналов неизвестных величин используют таблицы соответствия, формулы теоремы разложения, компьютерные программные среды и др.

Операторные функции электрических цепей

Основные операторные функции:

Операторной функцией цепи называется отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению входной при нулевых начальных условиях, т. е,

Операторная функция зависит только от параметров цепи и ее схемы. Различают входные и передаточные операторные функции. В табл. 8.1 приведены соотношения для расчета операторных функций сложных цепей.

Для расчета операторных функции можно применять все методы расчета комплексных функций

т. е. комплексная функция является частным случаем операторной при замене оператора на переменную

Анализ переходных процессов в цепях с помощью операторных функций

По известной операторной функции цепи и операторному изображению воздействия можно найти реакцию цепи на это воздействие

На рис. 8.4 (а—в) приведены временные диаграммы переходных процессов, а также полюсно-нулевое представление на комплексной плоскости.

По расположению полюсов операторной функции можно судить о характере переходное процесса:

• если все полюсы расположены только на отрицательной вещественной полуоси, то переходный процесс в цепи носит апериодический характер;
• если имеются сопряженные полюсы в левой полуплоскости, то переходный процесс носит характер затухающих колебаний;
• если все полюсы расположены только на отрицательной мнимой оси, то переходный процесс в цепи носит характер незатухающих колебаний.

Примеры решения задач

Пример 8.4.1.

В интегродифференцирующем контуре постоянного тока (рис. 8.5), применяемом для коррекции ЭЦ и САУ. определить напряжение построить его график, если 

Решение

Определяют независимые начальные условия — напряжения на емкостях. До коммутации ключ был разомкнут, напряжение на емкостях отсутствовало:

Изображают эквивалентную операторную схему замещения после коммутации (рис. 8.6).

Находят изображение напряжения где

Сопротивление всей цепи определяется выражением

Тогда:

По данному изображению находят оригинал (рис. 8.7) напряжения  для этого пользуются таблицей преобразования Лапласа (см. табл. 8.2, п. 3.5) или преобразованиями в среде Mathcad (рис. 8.7).

Пример 8.4.2.

К пассивному RС-фильтру нижних частот подключается нагрузка (рис. 8.8). Рассчитать и построить график, изменения

Дано:

Решение

Определяют независимые начальные условия — напряжение на емкости

Изображают эквивалентную операторную схему замещения после коммутации (рис. 8.9).

Операторный ток  определяют методом наложения, т.е. как алгебраическую сумму двух частичных токов

Операторные схемы, соответствующие частичным токам, изображены на рис. 8.10.

Искомый ток

Определяют частичный ток

Аналогично определяют частичный ток

Искомый ток

По данному изображению находят оригинал

Подставляя числовые значения величин, получают

Строят график тока  в компьютерной программной среде (рис. 8.11).

Выводы. До коммутации напряжение на емкости определялось падением напряжения на сопротивлении Ток, проходящий через емкость, был равен нулю. После коммутации произошло перераспределение напряжения между сопротивлениями вследствие чего напряжение на емкости повысилось и образовался зарядный ток. Когда конденсатор зарядится до напряжения, определяемого на сопротивлениях прохождение тока через емкость прекратится.

Пример 8.4.3.

Рассчитать коэффициент передачи по напряжению пассивной цепи (рис. 8.12) и составить ее схему так, чтобы при подключении на вход источника постоянной ЭДС получить на выходе напряжение вида: 

Решение

Применяя преобразования Лапласа, находят изображения

Из прямых преобразований Лапласа и Фурье следует, что

тогда

Если принять тогда   и схему можно составить из элементов (рис. 8.13).

Если принять тогда  и схему можно составить из элементов (рис. 8.14).

Если принять тогда  и схема будет иметь вид, изображенный на рис. 8.15.

Если принять тогда и схема будет иметь вид, изображенный на рис. 8.16.

Пример 8.4.4.

Параллельный колебательный контур (рис. 8.17) включается на постоянное напряжение

Определить напряжение на конденсаторе и построить его опюру, если:

Решение

Определяют независимые начальные условия: напряжение на конденсаторе ток в катушке индуктивности

Строят эквивалентную операторную схему замещения после коммутации (рис. 8.18).

Находят изображение напряжения на конденсаторе

где             

Тогда 

где   

По данному изображению находят оригинал по теореме разложения дробно-рациональной функции

где — некратные полюсы изображения напряжения — начальные значения компонент изображения

При простых (некратных) полюсах начальные значения компонент определяются но выражению [4]

а) Для первого варианта значений:

Полюсы изображения после вычислений имеют значения:

Вычисляют производную и ее значение при .

Вычисляют начальные значения компонент

Следовательно,

Графики напряжения на конденсаторе и его компонентов получены в среде Mathcad и показаны на рис. 8.19.

