Как составить матрицу коэффициентов векторов

Межотраслевой баланс

С помощью сервиса в онлайн режиме можно:

• найти коэффициенты полных материальных затрат, определить вектор валовой продукции;
• составить межотраслевой баланс, составить схему межотраслевого баланса труда;
• проверить продуктивность матрицы.

• Шаг №1
• Шаг №2
• Видеоинструкция
• Оформление Word

Межотраслевой баланс отражает производство и распределение валового национального продукта в отраслевом разрезе, межотраслевые производственные связи, использование материальных и трудовых ресурсов, создание и распределение национального дохода.

Система уравнений X = AX + Y называется экономико-математической моделью межотраслевого баланса (МОБ) или моделью «затраты — выпуск». C помощью нее можно выполнить следующие расчеты:

1. подставив в модель объемы валовой продукции каждой отрасли X_i, можно определить объем конечной продукции отрасли Y_j: Y = (E — A)X
2. задав величины конечной продукции всех отраслей Y_j, можно определить величины валовой продукции каждой отрасли X_i: X = (E — A) -1 Y
3. установив для ряда отраслей величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объемы конечной продукции, можно найти объемы конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.

Здесь A – матрица прямых затрат, коэффициенты которой, a_ij показывают затраты i-й отрасли на производство единицы продукции j-й отрасли. Введем обозначение B = (E — A) -1 . Матрица B называется матрицей полных материальных затрат, коэффициенты которой, b_ij показывают полный объем продукции i-й отрасли, используемой для производства единицы продукции j-й отрасли. С учетом линейности соотношений эффект распространения спроса ΔX, вызванный изменением конечного спроса на величину ΔY рассчитывается как: ΔX = B·ΔY
Через C=A-B обозначают матрицу косвенных затрат.

Пример №1 . Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат A и вектор конечной продукции Y .

Пример №2 . Дан межотраслевой баланс трехотраслевой модели хозяйства:

Определить:
1) технологическую матрицу;
2) матрицу коэффициентов полных затрат;
3) дать экономический анализ каждого столбца матрицы коэффициентов полных затрат;
4) определить валовый выпуск X’ на новый ассортимент конечной продукции Y’;

Решение.
Находим валовой объем продукции x_i;
x₁ = 20 + 20 + 60 + 100 = 200
x₂ = 20 + 40 + 60 + 80 = 200
x₃ = 20 + 0 + 10 + 70 = 100

По формуле a_ij = x_ij / x_j находим коэффициенты прямых затрат:
a₁₁ = 20/200 = 0.1; a₁₂ = 20/200 = 0.1; a₁₃ = 60/100 = 0.6; a₂₁ = 20/200 = 0.1; a₂₂ = 40/200 = 0.2; a₂₃ = 60/100 = 0.6; a₃₁ = 20/200 = 0.1; a₃₂ = 0/200 = 0; a₃₃ = 10/100 = 0.1;

Определим матрицу коэффициентов полных затрат с помощью формул обращения невырожденных матриц.
а) Находим матрицу (E-A):

б) Вычисляем обратную матрицу (E-A) -1 :

Найдем величины валовой продукции трех отраслей

Пример №3 . В модели межотраслевого баланса

прибыль D равна:
D = Валовая продукция – Затраты на производство – Оплата труда = 100 – (10+20+30) – 30 = 10.

ВЕКТОР И МАТРИЦА КОЭФФИЦИЕНТОВ КОРРЕЛЯЦИИ

Метод обработки статистических данных, заключающийся в изучении коэффициентов (корреляции) между переменными, называется корреляционным анализом.

Для оценивания силы линейной зависимости объясняемой переменной (у) от потенциальных объясняющих переменных (лс_ь х₂, . х_т) по приведенной ниже формуле рассчитываются коэффициенты корреляции, которые записываются в виде вектора корреляции R₀:

Коэффициенты корреляции между потенциальными объясняющими переменными х_и х₂, . х_т рассчитываются по приведенной ниже формуле и записываются в виде матрицы корреляции R:

Матрица R симметрична относительно единичной диагонали, т е. Гу = />

Тесноту влияния всех объясняющих переменных на результат позволяет определять коэффициент (индекс) множественной корреляции:

Величина индекса множественной корреляции лежит в пределах от 0 до 1 и должна быть больше или равна максимальному парному индексу корреляции: R_yXx. _Xn ^г_ух._(тах).

Чем ближе значение индекса множественной корреляции к 1, тем теснее связь результативного признака и набора исследуемых переменных.

Сравнивая индексы множественной и парной корреляции, можно сделать вывод о целесообразности (величина индекса множественной корреляции существенно отличается от индекса парной корреляции) включения в уравнение регрессии того или иного фактора.

При линейной зависимости совокупный коэффициент множественной корреляции определяется через матрицу парных коэффициентов корреляции:

где Аг= — определитель матрицы парных коэф-

фициентовкорреляции; Аг_п = » —определитель

матрицы межфакгорной корреляции.

В [9, с. 33] коэффициент множественной корреляции рассчитывается по формуле

где AR — определитель матрицы R коэффициентов корреляции попарно объединенных объясняющих переменных х_ь х₂, . х„; AW— определитель матрицы W, представленной в следующем виде:

где R₀ — вектор коэффициентов корреляции между переменной у и объясняющими переменными х_ь х₂. х_п.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту линейной зависимости между результатом и соответствующим фактором при устранении влияния других факторов. Если вычисляется, например, г _уХхХ2 (частный коэффициент корреляции между у и х_<

при фиксированном влиянии х₂), то это означает, что определяется количественная мера линейной зависимости у от х_ь которая будет иметь место, если устранить влияние на эти признаки фактора х₂.

Частные коэффициенты корреляции, измеряющие влияние на у фактора х,- при неизменном уровне других факторов, можно определить так:

или по рекуррентной формуле:

Для двухфакторного уравнения частные коэффициенты корреляции рассчитывают по следующим формулам:

Частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от — 1 до +1.

Сравнение значений парного и частного коэффициентов корреляции показывает направление воздействия фиксируемого фактора. Если частный коэффициент корреляции г_уХ[^ получится меньше, чем соответствующий парный коэффициент г_уХ<, значит, взаимосвязь признаков у и Х в некоторой степени обусловлена воздействием на них фиксируемой переменной х₂. И наоборот, большее значение частного коэффициента по сравнению с парным свидетельствует о том, что фиксируемая переменная х₂ ослабляет своим воздействием связь у и х.

Порядок частного коэффициента корреляции определяется количеством факторов, влияние которых исключается. Например, г у_Хх2

коэффициент частной корреляции первого порядка.

Зная частные коэффициенты корреляции (последовательно первого, второго и более высокого порядка), можно определить совокупный коэффициент множественной корреляции:

Качество построенной модели в целом оценивает коэффициент (индекс) множественной детерминации, который рассчитывается как квадрат индекса множественной корреляции (Ryx_Y. _Xn ) 2 ? Коэффициент множественной детерминации фиксирует долю объясненной вариации результативного признака за счет рассматриваемых в регрессии факторов. Влияние других, не учтенных в модели факторов, оценивается как 1 — R 2 .

Если число параметров при х,- близко к объему наблюдений, то коэффициент множественной корреляции приближается к единице даже при слабой связи факторов с результатом. Чтобы не допустить возможного преувеличения тесноты связи, используется скорректированный индекс множественной корреляции, который содержит поправку на число степеней свободы:

где к — число объясняющих переменных; п — число элементов в выборке.

Чем больше к, тем сильнее различия R 2 и R 2 .

Содержание

В этом документе собраны основные сведения из алгебры матриц и векторов, которые используются в хемометрике. Приведенный текст не может служить учебником по матричной алгебре — он скорее является конспектом, справочником в этой области. Более глубокое и систематическое изложение может быть найдено в литературе.

Текст разбит на две части названные — «Базовые сведения» и «Дополнительная информация». В первой части изложены положения, минимально необходимые для понимания хемометрики, а во второй части — факты, которые необходимо знать для более глубокого постижения методов многомерного анализа. Изложение иллюстрируется примерами, выполненными в рабочей книге Excel Matrix.xls, которая сопровождает этот документ.

Ссылки на примеры помещены в текст как объекты Excel. Эти примеры имеют абстрактный характер, они никак не привязаны к задачам аналитической химии. Реальные примеры использования матричной алгебры в хемометрике рассмотрены в других текстах, посвященных разнообразным хемометрическим приложениям.

Большинство измерений, проводимых в аналитической химии, являются не прямыми, а косвенными . Это означает, что в эксперименте вместо значения искомого аналита C (концентрации) получается другая величина x (сигнал), связанная, но не равная C, т.е. x (C) ≠ С. Как правило, вид зависимости x (C) не известен, однако, к счастью, в аналитической химии большинство измерений пропорциональны. Это означает, что при увеличении концентрации С в a раз, сигнал X увеличится на столько же., т.е. x ( a C) = a x (C). Кроме того, сигналы еще и аддитивны, так что сигнал от пробы, в которой присутствуют два вещества с концентрациями C 1 и C 2 , будет равен сумме сигналов от каждого компонента, т.е. x (C 1 + C 2 ) = x (C 1 )+ x (C 2 ). Пропорциональность и аддитивность вместе дают линейность . Можно привести много примеров, иллюстрирующих принцип линейности, но достаточно упомянуть два самых ярких примера — хроматографию и спектроскопию. Вторая особенность, присущая эксперименту в аналитической химии — это многоканальность . Современное аналитическое оборудование одновременно измеряет сигналы для многих каналов. Например, измеряется интенсивность пропускания света сразу для нескольких длин волн, т.е. спектр. Поэтому в эксперименте мы имеем дело со множеством сигналов x 1 , x 2 . x n , характеризующих набор концентраций C 1 ,C 2 , . C m веществ, присутствующих в изучаемой системе.

Итак, аналитический эксперимент характеризуется линейностью и многомерностью. Поэтому удобно рассматривать экспериментальные данные как векторы и матрицы и манипулировать с ними, используя аппарат матричной алгебры. Плодотворность такого подхода иллюстрирует пример, показанный на Рис. 1, где представлены три спектра, снятые для 200 длин волн от 4000 до 4796 cm −1 . Первый ( x 1 ) и второй ( x 2 ) спектры получены для стандартных образцов, в которых концентрация двух веществ A и B, известны: в первом образце [A] = 0.5, [B] = 0.1, а во втором образце [A] = 0.2, [B] = 0.6. Что можно сказать о новом, неизвестном образце, спектр которого обозначен x 3 ?

