Как составить интервальное статистическое распределение выборки - Autoru.top

Интервальное статистическое распределение

Если признак может
принимать любые значения из некоторого
промежутка, т.е. является непрерывной
случайной величиной, то необходимо
промежуток между наименьшим и наибольшим
значениями признака в выборке разбить
на несколько интервалов одинаковой
(или разной) длины. При
этом количество интервалов k
не должно
быть меньше 6 – 10 и больше 20 – 25 (выбор
числа интервалов зависит от объема
выборки n).

При подборе
количества интервалов можно пользоваться
приближенной формулой, которую предложил
американский статистик Sturgess
(Стерджесс):

– целая часть
числа х.

Затем определяем
длину частичного интервала группировки:

,
где R
=
–
размах выборки.

Находим границы
каждого из непересекающихся частичных
интервалов
:

a₁
= x_min
–
;
b₁
= a₁
+ h;

a₂
= b₁;
b₂
= a₂
+ h
и т.д.

Далее
каждому интервалу требуется поставить
в соответствие число выборочных значений
признака, попавших в этот интервал. В
результате получим интервальное
статистическое распределение:

Таблица
3.3

Интервалы	[a₁; b₁)	[a₂; b₂)	[a₃; b₃)	…	[a_k; b_k)
Частоты	m₁	m₂	m₃	…	m_k

Используя
интервальное статистическое распределение,
можно вычислить относительную частоту,
накопленную частоту, эмпирическую
функцию распределения, так же как и для
дискретного статистического распределения.

Если
в интервальном распределении каждый
интервал

заменить числом, лежащим в его середине
(a_i
+
b_i)/2,
то получим дискретное статистическое
распределение. Такая замена вполне
естественна, так как, например, при
измерении размера детали с точностью
до одного миллиметра, всем размерам из
промежутка [49,5 мм; 50,5 мм) будет
соответствовать одно число, равное 50.

Для графического
изображения интервального распределения
используется гистограмма.
Для ее построения в прямоугольной
системе координат по оси абсцисс
откладываем границы интервалов
группировки и на этих интервалах как
на основаниях строим прямоугольники,
высоты которых откладываются на оси
ординат. Различают:

а) гистограмму
абсолютных частот,
когда высота прямоугольника равна
;

б) гистограмму
относительных частот,
когда высота прямоугольника равна
.

Гистограмма
является выборочным
аналогом графика плотности вероятности.
Площадь на интервале (a_j;
a_m)
можно интерпретировать как приближенное
значение вероятности попадания случайной
величины Х
в этот интервал, т.е.
.

Основное свойство
гистограммы:
ее площадь для абсолютных частот равна
n,
а для относительных частот равна
единице.

Отношение
относительной частоты к длине частичного
интервала h
называют плотностью
распределения частоты
на интервале

(рис. 3.5).

Рис. 3.5. Гистограмма
относительных частот

При построении
графика эмпирической функции распределения
для интервального ряда необходимо
учитывать, что функция определена только
на концах интервалов.

Таким образом,
статистическое распределение выборки
можно рассматривать как статистический
аналог для распределения генеральной
совокупности. Из-за случайных колебаний
эти два распределения, как правило, не
будут совпадать, но можно ожидать, что
при большом объеме выборки ее распределение
будет служить приближением для генеральной
совокупности, т.е.

,
если
.

Пример
2.
Получены данные о выработке продукции
30-ю рабочими в отчетном месяце в процентах
к предыдущему месяцу

n	Х – выработка продукции, %
1-10	125	91	82	93	101	111	109	103	121	90
11-20	79	105	115	95	84	130	104	117	127	107
21-30	85	76	98	104	126	113	98	84	113	123

Необходимо:

составить
интервальное статистическое распределение;
построить
гистограмму относительных частот.

Решение

1. Определим величину
частичных интервалов:

Построим 6
непересекающихся интервалов:

[70,5; 81,5), [81,5; 92,5),
[92,5; 103,5),

[103,5; 114,5), [114,5;
125,5), [125,5; 136,5).

Первый интервал
[70,5; 81,5) содержит два значения (76 и 79),
поэтому m₁
= 2. Второй
интервал [81,5; 92,5) содержит шесть значений
(82, 84, 84, 85, 90, 91), поэтому m₂
= 6 и т.д.
Полученные данные внесем в таблицу
интервального статистического
распределения:

Таблица 3.4

Интервалы

[70,5-

81,5)

[81,5-

92,5)

[92,5-

103,5)

[103,5-

114,5)

[114,5-

125,5)

[125,5-

136,5)

Частоты

2. Для построения
гистограммы вычислим значения
относительных частот w_i
и значения плотности распределения
частоты на интервале
:

Таблица 3.5

Интервалы	[70,5- 81,5)	[81,5- 92,5)	[92,5- 103,5)	[103,5- 114,5)	[114,5- 125,5)	[125,5- 136,5)
m_i	2	6	6	8	5	3
w_i	0,07	0,20	0,20	0,27	0,17	0,10
	0,006	0,018	0,018	0,024	0,015	0,009

Изобразим
данные последней строки табл. 3.5 на
графике

(рис. 3.6).

Обведем гистограмму
плавной линией f*(x)
так, чтобы приблизительно были равны
площади, ограниченные гистограммой и
кривой f*(x),
которую называют эмпирической
плотностью распределения относительных
частот. В
генеральной совокупности ей соответствует
плотность вероятности f(x).

Рис.
3.6. Гистограмма относительных частот

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Содержание:

Интервальное статистическое распределение выборки и его числовые характеристики
Двумерное статистическое распределение выборки и его числовые характеристики
Условное статистическое распределение и их числовые характеристики
Корреляционный момент, выборочный коэффициент корреляции
Четное статистическое распределения выборки и его числовые характеристики

Количественные характеристики элементов генеральной совокупности могут быть одномерными и многомерными, дискретными и непрерывными.

Когда реализуется выборка, количественный признак, например приобретает конкретное числовое значение которое называют вариантой.

Возрастающий числовой ряд вариант называют вариационным.

Каждая варианта выборки может быть наблюденной если число частотой варианты .

При этом

где — количество вариант, что отличаются числовым значением; — объем выборки.