Тоn же результат может быть получен по таблице преобразования Лапласа (табл. 8.2, п. 8), если знаменатель изображения напряжения на конденсаторе представить в виде

б) Для второго варианта числовых значений:

а полюсы

Находят производную от и вычисляют ее значения при

Следовательно,

По теореме разложения определяют

где      

или    

График изменения напряжения  представлен на рис. 8.20. 

Тот же результат может быть получен по таблице преобразования Лапласа (см. табл. 8.2, п. 13), если знаменатель представить в виде

Примечание. Результаты этого примера сравните с результатами примера 6.3. Оцените достоинства и недостатки классического и операторного методов расчета переходных процессов.

Пример 8.4.5. 

После замыкания ключа четырехполюсник (рис. 8.21) используется для работы на частоте

Определить:

а) коэффициент передачи по напряжению в режиме холостого хода и при активной нагрузке

б) характер переходного процесса по кривой переходного процесса.
 

Дано:

Решение

В режиме холостого хода

Изображают эквивалентную операторную схему замещения. На рис. 8.22 приведена операторная схема замещения при нулевых начальных условиях.

Находят изображение напряжения на выходе

Откуда  

Определяют полюсы операторной функции из уравнения тогда

Переходной процесс в цепи имеет апериодический характер, что видно из расположения полюсов на комплексной плоскости (рис, 8.23).

В режиме нагрузки

Изображают эквивалентную операторную схему замещения после коммутации (рис. 8.24).

Определяют операторную функцию по методу контурных токов, используя соотношение (см. табл. 8.1):

Определяют полюсы операторной функции из уравнения

Для этога вначале вычисляют L и С.

Находят корни уравнения:

Переходный процесс в цепи имеет характер затухающих колебаний, что видно из расположения полюсов на комплексной плоскости (рис. 8.25).

1. Для схемы рис. 9.1 операторным методом найти выражения мгновенных значений тока в неразветвленной части цепи и напряжения на обкладках конденсатора при замыкании контакта К. Дано:

Решение:
Находим изображение тока в неразветвленной части цепи по закону Ома: , где изображение постоянного напряжения (см. по табл. 0.9.1, № 2) , а операторное сопротивление

Итак,

Оригинал этого тока определим двумя способами.

Способ 1. Используя таблицу 0.9.1 (смотри внизу), связывающую оригинал и его изображение, преобразуем так, чтобы получить табличные изображения.
представим в виде суммы двух функций, которые после преобразования примут вид формул, данных в табл. 0.9.1, № 5 и 11:

Способ 2. Решим задачу с помощью теоремы разложения [см. формулу (0.9.11), представлена ниже]
В данном случае:
Вычисляем корень уравнения:
Определяем

Подставляя найденные значения в формулу, получим

Проверка. При , ток . Действительно, в момент начала переходного процесса напряжение на конденсаторе равно нулю. Это соответствует тому, что конденсатор ведет себя так, будто он закорочен, и тем самым шунтирует сопротивление , поэтому ток определяется только сопротивлением .

Определим напряжение на конденсаторе в операторной форме

Применяя один из указанных способов, найдем

Проверка. При напряжение , что соответствует начальному условию.

2. Решить задачу №1 предыдущего раздела операторным методом.

Решение:
Прежде всего найдем операторное сопротивление цепи

Далее определим изображение тока через изображение входного напряжения :

Изображение напряжения на конденсаторе получим, умножая изображение тока на операторное сопротивление параллельных ветвей:

где числитель

а знаменатель

причем корни уравнения

1. Решим задачу для первого варианта числовых значений по формуле разложения (0.9.10). По формулам (9.2) — (9.4) определяем

Найдем корни уравнения:

Вычислим производную и ее значения при и :

По формуле (9.1) определяем

По формуле разложения,

Те же результаты можно получить по формуле табл. 0.9.1, № 13, если знаменатель изображения напряжения на конденсаторе представить в виде .

2. Решим задачу, подставляя числовые значения второго варианта. По формулам (9.2) — (9.4) определим

Изображение напряжения на конденсаторе [см. формулу 9.1)] имеет вид

В связи с тем, что имеются кратные корни (порядок кратности m=2), оригинал находим по формуле (0.9.12), в которой

Таким образом,

Можно также определить оригинал по формуле табл. 0.9.1, № 9.

3. Рассмотрим третий вариант числовых значений. По формулам (9.2) — (9.4) находим

Производная от и ее значения при и равны:

Искомый оригинал имеет вид [см. формулу 0.9.10]:

Те же результаты можно получить по формуле табл. 0.9.1, № 18, если знаменатель представить в виде

3. Решить задачу №3 предыдущего раздела операторным методом.

