Как составить график исследования

Исследование функции и построение графика

На этой странице мы постарались собрать для вас наиболее полную информацию об исследовании функции. Больше не надо гуглить! Просто читайте, изучайте, скачивайте, переходите по отобранным ссылкам.

Что будет дальше?

Общая схема исследования

Для чего нужно это исследование, спросите вы, если есть множество сервисов, которые построят график онлайн для самых замудренных функций? Для того, чтобы узнать свойства и особенности данной функции: как ведет себя на бесконечности, насколько быстро меняет знак, как плавно или резко возрастает или убывает, куда направлены «горбы» выпуклости, где не определены значения и т.п.

А уже на основании этих «особенностей» и строится макет графика — картинка, которая на самом-то деле вторична (хотя в учебных целях важна и подтверждает правильность вашего решения).

Начнем, конечно же, с плана. Исследование функции — объемная задача (пожалуй, самая объемная из традиционного курса высшей математики, обычно от 2 до 4 страниц с учетом чертежа), поэтому, чтобы не забыть, что в каком порядке делать, следуем пунктам, описанным ниже.

Алгоритм

1. Найти область определения. Выделить особые точки (точки разрыва).
2. Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
3. Найти точки пересечения с осями координат.
4. Установить, является ли функция чётной или нечётной.
5. Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций).
6. Найти точки экстремума и интервалы монотонности.
7. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
8. Найти наклонные асимптоты. Исследовать поведение на бесконечности.
9. Выбрать дополнительные точки и вычислить их координаты.
10. Построить график и асимптоты.

В разных источниках (учебниках, методичках, лекциях вашего преподавателя) список может иметь отличный от данного вид: некоторые пункты меняются местами, объединяются с другими, сокращаются или убираются. Учитывайте требования/предпочтения вашего учителя при оформлении решения.

Схема исследования в формате pdf: скачать.

Полный пример решения онлайн

Провести полное исследование и построить график функции
$$
y(x)=frac{x^2+8}{1-x}.
$$

1) Область определения функции. Так как функция представляет собой дробь, нужно найти нули знаменателя.
$$1-x=0, quad Rightarrow quad x=1.$$
Исключаем единственную точку $x=1$ из области определения функции и получаем:
$$
D(y)=(-infty; 1) cup (1;+infty).
$$

2) Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва. Найдем односторонние пределы:

Так как пределы равны бесконечности, точка $x=1$ является разрывом второго рода, прямая $x=1$ — вертикальная асимптота.

3) Определим точки пересечения графика функции с осями координат.

Найдем точки пересечения с осью ординат $Oy$, для чего приравниваем $x=0$:

Таким образом, точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0;8)$.

Найдем точки пересечения с осью абсцисс $Ox$, для чего положим $y=0$:

Уравнение не имеет корней, поэтому точек пересечения с осью $Ox$ нет.

Заметим, что $x^2+8>0$ для любых $x$. Поэтому при $x in (-infty; 1)$ функция $y>0$ (принимает положительные значения, график находится выше оси абсцисс), при $x in (1; +infty)$ функция $ylt 0$ (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Функция не является ни четной, ни нечетной, так как:

5) Исследуем функцию на периодичность. Функция не
является периодической, так как представляет собой дробно-рациональную функцию.

6) Исследуем функцию на экстремумы и монотонность. Для этого найдем первую производную функции:

Приравняем первую производную к нулю и найдем стационарные точки (в которых $y’=0$):

Получили три критические точки: $x=-2, x=1, x=4$. Разобьем всю область определения функции на интервалы данными точками и определим знаки производной в каждом промежутке:

При $x in (-infty; -2), (4;+infty)$ производная $y’ lt 0$, поэтому функция убывает на данных промежутках.

При $x in (-2; 1), (1;4)$ производная $y’ >0$, функция возрастает на данных промежутках.

При этом $x=-2$ — точка локального минимума (функция убывает, а потом возрастает), $x=4$ — точка локального максимума (функция возрастает, а потом убывает).

Найдем значения функции в этих точках:

Таким образом, точка минимума $(-2;4)$, точка максимума $(4;-8)$.

7) Исследуем функцию на перегибы и выпуклость. Найдем вторую производную функции:

Приравняем вторую производную к нулю:

Полученное уравнение не имеет корней, поэтому точек перегиба нет. При этом, когда $x in (-infty; 1)$ выполняется $y» gt 0$, то есть функция вогнутая, когда $x in (1;+infty)$ выполняется $y» lt 0$, то есть функция выпуклая.

