Как составить квадратное уравнение с данными корнями

Как составить уравнение с данными корнями

КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН III

§ 55. Составление квадратного уравнения по заданным корням

Предположим, что нам нужно составить квадратное уравнение, корнями которого были бы числа x₁ и x₂. Очевидно, что в качестве искомого уравнения можно выбрать уравнение

где а — любое отличное от нуля действительное число. С другой стороны, как было показано в § 54, каждое квадратное уравнение с корнями x₁ и x₂ можно записать в виде (1).

Таким образом, формула (1) полностью решает поставленную выше задачу. Из всех квадратных уравнений корни x₁ и x₂ имеют уравнения вида (1) и только, они.

Пример. Составить квадратное уравнение, корни которого равны 1 и — 2.

Ответ. Корни 1 и —2 имеют все квадратные уравнения вида

где а — любое отличное от нуля действительное число. Например, при а = 1 получается уравнение

411. Составить квадратное уравнение, корнями которого были бы числа:

а) 2 и — 3; б) — 1 и — 5; в) 1 /₄ и 1 /₆; г) — 1 /₂ и — 1 /₃ .

412. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами так, чтобы его корни были равны:

413. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны 5 /₇ и — 1 /₂, а сумма всех коэффициентов равна 36.

414. Могут ли корнями квадратного уравнения с натуральными коэффициентами быть числа 6 /₅ и — 1 /₇?

415. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, если известно, что один из его корней равен:

Составление квадратного трехчлена по его корням

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Класс : 8 «Б» Предмет : Алгебра Дата : _______

Урок № 64 Тема : « Составление квадратного трехчлена по его корням»

Цели урока : научить составлять квадратный трехчлена по его корням .

Обучающая: повторить понятие квадратного трехчлена и его корней; формировать умение составлять квадратный трехчлена по его корням .

Развивающая: развитие логического мышления, познавательных интересов.

Воспитательная: воспитание организованности, дисциплинированности , аккуратности, усидчивости .

Тип урока: урок изучения нового материала и первичного закрепления

Методы и приемы: словесный, наглядный, практический.

Материально-техническое обеспечение: дидактический материал.

Организаци онный момент

Первичное усвоение новой учебной информации

Осознание и осмысление

Информация о домашнем задании

Подведение итогов урока

І . Организаци онный момент

— Здравствуйте ребята, тема сегодняшнего урока: « Составление квадратного трехчлена по его корням » .

Цели данного урока: научится составлять квадратный трехчлена по его корням.

Приветствие, проверка готовности учащихся к уроку, сообщение тем ы и цели урока и требований к уроку.

ІІ. Актуализация знаний

— Давайте вспомним пройденный материал

Разложите на множители выражение:

а) Х 2 — 9; б) Х 2 – 9Х;

Найдите корень уравнения:

а) Х 2 — 9 = 0; б) Х 2 – 9Х = 0; в) Х 2 – 6Х + 9 = 0

Ребята отвечают на вопросы учителя.

ІІІ. Первичное усвоение новой учебной информации

§ 54 . Разложение квадратного трехчлена на линейные множители

В этом параграфе мы рассмотрим следующий вопрос: в каком случае квадратный трехчлен ax 2 + bx + c можно представить в виде произведения

1. Предположим, что данный квадратный трехчлен ax 2 + bx + c представим в виде

Следовательно, дискриминант квадратного трехчлена ax 2 + bx + c должен быть неотрицательным.

2. Обратно, предположим, что дискриминант D = b 2 — 4 ас квадратного трехчлена ax 2 + bx + c неотрицателен. Тогда этот трехчлен имеет действительные корни x ₁ и x ₂ . Используя теорему Виета, получаем:

где x ₁ и x ₂ — корни трехчлена ax 2 + bx + c . Коэффициент а можно отнести к любому из двух линейных множителей, например,

Но это означает, что в рассматриваемом случае квадратный трехчлен ax 2 + bx + c представим в виде произведения двух линейных множителей с действительными коэффициентами.

Объединяя результаты, полученные в пунктах 1 и 2, мы приходим к следующей теореме.

Теорема. Квадратный трехчлен ax 2 + bx + c тогда и тoлько тогда можно представить в виде произведения двух линейных множителей с действительными коэффициентами,

когда дискриминант этого квадратного трехчлена неотрицателен (то есть когда этот трехчлен имеет действительные корни) .

Пример 1 . Разложить на линейные множители 6 x 2 — х —1.

Поэтому по формуле (2)

Пример 2 . Разложить на линейные множители x 2 + х + 1. Дискриминант этого квадратного трехчлена отрицателен:

D = 1 2 — 4•1•1 = — 3

Поэтому данный квадратный трехчлен на линейные множители с действительными коэффициентами не раскладывается.

Разложить на линейные множители следующие выражения (№ 403 — 406):

Предположим, что нам нужно составить квадратное уравнение, корнями которого были бы числа x ₁ и x ₂ . Очевидно, что в качестве искомого уравнения можно выбрать уравнение

где а — любое отличное от нуля действительное число. С другой стороны, как было показано в § 54, каждое квадратное уравнение с корнями x ₁ и x ₂ можно записать в виде (1).

Таким образом, формула (1) полностью решает поставленную выше задачу. Из всех квадратных уравнений корни x ₁ и x ₂ имеют уравнения вида (1) и только, они.

Пример. Составить квадратное уравнение, корни которого равны 1 и — 2.

Ответ. Корни 1 и —2 имеют все квадратные уравнения вида

где а — любое отличное от нуля действительное число. Например, при а = 1 получается уравнение

1. Составить квадратное уравнение, корнями которого были бы числа:

а) 2 и — 3; б) — 1 и — 5; в) 1 / ₄ и 1 / ₆ ; г) — 1 / ₂ и — 1 / ₃ .

2. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами так, чтобы его корни были равны:

3. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны 5 / ₇ и — 1 / ₂ , а сумма всех коэффициентов равна 36.

Решение: (х-5/7)(х-1/2)=0 х 2 -17/14х+5/14=0 14х 2 -17х+5=0 14+17+5=36

4. Могут ли корнями квадратного уравнения с натуральными коэффициентами быть числа 6 / ₅ и — 1 / ₇ ?

Решение: (х-6/5)(х+1/7)=0 35х 2 -37х-6=0 (да)

5. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, если известно, что один из его корней равен:

Второй корень будет сопряжён первому, т. е. x ₁ = √3−5; x ₂ = −√3−5.
Ищем квадратное уравнение в виде x² + ax + b = 0,
тогда по теореме Виета a = −( _x1 +x2) = −2•(−5) = 10, b = x1•x2 = (−5)²−(√3)² = 22.
ОТВЕТ: x²+10x+22 = 0.

Решить №3,№5 на стр.97-98 проверь себя, дополнительно №242 (1,2).

VI .Информация о домашнем задании

№ 228, №234+ Повторить пройденную тему§12.

VII .Подведение итогов урока

Давайте теперь подведем итоги урока :

Учитель благодарит за урок и объявляет оценки.

Краткое описание документа:

Урок № 64 Тема: « Составление квадратного трехчлена по его корням»

Цели урока : научить составлять квадратный трехчлена по его корням .

Обучающая: повторить понятие квадратного трехчлена и его корней; формировать умение составлять квадратный трехчлена по его корням .

Развивающая: развитие логического мышления, познавательных интересов.

Воспитательная: воспитание организованности, дисциплинированности , аккуратности, усидчивости .

Тип урока: урок изучения нового материала и первичного закрепления

Методы и приемы: словесный, наглядный, практический.

Материально-техническое обеспечение: дидактический материал.

I. Организаци онный момент

II. Актуализация знаний

III. Первичное усвоение новой учебной информации

IV. Осознание и осмысление

VI. Информация о домашнем задании

VII. Подведение итогов урока

І . Организаци онный момент

— Здравствуйте ребята, тема сегодняшнего урока: « Составление квадратного трехчлена по его корням » .

Цели данного урока: научится составлять квадратный трехчлена по его корням.

Приветствие, проверка готовности учащихся к уроку, сообщение тем ы и цели урока и требований к уроку.

ІІ. Актуализация знаний

— Давайте вспомним пройденный материал

— Разложите на множители выражение:

— а) Х2- 9; б) Х2 – 9Х;

— Найдите корень уравнения:

— а) Х2- 9 = 0; б) Х2 – 9Х = 0; в) Х2 – 6Х + 9 = 0

Ребята отвечают на вопросы учителя.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 925 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 684 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 576 070 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 02.03.2015
• 546
• 0

• 02.03.2015
• 5382
• 199

• 02.03.2015
• 2266
• 36

• 02.03.2015
• 506
• 0

• 02.03.2015
• 2142
• 1

• 01.03.2015
• 510
• 0

• 01.03.2015
• 505
• 0

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 02.03.2015 3361
• DOCX 30.3 кбайт
• 2 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Бондаренко Ирина Казимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 1 месяц
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 8806
• Всего материалов: 2

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

В Курганской области дистанционный режим для школьников продлили до конца февраля

Время чтения: 1 минута

В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля

Время чтения: 1 минута

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Квадратные уравнения в математике с примерами решения и образцами выполнения

Равенство , в котором х—неизвестное и а не равно нулю, представляет собой общий вид квадратного уравнения.

В этом уравнении называется высшим членом, bх — членом, содержащим первую степень неизвестного, а с — свободным членом.

Квадратное уравнение есть уравнение 2-й степени. При b = 0 и с = 0 оно принимает вид = 0 и называется неполным.

Уравнения также называются неполными.

Уравнение называется приведенным.

Если все члены уравнения разделить на а, оно примет вид приведенного уравнения

в котором

Напомним, что решением или корнем уравнения называется такое число, при подстановке которого вместо неизвестного уравнение обращается в верное равенство. Например, числа 3 и —3 являются корнями уравнения

Числа 3 и 5 являются корнями уравнения

Числа и 0 являются корнями уравнения

Решить уравнение с одним неизвестным — значит найти все его корни (или убедиться в их отсутствии).

Решение неполных квадратных уравнений

1. Уравнения вида

Уравнение имеет единственное решение х = 0. Действительно, так как , то из следует, что , а потому и х = 0. Любое другое значение буквы х не будет решением уравнения .

2. Уравнение вида

Уравнение равносильно уравнению

Если одновременно а > 0 и с > 0 или одновременно а

решений ие имеет, так как квадрат действительного числа не может равняться отрицательному числу . Значит, и исходное уравнение также не имеет действительных корней. Например, уравнения

действительных корней ие имеют:

Если же одновременно а>0 и с 0, то будет положительным числом. В этом случае уравнение , а вместе с ним и исходное уравнение имеют два решения:

т. е. два корня:

(Мы здесь воспользовались тем, что уравнение, например, удовлетворяется как при х = 7, так и при х = — 7.) Например, уравнение имеет два решения:

т. е. два корня: 5 и —5.
Уравнение имеет два решения:
т. е. два корня: и

3. Уравнения вида

Уравнение равносильно уравнению

Но уравнение имеет два решения:

т. е. два корня: 0 и .

Следовательно, и равносильное уравнение имеет те же два корня.

Обратим внимание на то, что один из двух корней уравнения вида всегда равен нулю.

Примеры:

Уравнение имеет два корня: 0 и .

Уравнение имеет два корня: 0 и .

Решение полного квадратного уравнения

1. Для решения уравнения

преобразуем его левую часть путем выделения полного квадрата (см. стр. 107):

Теперь мы можем заменить уравнение

равносильным ему уравнением

Так как , получим, что

Теперь рассмотрим в отдельности три возможных случая.

Случай 1.

В этом случае преобразованное уравнение, а следовательно, и первоначальное не может иметь действительных корней, так как квадрат действительного числа не может равняться отрицательному числу

Случай 2.

а потому

Преобразованное уравнение, а следовательно, и первоначальное будет иметь одно решение:

один корень .

Случай 3.

будет равно либо

Следовательно, первоначальное уравнение будет иметь два решения:

Оба эти решения можно записать так:

Выражение называется дискриминантом* уравнения

Из формулы (I) видно, что корни квадратного уравнения определяются дробью, знаменателем которой служит удвоенный коэффициент высшего члена, а числителем—коэффициент при неизвестном первой степени, взятый с противоположным знаком, плюс-минус квадратный корень из дискриминанта.

Мы видели, что один корень квадратного уравнения

определяется по формуле

а другой—по формуле

В том случае, когда уравнение имеет два различных действительных корня.

В том же случае, когда оба корня становятся одинаковыми. В этом случае условимся говорить, что уравнение имеет опять же два действительных корня, но не различных, а одинаковых. Этот повторяющийся два раза корень будем называть двукратным корнем или корнем кратности два.

Наконец, в том случае, когда уравнение не имеет ни одного действительного корня. (Как мы узнаем дальше, в этом случае уравнение имеет два различных мнимых корня.)

Таким образом, квадратное уравнение всегда имеет два корня: либо действительных различных, либо действительных одинаковых, либо мнимых различных. Например, уравнение имеет два различных действительных корня . Уравнение имеет два одинаковых действительных корня: , т. е. имеет один двукратный корень 5. Уравнение имеет два различных мнимых корня: . Уравнение имеет два равных корня: ,, т. е. один двукратный корень, равный нулю. Уравнение имеет два равных корня: и т. е. один двукратный корень 3. Уравнение имеет три равных корня: т. е. один трехкратный корень, равный нулю.

Уравнение имеет один корень 3, кратность которого равна q (иначе говоря, один корень кратности q).

Поясним происхождение понятия кратного корня. Уравнение

можно представить в виде

Приравнивая нулю каждый множитель, содержащий неизвестное, получим q корней, каждый из которых равен 3, т. е. число 3 окажется корнем кратности q. Корень, кратность которого равна единице, называется простым.

Уточнение определения о равносильности уравнений

Теперь, когда мы ввели понятие о кратности корней уравнения, нам необходимо уточнить определение о равносильности уравнений, данное ранее (стр. 185).

Если всякий корень кратности q одного уравнения являете я корнем той же кратности другого уравнения и наоборот, то такие уравнения называются равносильными.

не равносильны. (Для первого уравнения единица является двукратным корнем, а для второго лишь простым.) Уравнения

не равносильны. (Для первого уравнения число 7 является трехкратным корнем, а для второго лишь двукратным.)

Примеры квадратных уравнений:

Значит,

Уравнение действительных корней не имеет.

Примеры задач, приводимых к квадратному уравнению

Задача:

В квартире проектируются две комнаты одинаковой ширины (рис. 74). Длину первой комнаты хотят сделать в раза больше ее ширины, а длину второй — равной 7,2 м.

Найти ширину этих комнат, если их общая площадь должна быть равной 56,7 кв. м.

Обозначим ширину комнат, выраженную в метрах, буквой х.
Тогда площадь первой комнаты будет равна , а площадь второй . По условию задачи
или

Оба эти числа удовлетворяют уравнению, составленному по условиям задачи. Но самой задаче удовлетворяет лишь первый корень, так как ширина комнаты отрицательной быть не может.

Итак, искомая ширина равна 4,2 м.

Задача:

Пароход должен был пройти расстояние 48 км с определенной средней скоростью. Но по некоторым причинам он шел первую половину пути со скоростью, на 2 км в час меньшей, и вторую половину со скоростью, на 2 км большей, чем ему полагалось. Таким образом, пароход затратил на весь путь 5 час. На сколько минут опоздал пароход?

Пусть средняя скорость парохода должна была быть х км в час. На прохождение первой половины пути пароход затратил часа, а второй половины часа.

Получилось дробное уравнение. Преобразуем его к виду целого уравнения. Для этого умножим обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей, входящих в него. После этого получим:

Числа 10 и , несомненно, являются корнями уравнения

Но мы еще не можем быть уверены в том, что они являются и корнями первоначального уравнения

так как во время преобразований мы умножили левую и правую части уравнения (1) на выражение , содержащее неизвестное.

Проверка показывает, что оба эти числа удовлетворяют и первоначальному уравнению.

Действительно, оба равенства

оказываются верными. Итак, числа 10 и удовлетворяют уравнению

Но из них только число 10. удовлетворяет условиям самой задачи, так как в этой задаче скорость отрицательной быть не может. Значит, средняя скорость парохода была равной 10 км в час.

Теперь выясним, насколько же минут опоздал пароход с прибытием к месту назначения. Поскольку все расстояние было равно 48 км, а средняя скорость, с которой он должен был пройти это расстояние, составляла 10 км/час, на весь путь он должен был затратить часа, т. е. 4 часа 48 мин. Но пароход затратил на весь путь 5 час. Значит, он опоздал на 12 мин.

Квадратное уравнение вида ax2+kx+c=0

Квадратное уравнение вида

Применяя к уравнению общую формулу, получим:

Этой формулой следует пользоваться лишь тогда, когда коэффициент при неизвестном 1-й степени четный.

За дискриминант квадратного уравнения можно принимать выражение

Примеры:

Приведенное квадратное уравнение

Применяя к уравнению общую формулу, получим:

В том случае, когда р — четное, т. е. формула принимает вид:

что можно записать и так:

Последнюю формулу следует применять в тех случаях, когда в приведенном уравнении коэффициент при неизвестном 1-й степени четный.

Примеры:

Свойства корней квадратного уравнения

Корни уравнения обозначим через и Как известно,

Итак, . Например, для уравнения

2. Полученный результат можно записать и в таком виде:

Для уравнения получим, что

Итак, в приведенном квадратном уравнении сумма корней равна коэффициенту при неизвестном первой степени, взятому с противоположным знаком, а произведение — свободному члену:

3. Полученные результаты можно сформулировать и иначе: в приведенном квадратном уравнении коэффициент при неизвестном первой степени равен взятой с противоположным знаком сумме корней, т. е.

а свободный клен равен произведению корней, т. е.

Корень многочлена

1. Корнем многочлена (целой рациональной функции)

называется всякое число, которое, будучи подставлено в этот многочлен вместо буквы х, обращает значение многочлена в нуль. Например, числа 1; —2; 5 суть корни многочлена

2. Совокупность корней многочлена

это то же самое, что и совокупность корней уравнения

3. Буква х, входящая в многочлен обозначает собой независимую переменную, т. е. величину, могущую принимать любые значения. Та же буква х в уравнении

обозначает, собой величину неизвестную, могущую принимать лишь такие значения, которые удовлетворяют этому уравнению. Корнями многочлена

будут как раз корни уравнения

можно находить путем решения уравнения

Разложение на множители многочлена

Разложение на множители многочлена

Теорема:

Многочлен тождественно равен произведению

где и —корни этого многочлена.

Докажем теорему двумя способами.

Способ 1. Обозначим корни многочлена через и . Тогда (см. стр. 296).

что и требовалось доказать.

Выражения как раз представляют собой корни и уравнения а значит, и корни многочлена .

Замечание:

Если и будут действительными и различными числами, то линейные множители в разложении будут действительными и различными. Если же и будут мнимые, то и линейные множителябудут также мнимыми. В том случае, когда разложение примет вид

Примеры:

1) Корни многочлена суть 10 и . Поэтому

2) Корни многочлена суть и 2. Поэтому

3) Корни многочлена суть 3 и. 5.

Составление квадратного уравнения по его корням

Способ 1. Пусть являются корнями квадратного уравнения; Тогда само уравнение (см. стр. 296) будет:

Примеры:

1) Если корни уравнения 3 и 5, то само уравнение будет:

2) Если корни , то уравнение

3) Если корни , то уравнение

Способ 2. Если корни уравнения то само уравнение будет:

Этот способ мы можем применить к составлению уравнений любых степеней.

Пусть корни уравнения 3; 5 и 10, тогда само уравнение будет:

Пусть корни уравнения — 1; —2; —3; —4. Тогда само уравнение будет:

Условие, при котором трехчлен представляет точный квадрат линейной функции

Условие, при котором трехчлен представляет точный квадрат линейной функции

Но правая часть этого тождества будет точным квадратом тогда и только тогда, когда

В этом случае мы получаем, что

Итак, трехчлен 2-й степени будет точным квадратом линейной функции с действительными коэффициентами тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю, а коэффициент при высшем члене положителен.