Решение:
Это пример задачи с ненулевым начальным условием для тока , проходящего через индуктивную катушку. Операторная схема замещения изображена на рис. 9.10, а. Составляем для нее уравнения Кирхгофа:

В этих уравнениях — начальное значение тока, проходящего через индуктивную катушку — изображение постоянной ЭДС.
Уравнения (9.1) — (9.3) решим совместно относительно тока :

По формуле разложения (0.9.11) оригинал функции имеет вид

Для упражнения эту же задачу решим методом сведения к нулевым начальным условиям. Для этого вычислим напряжение на разомкнутом контакте (см. рис. 8.9, а):

Добавим в ветвь два встречно включенных источника с ЭДС , как показано на рис. 9.10, б.
Расчет схемы после коммутации проведем по методу наложения. Составляющая тока (от системы ) совпадает со своим значением до коммутации, так как подключение ЭДС (рис. 9.10, в) не вызовет каких-либо изменений в исходной схеме с выключенным контактом К. Таким образом, .
Вызываемую действием ЭДС подключаемой к обесточенной схеме (рис. 9.10, г), составляющую тока можно записать в операторной форме:

Подставляя числовые значения и переходя к оригиналу для искомого тока, получим

4. Определить операторным методом напряжение на конденсаторе и токи при замыкании контакта К (рис. 8.20). Дано: Е=24 В, R=20 Ом, С=3 мкФ.

Решение:
Эта задача имеет ненулевое начальное условие для напряжения на конденсаторе . Операторная схема замещения изображена на рис. 9.12.
Для этой схемы по методу контурных токов имеем

Решая эти уравнения относительно и учитывая, что , найдем

Подставив числовые значения, получим

На основании (0.9.10) или по табл. 0.9.1, № 5 определим оригинал:

Аналогично из уравнений (9.1) и (9.2) можно наши другие токи и напряжение на конденсаторе.

5. В схеме (рис. 9.14, а) при разомкнутом контакте имеется установившийся процесс. В момент t=0 контакт замыкается и накоротко шунтирует сопротивление .
Найти выражения для токов и напряжение на конденсаторе при переходном процессе. Дано:

Решение:
Это пример задачи с ненулевыми начальными условиями. Определим их. Через индуктивную катушку до замыкания контакта проходит постоянный ток

Напряжение на конденсаторе до коммутации:
Для схемы, образующейся после коммутации, начертим операторную схему замещения (рис. 9.14, б). Найдем, например, ток методом эквивалентного источника ЭДС. Для этого отключаем первую ветвь (рис. 9.14, в) и найдем операторную ЭДС эквивалентного источника и его сопротивление . Из рис. 9.14, в следует, что

а из рис. 9.14, г

Ток в первой ветви (рис. 9.14, д)

Подставим сюда из (9.1) и (9.2), получим

Подставляя числовые значения, имеем:

По изображению (9.14) найдем оригинал тока с помощью теоремы разложения. Для этого определим значения функции при р=0.

Зачем находим корни уравнения

Далее вычислим производную и ее значения при

Определим при

Наконец, подставим полученные в уравнениях (9.7)-(9.12) значения в формулу (0.9.11) и, учитывая замечание теоремы разложения, определяем

Проверка. При , что удовлетворяет начальному условию.
Остальные два тока могут быть найдены следующим образом. Если из U вычесть падение напряжения на ветви , то можно найти мгновенное значение напряжения на параллельных ветвях:

Затем определим токи:

6. К зажимам цепи (рис. 9.18, а) приложено напряжение . Параметры цепи: .
В момент прохождения тока через положительный максимум замыкается контакт К. Найти токи .

Решение:
До замыкания контакта ток в цепи

где

По условию задачи в момент включения этот ток максимален, т. е.

Отсюда можно рассчитать угол включения y:

Так как изображение синусоидальной функции определяется сравнительно сложной формулой, в данной задаче операторным методом вычислим только свободную составляющую тока , а установившуюся составляющую тока найдем, рассчитав схему задачи (см. рис. 9.18, а) после коммутации символическим методом

Начальное значение свободного тока:
Операторная схема замещения для расчета свободной составляющей переходного процесса с учетом ненулевых начальных значений свободных токов показана на рис. 9.18, б.
По второму закону Кирхгофа для первого контура имеем: и, подставляя числовые значения и вычисляя изображение свободного тока, находим

По формуле разложения: . Суммирование установившегося и свободного токов определяет искомый ток: .
Аналогично вычисляем ток . Отличие заключается в том, что установившийся ток равен нулю:
Поэтому . По второму закону Кирхгофа, для второго контура (рис. 9.18, б)

По формуле разложения:

7. Цепь, состоящая из источника постоянного тока , нагруженная на — ветвь, находится в установившемся режиме (рис. 9.24, а). В момент t=0 замыканием контакта К осуществляется коммутация, включающая резистор сопротивлением . Найти закон изменения тока , протекающего через ветвь после замыкания.

