Как составить диагональную матрицу

Пусть линейный оператор . Рассмотрим в произвольный базис . Пусть в этом базисе линейному оператору соответствует матрица . Существует ли такой базис в пространстве , в котором матрица линейного оператора была бы диагональной?

Очевидно, если такой базис существует, то по Свойству 1 (п. 3.6) диагонализация матрицы произойдет в результате преобразование подобия.

Имеет место следующая

Теорема. Если в существует базис из собственных векторов линейного оператора то матрица линейного оператора будет диагональной в этом базисе.

Выясним, при каких условиях существует базис из собственных векторов линейного оператора.

Пусть – собственные значения линейного оператора кратностей , причём . Если для каждого существует собственных векторов – решений ФСР соответствующей однородной СЛАУ, то существует базис из собственных векторов, а значит, матрицу линейного оператора можно привести к диагональному виду. В частности, если , т. е. спектр линейного оператора простой, то базис из собственных векторов существует. Однако, если среди корней характеристического уравнения найдётся хотя бы одна пара комплексно-сопряжённых, то в вещественном линейном пространстве не существует базиса из собственных векторов.

Покажем, например, что, если спектр простой, то матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов будет диагональной.

Рассмотрим квадратную матрицу , в столбцах которой стоят координаты собственных векторов , соответствующих собственным значениям . Это означает, что матрица является матрицей перехода к базису из собственных векторов. Очевидно, в этом случае , т. е. матрица – невырожденная, и для неё существует обратная – Из определения собственных векторов линейного оператора следует, что

(16)

Где – векторы-столбцы, соответствующие собственным векторам линейного оператора . Равенство (16) можно записать в более компактной форме:

(17)

Где – диагональная матрица, у которой на главной диагонали расположены собственные числа т. е.

Умножим обе части равенства (17) слева на матрицу :

или (18)

Это означает, что матрица линейного оператора при переходе к базису из собственных векторов станет диагональной в результате преобразования подобия (18).

Пример 14. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного в некотором базисе матрицей . Построить, если это возможно, базис из собственных векторов линейного оператора и найти матрицу линейного оператора в этом базисе. Выполнить проверку.

Решение. Составим характеристическое уравнение:

Найдём собственные векторы линейного оператора:

;

Т. е.

Собственные значения линейного оператора различны, значит, собственные векторы линейно независимы, т. е. образуют базис. В этом базисе матрица линейного оператора будет диагональной:

.

Матрица перехода к базису из собственных векторов .

Проверим правильность проведенных вычислений. По формуле (7) Найдём :

.

Тогда

Ответ: .

Пример 15. Линейный оператор в некотором базисе задан матрицей Существует ли базис из собственных векторов линейного оператора ?

Решение. Составим характеристическое уравнение:

Собственные значения линейного оператора Найдём соответствующие им собственные векторы: Т. е. . Все остальные собственные векторы имеют вид . Это означает, что базис из собственных векторов не существует.

Пример 16. Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора , заданного в некотором базисе матрицей . Можно ли привести матрицу к диагональному виду?

Решение. Составим характеристическое уравнение:

Т. е.

Или

Собственные значения линейного оператора Найдём собственные векторы:

Эта система эквивалентна следующей:

Т. е. ФСР этой системы состоит из одного решения, например, Собственным значениям и соответствует собственный вектор . Другие собственные векторы, соответствующие собственным значениям и , могут быть получены из умножением на произвольное вещественное число. Например, .

Так как , то значит,

линейно зависимы, значит, совокупность собственных векторов также линейно зависима, т. е. собственные векторы линейного оператора не образуют базис в . Поэтому матрица не может быть приведена к диагональному виду.

Литература: [3, 4, 5, 7, 10].

Во
многих практических задачах бывает
важно привести матрицу линейного
преобразования к простейшей форме.
Очевидно, простейшей формой для матрицы
является диагональная форма. В настоящей
главе мы рассмотрим достаточные условия
того, чтобы, за счет выбора базы линейного
пространства, можно было получить
диагональную матрицу линейного
преобразование
.

Для
решения этой задачи сначала докажем
теорему, непосредственно использующую
определение собственных значений и
собственных векторов линейного
преобразования:

►Действительно,
равенство:

==
равносильно тому, что в
—
ой строке матрицы преобразования

в указанной базе, равны нулю все элементы,
стоящие вне главной диагонали, а на
главной диагонали стоит число
:

=

·.