Рассмотрим три экспериментальных спектра x 1 , x 2 и x 3 как три вектора размерности 200. Средствами линейной алгебры можно легко показать, что x 3 = 0.1 x 1 +0.3 x 2 , поэтому в третьем образце очевидно присутствуют только вещества A и B в концентрациях [A] = 0.5×0.1 + 0.2×0.3 = 0.11 и [B] = 0.1×0.1 + 0.6×0.3 = 0.19.

1. Базовые сведения

1.1 Матрицы

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, например

Матрицы обозначаются заглавными полужирными буквами ( A ), а их элементы — соответствующими строчными буквами с индексами, т.е. a ij . Первый индекс нумерует строки, а второй — столбцы. В хемометрике принято обозначать максимальное значение индекса той же буквой, что и сам индекс, но заглавной. Поэтому матрицу A можно также записать как < a ij , i = 1. I ; j = 1. J >. Для приведенной в примере матрицы I = 4, J = 3 и a 23 = −7.5.

Пара чисел I и J называется размерностью матрицы и обознается как I × J . Примером матрицы в хемометрике может служить набор спектров, полученный для I образцов на J длинах волн.

1.2. Простейшие операции с матрицами

Матрицы можно умножать на числа. При этом каждый элемент умножается на это число. Например —

Рис. 3 Умножение матрицы на число

Две матрицы одинаковой размерности можно поэлементно складывать и вычитать. Например,

Рис. 4 Сложение матриц

В результате умножения на число и сложения получается матрица той же размерности.

Нулевой матрицей называется матрица, состоящая из нулей. Она обозначается O . Очевидно, что A + O = A , A − A = O и 0 A = O .

Матрицу можно транспонировать . При этой операции матрица переворачивается, т.е. строки и столбцы меняются местами. Транспонирование обозначается штрихом, A ‘ или индексом A t . Таким образом, если A = < a ij , i = 1. I ; j = 1. J >, то A t = < a ji , j = 1. J ; i = 1. I >. Например

Рис. 5 Транспонирование матрицы

Очевидно, что ( A t ) t = A , ( A + B ) t = A t + B t .

1.3. Умножение матриц

Матрицы можно перемножать, но только в том случае, когда они имеют соответствующие размерности. Почему это так, будет ясно из определения. Произведением матрицы A , размерностью I × K , и матрицы B , размерностью K × J , называется матрица C , размерностью I × J , элементами которой являются числа

Таким образом для произведения AB необходимо, чтобы число столбцов в левой матрице A было равно числу строк в правой матрице B . Пример произведения матриц —

Рис.6 Произведение матриц

Правило перемножения матриц можно сформулировать так. Для того, чтобы найти элемент матрицы C , стоящий на пересечении i -ой строки и j -ого столбца ( c ij ) надо поэлементно перемножить i -ую строку первой матрицы A на j -ый столбец второй матрицы B и сложить все результаты. Так в показанном примере, элемент из третьей строки и второго столбца, получается как сумма поэлементных произведений третьей строки A и второго столбца B

Рис.7 Элемент произведения матриц

Произведение матриц зависит от порядка, т.е. AB ≠ BA , хотя бы по соображениям размерности. Говорят, что оно некоммутативно. Однако произведение матриц ассоциативно. Это означает, что ABC = ( AB ) C = A ( BC ). Кроме того, оно еще и дистрибутивно, т.е. A ( B + C ) = AB + AC . Очевидно, что AO = O .

1.4. Квадратные матрицы

Если число столбцов матрицы равно числу ее строк ( I = J = N ), то такая матрица называется квадратной. В этом разделе мы будем рассматривать только такие матрицы. Среди этих матриц можно выделить матрицы, обладающие особыми свойствами.

Единичной матрицей (обозначается I, а иногда E ) называется матрица, у которой все элементы равны нулю, за исключением диагональных, которые равны 1, т.е.

Очевидно AI = IA = A .

Матрица называется диагональной , если все ее элементы, кроме диагональных ( a ii ) равны нулю. Например

Рис. 8 Диагональная матрица

Матрица A называется верхней треугольной , если все ее элементы, лежащие ниже диагонали, равны нулю, т.е. a ij = 0, при i > j . Например

Рис. 9 Верхняя треугольная матрица

Аналогично определяется и нижняя треугольная матрица.

Матрица A называется симметричной , если A t = A . Иными словами a ij = a ji . Например

Рис. 10 Симметричная матрица

Матрица A называется ортогональной , если

Матрица называется нормальной если

1.5. След и определитель

Следом квадратной матрицы A (обозначается Tr( A ) или Sp( A )) называется сумма ее диагональных элементов,

Рис. 11 След матрицы

Sp(α A ) = α Sp( A ) и

Sp( A + B ) = Sp( A )+ Sp( B ).

Можно показать, что

Sp( A ) = Sp( A t ), Sp( I ) = N ,

Другой важной характеристикой квадратной матрицы является ее определитель (обозначается det( A )). Определение определителя в общем случае довольно сложно, поэтому мы начнем с простейшего варианта — матрицы A размерностью (2×2). Тогда

Для матрицы (3×3) определитель будет равен

В случае матрицы ( N × N ) определитель вычисляется как сумма 1·2·3· . · N = N ! слагаемых, каждый из которых равен

Индексы k 1 , k 2 . k N определяются как всевозможные упорядоченные перестановки r чисел в наборе (1, 2, . , N ). Вычисление определителя матрицы — это сложная процедура, которую на практике осуществляется с помощью специальных программ. Например,

Рис. 12 Определитель матрицы

Отметим только очевидные свойства:

det( I ) = 1, det( A ) = det( A t ),

det( AB ) = det( A )det( B ).

1.6. Векторы

Если матрица состоит только из одного столбца ( J = 1), то такой объект называется вектором . Точнее говоря, вектором-столбцом. Например

Можно рассматривать и матрицы, состоящие из одной строки, например

Этот объект также является вектором, но вектором-строкой . При анализе данных важно понимать, с какими векторами мы имеем дело — со столбцами или строками. Так спектр, снятый для одного образца можно рассматривать как вектор-строку. Тогда набор спектральных интенсивностей на какой-то длине волны для всех образцов нужно трактовать как вектор-столбец.

Размерностью вектора называется число его элементов.

Ясно, что всякий вектор-столбец можно превратить в вектор-строку транспонированием, т.е.

В тех случаях, когда форма вектора специально не оговаривается, а просто говорится вектор, то имеют в виду вектор-столбец. Мы тоже будем придерживаться этого правила. Вектор обозначается строчной прямой полужирной буквой. Нулевым вектором называется вектор, все элементы которого раны нулю. Он обозначается 0 .

1.7. Простейшие операции с векторами

Векторы можно складывать и умножать на числа так же, как это делается с матрицами. Например,

Рис. 13 Операции с векторами

Два вектора x и y называются колинеарными , если существует такое число α, что

1.8. Произведения векторов

Два вектора одинаковой размерности N можно перемножить. Пусть имеются два вектора x = ( x 1 , x 2 . x N ) t и y = ( y 1 , y 2 . y N ) t . Руководствуясь правилом перемножения «строка на столбец», мы можем составить из них два произведения: x t y и xy t . Первое произведение

называется скалярным или внутренним . Его результат — это число. Для него также используется обозначение ( x , y ) = x t y . Например,

Рис. 14 Внутреннее (скалярное) произведение

называется внешним . Его результат — это матрица размерности ( N × N ). Например,

Рис. 15 Внешнее произведение

Векторы, скалярное произведение которых равно нулю, называются ортогональными .

1.9. Норма вектора

Скалярное произведение вектора самого на себя называется скалярным квадратом. Эта величина

определяет квадрат длины вектора x . Для обозначения длины (называемой также нормой вектора) используется обозначение

Рис. 16 Норма вектора

Вектор единичной длины (|| x || = 1) называется нормированным. Ненулевой вектор ( x ≠ 0 ) можно нормировать, разделив его на длину, т.е. x = || x || ( x/ || x ||) = || x || e . Здесь e = x/ || x || — нормированный вектор.

Векторы называются ортонормированными, если все они нормированы и попарно ортогональны.

1.10. Угол между векторами

Скалярное произведение определяет и угол φ между двумя векторами x и y

Если вектора ортогональны, то cosφ = 0 и φ = π/2, а если они колинеарны, то cosφ = 1 и φ = 0.

1.11. Векторное представление матрицы

Каждую матрицу A размера I × J можно представить как набор векторов

Здесь каждый вектор a j является j -ым столбцом, а вектор-строка b i является i -ой строкой матрицы A

1.12. Линейно зависимые векторы

Векторы одинаковой размерности ( N ) можно складывать и умножать на число, также как матрицы. В результате получится вектор той же размерности. Пусть имеется несколько векторов одной размерности x 1 , x 2 . x K и столько же чисел α α 1 , α 2 . α K . Вектор

y = α 1 x 1 + α 2 x 2 +. + α K x K

называется линейной комбинацией векторов x k .

Если существуют такие ненулевые числа α k ≠ 0, k = 1. K , что y = 0 , то такой набор векторов x k называется линейно зависимым . В противном случае векторы называются линейно независимыми. Например, векторы x 1 = (2, 2) t и x 2 = (−1, −1) t линейно зависимы, т.к. x 1 +2 x 2 = 0

1.13. Ранг матрицы

Рассмотрим набор из K векторов x 1 , x 2 . x K размерности N . Рангом этой системы векторов называется максимальное число линейно-независимых векторов. Например в наборе

имеются только два линейно независимых вектора, например x 1 и x 2 , поэтому ее ранг равен 2.

Очевидно, что если векторов в наборе больше, чем их размерность ( K > N ), то они обязательно линейно зависимы.

Рангом матрицы (обозначается rank( A )) называется ранг системы векторов, из которых она состоит. Хотя любую матрицу можно представить двумя способами (векторы столбцы или строки), это не влияет на величину ранга, т.к.

rank( A ) = rank( A t ).

1.14. Обратная матрица

Квадратная матрица A называется невырожденной, если она имеет единственную обратную матрицу A -1 , определяемую условиями

Обратная матрица существует не для всех матриц. Необходимым и достаточным условием невырожденности является

det( A ) ≠ 0 или rank( A ) = N .