Исследуем поведение функции на бесконечности, то есть при .

Так как пределы бесконечны, горизонтальных асимптот нет.

Попробуем определить наклонные асимптоты вида $y=kx+b$. Вычисляем значения $k, b$ по известным формулам:

Получили, у что функции есть одна наклонная асимптота $y=-x-1$.

9) Дополнительные точки. Вычислим значение функции в некоторых других точках, чтобы точнее построить график.

$$
y(-5)=5.5; quad y(2)=-12; quad y(7)=-9.5.
$$

10) По полученным данным построим график, дополним его асимптотами $x=1$ (синий), $y=-x-1$ (зеленый) и отметим характерные точки (фиолетовым пересечение с осью ординат, оранжевым экстремумы, черным дополнительные точки):

Примеры решений по исследованию функции

Разные функции (многочлены, логарифмы, дроби) имеют свои особенности при исследовании (разрывы, асимптоты, количество экстремумов, ограниченная область определения), поэтому здесь мы пострались собрать примеры из контрольных на исследование функций наиболее часто встречающихся типов. Удачи в изучении!

Задача 1. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить график.

$$y=frac{e^x}{x}.$$

Задача 2. Исследовать функцию и построить ее график.

$$y=-frac{1}{4}(x^3-3x^2+4).$$

Задача 3. Исследовать функцию с помощью производной и построить график.

$$y=ln frac{x+1}{x+2}.$$

Задача 4. Провести полное исследование функции и построить график.

$$y=frac{x}{sqrt{x^2+x}}.$$

Задача 5. Исследовать функцию методом дифференциального исчисления и построить график.

$$y=frac{x^3-1}{4x^2}.$$

Задача 6. Исследовать функцию на экстремумы, монотонность, выпуклость и построить график.

$$y=frac{x^3}{x^2-1}.$$

Задача 7. Проведите исследование функции с построением графика.

$$y=frac{x^3}{2(x+5)^2}.$$

Задача 8. Построить график функции $y=y(x)$, заданной параметрически

$$x=frac{t^2}{t+1}, y=frac{1}{t}-frac{t^3}{3}.$$

Задача 9. Исследовать функцию и построить ее график $r=1+tg phi$.

Задача 10. Исследовать функцию и построить ее график $(x^2+y^2)^3=4x^2y^2$.

Задача 11. Провести полное исследование периодической функции
$y = cos 3x – 2 sin 6x$ и построить её график.

Задача 12. Провести полное исследование и построить график функции $y=f(x)$ с помощью Excel. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-3; -1]$.

$$y=frac{4-x^3}{x^2}.$$

Задача 13. Провести полное исследование и построить график функции.

$$f(x)=frac{x}{2}-arccosfrac{2x}{1+x^2}.$$

Еще примеры исследования функции (контрольные работы)

Как построить график онлайн?

Даже если преподаватель требует вас сдавать задание, написанное от руки, с чертежом на листке в клеточку, вам будет крайне полезно во время решения построить график в специальной программе (или сервисе), чтобы проверить ход решения, сравнить его вид с тем, что получается вручную, возможно, найти ошибки в своих расчетах (когда графики явно ведут себя непохоже).

Ниже вы найдете несколько ссылок на сайты, которые позволяют построить удобно, быстро, красиво и, конечно, бесплатно графики практически любых функций. На самом деле таких сервисов гораздо больше, но стоит ли искать, если выбраны лучшие?

Графический калькулятор Desmos

Desmos.com

Невероятно гибкий и функциональный графический калькулятор. Интутивно понятно вводятся формулы (прямо на ходу преобразуются), автоматически подбираются масштаб и цвета графика для максимальной наглядности. Например, для функции $y(x)=frac{x^3}{4(x-2)^2}$ буквально за минуту построены основной график и асимптоты, вот что получилось:

При этом сайт сам пометил важные точки на графике (см. серым): локальный экстремум, пересечение с осями.

Вы можете менять масштаб, цвета, вид линий; добавлять на график точки, линии, кривые, табличные данные и даже анимацию!