Соотношение частоты варианты к объему выборки называют ее относительной частотой и обозначают через то есть

Для каждой выборки выполняется равенство

если исследуется признак генеральной совокупности которая будет непрерывной, то вариант будет много. В этом случае, вариационный ряд — это определенное количество равных или неравных частичных интервалов или групп вариант со своими частотами.

Такие частичные интервалы вариант, которые размещены в возрастающей последовательности, образуют интервальный вариационный ряд.

На практике для удобства, как правило, рассматривают интервальные вариационные ряды, в которых интервалы являются равными между собой.

2. Дискретное статистическое распределение выборки и ее числовые характеристики.

Перечень вариант вариационного ряда и соответственных им частот, или относительных частот, называют дискретным статистическим распределением выборки.

В табличной форме можно представить так:

Дискретное статистическое распределение выборки можно представить эмпирической функцией .

Эмпирическая функция и ее свойства. Функция аргумента что обозначает относительную частоту события то есть

называется эмпирической.

Тут — объем выборки; — количество вариант статистического распределения выборки значения которых меньше фиксированной варианты

— называют еще функцией накопления относительных частот.

Свойства

где является наименьшей вариантой вариационного ряда;

является не спадающей функцией аргумента а именно: при

Полигон частот и относительных частот. Дискретное статистическое распределения выборки можно изобразить графически в виде ломанной линии, отрезки которой образуют координаты точек или

В первом случае ломанную линию называют полигоном частот, а во втором — полигоном относительных частот.

Пример. По заданному дискретному статистическому распределению выборки

нужно:

1. Построить и изобразить ее графически;

2. Начертить полигоны частот и относительных частот.

Решение. Согласно с определением и свойствам имеет такой вид:

Графическое изображение предоставлено на рис. 106.

Полигоны частот и относительных частот изображены на рис. 107, 108.

Числовые характеристики:

1) выборочная средняя величина Величину, которая обозначается формулой

называют выборочной средней величиной дискретного статического распределения выборки.

Тут — варианта вариационного ряда выборки;

— частота этой выборки

— объем выборки

Если все варианты выявляются в выборке только по одному разу, то есть то

2) отклонение вариант. Разницу называют отклонением этих вариант.

При этом

Следует, сумма отклонений всех вариант вариационного ряда выборки всегда равна нулю;

3) мода Модой дискретного статистического распределения выборки называют варианту, что имеет наибольшую частоту появления.

Мод может быть несколько. Когда дискретное статистическое распределение имеет одну моду, то оно называется одномодальным. если имеет две моды — двумодальным и так далее.

4) медиана Модой дискретного статистического распределения выборки называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные количеством вариант:

5) дисперсия. Для измерения рассеивания вариант выборки относительно выбирается дисперсия.

Дисперсия выборки — это среднее арифметическое квадратов отклонений вариант относительно , которое вычисляется по формуле

или

6) среднее квадратичное отклонение выборки При вычислении отклонения приводиться к квадрату, а следует, изменяется единица измерения признака потому на основании дисперсии приводится среднее квадратичное отклонение

которое измеряет рассеивание вариант выборки относительно то в тех же единицах, в которых изменяется признак

7) размах Для четкой оценки рассеивания вариант относительно используется величина, которая равна разнице между наибольшей и наименьшей вариантами вариационного ряда. Эта величина называется размахом

коэффициенты вариации Для сравнения оценок вариаций статистических рядов с разными значениями которые не равны нулю, приводится коэффициент вариации, который вычисляется по формуле

Пример. По заданному статистическому распределению выборки

нужно:

1) вычислить

2) найти

Решение. Поскольку то согласно с формулами (354), (357), (358) получим:

Для вычисления обозначается

Тогда

Следует, приведенное статистическое распределение выборки будет двумодальным. поскольку варианта делит вариационный ряд на две части: и которые имеют одинаковое количество вариант

Интервальное статистическое распределение выборки и его числовые характеристики

Перечень долевых интервалов и соответственных им частот, или относительных частот называют интервальным статистическим распределением выборки

В табличной форме это распределение имеет такой вид:

Тут является длиной частичного — нного интервала. Как правило, этот интервал берется одинаковым.

Интервальное статистическое распределение выборки можно преподать графически в виде гистограмм частот или относительных частот, а также, как и для дискретного статистического распределения, эмпирической функцией

Гистограмма частот и относительных частот. Гистограмма частот — фигура, которая складывается из прямоугольников, каждый из которых имеет основу и высоту

Гистограмма относительных частот — фигура, которая складывается из прямоугольников, каждый из которых имеет основу длиной и высоту. что равен

Пример. По заданному интервальному статистическому распределению выборки

нужно построить гистограмму частот и относительных частот

Решение. Гистограммы частот и относительных частот приведены на

Площадь гистограммы частот

Площадь гистограммы относительных частот

Эмпирическая функция . При постройке кумуляты для интервального статистического распределения выборки за основу берется предположение, что признак на каждом частичном интервале имеет равномерную плотность вероятностей. Потому кумулята имеет вид ломанной линии, которая возрастает на каждом частичном интервале и приближается к единице.

Пример. По заданному интервальному статистическому распределению выборки

построить и предоставить ее графически.

Решение

график изображен на рис. 111.

Аналогом эмпирической функции в теории вероятностей будет интегральная функция

Медана. Для обозначения медианы интервального статистического распределения выборки необходимо обозначить медианный частичны интервал. Если, например, на — нном интервале и то обратим внимание, что исследование признака является непрерывной и при этом является не спадающей функцией, на середине интервала обязательно существует такое значение где

Из признаков подобности треугольников и изображенных на рис. 112, получим:

где называют шагом.

Мода. Для определения моды интервального статистического распределения необходимо найти модальный интервал, то есть такой частичный интервал, что имеет наибольшую частоту появления.

Используя линейную интерполяцию, моду вычислим по формуле

где — начало модального интервала;

— длина или шаг частичного интервала;

— частота модального интервала;

— частота домодального интервала;

частота послемодального интервала;

Пример. По заданному интервальному статистическому распределению выборки

построить гистограмму частот и

Обозначим

Решение. Гистограмма частот изображена на рис. 113.