Уравнения с числовыми коэффициентами, приводимые к квадратным

Биквадратное уравнение

Целое уравнение, содержащее только четвертую, вторую и нулевую степени неизвестного, называется биквадратным.

Общий вид биквадратного уравнения таков:

Решим несколько биквадратных уравнений с числовыми коэффициентами.

Примеры:

1.Найти все корни уравнения

Примем за новую неизвестную, т. е. положим, что Тогда получим, что

Принимая сначала получим, что Принимая затем получим, что

Итак, первоначальное уравнение имеет четыре корня:

2. Найти все действительные корни уравнения

Положив получим, что из этого уравнения следует, что

Отсюда, во-первых, и, во-вторых, . Первое уравнение имеет два корня: 3 и —3. Второе уравнение действительных корней не имеет.

Итак, данное биквадратное уравнение имеет лишь два действительных корня: 3 и —3.

3. Показать, что уравнение не имеет ни одного действительного корня. Полагая , получим:

Уравнения действительных корней не имеют, а поэтому и данное биквадратное уравнение не имеет ни одного действительного корня.

Уравнения, являющиеся квадратными относительно выражения, содержащего неизвестное

есть квадратное уравнение относительно z. Уравнение

есть квадратное уравнение относительно

Примеры:

Полагая получим, что Отсюда Принимая сначала получим, что отсюда Принимая затем получим, что отсюда и Итак, первоначальное уравнение имеет четыре корня:

2. Найти действительные корни уравнения

Перепишем уравнение в виде:

Полагая получим:

Принимая сначала получим:

Принимая затем получим;

Последнее уравнение действительных корней не имеет. Поэтому первоначальное уравнение имеет лишь два действительных корня:

Возвратные уравнения 3-й и 4-й степени

Общий вид возвратного уравнения 3-й степени таков:

Общий вид возвратного уравнения 4-й степени таков:

1. Решим возвратное уравнение 3-й степени:

Разложим левую часть уравнения на множители. Для этого перепишем уравнение в виде:

Последнее уравнение удовлетворяется и тогда, когда х+1 =0, и тогда, когда Ни при каких других условиях оно не удовлетворяется.

Решая уравнение х+1 =0, получим, что х = —1.

Решая уравнение получим:

Итак, первоначальное уравнение имеет три корня:

2. Решим возвратное уравнение 4-й степени:

В этом уравнении х не может равняться нулю. Поэтому мы можем разделить все члены данного уравнения на и записать его в следующем виде:

Полагая получим, что

Принимая все это во внимание, получим следующее уравнение с неизвестным у:

Отсюда найдем два значения неизвестного у, а именно: у = 6 и у = 4. Принимая сначала получим, что Отсюда найдем два значения неизвестного х, а именно:

Принимая затем получим, что откуда найдем еще два значения неизвестного х, а именно

Итак, первоначальное уравнение имеет четыре корня:

Вопрос о решении разобранных в этой главе типов уравнений будет рассмотрен полнее во второй части курса.

Теорема Виета

Теорема Виета:

Если квадратное уравнение имеет корни и , то выполняются соотношения: ; . И наоборот, если для некоторых чисел существуют числа и , удовлетворяющие соотношениям и , то числа и являются корнями уравнения Если и — корни квадратного уравнения , то квадратный трехчлен раскладывается на множители:

Многие простые квадратные уравнения могут быть решены с помощью теоремы Виета без вычисления корней по основной формуле.

Этот материал взят со страницы решения задач по математике:

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Квадратные уравнения и уравнения, приводящиеся к квадратным

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Целые алгебраические уравнения и их классификация

Уравнение с одним неизвестным называется целым алгебраическим, если обе его части являются целыми алгебраическими выражениями от неизвестного. Например, уравнения

не являются целыми алгебраическими. Первое из них содержит в знаменателе выражение х + 2 зависящее от неизвестного х. Такого рода уравнения называются дробными алгебраическими. Второе содержит выражение x + 1, зависящее от неизвестного х, под знаком корня. Такие уравнения называются иррациональными.

Важнейшими из алгебраических уравнений являются целые алгебраические. Это обусловлено тем, что решение дробных и иррациональных уравнений может быть сведено к решению целых (с некоторыми приемами такого сведения мы познакомимся в § 16, 17 этой главы).

Обратимся теперь к классификации целых уравнений. Прежде всего напомним, что два уравнения называются равносильными, если каждое решение первого уравнения является решением второго и каждое решение второго уравнения является решением первого.

В первой части книги было установлено, что если к обеим частям уравнения добавить любой многочлен от неизвестного, то каждое решение исходного уравнения будет решением преобразованного, и обратно, каждое решение преобразованного уравнения будет решением исходного, так что преобразованное уравнение будет равносильно исходному.

В силу этого любое целое алгебраическое уравнение может быть преобразовано в равносильное, в одной части которого находится многочлен от неизвестного, не содержащий подобных членов, а в другой части нуль. Для этого достаточно «перенести все члены уравнения в одну часть», т. е. добавить к обеим частям уравнения выражение, противоположное одной из его частей, а затем раскрыть скобки и привести подобные члены.

и, после раскрытия скобок и приведения подобных членов, в

Степень многочлена, получающегося в одной части уравнения после указанных преобразований, называется степенью исходного уравнения.

есть уравнение второй степени, уравнение

есть уравнение третьей степени и т. д.

Неполные квадратные уравнения

Уравнение второй степени называется иначе квадратным уравнением. Любое квадратное уравнение, после перенесения всех его членов в одну часть и приведения подобных членов, приводится к виду

где x — неизвестное, а, b, с —коэффициенты, причем а называется старшим коэффициентом квадратного уравнения, b— средним коэффициентом, с — свободным членом.

Квадратное уравнение называется неполным, если хотя бы один из его коэффициентов равен нулю. Так как старший коэффициент равняться нулю не может, в неполном уравнении должен обращаться в нуль средний коэффициент или свободный член или оба вместе, так что неполное квадратное уравнение может иметь один из следующих трех видов:

Уравнение очевидно, имеет единственное решение x = 0. Действительно, так как то из следует, что и потому х = 0.

Уравнение равносильно уравнению

Здесь могут представиться два случая (если исключить разобранный выше случай c = 0). Если а и с имеют одинаковые знаки, то уравнение не имеет решений, ибо квадрат действительного числа не может равняться отрицательному числу . Если а и с имеют противоположные знаки, то положительно и уравнение а вместе с ним и исходное уравнение имеет два решения

Неполное квадратное уравнение последнего вида решается посредством разложения левой части на множители. Именно, вынося х за скобку, получим

Для того чтобы произведение равнялось нулю, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из множителей равнялся нулю. Приравнивая к нулю первый множитель, получим одно решение Приравнивая к нулю второй множитель ах + b получим второе решение

Итак, мы рассмотрели все виды неполного квадратного уравнения. Формулируем результаты:

I. . Уравнение имеет единственное решение x = 0.

II. . Уравнение не имеет решений, если знаки а и с одинаковы. Если же знаки а и с противоположны, то уравнение имеет два решения:Эти два решения сливаются в одно x = 0, если с = 0, т. е. если уравнение имеет вид I.

HI. Уравнение имеет два, решения: и Они различны при и сливаются в одно при b = 0, т. е. если уравнение имеет вид I.

Приведенное квадратное уравнение

Решение полного квадратного уравнения мы начнем со случая, когда старший коэффициент равен единице. В этом случае уравнение называется приведенным. Общее квадратное уравнение легко преобразуется в равносильное ему, приведенное посредством деления
обеих частей уравнения на старший коэффициент.

Для решения приведенного уравнения

в общем виде применим прием выделения полного квадрата суммы, который применяется при разложении квадратного трехчлена на множители.

Рассмотрим как квадрат первого слагаемого, равного x, р х — как удвоенное произведение первого слагаемого на второе. Очевидно, что за это второе слагаемое нужно взять Затем добавим квадрат второго слагаемого, т. е. и сразу вычтем его, чтобы не изменить левую часть уравнения. Таким образом, исходное уравнение преобразуется к виду

Это последнее уравнение равносильно исходному, так как его левая часть тождественно равна левой части исходного уравнения.

Далее, перенесем последние два члена в правую часть уравнения с противоположными знаками. Получим новое уравнение

равносильное предыдущему. Теперь могут представиться три случая.

Случай 1.Преобразованное уравнение, а
следовательно и исходное, не может иметь решений, ибо квадрат действительного числа не может равняться отрицательному числу

Случай 2. B этом случае преобразованное
уравнение будет удовлетворяться только при т. е. при Таким образом, в этом случае уравнение имеет единственное решение.

Случай 3. Преобразованное уравнение удовлетворяется, если

Таким образом, в этом случае уравнение имеет два решения:

Оба эти решения удобно записать в виде одной формулы:

Корень приведенного квадратного уравнения равен половине среднего коэффициента, взятого с противоположным знаком, плюс или минус квадратный корень из квадрата этой половины без свободного члена.

Итак, при решении приведенного квадратного уравнения могут представиться три случая:

Случай 1. —уравнение не имеет действительных решений.

Случай 2. — уравнение имеет единственное решение:

Случай 3. —уравнение имеет два решения, вычисляемых по формуле

Очевидно, что при решении квадратного уравнения нет
необходимости заранее исследовать, который из трех случаев имеет место.

Можно сразу записать решение по формуле, и результат сам покажет, который из случаев имеет место.

Именно, если имеет место первый случай формула приводит к невозможному действию — извлечению квадратного корня из отрицательного числа. Во втором случае оба корня,
вычисленные по формуле, сливаются в один В этом случае принято говорить, что уравнение имеет два одинаковых корня.

Формулу (1) для решения приведенного квадратного уравнения иногда удобно применять в несколько преобразованной форме следующим образом. Очевидно, что

и, следовательно, согласно формуле (1),

Формула (2) иногда оказывается удобнее формулы (1), например, если р и q целые числа и р нечетное число или если коэффициенты р и q являются буквенными выражениями. Если же р и q целые числа и р четное число, то формула (1) удобнее.

Запоминать формулу (2) нет необходимости, так как она
непосредственно получается из формулы для решения общего квадратного уравнения, которая будет выведена в следующем параграфе.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример:

Решение:

Пример:

Решение:

Пример:

Решение:

Уравнение не имеет действительных решений.

Пример:

Решение:

Это уравнение не приведенное. Оно равносильно приведенному

которое получается из исходного посредством деления обеих его частей на 2. Решая это последнее уравнение, получим

Замечание:

Из вывода формулы для решения квадратного уравнения следует, что числа

если только они имеют смысл, действительно являются корнями квадратного уравнения Поэтому проверка корней посредством подстановки в уравнение может быть нужна только для контроля правильности вычислений.

Общее квадратное уравнение

Для решения общего квадратного уравнения достаточно его привести, т. е. преобразовать, к приведенному, разделив обе его части на старший коэффициент, и затем воспользоваться формулой для корней приведенного уравнения. Именно так был решен последний пример в предыдущем параграфе.

Однако целесообразно провести эти преобразования в общем виде и получить формулу, позволяющую решить общее квадратное уравнение без предварительного приведения.

Итак, пусть дано уравнение . Поделив обе его части на а, мы получим равносильное приведенное уравнение

к которому можно применить результаты предыдущего параграфа.

Положив мы получим

Если уравнение имеет решение, т. е. если последнюю формулу можно еще несколько упростить. Именно,

Итак, в том случае, когда уравнение имеет решение, корни уравнения могут быть вычислены по формуле

Так же, как в случае приведенного уравнения, при решении общего квадратного уравнения нет необходимости заранее проверять, существует решение или нет. Именно, уравнение не имеет решения в том и только в том случае, если формула (3) приводит к невозможному действию извлечения корня из отрицательного числа.

Действительно, решение не существует в том и только в том случае, если

отличается только положительным множителем от выражения находящегося под знаком квадратного корня в формуле (3).

Выражение называется дискриминантом уравнения

Если дискриминант отрицателен, то, как мы видели, уравнение не имеет действительных корней. Из формулы (3) следует, что если дискриминант положителен, то уравнение имеет два различных действительных корня, если же дискриминант равен нулю, то оба корня сливаются в один:

Формула (3) читается так: корень квадратного уравнения равен дроби, знаменателем которой является удвоенный старший коэффициент, а числителем — средний коэффициент, взятый с противоположным знаком, плюс или минус квадратный корень из дискриминанта.

Если удобно принять b = 2k (например, если b есть целое четное число), формула (3) может быть еще немного упрощена. В этом случае уравнение имеет вид

Итак, в том случае, когда уравнение имеет решение, корни уравнения могут быть вычислены по формуле

Так же, как в случае приведенного уравнения, при решении общего квадратного уравнения нет необходимости заранее проверять, существует решение или нет. Именно, уравнение не имеет решения в том и только в том случае, если формула (3) приводит к невозможному действию извлечения корня из отрицательного числа.

Действительно, решение не существует в том и только в том случае, если

отличается только положительным множителем от выражения отличается только положительным множителем от выражения находящегося под знаком квадратного корня в формуле (3).

Выражение называется дискриминантом уравнения

Если дискриминант отрицателен, то, как мы видели, уравнение не имеет действительных корней. Из формулы (3) следует, что если дискриминант положителен, то уравнение имеет два различных действительных корня, если же. дискриминант равен нулю, то оба корня сливаются в один:

Формула (3) читается так: корень квадратного уравнения равен дроби, знаменателем которой является удвоенный старший коэффициент, а числителем — средний коэффициент, взятый с противоположным знаком, плюс или минус квадратный корень из дискриминанта.

Если удобно принять b = 2k (например, если b есть целое четное число), формула (3) может быть еще немного упрощена. В этом случае уравнение имеет вид

Согласно формуле (3),

Итак, уравнение решается по формуле

Пример:

Решение:

Замечание:

Введение иррациональных чисел не является последним этапом в расширении понятия числа. Дальше вводятся еще так называемые комплексные числа, после введения которых действие извлечения квадратного корня из отрицательного числа оказывается осуществимым. После введения комплексных чисел мы будем вправе считать, что и в случае отрицательного дискриминанта квадратное уравнение имеет корни, но эти корни не являются действительными числами.

Замечание:

Формула (3) пригодна, конечно, и для решения неполных квадратных уравнений. Например, для уравнения формула (3) дает

в соответствии с прежним результатом *)

Замечание:

Иногда нужно рассматривать уравнение первой степени как частный случай квадратного, в котором старший коэффициент равен нулю. Это целесообразно, например, если некоторая задача, поставленная в общем виде, приводит к квадратному уравнению, в котором, в зависимости от численных данных задачи, коэффициенты изменяются и, в частности, старший коэффициент может принимать значение, равное нулю.

*) Строго говоря, не обязательно равен b, именно: при при b

применима при наравне с формулой (3), но она, вообще говоря, менее удобна из-за большей сложности знаменателя.

При а = 0 формула (5) дает

Если в этом результате взять верхний знак, получим

т. е. мы действительно получаем корень уравнения первой степени bх+c=0. Нижний знак приводит к бессмысленному результату, так как знаменатель обращается в 0.

Формула (5) оказывается удобной при приближенном решении квадратного уравнения в случае, если старший коэффициент очень мал по сравнению с остальными коэффициентами.

Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям

Квадратные уравнения, так же как уравнения первой степени, оказываются полезными при решении многих задач. Заметим, что если задача приводится к решению квадратного уравнения, обычные приемы и правила арифметики оказываются бессильными для решения такой задачи, в то время как задачи, приводящиеся к уравнениям первой степени, по большей части могут быть решены и средствами арифметики.

При решении задачи, сводящейся к квадратному уравнению, необходимо, после того как уравнение составлено и решено, производить проверку полученных корней по смыслу задачи. При этом часто оказывается, что из двух полученных корней отвечает смыслу задачи лишь один.

Задача:

Дети поехали на лодке и поднялись на веслах на 6 км от пристани против течения реки. Затем они ловили рыбу, останавливаясь в разных местах. Через 3 часа они оказались в 2 км ниже первой остановки и, окончив ловлю, пошли на веслах обратно к пристани. Всего они пробыли на лодке 5 часов. Какова скорость лодки в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки равна 2 км/час.

Решение:

Обозначим скорость лодки в стоячей воде (в км/час) через х. Тогда скорость лодки при. движении против течения реки равна х — 2 км/час, при движении по течению равна х+2 км/час.

Дети гребли против течения реки 6 км, на это они затратили затем 3 часа ловили рыбу и затем гребли 4 км по течению реки, на что затратили часа. Итак,

Уравнение составлено. Умножим обе его части на общий знаменатель (При этом уравнение может приобрести лишние корни.) Получим

После очевидных преобразований мы получим

Оба корня удовлетворяют уравнению (1), что легко проверяется подстановкой их в это уравнение. Однако по смыслу задачи подходит только первый корень

Задача:

Периметр прямоугольника равен 20 см. Площадь этого прямоугольника равна 25 см ² . Определить стороны прямоугольника.

Решение:

Обозначим длину основания прямоугольника через х см. Тогда высота прямоугольника равна 10 — х см, ибо сумма длин основания и высоты равна полупериметру. Следовательно, площадь прямоугольника равна

По условию задачи

Уравнение имеет единственный корень х = 5, и он подходит по смыслу задачи.

Задача:

Сторона квадрата ABCD равна 10 см. От его вершин в направлении обхода по часовой стрелке (рис. 42) отложены равные отрезки А а, В b, С с, D d, и точки а, b, с, d соединены прямыми. Площадь квадрата abcd равна 40 см. Определить длину отрезка А а.

Решение:

Обозначим длину отрезка А а через х см. Тогда длина каждого из отрезков а В, b С, c D, d A равна 10 — х см. Треугольники aBb, cDd, будучи приложены по гипотенузам, составляют прямоугольник со сторонами х и 10—х см и, следовательно, сумма их площадей равна x (10 — х)см ² — Точно так же сумма площадей треугольников aAd и bСс равна x (10 — х) см ². Но

Это уравнение действительных решений не имеет. Следовательно, и задача не имеет решения.

Ответ. Задача не имеет решения.

Проведем теперь исследование последней задачи, выяснив, как следует изменить условие задачи, чтобы подобная задача имела решение. При этом будет вскрыта причина, в силу которой данная задача не имеет решения. С этой целью поставим задачу в общем виде, заменив все численные данные буквами. Итак, пусть сторона квадрата ABCD равна 1 см и площадь квадрата abcd равна s см ² .

Рассуждая таким же образом, как при численных данных, мы получим для х = А а уравнение

Решая по формуле (4), получим

Для того чтобы уравнение, к которому свелось решение задачи, имело действительные решения, необходимо и достаточно, чтобы число было положительным или нулем, т. е. чтобы В задаче, которую мы рассматривали, это условие выполнено не было.

Однако даже если уравнение имеет решение, задача может решений не иметь, если корни не подходят по смыслу задачи. В нашей задаче корень х будет подходить по смыслу задачи в том и только в том случае, если так как точка а должна находиться между точками А и В. Очевидно, если корень

удовлетворяет поставленному требованию, то ему удовлетворяет и второй корень

так как Геометрический смысл этого обстоятельства ясен: если отрезок заменить отрезком аВ = АВ— Аа = получится равный вписанный квадрат.

Таким образом, для выяснения условия существования решения задачи остается установить, когда Очевидно, всегда положительно.

Для выполнения неравенства необходимо и достаточно выполнение неравенства которое в свою очередь вытекает из неравенства

Итак, задача имеет решение в том и только в том случае, если т. е. если данная площадь не меньше половины площади квадрата ABCD и меньше всей площади этого квадрата.

Связь между коэффициентами и корнями квадратного уравнения

Рассмотрим сначала приведенное квадратное уравнение

Его корни выражаются через коэффициенты р и q посредством выведенной выше формулы

Но во многих приложениях квадратных уравнений часто возникает необходимость выразить коэффициенты квадратного уравнения через его корни. Соответствующие выражения проще всего вывести, сложив и перемножив корни. Сделаем это:

Итак, средний коэффициент приведенного квадратного уравнения равен сумме его корней, взятой с обратным знаком. Свободный член приведенного квадратного уравнения равен произведению его корней.