Посмотрите, какую красоту Desmos умеет рисовать (точнее, его пользователи):

Сайт для построения графиков y(x).ru

y(x).ru

Это уже наш продукт, возможно, не такой красивый и интерактивный, но вполне подходящий для учебных целей. Можно строить онлайн несколько графиков одновременно, при этом выбирать и обычный, и параметрический вид, и даже задание в полярных координатах. Цвет и масштаб можно менять вручную. Вот так вводятся графики:

И такой график получается в итоге:

Из минусов можно заметить, что вводить, например, горизонтальные асимптоты не так просто: если в Desmos мы просто написали $x=2$, то здесь пришлось вводить параметрическую функцию $x(t)=2, y(t)=t$. Цвета и масштаб тоже пришлось подбирать вручную (иначе все графики оказались бы красными и мелкими).

Другие сайты

Еще несколько сервисов, которые обладают меньшим удобством/функциональностью, но тоже достойны внимания:

• ru.numberempire.com Можно построить сразу несколько функций, цвета подбираются автоматически, график интерактивный (положение и масштаб меняются мышкой).
• mathsolution.ru Можно строить несколько графиков, выбирая толщину линий и цвет, скрывать/отображать сетку, менять масштаб, сохранять картинки в файл.
• easyto.me При построении нескольких графиков на одном поле предыдущие не редактируются. В остальном функции как у прежних: выбор цвета, толщины линии, масштаба чертежа.
• grafikus.ru Кроме обычных графиков можно также строить трехмерные (3d). Можно построить несколько графиков разного типа (обычный,параметрический, в полярных координатах). Цвет и толщину линии выбрать нельзя. Интерактивности нет

Больше знаний: теория и практика

Еще немного ссылок для тех, кто хочет углубиться в тему. Первая ссылка на теоретический материал, где вы найдете и подробные примеры, и отсылки к предыдущим разделам теории (а исследовать функцию не зная пределов, производных, понятия непрерывности и т.п. нельзя) с не менее подробным объяснением. Все это сдобрено порцией юмора, отчего очень «съедобно» даже для полного чайника в математике: Исследование функций от Александра Емелина.

Вторая ссылка практическая, для тех, кто хочет научиться строить красивые графики в Desmos.com (см. выше описание): Полная инструкция по работе с Desmos. Эта инструкция довольно старая, с тех пор интерфейс сайта поменялся в лучшую сторону, но основы остались неизменными и помогут быстро разобраться с важными функциями сервиса.

Официальные инструкции, примеры и видео-инструкции на английском можно найти тут: Learn Desmos.

Решебник

Срочно нужна готовая задача? Более сотни разных функций с полным исследованием уже ждут вас. Подробное решение, быстрая оплата по SMS и низкая цена — около 50 рублей. Может, и ваша задача уже готова? Проверьте!

Полезные видео-ролики

Вебинар по работе с Desmos.com. Это уже полноценный обзор функций сайта, на целых 36 минут. К сожалению, он на английском языке, но базовых знаний языка и внимательности достаточно, чтобы понять большую часть.

Классный старый научно-популярный фильм «Математика. Функции и графики». Объяснения на пальцах в прямом смысле слова самых основ.

При
выполнении дипломных работ студенты в
основном становятся участниками
сравнительно небольших по объему научных
тем. Поэтому наиболее удобным и наглядным
является построение ленточного графика
проведения научных работ в форме
диаграммы Ганта.

Диаграмма
Ганта
– горизонтальный ленточный график, на
котором работы по теме представляются
протяженными во времени отрезками,
характеризующимися датами начала и
окончания выполнения данных работ.

Для
удобства построения графика, длительность
каждого из этапов работ из рабочих дней
следует перевести в календарные дни.
Для этого необходимо воспользоваться
следующей формулой:

,
(5)

где
Т_кi–
продолжительность выполнения i-й
работы в календарных днях;

Т_рi–
продолжительность выполнения i-й
работы в рабочих днях;

k_кал–
коэффициент
календарности.

Коэффициент
календарности определяется по следующей
формуле:

,
(6)

где

– количество календарных дней в году;

–количество
выходных дней в году;

–количество
праздничных дней в году.

Рассчитанные
значения в календарных днях по каждой
работе
необходимо
округлить до целого числа.

Все
рассчитанные значения необходимо свести
в таблицу (табл. 8).

Таблица
8

Временные
показатели проведения научного
исследования

Примечание:
Варианты
исполнения берутся из раздела 2.

На
основе табл. 8 строится календарный
план-график. График строится для
максимального по длительности исполнения
работ в рамках научно-исследовательского
проекта на основе табл. 9 с разбивкой по
месяцам и декадам (10 дней) за период
времени дипломирования. При этом работы
на графике следует выделить различной
штриховкой в зависимости от исполнителей,
ответственных за ту или иную работу.