Обращение матрицы — это сложная процедура, для выполнения которой существуют специальные программы. Например,

Рис. 17 Обращение матрицы

Приведем формулы для простейшего случая — матрицы 2×2

Если матрицы A и B невырождены, то

1.15. Псевдообратная матрица

Если матрица A вырождена и обратная матрица не существует, то в некоторых случаях можно использовать псевдообратную матрицу, которая определяется как такая матрица A + , что

Псевдобратная матрица — не единственная и ее вид зависит от способа построения. Например для прямоугольной матрицы можно использовать метод Мура-Пенроуза.

Если число столбцов меньше числа строк, то

A + =(A t A) −1 A t

Рис. 1 7a Псевдообращение матрицы

Если же число столбцов больше числа строк, то

A + =A t (AA t ) −1

1.16. Умножение вектора на матрицу

Вектор x можно умножать на матрицу A подходящей размерности. При этом вектор-столбец умножается справа Ax , а вектор строка — слева x t A . Если размерность вектора J , а размерность матрицы I × J то в результате получится вектор размерности I . Например,

Рис. 18 Умножение вектора на матрицу

Если матрица A — квадратная ( I × I ), то вектор y = Ax имеет ту же размерность, что и x . Очевидно, что

A (α 1 x 1 + α 2 x 2 ) = α 1 Ax 1 + α 2 Ax 2 .

Поэтому матрицы можно рассматривать как линейные преобразования векторов. В частности Ix = x , Ox = 0 .

2. Дополнительная информация

2.1. Системы линейных уравнений

Пусть A — матрица размером I × J , а b — вектор размерности J . Рассмотрим уравнение

относительно вектора x , размерности I . По сути — это система из I линейных уравнений с J неизвестными x 1 . x J . Решение существует в том, и только в том случае, когда

rank( A ) = rank( B ) = R ,

где B — это расширенная матрица размерности I ×( J+1 ), состоящая из матрицы A , дополненной столбцом b , B = ( A b ). В противном случае уравнения несовместны.

Если R = I = J , то решение единственно

Если R I , то существует множество различных решений, которые можно выразить через линейную комбинацию J − R векторов. Система однородных уравнений Ax = 0 с квадратной матрицей A ( N × N ) имеет нетривиальное решение ( x ≠ 0 ) тогда и только тогда, когда det( A ) = 0. Если R = rank( A ) N , то существуют N − R линейно независимых решений.

2.2. Билинейные и квадратичные формы

Если A — это квадратная матрица , а x и y — вектора соответствующей размерности, то скалярное произведение вида x t Ay называется билинейной формой , определяемой матрицей A . При x = y выражение x t Ax называется квадратичной формой.

2.3. Положительно определенные матрицы

Квадратная матрица A называется положительно определенной, если для любого ненулевого вектора x ≠ 0 ,

Аналогично определяются отрицательно ( x t Ax x t Ax ≥ 0) и неположительно ( x t Ax ≤ 0) определенные матрицы.

2.4. Разложение Холецкого

Если симметричная матрица A положительно определена, то существует единственная треугольная матрица U с положительными элементами, для которой

Рис. 19 Разложение Холецкого

2.5. Полярное разложение

Пусть A — это невырожденная квадратная матрица размерности N × N . Тогда существует однозначное полярное представление

где S — это неотрицательная симметричная матрица, а R — это ортогональная матрица. Матрицы S и R могут быть определены явно:

S 2 = AA t или S = ( AA t ) ½ и R = S −1 A = ( AA t ) −½ A .

Рис. 20 Полярное разложение

Если матрица A вырождена, то разложение не единственно — а именно: S по-прежнему одна, а вот R может быть много. Полярное разложение представляет матрицу A как комбинацию сжатия/растяжения S и поворота R .

2.6. Собственные векторы и собственные значения

Пусть A — это квадратная матрица. Вектор v называется собственным вектором матрицы A , если

где число λ называется собственным значением матрицы A . Таким образом преобразование, которое выполняет матрица A над вектором v , сводится к простому растяжению или сжатию с коэффициентом λ. Собственный вектор определяется с точностью до умножения на константу α ≠ 0, т.е. если v — собственный вектор, то и α v — тоже собственный вектор.

2.7. Собственные значения

У матрицы A , размерностью ( N × N ) не может быть больше чем N собственных значений. Они удовлетворяют характеристическому уравнению

являющемуся алгебраическим уравнением N -го порядка. В частности, для матрицы 2×2 характеристическое уравнение имеет вид

Рис. 21 Собственные значения

Набор собственных значений λ 1 . λ N матрицы A называется спектром A .

Спектр обладает разнообразными свойствами. В частности

det( A ) = λ 1 ×. ×λ N , Sp( A ) = λ 1 +. +λ N .

Собственные значения произвольной матрицы могут быть комплексными числами, однако если матрица симметричная ( A t = A ), то ее собственные значения вещественны.

2.8. Собственные векторы

У матрицы A , размерностью ( N × N ) не может быть больше чем N собственных векторов, каждый из которых соответствует своему собственному значению. Для определения собственного вектора v n нужно решить систему однородных уравнений

Она имеет нетривиальное решение, поскольку det( A − λ n I ) = 0.

Рис. 22 Собственные вектора

Собственные вектора симметричной матрицы ортогональны.

2.9. Эквивалентные и подобные матрицы

Две прямоугольные матрицы A и B одной размерности I × J эквивалентны , если существуют такие квадратные матрицы S , размерности I × I , и T , размерности J × J , что

Эквивалентные матрицы имею один и тот же ранг.

Две прямоугольные матрицы A и B одной размерности N × N подобны , если существует такая невырожденная матрица T , что

Матрица T называется преобразованием подобия.

Подобные матрицы имеют один и тот же ранг, след, определитель и спектр.

2.10. Приведение матрицы к диагональному виду

Нормальную (в частности симметричную) матрицу A можно привести к диагональному виду преобразованием подобия —

Здесь Λ = diag(λ 1 . λ N ) — это диагональная матрица, элементами которой являются собственные значения матрицы A , а T — это матрица, составленная из соответствующих собственных векторов матрицы A , т.е. T = ( v 1 . v N ).

Рис. 23 Приведение к диагональному виду

2.11. Разложение по сингулярным значениям (SVD)

Пусть имеется прямоугольная матрица A размерностью I × J ранга R ( I ≤ J ≤ R ). Ее можно разложить в произведение трех матриц P R ( I × R ), D R ( R × R ) и Q R ( J × R ) —

.

Здесь P R — матрица, образованная R ортонормированными собственными векторами p r матрицы AA t , соответствующим R наибольшим собственным значениям λ r ;

AA t p r = λ r p r ;

Q R — матрица, образованная R ортонормированными собственными векторами q r матрицы A t A ;

A t Aq r = λ r q r .

D R = diag (σ 1 . σ R ) — положительно определенная диагональная матрица , элементами которой являются σ 1 ≥. ≥σ R ≥0 — сингулярные значения матрицы A , равные квадратным корням из собственных значений матрицы A t A —

Рис. 24 SVD разложение

Дополняя матрицы P R и Q R ортонормированными столбцами, а матрицу D R нулевыми значениями, можно сконструировать матрицы P ( I × J ), D ( J × J ) и Q ( J × J ) такие, что

2.12. Линейное пространство

Рассмотрим все возможные векторы размерности N . Это множество называется линейным пространством размерности N и обозначается R N . Так как в R N включены все возможные векторы, то любая линейная комбинация векторов из R N будет также принадлежать этому пространству.

2.13. Базис линейного пространства

Любой набор из N линейно независимых векторов называется базисом в пространстве R N . Простейший пример базиса — это набор векторов

в каждом из которых только один элемент равен 1, а остальные равны нулю. Тогда любой вектор x = ( x 1 , x 2 . x N ) t может быть представлен как линейная комбинация x = x 1 e 1 + x 2 e 2+ . + x N e N базисных векторов.

Базис, составленный из попарно ортогональных векторов, называется ортогональным , а если базисные вектора еще и нормированы, то этот базис называется ортонормированным .

2.14. Геометрическая интерпретация

Линейному пространству можно дать удобную геометрическую интерпретацию. Представим себе N -мерное пространство, в котором базисные вектора задают направления осей координат. Тогда произвольный вектор x = ( x 1 , x 2 . x N ) t можно изобразить точкой в этом пространстве с координатами ( x 1 , x 2 . x N ).

Рис. 25 Координатное пространство

2.15. Множественность базисов

В линейном пространстве могут быть неограниченное число базисов. Так, в пространстве R 3 помимо обычного ортонормированного базиса

можно установить и другой ортонормированный базис, например

Каждый базис можно представить матрицей B = ( b 1 . b N ), составленной из базисных векторов. Переход от одного базиса к другому осуществляется с помощью невырожденной квадратной матрицы T , т.е. B 2 = TB 1 .

2.16. Подпространство

Пусть имеется набор из K линейно независимых векторов x 1 , x 2 . x K в пространстве R N . Рассмотрим все возможные линейные комбинации этих векторов

x = α 1 x 1 + α 2 x 2 +. + α K x K

О получившимся множестве Q говорят, что оно является линейной оболочкой или что оно натянуто на векторы x 1 , x 2 . x K . По определению линейного пространства это множество Q само является линейным пространством размерности K . При этом оно принадлежит пространству R N , поэтому Q называется линейным подпространством R K в пространстве R N .

2.17. Проекция на подпространство

Рассмотрим подпространство R K , натянутое на векторы X = ( x 1 , x 2 . x K ) в пространстве R N . Матрица базиса X имеет размерность ( N × K ). Любой вектор y из R N может быть спроецирован на подпространство R K , т.е. представлен в виде

где вектор y || принадлежит R K , а вектор y ⊥ ортогонален y || .

Рис. 26 Проекция на подпространство

Проекцию y || можно представить как результат действия проекционной матрицы P

Проекционная матрица определяется как

Рис. 27 Проекционное разложение

Заключение

Матричные методы активно используются при анализе данных, в том числе и хемометрическими методами.

Чтобы проверить
является ли система векторов
линейно-зависимой, необходимо составить
линейную комбинацию этих векторов
,
и проверить, может ли она быть рана нулю,
если хот один коэффициент равен нулю.

Случай 1. Система
векторов заданна векторами

Составляем линейную
комбинацию

Мы получили
однородную систему уравнений. Если она
имеет ненулевое решение, то определитель
должен быть равен нулю. Составим
определитель и найдём его значение.

Определитель равен
нулю, следовательно, вектора линейно
зависимы.