Выведенные формулы называются формулами Виета *).

Теперь легко вывести соотношение между коэффициентами и корнями для общего квадратного уравнения. Общее квадратное уравнение равносильно приведенному

В силу формул Виета имеем

Итак, средний коэффициент общего квадратного уравнения равен произведению старшего коэффициента на сумму корней, взятую с обратным знаком; свободный член общего квадратного уравнения равен произведению старшего коэффициента на произведение корней.

*) Виет—французский математик. Родился в 1540 г., умер в 1603 г.

Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратным трехчленом называется многочлен вида

с данными коэффициентами а, b, с, причем а ≠ 0. Коэффициенты а, b, с называются соответственно старшим коэффициентом, средним коэффициентом и свободным членом квадратного трехчлена. Квадратный трехчлен называется приведенным, если его старший коэффициент равен единице. Корнями квадратного трехчлена называются те значения буквы х, при которых трехчлен обращается в нуль. Иными словами, корнями трехчлена называются корни уравнения

Пусть являются корнями приведенного квадратного трехчлена Тогда, в силу формул Виета,

Теперь не представляет труда разложить трехчлен на множители. Действительно,

где — корни трехчлена

Замечание:

Эта формула применима, конечно, только в случае, если трехчлен имеет действительные корни. Если же действительных корней нет, трехчлен не может быть разложен на множители первой степени. В самом деле, если допустить, что

которые при подстановке вместо х обращают в нуль множители правой части, являлись бы корнями трехчлена Но это противоречит условию, что квадратный трехчлен действительных корней не имеет.

Для общего квадратного трехчлена имеем:

где — корни трехчлена

Составление квадратного уравнения по данным корням

Пусть даны два числа , различные или равные. Требуется построить приведенное квадратное уравнение, имеющее своими корнями

Очевидно, что в качестве такого уравнения можно взять

или, после раскрытия скобок,

Действительно, если вместо x подставить , или , левая часть уравнения обратится в нуль, ибо один из сомножителей окажется равным нулю.

Из формулы Виета следует, что составленное уравнение является единственным решением поставленной задачи. Действительно, если уравнение имеет корни его коэффициенты р и q выражаются через по формулам

т. е. оно совпадает с составленным выше.

Итак, существует единственное приведенное квадратное уравнение, имеющее своими корнями данные числа . Коэффициенты этого уравнения выражаются через по формулам Виета.

Примеры и приложения

Рассмотрим несколько примеров на применение результатов § 6—8.

Пример:

Составить приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются квадраты корней уравнения

Мы дадим два решения этого примера.

Первое решение. Уравнение имеет корни Их квадраты и Согласно формулам Виета искомое уравнение имеет коэффициенты

Второе решение. Пусть — корни данного уравнения. Тогда искомое уравнение имеет коэффициенты и Преобразуем их так, чтобы их было легко выразить непосредственно через коэффициенты данного уравнения, минуя вычисление . Именно,

Мы пришли к тому же ответу, но при значительно меньших вычислениях.

Ответ.

Пример:

Решить систему уравнений

Решение:

Составим вспомогательное квадратное уравнение, корнями которого являются х и у. Так как сумма и произведение чисел х и у нам известны, это уравнение составляется по формулам Виета, именно, оно есть

Решая его, получим Один из его корней мы должны принять за x, другой за у. Так как это можно сделать двумя способами, мы получим два решения системы

Ответ.

Рассмотренный в последнем примере прием применяется к любой системе уравнений вида

Пример:

Решить систему уравнений

Решение:

Составим вспомогательное квадратное уравнение, корнями которого являются х и —у. Так как сумма этих двух чисел равна 7, а произведение x( —у) равно —xy = — 44, вспомогательное уравнение есть

Решив его, получим Один из этих корней мы должны принять за х, другой за —у. Сделав это двумя возможными способами, получим два решения системы

Ответ.

Рассмотренный в последнем примере прием может быть применен к любой системе уравнений вида

В случае, если вспомогательное уравнение при решении системы

не имеет действительных корней, то и сама система действительных решений не имеет.

Исследование корней квадратного уравнения по коэффициенту и дискриминанту

При выводе формулы для решения квадратного уравнения мы выяснили, что значение дискриминанта уравнения определяет число корней уравнения. Именно, если дискриминант положителен, то уравнение имеет два различных действительных корня, если дискриминант равен нулю, то корни совпадают, и, наконец, если дискриминант отрицателен, то уравнение не имеет действительных корней.

Формулы Виета дают дополнительные сведения о корнях квадратного уравнения. Мы ограничимся рассмотрением приведенного квадратного уравнения.

Начнем исследование с рассмотрения уравнения, свободный член которого q отрицателен. В этом случае дискриминант наверное положителен, так что уравнение имеет два различных действительных корня Далее, произведение корней равно отрицательному числу q. Следовательно, один из корней положителен, другой отрицателен. Наконец, Отсюда следует, что при р > 0 сумма корней отрицательна, и следовательно, отрицательный корень имеет большую абсолютную величину. Если р 0 оба корня положительны. Случай р = 0 здесь невозможен, так как при р = 0; q > 0 дискриминант

Результаты проведенного исследования можно объединить в следующую таблицу, в которую мы включаем для полноты и очевидные результаты при q = 0.

Случай 1. q 0. Отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного.

b) р = 0. Корни равны по абсолютной величине.

c) р 0. Один корень равен нулю, другой отрицателен.

b) p = 0. Оба корня равны нулю.

a) Два различных корня одного знака, противоположного знаку р.

b) Два равных корня, их знак противоположен знаку р.

c) Действительных корней нет.

Биквадратные уравнения

называется биквадратным уравнением. Решение биквадратного уравнения легко сводится к решению квадратного уравнения с последующим извлечением квадратного корня.

Для этого достаточно принять за новую неизвестную Ввиду того, что

биквадратное уравнение относительно х является квадратным относительно у. Решив это квадратное уравнение, мы получим, вообще говоря, два значения для у. Извлекая из этих значений квадратные корни (со знаками + и -), если это возможно, мы получим искомые корни биквадратного уравнения.

Пример:

Решение:

Положим Тогда и уравнение преобразуется в следующее:

Решая его, получим

Итак, для имеются две возможности:

Таким образом, данное биквадратное уравнение имеет четыре корня:

Решение примера можно оформить по-другому, не вводя новой буквы. Именно, записать данное уравнение в виде

Для биквадратного уравнения число действительных корней вдвое больше числа положительных корней вспомогательного квадратного уравнения

Некоторые уравнения, сводящиеся к квадратным посредством введения нового неизвестного

Способ упрощения уравнения посредством введения нового неизвестного применим не только к биквадратным уравнениям. Решение весьма многих уравнений может быть упрощено при помощи этого приема. Однако невозможно дать какие-либо исчерпывающие общие указания относительно того, когда этот прием может быть применен с успехом. Поэтому мы ограничимся лишь рассмотрением нескольких примеров.

Пример:

Решение:

Это уравнение принадлежит к числу иррациональных уравнений, так как в нем неизвестное х входит под знаком квадратного корня. Посредством введения нового неизвестного оно легко сводится к квадратному уравнению.

Действительно, положим Тогда и, следовательно, уравнение преобразуется к виду

Итак, откуда х = 9, или Последнее равенство невозможно, ибо под мы должны понимать арифметическое значение квадратного корня, которое не может быть отрицательным.

Ответ. х = 9.

Пример:

Решение:

Данное уравнение есть уравнение четвертой степени — после раскрытия скобок и приведения подобных членов в левой части окажется многочлен четвертой степени относительно неизвестного х. Решение уравнений четвертой степени в общем виде весьма сложно. Однако решение данного выше уравнения не представляет никакого труда.

Введем новое неизвестное: Относительно этого нового неизвестного уравнение будет уже квадратным

Решая его получим

первом случае имеем

втором случае получаем

Итак, данное уравнение имеет четыре решения:

Ответ.

Подстановка в последнем примере подсказывалась самим видом уравнения. Аналогичная подстановка применима к любому уравнению вида

Некоторые уравнения четвертой степени можно привести к такому виду посредством несложного преобразования левой части.

Пример:

Решение:

Это уравнение легко приводится к виду, подобному разобранному в предыдущем примере. Действительно, преобразуем левую часть уравнения, выделив из третьего члена такое слагаемое, которое вместе с первыми двумя образует квадрат суммы. За такое слагаемое нужно взять . Получим

Уравнение приводится к виду

Положив получим

Первое из этих уравнений дает Второе не имеет действительных корней.

Ответ.

Указанный в этом параграфе прием можно применить, конечно, не к любому уравнению четвертой степени. Но в каждом частном случае легко проверяется, возможно ли применение этого приема или нет.

Возвратные уравнения

Уравнение четвертой степени

называется возвратным, если отношение свободного члена к старшему коэффициенту равно квадрату отношения коэффициентов при х и при т. е.

Возвратные уравнения легко решаются посредством специального введения нового неизвестного. Покажем это на примере.

Пример:

Решение:

Это уравнение возвратное, так как здесь

Прием заключается в следующем. Объединим первое слагаемое с последним, второе с предпоследним и поделим обе части уравнения на . Получим

Введем новое неизвестное Тогда

Принимая это во внимание получим следующее уравнение относительно y

Решив его, получим

Возвращаясь к неизвестному х, мы получим относительно него два уравнения:

Умножив обе части уравнений на х, получим квадратные уравнения

Решив их, получим

Ответ.

Указанный в приведенном примере прием применим к любому возвратному уравнению.

Действительно, пусть уравнение

Обозначим отношение через m.Тогда, Принимая это во внимание и поделив обе части уравнения на , приведем уравнение к виду

Теперь ясно, что подстановка приведет к цели, ибо

Частным случаем возвратных уравнений являются так называемые симметрические уравнения Для них после преобразования к виду

применяют подстановку Тогда и уравнение приводится к квадратному относительно у.

Второй способ решения биквадратного уравнения

При решении биквадратного уравнения в случае, если q > 0, можно применить тот же прием, что и при решении возвратного уравнения. Именно, поделив обе части уравнения на , получим

Это последнее уравнение после подстановки приводится к квадратному.

Описанный прием особенно удобен в том случае, когда q является квадратом рационального числа.

Пример:

Решение:

Разделив обе части уравнения на , получим

Положим Тогда

Для у получаем уравнение

Теперь для х получаем два уравнения:

После умножения на х получим

Интересно отметить, что, решая обычным образом, мы получим решение в совершенно другой, более сложной форме:

Но на самом деле оба ответа, конечно, совпадают.

точно таким же образом легко убедимся, что

Ответ.

Совпадение в приведенном примере результатов двух способов решения биквадратного уравнения наводит на мысль о возможности упрощения в некоторых случаях иррациональных выражений вида , где a и b рациональные числа.

Действительно, пусть Тогда и, следовательно,

Раскрывая скобки и перенося все члены в одну часть, получим биквадратное уравнение

Решив его по второму способу, получим для х новое выражение, которое будет проще исходного, если есть полный квадрат. Правда, после решения биквадратного уравнения необходимо установить, к которому из корней биквадратного уравнения следует приравнять интересующее нас число . Но этот выбор всегда легко сделать в каждом частном случае.

Пример:

Упростить выражение

Решение:

Здесь так что указанный прием дает возможность упростить выражение. Положим Тогда

Пусть Тогда

Далее, так как х положительно, то тоже положительно, и следовательно,

Для х получаем такое уравнение:

Из этих двух значений искомым является ибо

при возведении в квадрат дает

Ответ.

Преобразование уравнений

Как было сказано выше, два уравнения называются равносильными, если каждое решение первого уравнения является решением второго и каждое решение второго является решением первого. В первой части книги были выяснены два типа преобразований, переводящих данное уравнение в равносильное:

1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число или один и тот же многочлен относительно неизвестного, то полученное в результате этого новое уравнение равносильно исходному.
2. Если обе части уравнения умножить или разделить на какое-нибудь число, отличное от нуля, то полученное в результате этого уравнение равносильно исходному (ч. I, гл. VII, § 1).

Однако во многих случаях при решении уравнений приходится производить такие преобразования, после которых полученное уравнение не равносильно исходному, но является только его следствием. Дадим точное определение этого понятия в применении к уравнениям.

Определение. Если все решения уравнения А —В являются также решениями уравнения C—D, то второе уравнение называется следствием первого.

Смысл этого термина легко понять. Пусть А, В, Си D — данные алгебраические выражения от неизвестного лг. Допустим, что уравнение C — D есть следствие уравнения А = В. Это значит, что всякое значение буквы х, при котором удовлетворяется уравнение А = В, удовлетворяет и уравнению C — D. Иными словами, если А = В (т. е. х таково, что численные значения выражений А и В равны), то C = D. Таким образом, здесь слово «следствие» употребляется в том же смысле, что и в повседневной жизни.

Очевидно, что равносильность двух уравнений означает, что каждое из них является следствием другого. Понятия равносильности и следствия без всякого изменения переносятся на уравнения и системы уравнений с несколькими неизвестными.

Рассмотрим несколько примеров, разъясняющих смысл введенных определений.

Уравнение есть следствие уравнения х— 2=1. Действительно, единственным решением второго уравнения является х = 3, и это решение является вместе с тем решением первого уравнения. То же самое можно обосновать следующим рассуждением: «Если х — 2=1, то х—3 и, следовательно, ».

Часто можно убедиться в том, что одно уравнение является следствием другого, не решая последнее. В том же примере это можно сделать, например, таким рассуждением: «Если х — 2=1, то следовательно, ».

Теперь сформулируем и докажем несколько теорем, обосновывающих некоторые преобразования данного уравнения в новое, являющееся следствием данного (или равносильного данному). Для полноты изложения поместим и две сформулированные выше теоремы из первой части книги.

Теорема:

Если к обеим частям уравнения добавить одно и то же число или один и тот же многочлен, то получится уравнение, равносильное исходному.

Доказательство:

Пусть данное уравнение есть А = В, где А и В— алгебраические выражения от х, и пусть С есть число или многочлен, зависящий от х.

Если есть решение данного уравнения, т. е. такое число, при подстановке которого вместо буквы х выражение А становится действительно равным В, то при том же значении А+С=В+С.

Обратно, если такое, что при подстановке его вместо х А—С= В С, то при том же значении А —В.

Итак, каждое решение уравнения А = В оказывается решением уравнения A+С= B+С и, обратно, каждое решение уравнения А+ С= В+ С есть решение уравнения А = В. Уравнения А =В и А+С=В+С действительно равносильны.

Короче, все рассуждения можно провести так. Если (при некотором значении x) А = В, то (при том же значении x) А+С=В+С. Обратно, если (при некотором значении х) А—С—В—С, то (при том же значении х) А = В.

Замечание. В этой теореме существенно, что С есть число или многочлен. Если С есть дробное выражение, то теорема может оказаться неверной — может случиться, что решение уравнения А = В при подстановке в уравнение А+С=В+С дает бессмысленное равенство, если знаменатель С обращается в нуль. Например, уравнения

не равносильны: первое из них имеет корень х = 2, второе — корней не имеет.

Теорема:

Если обе части уравнения умножить на одно и то же число, отличное от нуля, то в результате этого преобразования получится уравнение, равносильное исходному.

Доказательство:

Пусть А = В есть данное уравнение, а — данное число. Тогда если (при каком-нибудь значении х) А = В, то (при том же значении х) Ас = Вс. Обратно, если (при каком-нибудь значении х) Ас = Вс, то (при том же значении x) А= В. Таким образом, каждое решение уравнения А = В является решением уравнения Ас = Вс, и обратно, следовательно, уравнения А = В и Ас = Вс равносильны.

Теорема:

Если обе части уравнения умножить на один и тот же многочлен, то в результате этого преобразования получится уравнение, являющееся следствием исходного.

Доказательство:

Пусть А = В данное уравнение, С — данный многочлен от неизвестного х. Тогда, если (при каком-либо значении х) А = В, то (при том же значении x) АС=ВС. Таким образом, каждое решение уравнения А = В является решением уравнения АС—ВС.

Следовательно, уравнение АС—ВС есть следствие уравнения А — В, что и требовалось доказать.

Замечание:

Уравнение АС=ВС есть следствие уравнения А = В, но оно не обязано быть ему равносильным. Действительно, из АС=ВС следует А = В, только если . Поэтому, решение уравнения АС = ВС может не быть решением уравнения А = В, если оно является решением уравнения С=0.

Например, умножая обе части уравнения х—3 = 0 на многочлен х — 2, мы получим новое уравнение (х—3)(x — 2) = 0, которое, кроме корня исходного уравнения x = 3, имеет еще корень х — 2.

Замечание:

В формулировке теоремы существенно, что С является многочленом. Если С есть дробное выражение, содержащее неизвестное в знаменателе, то преобразованное уравнение может не быть следствием исходного, если хотя бы один из корней исходного уравнения обращает в нуль знаменатель С. Например, умножив обе части уравнения

на выражение , мы получим новое уравнение

не являющееся следствием исходного.

Теорема:

Если обе части исходного уравнения возвести в степень с одним и тем же показателем, то полученное в результате этого преобразования уравнение будет следствием исходного.

Доказательство:

Пусть А = В — данное уравнение. Тогда если А = В (при некотором значении неизвестного х), то (при том же значении неизвестного Таким образом, каждое решение уравнения А —В является решением уравнения

Следовательно, уравнение есть следствие уравнения А = В.

Замечание:

Так же, как в теореме 3, здесь нельзя утверждать равносильность. Действительно, если то А = В или А = — В, так что корнями уравнения могут быть как корни уравнения А = В, так и корни уравнения А = — В. Например, возводя в квадрат обе части уравнения

корень которого x = 3 мы получим уравнение

корнями которого будут

Допустим теперь, что мы имеем два уравнения, причем известно, что второе уравнение является следствием первого, и допустим, что это второе уравнение мы умеем решать, т. е. можем найти все его корни. Тогда мы можем решить и исходное уравнение, так как среди корней второго уравнения находятся все корни исходного. Но не все корни второго уравнения обязаны быть корнями исходного, среди корней второго уравнения могут встретиться числа, не являющиеся корнями исходного уравнения. Поэтому, для того чтобы решить исходное уравнение, мы должны корни второго уравнения испытать посредством подстановки их в исходное уравнение и отобрать из них те корни, которые удовлетворяют исходному уравнению,

Дробные алгебраические уравнения

Дробные уравнения, т. е. такие, в одной или обеих частях которых находятся дробные рациональные выражения, содержащие неизвестное в знаменателе, решаются посредством сведения к целым уравнениям.

Для достижения этой цели можно, например, перенести все слагаемые правой части в левую с противоположными знаками, затем посредством обычных тождественных преобразований привести левую часть к виду частного от деления двух многочленов. После этих преобразований мы получаем новое уравнение, являющееся лишь следствием исходного, но не обязательно равносильное ему.

Действительно, всякое решение исходного уравнения, очевидно, является решением» преобразованного. Обратно, всякий корень преобразованного уравнения является корнем исходного, если только обе части исходного уравнения имеют смысл при подстановке этого корня. Однако может случиться так, что обе части исходного уравнения лишены смысла при некотором значении неизвестного, а левая часть преобразованного уравнения имеет смысл и обращается в нуль. Тогда такое значение неизвестного является корнем преобразованного уравнения, но не является корнем исходного. Таким образом, преобразованное уравнение действительно является следствием исходного, но не обязательно ему равносильно, так как может иметь лишние корни. Указанное обстоятельство может иметь место, если по ходу преобразований происходит взаимное уничтожение дробных выражений или производится сокращение дробей.

Например, производя в уравнений

указанные преобразования, мы получим уравнение

Уравнение (3), очевидно, есть следствие уравнения (1). Проверим это обычным рассуждением.

Если (х такое, что)

Но уравнение (1) не является следствием уравнения (3), так как уравнение (3) имеет корень х = 2, а как раз при х = 2 обе части уравнения (I) не имеют смысла.

Для того чтобы еще более уяснить это обстоятельство, посмотрим, почему нельзя рассуждать следующим образом: «Если х — 2 = 0, то x+1= 3; если х + 1 = 3, то Первая половина рассуждения верна безусловно — мы добавляем к обеим частям число 3. Вторая половина рассуждения была бы верна, если бы х был не равен 2. Но у нас как раз х = 2, и рассуждение теряет силу.