График изображен на рис. 114

Из рис. 113 обозначается модальный интервал, который равен Используя и обратив на внимание, что получим

Следует,

Из графика обозначается медианный интеграл, который равен

Обратим внимание, что и используя (361), получим:

Следует,

для интервального статистического распределения выборки. Для обозначения перейдем от интервального распределение к дискретному, вариантами которого будет середина частичных интервалов и который имеет вид:

Тогда вычисляется по формуле:

Пример. По заданному интервальному статистическому распределению выборки, в котором приведено распределение массы новорожденных

вычислить

Решение. Построим дискретное статистическое распределение к заданным интервальным. Поскольку то получим:

Обращая внимание на и то, что получим:

Следует,

Двумерное статистическое распределение выборки и его числовые характеристики

Перечень вариант и соответственных им частот совместного их появления образуют двумерное статистическое распределение выборки, что реализована из генеральной совокупности, элементам этой выборки присущие количественные признаки и

В табличной форме это распределение имеет такой вид:

Тут — частота совместного появления вариант

Общие числовые характеристики признака

общая средняя величина признака

общая дисперсия признака

общие среднее квадратичное отклонение признака

Общие числовые характеристики признака

общая средняя величина признака :

общая дисперсия признака :

общее среднее квадратичное отклонение признака :

Условное статистическое распределение и их числовые характеристики

Условным статистическим распределением признака при фиксированном значении называют пересечение вариант признака и соответственных им частот, взятых при фиксированном значении .

Тут

Числовые характеристики для такого статистического распределения называют условными. К ним принадлежат: условный средний признак

условная дисперсия признака

условное среднее квадратичное отклонение признака :

измеряют рассеивание вариант признака относительно средней величины

Условным статистическим распределением признака при называют пересечение вариант и соответственных им частот, взятых при фиксированном значении признака

Тут

Условные числовые характеристики для этого распределения: условная средняя величина признака

условная дисперсия признака

условное среднее квадратичное отклонение признака

При известных значениях условных средних общие средние признаки и вычислить по формулам:

Корреляционный момент, выборочный коэффициент корреляции

Во время исследования двумерного статистического распределения выборки предстает потребность использовать наглядность связи между признаками и , какой в статистике называют корреляционным. Для этого вычисляется эмпирический корреляционный момент по формуле

Если то корреляционная связь между признаками и нет. Если же то эта связь существует.

Следует, корреляционный момент дает только ответ на вопросы: существует связь между признаками и или нет.

Для измерения тесноты корреляционной связи вычисляется выборочный коэффициент корреляции по формуле

как и в теории вероятностей

Пример. По заданному двумерному статистическому распределению выборки признаки и

нужно:

1) вычислить

2) построить условно статистические распределения и вычислить условные числовые характеристики.

Решение. 1) Чтобы вычислить обозначим

Поскольку то

Следует,

для обозначения вычисляют

Тогда

Следует, а это свидетельствует о том, что между признаками и существует отрицательная корреляционная связь.

Для измерения тесноты этой связи вычислим выборочный коэффициент корреляции

Следует, то есть теснота корреляционной связи между признаками и является слабой.

Условное статистическое распределение имеет такой вид:

Вычисляют условные числовые характеристики для этого распределения:

Условная средняя величина

Условная дисперсия и среднее квадратичное отклонение

Следует,

Условное статистическое распределение имеет такой вид:

Вычисляются условные числовые характеристики.

Условная средняя величина

Следует,

Условная дисперсия и среднее квадратичное отклонение

Следует,

Четное статистическое распределения выборки и его числовые характеристики

Если частота общего появления признака и для всех вариант, то в этом случае двумерное статистическое распределение приобретает такой вид:

его называют четным статистическим распределением выборки. Тут каждая пара значений признаков и выявляется только один раз.

Объем выборки в этом случае равен количеству пар, то есть

Числовые характеристики признака :

средняя величина

дисперсия

среднее квадратичное отклонение

Числовые характеристики признака :

средняя величина

дисперсия

среднее квадратичное отклонение

эмпирический корреляционный момент

выборочный коэффициент корреляции

Пример. Зависимость количества масла что использует определенная особь за месяц, от ее прибыли в рублях приведена в таблице

Нужно вычислить

Решение. Поскольку объем выборки то получим:

Следует

Поскольку значение близко к единице, то отсюда получается, что зависимость между количеством масла, использованного определенной особой, и ее месячной прибылью почти функциональная.

6. Эмпирические моменты

Начальные эмпирические моменты. Среднее взвешенное значение вариант в степени называют начальным эмпирическим моментом — ого порядка который вычисляется по формуле

При получим начальный момент первого порядка:

При вычислим начальный момент второго порядка:

Следует, дисперсию выборки можно преподать через начальные моменты первого и второго порядков, а именно:

Центральный эмпирический момент — ого порядка. Среднее взвешенное отклонение вариант в степени называют центральным эмпирическом моментом — ого порядка

При получим:

На практике чаще используются центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядков, что вычисляются по формулам:

Преподнося к третьему и четвертому степени отклонения вариант, придадим и через соответственные начальные моменты:

Коэффициент асимметрии Центральный эмпирический момент третьего порядка используется для вычисления коэффициента асимметрии:

Если варианты статистического распределения выборки симметрично распределены относительно то в этом случае поскольку

При варианты статистического распределения преобладают варианты Такую асимметрию называют отрицательной. При статистического распределения преобладают варианты и такую асимметрию называют положительной.

Эксцесс. Центральный эмпиричный момент четвертого порядка используется для вычисления эксцесса:

как правило, используется при исследовании непрерывности признаков генеральных совокупностей, поскольку он оценивает крутизну закона распределения непрерывной случайной величины уравнена с нормальным. Для нормального закона распределения, как известно,

Пример. Оценить в баллах полученные абитуриенты на вступительных испытаниях по математике, приведены в таблице дискретного распределения:

Вычислить

Решение. Используя приведенные выше формулы и учитывая, что вычислим

Откуда

Следует, получим:

поскольку сравнительно малый, то статистическое распределение ближе к симметричному.

Пример. Длина заготовок изготовленных работником за смену, и частоты этих длин приведены в виде статистического распределения:

обозначить

Решение. Вычисляются значения Поскольку то получим:

Следует,

Вычислим центральный эмпирический момент четвертого порядка.

Поскольку то вершина закона распределения случайной величины, заданного плотностью вероятностей, будет плоской, то есть так называемое туповершинное распределение.