Решение:
До коммутации по ветви проходил постоянный ток: .
Начертим эквивалентную операторную схему замещения после коммутации (рис. 9.24, б) и заменим ее схемой рис. 9.24, в, в которой параллельно соединенные сопротивления заменим эквивалентным: . По методу контурных токов имеем . Отсюда, учитывая, что найдем

Используя таблицу 0.9.1, № 5 и 11, найдем оригинал каждого из этих изображений. В результате получим

где

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ

1. Преобразование Лапласа. В основу операторного метода положено следующее. Функция [обычно ток или напряжение ] вещественного переменного (время), называемая оригиналом, заменяется соответствующей ей функцией комплексного переменного , называемой изображением.
Эти функции связаны соотношением

называемым прямым преобразованием Лапласа. Сокращенно эту связь записывают в таком виде: .
В табл. 0.9.1 приводятся оригиналы простейших функций и их изображения, полученные по формуле (0.9.1) и используемые при решении задач на переходные процессы.

Таблица 0.9.1

2. Теорема разложения. Если изображение искомого тока или напряжения имеет вид рациональной дроби

причем многочлены (относительно ) удовлетворяют следующим условиям: степень ниже степени — вещественные числа, а корни уравнения различны, то оригинал определяется выражением

Если знаменатель уравнения имеет один корень, равный нулю, т. е. , то оригинал находят по формуле

Замечание. Если среди корней уравнения имеются комплексно-сопряженные корни , то при вычислении соответствующих им слагаемых, стоящих в правой части суммы уравнений (0.9.10) и (0.9.11), достаточно определить слагаемое для одного из этих корней, например для сопряженного корня следует взять сопряженное значение этого слагаемого. Сумма, соответствующая этим двум слагаемым, равна удвоенному значению действительной части, найденной для одного из корней.

Если в уравнении (0.9.11) имеет различных корней и из них корень кратностью , корень кратностью т2, корень рп кратностью , то по изображению оригинал вычисляют по формуле

Здесь выражение, стоящее в знаменателе квадратной скобки, надо сначала сократить на и лишь после этого дифференцировать.
Если уравнение содержит одновременно и простые, и кратные корни, то для определения слагаемых, соответствующих простым корням, используется формула (0.9.10) или (0.9.11), если имеется простой корень , а для кратных — формула (0.9.12).

7.1. Преобразование Лапласа и его свойства

7.2. Теорема разложения

7.3. Расчет переходных процессов операторным методом

7.4. Операторные передаточные функции

7.5. Вопросы и задания для самопроверки

7.1. Преобразование Лапласа и его свойства

Операторный метод берет начало со времени анализа бесконечно малых величин, когда были обнаружены определенные аналогии между дифференциально-интегральными и алгебраическими уравнениями. В XIX в. был опубликован ряд работ по операционному исчислению М.Е. Ващенко-Захарченко, О. Хэвисайда, Д. Карсона и др. Однако строгое обоснование операторный метод получил только в XX в. на базе общей теории функциональных преобразований.

В основе операторного метода расчета переходных процессов лежит преобразование Лапласа, которое позволяет перенести решение из области функций действительного переменного t в область комплексного переменного р:

При этом операции дифференцирования и интегрирования функций времени заменяются соответствующими операциями умножения и деления функций комплексного переменного на оператор р, что существенно упрощает расчет, так как сводит систему дифференциальных уравнений к системе алгебраических. В операторном методе отпадает необходимость определения постоянных интегрирования. Этими обстоятельствами объясняется широкое применение этого метода на практике.

Различают прямое и обратное преобразование Лапласа. Прямое преобразование Лапласа определяется уравнением.

где f(t) — функция действительного переменного t, определенная при t 0 (при t < 0; f(t) = 0) и удовлетворяющая условиям ограниченного роста:

где множитель М и показатель роста с₀ — положительные действительные числа. На рис. 7.1 изображена область определения функции комплексного переменного F(p).

Обратное преобразование Лапласа определяют из решения (7.2):

Функция F(p), определяемая уравнением (7.2), носит название изображения по Лапласу, а функция f(t) в (7.4) — оригинала. Следовательно, оригинал и изображение представляют собой пару функций действительного (t) и комплексного (p) переменного, связанных преобразованием Лапласа. Для сокращенной записи преобразований (7.2), (7.4) используют следующую символику

где L — оператор Лапласа. В дальнейшем для определенности будем использовать знак соответствия .