Случай 2. Система
векторов заданна аналитическими
функциями:

a)
,
если тождество верно, значит система
линейно зависима.

Составим линейную
комбинацию.

Необходимо
проверить, существуют ли такие a,
b,
c
(хотя бы одна из которых не равна нулю)
при которых данное выражение равно
нулю.

Запишем гиперболические
функции

,
,
тогда

,

тогда линейная
комбинация векторов примет вид:

,
откуда
,
возьмём, например,,
тогда линейная комбинацияравна нулю, следовательно, система
линейно зависима.

Ответ: система
линейно зависима.

b)
,
составим линейную комбинацию

Линейная комбинация
векторов, должна быть равна нулю для
любых значений x.

Проверим для
частных случаев.

Линейная комбинация
векторов равна нулю, только если все
коэффициенты равны нулю.

Следовательно,
система линейно не зависима.

Ответ: система
линейно не зависима.

5.3. Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений.

Сформируем
расширенную матрицу и приведём её к
виду трапеции методом Гаусса.

Получим

Чтоб
получить какой-нибудь базис подставим
произвольные значения:

Получим
остальные координаты

Ответ:

5.4. Найти координаты вектора X в базисе , если он задан в базисе .

Нахождение координат
вектора в новом базисе сводится к решению
системы уравнений

Способ 1.
Нахождение при помощи матрицы перехода

Составим матрицу
перехода

Найдём вектор в
новом базисе по формуле

Найдём обратную
матрицу и выполним умножение

,

Способ 2.
Нахождение путем составления системы
уравнений.

Составим базисные
вектора из коэффициентов базиса

,
,

Нахождение вектора
в новом базисе имеет вид

,
где d
это заданный вектор x.

Полученное уравнение
можно решить любым способом, ответ будет
аналогичным.

Ответ: вектор в
новом базисе
.

5.5. Пусть x = (
x₁,
x₂,
x₃
).
Являются ли линейными следующие
преобразования.

Составим матрицы
линейных операторов из коэффициентов
заданных векторов.

Проверим свойство
линейных операций для каждой матрицы
линейного оператора.

Левую часть найдём
умножением матрицы А
на вектор

Правую часть
найдем, умножив заданный вектор на
скаляр
.

Мы видим, что
значит, преобразование не является
линейным.

Проверим другие
вектора.

,
преобразование не является линейным.

,
преобразование является линейным.

Ответ: Ах
– не линейное преобразование, Вх
– не линейное, Сх
– линейное.

Примечание.
Можно выполнить данное задание гораздо
проще, внимательно посмотрев на заданные
вектора. В Ах
мы видим, что есть слагаемые которые не
содержат элементы х,
что не могло быть получено в результате
линейной операции. В Вх
есть элемент х
в третьей степени, что также не могло
быть получено умножением на вектор х.

5.6. Дано x
= {
x₁,
x₂,
x₃
},
Ax
= {
x₂
–
x₃,
x₁,
x₁
+ x₃
},
Bx
= {
x₂,
2x₃,
x₁
}.
Выполнить заданную операцию: (
A(
B
– A
))x
.

Выпишем матрицы
линейных операторов.

Выполним операцию
над матрицами

При умножении
полученной матрицы на Х, получим

Ответ:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

  03.03.2016959.94 Кб5PT.pdf

• #

Содержание:

Векторы на плоскости и в пространстве:

Обобщим некоторые сведения о векторах, известные в основном из школьного курса геометрии.

Вектором называется направленный отрезок

Векторы могут обозначаться как двумя прописными буквами, так и одной строчной с чертой или стрелкой, либо выделяться жирным шрифтом, например:

Длиной (или модулем) вектора называется число, равное длине отрезка , изображающего вектор.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коминеарными.

Если начало и конец вектора совпадают, например , то такой вектор называют нулевым и обозначают . Длина нулевого вектора равна нулю: . Так как направление нулевого вектора произвольно, то считают, что он коллинеарен любому вектору.

Произведением вектора на число называется вектор , имеющий длину направление которого совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если (рис. 3.2).

Противоположным вектором называется произведение вектора на число

Рис. 32

Суммой двух векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец с концом вектора при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора (рис. 3.3) (правило треугольника).

Очевидно, что вектор в этом случае представляет диагональ параллелограмма, построенного на векторах и (рис. 3.3) (правило параллелограмма).

Аналогично определяется сумма нескольких векторов. Так, например, сумма четырех векторов (рис. 3.4а) есть вектор начало которого совпадает с началом вектора , а конец — с концом вектора (правило многоугольника) (рис. 3.4 б).

Нетрудно убедиться. что вектор определяемый таким образом, представляет диагональ параллелепипеда, построенного на векторах ,и , не лежащих в одной плоскости или в параллельных плоскостях (правило параллелепипеда) (рис. 3.5).

Разностью двух векторов и называется сумма вектора и вектора , противоположного (рис. 3.6).

Легко убедиться в том, что в параллелограмме, построенном на векторах и одна диагональ — вектор —представляет сумму векторов и , а другая диагональ — вектор — их разность (рис. 3.7).

Перенесем вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом координат. Координатами вектора называются координаты его конечной точки. Так, вектор на плоскости являются два числа и ( — рис. 3.8.), а в пространстве — три числа и — рис. 3.9).

В соответствии с определениями, приведенными выше, нетрудно показать, что суммой и разностью векторов и являются соответственно векторы

,

а произведение вектора на число есть вектор На рис. 3.8 и 3.9 видно, что длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:

или

Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Выразим скалярное произведение через координаты векторов и .

Из треугольника (рис. 3.7), сторонами которого являются векторы и по теореме косинусов следует, что

, откуда

Учитывая формулу длины вектора (3.1) найдем

и после преобразования выражения (3.2) получим

т.е. скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

Заметим, что при угол и

т.е. скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

В частности, расстояние между двумя точками плоскости можно рассматривать как длину вектора

Поэтому

Угол между векторами и определяется по формуле

Пример:

Даны векторы

Найти: а)векторы б)длины векторов и ; в) скалярный квадрат вектора ; г) скалярное произведение векторов д)угол между векторами

Решение:

а) По определению

б) По формуле (3.1) найдем длины векторов

в) По формуле (3.4) скалярный квадрат равен квадрату модуля вектора, т.е.

г) По формуле (3.3) скалярное произведение

д) По формуле (3.6) угол между векторами определяется равенством:

>мерный вектор и векторное пространство

Множества всех плоских или пространственных векторов, рассмотренных выше, в которых определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, являются простейшими примерами векторных пространств. Ниже обобщается понятие вектора и дается определение векторного пространства.

Определение.-мерным вектором называется упорядоченная совокупность действительных чисел, записываемых в виде где — -я компонента вектора .

Понятие -мерного вектора широко используется в экономике, например некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором , а соответствующие цены — вектором

Два -мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т.е. если

Суммой двух векторов одинаковой размерности п называется вектор компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, т.е.

Произведением вектора на действительное число называется вектор , компоненты которого равны произведению на соответствующие компоненты вектора , т.е.

Линейные операции над любыми векторами удовлетворяют следующим свойствам:

1. — коммутативное (переместительное) свойство суммы:
2. — ассоциативное (сочетательное) свойство суммы;
3. — ассоциативное относительно числового множителя свойство;
4. — дистрибутивное (распределительное) относительно суммы векторов свойство;
5. —дистрибутивное относительно суммы числовых множителей свойство;
6. Существует нулевой вектор такой, что для любого вектора (особая роль нулевого вектора);
7. Для любого вектора существует противоположный вектор такой, что
8. для любого вектора (особая роль числового множителя 1).

Определение. Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным выше восьми свойствам (рассматриваемым как аксиомы), называется векторным пространством.

Следует отметить, что под можно рассматривать не только векторы, но и элементы (объекты) любой природы. В этом случае соответствующее множество элементов называется линейным пространством.

Линейным пространством является, например, множество всех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурального числа Легко убедиться, что если х и у — многочлены степени не выше п, то они будут обладать свойствами 1—8. Заметим для сравнения, что, например, множество всех многочленов степени, точно равной натуральному числу , не является линейным пространством, так как в нем не определена операция сложения элементов, ибо сумма двух многочленов может оказаться многочленом степени ниже . А множество многочленов степени не выше , но с положительными коэффициентами также не является линейным пространством, поскольку в этом множестве не определена операция умножения элемента на число: такие многочлены нельзя умножать на отрицательные числа.

Из определения векторного (линейного) пространства, в частности из аксиом 1-8, вытекает существование единственного нулевого вектора, равного произведению произвольного вектора на действительное число 0 и существование для каждого вектора единственного противоположного вектора (—), равного произведению этого вектора на действительное число (- 1).

Размерность и базис векторного пространства

Понятия линейной комбинации, линейной зависимости и независимости векторов вводятся аналогично тому, как это было сделано в § 1.6 для строк матрицы.

Определение. Вектор называется линейной комбинацией векторов векторного пространства если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа:

где — какие угодно действительные числа.

Определение. Векторы векторного пространства называются линейно зависимыми, если существуют такие числа не равные одновременно нулю, что

В противном случае векторы называются линейно независимыми.

Из приведенных выше определений следует, что векторы линейно независимы, если равенство (3.8) справедливо лишь при и линейно зависимы, если это равенство выполняется, когда хотя бы одно из чисел отлично от нуля.

Можно показать (аналогично § 1.6), что если векторы линейно зависимы, то по крайней мере один из них линейно выражается через остальные. Верно и обратное утверждение о том, что если один из векторов выражается линейно через остальные, то все эти векторы в совокупности линейно зависимы.

Примером линейно независимых векторов являются два не-коллинеарных, т.е. не параллельных одной прямой, вектора и на плоскости. Действительно, условие (3.8) будет выполняться лишь в случае, когда , ибо если, например, , то , и векторы коллинеарны. Однако любые три вектора плоскости линейно зависимы.

Отметим некоторые свойства векторов линейного пространства:

1. Если среди векторов имеется нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы. В самом деле, если, например, то равенство (3.8) справедливо при
2. Если часть векторов являются линейно зависимыми, то и все эти векторы — линейно зависимые. Действительно, если, например, векторы линейно зависимы, то справедливо равенство в котором не все числа равны нулю. Но тогда с теми же числами и будет справедливо равенство (3.8).

Пример:

Выяснить, являются ли векторы и линейно зависимыми.