Лекции:

Статистические оценки
Статистические гипотезы
Корреляционный и регрессионный анализ
Комбинаторика основные понятия и формулы с примерами
Число перестановок
Непосредственное вычисление вероятностей примеры с решением
Действия над событиями. Теоремы сложения и умножения вероятностей примеры с решением
Примеры решения задач на тему: Случайные величины
Примеры решения задач на тему: основные законы распределения
Примеры решения задач на тему: совместный закон распределения двух случайных величин

Источник

Поможем решить контрольную, написать реферат, курсовую и диплом от 800р
Узнать стоимость

Статистическое распределение выборки

Содержание:

Примеры использования формул и таблиц для решения практических задач
Статистический интервальный ряд распределения

Предположим случай, когда из генеральной совокупности извлекается некоторая выборка, при этом каждому значению соответствует некоторый параметр, означающий количество раз, когда появлялось данное значение. Здесь $x_1$ было зафиксировано $n_1$ раз, $x_2$ было обнаружено $n_2$$x_k$ выявлено $n_k$. При этом

$sum_{i=1}^{k}n_i=n$

Где n — объём рассматриваемой выборки.

Определение 1

Используется следующая терминология: $x_k$ носят наименование вариантов, а последовательность таких вариантов, зафиксированный по возрастанию именуется вариационным рядом. Количество наблюдений каждого из вариантов носят название частот. При этом частное частот и выборки называют относительными частотами.

Определение 2

Статистическое распределение —это название всего набора вариантов и частот, которые с ними соотносятся. Чаще всего задаётся с помощью специальной таблицы, где представлены частоты, а также интервалы им соответствующие.

$x_1$	$x_2$	…	$x_k$
$n_1$	$n_2$	…	$n_k$
$frac{n_1}{n}$	$frac{n_2}{n}$		$frac{n_k}{n}$

Здесь в первой строке представлены варианты, во второй частоты, в третьеq взяты относительные частоты.

Для определения размера интервала используется следующее выражение:

$d=frac{x_{max}- x_{min}}{1+3,332cdot lg n}$

Здесь $x_{max}$, $x_{min}$ наибольшее и наименьшее значения ряда вариантов, а n характеризуем объём выборки.

Примеры использования формул и таблиц для решения практических задач

Пример 1

В ходе проведения измерений в однородных группах, были определены следующие значения выборки: 71, 72, 74, 70, 70, 72, 71, 74, 71, 72, 71, 73, 72, 72, 72, 74, 72, 73, 72, 74. Необходимо использовать данные значения, что определить ряд распределения частот и ряд распределения относительных частот.

Решение.

1) Составим статистический ряд распределения частот:

xi	70	71	72	73	74
ni	2	4	8	2	4

2) Рассчитаем суммарный размер выборки: n=2+4+8+2+4=20. Определим относительные частоты, для этого используем формулы: ni/n=wi: wi=2/20=0.1; w2=4/20=0.2; w3=0.4; w4=4/20=0.1; w5=2/20=0.2. Теперь зафиксируем в таблице распределение относительных частот:

xi	70	71	72	73	74
wi	0.1	0.2	0.4	0.1	0.2

Контрольная сумма должна равняться единице: 0,1+0,2+0,4+0,1+0,2=1.

Полигон частот

Название «полигоном частот» применяют для обозначения ломаной линии, каждый отрезок, которой соединяют точки $(х_1,n_1),(х_2,n_2),…,(х_k,n_k)$. Для построения на графике полигона частот по оси абсцисс отмечают варианты $х_2$, при этом на оси ординат отсчитывают– соответствующие частоты $n_i$. Когда полученные точки $(х_i,n_i)$ соединяются с помощью отрезков, то автоматически получают полигон частот.

Статистический интервальный ряд распределения.

Статистическим дискретным рядом (или эмпирической функцией распределения) обычно пользуются, если число различающихся вариант в полученной выборке не слишком большое. Также применение возможно, когда дискретность имеет важное значение для экспериментатора. В тех случаях, когда важный для задачи признак генеральной совокупности Х распределяется непрерывным образом, либо его дискретность нет возможности учесть, то варианты предпочтительнее всего группировать, чтобы получить интервалы.

Статистическое распределение допустимо задавать в том числе в качестве последовательности интервалов и частот, соответствующих этим интервалам. При это за частоту какого-либо интервала принимается сумма всех частот, вошедших в данный интервал.

Особенно следует отметить ,что $h_i-h_{i-1}=h$ при всех i, т.е. группировка проводится с равным шагом h. Также в вопросе группировки можно ориентироваться на ряд полученных опытным путём рекомендацийу, касающихся таких параметров, как а, k и $h_i$:

1. $Rраз_{мах}=X_{max}-X_{min}$

2. $h=R/k$; k-число групп

3.$ kgeq 1+3.321lgn$ (формула Стерджеса)

4. $a=x_{min}, b=x_{max}$

5.$ h=a+h_i, i=0,1…k$

Определённую в ходе решения задачи группировку удобнее всего скомпоновать и перевести в вид специальной таблицы, которая также может именоваться — «статистический интервальный ряд распределения»:

Интервалы группировки	[h0;h1)	[h1;h2)	…	[hk-2;hk-1)	[hk-1;hk)
Частоты	n1	n2	…	nk-1	nk

Таблицу подобного вида можно сделать, поменяв частоты $n_i$ на относительные частоты:

Интервалы группировки	[h0;h1)	[h1;h2)	…	[hk-2;hk-1)	[hk-1;hk)
Отн. частоты	w1	w2	…	wk-1	wk

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример 2

На склад пришла крупная партия деталей. Из них методом случайного отбора взято 50 экземпляров. Рассматривая изделия по одному, особенно интересующему признаку — размеру, определённому с точностью до 1 см, получим следующий вариационный ряд: 22, 47, 26, 26, 30, 28, 28, 31, 31, 31, 32, 32, 33, 33, 33, 33, 34, 34, 34, 34, 34, 35, 35, 36, 36, 36, 36, 36, 37, 37, 37, 37, 37, 37, 38, 38, 40, 40, 40, 40, 40, 41, 41, 43, 44, 44, 45, 45, 47, 50. Требуется произвести расчёт и определить статистический интервальный ряд распределения.

Решение

Найдём параметры выборки используя сведения из условия задачи.