◄

Следующая теорема
устанавливает важное отношение между
собственными векторами:

►Допустим,
что всё-таки нашлись такие, не равные
нулю, числа

и
,
что выполняется равенство: +=0. (16)

Применим
к (16) преобразование
:

+=0,
и вычтем из этого равенства равенство
(16), умноженное на число
.
Получим невозможное равенство:

(–)=0,

так
как по условию собственные числа

и

— различны.

◄

Следствие:
Всякая матрица, все
характеристические корни которой
действительны, подобна
диагональной матрице, то есть матрица
преобразования

приводится
к диагональной форме,
если существует база
,
составленная из собственных векторов
линейного преобразования
.
Рассмотренные примеры достаточно полно
иллюстрируют особенности поиска
диагональной матрицы для разных линейных
преобразований
.

☺☺

Пример
10–15:Найти собственные
векторы линейного преобразования
,
заданного в некотором базисе
матрицей:
.

Решение:

1).
Составляем характеристический многочлен
и находим его корни, используя свойства
определителя и правила нахождения
корней многочлена:

===,

откуда
корни многочлена
:

=
-1,

= 6.

2).
Записываем систему уравнений для
нахождения собственных векторов
линейного преобразования, соответствующим
найденным собственным значениям:
(A)

3).
Для собственного значения
=
-1 система (A)
принимает вид:

Так
как определитель системы равен нулю,
то независимых уравнений только одно.
Назначаем свободной неизвестной
=–,
тогда

=
,
получаем собственный вектор:
=(1,
-1).

4).
Для собственного значения
=
6 система (A)
принимает вид:

Так
как определитель системы равен нулю,
то независимых уравнений только одно.
Назначаем свободной неизвестной
=5,
тогда

=2,
получаем собственный вектор:
=(2,
5).

3)
Построим базис из собственных векторов

и составляем для этого базиса диагональную
матрицу линейного преобразования:
=.

Ответ:
собственные значения:
=
-1,

= 6; собственные векторы:
=
-1 имеем:
=(1,
-1), для
=
6
имеем:

=(2,
5).
Диагональная
форма матрицы линейного преобразования
в базисе

имеет простейший вид:
.

Пример
10–16:Линейное
преобразование
,
заданного матрицей:
в некотором базисе пространства
.Можно ли привести матрицу преобразования
к диагональному виду. Если можно, найти
базис, в котором такая запись возможна.

Решение:

1).
Составляем характеристический многочлен
и находим его корни, используя свойства
определителя и правила нахождения
корней многочлена:

==
(1)
==
(2)
→

=(1–)·=
(3)
=(1–)·=
(4)
→

=(1–)·=
(5)
=–(1–)·(1+)·=

.

Выполнены
операции:
(1):
[R1]+[R2]+[R3]+[R4].
(2):
вынесен общий множитель первой строки.
(3):
[R4]–[R1].
(4):
разложим определитель по первому
столбцу. (5):
разложим
определитель по третьему столбцу.

Получены
характеристические корни: ==1,
==–1.

2).
Записываем систему уравнений для
нахождения собственных векторов
линейного преобразования, соответствующим
найденным собственным значениям:
(A)

3).
Для собственного значения =
1 система (A)
принимает вид:

или

(B)

Ранг
системы уравнений (B)
равен двум. Это значит, что ФСР этой
системы уравнений содержит два независимых
решения. Примем: =,=.
Найдём
фундаментальную систему решений для
системы (B):

	x1	x2	x3	x4
α1	0	1	1	0
α2	1	0	0	1

Векторы-решения
иесть ФСР для=1,
тогдасобственные
векторы: =(0,1,1,0),
=(1,0,0,1).

4).
Для собственного значения =–1
система (A)
принимает вид:

или

(C)

Ранг
системы уравнений (C)
равен двум. Это значит, что ФСР этой
системы уравнений содержит два независимых
решения. Примем: =,=.
Найдём
фундаментальную систему решений для
системы (C):

	x1	x2	x3	x4
α1	0	1	-1	0
α2	1	0	0	-1

Векторы-решения
иесть ФСР для=–1,
тогдасобственные
векторы: =(0,1,-1,0),
=(1,0,0,-1).

5).
В соответствии с теоремой 10.4 совокупность
векторов ,
,
,

независима, и её достаточно, чтобы
построить базу линейного пространства
.
Это значит: матрица заданного линейного
преобразования к диагональному виду
приводится.