Решение:

Составим векторное равенство Записывая в виде вектор-столбцов, получим

Задача свелась таким образом к решению системы:

Решая систему методом Гаусса (см. § 2.3), приведем ее к виду:

откуда найдем, бесконечное множество ее решений , где с — произвольное действительное число.

Итак, для ‘данных векторов условие (3.8) выполняется не только при (а, например, при при и т.д.), следовательно, эти векторы — линейно зависимые. ►

Определение. Линейное пространство называется -мерным, если в нем существует я линейно независимых векторов, а любые из векторов уже являются зависимыми. Другими словами, размерность пространства — это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Число называется размерностью пространства и обозначается

Определение. Совокупность линейно независимых векторов -мерного пространства называется базисом. Справедлива следующая теорема.

Теорема. Каждый вектор линейного пространства можно представить притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса.

Пусть векторы образуют произвольный базис -мерного пространства . Так как любые из ( +1) векторов -мерного пространства R зависимы, то будут зависимы, в частности, векторы и рассматриваемый вектор . Тогда существуют такие не равные одновременно нулю числачто

При этом , ибо в противном случае, если и хотя бы одно из чисел было бы отлично от нуля, то векторы были бы линейно зависимы. Следовательно,

или

где

Это выражение через единственное, так как если допустить какое-либо другое выражение, например,

то, вычитая из него почленно (3.9), получим

откуда из условия линейной независимости векторов следует, что ‘

или

Равенство (3.9) называется разложением вектора по базису , а числа — координатами вектора относительно этого базиса. В силу единственности разложения (3.9) каждый вектор однозначно может быть определен координатами в некотором базисе.

Очевидно, что нулевой вектор имеет все нулевые координаты, а вектор, противоположный данному, — противоположные по знаку координаты.

Важное значение имеет следующая теорема.

Теорема. Если — система линейно независимых векторов пространства и любой вектор линейно выражается через , то пространство является n-мерным, а векторы — его базисом.

Возьмем произвольные векторов пространства , где По условию каждый из них можно линейно выразить через :

Рассмотрим матрицу

Ранг этой матрицы не превосходит , следовательно, среди ее строк не более линейно независимых. Так как , то строк этой матрицы, а значит, и векторов линейно зависимы. Таким образом, пространство -мерно и — его базис. ■

Пример:

В базисе заданы векторы и Показать, что векторы образуют базис.

Решение:

Векторы образуют базис, если они линейно независимы. Составим векторное равенство: Решая его аналогично примеру 3.2, можно убедиться в единственном нулевом его решении: , т.е. векторы образуют систему линейно независимых векторов и, следовательно, составляют базис. ►

Переход к новому базису

Пусть в пространстве имеются два базиса: старый и новый Каждый из векторов нового базиса можно выразить в виде линейной комбинации векторов старого базиса:

Полученная система означает, что переход от старого базиса кновому задается матрицей перехода и тд.

причем коэффициенты разложения новых базисных векторов по старому базису образуют столбцы этой матрицы.

Матрица — неособенная, так как в противном случае ее столбцы (а следовательно, и базисные векторы) оказались бы линейно зависимыми. Обратный переход от нового базиса к старому базису осуществляется с помощью обратной матрицы .

Найдем зависимость между координатами вектора в разных базисах. Пусть рассматриваемый вектор имеет координаты относительно старого базиса и координаты относительно нового базиса, т.е.

Подставив значения из системы (3.10) в левую часть равенства (3.11), получим после преобразований:

т.е. в матричной форме

Пример:

По условию примера 3.3 вектор заданный в базисе , выразить в базисе .

Решение:

Выразим связь между базисами:

Матрица перехода от базиса к базису имеет вид Вычисляем Теперь по (3.12)

т.е. новые координаты вектора в базисе есть 0,5; 2 и -0,5 и вектор может быть представлен в виде:

Евклидово пространство

Выше мы определили линейное (векторное) пространство, в котором можно складывать векторы и умножать их на числа, ввели понятие размерности и базиса, а теперь в данном пространстве введем метрику, т.е. способ измерять длины и углы. Это можно, например, сделать, если ввести понятие скалярного произведения.

Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число

Скалярное произведение имеет экономический смысл. Если есть вектор объемов различных товаров, а вектор их цен, то скалярное произведение выражает суммарную стоимость этих товаров.

Скалярное произведение имеет следующие свойства:

1. — коммутативное свойство;
2. — дистрибутивное свойство;
3. — для любого действительного числа;
4. если — ненулевой вектор; , если — нулевой вектор.

Определение. Линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным четырем свойствам (рассматриваемым как аксиомы), называется евклидовым пространством.

Длиной (нормой) вектора в евклидовом пространстве называется корень квадратный из его скалярного квадрата:

Имеют место следующие свойства длины вектора:

1. тогда и только тогда, когда ;

2. , где — действительное число;

3.

(неравенство Коши—Буняковского);

4. (неравенство треугольника).

Угол между двумя векторами и определяется равенством

где

Такое определение вполне корректно, так как согласно неравенству Коши—Буняковского (3.15) , т.е.

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Очевидно, что нулевой вектор ортогонален любому другому вектору. Из определения следует, что если два ненулевых вектора ортогональны, то угол между ними равен (ибо ).

Векторы-мерного евклидова пространства образуют ортогональный базис, если эти векторы попарно ортогональны, и ортонормированный базис, если эти векторы попарно ортогональны и норма каждого из них равна единице, т.е. если при и | при

Для установления корректности приведенного определения необходимо убедиться в том, что входящие в него векторы образуют один из базисов рассматриваемого -мерного пространства (т.е. ). Для этого достаточно показать, что векторы линейно независимы, т.е. равенство

справедливо лишь при

Действительно, умножая скалярно равенство (3.17) на любой вектор , получим

откуда, учитывая, что при и при всех , вытекает, что при всех

Сформулируем теперь (без доказательства) основную теорему.

Теорема. Во всяком -мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Примером ортонормированного базиса является система единичных векторов у которых -я компонента равна единице, а остальные компоненты равны нулю:

Линейные операторы

Одно из фундаментальных понятий матричной алгебры — понятие линейного оператора.

Рассмотрим два линейных пространства: размерности и размерности

Определение. Если задан закон (правило), по которому каждому вектору пространства ставится в соответствие единственный вектор у пространства , то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение) действующий из в , и записывают

Оператор (преобразование) называется линейным, если для любых векторов и пространства и любого числа выполнился соотношения:

Вектор называется образом вектора , а сам вектор — прообразом вектора .

Если пространства и совпадают, то оператор отображает пространство в себя. Именно такие операторы мы будем рассматривать в дальнейшем.

Выберем в пространстве базис eh и, учитывая (3.9), запишем разложение произвольного вектора по данному базису:

В силу линейности оператора получаем

Поскольку — также вектор из , то его можно разложить по базис. Пусть

Тогда

С другой стороны, вектор, имеющий в том же базисе координаты , можно записать так:

Ввиду единственности разложения вектора по базису равны правые части равенства (3.19) и (3.20), откуда

Матрица называется матрицей оператора в базисе , а ранг матрицы — рангом оператора .

Таким образом, каждому линейному оператору соответствует матрица в данном базисе. Справедливо и обратное: всякой матрице -го порядка соответствует линейный оператор -мерного пространства.

Связь между вектором и его образом можно выразить в матричной форме уравнением

где — матрица линейного оператора, — матрицы-столбцы из координат векторов и

Пример:

Пусть в пространстве линейный оператор в базисе задан матрицей Найти образ вектора

Решение:

По формуле (3.21) имеем

Следовательно, ►

Определим действия над линейными операторами.

Суммой двух линейных операторов и называется оператор , определяемый равенством:

Произведением линейного оператора на число называется оператор , определяемый равенством

Произведением линейных операторов и называется оператор , определяемый равенством:

Можно убедиться в том, что операторы, полученные в результате этих действий, удовлетворяют отмеченным выше свойствам аддитивности и однородности, т.е. являются линейными.

Определим нулевой оператор , переводящий все векторы пространства в нулевые векторы , и тождественный оператор , действующий по правилу:

Зависимость между матрицами одного и того же оператора в разных базисах выражается теоремой.

Теорема. Матрицы и линейного оператора в базисах и связаны соотношением

где — матрица перехода от старого базиса к новому.

При воздействии линейного оператора вектор пространства переводится в вектор этого пространства, т.е. справедливо равенство (3.21) (в старом базисе) и равенство

(в новом базисе). Так как — матрица перехода от старого базиса к новому, то в соответствии с (3.12)

Умножим равенство (3.24) слева на матрицу , получим или с учетом (3.21) . Заменив левую часть полученного выражения в соответствии с (3.25), имеем: или . Сравнивая найденное выражение с (3.23), мы получим доказываемую формулу (3.22).

Пример:

В базисе оператор (преобразование) имеет матрицу . Найти матрицу оператора в базисе

Решение:

Матрица перехода здесь , а обратная к ней матрица Следовательно, по (3.22)

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Определение. Вектор называется собственным вектором линейного оператора , если найдется такое число , что

Число называется собственным значением оператора (матрицы ), соответствующим вектору .

Из определения следует, что собственный вектор под действием линейного оператора переходит в вектор, коллинеарный самому себе, т.е. просто умножается на некоторое число. В то же время несобственные векторы преобразуются более сложным образом. В связи с этим понятие собственного вектора является очень полезным и удобным при изучении многих вопросов матричной алгебры и ее приложений.

Равенство (3.26) можно записать в матричной форме:

где вектор представлен в виде вектора-столбца, или в развернутом виде

Перепишем систему так, чтобы в правых частях были нули:

или в матричном виде

Полученная однородная система всегда имеет нулевое решение Для существования ненулевого решения (см. § 2.5) необходимо и достаточно, чтобы определитель системы

Определитель является многочленом -й степени относительно . Этот многочлен называется характеристическим многочленом оператора или матрицы , а уравнение (3.28) — характеристическим уравнением оператора или матрицы .

Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса. В самом деле, преобразуем характеристический многочлен полученный в новом базисе , если известна матрица перехода от старого базиса к новому. С учетом (3.22) получим

Учитывая, что определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению определителей этих матриц (см. §1.4), получим

независимо от выбора базиса.