$k geq1+3,321cdot lg50=1+3.32lg(5cdot10)=1+3.32(lg5+lg10)=6.6$

Получили a=22, k=7, h=(50-22)/7=4, hi=22+4i, i=0,1,…,7.

Интервалы группировки	22-26	26-30	30-34	34-38	38-42	42-46	46-50
Частоты	1	4	10	18	9	5	3
Отн. частоты	0.02	0.08	0.2	0.36	0.18	0.1	0.06

Десятичные логарифмы от 1 до 10

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
lnn≈	0	0.3	0.48	0.6	0.7	0.78	0.85	0.9	0.95	1

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!

Источник

Интервальный вариационный ряд и его характеристики

Построение интервального вариационного ряда по данным эксперимента
Гистограмма и полигон относительных частот, кумулята и эмпирическая функция распределения
Выборочная средняя, мода и медиана. Симметрия ряда
Выборочная дисперсия и СКО
Исправленная выборочная дисперсия, стандартное отклонение выборки и коэффициент вариации
Алгоритм исследования интервального вариационного ряда
Примеры

п.1. Построение интервального вариационного ряда по данным эксперимента

Интервальный вариационный ряд – это ряд распределения, в котором однородные группы составлены по признаку, меняющемуся непрерывно или принимающему слишком много значений.

Общий вид интервального вариационного ряда

Интервалы, (left.left[a_{i-1},a_iright.right))	(left.left[a_{0},a_1right.right))	(left.left[a_{1},a_2right.right))	…	(left.left[a_{k-1},a_kright.right))
Частоты, (f_i)	(f_1)	(f_2)	…	(f_k)

Здесь k — число интервалов, на которые разбивается ряд.

Размах вариации – это длина интервала, в пределах которой изменяется исследуемый признак: $$ F=x_{max}-x_{min} $$

Правило Стерджеса
Эмпирическое правило определения оптимального количества интервалов k, на которые следует разбить ряд из N чисел: $$ k=1+lfloorlog_2 Nrfloor $$ или, через десятичный логарифм: $$ k=1+lfloor 3,322cdotlg Nrfloor $$

Скобка (lfloor rfloor) означает целую часть (округление вниз до целого числа).

Шаг интервального ряда – это отношение размаха вариации к количеству интервалов, округленное вверх до определенной точности: $$ h=leftlceilfrac Rkrightrceil $$

Скобка (lceil rceil) означает округление вверх, в данном случае не обязательно до целого числа.

Алгоритм построения интервального ряда
На входе: все значения признака (left{x_jright}, j=overline{1,N})
Шаг 1. Найти размах вариации (R=x_{max}-x_{min})
Шаг 2. Найти оптимальное количество интервалов (k=1+lfloorlog_2 Nrfloor)
Шаг 3. Найти шаг интервального ряда (h=leftlceilfrac{R}{k}rightrceil)
Шаг 4. Найти узлы ряда: $$ a_0=x_{min}, a_i=1_0+ih, i=overline{1,k} $$ Шаг 5. Найти частоты (f_i) – число попаданий значений признака в каждый из интервалов (left.left[a_{i-1},a_iright.right)).
На выходе: интервальный ряд с интервалами (left.left[a_{i-1},a_iright.right)) и частотами (f_i, i=overline{1,k})

Заметим, что поскольку шаг h находится с округлением вверх, последний узел (a_kgeq x_{max}).

Например:
Проведено 100 измерений роста учеников старших классов.
Минимальный рост составляет 142 см, максимальный – 197 см.
Найдем узлы для построения соответствующего интервального ряда.
По условию: (N=100, x_{min}=142 см, x_{max}=197 см).
Размах вариации: (R=197-142=55) (см)
Оптимальное число интервалов: (k=1+lfloor 3,322cdotlg ⁡100rfloor=1+lfloor 6,644rfloor=1+6=7)
Шаг интервального ряда: (h=lceilfrac{55}{5}rceil=lceil 7,85rceil=8) (см)
Получаем узлы ряда: $$ a_0=x_{min}=142, a_i=142+icdot 8, i=overline{1,7} $$

(left.left[a_{i-1},a_iright.right)) cм

(left.left[142;150right.right))

(left.left[150;158right.right))

(left.left[158;166right.right))

(left.left[166;174right.right))

(left.left[174;182right.right))

(left.left[182;190right.right))

(left[190;198right])

п.2. Гистограмма и полигон относительных частот, кумулята и эмпирическая функция распределения

Относительная частота интервала (left.left[a_{i-1},a_iright.right)) — это отношение частоты (f_i) к общему количеству исходов: $$ w_i=frac{f_i}{N}, i=overline{1,k} $$

Гистограмма относительных частот интервального ряда – это фигура, состоящая из прямоугольников, ширина которых равна шагу ряда, а высота – относительным частотам каждого из интервалов.
Площадь гистограммы равна 1 (с точностью до округлений), и она является эмпирическим законом распределения исследуемого признака.

Полигон относительных частот интервального ряда – это ломаная, соединяющая точки ((x_i,w_i)), где (x_i) — середины интервалов: (x_i=frac{a_{i-1}+a_i}{2}, i=overline{1,k}).

Накопленные относительные частоты – это суммы: $$ S_1=w_1, S_i=S_{i-1}+w_i, i=overline{2,k} $$ Ступенчатая кривая (F(x)), состоящая из прямоугольников, ширина которых равна шагу ряда, а высота – накопленным относительным частотам, является эмпирической функцией распределения исследуемого признака.
Кумулята – это ломаная, которая соединяет точки ((x_i,S_i)), где (x_i) — середины интервалов.