Таким образом, мы наметили путь, следуя которому, мы можем преобразовать любое дробное уравнение к уравнению вида

где А и В— многочлены, причем преобразованное уравнение является следствием исходного.

Умножив обе части последнего уравнения на В, мы получим новое уравнение A = 0, которое, согласно теореме 3 § 15, является следствием предыдущего, а потому и следствием исходного уравнения. Корень уравнения A = 0 может не быть корнем уравнения только тогда когда при его подстановке знаменатель В обращается в нуль.

Итак, любое дробное уравнение может быть преобразовано в целое уравнение, являющееся следствием исходного. Для этого достаточно перенести все слагаемые правой части в левую, затем посредством известных тождественных преобразований представить левую часть в виде частного от деления двух многочленов и, наконец, умножить обе части уравнения на знаменатель полученной дроби. (Это все равно, что приравнять числитель к нулю.) Если преобразованное уравнение удается решить, то среди его корней находятся все корни исходного уравнения, но могут быть и лишние корни. Их следует отбросить после испытания посредством подстановки в исходное уравнение.

Указанный путь не является единственным при решении дробных уравнений. Часто можно достигнуть цели быстрее, умножив обе части уравнения на многочлен, являющийся общим знаменателем всех дробей, находящихся в левой и правой частях исходного уравнения. Полученное таким образом целое уравнение является следствием исходного дробного, но не обязательно равносильно ему. Рассмотрим несколько примеров.

Пример:

Решение:

Способ 1. Перенесем все слагаемые правой части в левую. Получим

Выполняя сложение дробей, мы пока не будем приводить целую часть (т. е. — 1) к общему знаменателю для упрощения выкладки. Получим

Сократив дробь на х— 2, что дает и выполнив сложение с целой частью, получим откуда приравняв числитель к нулю, получим —x+1 = 0; х = 1

Подставив это значение в исходное уравнение, убеждаемся, что x = 1 есть действительно его решение. Таким образом, в данном случае выполненные преобразования не внесли лишних корней.

Указанную выкладку целесообразно сопровождать следующим рассуждением. Если

Итак, если х удовлетворяет уравнению, то х—. Действительно х=1 удовлетворяет уравнению, ибо

Способ 2. Общим знаменателем всех слагаемых уравнения является Умножив на него обе части уравнения, получим

и после очевидных преобразований

Первый корень преобразованного уравнения не является корнем исходного, ибо обе его части теряют смысл при х = 2. Второй корень удовлетворяет уравнению.

Приведенную выкладку можно обосновать так. Если

Итак, если х удовлетворяет данному уравнению, то х—2 или х=1. Но в действительности из этих двух значений корнем данного уравнения является только х=1, ибо при х = 2 обе части данного уравнения не имеют смысла.

В приведенном примере сокращение дроби, оказавшееся возможным при решении по первому способу, избавило нас в данном случае от «лишнего» корня х = 2. Однако бывает и так, что, хотя уравнение решается первым способом и сокращение дроби осуществляется до конца, «лишние» корни все же возникают. Это видно из следующего примера.

Пример:

Решение:

и после преобразований

откуда получаем, сокращая на х — 2, что

и, следовательно, 4— х — 2 = 0; х = 2.

Итак, если х удовлетворяет данному уравнению, то х = 2. Но в действительности х = 2 не удовлетворяет данному уравнению, ибо обе части его теряют смысл при х = 2. Следовательно, данное уравнение решений не имеет.

Ответ. Уравнение не имеет решений.

Иррациональные уравнения

Всякое иррациональное уравнение, т. е. уравнение, в котором некоторые выражения, зависящие от неизвестного, находятся под знаком корня, может быть преобразовано в целое алгебраическое уравнение, являющееся следствием исходного.

Доказательство этого утверждения в общем виде сложно, и мы ограничимся рассмотрением некоторых частных случаев.

Пример:

Решение:

В рассматриваемое уравнение входит только один радикал. Преобразуем уравнение, оставив радикал в одной его части, а все остальные члены перенесем в другую часть. Получим

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, что приведет нас к новому уравнению, являющемуся следствием исходного. Это обусловлено теоремой 4 § 15 или обычным рассуждением при преобразовании уравнения:

«Если (x такое, что)

Решая преобразованное уравнение, получим Эти корни не обязаны быть корнями исходного уравнения, так как из выполнения равенства еще не следует, что

Может быть одно из двух: или или — и следовательно, удовлетворяется либо исходное уравнение, либо уравнение — И, в самом деле, корень

удовлетворяет исходному уравнению, а корень исходному уравнению не удовлетворяет, но удовлетворяет уравнению — .Указанный прием применяется во всех случаях, когда в уравнение входит только один радикал.

Пример:

Решение:

Уединив радикал, получим откуда следует Раскрывая скобки и перенося все члены в одну часть, получим

Проверяя, убеждаемся, что оба корня удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ.

Пример:

Решение:

Здесь имеются два радикала, и избавиться от них одновременно посредством однократного возведения в квадрат не представляется возможным. Мы решим этот пример тремя способами.

Способ 1. Уединим один из радикалов, а затем возведем уравнение в квадрат

Полученное уравнение содержит уже один радикал. Уединив его, получим

Возведя в квадрат еще раз, получим

Посредством подстановки в исходное уравнение убеждаемся, что оба корня ему удовлетворяют.

Способ 2. Возведем в квадрат обе части исходного уравнения. Получим

Это уравнение содержит уже один радикал. Уединим радикал:

Теперь снова возведем в квадрат обе части уравнения. Получим и после очевидных преобразований приходим к уравнению

к такому же, какое было получено при освобождении от радикалов по первому способу.

Способ 3. Введем новую неизвестную Тогда Относительно новой неизвестной уравнение

содержит только один радикал. Далее,

и, наконец, Теперь вспомним, что

и, следовательно,

Таким образом, иногда при решении иррациональных уравнений следует комбинировать способ возведения в степень со способом введения новой неизвестной.

Ответ.

Пример:

Решение:

Способ 1. Представим уравнение в виде

и возведем обе его части в куб. При этом формулу куба разности двух чисел возьмем в следующем виде:

Кроме того, если х удовлетворяет исходному уравнению (а именно, в этом предположении мы и ведем преобразования, так как мы хотим построить уравнение, являющееся следствием исходного), то

Итак, преобразованное уравнение есть

Решая его, получим Подставляя в исходное уравнение, убеждаемся, что оба корня ему удовлетворяют.

Способ 2. Положим Тогда и относительно нового неизвестного уравнение превращается в откуда Но Следовательно,

Ответ.

Пример:

Решение:

Решение этого примера по образцу второго примера затруднительно, так как в результате последовательного» уединения радикалов и возведения в степень получится уравнение четвертой степени, которое можно решить способом введения нового неизвестного, но не очень просто. Лучше сразу ввести новое неизвестное, положив

Таким образом, относительно новой неизвестной уравнение имеет вид

Освободившись от радикала, получим

Оба корня удовлетворяют уравнению.

Далее, вспоминая, что получим относительно х два уравнения

Первое уравнение имеет корни Корнями второго являются

Все четыре корня удовлетворяют исходному уравнению, в чем легко убедиться посредством их подстановки в него.

Ответ.

Из рассмотренных примеров мы видим, что при решении иррациональных уравнений следует пользоваться методом уничтожения радикалов посредством возведения в степень или комбинацией его со способом введения нового неизвестного. В каждом частном случае следует, раньше чем приступить к выкладке, вдуматься в строение уравнения и составить план решения.

В заключение приводим еще один прием, который, несмотря на его искусственность, иногда оказывается полезным.

Пример:

Решение:

Умножим обе части уравнения на

Складывая с исходным уравнением, получим

Однако подстановка в исходное уравнение дает, что не удовлетворяет исходному уравнению. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ. Уравнение не имеет решений.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

источники:

http://infourok.ru/sostavlenie_kvadratnogo_trehchlena_po__ego_kornyam-417783.htm

http://lfirmal.com/kvadratnyie-uravneniya-zadachi-s-resheniem/

• Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax 2 + 0x+c=0 и оно равносильно ax 2 + c = 0.
• Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax 2 + bx = 0.
• Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 = 0.

Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:

• ax 2 = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
• ax 2 + c = 0, при b = 0;
• ax 2 + bx = 0, при c = 0.

Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам.

Как решить уравнение ax 2 = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax 2 = 0.

Уравнение ax 2 = 0 равносильно x 2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x 2 = 0 является нуль, так как 0 2 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −6x 2 = 0.

1. Замечаем, что данному уравнению равносильно x 2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
2. По шагам решение выглядит так:

Как решить уравнение ax 2 + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax 2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax 2 + c = 0:

• перенесем c в правую часть: ax 2 = — c,
• разделим обе части на a: x 2 = — c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а 2 = — c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а 0, то корни уравнения x 2 = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а) 2 = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а) 2 = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + c = 0 равносильно уравнению х 2 = -c/a, которое:

• не имеет корней при — c/а 0.

В двух словах

Пример 1. Найти решение уравнения 8x 2 + 5 = 0.

Перенесем свободный член в правую часть:

Разделим обе части на 8:

В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.

Ответ: уравнение 8x 2 + 5 = 0 не имеет корней.

Как решить уравнение ax 2 + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение:

Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 0,5x 2 + 0,125x = 0

Это уравнение равносильно х = 0 и 0,5x + 0,125 = 0.

Решить линейное уравнение:

0,5x = 0,125,
х = 0,125/0,5

Значит корни исходного уравнения — 0 и 0,25.

Ответ: х = 0 и х = 0,25.

Как разложить квадратное уравнение

С помощью теоремы Виета можно получить формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Выглядит она так:

Формула разложения квадратного трехчлена

Если x₁ и x₂ — корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c, то справедливо равенство ax 2 + bx + c = a (x − x₁) (x − x₂).

Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:

где D = b 2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения.

Эта запись означает:

Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться.

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни.

В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:

• вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b 2 −4ac;
• если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет;
• если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = −b/2a;
• если дискриминант положительный, найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней

Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться!

Примеры решения квадратных уравнений

Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике.

Пример 1. Решить уравнение −4x 2 + 28x — 49 = 0.

1. Найдем дискриминант: D = 28 2 — 4(-4)(-49) = 784 — 784 = 0
2. Так как дискриминант равен нулю, значит это квадратное уравнение имеет единственный корень
3. Найдем корень

Ответ: единственный корень 3,5.

Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x 2 = 0.

Произведем равносильные преобразования. Умножим обе части на −1

Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

Ответ: два корня 3 и — 3.

Пример 3. Решить уравнение x 2 — х = 0.

Преобразуем уравнение так, чтобы появились множители

Ответ: два корня 0 и 1.

Пример 4. Решить уравнение x 2 — 10 = 39.

Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

Ответ: два корня 7 и −7.

Пример 5. Решить уравнение 3x 2 — 4x+94 = 0.

Найдем дискриминант по формуле

D = (-4) 2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112

Дискриминант отрицательный, поэтому корней нет.

Ответ: корней нет.

В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся.

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b 2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула.

Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax 2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n) 2 — 4ac = 4n 2 — 4ac = 4(n 2 — ac) и подставим в формулу корней:

2 + 2nx + c = 0″ height=»705″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc11a460e2f8354381151.png» width=»588″>

Для удобства вычислений обозначим выражение n 2 -ac как D₁. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

где D₁ = n 2 — ac.

Самые внимательные уже заметили, что D = 4D₁, или D₁= D/4. Проще говоря, D₁ — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:

• вычислить D₁= n 2 — ac;
• если D₁ 0, значит можно найти два действительных корня по формуле

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

Сумма корней x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она:

Обратная теорема Виета

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x 2 + bx + c = 0.

Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение.

Пример 1. Решить при помощи теоремы Виета: x 2 − 6x + 8 = 0.

Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.

2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc101ce2e346034751939.png» width=»117″>

Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы.

Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 — корни уравнения x 2 − 6x + 8 = 0. p>

Упрощаем вид квадратных уравнений

Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту.

Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x 2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100x 2 — 400x — 600 = 0.

Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x 2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100.

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

Покажем, как это работает на примере 12x 2 — 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x 2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто.

А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения

умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x 2 + 4x — 18 = 0.

Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x 2 — 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x 2 + 3x — 7 = 0.

Связь между корнями и коэффициентами

Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:

Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Например, можно применить формулы из теоремы Виета:

Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3x 2 — 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

Содержание:

Квадратные уравнения

В предыдущих классах вы уже научились составлять и решать уравнения, но лишь простейшие, к которым сводятся относительно несложные задачи. Для решения более сложных задач используют квадратные уравнения. Изучив эту тему, вы сможете решать прикладные задачи из разных отраслей знаний.

В этой главе вы узнаете, что такое:

• неполные квадратные уравнения;
• формула корней квадратного уравнения;
• теорема Виета;
• разложение квадратного трёхчлена на множители.

Неполные квадратные уравнения

Пример:

Одно из двух чисел больше другого на 6, а их произведение равно 112. Найдите эти числа.

Решение:

Обозначим меньшее искомое число буквой х. Тогда большее число равно х + 6. Их произведение — 112. Следовательно,

х(х + 6) = 112, или х² + 6х- 112 = 0.

Это уравнение второй степени с одной переменной. Такие уравнения называют также квадратными.

Квадратным называют уравнение вида ах² + bх + c = 0, где х — переменная, а, b, с — данные числа, причём

Числа а, b, с — коэффициенты квадратного уравнения: а — первый коэффициент, b — второй, с — свободный член.

По определению, первый коэффициент квадратного уравнения не может быть равен нулю. Если хотя бы один коэффициент (b или с) равен нулю, то квадратное уравнение называют неполным.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:

1) ах² = 0; 2) ах² + bх = 0; 3) ах² + с = 0.

1. Уравнение вида ах² = О равносильно уравнению х² = 0, и поэтому всегда имеет только один корень х = О.

2. Уравнение вида ах² + bх = 0 равносильно уравнению х(ах + b) = 0 и всегда имеет два корня: х₁ = 0, х₂ =

Пример:

Решите уравнение 5х² + 4х = 0.

Решение:

Вынесем переменную х за скобки: х(5х + 4) = 0. Следовательно, х = О, или 5х + 4 = 0,отсюда х = -0,8. О т в е т. х₁ = 0, х₂ = -0,8.

3. Квадратное уравнение вида ах² + с = О равносильно уравнению х² = . Если > 0 , то оно имеет два решения: если <0 — ни одного решения.

Пример:

Решите уравнение 4х² -3 = 0.

Решение:

Преобразуем данное уравнение: 4х^₂ = 3, , х — число, квадрат которого равен , то есть квадратный корень из числа . Таких корней два: и . Ответ. . Если знаки коэффициентов а и с разные, то число положительное, и уравнение имеет два корня. Если знаки коэффициентов а и с одинаковы, то число — отрицательное. Следовательно, уравнение ах² + с = 0 не имеет корней.

Хотите знать ещё больше?

Некоторые квадратные уравнения (полные) можно решать приведением их к неполным квадратным уравнениям. Например, по формуле квадрата двучлена, уравнение х² — 2х + 1 = 0 можно представить в виде (х — 1)² = 0 и решить так: (х-1)² равно нулю лишь в том случае, если х — 1 = 0, то есть х = 1.

Таким способом можно решить любое квадратное уравнение, выразив его левую часть в виде квадрата двучлена.

Например, .

Выполним вместе!

Пример:

Решите квадратное уравнение: а) Зх² — 6х = 0; б) 2у² -72 = 0.

Решение:

а) Зх² — 6х = 0; Зх(х — 2) = 0; х₁ = 0; х-2 = 0; х₂ = 2.

б) 2у² -72 = 0; 2(у² 36)-0; у²— 36 — 0; y₁ = 6; y₂ = -6. Ответ. a) x₁ = 0, х₂ = 2; б)у₁=6, у₂ =-6.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

, , , отсюда х₁ = -20, х₂ = 20.

При этих значениях х знаменатель не равен нулю. Следовательно, х₁ = — 20, х₂ = 20 — корни уравнения. О т в е т. х₁ = — 20, х₂ = 20 .

Формула корней квадратного уравнения

Решим уравнение х² + 6х-112=0, которое мы составили по условию задачи.

Решение:

Если к выражению х² + 6х прибавить 9, то получим квадрат двучлена х + 3. Поэтому данное уравнение равносильно уравнению х² + 6х + 9-9-112=0, или (х + 3)² = 121. Следовательно, х + 3 = 11, отсюда х = 8; или х + 3 = -11, отсюда х = -14. Ответ. х₁ = 8, х₂ = -14.

Такой способ решения квадратного уравнения называют способом выделения квадрата двучлена.

Решим этим способом уравнение 5х² — 2х — 3 = 0.

Чтобы первый его член стал квадратом одночлена с целым коэффициентом, умножим обе части данного уравнения на 5: 25х² -10х — 15=0, 25х²-2 ^. 5х + 1 — 1 — 15 = 0, (5х- 1)² = 16.

Следовательно, 5х — 1 = 4, отсюда 5х = 5, х = 1; или 5х — 1 = — 4, отсюда 5х = — 3, х = — 0,6. От в е т. х₁ = 1, х₂ = -0,6.

Решим таким способом уравнение ах² + bх + с = 0.

Умножим обе части уравнения на 4а (помним, что ):

4а²х² + 4ах^.b + 4ас = 0,

(2ах)² + 2 ^. 2ах ^. b + b² — b² + 4ас = 0,

(2ах + b)² = b² — 4ас.

Выражение b² — 4ас называют дискриминантом (от латинскогоdiscriminans — различающий) данного квадратного уравнения и обозначают буквой D.

Если D < 0, то данное уравнение не имеет корней: не существует такого значения х, при котором значение выражения (2ах + b)² было бы отрицательным.

Если D = 0, то 2ах + и = 0, отсюда х = — единственный корень. Если D > 0, то данное квадратное уравнение равносильно уравнению , отсюда

или

В этом случае уравнение имеет два корня, они отличаются только знаками перед . Кратко их записывают так: , где .

Это формула корней квадратного уравнения ах² + bх + с = 0. Пользуясь ею, можно решить любое квадратное уравнение.

Пример:

Решите уравнение: а) Зх² — 5х + 2 = 0; б) х² + 6х + 9 = 0; в) 5х² — х + 1 = 0.

Решение:

a) D = 25 — 24 = 1, D > 0,

;

б) D = 36-36 = 0,

;

в) D =1 — 20 = -19, D < 0. Уравнение корней не имеет.

Ответ. а)х₁ = 1, х₂= ; б) х = -3: в) уравнение корней не имеет. Формулу корней квадратного уравнения применяют при решении многих уравнений, которые-сводятся к квадратным.

Пример:

Решите уравнение: а) 4х⁴ — 9х² +5=0; б) (Зх² — x — 3)(3х² — х + 5) = 9.

Решение:

Такие уравнения удобно решать путём введения вспомогательной переменной.

a) 4x⁴ — 9x² + 5 = 0. Пусть x² — t, тогда x⁴ = t², получим уравнение относительно переменной t: 4x² — 9x²+ 5 = 0, D = (-9)² — 4 ^.4 ^.5 = 81 — 80 = 1, D > 0,

/

Вернёмся к переменной x: l) x² = l, x_l=-l, x₂=l;

2)

Уравнение вида ax⁴ + bx² + c=0 называют биквадратным. б) (Зх² — х — 3)(3х² — х + 5) = 9. Пусть 3х² — х = t, тогда относительно переменной t получим уравнение: (t — 3)(t + 5) = 9, t² + 2t — 15 = 9, t² + 2t — 24 = 0, D= 4^. 4 (-24) = 4 + 96 — 100, D > 0,

.

1)3х²-х=-6,Зх²-х + 6-0, D = (-1)²-4^. 3^. 6=-71, D<0, следовательно, это уравнение корней не имеет. 2 ) Зх² — х = 4, Зх² — х — 4 — О, х₁ = -1, х₂ = . Ответ. а) х₁ = -1, х₂ = 1, х_³ = , х₄ = ; б) x₁ = -1, x₂ = .