Ответ:
матрица
приводится к диагональному виду:

в базе: =(0,1,1,0),
=(1,0,0,1),
=(0,1,-1,0),
=(1,0,0,-1).

☻

Набор поясняющих
примеров иллюстрирует наиболее сложные
теоретические вопросы и предлагает
рациональные схемы вычислений участвующих
величин.

Соседние файлы в папке ЛА и АГ пособие

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Матрица А линейного оператора А при замене базиса преобразуется согласно формуле А’ = U^-1AU, где U — матрица перехода (см. теорему 4.6). Если речь идет об евклидовом пространстве и переходе из одного ортонормированного базиса в другой, матрица перехода U является ортогональной (см. теорему 7.5). Согласно свойству 7.2, такая матрица удовлетворяет соотношению U^-1 = U^T. Поэтому для случая ортонормиро- ванных базисов формулу преобразования матрицы линейного оператора можно записать следующим образом:

А’ = U^TAU. (7.5)

Теорема 7.7. Для любой симметрической матрицы М существует такая ортогональная матрица U, что U^TMU = Λ, где Λ = diag(λ₁, …, λ_n) — диагональная матрица, диагональными элементами которой являются собственные значения матрицы М, повторяющиеся согласно их кратности.

◄ Доказательство теоремы основано на следствии 6.4, теореме 7.5 и свойстве 7.2. Согласно следствию 6.4, для симметрической матрицы М порядка n существует такая невырожденная матрица Р, что Р^-1МР = Λ = diag(λ₁, …, λ_n), где в последовательности λ₁, …, λ_n указаны все собственные значения матрицы М с учетом их кратностей. Из доказательства того же следствия вытекает, что Р является матрицей перехода между ортонормированными базисами. Поэтому Р — ортогональная матрица (см. теорему 7.5) и Р^-1 = Р^T (см. свойство 7.2). Следовательно, Р^TМР = Р^-1МР = Λ, т.е. в качестве матрицы U в формулировке теоремы можно взять Р. ►

Преобразование (7.5) с ортогональной матрицей U иногда называют ортогональным преобразованием матрицы А. Поэтому теорему 7.7 можно сформулировать так: любая симметрическая матрица ортогональным преобразованием приводится к диагональному виду. Чтобы найти соответствующую матрицу U, о которой говорится в этой теореме, необходимо:

1) найти собственные значения матрицы М;

2) для каждого собственного значения найти набор собственных векторов, соответствующих этому собственному значению, при этом эти собственные векторы должны быть линейно независимыми и их количество должно равняться кратности собственного значения;

3) преобразовать системы собственных векторов, полученные для каждого собственного значения, в ортонормированные при помощи процесса ортогонализации Грама — Шмидта. Объединить ортонормированные системы для каждого собственного значения в единую систему векторов, которая будет ортонормированным базисом евклидова пространства;

4) выписать матрицу U, столбцами которой являются координаты векторов построенной ортонормированной системы.

Пример 7.4. Найдем ортогональное преобразование, приводящее симметрическую матрицу

к диагональному виду.

1. Находим собственные значения матрицы А. Для этого составляем ее характеристическое уравнение

Это уравнение третьей степени. Так как его коэффициенты являются целыми числами, то целое число может быть его корнем лишь в случае, если оно делитель свободного члена. Поэтому мы можем поискать корни среди чисел ±1, ±2, ±5. Подстановкой в уравнение убеждаемся, что одним из корней является λ₁ = 1.

Найденный корень позволяет разложить левую часть харак-теристического уравнения на линейный и квадратичный мно-жители, например, при помощи деления характеристического многочлена на х — 1 «в столбик»

Получаем разложение

(λ — 1)(λ² — 11λ + 10) =0,

откуда находим оставшиеся два корня λ₂ = 1, λ₃ = 10. Таким образом, имеются два собственных значения: 1 кратности 2 и 10 кратности 1.

2-3. Найдем для собственного значения λ_1,2 = 1 кратности 2 два линейно независимых собственных вектора. Для этого нужно найти фундаментальную систему решений однородной системы линейных алгебраических уравнений (А — Е)х = 0, т.е. системы

Ранг матрицы этой системы равен единице (все строки матрицы системы пропорциональны), поэтому можно отбросить второе и третье уравнения, оставив первое

х₁ + 2x₂ — 2х₃ = 0.