Пример:

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей

Решение:

Составляем характеристическое уравнение

откуда собственные значения линейного оператора

Находим собственный вектор , соответствующий собственному значению. Для этого решаем матричное уравнение

откуда находим . Положив , получим, что векторы при любом являются собственными векторами линейного оператора с собственным значением

Аналогично можно убедиться в том, что векторы при любом являются собственными векторами линейного оператора с собственным значением

Наиболее простой вид принимает матрица линейного оператора , имеющего линейно независимых собственных векторов с собственными значениями, соответственно равными Векторы примем за базисные. Тогда или с учетом (3.18)

откуда если , и ,если . Таким образом, матрица оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов, является диагональной и имеет вид:

Верно и обратное: если матрица линейного оператора в некотором базисе является диагональной, то все векторы этого базиса — собственные векторы оператора .

Можно доказать, что если линейный оператор имеет попарно различных собственных значений, то отвечающие им собственные векторы линейно независимы, и матрица этого оператора в соответствующем базисе имеет диагональный вид.

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Привести матрицу линейного оператора к диагональному виду.

Решение:

В примере 3.7 были найдены собственные значения матрицы и соответствующие им собственные векторы и Так как координаты векторов не пропорциональны, то векторы линейно независимы. Поэтому в базисе, состоящем из любых пар собственных векторов и (т.е. при любых например при из векторов и т.д.), матрица будет иметь диагональный вид: Это легко проверить, взяв, например, в качестве нового базиса линейно независимые собственные векторы и . Действительно, матрица перехода от старого базиса к новому в этом случае будет иметь вид Тогда в соответствии с (3.22) матрица в новом базисе примет вид:

или после вычислений (которые мы опускаем)

т.е. получим ту же диагональную матрицу, элементы которой по главной диагонали равны собственным значениям матрицы . ►

Квадратичные формы

При решении различных прикладных задач часто приходится исследовать квадратичные формы.

Определение. Квадратичной формой от переменных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом:

Предполагаем, что коэффициенты квадратичной формы — действительные числа, причем . Матрица , составленная из этих коэффициентов, называется матрицей квадратичной формы. В матричной записи квадратичная форма имеет вид:

где — матрица-столбец переменных. В самом деле :

и эквивалентность формул (3.29) и (3.30) установлена.

Пример:

Дана квадратичная форма Записать ее в матричном виде.

Решение:

Найдем матрицу квадратичной формы. Ее диагональные элементы равны коэффициентам при квадратах переменных, т.е. 4, 1, -3, а другие элементы — половинам соответствующих коэффициентов квадратичной формы. Поэтому

Выясним, как изменяется квадратичная форма при невырожденном линейном преобразовании переменных.

Пусть матрицы-столбцы переменных и связаны линейным соотношением , где, есть некоторая невырожденная матрица -го порядка. Тогда квадратичная форма

, Итак, при невырожденном линейном преобразовании матрица квадратичной формы принимает вид:

Пример:

Дана квадратичная форма Найти квадратичную форму , полученную из данной линейным преобразованием

Решение:

Матрица данной квадратичной формы , а матрица линейного преобразования

Следовательно, по (3.31) матрица искомой квадратичной формы а квадратичная форма имеет вид

Следует отметить, что при некоторых удачно выбранных линейных преобразованиях вид квадратичной формы можно существенно упростить.

Квадратичная форма , называется канонической (или имеет канонический вид), если все ее коэффициенты

а ее матрица является диагональной. Справедлива следующая теорема.

Теорема. Любая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования переменных может быть приведена к каноническому виду.

Пример:

Привести к каноническому виду квадратичную форму

Решение:

Вначале вьделим полный квадрат при переменной , коэффициент при квадрате которой отличен от нуля:

Теперь выделяем полный квадрат при переменной , коэффициент при которой отличен от нуля:

Итак, невырожденное линейное преобразование

приводит данную квадратичную форму к каноническому виду

Канонический вид квадратичной формы не является однозначно определенным, так как одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими способами. Однако полученные различными способами канонические формы обладают рядом общих свойств. Одно из этих свойств сформулируем в виде теоремы.

Теорема (закон инерции квадратичных форм). Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду.

Например, квадратичную форму в примере 3.10 можно было привести к виду

применив невырожденное линейное преобразование

Как видим, число положительных и отрицательных коэффициентов (соответственно два и один) сохранилось.

Следует отметить, что ранг матрицы квадратичной формы, называемый рангом квадратичной формы, равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не меняется при линейных преобразованиях.

Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной, если при всех значениях переменных, из которых хотя бы одно отлично от нуля,

Так, например, квадратичная форма является положительно определенной, а форма — отрицательно определенной.

Теорема. Для того чтобы квадратичная форма была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы были положительны (отрицательны).

В ряде случаев для установления знакоопределенности квадратичной формы удобнее бывает применить критерий Сильвестра.

Теорема. Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы этой формы были положительны, т.е. где

Следует отметить, что для отрицательно определенных квадратичных форм знаки главных миноров чередуются, начиная со знака «минус» для минора первого порядка. ‘

Пример:

Доказать, что квадратичная форма является положительно определенной.

Решение:

Первый способ. Матрица квадратичной формы имеет вид Для матрицы характеристическое

Решая уравнение, найдем Так как корни характеристического уравнения матрицы положительны, то на основании приведенной теоремы квадратичная форма — положительно определенная.

Второй способ. Так как главные миноры матрицы положительны, то по критерию Сильвестра данная квадратичная форма положительно определенная. ►

Линейная модель обмена

В качестве примера математической модели экономического процесса, приводящейся к понятию собственного вектора и собственного значения матрицы, рассмотрим линейную модель обмена (модель международной торговли).

Пусть имеется стран , национальный доход каждой из которых равен соответственно Обозначим коэффициентами долю национального дохода, которую страна тратит на покупку товаров у страны . Будем считать, что весь национальный доход тратится на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран, т.е.

Рассмотрим матрицу

которая получила название структурной матрицы торговли. В соответствии с (3.32) сумма элементов любого столбца матрицы равна 1.

Для любой страны выручка от внутренней и внешней торговли составит:

Для сбалансированной торговли необходима бездефицитность торговли каждой страны , т.е. выручка от торговли каждой страны должна быть не меньше ее национального дохода:

Если считать, что , то получаем систему неравенств

Сложив все неравенства системы (3.33), получим после группировки

Учитывая (3.32), выражения в скобках равны единице, и мы приходим к противоречивому неравенству

Таким образом, неравенство невозможно, и условие, принимает вид (С экономической точки зрения это понятно, так как все страны не могут одновременно получать прибыль.)

Вводя вектор национальных доходов стран, получим матричное уравнение

В котором вектор х записан в виде вектор-столбца, т.е. задача свелась к отысканию собственного вектора матрицы отвечающего собственному значению

Пример:

Структурная матрица торговли трех стран имеет вид:

Найти соотношение национальных доходов стран для сбалансированной торговли.

Решение:

Находим собственный вектор , отвечающий собственному значению , решив уравнение или систему

методом Гаусса. Найдем т.е. Полученный результат означает, что сбалансированность торговли трех стран достигается при векторе национальных доходов

т.е. при соотношении национальных доходов стран

Содержание:

1. n-мерный вектор и векторное пространство
2. Линейные (векторные) n — мерные пространства
3. Линейные операции над n — измеримыми векторами
4. Скалярное произведение двух векторов
5. Линейная зависимость и независимость векторов
6. Базис n -мерного пространства. Разложение вектора по базису
7. Переход к новому базису. Нахождение базисных решений системы линейных алгебраических уравнений
8. Однородная система уравнений. Особенности решения

n-мерный вектор и векторное пространство

Множество всех векторов, которые мы рассматривали на плоскости или в пространстве и для которых определены операции сложения векторов, умножение вектора на число являются простыми примерами векторного пространства.

Определение 1. Упорядоченное множество n действительных чисел, записанных в виде (a₁, a₂, a₃, …, a_n) называется n- мерным вектором. Числа a₁, a₂, a₃, …, a_n называются координатами вектора , то есть  =  (a₁, a₂, a₃, …, a_n).
Понятие n-мерного вектора широко используется в экономике, например, некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором  =  (a₁, a₂, a₃, …, a_n), а соответственно цены — вектором   = (b₁, b₂, b₃, …, b_n). 

Если у n-мерного вектора одна координата равна единице, а все остальные равны нулю, то такой вектор называется единичным. Очевидно, что существует n различных единичных векторов

исходящих из начала координат — точки О. Все определения и действия для двумерных и трехмерных векторов, заданных в координатной форме, распространяются и на n-мерные векторы (n ≥ 4).

Два  n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда их соответствующие компоненты равны.

Вектор  = (a₁, a₂, a₃, …, a_n)  и вектор   = (b₁, b₂, b₃, …, b_n) равны, когда a_i = b_i (i = 1, 2, 3, …, n).

Суммой двух n-мерных векторов   и   есть третий n-мерный вектор  ,  координаты которого равны сумме соответствующих одноименных координат векторов    и  , то есть с_i = a_i + b_i (i = 1, 2, 3, …, n).

Произведением вектора  на действительное число λ называется вектор , координаты которого d_i равны произведению числа λ на соответствующие координаты вектора  , то есть d_i = λa_i (i = 1, 2, 3, …, n).
Вектор, у которого все координаты равны нулю, называется нулевым вектором и обозначается

Операции над произвольными векторами удовлетворяют свойствам:
1.   — переместительный закон;
2.  — сочетательный закон;
3.  — сочетательный закон, относительно числового множителя;
4. — распределительный закон относительно суммы векторов;
5.  — распределительный закон относительно суммы числовых множителей.
6. Существует нулевой вектор , такой, что  для произвольного вектора  ;
7. Для произвольного вектора    существует противоположный вектор , такой, что

8.  , для любого вектора   (особая роль числового множителя 1).

Определение. Множество векторов с действительными координатами, в
котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие выше приведенным восьми свойствам, называется векторным пространством.

Замечания. Если под векторами    и   можно рассматривать элементы произвольной природы, то соответствующее множество элементов называется линейным пространством.

Линейным пространством, например, множество всех алгебраических многочленов, степени которых не превышают натуральное число n. Если множество всех многочленов точно равно натуральному числу n, то не будет линейным пространством, потому что сумма двух многочленов может оказаться многочленом, степень которого меньше n.

Линейные (векторные) n — мерные пространства

Линейные -мерные пространства: основные определения:

В школьном курсе математики понятие вектора обозначалось как направленный отрезок. Положение (расположение) вектора на прямой плоскости  или в пространстве описывалось соответственно одним, двумя, тремя числами — координатами вектора. 