Таблица
9

Календарный
план-график проведения НИОКР по теме

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Научные статьи бывают разных размеров и уровней сложности. Не существует единого набора правил, подходящего для каждого проекта, но есть рекомендации, которым вы должны следовать, чтобы не сбиться с пути в течение нескольких недель, пока вы готовитесь, исследуете и пишете. Вы будете выполнять свой проект поэтапно, поэтому вы должны планировать заранее и давать себе достаточно времени для завершения каждого этапа своей работы.

Ваш первый шаг – написать сократить срок сдачи вашей статьи на большом настенном календаре, в планировщике и в электронном календаре.

Планируйте в обратном направлении от этого срока, чтобы определить, когда у вас должна быть завершена работа с библиотекой. Хорошее практическое правило – потратить:

• Пятьдесят процентов своего времени на изучение и чтение.
• Десять процентов вашего времени на сортировку и маркировку ваших исследований
• Сорок процентов вашего времени на написание и форматирование

Временная шкала для Этап исследования и чтения

• 1 неделя для коротких статей с одним или двумя источниками
• 2-3 недели для статей до десяти страниц
• 2-3 месяца на диссертацию

Важно сразу приступить к работе на первом этапе. В идеальном мире мы бы нашли все источники, необходимые для написания статьи, в ближайшей библиотеке. В реальном мире, однако, мы проводим интернет-запросы и находим несколько прекрасных книг и статей, которые абсолютно необходимы для нашей темы, но обнаруживаем, что их нет в местной библиотеке.

Хорошая новость в том, что вы все еще можете получить ресурсы через межбиблиотечный абонемент. Но на это потребуется время. Это одна из веских причин провести тщательный поиск на раннем этапе с помощью справочного библиотекаря.

Дайте себе время собрать много возможных ресурсов для вашего проекта. Вскоре вы обнаружите, что некоторые из выбранных вами книг и статей на самом деле не предлагают никакой полезной информации по вашей конкретной теме. Вам нужно будет сделать несколько походов в библиотеку. Вы не закончите за одну поездку.

Вы также обнаружите, что найдете дополнительные потенциальные источники в библиографиях ваших первых выбранных вами книг. Иногда наиболее трудоемкой задачей является устранение потенциальных источников.

График сортировки и маркировки ваших исследований

• 1 день для короткой статьи
• 3-5 дней для статей до десяти страниц
• 2-3 недели для диссертации

Вы должны прочитать каждый из ваших источников как минимум дважды. Прочтите свои источники в первый раз, чтобы впитать некоторую информацию и сделать заметки на карточках исследований.

Прочитайте свои источники во второй раз быстрее, просматривая главы и установка флажков для заметок на страницах, содержащих важные моменты, или страницах, содержащих отрывки, которые вы хотите процитировать. Напишите ключевые слова на флажках для заметок.

График написания и форматирования

• Четыре дня для короткой статьи с одним или двумя источниками
• 1-2 недели для статей до десяти страниц
• 1-3 месяца для диссертации

Вы ведь не ожидаете, что с первой попытки напишете хорошую статью, не так ли?

Вы можете ожидать, что предварительно напишите, напишите и перепишите несколько черновиков своей статьи. Вам также придется несколько раз переписать свой тезис, когда ваша статья обретет форму.

Не откладывайте написание какого-либо раздела вашей статьи. – особенно вводный абзац. Для писателей совершенно нормально вернуться и завершить введение после того, как остальная часть статьи будет завершена.

Первые несколько черновиков не обязательно должны иметь идеальные цитаты. Как только вы начнете оттачивать свою работу и приближаетесь к окончательному черновику, вы должны ужесточить свои цитаты. Используйте образец эссе, если вам нужно, просто чтобы уточнить форматирование.

Убедитесь, что ваша библиография содержит все источники, которые вы использовали в своем исследовании.

Для того, чтобы построить график функции необходимо провести полное исследование заданной функции. Затем поэтапно, используя полученные результаты, построить график. Как построить график функции? После краткого описания пунктов исследования, приведем ряд примеров по теме построения графиков функции с полным предварительным исследованием.

Приведем примерный алгоритм получения необходимых данных.

1.Нахождение области определения функции

Определение интервалов, на которых функция существует.