Хотите знать ещё больше?

Формулу корней уравнения ах² + bх + с = 0 можно записать и в таком виде:

.

Если второй коэффициент уравнения — чётное число, то есть уравнение имеет вид ах² + 2kx + с = 0, то

.

Если первый коэффициент квадратного уравнения равен 1, то такое уравнение называют приведённым. Приведённое квадрат ное уравнение имеет вид х² + рх + q = 0, Формула его корней:

.

Выведите эти формулы из основной формулы корней квадратного уравнения.

Выполним вместе!

Пример:

Приведите уравнение (х — 4)(2х + 1) = Зх(х — 1) к квадратному и найдите его корни.

Решение:

(х- 4)(2х 4-1) = Зх(х-1). Раскроем скобки и сведём подобные слагаемые: 2х² — 8х + х — 4 = 3х² — 3х,

Зх² — 2х² — 3х + 8х — х + 4 = 0, х² +4х +4 = 0.

Решим полученное уравнение, принимая во внимание, что в его левой части — квадрат двучлена: х² + 2 ^. х ^. 2 + 2² = (х +2)². Следовательно, (х +2)² — 0, отсюда х + 2 = 0, х = -2.

Ответ. х = -2.

Пример:

Решите дробное рациональное уравнение:

Решение:

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, х² — 5х + 6 = 0:

D=25-4^.6=1, , х₁ =2, х₂ =3. Данное уравнение эти значения не удовлетворяют, поскольку при х = 2 знаменатель первой дроби равен 0, а при х = 3 знаменатель второй дроби равен 0. Ответ. Уравнение корней не имеет.

Теорема Виета

Квадратное уравнение называют приведённым, если первый его коэффициент равен единице. В таблице — примеры трёх приведённых квадратных уравнений, их корни, а также суммы и произведения корней:

Сравните сумму корней каждого приведённого квадратного уравнения с его вторым коэффициентом, а произведение корней — со свободным членом.

Теорема Виета: Если приведённое квадратное уравнение имеет два корня, то их сумма равна второму коэффициенту уравнения, взятому с противоположным знаком, а произведение — свободному члену.

Доказательство. Если уравнение х² + рх + q = 0 имеет корни х₁ и х₂, то их можно найти по формулам:

где D = р² — 4q — дискриминант уравнения.

Сложим и перемножим эти корни:

Итак, x₁ + х₂ =— р, x₁ ^. х₂ = q, что и требовалось доказать. Примечание. Если р² — 4q = 0, то уравнение х²+ рх + q = 0 имеет один корень .

Формулы (*) в этом случае дают и Поэтому часто считают, что данное уравнение имеет два равных корня. Теорема Виета верна и для этого случая, поскольку

Каждое квадратное уравнение вида равносильно приведённому квадратному уравнению Если такое уравнение имеет корни х₁ и х₂,то

Теорема (обратная теореме Виета). Если сумма m и n произведение чисел тип равны соответственно — р и q, то m и n тип — корни уравнения х² + рх + q =0.

Доказательство. Пусть m + n =-р и m ^. n =q. При данных условиях уравнение х² + рх 4 q = 0 равно сильно уравнению х² — (m + n)х + m n = 0.

Подставим в это уравнение вместо переменной х числа m и n:

m² — (m +n)m + mn = m² — m² — nm + mn= 0,

n² — (m +n)n+ mn = n² — mn — n² +mn = 0.

Итак, m и n — корни данного уравнения, что и требовалось доказать. Из теоремы Виета следует: если р и q — целые числа, то целые решения уравнения х² + рх + q= 0 — это делители числа q. Пользуясь обратной теоремой, можно проверить, является та или другая пара чисел корнями приведённого квадратного уравнения. Это даёт возможность устно решать такие уравнения.

Пример:

Решите уравнение х² + 12х + 11 = 0.

Решение:

Если уравнение имеет целые корни, то их произведение равно 11. Это могут быть числа 1 и 11 либо — 1 и -11. Второй коэффициент уравнения положительный, поэтому корни отрицательные. Ответ. х₁ = -1, х₂ = -11.

Хотите знать ещё?

Теорема Виета верна не толоко для приведённого квадратного уравнения, но и для уравнений высших степеней Например, если уравнение третьей степени х³+4ах² +bх + с = 0 имеет корни х₁, х₂ и х₃, то

x₁+x₂+x₃=-a

x₁x₂+x₁x₃₊x₂x₃=b

x₁x₂x₃ = — c.

Если такое уравнение с целыми коэффициентами имеет целые решения, то они являются делителями свободного члена.

Выполним вместе!

Пример:

Найдите сумму и произведение корней уравнения:

а) х² + х-6 = 0; б)х2 + 2х + 3 = 0.

Решение:

а) D=1 +24 >0. Корни существуют, поэтому x₁ + х₂ = -1; x₁ ^. х₂ = -6;

б) D= 4-12<0. Корней не существует. Ответ. а)х1 + х2 = -1,х1 -х2 = -6; б) корней не существует.

Пример:

При каких значениях m произведение корней уравнения х² + 8х + m — 7 = 0 равно 3?

Решение:

m-7 = 3, m = 10. Ответ. m = 10.

Пример:

Не решая уравнение х² — 4х + 1 = 0, найдите сумму квадратов его корней.

Решение:

D = 16 — 4 > 0. Корни существуют. x₁ + х₂ = 4; х₁ ^.х₂ = 1;

(x₁ + x₂)² = 16; x²₁+2x₁x₂+x²₂ =16;

х¹₂ +2^. 1+x²₂ =16; x²₁ +x²₂ =16-2, х²₁ +х²₂ =14.

Ответ. x²₁+x²₂=14.

Квадратный трёхчлен

Квадратным трёхчленом называют многочлен вида ах² + bх+ с, где х — не ременная, a, b, c — данные числа, причём .

Переменную квадратного трёхчлена можно обозначить любой буквой. Примеры квадратных трёхчленов:

Если квадратный трёхчлен приравнять к нулю, то получим квадратное уравнение. Его корни и дискриминант называют соответственно корнями и дискриминантом данного квадратного трёхчлена. Например, дискриминант и корни квадратного трёхчлена 5х² — 7х — 6 равны соответственно 169, 2 и , поскольку это дискриминант и корни уравне ния 5х² — 7х — 6 = 0.

Из теоремы Виета следует правило разложения квадратных трёхчленов на множители.

Если m и n — корни уравнения x²+ рх + q = 0, то х² + рх + q = (х-m)(х — n).

Поскольку х² + рх + q = х² — (m -n)х 4+mn = х² — mх — nх 4- mn = (y- m )(х — n).

Пример:

Разложите на множители трёхчлен: х²+4х- 21.

Решение:

а) Корни уравнения х²+4х- 21=0 равны 3 и -7. Поэтому

х²+ 4х — 21 =(х- 3)(х +7).

Ответ.(х- 3)(х +7).

Верна и такая теорема.

Если корни квадратного трёхчлена ах² + bх + с равны m и n, то его можно разложить на множители:

ах² +bх + с = а(х — m)(х — n).

Доказательство:

. Следовательно, корни m и n трёхчлена ах²+bx+c также являются корнями уравнения . По теореме Виета,

Поэтому

Например, если нужно разложить на множители трёхчлен Зх²+5х-2, то решаем уравнение Зх²+5х-2-0. Его дискриминант D = 25+24= 49, поэтому

Следовательно,

Ответ можно записать и так;

Зх²+ 5х 2 = (Зх 1 )(х+ 2).

Разложение квадратных трёхчленов на множители применяется при сокращении дробей, приведении их к общему знаменателю и т. д. Например, чтобы сократить дробь сначала следует разложить ее числитель и знаменатель на множители. Поскольку

Каждый квадратный трёхчлен ах² + bх + c можно представить в виде а(х-k)²+ р, где k и р некоторые числа. Такое преобразование называют выделением квадрата двучлена. Как выполнить подобное преобразование, покажем на примере. Чтобы выделить из квадратного трёхчлена 2х² — 12х + 25 квадрат двучлена, сначала вынесем за скобки множитель 2:

Одночлен 6х представим в виде произведения 2 ^. Зх, прибавим к нему 9 и отнимем 9:

В результате имеем: 2х² — 12х + 25 = 2 (х — 3)² + 7.

Выделение квадрата двучлена даёт возможность решать задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значения квадратного трёхчлена. Например, чтобы найти, при каком значении х значение выражения 2х² -12х + 25 наименьшее, выделим из него квадрат двучлена:

2х²— 12x+25 =2(х-3)² + 7.

Второе слагаемое полученной суммы — число 7, а первое имеет наименьшее значение, если равно 0, то есть х=3. Следовательно, трёхчлен 2х²— 12x+25 имеет наименьшее значение 7. если х = 3.

Хотите знать ещё больше?

Если квадратный трёхчлен имеет дробные корни, го при разложении его на линейные множители желательно первый коэффициент этого трёхчлена «внести в скобки» Например:

Выполним вместе!

Пример:

Найдите значение функции при х = 2008.

Решение:

Числитель формулы разложим на множители:

Если х = 2008, то у = 2008 — 1 = 2007. О т в е т. у = 2007.

Решение задач составлением квадратных уравнений

С помощью квадратных уравнений можно упростить решение многих задач.

Пример:

Найдите два числа, произведение и среднее арифметическое которых равны соответственно 108 и 10,5.

Решение:

Если среднее арифметическое двух чисел равно 10,5, то их сумма в 2 раза больше, то есть 21. Пусть одно из искомых чисел х, тогда другое равно 21-х.

Имеем уравнение:

х(21 — х) = 108, или х² — 21х + 108 = 0.

Решим это уравнение: D = 21² — 4^. 108 = 9,

Если х = 9, то 21 — х = 12; если х = 12, то 21 — х = 9.

Ответ. 9 и 12.

Пример:

Собственная скорость моторной лодки — 18 км/ч. Расстояние 12 км по течению реки она проходит на 9 мин быстрее, чем против течения. Найдите скорость течения реки.

Решение:

9 мин = 0,15 ч. Если скорость течения реки равна х км/ч, то скорость лодки по течению составляет (18 + х) км/ч, а против течения — (18 — х) км/ч. Расстояние 12 км по течению она проходит за ч, а против течения — за ч. Имеем уравнение:

или

отсюда 4(18 + х) — 4(18 — х) — 0,05(18 — х)(18 + х) = 0,

х² + 160х — 324 = 0, D = 160² + 4^.324 = 26 896.

Задачу удовлетворяет только положительный корень. Ответ. 2 км/ч.

Пример:

На плоскости n точек расположены таким образом, что никакие три из них не лежат на одной прямей. Если любую из этих точек соединить отрезком со всеми другими, то получим 351 отрезок. Найдите число n.

Решение:

Из одной точки выходит n — 1 отрезков, из всех n данных точек — n(n — 1) отрезков. При этом каждый отрезок повторяется дважды, поскольку имеет два конца. Следовательно, всего отрезков

Имеем уравнение:

Решим это уравнение: D = 1 + 4 ^.702 = 2809, отсюда n₁= 27, n₂ = -26. Отрицательный корень задачу не удовлетворяет.

Ответ. n = 27

Хотите знать ещё больше?

В задачах кроме числовых данных иногда бывают и параметры. В этом случае решение желательно дополнить соответствующими исследованиями — указать, какие значения могут принимать параметры. Например, решим такую задачу.

Пример:

Найдите стороны равнобедренного треугольника, если известно, что две его неравные высоты равны а и b.

Решение:

Обозначим стороны треугольника буквами: АС = АВ = х, СВ = у (рис. 62).

Рис. 62

Воспользуемся теоремой Пифагора и формулой для вычисления площади треугольника и составим систему

Вычислим из второго уравнения с, подставим его в первое и получим:

Тогда .

Следовательно,

Исследование. В полученных значениях x и у под знаком корня имеем разность 4а² — b², которая должна быть положительной, что возможно только при b < 2а.

Следовательно, данное решение задачи верно не при любых положительных а и b, а лишь при b < 2а.

Далее. Мы рассмотрели случай, когда на основание y и опущена высота а. Но для этих же значений а и b возможен иной вариант (рис. 63). Имеем:

отсюда

В этом случае а < 2b. Ответ. Если a < 2b < 4а, то задача имеет два решения:

Если , тo задача имеет одно решение

Если , тo задача имеет также одно решение

Выполним вместе!

Пример:

Найдите три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 509.

Решение:

Пусть искомые числа: х -1, х, х + 1. Тогда имеем уравнение: (х — 1)² + х² + (х + 1)² =509. Решим его.

Раскроем скобки и сведём подобные слагаемые: х² -2х + 1+ х²+ х²+2х+1- 509=0,.

3х²-507=0, отсюда х² =169, х₁= 13, х₂=- 13

= 0, отсюда х2 — 169, х, 13, х . = 13. Следовательно, два других числа: 12, 14 или -12, 14. Ответ. 12, 13, 14 или 12. -13, II.

Следовательно, два других числа: 12,14 или -12, -14.

Ответ. 12,13,14 или -12, 13, 14.

ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Квадратные уравнения простейших видов вавилонские математики умели решать ещё 4 тыс. лет тому назад. Со временем их решали также в Китае и Греции. Особое внимание квадратным уравнениям уделил Мухаммед аль-Хо-резми (IX в.). Он показал, как решать (при положительных а и b) уравнения видов х² + ах = b, х² + а = bх, ах + b = х², не используя каких-либо выражений, даже числа записывал словами. Например, уравнение х² + 21 = 10х учил решать так: «Раздели пополам корни, получится пять, и умножь это на равное ему — будет двадцать пять, и отними от этого двадцать один, то останется четыре, добудь из этого корень, будет два, и отними это от половины корней, то есть от пяти, — останется три; это и будет корень, который ты ищешь». Отрицательных корней тогда не вычисляли. Индийские учёные в решении этого вопроса пошли дальше. Они находили также отрицательные корни квадратных уравнений. Например, Бхаскара (1114 -1178), решая уравнение х² — 45х = 250, находит два корня: 50 и 5. И только после этого делает замечание: «Второе значение в данном случае не следует брать, люди ведь не воспринимают отрицательных абстрактных чисел». Алгебраические задачи на составление уравнений индийские учёные записывали в стихотворной форме и рассматривали их как особый вид искусства. Они объясняли: «Как солнце затмевает звёзды своим светом, так и человек учёный способен затмить славу других на народных собраниях, предлагая алгебраические задачи и, тем более, решая их». Формулы корней квадратного уравнения вывел Франсуа Виет (1540—1603). Теорему, впоследствии названную его именем, учёный сформулировал так: «Если (В + В) А -А² равно BD, то А равно В и равно В». Отрицательных корней он не рассматривал. Современные способы решения квадратных уравнений появились благодаря научным трудам Рене Декарта (1596— 1650) и Исаака Ньютона (1643—1727).

ОСНОВНОЕ В ГЛАВЕ

Уравнение — это равенство, которое содержит неизвестные числа, обозначенные буквами. Числа, удовлетворяющие уравнению, — его решения (или корни). Решить уравнение означает найти все его решения либо показать, что их не существует. Два уравнения называют равносильными, если каждое из них имеет те же решения, что и другое. Уравнения, не имеющие решений, также считают равносильными друг другу. Квадратным называют уравнения вида ах² + bх + с = 0, где х — переменная, а, b, с — данные числа, причём . Выражение D = b² — 4ас — его дискриминант. Если , то данное уравнение имеет два корня: Если D — 0, то эти корни равны. Если D < 0, то такое квадратное уравнение не имеет действительных корней. Если необходимо, например, решить квадратное уравнение 2х² + 9х — 5 = 0, то находим его дискриминант: D = 9² — 4^.2 ^.(-5) =121. Поэтому корни уравнения:

Квадратное уравнение называют неполным, если хотя бы один его коэффициент, кроме первого, равен нулю. Уравнение: ах² = 0 имеет единственный корень: х = 0;

ax² = 0 имеет единственный корень: х = 0; ах² +bх = 0 имеет два корня: х₁ = 0, х₂=; ах² + с = 0 имеет два корня: , если с : а < 0, и ни одного, если с • а > 0.

Квадратное уравнение называют приведенным, если его первый коэффициент равен единице. Если уравнение х² + рх + q = 0 имеет два корня, то

Теорема Виета Если приведённое квадратное уравнение х² +рх + q = 0 имеет два корня, то их сумма равна р, а произведение — q.

Квадратные уравнения

• Изучив материал этого параграфа, вы научитесь решать уравнения вида
• Ознакомитесь с теоремой Виета для квадратного уравнения.
• Овладеете приемами решения уравнений, сводящихся к квадратным.

Вы умеете решать линейные уравнения, то есть уравнения вида , где — переменная, и — некоторые числа.

Если то уравнение называют уравнением первой степени.

Например, каждое из линейных уравнений

является уравнением первой степени. А вот линейные уравнения не являются уравнениями первой степени.

Числа и называют коэффициентами уравнения первой степени .

То, что множество уравнений первой степени является подмножеством множества линейных уравнений, иллюстрирует схема на рисунке 34.

Вы также умеете решать некоторые уравнения, содержащие переменную во второй степени. Например, готовясь к изучению новой темы, вы решили уравнения (упражнение 589). Каждое из этих уравнений имеет вид

Определение: Квадратным уравнением называют уравнение вида где — переменная, — некоторые числа, причем

Числа и называют коэффициентами квадратного уравнения. Число называют первым или старшим коэффициентом, число — вторым коэффициентом, число — свободным членом.

Например, квадратное уравнение имеет следующие коэффициенты:

Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называют приведенным.

Например, — это приведенные квадратные уравнения.

Поскольку в квадратном уравнении старший коэффициент не равен нулю, то неприведенное квадратное уравнение всегда можно преобразовать в приведенное, равносильное данному. Разделив обе части уравнения на число получим приведенное квадратное уравнение

Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов или равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Существует три вида неполных квадратных уравнений.

1. При имеем:
2. При и имеем:
3. При и имеем:

Решим неполные квадратные уравнения каждого вида.

1. Поскольку то уравнение имеет единственный корень
2. Уравнение представим в виде Это уравнение имеет два корня и один из которых равен нулю, а другой является корнем уравнения первой степени Отсюда и
3. Уравнение представим в виде Поскольку то возможны два случая: или Очевидно, что в первом случае уравнение корней не имеет. Во втором случае уравнение имеет два корня: и

Обобщим полученные результаты:

Пример:

Решите уравнение

Решение:

При имеем: Отсюда

или Но корень не удовлетворяет условию

При имеем: Отсюда Последнее уравнение не имеет корней.

Ответ: 2.

Формула корней квадратного уравнения

Зная коэффициенты и уравнения первой степени можно найти его корень по формуле

Выведем формулу, позволяющую по коэффициентам и квадратного уравнения находить его корни.

Имеем:

(1)

Поскольку то, умножив обе части этого уравнения на 4а, получим уравнение, равносильное данному:

Выделим в левой части этого уравнения квадрат двучлена:

(2)

Существование корней уравнения (2) и их количество зависят от знака значения выражения Это значение называют дискриминантом квадратного уравнения и обозначают буквой то есть Термин «дискриминант» происходит от латинского слова discriminare, что означает «различать», «разделять».

Теперь уравнение (2) можно записать так:

(3)

Возможны три случая:

1. Если то уравнение (3), а следовательно, и уравнение (1) корней не имеет. Действительно, при любом значении выражение принимает только неотрицательные значения.

Вывод: если то квадратное уравнение корней не имеет.

2. Если то уравнение (3) принимает вид

Отсюда

Вывод: если то квадратное уравнение имеет один корень

3. Если то уравнение (3) можно записать в виде

Отсюда или Тогда или

Вывод: если то квадратное уравнение имеет два корня и

Применяют также краткую форму записи:

Эту запись называют формулой корней квадратного уравнения

Полученную формулу можно применять и в случае, когда Имеем:

При решении квадратных уравнений удобно руководствоваться следующим алгоритмом:

Если второй коэффициент квадратного уравнения представить в виде то можно пользоваться другой формулой, которая во многих случаях облегчает вычисления.