Математический подход к изучению различных явлений (процессов) окружающего мира, в том, числе и экономических, требует обобщения понятия вектора, связано с увеличением количества его координат. Такое обобщение не подразумевает геометрической интерnретации, но является удобным для математического моделирования.

Вектором размерности , или -мерных вектором , называется совокупность вещественных чисел  упорядоченных по номеру , а числа — его координатами. Обозначают п-мерные векторы маленькой буквой латинского алфавита с значком вектора — чертой — сверху, или выделяют ее жирным шрифтом, а координаты вектора записывают в круглых скобках в столбец или в строку:

Согласно определению -измеримый вектор можно рассматривать как матрицу-столбец размера , или как матрицу-строку размера  и, наоборот  названные матрицы — рассматривать как векторы. Итак, для -мерных векторов остаются в силе введенные для матриц определения и действия над матрицами.

Нулевым вектором , или ноль-вектором, называется -мерный вектор, все координаты которого равны нулю: 

Два вектора  и  одной размерности называются равными, если совпадают их координаты с одинаковыми индексами: 

Линейные операции над n — измеримыми векторами

1. Суммой -мерных векторов  и  называется вектор  той самой размерности, каждая координата которого определяется как сумма координат векторов-слагаемых, имеющих одинаковые индексы:

Следовательно: 

Следствие. Для любого вектора имеем: 

2. Произведением вектора со скаляром называется вектор , каждая координата которого является произведением координаты вектора с постоянной :

Следствие. Если  и скаляр  Для любого вектора  и скаляра  имеем: 

Векторы  и  называются противоположными друг другу, или взаимно противоположными, если иx соответствующие координаты отличаются множителем , то есть 

Суммой взаимно противоположных векторов есть нулевой вектор той же размерности.

Разность векторов  и  рассматривают как сумму вектора  и вектора , противоположного вектору 

Векторы  называются коллинеарными, если для любого  выполняется равенство . Согласно определению координаты коллинеарных векторов, имеют одинаковые индексы, пропорциональные: 

 где  или 

Если  то геометрически это означает, что векторы лежат на одной
прямой или на параллельных прямых.

В частном случае, когда , получаем равные векторы. Результатом выполнения линейных операций над -мерными векторами являются векторы той же размерности, что и выходные векторы. Как и действия над матрицами, линейные операции над векторами подчиняются ассоциативном (связующем), коммутативной (переставной) и дистрибутивному (распределительном) законам: 

где  -мерные векторы; — стали. 

Совокупность всех -мерных векторов с действительными координатами, для которых определены линейные операции (4.3) — (4.4), называется -мерных (линейными) векторным пространством и обозначается .

Скалярное произведение двух векторов

Аналогично тому, как рассматривался произведение матриц вводят понятие скалярного произведения векторов -мерного линейного пространства.  Напомним, что условием существования произведения матриц является равенство количества столбцов первой матрицы и количества строк дpyгoй матрицы. Это требование выполняется, если рассматривать произведение вектора строки на вектор-столбец , принадлежащих пространству одной размерности.

Скалярным произведением двух -мерных векторов называется число, равное сумме произведений иx одинаковых по номеру координат, и обозначается символом

Действие умножения для получения скалярного произведения обозначают точкой между векторами: 

Произведение называют скалярным квадратом вектора. 

На основе скалярного произведения приведем определение понятий, которые вводились для векторов размерностью , а именно длина вектора и угол между двумя векторами.

Длиной  или модулем, -мерного вектора называется арифметический квадратный корень из его скалярного квадрата: 

то есть 

Единичным -мерным вектором, или ортом, называется вектор , коллинеарной заданном вектора , длина которого равна единице: 

Возведение любого ненулевого вектора к единичному называется его нормированием.

Среди единичных векторов выделяют векторы, для которых одна из координат равна единице, а все остальные — нулю. Такие векторы обозначают маленькой буквой  с индексом, что указывает на номер координаты, равной единице. В пространстве существует различных -мерных единичных векторов:

В частности, в трехмерном пространстве эти векторы называются ортами координатных осей, они имеют собственные обозначения:

Кутом между двумя векторами и называется кут , который определяется соотношением: 

Согласно (4.9) скалярное произведение можно рассматривать как общую числовую характеристику двух векторов. 

Свойства скалярного произведения:

Линейное пространство, для которого определено скалярное произведение векторов со свойствами (4.10), называется евклидовым пространством.

В тeopии линейных пространств любое множество векторов одинаковой размерности называется системой векторов.

Пусть имеем систему, которая состоит из векторов, принадлежащих пространства . (Измеримость пространства обозначено через  в отличие от обозначения через количества векторов системы.) Систему векторов, имеющих размерность , можно рассматривать как матрицу размером , столбцами которой являются -мерные векторы, и наоборот:

С помощью этой системы векторов систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными можно представить в вeктopний форме:

или кратко:

Действительно, если по правилам сложения векторов и умножения на скаляр умножить каждый вектор по координатам на а затем записать сумму результатов и приравнять координаты полученных векторов в левой и правой частях, то придем к системе линейных алгебраических уравнений ( 1.6). Решением такой системы будет -мерный вектор 

Замечания. На основе тeopии -мерных линейных пространств можно построить всю теорию матриц, в частности матричную алгебру, теорию систем линейных алгебраических уравнений и др. Поэтому линейной алгеброй, основы которой мы рассматриваем, называют раздел математики, объектом изучения которого являются линейные (векторные) пространства, а предметом — разработка соответствующих алгебраических методов для установления свойств пространств в целом и иx элементов в частности.

Линейная зависимость и независимость векторов

Пусть имеется система векторов , принадлежащие пространству  и действительные числа (скаляры) . Произвольное -мерный вектор , называют линейной комбинацией векторов системы, если его можно представить в виде суммы произведений чисел на вектор и :

Векторы называются линейно зависимыми, если хотя бы один из векторов системы является линейной комбинацией других. В противном случае, когда в системе векторов нет ни одного, который был бы линейной комбинацией других, векторы называются линейно независимыми.

Теорема 4.1 (про линейную зависимость системы векторов). Если среди чисел , где , не все равны нулю, и выполняется равенство

то система векторов  является линейно зависимой.

Доказательство. Пусть в равенстве (4.14) среди чисел существуют числа, отличающиеся от нуля. Выберем одно из них, неважно какое. Пусть этим числом будет . Умножим левую и правую части равенства (4.14) на 

Отсюда получаем: 

а согласно (4.13) это означает, что система векторов является линейно зависимой, поскольку вектор  является линейной комбинацией других векторов системы.

Последствие из теоремы 4.1 (о линейной независимости системы векторов).

Система векторов есть линейно независимой, если векторное равенство 

выполняется только в случае   (все числа равны нулю).

Доказательство. Предположим, что система векторов линейно независима, и при этом существуют , где . Тогда из теоремы 4.1 получим линейную зависимость системы векторов, которая противоречит условию.

Одной из основных задач теории линейных пространств является задача исследования системы векторов на линейную независимость, то есть выяснения вопрос о том, какова есть заданная система векторов — линейно зависимой или линейно независимой.

Решение этой задачи сводится к решению систем линейных уравнений.

Запишем равенство (4.14) в координатной форме:

выполним умножение векторов системы на скаляры найдем сумму полученных произведений и приравняем координаты векторов левой и правой частей равенства, что дает систему однородных линейных уравнений относительно постоянных :

По следствием из теоремы 4.1 система векторов линейно независимая, если система однородных уравнений (4.15) имеет только тривиальное решение: Если ранг основной матрицы системы равен числу неизвестных , то для этого необходимо и достаточно, чтобы ее определитель не равнялся нулю.

Проведем исследование на линейную независимость системы векторов:

Запишем векторное равенство:

Отсюда получаем систему уравнений:

Вычислим определитель основной матрицы системы:

Поскольку , однородная система линейных уравнений относительно коэффициентов имеет множество решений.

Преобразование основной матрицы системы по методу Жордана-Гаусса позволяет определить количество линейно независимых векторов в заданной системе векторов:

Ранг матрицы системы меньше количества векторов, поэтому система содержит только два линейно независимых вектора. По последнему преобразованию имеем:

Подставляя найденные коэффициенты в векторное равенство (4.14), получим

Таким образом, векторы и  является линейно зависимыми и любой из них можно представить в виде линейной комбинации двух других. Например, разделив последнее равенство на , определим вектор ; как линейную комбинацию векторов и :

В линейной алгебре широко применяется система п единичных векторов пространства , из которых согласно (4.11) можно образовать единичную матрицу -го порядка. Поскольку для любого определитель такой матрицы не равен нулю, то для пространства любой размерности система таких единичных векторов линейно независимой.

Рассмотрим питания о наибольшее количество векторов, которое может содержать линейно независимая система -мерных векторов.

Выберем из пространства произвольным образом систему векторов:

запишем векторное равенство

и соответствующую ей однородную линейную систему уравнений с неизвестными

Для ответа на поставленный вопрос будем исходить из сравнения количества векторов системы  с размерностью пространства , учитывая иx соотношение с рангом матрицы.

1. Если количество векторов больше измеримости пространства , то ранг основной матрицы однородной системы уравнений не будет превышать количество строк, а значит и количество неизвестных . В этом случае система имеет множество решений, среди которых есть и нетривиальные, то есть среди чисел существуют отличающиеся от нуля. Итак, по теореме 4.1 такая система векторов линейно зависима.

2. Если количество векторов равно размерности пространства , то такой системе уравнений соответствует квадратная основная матрица -го порядка. Система векторов будет линейно независимой, если определитель системы уравнений отличается от нуля .

Из проведенного анализа следует, что наибольшее количество линейно независимых векторов равно размерности линейного пространства.

Базис n -мерного пространства. Разложение вектора по базису

Понятие базис (от греч. basis — основа) является одним из фундаментальных понятий теории векторных пространств. Любая система линейно независимых -мерных векторов называется базисом линейного пространства . Определитель, состоящий из координат векторов базиса отличается от нуля, так как совокупность векторов содержит линейно независимых векторов и любой другой вектор является линейной комбинацией базисных векторов.

Теорема 4.2 (о разложении -мерного вектора по базису).

Произвольный вектор  с  можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса и к тому же единственным способом.