!!! Очень подробно об области определения функций и примеры нахождения области определения тут.

2.Нули функции

Для вычисления нулей функции, необходимо приравнять заданную функцию к нулю и решить полученное уравнение. На графике это точки пересечения с осью ОХ.

3.Четность, нечетность функции

Функция четная, если y(-x) = y(x). Функция нечетная, если y(-x) = -y(x). Если функция четная – график функции симметричен относительно оси ординат (OY). Если функция нечетная – график функции симметричен относительно начала координат. 

4.Промежутки знакопостоянства

Расстановка знаков на каждом из интервалов области определения. Функция положительна на интервале — график расположен выше оси абсцисс. Функция отрицательна — график ниже оси абсцисс. 

5. Промежутки возрастания и убывания функции.

Для определения вычисляем первую производную, приравниваем ее к нулю. Полученные нули и точки области определения выносим на числовую прямую. Для каждого интервала определяем знак производной. Производная положительна — график функции возрастает, отрицательна — убывает.

6. Выпуклость, вогнутость.

Вычисляем вторую производную. Находим значения, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Вторая производная положительна — график функции выпукл вверх. Отрицательна — график функции выпукл вниз. 

7. Наклонные асимптоты.

Пример исследования функции и построения графика №1

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №2

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №3

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №4

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №5

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №6

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №7

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №8

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №9

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №10

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №11

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №12

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №13

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №14

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №15

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №16

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №17

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №18

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №19

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №20

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №21

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №22

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №23

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №24

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №25

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №26

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №27

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Содержание:

1. Схема исследования функции и построение ее графика
2. Условия возрастания и убывания функции.
3. Экстремумы функции
4. Наибольшее и наименьшее значения функции
5. Условия выпуклости. Точки перегиба

Схема исследования функции и построение ее графика

График заданной функции можно строить по произвольно взятым точкам. При таком способе можно не обнаружить всех особенностей ее графика.

Проведя предварительно исследования, мы ищем характерные для данного графика точки и тем упрощаем решение задачи о построении графика.

При исследовании функции и построении ее графика целесообразно придерживаться следующей схемы:

Первый этап (использование вида заданной функции).

1) Находим область определения функции, точки разрыва.
2) Исследуем функцию на четность или нечетность, периодичность.
3) Находим асимптоты графика функции.
4) Находим точки пересечения графика функции с осями координат.

Второй этап (использование производной первого порядка).
5) Находим критические точки первого рода, интервалы возрастания и убывания, точки экстремумов и экстремальные значения функции.

Третий этап (использование производной второго порядка).
6) Находим критические точки второго рода, интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба и значения функции в этих точках.

Четвертый этап. Составим таблицу результатов исследования.

Наносим полученные точки, асимптоты на координатную плоскость и строим график функции с учетом точек разрыва, интервалов возрастания и убывания функций, промежутков выпуклости и вогнутости графика функций.

Пример 1. Исследовать функцию y = x³ – 3x² и построить ее график.

Решение.
1) Область определения функции: вся числовая ось .
2) Функция ни четная ни нечетная, поскольку  y (-x) = -x³ — 3x², поэтому y (-x) ≠ y (x) ≠ — y (x).
Функции не периодическая.
3) Вертикальных асимптот график не имеет, потому что нет точек разрыва.

Исследуем, имеет ли график наклонные асимптоты y = kx + b:

Наклонных асимптот график также не имеет.

4) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат: при x = 0, y = 0; то есть точка O (0; 0);
при y = 0:    x³ — 3x² = 0⇒  x² (x – 3) = 0⇒ x = 0 и x = 3,  то есть точка M (3; 0).

Второй этап.
5) Находим производную первого порядка:
y ‘= 3x² – 6 x = 3x (x – 2).

Находим критические точки первого рода:
3x (x – 2) = 0, x₁ = 0, x₂ = 2.

Критические точки разбивают область определения на промежутки (-∞, 0) ∪ (0,2) ∪ (2, ∞) (рис. 19).

Рис. 19.                                                                                                  Рис. 20.

Находим знаки производной в этих промежутках:
y’ (3) = 3⋅ 3 (3 – 2) = 9 > 0,
y’ (1) = 3 ⋅ 1 (1 – 2) = –3 < 0,
y’ (1) = 3 (–1) (–1 – 2) = 9 > 0.

Следовательно, функция возрастает на промежутках (–∞; 0) ∪ (2; ∞), убывает на
промежутке (0; 2).