Рассмотрим основные свойства преобразований Лапласа.

Свойство линейности является следствием линейности преобразования Лапласа, его можно записать в форме

где a_k — постоянные коэффициенты разложения. Свойство (7.5) легко доказать, если применить к левой части соотношения (7.5) прямое преобразование Лапласа (7.2).

Дифференцирование оригинала

При ненулевых начальных условиях: f(0_–)¹ 0 дифференцирование оригинала соответствует следующему условию

Для доказательства (7.6) подставим f¢(t) в преобразование (7.2) в виде

Отсюда после интегрирования по частям получаем:

В случае нулевых начальных условий

Интегрирование оригинала

Доказательство осуществляется путем использования свойства дифференцирования оригинала (7.6), (7.7).

Изменение масштаба независимого переменного (теорема подобия)

где а — постоянный вещественный коэффициент. Свойство (7.9) легко доказывается путем замены независимой переменной t = atв прямом преобразовании Лапласа (7.2).

Смещение в области действительного переменного (теорема запаздывания)

Для доказательства (7.10) введем следующие обозначения:

Осуществим замену переменной t = t ± t₀.

что и требовалось доказать.

Из соотношения (7.10) следует, что сдвиг оригинала по оси времени на t₀ соответствует умножению изображения на .

Смещения в области комплексного переменного (теорема смещения)

Теорема (7.11) следует непосредственно из прямого преобразования Лапласа, если в (7.2) вместо f(t) подставить . Причем l может быть как действительной, так и комплексной величиной.

Дифференцирование и интегрирование оригинала по параметру (свойство коммутативности)

Для доказательства свойств (7.12), (7.13) достаточно продифференцировать или проинтегрировать прямое преобразование Лапласа (7.2) по параметру х.

Произведение изображений

Интегралы в (7.14) носят название свертки функций f₁(t) и f₂(t).

Дифференцирование изображения

Свойство (7.15) легко доказывается путем дифференцирования прямого преобразования Лапласа (7.2).

Интегрирование изображения

Данное свойство доказывается аналогично (7.15).

В заключение приведем предельные соотношения для оригинала и изображения:

Действительно, согласно свойства дифференцирования оригинала можно записать:

Учитывая, что , получаем:

Отсюда непосредственно следует соотношение (7.17). Аналогично доказывается равенство (7.18).

В качестве примера найдем изображение по Лапласу типовых сигналов. Для теоретических и экспериментальных исследований характеристик электрических цепей и передачи сообщений по каналам связи используются различные типы сигналов: гармонические колебания, уровни постоянных напряжений, последовательность прямоугольных импульсов и так далее. Особо важную роль в теоретических исследованиях электрических цепей играют испытательные сигналы в форме единичной функции 1(t) и единичной импульсной функции d(t) (функция Дирака).

Единичная функция

Единичная функция задается уравнением (рис. 7.2, а)

Изображение функции (7.19) будет равно:

Единичная импульсная функция (функция Дирака)

Эта функция называется еще d-функцией; она задается уравнением

Функция Дирака является физически нереализуемой математической абстракцией, однако обладает рядом интересных свойств и играет очень важную роль в теоретических исследованиях. Формально она может быть получена, например, предельным переходом (при t ® 0) единичного импульса (см. рис. 7.2, б), площадь которого равна единице:

Одним из интересных свойств функции d(t) является ее фильтрующее свойство, определяемое равенством (рис. 7.3):

Найдем изображение единичной импульсной функции в форме изображения разности двух единичных функций величины 1(t), сдвинутых друг относительно друга на t (рис. 7.4). Для этих функций с учетом теоремы запаздывания имеем:

Для результирующего изображения с учетом свойства линейности получим

Устремив t ® 0, найдем изображение единичной импульсной функции (d-функции):

Экспоненциальный сигнал при t > 0:

т. е.

Подобным же образом можно найти изображение по Лапласу других функций, удовлетворяющих условию (7.3). В литературе имеются специальные справочники, в которых приведены оригиналы и изображения широкого класса функций. В табл. 7.1 приведены оригиналы и их изображения наиболее часто встречающихся в теории электрических цепей функций.

7.2. Теорема разложения

Для нахождения оригинала по изображению можно воспользоваться либо таблицами, либо использовать обратное преобразование Лапласа (7.4). Однако вычисление оригинала с помощью (7.4) обычно оказывается весьма сложным. Поэтому, для упрощения расчетов применяют теорему разложения, которая позволяет при нахождении оригинала заменить операцию интегрирования в (7.4) операцией суммирования, что значительно упрощает вычисления. Наиболее строгий вывод этой теоремы можно осуществить на основании теоремы вычетов. Здесь мы ограничимся выводом формул разложения применительно к изображению, представляющему собой рациональную дробь:

где — вещественные коэффициенты, причем F₁(p) и F₂(p) не имеют общих корней.