Рассмотрим квадратное уравнение Найдем его дискриминант: Обозначим выражение через

Если то по формуле корней квадратного уравнения получаем:

то есть

где

Пример:

Решите уравнение:

Решение:

1) Для данного уравнения

Дискриминант уравнения

Следовательно,

Ответ:

2) Имеем:

Следовательно, данное уравнение имеет один корень:

Заметим, что данное уравнение можно решить другим способом. Умножив обе части уравнения на —2, получаем:

Отсюда

Ответ: 2.

3)

Уравнение имеет два корня:

Ответ можно записать одним из двух способов:

или

4) Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

5) Представим данное уравнение в виде и применим формулу корней для уравнения вида

Ответ:

Пример:

Решите уравнение:

Решение:

1) Имеем:

При получаем уравнение которое имеет

корни —8 и 2, однако корень —8 не удовлетворяет условию

При получаем уравнение которое имеет корни —2 и 8, однако корень 8 не удовлетворяет условию

Ответ: —2; 2.

2) Поскольку при то искомые корни должны удовлетворять двум условиям одновременно: и В таком случае говорят, что данное уравнение равносильно системе

Уравнение имеет корни —2 и 12, но корень —2 не удовлетворяет условию

Ответ: 12.

3) Данное уравнение равносильно системе Отсюда

Ответ:

Пример:

При каком значении имеет единственный корень уравнение:

Решение:

1) Данное уравнение является квадратным. Оно имеет единственный корень, если его дискриминант равен нулю. Имеем:

Ответ: или

2) При получаем линейное уравнение имеющее один корень.

При данное уравнение является квадратным. Оно имеет единственный корень, если его дискриминант равен нулю:

Имеем: отсюда или

Ответ: или или

Несколько поколений учителей математики приобретали педагогический опыт, а их учащиеся углубляли свои знания, пользуясь чудесной книгой «Квадратные уравнения» блестящего украинского педагога и математика Николая Андреевича Чайковского. Н. А. Чайковский оставил значительное научное и педагогическое наследие. Его труды известны далеко за пределами Украины.

Теорема Виета

Готовясь к изучению этого пункта, вы выполнили упражнения 677, 678. Возможно, эти упражнения подсказали вам, каким образом сумма и произведение корней квадратного уравнения связаны с его коэффициентами.

Теорема: (теорема Виета). Если и — корни квадратного уравнения то

Доказательство: Условием теоремы предусмотрено, что данное квадратное уравнение имеет корни. Поэтому его дискриминант не может быть отрицательным.

Пусть Применив формулу корней квадратного уравнения, запишем:

Имеем:

Пусть В этом случае считают, что Имеем:

Следствие. Если и — корни приведенного квадратного уравнения то

Иными словами, сумма корней приведенного квадратного уривнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Теорема: (обратная теореме Виета). Если числа и таковы, что и то эти числа являются корнями квадратного уравнения

Доказательство: Рассмотрим квадратное уравнение Преобразуем его в приведенное:

Французский математик, по профессии юрист. В 1591 г. ввел буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений, благодаря чему стало возможным выражать свойства уравнений и их корни общими формулами. Среди своих открытий сам Виет особенно высоко ценил установление зависимости между корнями и коэффициентами уравнений.

Согласно условию теоремы это уравнение можно записать так: (*)

Подставим в левую часть этого уравнения вместо сначала число а затем число Получим:

Таким образом, числа и являются корнями уравнения (*), а следовательно, и корнями квадратного уравнения

Следствие. Если числа и таковы, что и то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения

Это следствие позволяет решать некоторые квадратные уравнения устно, не используя формулу корней квадратного уравнения.

Пример:

Найдите сумму и произведение корней уравнения

Решение:

Выясним, имеет ли данное уравнение корни. Имеем: Следовательно, уравнение имеет два корня и

Тогда по теореме Виета

Пример:

Найдите коэффициенты и уравнения если его корнями являются числа —7 и 4.

Решение:

По теореме Виета

Пример:

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны: 1) 4 и ; 2) и .

Решение:

1) Пусть и

Тогда По теореме, обратной теореме Виета, числа и являются корнями уравнения Умножив обе части этого уравнения на 7, получаем квадратное уравнение с целыми коэффициентами:

2) Пусть и

Тогда

Следовательно, и являются корнями уравнения Отсюда искомым является уравнение

Пример:

Известно, что и — корни уравнения

Не решая уравнения, найдите значение выражения

Решение:

По теореме Виета

Тогда имеем:

Ответ:

Пример:

Число 4 является корнем уравнения Найдите второй корень уравнения и значение

Решение:

Пусть и — корни данного уравнения, причем По теореме Виета Тогда Имеем:

Ответ:

Пример:

Составьте квадратное уравнение, корни которого на 4 больше соответствующих корней уравнения

Решение:

Пусть и — корни данного уравнения, и — корни искомого уравнения.

По условию

По теореме Виета

Тогда имеем:

Следовательно, по теореме, обратной теореме Виета, искомым является уравнение

Ответ:

Квадратный трехчлен

Определение: Квадратным трехчленом называют многочлен вида где — переменная, и — некоторые числа, причем

Приведем примеры многочленов, являющихся квадратными трехчленами:

Заметим, что левая часть квадратного уравнения является квадратным трехчленом.

Определение: Корнем квадратного трехчлена называют значение переменной, при котором значение квадратного трехчлена равно нулю.

Например, число 2 является корнем квадратного трехчлена

Чтобы найти корни квадратного трехчлена надо решить соответствующее квадратное уравнение

Значение выражения называют дискриминантом квадратного трехчлена

Если то квадратный трехчлен корней не имеет. Если то квадратный трехчлен имеет один корень, если — то два корня.

Рассмотрим квадратный трехчлен Разложим его на множители методом группировки (подобное упражнение, 724, вы выполняли при подготовке к изучению этого пункта).

Имеем:

О таком тождественном преобразовании говорят, что квадратный трехчлен разложили на линейные множители и

Связь между корнями квадратного трехчлена и линейными множителями, на которые он раскладывается, устанавливает следующая теорема.

Теорема: Если дискриминант квадратного трехчлена положительный, то данный трехчлен можно разложить на линейные множители:

где и — корни квадратного трехчлена.

Доказательство: Поскольку числа и являются корнями квадратного уравнения то по теореме Виета

Тогда

Замечание. Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то считают, что квадратный трехчлен имеет два равных корня, то есть В этом случае разложение квадратного трехчлена на линейные множители имеет следующий вид:

Теорема:. Если дискриминант квадратного трехчлена отрицательный, то данный трехчлен нельзя разложить на линейные множители.

Доказательство: Предположим, что квадратный трехчлен можно разложить на линейные множители. Тогда существуют такие числа и при которых выполняется равенство Отсюда получаем, что тип — корни данного квадратного трехчлена. Следовательно, его дискриминант неотрицательный, что противоречит условию.

Пример:

Разложите на множители квадратный трехчлен:

Решение:

1) Найдем корни данного трехчлена:

Следовательно,

2) Решим уравнение Имеем:

Следовательно,

3) Решим уравнение Имеем:

Тогда

Пример:

Сократите дробь

Решение:

Разложим на множители квадратный трехчлен, являющийся числителем данной дроби. Решив уравнение получаем:

Теперь можно записать:

Тогда получаем:

Ответ:

Пример:

При каком значении разложение на множители трехчлена содержит множитель

Решение:

Поскольку разложение данного трехчлена на множители должно содержать множитель то один из корней этого трехчлена равен —5. Тогда имеем:

Ответ:

Решение уравнений, приводимых к квадратным уравнениям

Пример:

Решите уравнение

Решение.

Пусть Тогда Подставив в исходное уравнение вместо и соответственно и , получим квадратное уравнение с переменной

Решая это уравнение, находим:

Поскольку то решение исходного уравнения сводится к решению двух уравнений:

Отсюда

Ответ можно записать двумя способами: или

Определение: Уравнение вида где — переменная, и — некоторые числа, причем называют биквадратным уравнением.

Заменой биквадратное уравнение сводится к квадратному уравнению Такой способ решения уравнений называют методом замены переменной.

Метод замены переменной можно использовать не только при решении биквадратных уравнений.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Выполним замену Тогда исходное уравнение сводится к квадратному уравнению

Отсюда

Теперь надо решить следующие два уравнения:

и Первое из них корней не имеет. Из второго уравнения получаем:

или

Отсюда

Ответ: 0; 1.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Пусть Тогда Получаем:

Отсюда

Получаем два уравнения:

Поскольку то эти уравнения корней не имеют, а следовательно, и исходное уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Данное уравнение равносильно системе

Отсюда

Ответ: —3.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Имеем:

Следовательно, данное уравнение равносильно системе

Отсюда

Ответ: 7.

Решение уравнений методом замены переменной

В п. 22 вы ознакомились с решением уравнений методом замены переменной. Рассмотрим еще несколько примеров, иллюстрирующих эффективность этого метода.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Пусть Тогда Получаем уравнение Это уравнение равносильно системе

Отсюда

Теперь решение исходного уравнения сводится к решению двух уравнений

Решите эти уравнения самостоятельно.

Ответ: —3; —1; 2; 6.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Преобразуем это уравнение:

Пусть Тогда

Отсюда

Следовательно, или

Решив эти два квадратных уравнения, получаем ответ.

Ответ:

Пример:

Решите уравнение

Решение:

С помощью проверки легко убедиться, что число 0 не является корнем данного уравнения. Тогда, разделив обе части данного уравнения на перейдем к равносильному уравнению:

Отсюда

Произведем замену: Тогда Получаем уравнение откуда

С учетом замены получаем два уравнения:

Решите эти уравнения самостоятельно.

Ответ:

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Пусть Тогда

Отсюда

Такая замена позволяет переписать исходное уравнение следующим образом:

Отсюда

Следовательно, или

Решите эти уравнения самостоятельно.

Ответ:

Пример:

Решите уравнение

Решение:

С помощью проверки можно убедиться, что число 0 не является корнем данного уравнения. Следовательно, можно разделить обе части уравнения на Получим уравнение, равносильное исходному:

Замена приводит к квадратному уравнению

Завершите решение самостоятельно.

Ответ:

Может возникнуть вопрос: почему при решении примеров 1—5 мы не пытались упростить уравнения с помощью тождественных преобразований?

Дело в том, что после тождественных преобразований нам пришлось бы решать уравнение вида (вы можете убедиться в этом самостоятельно). При такое уравнение называют уравнением четвертой степени, при и — уравнением третьей степени. Частным случаем этого уравнения, когда и является биквадратное уравнение. Его вы решать умеете.

В общем случае для решения уравнений третьей и четвертой степеней необходимо знать формулы нахождения их корней. С историей открытия этих формул вы можете ознакомиться в следующем рассказе.

Секретное оружие Сципиона дель Ферро

Вы легко решите каждое из следующих уравнений третьей степени:

Все они являются частными случаями уравнения вида

где — переменная, и — некоторые числа, причем Вывести формулу его корней — задача сложная. Недаром появление этой формулы считают выдающимся математическим открытием XVI века.

Первым изобрел способ решения уравнения вида где и — положительные числа, итальянский математик Сципион дель Ферро (1465-1526). Найденную формулу он хранил в секрете. Это было обусловлено тем, что карьера ученого того времени во многом зависела от его выступлений в публичных математических турнирах. Поэтому было выгодно хранить открытия в тайне, рассчитывая использовать их в математических соревнованиях как секретное оружие.

После смерти дель Ферро его ученик Фиоре, владея секретной формулой, вызвал на математический поединок талантливого математика-самоучку Никколо Тарталья. За несколько дней до турнира Тарталья сам вывел формулу корней уравнения третьей степени. Диспут, на котором Тарталья одержал убедительную победу, состоялся 20 февраля 1535 года.

Впервые секретная формула была опубликована в книге известного итальянского ученого Джероламо Кардан о «Великое искусство». В этой работе также описан метод решения уравнения четвертой степени, открытый Людовико Феррари (1522—1565).

В XVTI-XVIII вв. усилия многих ведущих математиков были сосредоточены на поиске формулы для решения уравнений пятой степени. Получению результата способствовали работы итальянского математика Паоло Руффини (1765-1822) и норвежского математика Нильса Хенрика Абеля. Сам результат оказался абсолютно неожиданным: было доказано, что не существует формулы, с помощью которой можно выразить корни любого уравнения пятой и более высоких степеней через коэффициенты уравнения, используя лишь четыре арифметических действия и действие извлечения корня.

Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций

В п. 7 вы уже ознакомились с задачами, в которых рациональные уравнения служили математическими моделями реальных ситуаций. Теперь, когда вы научились решать квадратные уравнения, можно существенно расширить круг рассматриваемых задач.

Пример:

Из пункта выехал велосипедист, а через 45 мин после этого в том же направлении выехал грузовик, догнавший велосипедиста на расстоянии 15 км от пункта . Найдите скорость велосипедиста и скорость грузовика, если скорость грузовика на 18 км/ч больше скорости велосипедиста.

Решение:

Пусть скорость велосипедиста равна км/ч, тогда скорость грузовика составляет км/ч. Велосипедист проезжает 15 км за ч, а грузовик — за ч. Разность показывает, на сколько часов грузовик проезжает 15 км быстрее, чем велосипедист. Поскольку грузовик проехал 15 км на 45 мин,

то есть на ч, быстрее, чем велосипедист, то получаем уравнение

Решим это уравнение:

Решив квадратное уравнение системы, получим или

Корень —30 не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость велосипедиста равна 12 км/ч, а скорость грузовика составляет: 12 + 18 = 30 (км/ч).

Ответ: 12 км/ч, 30 км/ч.

Пример:

Одна бригада работала на ремонте дороги 7 ч, после чего к ней присоединилась вторая бригада. Через 2 ч их совместной работы ремонт был завершен. За сколько часов может отремонтировать дорогу каждая бригада, работая самостоятельно, если первой для этого требуется на 4 ч больше, чем второй?

Решение:

Пусть первая бригада может самостоятельно отремонтировать дорогу за ч, тогда второй для этого нужно ч. За 1 ч первая бригада ремонтирует часть дороги, а вторая часть дороги. Первая бригада работала 9 ч и отремонтировала дороги, а вторая бригада работала 2 ч и отремонтировала соответственно дороги. Поскольку в результате была отремонтирована вся дорога, то можно составить уравнение

Полученное уравнение имеет два корня: и (убедитесь в этом самостоятельно). Второй корень не удовлетворяет условию задачи, поскольку тогда вторая бригада могла бы отремонтировать дорогу за 3 — 4 = —1 (ч), что не имеет смысла.

Следовательно, первая бригада может отремонтировать дорогу за 12 ч, а вторая — за 8 ч.

Ответ: 12 ч, 8 ч.

Пример:

Водный раствор соли содержал 120 г воды. После того как в раствор добавили 10 г соли, его концентрация увеличилась на 5 %. Сколько граммов соли содержал раствор первоначально?

Решение:

Пусть исходный раствор содержал г соли. Тогда его масса была равна г, а концентрация соли составляла

После того как к раствору добавили 10 г соли, ее масса

в растворе составила г, а масса раствора г. Теперь концентрация соли составляет что на 5 %, то есть на больше, чем Отсюда можно записать:

Полученное уравнение имеет два корня: и (убедитесь в этом самостоятельно), из которых второй корень не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, раствор содержал первоначально 30 г соли.

Ответ: 30 г.

ГЛАВНОЕ В ПАРАГРАФЕ 3

Уравнение первой степени

Уравнение вида где — переменная, и — некоторые числа, причем называют уравнением первой степени.

Квадратное уравнение

Уравнение вида где — переменная, и — некоторые числа, причем называют квадратным уравнением.

Приведенное квадратное уравнение

Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называют приведенным.

Неполное квадратное уравнение

Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов или равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Решение неполного квадратного уравнения

Дискриминант квадратного уравнения

Для уравнения вида где его дискриминант — это значение выражения

Решение квадратного уравнения

Если то квадратное уравнение корней не имеет.

Если то квадратное уравнение имеет один корень

Если то квадратное уравнение имеет два корня и :

Теорема Виета:

Если и — корни квадратного уравнения

то

Теорема, обратная теореме Виета

Если числа и таковы, что и то эти числа являются корнями квадратного уравнения

Квадратный трехчлен

Многочлен вида где — переменная, и — некоторые числа, причем называют квадратным трехчленом.

Разложение квадратного трехчлена на множители

Если дискриминант квадратного трехчлена положительный, то данный трехчлен можно разложить на линейные множители: — корни квадратного трехчлена.

Биквадратное уравнение

Уравнение вида где — переменная, и — некоторые числа, причем называют биквадратным уравнением.

——

Квадратные уравнения

В этом разделе вы научитесь:

• решать квадратные уравнения различными способами;
• применять квадратные уравнения для решения задач;
• по каким формулам находят площади треугольников и четырёхугольников;
• применять формулы площадей при решении задач;
• находить площадь сложных фигур, разделяя их на простые геометрические фигуры.

Квадратные уравнения широко применяются в строительстве, финансах и дизайне.

На практике также, широко применяются формулы для вычисления площадей.

Это интересно!

Великий учёный Востока аль — Хорезми в своём труде «Китаб мухтасаб ал-джабр и ва-л-мукабала», что в переводе означает «Книга о восполнении и противопоставлении» показал различные способы решения квадратных уравнений. Одним из них является метод подбора. Хорезми выбирал число и подставлял его в уравнение вместо неизвестного. После чего, становилось понятно, является ли данное число корнем уравнения.

Например,

Квадратные уравнения

Уравнение вида при называется квадратным уравнением. Здесь — постоянные, — неизвестная. — первый коэффициент, — второй коэффициент, — свободный член.

Например, в уравнении

Если квадратное уравнение с обеих сторон разделить на , то получим уравнение Здесь, обозначив можно записать

Уравнение вида называется приведённым квадратным уравнением. Например, разделив уравнение на 2, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение

Неполные квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов или равен нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением.

Уравнения, являются неполными квадратными уравнениями.

1) Решение уравнений вида Разделив обе части уравнения на число получим уравнение Его корнями является

Пример 1. Разделим обе части уравнения

2) Решение уравнений вида Для решения таких уравнений применяют вынесение общего множителя за скобку: Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, т.е. или Отсюда следует, что уравнение имеет два корня, один из которых всегда равен

Пример 2. Для решения уравнении надо левую часть уравнения разложить на множители:

3) Решение уравнений вида

Запишем уравнение в виде

Если имеют одинаковые знаки, то действительных корней нет (почему?). Если имеют разные знаки, то уравнение имеет два корня

Пример 3. Решим уравнение

Решение квадратного уравнения методом разложения на множители

Решение уравнения методом разложения на множители

Для разложения левой части уравнения на множители надо найти два числа тип (если это возможно), чтобы их произведение было равно а сумма . Если являются целыми числами, то и — также целые числа. В этом случае, если то заданной уравнение можно записать в виде :

Пример 1. В уравнении Так как и положительные числа, то надо найти два положительных числа, чтобы их произведение было равно 8, а сумма — равна 6. Это числа 2 и 4. Зная, что то уравнение можно записать в виде Отсюда находим

Пример 2. Так как в уравнении отрицательное число, а положительное, то надо найти два отрицательных числа, чтобы их произведение было равно 18, а сумма была равна -9. Зная, что то уравнение можно записать так Отсюда находим

Пример 3.

Корни уравнения

Пример 4.

Корни уравнения

Решение уравнения вида методом разложения на множители

Для разложения левой части уравнения на множители, надо найти два числа, чтобы их произведение было равно а сумма Тогда за-данное уравнение можно решить записав его в виде

Пример 1. Запишем уравнение в виде

Числа и такие , что

Тогда

Пример 2. Решим уравнение В нём тогда а значит оба числа и отрицательные. Найдём два целых отрицательных, числа, произведение которых равно 40, а сумма равна -13. Это числа -5 и -8.

Пример 3. В трёхчлене Составим список целых отрицательных множителей числа 16. Как видно целых чисел, которые удовлетворяют условию не существует. Это говорит о том, что данный трёхчлен невозможно разложить на множители.