В точке x = 0 функция имеет максимум, y_max = y (0) = 0.
В точке x = 2 функция имеет минимум,

Третий этап.
6) Находим производную второго порядка:
y»= 6 x – 6 = 6 (x – 1). Находим критические точки второго рода: 6 (x — 1) = 0, x = 1 . Критическая точка x = 1 разбивает область определения на промежутки: (-∞, 1) ∪ (1, ∞) (рис. 20). Находим знаки второй производной в этих промежутках:
y» (0) = 6 (0 – 1) = –6 < 0,
y» (2) = 6 (2 – 1) = 6 > 0.

Следовательно, график функции выпуклый на промежутке (-∞, 1), вогнутый на промежутке (1; ∞). Точка x = 1 является точкой перегиба,
7) Составим таблицу, где занесем все результаты исследования.

Найдем еще дополнительно
y (-1) = (-1) ³ – 3 ⋅ (–1) ² = 4.

Наносим все характерные точки на координатную плоскость и строим график (рис.21).

Рис. 21.

Пример 2. Исследовать функцию и построить ее график.
Решение.

Первый этап.
1) Область определения функции (; 2) ∪ (2; ). Функция имеет разрыв в точке x = 2.

2) Функция ни четная, ни нечетная, поскольку
   и   y (-x) ≠ y (x) ≠ — y (x).
Функция непериодическая.

3) Поскольку в точке разрыва x = 2,
 а   

то прямая x = 2 — вертикальная асимптота.
Исследуем, имеет ли график наклонные асимптоты y = kx + b:

Итак, y = 0 — горизонтальная асимптота.

4) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат: при  x = 0, то есть точка ,   при y = 0 —   x = 3, то есть точка M₁ (3; 0).

Переходим ко второму этапу:
5) Найдем производную первого порядка:

Находим критические точки первого рода:

Учитывая точку x = 2, где производная не существует, разобьем область определения на промежутки (; 2) ∪ (2; 4) ∪ (4; ) (рис.22) и установим знаки первой производной в этих промежутках:

Следовательно, функция возрастает на промежутке (2; 4), убывает на промежутках (; 2) ∪ (4; ) .В точке x = 4 функция имеет максимум,
 Имеем точку 

         
Рис. 22.                                                                                  Рис. 23

Переходим к третьему этапу:
6) Находим вторую производную:

Найдем критические точки второго рода:
  4x – 20 = 0;    x = 5; 

Учитывая точку x = 2, где y» не существует, разбиваем область определения на промежутки: (; 2) ∪ (2, 5) ∪ (5; )  (рис. 23).

Установим знаки второй производной в этих промежутках:

Следовательно, график функции выпуклый на промежутках: (; 2) ∪ (2; 5), вогнута на промежутке (5; ). Точка x = 5 является точкой перегиба,  
Имеем точку Составим таблицу, куда занесем результаты исследования:

Строим график (рис. 24).

Рис. 24.

Условия возрастания и убывания функции.

1) Для того чтобы дифференцируемая на интервале функция строго возрастала на этом интервале, достаточно, чтобы производная была положительна всюду на , т. е.

, .

2) Для того чтобы дифференцируемая на интервале функция возрастала (не убывала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы производная была неотрицательна всюду на , т. е.

, .

3) Аналогично, достаточным условием строгого убывания дифференцируемой функции , , является условие

, ;

необходимым и достаточным условием убывания — условие

, .

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Экстремумы функции

1) Точка называется точкой локального максимума функции , если существует окрестность точки , для всех точек которой верно неравенство

.

Если для всех из некоторой окрестности точки верно строгое неравенство

,

то точка называется точкой строгого локального максимума функции .

Аналогично, если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство

,

то точка называется точкой локального минимума, если для всех из некоторой окрестности точки верно строгое неравенство

,

то точка называется точкой строгого локального минимума.

Для краткости слово “локальный” часто опускают и пишут просто “точка минимума” или “точка строгого максимума”.

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках — ее экстремумами.

2) Необходимые условия экстремума. Если точка является точкой экстремума функции, то либо , либо не существует.

Эти условия не являются достаточными.

Точки, в которых функция определена, а производная функции равна нулю или не существует, называют критическими точками функции. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.

3) Достаточные условия строгого экстремума (с использованием первой производной). Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки , в которой, однако, функция непрерывна. Тогда точка является точкой строгого максимума, если существует окрестность точки , в которой

при и при

При выполнении условий (1) принято говорить, что производная функции при переходе через точку меняет знак плюс на знак минус.