В качестве независимых переменных выбираем x₂, х₃. Фундаментальную систему решений составляют x₂ = 1, х₃ = 0, х₁ = — 2 и x₂ = 0, х₃ = 1, x₁ = 2, т.е. векторы

Найденные собственные векторы, соответствующие собственному значению λ_1,2 = 1, линейно независимы, но ортогональными не являются. Построим по ним другую, ортонормированную пару собственных векторов е₁, e₂ при помощи метода ортогонализации Грама — Шмидта:

Для собственного значения λ₃ = 10 система линейных алгебраических уравнений имеет вид (А — 10Е)х = 0, или

В качестве ее фундаментальной системы решений можно взять одно ненулевое решение, например вектор b₃ = (1 2 -2)^T . Нормируя этот вектор, получаем

Найденные векторы e₁, е₂, е₃ образуют ортонормированный базис из собственных векторов.

4. Составим из найденных векторов е_i матрицу

которая и является искомой.

Убедиться в том, что матрица U определена правильно, можно при помощи подстановки матрицы U и заданной матрицы А в следующее тождество:

Замечание 7.4. В случае n = 3 при λ₁ = λ₂ ≠ λ₃ собственные векторы удобнее с точки зрения экономии вычислений находить в следующем порядке. Сначала для собственного значения кратности 1 (λ₃ = 10 в рассмотренном примере) найти собственный вектор и нормировать его. Обозначим полученный вектор, например, е₃. Затем для собственного значения кратности 2 (λ_1,2 = 1 в рассмотренном примере) найти один собственный вектор и нормировать его. Получим вектор e₁. Векторы е₁ и е₃ будут ортогональными согласно теореме 6.4. Недостающий третий вектор ортонормированного базиса может быть найден при помощи векторного произведения: е₂ = e₁ × е₃.

Описанный прием позволяет избежать процесса ортогона- лизации. Точно так же можно не применять процесс ортогона- лизации при n = 2, так как, зная один вектор е₁ ортонормированного базиса, мы можем получить второй поворотом первого на 90°. Для этого достаточно поменять две координаты вектора e₁ местами, а у первой из них к тому же изменить знак. При n > 3 приемов, аналогичных описанным, нет.

Вопросы и задачи

1. Опишите множество всех ортогональных матриц второго порядка.
2. Пользуясь результатами задачи 7.1, докажите, что любой ортогональный оператор в евклидовом пространстве V₂ является либо поворотом вектора на некоторый угол, либо симметрией относительно некоторой прямой, либо произведением таких операторов.
3. Докажите, что произведение ортогональных операто-ров является ортогональным оператором. Можно ли утверждать, что: а) сумма ортогональных операторов есть ортогональный оператор? б) произведение ортогонального оператора на число есть ортогональный оператор?
4. Докажите, что линейный оператор А в евклидовом пространстве тогда и только тогда является ортогональным, когда А*А = I.
5. Докажите, что если Н — инвариантное подпростран-ство для ортогонального оператора А, то и H^⊥ — тоже инвариантное подпространство этого оператора.
6. Докажите, что собственными значениями ортогонального оператора могут быть лишь числа 1 и -1.
7. Приведите пример ортогонального оператора, не имеющего собственных векторов. Какой может быть размерность евклидова пространства, в котором есть такие операторы?
8. Докажите, что любой ортогональный оператор в пространстве V₃ имеет собственный вектор. Используя результаты задач 7.2 и 7.5, опишите множество ортогональных операторов в V₃.
9. Докажите, что любому перемещению твердого тела вокруг неподвижной точки из одного положения в другое соответствует ортогональный оператор в пространстве V₃ и что эти положения связаны между собой вращением тела вокруг неподвижной оси. Эта ось проходит через неподвижную точку и параллельна собственному вектору указанного ортогонального оператора.
10. Приведите пример оператора, одновременно являющегося и самосопряженным, и ортогональным.
11. Приведите к диагональному виду ортогональным преобразованием следующие симметрические матрицы:

1. Линейные операции над векторами

2. Базис. Cкалярное произведение

3. Векторное и смешанное произведения векторов

4. Декартова система координат. прямая на плоскости

5. Плоскость в пространстве

6. Прямая в пространстве

7. Кривые второго порядка — I

8. Кривые второго порядка — II

9. Поверхности второго порядка

10. Матрицы и операции с ними

11. Обратная матрица

12. Ранг матрицы

13. Системы линейных алгебраических уравнений

14. Свойства решений однородных и неоднородных СЛАУ