Метод выделения полного квадрата

Для выделения полного квадрата из двухчленах его надо дополнить членом

Это правило одинаково как для положительных, так и для отрицательных Пример 1. Запишем уравнение в виде С обеих сторон дополним данное уравнение

Пример 2. Для решения уравнения методом выделения полного квадрата, сначала запишем его в виде Для того, чтобы выражение слева соответствовало модели площади квадрата, не хватает всего одной единичной алгебраической карты. Значит, с каждой стороны следует добавить 1. Тогда выражение слева можно представить в виде квадрата двухчлена так

Решение квадратного уравнения графическим методом

Графический метод

Запишем уравнение в виде Тогда решением уравнения будут абсциссы точек пересечения параболы и прямой При этом прямая может пересекаться с параболой (тогда уравнение имеет два различных корня), может касаться параболы (в этом случае уравнение удовлетворяется при единственном значении неизвестного) или может вообще не иметь общих точек с параболой (тогда уравнение не имеет действительных-корней).

Пример:

Графики пересекаются в двух точках. Абсциссы точек пересечения равны — 3 и 1. При проверке убеждаемся, что обе точки являются корнями уравнения.

Пример:

Для построения прямой составим таблицу

Абсцисса точки касания прямой и параболы равна 1. Уравнение удовлетворяется при единственном значении неизвестного:

Пример:

Графики не имеют точек пересечения. Это говорит о том, что данное уравнение не имеет действительных корней.

Обе части квадратного уравнения можно преобразовать в приведённое квадратное уравнение, разделив его на которое затем удобно решить по способу, представленному выше. Обычно графическим способом находятся приближенные значения корней.

Калькулятор для построения графиков

Используя онлайн калькуляторы для построения графиков можно построить различные графики. На рисунке представлены графики функций построенные при помощи графического калькулятора www.meta-calculator.com/online.

Решить квадратное уравнение также можно при помощи графического калькулятора, построив в одной системе координат параболу и прямую

На рисунке корни уравнение записанного в виде найдены графически при помощи графического калькулятора www.my.hrw.com/malh06_07/nsmedia/tools/Graph_Calcula-tor/graphCa lc.html

Формула для нахождения корней квадратного уравнения

Мы уже научились находить корни квадратного уравнения методом разложения на множители и методом выделения полного квадрата. Для нахождения корней любого квадратного уравнения методом выделения полного квадрата можно записать обобщённую формулу.

При эта формула является формулой корней квадратного уравнения

Если в формуле для нахождения корней квадратного уравнения принять то ее можно записать как

Наличие корней квадратного уравнения зависит от знака называется дискриминантом (определителем) квадратного уравнения.

1) Если то уравнение не имеет действительных корней.

2) Если то уравнение имеет два равных корня.

3) Если то уравнение имеет два различных корня:

Пример:

В уравнении Тогда а это значит, что уравнение имеет два различных действительных корня.

В уравнении дискриминант находится по формуле для приведённого квадратного уравнения При для корней приведённого квадратного уравнения, верны следующие формулы

Если второй коэффициент квадратного уравнения является четным числом (т.е. ), то уравнение можно записать в виде Тогда Обозначим тогда

Пример:

Решим уравнение

Теорема Виета

Решим приведённое квадратное уравнение: По формуле нахождения корней приведённого квадратного уравнения имеем т.е.

Внимание! Если сложить найденные корни, то получим число противоположное коэффициенту при На самом деле, из уравнения с другой стороны Если умножить полученные корни, получим число равное свободному члену уравнения: 3 • 4 = 12. Это свойство верно для любого приведённого квадратного уравнения.

Теорема: В приведённом квадратном уравнении сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение, равно свободному члену

Доказательство: Известно, что корни приведённого квадратного уравнения Отсюда получим:

Таким образом, для уравнения Если обе части любого квадратного уравнения разделить на , то получим равносильное приведённое квадратное уравнение Тогда к нему можно будет применить теорему Виета. Сумма корней равна а произведение равно Теорема Виета остаётся в силе, если (когда квадратное уравнение имеет два равных корня).

Найдём корни квадратного уравнения методом подбора. По теореме Виета

Таким образом корнями уравнения являются числа 4 и 5.

Теорема, обратная теореме Виета

Обратная теорема. Если сумма чисел равна а произведение равно то эти числа являются корнями уравнения

Эту теорему можно записать так: любые числа являются корнями уравнения

Доказательство. На самом деле, если принять, что то получим: т.е. число действительно удовлетворяет уравнению. Таким же образом можно показать, что число также является корнем уравнения.

Пример:

Составим квадратное уравнение, если известно, что числа и являются его корнями. Так как то уравнение будет выглядеть как

Решение задач при помощи квадратных уравнений

Задача. Один из катетов прямоугольного треугольника на 2 см больше другого и на 2 см меньше гипотенузы. Найдите периметр треугольника.

1 этап — составление уравнения

Обозначим длину одного из катетов через тогда длина другого катета будет а гипотенуза будет равна

2 этап — решение уравнения. Согласно теореме Пифагора получим уравнение

3 этап — решение уравнения. Преобразуем уравнение Отсюда

4 этап — анализ результата.

Решению задачи соответствует корень т.к. длины сторон выражаются положительными числами. Тогда длина другого катета будет а длина гипотенузы Периметр: Ответ: периметр треугольника равен 24 см.

• Заказать решение задач по высшей математике

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения

В математике, физике, экономике, практической деятельности человека встречаются задачи, математическими моделями которых являются уравнения, содержащие переменную во второй степени.

Пример №256

Длина земельного участка на 15 м больше ширины, а площадь равна Найдите ширину участка.

Решение:

Пусть м- ширина участка, тогда ее длина — м. По условию задачи площадь участка равна Тогда Получаем уравнение:

Такое уравнение называют квадратным.

Квадратным уравнением называют уравнение вида где —переменная, — некоторые числа, причем

Например, уравнения также являются квадратными.

Числа называют коэффициентами квадратного уравнения, число — первым коэффициентом, число — вторым коэффициентом, число — свободным членом.

В уравнении коэффициенты следующие: В уравнении следующие: а в уравнении следующие:

Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называют приведенным. Уравнение — приведенное, а уравнение — не является приведенным.

Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов или равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Например, неполным квадратным уравнением, в котором является уравнение в котором -уравнение в котором — уравнение

Таким образом, неполные квадратные уравнения бывают трех видов:

Рассмотрим решение каждого из них.

1.Уравнение вида

Так как имеем уравнение корнем которого является число 0.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень:

2.Уравнение вида

Имеем то есть Так как Если то уравнение имеет два корня:

Если то уравнение корней не имеет.

Пример №257

Решите уравнение:

Решение:

Ответ. 2) корней нет.

3. Уравнение вида

Разложим левую часть уравнения на множители и решим полученное уравнение где

Значит, уравнение имеет два корня:

Пример №258

Решите уравнение

Решение:

Имеем:

Таким образом,

Ответ.

Систематизируем данные о решениях неполного квадратного уравнения в виде схемы:

Формула корней квадратного уравнения

Рассмотрим полное квадратное уравнение где и найдем его решения в общем виде.

Умножим левую и правую части уравнения на (так как

Далее прибавим к обеим частям уравнения

Так как получим:

Выражение называют дискриминантом квадратного уравнения

Слово дискриминант происходит от латинского различающий. Дискриминант обозначают буквой

Учитывая, что запишем уравнение в виде:

и продолжим его решать.

Рассмотрим все возможные случаи в зависимости от значения

(при делении на учли, что

Следовательно, если то уравнение имеет два различных корня:

Коротко это можно записать так:

Получили формулу корней квадратного уравнения.

2) Тогда имеем уравнение

откуда

Таким образом, если то уравнение имеет один корень: Этот корень можно было бы найти и по формуле корней квадратного уравнения, учитывая, что Поэтому можно считать, что уравнение при имеет два одинаковых корня, каждый из которых равен

3) В этом случае уравнение не имеет корней, так как не существует такого значения при котором значение выражения было бы отрицательным.

Систематизируем данные о решениях квадратного уравнения с помощью схемы:

Пример №259

Решите уравнение:

Решение:

Ответ:

Пример №260

Решите уравнение

Решение:

Умножим левую и правую части уравнения на чтобы его коэффициенты стали целыми числами, получим уравнение:

тогда

Так как то

Ответ.

Неполные квадратные уравнения и некоторые виды полных квадратных уравнений (например, вида вавилонские математики умели решать еще 4 тыс. лет назад. В более поздние времена некоторые квадратные уравнения в Древней Греции и Индии математики решали геометрически. Приемы решения некоторых квадратных уравнений без применения геометрии изложил древнегреческий математик Диофант (III в.).

Много внимания квадратным уравнениям уделял арабский математик Мухаммед ал-Хорезми (IX в.). Он нашел, как решить уравнения вида (для положительных и получить их положительные корни.

Формулы, связывающие между собой корни квадратного уравнения и его коэффициенты, были найдены французским математиком Франсуа Виетом в 1591 году. Он пришел к следующему выводу (в современных обозначениях): «Корнями уравнения являются числа

После публикации трудов нидерландского математика А. Жирара (1595-1632), а также француза Р. Декарта (1596-1650) и англичанина И. Ньютона (1643-1727) формула корней квадратного уравнения приобрела современный вид.

Теорема Виета

Рассмотрим несколько приведенных квадратных уравнений, имеющих два различных корня. Внесем в таблицу следующие данные о них: само уравнение, его корни сумму его корней произведение его корней

Обратим внимание, что сумма корней каждого из уравнений таблицы равна второму коэффициенту уравнения, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Это свойство выполняется для любого приведенного квадратного уравнения, имеющего корни.

Приведенное квадратное уравнение в общем виде обычно записывают так:

Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену.

Доказательство: Пусть — корни приведенного квадратного уравнения дискриминант которого Если то уравнение имеет два корня:

Если то уравнение имеет два одинаковых корня:

Найдем сумму и произведение корней:

Следовательно, Теорема доказана.

Эту теорему называют теоремой Виета — в честь выдающегося французского математика Франсуа Виета, который открыл это свойство. Его можно сформулировать следующим образом:

Если и — корни приведенного квадратного уравнения

Два последних равенства, показывающих связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения, называют формулами Виста.

Используя теорему Виета, можно записать соответствующие формулы и для корней любого неприведенного квадратного уравнения

Так как разделим обе части уравнения на Получим приведенное квадратное уравнение:

Тогда по теореме Виета:

Если — корни неприведенного квадратного уравнения то

Пример №261

Не решая уравнения найдите сумму и произведение его корней.

Решение:

Найдем дискриминант уравнения, чтобы убедиться, что корни существуют: Очевидно, что следовательно, уравнение имеет два корня

По теореме Виета:

Ответ.

Если в уравнении коэффициент является целым числом, то из равенства следует, что целыми корнями этого уравнения могут быть только делители числа

Пример №262

Найдите подбором корни уравнения

Решение:

Пусть — корни данного уравнения. Тогда Если — целые числа, то они являются делителями числа -4. Ищем среди этих делителей два таких, сумма которых равна -3. Нетрудно догадаться, что это числа 1 и -4. Таким образом,

Ответ. 1; -4.

Пример №263

Один из корней уравнения равен 3. Найдите коэффициент и второй корень уравнения.

Решение:

Пусть — один из корней уравнения — второй его корень. По теореме Виета: Учитывая, что имеем:

Ответ.

Пример №264

Пусть — корни уравнения Не решая уравнения, найдите значение выражения:

Решение:

По теореме Виета:

Тогда: 1)

Ответ.

Справедливо и утверждение, обратное теореме Виета.

Теорема (обратная теореме Виета). Если числа и таковы, что то эти числа являются корнями уравнения

Доказательство: По условию Поэтому уравнение можно записать так:

Проверим, является ли число корнем этого уравнения, для чего подставим в левую часть уравнения вместо переменной число Получим:

Следовательно, — корень этого уравнения.

Аналогично подставим в левую часть уравнения вместо переменной число Получим:

то есть — также корень этого уравнения.

Таким образом, корни уравнения что и требовалось доказать.

Пример №265

Составьте приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа -5 и 2.

Решение:

Искомое квадратное уравнение имеет вид По теореме, обратной теореме Виета:

Таким образом, — искомое уравнение.

Ответ,

Квадратное уравнение как математическая модель текстовых и прикладных задач

В 7 классе мы уже знакомились с задачами, которые можно решить с помощью линейных уравнений или систем линейных уравнений. Для решения прикладной задачи сначала создают ее математическую модель, то есть записывают зависимость между известными и неизвестными величинами с помощью математических понятий, отношений, формул, уравнений и т. п. Математической моделью многих задач в математике, физике, технике, практической деятельности человека может быть не только линейное уравнение или система линейных уравнений, но и квадратное уравнение.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №266

Разность кубов двух натуральных чисел равна 279. Найдите эти числа, если одно из них на 3 больше другого.

Решение:

Пусть меньшее из этих чисел равно тогда большее равно По условию задачи имеем уравнение:

Упростим левую часть уравнения.

Получим: откуда По условию задачи Поэтому условию удовлетворяет только число 4. Следовательно, первое искомое число 4, а второе

Ответ. 4; 7.

Пример №267

В кинотеатре количество мест в ряду на 6 больше количества рядов. Сколько рядов в кинотеатре, если мест в нем 432?

Решение:

Пусть в кинотеатре рядов, тогда мест в каждом ряду Всего мест в зале

Имеем уравнение:

Перепишем уравнение в виде откуда

По смыслу задачи значение должно быть положительным. Этому условию удовлетворяет только Следовательно, в кинотеатре 18 рядов.

Ответ. 18 рядов.

Пример №268

У выпуклого многоугольника 54 диагонали. Найдите, сколько у него вершин.

Решение:

Пусть у многоугольника вершин. Из каждой его вершины выходит диагонали. Тогда из всех его вершин выходит диагонали. Но при этом каждую из его диагоналей посчитали дважды. Следовательно, всего диагоналей будет

Получим уравнение: то есть откуда Отрицательный корень уравнения не может быть решением задачи.

Ответ. 12.

Пример №269

Тело подбросили вертикально вверх со скоростью Высота (в м), на которой через с будет тело, вычисляется по формуле В какой момент времени тело окажется на высоте 15 м?

Решение:

По условию: , следовательно, после упрощения имеем уравнение: решив которое, найдем корни:

Оба корня являются решением задачи, так как на высоте 15 м тело окажется дважды: сначала при движении вверх (это произойдет через 1 с), а во второй раз — при падении (это произойдет через 3 с).

Ответ. 1 с, 3 с.

Пример №270

В 9 часов утра из базового лагеря в восточном направлении отправилась группа туристов со скоростью Через час из того же лагеря со скоростью отправилась другая группа туристов, но в северном направлении. В котором часу расстояние между группами туристов будет 17 км?

Решение:

За первый час первая группа туристов преодолеет 5 км: (рис. 19). Дальше будут двигаться обе группы.

Пусть расстояние в 17 км между группами будет через часов после начала движения второй группы. Тогда за это время первая группа преодолеет км, а вторая — км, Всего первая группа преодолеет расстояние

Из по теореме Пифагора тогда имеем уравнение: откуда

Учитывая, что получим

Следовательно, расстояние 17 км между группами туристов будет в 12 часов.

Ответ. В 12 часов.

В результате хозяйственной деятельности человека возникли прикладные задачи, решением которых люди занимаются уже на протяжении нескольких тысячелетий. Самые древние из известных нам письменных памятников, содержащих правила нахождения площадей и объемов, были составлены в Египте и Вавилоне приблизительно 4 тыс. лет назад. Около 2,5 тыс. лет назад греки переняли геометрические знания египтян и вавилонян и стали развивать теоретическую (чистую) математику.

Также в древние времена математики использовали математические модели, в частности и для геометрических построений (метод подобия фигур).

Современное понятие математической модели в качестве описания некоторого реального процесса языком математики стали использовать в середине XX в. в связи с развитием кибернетики — науки об общих законах получения, хранения, передачи и обработки информации. А раздел современной математики, изучающий математическое моделирование реальных процессов, даже выделили в отдельную науку — прикладную математику.

Существенный вклад в развитие прикладной математики был сделан нашими выдающимися земляками — математиками М.П. Кравчуком и М.В. Остроградским.

Развитие кибернетики связывают с именем академика Виктора Михайловича Глушкова — выдающегося математика, доктора физико-математических наук, профессора. В 1953 г. он возглавил лабораторию вычислительной техники Института математики, стал ее мозговым и энергетическим центром. На базе этой лаборатории в 1957 г. был создан Вычислительный центр, а в 1962 г. -Институт кибернетики который и возглавил В.М. Глушков. Лаборатория известна тем, что в 1951 г. в ней создали первую в Евразии Малую электронную счетную машину, а уже в Вычислительном центре завершили работу по созданию первой большой электронно-вычислительной машины. Сегодня Институт кибернетики носит имя В.М. Глушкова и является, в частности, разработчиком прикладных информационных технологий для решения неотложных практических задач, возникающих при моделировании экономических процессов, проектировании объектов теплоэнергетики, решении проблем экологии и защиты окружающей среды.

Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители

Выражения являются многочленами второй степени с одной переменной стандартного вида. Такие многочлены называют квадратными трехчленами.

Квадратным трехчленом называют многочлен вида переменная, — числа, причем

Например, выражение является квадратным трехчленом, у которого

Пример №271

Рассмотрим квадратный трехчлен Если то его значение равно нулю. Действительно, В таком случае число -1 называют корнем этого квадратного трехчлена.

Корнем квадратного трехчлена называют значение переменной, при котором значение трехчлена обращается в нуль.

Чтобы найти корни квадратного трехчлена нужно решить уравнение

Пример №272

Найдите корни квадратного трехчлена

Решение:

Решим уравнение Получим: Следовательно, корни квадратного трехчлена

Ответ.

Квадратный трехчлен, как и квадратное уравнение, может иметь два различных корня, один корень (то есть два равных корня) или не иметь корней. Это зависит от знака дискриминанта квадратного уравнения который также называют и дискриминантом квадратного трехчлена

Если то квадратный трехчлен имеет два различных корня, если то квадратный трехчлен имеет один корень (то есть два равных корня), если то квадратный трехчлен не имеет корней.

Если корни квадратного трехчлена известны, то его можно разложить на линейные множители, то есть на множители, являющиеся многочленами первой степени.

Теорема (о разложении квадратного трехчлена на множители). Если корни квадратного трехчлена то справедливо равенство

Доказательство: Если — корни квадратного уравнения (по теореме Виета).

Для доказательства теоремы раскроем скобки в правой части равенства:

Таким образом, что и требовалость доказать.

Если же квадратный трехчлен не имеет корней, то на линейные множители его разложить нельзя.

Пример №273

Разложите на множители квадратный трехчлен:

Решение:

1) Корни трехчлена — числа -1 и 2,5. Поэтому Это можно записать иначе, умножив первый в разложении множитель -2 на двучлен Получим:

2) Квадратное уравнение не имеет корней. Поэтому квадратный трехчлен на множители не разлагается.

3) Квадратное уравнение имеет два одинаковых корня Поэтому

Нетрудно заметить, что если квадратный трехчлен имеет два равных корня, то он представляет собой квадрат двучлена или произведение некоторого числа на квадрат двучлена.

Пример №274

Сократите дробь

Решение:

Числа 1 и -0,5 — корни квадратного трехчлена Поэтому Имеем:

Ответ.

При решении некоторых задач, связанных с квадратным трехчленом бывает удобно представить его в виде — некоторые числа. Такое преобразование называют выделением квадрата двучлена из квадратного трехчлена.

Пример №275

Выделите из трехчлена квадрат двучлена.

Решение:

Вынесем за скобки множитель 2:

Воспользовавшись формулой квадрата суммы двух чисел преобразуем выражение в скобках, считая, что Тогда откуда определяем, что число 4 является вторым слагаемым квадрата суммы, то есть поэтому добавим и вычтем

Ответ.

Пример №276

Дан квадратный трехчлен При каком значении он принимает наибольшее значение? Найдите это значение.