Если же

при и при

т. е. если производная при переходе через точку меняет знак минус на плюс, то — точка строгого минимума.

4) Условия строгого экстремума (с использованием производных высших порядков). Пусть функция имеет в точке производные до порядка включительно. Тогда если

а

то при четном точка является точкой строгого экстремума, причем точкой максимума, если , и точкой минимума, если ; при нечетном экстремума в точке нет.

В частности, если

, a ,

то в точке имеется строгий максимум в случае и строгий минимум в случае .

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Наибольшее и наименьшее значения функции

функции, непрерывной на отрезке, существуют на этом отрезке точка, в которой функция принимает наибольшее значение, и точка, в которой функция принимает наименьшее значение (теорема Вейерштрасса).

Пусть функция непрерывна на отрезке и имеет на нем локальных максимумов в точках . Тогда наибольшее значение функции на отрезке равно наибольшему из чисел

Аналогично, если функция непрерывна на отрезке и имеет на нем локальных минимумов в точках , то ее наименьшее значение на этом отрезке равно наименьшему из чисел

Условия выпуклости. Точки перегиба

1) Функция называется выпуклой вниз (или вогнутой вверх) на интервале , если для любых точек и этого интервала и любых чисел и таких, что , верно неравенство

Геометрический смысл выпуклости вниз функции на интервале заключается в том, что точки любой дуги графика функции расположены не выше хорды, стягивающей эту дугу (рис. 20.1). Если функция выпукла вниз на некотором интервале, то ее график тоже называют выпуклым вниз.

Если при тех же условиях относительно выполняется неравенство

то функция называется выпуклой вверх (или вогнутой вниз).

В том случае, когда при и , неравенство (4) или (5) является строгим, функция называется строго выпуклой вниз или соответственно строго выпуклой вверх на интервале .

Например, функция строго выпукла вниз на всей числовой оси.

Всякий интервал, на котором функция (строго) выпукла вниз, называется интервалом (строгой) выпуклости вниз этой функции; интервал, на котором функция (строго) выпукла вверх — интервалом (строгой) выпуклости вверх этой функции.

Интервалы выпуклости вверх и интервалы выпуклости вниз называют интервалами выпуклости.

2) Условия выпуклости функции. Для того чтобы функция , дважды дифференцируемая на интервале , была выпуклой вниз на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы вторая производная была неотрицательна на , т. е.

Условие

является достаточным условием строгой выпуклости вниз функции на интервале .

Условие (7) не является необходимым для строгой выпуклости. В самом деле, функция строго выпукла вниз на всей числовой прямой, однако ее вторая производная равна нулю в точке .

Аналогично, для функции , имеющей на интервале вторую производную, необходимым и достаточным условием выпуклости вверх на этом интервале является условие

а достаточным условием строгой выпуклости вверх — условие

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки . Если существуют интервалы

и , ,

на одном из которых строго выпукла вниз, а на другом строго выпукла вверх, то говорят, что при переходе через точку функция меняет направление выпуклости. .

3) Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , непрерывна в точке и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда если функция при переходе через точку меняет направление выпуклости, то точка называется точкой перегиба функции . В этом случае точку называют точкой перегиба графика функции .

Если — точка перегиба графика / функции , то график функции переходит с одной стороны касательной к нему в этой точке на другую ее сторону. Заметим, что обратное утверждение неверно (см. задачу 62).

На рис. 20.2 и рис. 20.3 представлены график функции и график обратной ей функции , для которых точка является точкой перегиба. Функция в точке имеет бесконечную производную.

Функция (рис. 20.4)

при переходе через точку меняет направление выпуклости, в точке имеет бесконечную производную, однако точка не является для нее точкой перегиба, так как при функция разрывна. Для функции точка (рис. 20.5) не является точкой перегиба, поскольку при переходе через точку направление выпуклости

не меняется (это так называемая точка возврата). При переходе через точку функция

меняет направление выпуклости, но точка не является для нее точкой перегиба (рис. 20.6), так как в этой точке у функции нет ни конечной, ни бесконечной производной (это так называемая угловая точка).

4) Необходимые условия существования точки перегиба. Если точка является точкой перегиба функции , то либо , либо не существует.