Например:
Продолжим анализ распределения учеников по росту.
Выше мы уже нашли узлы интервалов. Пусть, после распределения всех 100 измерений по этим интервалам, мы получили следующий интервальный ряд:

i	1	2	3	4	5	6	7
(left.left[a_{i-1},a_iright.right)) cм	(left.left[142;150right.right))	(left.left[150;158right.right))	(left.left[158;166right.right))	(left.left[166;174right.right))	(left.left[174;182right.right))	(left.left[182;190right.right))	(left[190;198right])
(f_i)	4	7	11	34	33	8	3

Найдем середины интервалов, относительные частоты и накопленные относительные частоты:

(x_i)	146	154	162	170	178	186	194
(w_i)	0,04	0,07	0,11	0,34	0,33	0,08	0,03
(S_i)	0,04	0,11	0,22	0,56	0,89	0,97	1

Построим гистограмму и полигон:

Построим кумуляту и эмпирическую функцию распределения:

Эмпирическая функция распределения (относительно середин интервалов): $$ F(x)= begin{cases} 0, xleq 146\ 0,04, 146lt xleq 154\ 0,11, 154lt xleq 162\ 0,22, 162lt xleq 170\ 0,56, 170lt xleq 178\ 0,89, 178lt xleq 186\ 0,97, 186lt xleq 194\ 1, xgt 194 end{cases} $$

п.3. Выборочная средняя, мода и медиана. Симметрия ряда

Выборочная средняя интервального вариационного ряда определяется как средняя взвешенная по частотам: $$ X_{cp}=frac{x_1f_1+x_2f_2+…+x_kf_k}{N}=frac1Nsum_{i=1}^k x_if_i $$ где (x_i) — середины интервалов: (x_i=frac{a_{i-1}+a_i}{2}, i=overline{1,k}).
Или, через относительные частоты: $$ X_{cp}=sum_{i=1}^k x_iw_i $$

Модальным интервалом называют интервал с максимальной частотой: $$ f_m=max f_i $$ Мода интервального вариационного ряда определяется по формуле: $$ M_o=x_o+frac{f_m-f_{m-1}}{(f_m-f_{m-1})+(f_m+f_{m+1})}h $$ где
(h) – шаг интервального ряда;
(x_o) — нижняя граница модального интервала;
(f_m,f_{m-1},f_{m+1}) — соответственно, частоты модального интервала, интервала слева от модального и интервала справа.

Медианным интервалом называют первый интервал слева, на котором кумулята превысила значение 0,5. Медиана интервального вариационного ряда определяется по формуле: $$ M_e=x_o+frac{0,5-S_{me-1}}{w_{me}}h $$ где
(h) – шаг интервального ряда;
(x_o) — нижняя граница медианного интервала;
(S_{me-1}) накопленная относительная частота для интервала слева от медианного;
(w_{me}) относительная частота медианного интервала.

Расположение выборочной средней, моды и медианы в зависимости от симметрии ряда аналогично их расположению в дискретном ряду (см. §65 данного справочника).

Например:
Для распределения учеников по росту получаем:

(x_i)	146	154	162	170	178	186	194	∑
(w_i)	0,04	0,07	0,11	0,34	0,33	0,08	0,03	1
(x_iw_i)	5,84	10,78	17,82	57,80	58,74	14,88	5,82	171,68

$$ X_{cp}=sum_{i=1}^k x_iw_i=171,68approx 171,7 text{(см)} $$ На гистограмме (или полигоне) относительных частот максимальная частота приходится на 4й интервал [166;174). Это модальный интервал.
Данные для расчета моды: begin{gather*} x_o=166, f_m=34, f_{m-1}=11, f_{m+1}=33, h=8\ M_o=x_o+frac{f_m-f_{m-1}}{(f_m-f_{m-1})+(f_m+f_{m+1})}h=\ =166+frac{34-11}{(34-11)+(34-33)}cdot 8approx 173,7 text{(см)} end{gather*} На кумуляте значение 0,5 пересекается на 4м интервале. Это – медианный интервал.
Данные для расчета медианы: begin{gather*} x_o=166, w_m=0,34, S_{me-1}=0,22, h=8\ \ M_e=x_o+frac{0,5-S_{me-1}}{w_me}h=166+frac{0,5-0,22}{0,34}cdot 8approx 172,6 text{(см)} end{gather*} begin{gather*} \ X_{cp}=171,7; M_o=173,7; M_e=172,6\ X_{cp}lt M_elt M_o end{gather*} Ряд асимметричный с левосторонней асимметрией.
При этом (frac{|M_o-X_{cp}|}{|M_e-X_{cp}|}=frac{2,0}{0,9}approx 2,2lt 3), т.е. распределение умеренно асимметрично.

п.4. Выборочная дисперсия и СКО

Выборочная дисперсия интервального вариационного ряда определяется как средняя взвешенная для квадрата отклонения от средней: begin{gather*} D=frac1Nsum_{i=1}^k(x_i-X_{cp})^2 f_i=frac1Nsum_{i=1}^k x_i^2 f_i-X_{cp}^2 end{gather*} где (x_i) — середины интервалов: (x_i=frac{a_{i-1}+a_i}{2}, i=overline{1,k}).
Или, через относительные частоты: $$ D=sum_{i=1}^k(x_i-X_{cp})^2 w_i=sum_{i=1}^k x_i^2 w_i-X_{cp}^2 $$

Выборочное среднее квадратичное отклонение (СКО) определяется как корень квадратный из выборочной дисперсии: $$ sigma=sqrt{D} $$

Например:
Для распределения учеников по росту получаем:

$x_i$	146	154	162	170	178	186	194	∑
(w_i)	0,04	0,07	0,11	0,34	0,33	0,08	0,03	1
(x_iw_i)	5,84	10,78	17,82	57,80	58,74	14,88	5,82	171,68
(x_i^2w_i) — результат	852,64	1660,12	2886,84	9826	10455,72	2767,68	1129,08	29578,08

$$ D=sum_{i=1}^k x_i^2 w_i-X_{cp}^2=29578,08-171,7^2approx 104,1 $$ $$ sigma=sqrt{D}approx 10,2 $$

п.5. Исправленная выборочная дисперсия, стандартное отклонение выборки и коэффициент вариации

Исправленная выборочная дисперсия интервального вариационного ряда определяется как: begin{gather*} S^2=frac{N}{N-1}D end{gather*}

Стандартное отклонение выборки определяется как корень квадратный из исправленной выборочной дисперсии: $$ s=sqrt{S^2} $$

Коэффициент вариации это отношение стандартного отклонения выборки к выборочной средней, выраженное в процентах: $$ V=frac{s}{X_{cp}}cdot 100text{%} $$

Подробней о том, почему и когда нужно «исправлять» дисперсию, и для чего использовать коэффициент вариации – см. §65 данного справочника.

Например:
Для распределения учеников по росту получаем: begin{gather*} S^2=frac{100}{99}cdot 104,1approx 105,1\ sapprox 10,3 end{gather*} Коэффициент вариации: $$ V=frac{10,3}{171,7}cdot 100text{%}approx 6,0text{%}lt 33text{%} $$ Выборка однородна. Найденное значение среднего роста (X_{cp})=171,7 см можно распространить на всю генеральную совокупность (старшеклассников из других школ).