Решение:

Выделим из трехчлена квадрат двучлена:

Выражение при любом значении принимает не положительное значение, то есть причем это выражение равно нулю только при Поэтому при значение данного в условии трехчлена равно 16 и является для него наибольшим.

Таким образом, квадратный трехчлен принимает наибольшее значение, равное 16, при

Ответ. 16 при

Решение уравнений, сводящихся к квадратным

Дробные рациональные уравнения

Решение дробных рациональных уравнений часто сводится к решению квадратных уравнений. Вспомним один из методов решения дробного рационального уравнения

Пример №277

Решите уравнение

Решение:

Чтобы найти область допустимых значений переменной и общий знаменатель, разложим на множители знаменатели дробей в уравнении:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей — выражение учитывая ОДЗ: Получим:

откуда

Ответ. 3.

Метод разложения многочлена на множители

Некоторые уравнения, правая часть которых равна нулю, можно решить с помощью разложения левой части на множители.

Пример №278

Решите уравнение

Решение:

Вынесем в левой части уравнения общий множитель за скобки. Получим:

Таким образом, уравнение имеет три корня:

Ответ. 0; 3; -5.

Биквадратные уравнения

Уравнение вида где называют биквадратным уравнением. Его можно решить с помощью введения новой переменной, то есть обозначив Тогда а исходное уравнение принимает вид:

Такой метод решения называют методом введения новой переменной или методом замены переменной.

Пример №279

Решите уравнение

Решение:

Сделаем замену получим уравнение корнями которого являются числа

Вернемся к переменной

Таким образом, корни исходного уравнения — числа 2 и -2.

Ответ. 2; -2.

Метод замены переменной

Не только биквадратные, но и некоторые другие виды уравнений можно решить, используя замену переменной.

Пример №280

Решите уравнение

Решение:

Если мы раскроем скобки в левой части уравнения, получим уравнение четвертой степени, которое не всегда возможно решить методами школьной математики. Поэтому скобки раскрывать не будем. Заметим, что в обеих скобках выражения, содержащие одинаковы, поэтому можно воспользоваться заменой Получим уравнение которое является квадратным относительно переменной Перепишем его в виде откуда

Возвращаемся к переменной

Таким образом, корнями исходного уравнения являются числа

Ответ.

Пример №281

Решите уравнение

Решение:

Раскроем скобки в каждой части уравнения:

Заметим, что выражения, содержащие переменную в обеих частях уравнения одинаковы, поэтому сделаем замену Получим уравнение с переменной

Найдем его корни:

Вернемся к переменной

Таким образом, исходное уравнение имеет три корня:

Ответ.

Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений

Дробные рациональные уравнения также могут служить математическими моделями текстовых задач.

Пример №282

Из одного города в другой, расстояние между которыми 560 км, одновременно выехали легковой и грузовой автомобили. Скорость легкового была на больше скорости грузового, поэтому он прибыл в пункт назначения на 1 ч раньше грузового. Найдите скорость каждого автомобиля.

Решение:

Пусть скорость грузового автомобиля Систематизируем условие задачи в виде таблицы:

Так как значение величины на 1 ч меньше значения величины то можем составить уравнение:

У него два корня: Отрицательный корень не соответствует смыслу задачи, поэтому скорость грузового автомобиля 70 Тогда скорость легкового автомобиля:

Ответ.

Пример №283

Мастер и его ученик, работая вместе, могут выполнить задание за 8 ч. За сколько часов может выполнить это задание самостоятельно каждый из них, если мастеру на это нужно на 12 ч меньше, чем его ученику?

Решение:

Пусть мастеру для самостоятельного выполнения задания нужно ч, тогда ученику ч. Если вид и объем работ в задачах на работу не конкретизирован (как в данном случае), его принято обозначать единицей. Напомним, что производительность труда — это объем работы, выполняемый за единицу времени. Тогда за 1 ч мастер выполнит — часть задания, а ученик часть, это и есть их производительности труда. По условию задачи мастер и ученик проработали 8 ч, поэтому мастер выполнил часть задания, а ученик Учитывая, что они выполнили все задание, имеем уравнение:

откуда

Второй корень не соответствует смыслу задачи, так как является отрицательным.

Таким образом, мастер, работая отдельно, может выполнить задание за 12 ч, а его ученик — за

Условие этой задачи, как и предыдущей, можно также систематизировать в виде таблицы:

Ответ. 12 ч и 24 ч.

Обратите внимание, что условия большинства задач на движение или работу можно систематизировать в виде таблицы, что поможет избежать громоздких текстовых записей.

«Желаю тебе стать вторым Остроградским…»

Михаил Васильевич Остроградский родился 12 сентября 1801 года в д. Пашенная Полтавской губернии (в настоящее время деревня Пашеновка). Предки Михаила Васильевича служили в казацком войске, участвовали во многих боях, не раз проявляли военную доблесть и героизм. По-видимому, именно поэтому в детстве Михаил Васильевич так мечтал стать военным. Но ему суждено было стать всемирно известным ученым.

В детстве Михаил обладал исключительной наблюдательностью и увлекался измерениями. Учился он в пансионе при Полтавской гимназии, потом в этой гимназии. Закончив ее, стал свободным слушателем Харьковского университета, а в дальнейшем и его студентом. После окончания университета с отличием в августе 1820 года, менее чем через год (в апреле 1821 года) получил степень кандидата наук за исследования в прикладной математике. В 1822 году Остроградский уезжает в Париж, чтобы усовершенствовать М.В. Остроградский свое математическое образование, и становится слушателем университета в Сорбонне.

Именно там он публикует свои первые научные труды, становится известным ученым и заслуживает уважение французских математиков. За неимением средств Михаил Васильевич вынужден был покинуть Париж, преодолев пешком зимой 1828 года путь от Парижа до Петербурга.

Научные круги Петербурга встретили молодого ученого с радостью и надеждой. Его авторитет среди петербургских деятелей науки был высоким и незыблемым. В том же 1828 году Остроградский начинает преподавательскую деятельность в Морском кадетском корпусе Петербурга, его избирают адъюнктом Петербургской академии наук. А с 1830 года преподает еще в четырех высших учебных заведениях Петербурга. В 1834 году Остроградский был избран членом Американской академии наук, в 1841 году — членом Туринской академии, в 1853 — членом Римской академии Линчей и в 1856 году -членом-корреспондентом Парижской академии наук.

Лекции Остроградского посещали не только студенты, но и преподаватели, профессура, известные математики. Всем нравилась его система преподавания предмета — широта темы, но при этом выразительность и сжатость изложения, а также его остроумие. На лекциях он украшал свою речь словами, пословицами и поговорками. Поэтому студенты вспоминали его лекции с восторгом.

Любимым писателем Остроградского был Т.Г. Шевченко, с которым он был лично знаком и значительную часть произведений которого, зная наизусть, охотно декламировал. В 1858 году, когда Тарас Григорьевич возвращался из ссылки на родину через Петербург, Михаил Васильевич предложил Кобзарю остановится в его петербургской квартире.

Вернувшись из ссылки, Шевченко писал в «Дневнике»: «Великий математик принял меня с распростертыми объятиями, как земляка и как надолго выехавшего члена семьи».

Михаил Васильевич был выдающимся, оригинальным, всесторонне одаренным человеком. Его ценили не только за ум, но и за независимость, демократизм, скромность, искренность и простоту, за уважение к людям труда. Находясь на вершине славы, отмеченный за свои научные труды во всей Европе, Остроградский был прост в общении и не любил говорить о своих заслугах.

И какие бы проблемы не решал ученый (занимался он алгеброй, прикладной математикой, теорией чисел, теорией вероятностей, механикой и т. п.), все его научные труды отличаются глубиной мысли и оригинальностью, в них неизменно присутствует широта его взглядов, умение углубиться в суть проблемы, систематизировать и обобщить.

На всю жизнь Михаил Васильевич сохранил любовь к родной Земле и родному языку. Почти ежегодно летом он выезжал с целью погрузиться в полное спокойствие и полюбоваться замечательными пейзажами. Летом 1861 года Остроградский, пребывая на родине, заболел и 1 января 1862 года умер.

За свою почти 40-летнюю научную деятельность Михаил Васильевич написал свыше 50 трудов из разных отраслей математики: математического анализа, аналитической и небесной механики, математической физики, теории вероятностей. Свои педагогические взгляды М.В. Остроградский изложил в учебниках по элементарной и высшей математике.

Именем М.В. Остроградского назван Кременчугский национальный университет.

И хотя почти всю свою жизнь Михаил Остроградский занимался наукой, он был широко известен своим соотечественникам. Авторитет и популярность М.В. Остроградского были настолько значимыми, что родители, отдавая ребенка на учебу, желали ему «стать вторым Остроградским».

Сведения из курса математики 5-6 классов и алгебры 7 класса

Десятичные дроби

Сложение и вычитание десятичных дробей выполняют поразрядно, записывая их одна под другой так, чтобы запятая размещалась под запятой.

Примеры:

Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо выполнить умножение, не обращая внимания на запятые, а потом в произведении отделить занятой справа налево столько цифр, сколько их после занятой в обоих множителях вместе.

Примеры:

Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо выполнить деление, не обращая внимания на запятую, но после окончания деления целой части делимого нужно в частном поставить занятую.

Примеры:

Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную, нужно в делимом и делителе перенести запятую на столько цифр вправо, сколько их стоит после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число.

Пример:

Обычные дроби

Частное от деления числа на число можно записать в виде обычной дроби где числитель дроби, — ее знаменатель.

Основное свойство дроби: значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число.

Примеры:

(сократили дробь на 5);

(привели дробь к знаменателю 14).

Дроби с одинаковыми знаменателями складывают и вычитают по формулам:

Примеры:

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, их сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют действие по правилу сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Примеры:

На следующих примерах показано, как выполнить сложение и вычитание смешанных чисел.

Примеры:

Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и их знаменатели и первый результат записать числителем произведения, а второй — знаменателем:

Примеры:

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю:

Примеры:

Положительные и отрицательные числа

Модулем числа называют расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой.

Модуль положительного числа и числа нуль — само это число, а модуль отрицательного — противоположное ему число:

Примеры:

Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и перед полученным результатом записать знак

Пример:

Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля слагаемых вычесть меньший модуль и перед полученным результатом записать знак слагаемого с большим модулем.

Примеры:

Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому:

Примеры:

Произведение двух чисел с одинаковыми знаками равно произведению их модулей. Произведение двух чисел с разными знаками равно произведению их модулей, взятому со знаком «-».

Примеры:

Частное двух чисел с одинаковыми знаками равно частному от деления их модулей. Частное двух чисел с разными знаками равно частному от деления их модулей, взятому со знаком «-».

Примеры:

Уравнение

Корнем, или решением, уравнения называют число, обращающее уравнение в правильное числовое равенство.

Примеры:

1) Число 3 является корнем уравнения так как

2) Число -2 не является корнем уравнения так как

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни. Равносильными считают и уравнения, не имеющие корней.

Примеры:

1) Уравнения равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень, равный 2.

2) Уравнения не являются равносильными, так как корень первого — число 1, а второго — число 2.

Для решения уравнений используют следующие свойства:

1) если в любой части уравнения раскрыть скобки или привести подобные слагаемые, получим уравнение, равносильное данному;

2) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, получим уравнение, равносильное данному;

3) если обе части уравнения

Уравнение вида где числа, переменная, называют линейным уравнением с одной переменной.

Решение линейного уравнения представим в виде схемы:

Примеры:

В большинстве случаев уравнения последовательными преобразованиями приводят к линейному уравнению, равносильному данному.

Примеры:

Раскроем скобки: Перенесем слагаемые, содержащие переменную, в левую часть уравнения, остальные — в правую, изменив знаки переносимых слагаемых на противоположные: приведем подобные слагаемые: решим полученное линейное уравнение:

Ответ.

Умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей дробей — число 6:

Дальше решаем, как в предыдущем примере:

Ответ. Любое число.

Степень с натуральным показателем

Степенью числа с натуральным показателем называют произведение множителей, каждый из которых равен Степенью числа с показателем 1 называют само это число.

Примеры:

Свойства степени с натуральным показателем

Примеры:

Используя свойства степени с натуральным показателем, можем существенно упростить вычисления.

Одночлен

Целые выражения — числа, переменные, их степени и произведения называют одночленами.

Например — одночлены; выражения Не одночлены.

Если одночлен содержит только один числовой множитель, записанный первым, и содержит степени разных переменных, то такой одночлен называют одночленом стандартного вида.

Например, — одночлен стандартного вида, а одночлен не является одночленом стандартного вида.

Этот одночлен можно привести к одночлену стандартного вида:

Умножение одночленов

Примеры:

Возведение одночлена в степень

Примеры:

Многочлен

Многочленом называют сумму одночленов. Многочлен, являющийся суммой одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных слагаемых, называют многочленом стандартного вида.

Многочлен не является многочленом стандартного вида, но его можно привести к стандартному виду:

Сложение и вычитание многочленов

Умножение одночлена на многочлен

Умножение многочлена на многочлен

Формулы сокращенного умножения

Разложение многочленов на множители

Вынесение общего множителя за скобки

Способ группировки

Использование формул сокращенного умножения

Примеры:

Функция

Если каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной, то такую зависимость называют функциональной зависимостью, или функцией.

Переменную в этом случае называют независимой переменной (или аргументом), а переменную — зависимой переменной (или функцией от заданного аргумента).

Все значения, которые принимает независимая переменная (аргумент), образуют область определения функции; все значения, которые принимает зависимая переменная (функция), образуют область значений функции.

Линейной называют функцию, которую можно задать формулой вида независимая переменная, -некоторые числа.

Графиком любой линейной функции является прямая. Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую.

Пример:

Построим график функции

Составим таблицу для любых двух значений аргумента:

Отметим на координатной плоскости полученные точки и проведем через них прямую (рис. 20).

Пример:

Построим график функции Любому значению соответствует одно и то же значение равное числу -2. Графиком функции является прямая, состоящая из точек с координатами — любое число. Обозначим две любые такие точки, например и проведем через них прямую (рис. 21).

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Если нужно найти общее решение двух (или более) уравнений, то говорят, что эти уравнения образуют систему уравнений.

Пример:

система уравнений с двумя неизвестными

Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, при которых каждое уравнение обращается в верное числовое равенство.

Пара чисел является решением данной выше системы, поскольку

Пара чисел не является решением системы. Для этих значений переменных первое уравнение обращается в верное равенство а второе — нет

Решить систему уравнений — значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки Решить систему уравнений

Решение системы двух линейных уравнении с двумя переменными способом сложения

Решить систему уравнений

Пусть задано квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$, где коэффициенты
$a$,
$b$ и
$c$ — в общем случае являются комплексными.
Его решение находим с помощью дискриминанта

$$D=b^{2}-4 a c$$

тогда

$$x_{1,2}=frac{-b pm sqrt{D}}{2 a}$$

В общем случае и дискриминант, и корни уравнения являются
комплексными числами.

Читать дальше: элементарные функции комплексного аргумента.

Составьте квадратное уравнение по его корням 5 и 3

По теореме Виета сумма корней квадратного уравнения равна коэффициенту при x с обратным знаком, то есть:

Также, по теореме Виета произведение корней квадратного уравнения равно свободному члену, то есть:

По условию x₁ = 5 и x₂ = 3.

Следовательно, квадратное уравнение с корнями x₁ = 5 и x₂ = 3 имеет вид:

Нам нужно составить квадратное уравнение по его корням. Корни равны 5 и 3.

Решать задание будем по алгоритму

• вспомним определение полного квадратного уравнения и приведенного квадратного уравнения;
• вспомним теорему Виета;
• найдем коэффициента уравнения, используя теорему Виета;
• запишем уравнение;
• сделаем проверку — решим полученное уравнение.

Определение квадратного уравнения и теорема Виета

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax ^2 + bx + c = 0;

где a, b — коэффициенты, а с — свободный член. Так же обязательно должно выполняться условие, что коэффициента a не равен нулю (a ≠ 0).

Если в уравнении ax^2 + bx + c = 0, коэффициент a = 1, то уравнение называется полным приведенное квадратное уравнение.

Мы в ответе получим уравнение с коэффициентом а = 1, то есть приведенное квадратное уравнение.

Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения.

Сумма корней уравнения равна коэффициенту b с противоположным знаком.

А произведение корней уравнения равно свободному члену уравнения с.

Находим коэффициенты для нашего уравнения

Корни уравнения имеют значения x1 = 5; x2 = 3.

При условии, что уравнение приведенное, то есть а = 1, находим коэффициенты b и c.

Как составить квадратное уравнение по его корням

КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН III

§ 55. Составление квадратного уравнения по заданным корням

Предположим, что нам нужно составить квадратное уравнение, корнями которого были бы числа x₁ и x₂. Очевидно, что в качестве искомого уравнения можно выбрать уравнение

a(х — x₁)(х — x₂) = 0, (1)

где а — любое отличное от нуля действительное число. С другой стороны, как было показано в § 54, каждое квадратное уравнение с корнями x₁ и x₂ можно записать в виде (1).

Таким образом, формула (1) полностью решает поставленную выше задачу. Из всех квадратных уравнений корни x₁ и x₂ имеют уравнения вида (1) и только, они.

Пример. Составить квадратное уравнение, корни которого равны 1 и — 2.

Ответ. Корни 1 и —2 имеют все квадратные уравнения вида

а(х — 1)(х + 2) = 0,

ах 2 + ах — 2а = 0,

где а — любое отличное от нуля действительное число. Например, при а = 1 получается уравнение

х 2 + х — 2 = 0.

Упражнения

411. Составить квадратное уравнение, корнями которого были бы числа:

а) 2 и — 3; б) — 1 и — 5; в) 1 /₄ и 1 /₆; г) — 1 /₂ и — 1 /₃ .

412. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами так, чтобы его корни были равны:

413. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны 5 /₇ и — 1 /₂, а сумма всех коэффициентов равна 36.

414. Могут ли корнями квадратного уравнения с натуральными коэффициентами быть числа 6 /₅ и — 1 /₇?

415. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, если известно, что один из его корней равен:

Теорема Виета

Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида:

Для корней $x_1$ и $x_2$ приведенного квадратного уравнения (при $D ge 0$) справедливо следующее:

$$ x_1+x_2 = -b, quad x_1 x_2 = c $$

$$ x_1 = -6, x_2 = 1, quad x_1+x_2 = -5, quad x_1 x_2 = -6 $$

Теорема Виета

Для корней $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения $ax^2+bx+c = 0$ (при $D ge 0$) справедливо следующее:

$$ ax^2+bx+c = a(x-x_1 )(x-x_2 ) $$

$$ 2x^2+5x-3 = 2 left(x-frac right)(x+3) $$

$$ x_1 = frac, x_2=-3, quad x_1+x_2=-frac, quad x_1 x_2 = — frac $$

Примеры

Пример 1. Составьте квадратное уравнение по его корням:

Искомое уравнение: $x^2-3x-10 = 0$

Искомое уравнение: $x^2-3,5x-2 = 0$

$$ left(x-frac right) left(x-frac right) = x^2- left(frac+frac right)x+frac cdot frac = x^2-frac x+frac $$

Искомое уравнение: $x^2-frac x+frac = 0 или 6x^2-5x+1 = 0$

$г) frac$ — один корень

$$ left(x-frac right)^2 = x^2-2 cdot frac x+ left(frac right)^2 = x^2-frac x+frac$$

Искомое уравнение: $x^2-frac x+ frac = 0$ или $25x^2-30x+9 = 0$

Пример 2. Один из корней уравнения $x^2+bx-21 = 0$ равен 3. Найдите другой корень и коэффициент b.

По теореме Виета можем записать:

Получаем: второй корень равен -7, уравнение имеет вид $x^2+4x-21 = 0$.

Ответ: $x_2$ = -7, b = 4

Пример 3. Один из корней уравнения $x^2+3x+c = 0$ равен 12. Найдите другой корень и коэффициент c.

По теореме Виета можем записать:

$$ x_2+12 = -3 \ 12x_2 = c end right.> Rightarrow x_2 = -15 \ c = 12 cdot (-15) = -180 end right.> $$