Эти условия не являются достаточными. В самом деле, для функции вторая производная в точке равна пулю, а для функции

вторая производная в точке не существует, по ни для , пи для точка не является точкой перегиба.

Точки перегиба функции следует искать среди критических точек ее первой производной.

5) Достаточные условия существования точки перегиба (с использованием второй производной). Пусть функция дифференцируема в точке и дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки . Тогда точка является точкой перегиба функции , если существует окрестность точки , в которой либо

при и при

либо

при и при

В этом случае принято говорить, что при переходе через точку вторая производная меняет знак.

6) Условия существования точки перегиба (с использованием производных высших порядков). Пусть функция имеет в точке производные до порядка включительно, и пусть

тогда если — нечетное число, то — точка перегиба; если же — четное число, то не является точкой перегиба.

В частности, если

то — точка перегиба функции .

Примеры с решением

Пример 1.

Найти интервалы возрастания и убывания функции:

1) ;

3)

1) Данная функция всюду дифференцируема, причем

Так как при и и при , то на интервалах и функция строго возрастает, а на интервале строго убывает.

2) Функция дифференцируема на всей числовой прямой, причем

Так как при всех , то данная функция является невозрастающей на всей числовой оси. На интервале она постоянна, на интервале строго убывает.

3) Данная функция является четной, поэтому достаточно найти интервалы монотонности при . Решая при неравенство

получаем

или ,

откуда

или .

Таким образом, на интервалах и , , функция строго возрастает. На интервалах , , очевидно, справедливо неравенство , и поэтому на этих интервалах функция строго убывает. Если , то, используя четность функции, получаем, что на интервалах , , функция строго возрастает, а на интервалах , , строго убывает.

Следует обратить внимание на то, что данная функция не является монотонной ни в какой окрестности точки . В любой окрестности этой точки содержится счетное множество интервалов возрастания и счетное множество интервалов убывания данной функции.

Пример 2.

Найти точки экстремума функции .

Функция имеет производную при всех , причем

Следовательно, у функции может быть только один экстремум в точке . Так как при и при , то точка является точкой строгого минимума.

Пример 3.

Найти экстремумы функции

Так как

то критические точки функции — и . Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку производная меняет знак плюс на знак минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку производная меняет знак минус па плюс, поэтому в точке у функции минимум.

Тот же результат можно получить, используя вторую производную. Так как и , а , то в точке функция имеет максимум, а в точке — минимум.

Вычислив значения функций в точках и , найдем экстремумы функции: максимум и минимум .

Пример 4.

Исследовать на экстремум функцию:

1)

2)

3)

1) Функция определена и дифференцируема при всех , кроме точки . Вычисляем ее производную:

и находим критические точки: и . Легко видеть, что существует окрестность точки , в которой , т. е. при

переходе через точку знак производной не изменяется. Следовательно, эта критическая точка не является точкой экстремума. В точке функция имеет строгий минимум, так как существуют левая окрестность этой точки, в которой , и правая окрестность этой точки, в которой . Вычисляя значение функции при , находим минимум:

2) Функция определена и непрерывна при всех . Вычисляем ее производную:

В точках , производная не существует. Таким образом, функция имеет три критические точки: , , . При переходе через точку производная не меняет знака, поэтому критическая точка не является точкой экстремума. При переходе через точку производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке функция имеет минимум. При переходе через точку производная меняет знак плюс на минус, поэтому — точка максимума. Минимум функции равен , а максимум равен .

3) Функция дифференцируема при всех . Так как и уравнение имеет только одно решение, а именно , то экстремум может быть только в точке . Вычисляем вторую производную:

Поскольку , находим следующие производные в точке :

Таким образом, первой не равной нулю оказалась производная четного порядка. Следовательно, в точке функция имеет экстремум. Так как , то при у функции минимум, равный

Пример 5.

Исследовать на экстремум функцию , заданную параметрически уравнениями

Функции и дифференцируемы при всех значениях параметра , причем производная

при положительна. Поэтому при можно найти по формуле . Так как

то

Производная равна нулю только при , поскольку при всех . Следовательно, у данной функции две критические точки: (при ) и (при ). Если принадлежит левой окрестности точки , то параметр принадлежит левой окрестности точки , где .

В некоторой правой окрестности точки производная . Поэтому в точке функция имеет максимум, равный . Аналогично убеждаемся в том, что при переходе через точку , соответствующую значению , производная меняет знак минус на плюс. Таким образом, в точке у функции минимум, равный