Доказательство. Согласно определению линейной комбинации системы векторов (4.13) надо показать существование единого набора цифр , таких, что сумма произведений этих цифр с векторами базиса дает вектор :

Представим векторы  и вектор  через их координаты:

и запишем соответствующую систему линейных уравнений:

Поскольку определитель основной матрицы системы отличается от нуля (по условию векторы образуют базис пространства), то система уравнений совместима и имеет единственное решение, которым является набор чисел

Представление вектора в виде линейной комбинации векторов базиса (4 16) называется разложением вектора по базису, а числа коэффициентами разложения, или координатами вектора по этому базису.

Система -мерных единичных векторов называется единичным базисом . Единичный базис является частным случаем так называемых ортогональных базисов, то есть таких базисов, что скалярное произведение любых двух векторов с базиса равно нулю: Ортогональный базис из нормированных векторов называется ортонормированным.

Запись -мерного вектора в виде , то есть представление его в координатные форме, можно рассматривать как разложение вектора за ортонормированным базисом.

Определение базиса пространства и разложения вектора по базису можно выполнять одновременно, аналогично тому, как выбор базисных неизвестных и нахождения решений СЛАУ осуществляли при применении методов Гаусса и Жордана-Гаусса.

Осуществить разложение вектора  по векторам 

 если они образуют базис.

Для решения задачи представим вектор как линейную комбинацию векторов  и :

где  неизвестные коэффициенты разложения, или координаты вектора при условии, что вектор и образуют базис.

Представим векторы  и вектор через координаты и получим систему уравнений относительно координат вектора :

Проверку на линейную независимость векторов  и отыскания координат вектора по базису можно проводить одновременно.
Для этого запишем расширенную матрицу системы и проведем ее преобразования по методу Жордана-Гаусса:

Поскольку элементарными преобразования на месте основной матрицы системы получено единичную матрицу третьего порядка, то определитель исходной матрицы отличен от нуля, и система векторов   является линейно независимой, то есть она образует базис пространства . Вектор  можно разложить по этому базису единственным способом:

Следовательно, координатами вектора в базисе будут 

В другом базисе вектор будет иметь другие координаты. В ортонормированном базисе он выглядит так: то есть

Любой вектор с , заданный в координатной форме, можно рассматривать как его разложение по ортонормированному базису.

Переход к новому базису. Нахождение базисных решений системы линейных алгебраических уравнений

Представим произвольный вектор с  в виде линейной комбинации векторов базиса 

где  координаты вектора  в данном базисе.

Выясним, как можно осуществить переход от одного базиса линейного пространства к другому и найти координаты вектора в новом базисе за известными координатами вектора в начальном ортонормированном базисе.

Пусть в пространстве  есть два базиса: начальный и новый Каждый из векторов нового базиса можно представить в линейную комбинацию векторов начального базиса:

Запишем систему (4.17) в матричном виде:  где 

Неособенная матрица называется матрицей пepexoда от начального базиса к новому . Переход от нового базиса к первоначальному осуществляется по формуле: 

Можно показать, что зависимость между координатами вектора в разных базисах определяется формулами: 

где  вектор  с координатами в новом базисе 

Переход к новому базису широко используется в задачах линейного программирования и в других задачах математических методов в экономике.

Задан вектор в ортонормированном базисе векторов   и  Найдем координаты вектора в базисе из векторов   и  с помощью матрицы перехода. 

В предыдущем примере было показано, что векторы  образуют базис. Опишем связь между базисами с помощью системы векторных уравнений: 

Матрица перехода от базиса  и  к базису  и  является основной матрицей системы векторных уравнений:

Транспонируем матрицу :

Для нее существует обратная матрица, поскольку  Находим ее:

По соотношению (4.18) определяем координаты вектора в базисе векторов   и 

Рассмотрим разложение вектора по новому базису для нахождения базисных решений СЛАУ.

Запишем систему линейных алгебраических уравнений в векторной форме 

где коэффициентами при неизвестных системы являются векторы   которые образуют основную матрицу системы,  вектор-столбец свободных членов, — неизвестные системы, или коэффициенты разложения вектора по векторам .

Система линейных уравнений называется сводной к единичному базису, если среди векторов есть единичный базис. Система имеет единственное решение только в случае, если количество неизвестных системы совпадает с размерностью векторов и все векторы системы образуют базис 

В общем случае, если количество векторов, образующих базис, меньше количества векторов системы , то система линейных уравнений имеет множество решений, среди которых необходимо найти все базисные.

Таким образом, для нахождения всех базисных решений системы можно предложить такой алгоритм:
1) сводим систему линейных уравнений элементарными преобразованиями к единичному базису;
2) находим значения неизвестных, что соответствуют данном базису, то есть координаты вектора в этом базисе (свободные неизвестные возлагаем равными нулю)
3) выполняем преобразование системы уравнений с целью введения в базис других векторов системы. Тогда координаты вектора равны соответствующим неизвестным системы линейных уравнений в новом базисном решении и т. д.

Заметим, что максимальное количество базисных решений равно количеству сопряжений с векторов системы по , где — размерность пространства.

Найдем все базисные решения системы линейных уравнений

В векторной форме система уравнений имеет вид

где 

Среди заданных векторов  определим все возможные базисы и осуществим расписание вектора по каждому из этих базисов.

Есть четыре вектора двумерного пространства, среди которых необходимо определить базисные. Поскольку наибольшее количество линейно независимых векторов в этом пространстве равно двум, то все четыре вектора не могут быть линейно независимыми. Сводим систему линейных уравнений к единичному базису. Запишем матрицу коэффициентов системы в таблице 4.1 и выполним элементарные преобразования этой системы по методу Жордана-Гаусса.

Сведение системы уравнений к единичному базису                                       Таблица 4.1

По результатам последней операции получено единичную матрицу.

Следовательно, векторы и образуют единичный базис пространства. Координаты вектора в этом базисе  Для нахождения базисного решению системы положим тогда базисным решением системы будет По базису из векторов и можно разложить не только вектор , но и все другие векторы:

Количество базисов для данного примера определяется количеством соединений из четырех векторов по два , то есть равна шести. Преобразование системы по методу Жордана-Гаусса для нахождения других базисных решений приведены в таблице 4.2.

В таблице 4.2 первым из базисных решений системы приведено именно то, которое получили в таблице 4.1.

Нахождение базисных решений                                                                                  Таблица 4.2

Заметим, что среди шестерых базисных решений данной системы линейных уравнений только и имеют среди своих координат отрицательные, то есть эти решения не являются опорными.

В рамках учебной дисциплины Оптимизационные модели и методы изучается специальный алгоритм отбора только опорных решений системы, по которому в базис не вводятся векторы, которые в новом базисе превращают вектор на вектор, имеет отрицательное координаты.

Однородная система уравнений. Особенности решения

Рассмотрим векторный подход к нахождению общего решения систем линейных уравнений (1.9):

где основная матрица системы;

 матрица-столбец неизвестных;

 нулевая матрица-столбец.

В векторной форме система однородных линейных уравнений имеет вид:

где основная матрица системы;

 -измеримые векторы (столбцы матрицы 

вектор неизвестных;

 нулевой вектор.

Если ранг основной матрицы меньше количества неизвестных то однородная система уравнений имеет множество решений.

Пусть коэффициенты при неизвестных составляют базисный минор, другие неизвестные свободны. Если систему (4.20) решить относительно базисных неизвестных, то общее решение (по аналогии с (3.7)) будет иметь вид:

где линейные функции, отражающие законы зависимости базисных неизвестных от свободных неизвестных

По свойству 3 (п. 3.2) любая линейная комбинация решений однородной системы также является решением этой системы.

Фундаментальной системой решений однородной системы уравнений называется такая линейно независимая система векторов ранг основной матрицы системы), их линейные комбинации определяют все бесконечное множество решений системы.

Теорема 4.3 (пpo фундаментальную систему решений). Однородная система уравнений (4.20) имеет фундаментальную систему решений, количество векторов которой равно , где — ранг системы уравнений

Доказательство. Предоставим свободным неизвестным последовательно  значений, которые являются элементами столбцов единичной матрицы:

(Конечно, при получаем тривиальное решение.)

Выражения базисных неизвестных через свободные получим при равенстве (4.21), при этом получим частных решений системы: Эти решения линейно независимы, ведь матрица, составленная из координат всех векторов, включая единичную матриuю (4.22) порядка

Вектор 

где  как линейная комбинация решений системы (4.22) тоже будет и решением. 

Если числа , брать равными координатам векторов , которые соответствуют свободным неизвестным системы уравнений, то этот вектор опишет (отобразит) общее решение системы. 

Следовательно, для нахождения общего решения однородной системы уравнений выполняем следующее:

1. Выражает базисные неизвестные системы (4.20) через свободные.
2. Предоставляем значение свободным неизвестным системы согласно (4.21).
3. Подставляемые в (4.21) последовательно значение свободных неизвестных (4.22), находим базисные неизвестные, получая таким образом фундаментальную систему решений:
4. Записываем общее решение системы как линейную комбинацию фундаментальных решений (4.23).

Найдем фундаментальную систему решений однородной системы уравнений:

Чтобы выразить базисные неизвестные системы через свободные неизвестные, воспользуемся методом Жордана-Гаусса. Выполняем элементарные преобразования основной матрицы системы для получения в ней единичной матрицы:

Выбираем за базисные неизвестные , тогда  и  есть свободными. Общее решение системы (4.24) получим в виде:

Если свободным неизвестным последовательно предоставить значения а затем получим соответствующие частные решения системы и . Система векторов и   является фундаментальной системой решений.

Общее решение системы уравнений в векторной форме находим как линейную комбинацию фундаментальных решений, а именно:

где 

Тогда общее решение однородной системы уравнений, составленный из фундаментальных решений системы, имеет вид: 

Замечания. Аналогично можно представить общее решение и неоднородной системы уравнений, которая имеет множество решений.

Пусть система неоднородных уравнений 

совместима, но ранг матрицы системы меньше количества неизвестных . Тогда ее общее решение определяется формулой 

где  произвольное частичное решение неоднородной системы (4.25), а 

— общее решение (4.22) соответствующей однородной системы уравнений (4.20).

Найдем общее решение неоднородной системы уравнений:

Если праве части всех уравнений положить равными нулю, то получим однородной систему уравнений (4.24), общее решение которой определен в предыдущем примере:

где 

Найдем произвольный частное решение неоднородной системы. Например, возьмем свободные неизвестные равными нулю: , и найдем и , тогда . Таким образом, общим решением системы (4.27) является вектор:

где 

или 

Такое представление общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений обобщается на произвольные неоднородные системы, которые имеют множество решений.