Для нахождения оригинала f(t) разложим F(p) на простые дроби:

где p_k — простые корни характеристического уравнения

A_k — коэффициенты разложения.

Для того, чтобы найти коэффициент A_k домножим обе части (7.26) на (р — p_k) и перейдем к пределу:

Раскрывая неопределенность в левой части равенства (7.28) по правилу Лопиталя и учитывая, что согласно (7.27) правая часть (7.28) равна A_k, получаем

Подставив значения A_k в формулу (7.26), найдем:

Если учесть, что изображение (см. табл. 7.1), то на основании свойства линейности преобразования Лапласа окончательно получим:

Формула (7.30) является математической формулировкой теоремы разложения и позволяет найти оригинал по изображению в виде (7.25), в случае простых корней. Если среди корней p_k имеется один нулевой корень, т. е. F₂(р) = pF₃(p), то теорема разложения примет вид

Формулу (7.31) можно получить, если подставить в (7.30) вместо F₂(р) значение pF₃(р) и осуществить операцию дифференцирования.

Если среди корней уравнения (7.27) (полюсов функции F(p)) имеются комплексно-сопряженные корни p_k и p_k+1, то в формуле (7.30) достаточно взять p_k, а для p_k+1 взять сопряженное значение, при этом сумма соответствующая двум этим корням с учетом действительности f(t) будет равна

При этом в уравнении для f(t) появятся составляющие типа (6.9): .

Теорему разложения можно обобщить и на более общие случаи. В частности, если среди полюсов (7.25) имеются полюса кратности l, то в оригинале f(t) появятся слагаемые типа (6.8).

Пример. Задано изображение в виде

.

Обозначим F₁(p) = p + 2; F₂(p) = p(p² + 5p + 4). При этом получим F(p) в виде (7.25). Найдем корни характеристического уравнения F₂(p) = p(p² + + 5p + 4) = 0.

При этом F₁(p₁) = 2; F₁(p₂) = 1; F₁(p₃) = –2.

Определим производную

Отсюда F₂¢(p₁) = 4; F₂¢(p₂) = –3; F₂¢(p₃) = 12. Воспользовавшись формулой (7.30), окончательно получим:

Учитывая, что среди корней характеристического уравнения F₂(p) = 0 имеем один нулевой корень, при нахождении f(t) можно было воспользоваться и формулой (7.31). Действительно, если обозначим

то получим

Тогда корни уравнения F₃(p) = 0 будут равны p₁ = —l, p₂ =—4. С учетом значений

согласно (7.31) окончательно получим

что полностью совпадает с ранее полученным решением.

7.3. Расчет переходных процессов операторным методом

Пользуясь основными свойствами преобразования Лапласа, можно получить основные законы теории цепей в операторной форме. Рассмотрим, например, последовательный RLC-контур (см. рис. 6.14), находящийся при ненулевых начальных условиях u_C(0_–) ¹ 0; i_L(0_–) ¹ 0. Для этого контура уравнение по ЗНК имеет вид:

Применив к (7.33) прямое преобразование Лапласа и принимая во внимание свойства линейности, дифференцирования и интегрирования оригинала получим:

Отсюда получаем закон Ома в операторной форме для данной цепи:

где U₀(p) = U(p) + Li(0) — u_C(0)/p носит название операторного напряжения; Z(p) = R + pL + 1/pC — операторного сопротивления цепи. Если в Z(p) заменить р на jw, то получим комплексное сопротивление цепи. Величины Li(0) и u_C(0)/p называют расчетными напряжениями. Они характеризуют энергию магнитного и электрического полей, запасенную в L и С к моменту коммутации. Величина, обратная Z(p) называется операторной проводимостью цепи:

Для нулевых начальных условий закон Ома примет вид

Аналогичным образом можно получить законы Кирхгофа в операторной форме:

первый закон (ЗТК)

второй закон (ЗНК)

Таким образом, закон Ома и законы Кирхгофа в операторной форме аналогичным этим же законам в комплексной форме (см. (3.48)—(3.50)) с той лишь разницей, что в (7.37) в каждой из п ветвей при наличии ненулевых начальных условий действуют дополнительные расчетные источники L_ki_k(0) и —u_Ck(0)/р, положительное направление которых совпадает с выбранным положительным направлением тока в этой ветви.

Используя законы Ома и Кирхгофа в операторной форме, можно найти изображения искомых токов и напряжений в цепи. Для определения оригиналов токов и напряжений можно воспользоваться либо таблицами оригиналов и изображений, либо применить теорему разложения.