п.6. Алгоритм исследования интервального вариационного ряда

На входе: все значения признака (left{x_jright}, j=overline{1,N})
Шаг 1. Построить интервальный ряд с интервалами (left.right[a_{i-1}, a_ileft.right)) и частотами (f_i, i=overline{1,k}) (см. алгоритм выше).
Шаг 2. Составить расчетную таблицу. Найти (x_i,w_i,S_i,x_iw_i,x_i^2w_i)
Шаг 3. Построить гистограмму (и/или полигон) относительных частот, эмпирическую функцию распределения (и/или кумуляту). Записать эмпирическую функцию распределения.
Шаг 4. Найти выборочную среднюю, моду и медиану. Проанализировать симметрию распределения.
Шаг 5. Найти выборочную дисперсию и СКО.
Шаг 6. Найти исправленную выборочную дисперсию, стандартное отклонение и коэффициент вариации. Сделать вывод об однородности выборки.

п.7. Примеры

Пример 1. При изучении возраста пользователей коворкинга выбрали 30 человек.
Получили следующий набор данных:
18,38,28,29,26,38,34,22,28,30,22,23,35,33,27,24,30,32,28,25,29,26,31,24,29,27,32,24,29,29
Постройте интервальный ряд и исследуйте его.

1) Построим интервальный ряд. В наборе данных: $$ x_{min}=18, x_{max}=38, N=30 $$ Размах вариации: (R=38-18=20)
Оптимальное число интервалов: (k=1+lfloorlog_2⁡ 30rfloor=1+4=5)
Шаг интервального ряда: (h=lceilfrac{20}{5}rceil=4)
Получаем узлы ряда: $$ a_0=x_{min}=18, a_i=18+icdot 4, i=overline{1,5} $$

(left.left[a_{i-1},a_iright.right)) лет

(left.left[18;22right.right))

(left.left[22;26right.right))

(left.left[26;30right.right))

(left.left[30;34right.right))

(left.left[34;38right.right))

Считаем частоты для каждого интервала. Получаем интервальный ряд:

(left.left[a_{i-1},a_iright.right)) лет	(left.left[18;22right.right))	(left.left[22;26right.right))	(left.left[26;30right.right))	(left.left[30;34right.right))	(left.left[34;38right.right))
(f_i)	1	7	12	6	4

2) Составляем расчетную таблицу:

(x_i)	20	24	28	32	36	∑
(f_i)	1	7	12	6	4	30
(w_i)	0,033	0,233	0,4	0,2	0,133	1
(S_i)	0,033	0,267	0,667	0,867	1	—
(x_iw_i)	0,667	5,6	11,2	6,4	4,8	28,67
(x_i^2w_i)	13,333	134,4	313,6	204,8	172,8	838,93

3) Строим полигон и кумуляту

Эмпирическая функция распределения: $$ F(x)= begin{cases} 0, xleq 20\ 0,033, 20lt xleq 24\ 0,267, 24lt xleq 28\ 0,667, 28lt xleq 32\ 0,867, 32lt xleq 36\ 1, xgt 36 end{cases} $$ 4) Находим выборочную среднюю, моду и медиану $$ X_{cp}=sum_{i=1}^k x_iw_iapprox 28,7 text{(лет)} $$ На полигоне модальным является 3й интервал (самая высокая точка).
Данные для расчета моды: begin{gather*} x_0=26, f_m=12, f_{m-1}=7, f_{m+1}=6, h=4\ M_o=x_o+frac{f_m-f_{m-1}}{(f_m-f_{m-1})+(f_m+f_{m+1})}h=\ =26+frac{12-7}{(12-7)+(12-6)}cdot 4approx 27,8 text{(лет)} end{gather*}
На кумуляте медианным является 3й интервал (преодолевает уровень 0,5).
Данные для расчета медианы: begin{gather*} x_0=26, w_m=0,4, S_{me-1}=0,267, h=4\ M_e=x_o+frac{0,5-S_{me-1}}{w_{me}}h=26+frac{0,5-0,4}{0,267}cdot 4approx 28,3 text{(лет)} end{gather*} Получаем: begin{gather*} X_{cp}=28,7; M_o=27,8; M_e=28,6\ X_{cp}gt M_egt M_0 end{gather*} Ряд асимметричный с правосторонней асимметрией.
При этом (frac{|M_o-X_{cp}|}{|M_e-X_{cp}|} =frac{0,9}{0,1}=9gt 3), т.е. распределение сильно асимметрично.

5) Находим выборочную дисперсию и СКО: begin{gather*} D=sum_{i=1}^k x_i^2w_i-X_{cp}^2=838,93-28,7^2approx 17,2\ sigma=sqrt{D}approx 4,1 end{gather*}
6) Исправленная выборочная дисперсия: $$ S^2=frac{N}{N-1}D=frac{30}{29}cdot 17,2approx 17,7 $$ Стандартное отклонение (s=sqrt{S^2}approx 4,2)
Коэффициент вариации: (V=frac{4,2}{28,7}cdot 100text{%}approx 14,7text{%}lt 33text{%})
Выборка однородна. Найденное значение среднего возраста (X_{cp}=28,7) лет можно распространить на всю генеральную совокупность (пользователей коворкинга).

Источник

При систематизации данных выборочных обследований используются статистические дискретные и интервальные ряды распределения.

1. Статистическое дискретное распределение. Полигон.
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем х₁ наблюдалось n₁ раз, х₂ – n₂ раз, х_k – n_k раз и ∑n_i=n — объем выборки. Наблюдаемые значения х₁ называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке – вариационным рядом. Число наблюдений варианты называют частотой, а ее отношение к объему выборки — относительной частотой n_i/n=w_i

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Статистическим (эмпирическим) законом распределения выборки, или просто статистическим распределением выборки называют последовательность вариант х_i и соответствующих им частот n_i или относительных частот w_i.