Для иллюстрации основных теоретических положений найдем операторным методом закон изменения тока в последовательном RLC-контуре при включении его на источник постоянного напряжения. Уравнение для изображения тока можно найти по закону Ома для нулевых начальных условий (7.35) с учетом изображения постоянного напряжения U(p) U/p:

Найдем корни характеристического уравнения

При R > 2r корни будут вещественны и различны. Для нахождения оригинала тока i(t) воспользуемся теоремой разложения (7.30). Для этого найдем производные F₂¢(p₁) и F₂¢(p₂):

Подставив значения F₁(p) = F₁(p₂) = CU и F₂¢(p₁) и F₂¢(p₂) в (7.30) получим оригинал тока

что полностью совпадает с ранее полученным уравнением (6.68).

Из рассмотренного примера хорошо видны преимущества операторного метода: простота, отсутствие громоздких операций по определению постоянных интегрирования. Следует подчеркнуть, что базируясь на законах Ома и Кирхгофа в операторной форме, можно рассчитать переходный процесс любым из ранее рассмотренных методов: контурных токов, узловых напряжений и др. При этом удобно пользоваться эквивалентными операторными схемами. При составлении эквивалентных операторных схем источники тока и напряжений i(t) и u(t) заменяются соответствующими изображениями I(p) и U(p), индуктивность L заменяется на pL, а емкость С — на 1/pC при нулевых начальных условиях. Если начальные условия ненулевые, то последовательно с pL добавляется источник напряжения Li(0), а с С — источник напряжения — u_C(0)/р (рис. 7.5)

* Возможны схемы замещения заряженной емкости u_C(0) и индуктивности с током i_L(0) с помощью источников тока с задающими токами Cu_C(0) и i_L(0)/p соответственно.

Например, эквивалентная операторная схема для цепи, изображенной на рис. 6.17, будет иметь вид (рис. 7.6). Составив для этой схемы уравнения по законам Кирхгофа в операторной форме, получим систему алгебраических уравнений, решение которых существенно проще системы (6.86).

Операторный метод можно использовать и для решения уравнения состояния цепи. При этом уравнение состояния (6.94) с учетом свойств дифференцирования оригинала и линейности преобразования Лапласа примет вид:

где Х(р), W(p) — изображения векторов состояния x(t) и входных воздействий W(t).

Из (7,38) получаем непосредственно решение

где I — единичная матрица. Применив к (7.39) теорему разложения, можно получить искомый вектор состояния

7.4. Операторные передаточные функции

Важную роль в методах анализа и синтеза электрических цепей при нулевых начальных условиях играют операторные передаточные функции, которые определяются как отношение изображения выходной реакции цепи к изображению входного воздействия. В соответствии с этим определением различают четыре вида передаточных функций:

где Н_и(р), H_i(p) имеют смысл операторных передаточных функций по напряжению и току; Н_L(р); Н_Y(р) —операторные передаточные сопротивление и проводимость соответственно.

Если в (7.40) заменить оператор р на jw, то получим уравнение комплексных передаточных функций Н(jw), широко используются при частотных методах анализа электрических цепей.

Зная передаточную функцию цепи Н(р), с помощью (7.40) нетрудно найти изображение реакции цепи, а следовательно, и саму реакцию на заданное воздействие.

Операторную передаточную функцию Н(р) для пассивной цепи можно представить как дробно-рациональную функцию с вещественными коэффициентами:

или в виде

где p₀₁, p₀₂, …, p_0n — нули; p₁, p₂, …, p_m — полюсы передаточной функции; Н = а_n/b_m.

Степени полиномов числителя п и знаменателя т зависят от числа реактивных элементов пассивной цепи.

Заменив в (7.41) оператор р на jw, получим комплексную передаточную функцию цепи

где АЧХ цепи

ФЧХ цепи

Учитывая, что согласно (7.43) |H(jw)| является иррациональной, обычно при анализе и синтезе цепей имеют дело с квадратом АЧХ:

где коэффициенты с_k и d_k получаются путем объединения коэффициентов при одинаковых степенях переменной w.

Перечислим основные свойства операторных передаточных функций и квадрата АЧХ пассивных цепей:

1. Передаточная функция является дробно-рациональной функцией с вещественными коэффициентами. Вещественность коэффициентов объясняется тем, что они определяются элементами схемы.

2. Полюсы передаточной функции располагаются в левой полуплоскости комплексной переменной р. На расположение нулей ограничений нет. Докажем это свойство на примере передаточной функции Н_и(р) = U₂(р)/U₁(р). Выберем входное воздействие u₁(t) = d(t) или в операторной форме U(р) = l. Изображение выходного напряжения U₂(р) = U₁(р)Н_и(р) в этом случае численно равно Н_и(р), т. е.

где w(p) — полином числителя передаточной функции; A₁, A₂, …, A_m, —коэффициенты разложения дробно-рациональной функции на сумму простых дробей.

Перейдем от изображения U₂(p) к оригиналу u₂(t):

где в общем случае p_i = a_i + jw_i.

В пассивных и устойчивых активных четырехполюсниках колебания на выходе четырехполюсника после прекращения воздействия должны иметь затухающий характер. Это означает, что в (7.46) вещественные части полюсов p_i должны быть отрицательными (a_i < 0), т. е. полюсы должны находиться в левой полуплоскости переменной р.

3. Степени полиномов числителей передаточной функции и квадрата АЧХ не превышают степеней полиномов знаменателей, т. е. п < т. Если бы это свойство не выполнялось, то на бесконечно больших частотах АЧХ принимала бы бесконечно большое значение (так как числитель рос бы с увеличением частоты быстрее знаменателя), т. е. цепь обладала бы бесконечным усилением, что противоречит физическому смыслу.

4. Квадрат АЧХ является четной рациональной функцией переменной w с вещественными коэффициентами. Это свойство с очевидностью вытекает из способа получения квадрата АЧХ по передаточной функции.

5. Квадрат АЧХ не может принимать отрицательных и бесконечно больших значений при w > 0. Неотрицательность следует из свойств квадрата модуля комплексной величины. Конечность значений АЧХ на реальных частотах объясняется так же, как и в свойстве 3.

7.5. Вопросы и задания для самопроверки

1.    В чем заключается сущность операторного метода расчета цепи?

2.    Что такое операторное сопротивление цепи?

3.    Что такое операторные схемы замещения при составлении эквивалентной операторной схемы?

4.   
Чем заменяются индуктивности и емкости в операторной схеме замещения?

5.    Как учитываются независимые начальные условия?

6.    Записать закон Ома и законы Кирхгофа в операторной форме.

7.    Что такое единичная функция и d-функция?

8.    Что понимается под операторной передаточной функцией? Каковы ее свойства?

9.    Каким образом можно перейти от изображения к оригиналу?

10.    Для схемы, изображенной на рис. 7.7, операторным методом определить напряжение на конденсаторе u_C(t). U = 20 В; R₁ = = R₂ = 100 Ом; С = 4 мкФ.

Ответ: u_C(t) = 10 – , В.

11.    Для схемы, изображенной на рис. 7.8, найти изображение тока I₂(p).

Ответ: I₂(p) = .

12.    Зная изображение тока (рис. 7.8), определить оригинал i₂(t).

Ответ: i₂(t) = 2,5 – 0,825 .

13.    Для схемы, изображенной на рис. 7.9, определить: 1) операторную передаточную функцию H_u(p); 2) найти АЧХ цепи. Ответ:

При
составлении операторной схемы замещения
рассматриваем цепь после коммутации
(рисунок 4). При этом все переменные
величины заменяют на их операторные
изображениями

Изображение
источника постоянного напряжения узнаем
из справочных данных:

В
схеме замещения (рисунок 7) индуктивный
элемент заменяется последовательным
соединением операторного сопротивления
pL
и дополнительного источника напряжения
с ЭДС Li_L(+0),
направление действия которого
совпадает с положительным направлением
тока I_L(p).
Емкостной элемент
заменяется
последовательным соединением операторного
сопротивления
и
дополнительного источника напряжения
с ЭДС ,
направление
действия которого
противоположно положительному направлению
тока I_С(p).

Li_L(+0)

Операторная
схема замещения цепи (рисунок 4),
составленная таким образом, приведена
на рисунке 7.

pL

1

I_L (p)

R2

I_С
(p)

I_R2 (p)

I _k

II _k

R1

0

Рисунок
7. Операторная схема
замещения цепи

3. Составление операторных уравнений для изображения тока I(p) и напряжения u(p).

По
законам Кирхгофа составим систему
уравнений для
схемы (рисунок 7).

После
подстановки первого уравнения системы
в третье получаем систему двух
уравнений с двумя неизвестными I_L(p)
и
Iс(p).

Подставим
в полученную систему известные величины.

Выражение
в скобках совпадает
с характеристическим уравнением,
найденным при решении задачи классическим
методом в п.1.3, что свидетельствует о
правильности решения.

Определим
ток I_L(p).

Найдём
напряжение U_R1(p).

4. Нахождение соответствующего оригинала для напряжения ur1(p).

Составим
систему из трёх уравнений из последнего
выражения

из п.3.3

Рассчитав
в программе MathCAD
11 (см. Приложение №) получили:

Таким образом,
изображению

,

Соответствует
оригинал

Это
совпадает с результатом, полученным
классическим методом (см. п.1.4).

Замечания.

14

Лист