Статистическое распределение выборки удобно представлять в форме таблицы распределения частот, называемой статистическим дискретным рядом распределения:

x₁	x₂	…	x_m
n₁	n₂	…	n_m

(сумма всех частот равна объему выборки ∑n_i=n)
или в виде таблицы распределения относительных частот:

x₁	x₂	…	x_m
w₁	w₂	…	w_m

(сумма всех относительных частот равна единице ∑w_i=1)

Пример 1. При измерениях в однородных группах обследуемых получены следующие выборки: 71, 72, 74, 70, 70, 72, 71, 74, 71, 72, 71, 73, 72, 72, 72, 74, 72, 73, 72, 74 (частота пульса). Составить по этим результатам статистический ряд распределения частот и относительных частот.

Решение. 1) Статистический ряд распределения частот:

x_i	70	71	72	73	74
n_i	2	4	8	2	4

2) Объем выборки: n=2+4+8+2+4=20. Найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки n_i/n=w_i: w_i=2/20=0.1; w₂=4/20=0.2; w₃=0.4; w₄=4/20=0.1; w₅=2/20=0.2. Напишем распределение относительных частот:

x_i	70	71	72	73	74
w_i	0.1	0.2	0.4	0.1	0.2

Контроль: 0,1+0,2+0,4+0,1+0,2=1.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки, которой соединяют точки (х₁,n₁),(х₂,n₂),…,(х_k,n_k). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты х₂, а на оси ординат – соответствующие им частоты n_i. Точки (х_i,n_i) соединяют отрезками и получают полигон частот.

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки, которой соединяют точки (х₁,w₁),(х₂,w₂),…,(х_k,w_k). Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты х_i, а на оси ординат соответствующие им частоты w_i. Точки (х_i,w_i) соединяют отрезками и получают полигон относительных частот.

Пример 2. Постройте полигон частот и относительных частот по данным примера 1.
Решение: Используя дискретный статистический ряд распределения, составленный в примере 1 построим полигон частот и полигон относительных частот:

2. Статистический интервальный ряд распределения. Гистограмма. Статистическим дискретным рядом (или эмпирической функцией распределения) обычно пользуются в том случае, когда отличных друг от друга вариант в выборке не слишком много, или тогда, когда дискретность по тем или иным причинам существенна для исследователя. Если же интересующий нас признак генеральной совокупности Х распределен непрерывно или его дискретность нецелесообразно ( или невозможно) учитывать, то варианты группируются в интервалы.

Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).

Замечание. Часто h_i-h_i-1=h при всех i, т.е. группировку осуществляют с равным шагом h. В этой ситуации можно руководствоваться следующими эмперическими рекомендациями по выборке а, k и h_i:

1. R_размах=X_max-X_min
2. h=R/k; k-число групп
3. k≥1+3.321lgn (формула Стерджеса)
4. a=x_min, b=x_max
5. h=a+ih, i=0,1…k

Полученную группировку удобно представить в форме частотной таблицы, которая носит название статистический интервальный ряд распределения:

Интервалы группировки	[h₀;h₁)	[h₁;h₂)	…	[h_k-2;h_k-1)	[h_k-1;h_k)
Частоты	n₁	n₂	…	n_k-1	n_k

Аналогическую таблицу можно образовать, заменяя частоты ni относительными частотами:

Интервалы группировки	[h₀;h₁)	[h₁;h₂)	…	[h_k-2;h_k-1)	[h_k-1;h_k)
Отн. частоты	w₁	w₂	…	w_k-1	w_k

Пример 3. Из очень большой партии деталей извлечена случайная выборка объема 50 интересующий нас признак Х-размеры деталей, измеренные с точностью до 1см, представлен следующим вариоционным рядом: 22, 47, 26, 26, 30, 28, 28, 31, 31, 31, 32, 32, 33, 33, 33, 33, 34, 34, 34, 34, 34, 35, 35, 36, 36, 36, 36, 36, 37, 37, 37, 37, 37, 37, 38, 38, 40, 40, 40, 40, 40, 41, 41, 43, 44, 44, 45, 45, 47, 50. Найти статистический интервальный ряд распределения.

Решение. Определим характеристики группировки с помощью замечания.
k≥1+3.321lg50=1+3.32lg(5•10)=1+3.32(lg5+lg10)=6.6
Имеем, a=22, k=7, h=(50-22)/7=4, h_i=22+4i, i=0,1,…,7.

Интервалы группировки	22-26	26-30	30-34	34-38	38-42	42-46	46-50
Частоты n_i	1	4	10	18	9	5	3
Отн.частоты w_i	0.02	0.08	0.2	0.36	0.18	0.1	0.06

Десятичные логарифмы от 1 до 10

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
lnn≈	0	0.3	0.48	0.6	0.7	0.78	0.85	0.9	0.95	1

Наиболее информативной графической формой частот является специальный график, называемы гистограммой частот.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению n_i/h (плотность частоты).

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии n_i/h. Площадь i-го частичного прямоугольника равна h•n_i/h=n_i — сумме частот вариант i-го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению w_i/h (плотность относительной частоты).

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии w_i/h. Площадь i-го частичного прямоугольника равна h•w_i/h=w_i — относительной частоте вариант, попавших в i-й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

Пример 4. Постройте гистограмму частот и относительных частот по данным примера 3.

Выборочная медиана – это середина вариационного ряда, значение, расположенное на одинаковом расстоянии от левой и правой границы выборки.

Выборочная мода – это наиболее вероятное, т.е. чаще всего встречающееся, значение в выборке.

Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.

Регистрация Вход

Источник

Интервальное статистическое распределение

Интервальное статистическое распределение выборки и его числовые характеристики

Двумерное статистическое распределение выборки и его числовые характеристики

Условное статистическое распределение и их числовые характеристики

Корреляционный момент, выборочный коэффициент корреляции

Четное статистическое распределения выборки и его числовые характеристики

Статистическое распределение выборки

Примеры использования формул и таблиц для решения практических задач

Полигон частот

Статистический интервальный ряд распределения.

Интервальный вариационный ряд и его характеристики

п.1. Построение интервального вариационного ряда по данным эксперимента

п.2. Гистограмма и полигон относительных частот, кумулята и эмпирическая функция распределения

п.3. Выборочная средняя, мода и медиана. Симметрия ряда

п.4. Выборочная дисперсия и СКО

п.5. Исправленная выборочная дисперсия, стандартное отклонение выборки и коэффициент вариации

п.6. Алгоритм исследования интервального вариационного ряда

п.7. Примеры

Не пропустите также: