Как с помощью графика составить уравнение

Построение графиков функций

О чем эта статья:

11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
Графический способ — наглядно.
Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
Словесный способ.

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида область определения выглядит так

х ≠ 0, потому что на ноль делить нельзя. Записать можно так: D (y): х ≠ 0.

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Отметим любые три точки на координатной плоскости, например: L (-2; -2), M (0; 0) и N (1; 1).

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

стационарные и критические точки;
точки экстремума;
нули функции;
точки разрыва функции.

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

Найти область определения функции.
Найти область допустимых значений функции.
Проверить не является ли функция четной или нечетной.
Проверить не является ли функция периодической.
Найти нули функции.
Найти промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна.
Найти асимптоты графика функции.
Найти производную функции.
Найти критические точки в промежутках возрастания и убывания функции.
На основании проведенного исследования построить график функции.

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.

Задача 1. Построим график функции

Упростим формулу функции:

при х ≠ -1.

График функции — прямая y = x — 1 с выколотой точкой M (-1; -2).

Задача 2. Построим график функции

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.

Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b

Как видим, k = 3 > 0 и угол наклона к оси Ox острый, b = -1 — смещение по оси Oy.

k = -1 > 0 и b = 2 можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.

k = 0 — константная функция, прямая проходит через точку b = -1 и параллельно оси Ox.

Задача 5. Построить график функции

Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.

Нули функции: 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.

Вот так выглядит график:

Задача 6. Построить графики функций:

б)

г)

д)

Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.

а)

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

Сдвигаем график вверх на 1:

б)

Преобразование в одно действие типа f(x — a).

Сдвигаем график вправо на 1:

В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках f(x — a), затем сложение f(x) + a.

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вверх на 2:

г)

Преобразование в одно действие типа

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Мы видим три преобразования вида f(ax), f (x + a), -f(x).

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:

Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:

Методика организации решения уравнений графическим способом как средство формирования графических умений у учащихся

Разделы: Математика

Графический метод обладает рядом преимуществ:

он часто проще аналитического;
обладает наглядностью. Особенно когда нет решений или требуется установить количество корней.
он красив и доставляет эстетическое наслаждение. Выполнять графики нужно в цвете. Это помогает в выборе ответа.

Умение строить графики функций не является самоцелью. Часто построение графиков связано с исследованием поведения функций. Однако необходимость построения графиков облегчают нахождение решений уравнений и неравенств, сокращая или упрощая аналитические выкладки и часто при этом являются единственным методом решения таких задач. Графический метод решения способствует лучшему усвоению ряда понятий: функции, корней уравнения и неравенства, систем уравнений. При этом целесообразно при графическом решении уравнений устанавливать связи с такими свойствами функций как возрастание и убывание, знакопостоянство, обращение функции в ноль и т.д., что помогает глубже понять функциональную зависимость между величинами. Изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи и порой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить график представляет большой самостоятельный интерес. Материал, связанный с построением графиков функций, в средней школе изучается недостаточно полно с точки зрения требований, предъявляемых на экзаменах. Поэтому задачи на построение графиков нередко вызывают затруднения у учащихся.

Для того, чтобы по графикам можно было получать достаточно приемлемые числовые ответы, графики должны быть особенно тщательно построены. Решается задача организации работы таким образом, чтобы выработать навыки быстрого построения графиков элементарных функций и их преобразований. Работа над формированием графических умений начинается с 5-го класса.

Изящно выполненная работа способствует развитию чувства красоты, удовлетворения от проделанной работы.

Изучение поведения функций и построение их графиков являются важным разделом школьного курса. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать сложные задачи, а порой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой интерес для самих учащихся. Однако на базе основной школы материал, связанный с этим вопросом, представлен несколько хаотично, изучается недостаточно полно, многие важные моменты не входят в программу.

Цель – прояснить и дополнить школьный материал, связанный с функциями и построение их графиков, применением их к решению уравнений, их систем.

В требованиях к уровню подготовки выпускников по разделу «Функции и графики» прописано:

решать уравнения, системы уравнений, используя свойства функций и их графические представления;
находить приближённые решения уравнений и их систем, используя графический метод.

В преподавание алгебры по учебнику под редакцией А.С.Теляковского. Линейная функция и функции у=х 2 , у=х 3 изучаются в 7 классе. Практически не вырабатываются навыки в применении графиков этих функций. Единственное упражнение: найти координаты точек пересечения графиков функций у=8,5х и у=0,5х-19,5. графики линейных функций только иллюстрируют решение систем линейных уравнений.

Автор вводит некоторые упражнения, необходимые в дальнейшем при решении уравнений и их систем:

— постройте в одной и той же координатной плоскости а) у=х 2 ; у=4; б) у=х 2 ; у=2х.

— изобразите схематически графики функций у = -0,9х + 4; у = 2,3х; у = х/10 . Но упражнения вводятся как дополнительные. И в «Задачах повышенной трудности» (в конце учебника) есть уравнения, которые тоже можно решать графическим способом: |х -3| = 7; |х+2| = 9; |4 — х| = 1,5.

В 8 классе изучаются функции у = к/х; у =. Представлены функции у = 4/|х|, у = -6/|х|.

— Могут ли графики функций у=к/х и у = ах +в пересекаться

а) в одной точке;

б) в двух точках;

в) в трёх точках.

— Могут ли графики функций у = к/х и у = ах +в пересекаться в двух точках, лежащих

а) в одной четверти;

б) в первой и второй четвертях;

в) в первой и третьей четвертях.

Опять же эти упражнения в дополнительных.

В 8 классе обучающихся знакомят с графическим способом решения уравнений (8/х = -х+6; (8/х = х 2 ). Появляются уравнения третьей степени, которые не решаются аналитическим способом. (х 3 — х + 1 = 0; х 3 + 2х — 4=0) На изучение этой темы отводится 1 час.

В 9 классе подробно изучается квадратичная функция и её график. Получены обучающимися представления о преобразовании графического объекта относительно осей координат. Именно в это время отрабатываются навыки в построении параболы. Но данные преобразования почти не переносятся на преобразования других графических объектов. Хотя есть два упражнения, которые соотносятся с заданиями, встречающимися в материалах ЕГЭ.

На рисунке изображён график одной их функций . Какой именно?

— Какой из трёх графиков, изображённых на рисунке, является графиком функции у = |х -2|

Сделаны попытки преобразования графических объектов.

— Какие преобразования надо выполнить, чтобы

а) из графика функции у=х 3 получить графики функций у = — х 3 ; у = (х-3) 3 ; у = х 3 + 4.

б) из графика функции у = получить графики функций у = — ;

— Постройте в одной координатной плоскости графики функций у = | х|; у =|х -4| ; у = |х -4|-3.

В учебнике 9 класса в главе «Целое уравнение и его корни» упоминается графический способ уравнений третьей и более высокой степени как один из способов наряду с разложением на множители.

Поэтому: уже в 7 классе строим графики функций у = | х| — 3, у = 4 — | х|; у =|х +4|; у = | х — 3|.

При построении параболы вводим первые преобразования:

— построить графики функций у = х 2 +3; у=х 2 -5, где смещение по оси ординат. А затем у = (х+2) 2 ; у = (х-1) 2 . Конечно, не все ученики усваивают, впрочем, как и всё содержание материала. Для успешных учеников это не сложно. Тем более это только пропедевтика.

В 8-м классе: Урок-практикум.

Тема: «График функции у = . Графический способ решения иррациональных уравнений»

Цель: отработать навыки в преобразовании графика функции у = , закрепить умения графически решать иррациональные уравнения.

I. Фронтально

1). Схематически в одной системе координат изобразить графики функций

2). Решить уравнения

II. Построить графики функций

III. Решение уравнений

X 2 -3 =

В 8 классе строим преобразования гиперболы и графика функции у = .

Упражнения взяты из «Сборника задач по алгебре 8-9 класса» М.Л.Галицкого, А.И.Звавича. Уже на факультативных занятиях или занятиях кружка решаем уравнения с параметром |х 2 -2х-3| = а. Определить, при каком а уравнение имеет три корня. Строим графики функций у = |х 2 -2х-3|; у = а. Получаем ответ а = 4.

В 9 классе больше занимаемся исследованием квадратного трёхчлена. Формулы функций усложняю. Рассматриваем графики вида у = (х 2 -2) 2 — (х 2 -1) 2 ;

Необычность конструкций, разрыв графиков, удаление точек вызывает некоторую удивлённость. Тем самым преодолевается стандартность мышления, развивается воображение, повышается интерес: а что ещё может получиться? В каких случаях?

Уравнения, решаемые графическим способом.

I. Решение уравнений Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен степени большей 2.

Другими словами, если задано несколько уравнений с одной, двумя или больше неизвестными, и все эти уравнения (равенства) должны одновременно выполняться , такую группу уравнений мы называем системой.

Объединяем уравнения в систему с помощью фигурной скобки:

Графический метод

Недаром ответ записывается так же, как координаты какой-нибудь точки.

Ведь если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.

Например, построим графики уравнений из предыдущего примера.

Пример 1

Для этого сперва выразим y y y в каждом уравнении, чтобы получить функцию (ведь мы привыкли строить функции относительно x x x ):

Для того чтобы графически решить систему уравнений с двумя переменными нужно:

1) построить графики уравнений в одной системе координат;
2) найти координаты точек пересечения этих графиков (координаты точек пересечения графиков и есть решения системы);

Разберем это задание на примере.

Решить графически систему линейных уравнений.

Графическое решение системы уравнений с двумя переменными сводится к отыскиванию координат общих точек графиков уравнений.

Пример 2

Графиком линейной функции является прямая. Две прямые на плоскости могут пересекаться в одной точке, быть параллельными или совпадать. Соответственно система уравнений может:

а) иметь единственное решение;

б) не иметь решений;

в) иметь бесконечное множество решений.

2) Решением системы уравнений является точка (если уравнения являются линейными) пересечения графиков.

Пример 3

Графическое решение системы

Пример 4

Решить графическим способом систему уравнений.

Графиком каждого уравнения служит прямая линия, для построения которой достаточно знать координаты двух точек. Мы составили таблицы значений х и у для каждого из уравнений системы.

Прямую y=2x-3 провели через точки (0; -3) и (2; 1).

Прямую y=x+1 провели через точки (0; 1) и (2; 3).

Графики данных уравнений системы 1) пересекаются в точке А(4; 5). Это и есть единственное решение данной системы.

Пример 5

Выражаем у через х из каждого уравнения системы 2), а затем составим таблицу значений переменных х и у для каждого из полученных уравнений.

Прямую y=2x+9 проводим через точки (0; 9) и (-3; 3). Прямую y=-1,5x+2 проводим через точки (0; 2) и (2; -1).

Наши прямые пересеклись в точке В(-2; 5).

ОБЯЗАТЕЛЬНО: Познакомимся с видео, где нам объяснят как решаются системы линейных уравнений графическим способом. РАССКАЖУТ, КАК РЕШАТЬ СИСТЕМЫ ГРАФИЧЕСКИ.

Видео YouTube

источники:

http://urok.1sept.ru/articles/672912

http://www.sites.google.com/site/7klassdistancionnoeobucenie/sistema-linejnyh-uravnenij-graficeskij-sposob-resenia

Источник

Решение уравнений с помощью графиков

Решение линейных уравнений

Как ты уже знаешь, графиком линейного уравнения является прямая линия, отсюда и название данного вида.

Линейные уравнения достаточно легко решать алгебраическим путем – все неизвестные переносим в одну сторону уравнения, все, что нам известно – в другую и вуаля! Мы нашли корень.

Сейчас же я покажу тебе, как это сделать графическим способом.

Итак, у тебя есть уравнение: ( displaystyle 2{x} -10=2)

Как его решить?

Вариант 1, и самый распространенный – перенести неизвестные в одну сторону, а известные в другую, получаем:

( displaystyle 2x=2+10)

( displaystyle 2x=12)

Обычно дальше мы делим правую часть на левую, и получаем искомый корень, но мы с тобой попробуем построить левую и правую части как две различные функции в одной системе координат.

Иными словами, у нас будет:

( displaystyle {{y}_{1}}=2x)

( displaystyle {{y}_{2}}=12)

А теперь строим. Что у тебя получилось?

reshenie uravnenij s pomoshyu grafikov funktsij 1

Как ты думаешь, что является корнем нашего уравнения? Правильно, координата ( displaystyle x) точки пересечения графиков:

reshenie uravnenij s pomoshyu grafikov funktsij 2

Наш ответ: ( displaystyle x=6)

Вот и вся премудрость графического решения. Как ты с легкостью можешь проверить, корнем нашего уравнения является число ( displaystyle 6)!

Вариант 1. Напрямую

Просто строим параболу по данному уравнению: ( displaystyle {{x}^{2}}+2{x} -8=0)

Чтобы сделать это быстро, дам тебе одну маленькую подсказку: удобно начать построение с определения вершины параболы. Определить координаты вершины параболы помогут следующие формулы:

( displaystyle x=-frac{b}{2a})

( displaystyle y=-frac{{{b}^{2}}-4ac}{4a})

Ты скажешь «Стоп! Формула для ( displaystyle y) очень похожа на формулу нахождения дискриминанта» да, так оно и есть, и это является огромным минусом «прямого» построения параболы, чтобы найти ее корни.

Тем не менее, давай досчитаем до конца, а потом я покажу, как это сделать намного (намного!) проще!

Посчитал? Какие координаты вершины параболы у тебя получились? Давай разбираться вместе:

( displaystyle x=frac{-2}{2}=-1)

( displaystyle y=-frac{{{2}^{2}}-4cdot left( -8 right)}{4}=-frac{4+32}{4}=-9)

Точно такой же ответ? Молодец!

И вот мы знаем уже координаты вершины, а для построения параболы нам нужно еще … точек. Как ты думаешь, сколько минимум точек нам необходимо? Правильно, ( displaystyle 3).

Ты знаешь, что парабола симметрична относительно своей вершины, например:

reshenie kvadratnyh uravnenij s pomoshyu grafikov funktsij 1

Соответственно, нам необходимо еще две точки по левой или правой ветви параболы, а в дальнейшем мы эти точки симметрично отразим на противоположную сторону:

reshenie kvadratnyh uravnenij s pomoshyu grafikov funktsij 2

Возвращаемся к нашей параболе.

Для нашего случая точка ( displaystyle Aleft( -1;-9 right)). Нам необходимо еще две точки, соответственно, ( displaystyle x) можно взять положительные, а можно взять отрицательные? Какие точки тебе удобней?

Мне удобней работать с положительными, поэтому я рассчитаю при ( displaystyle x=0) и ( displaystyle x=2).

При ( displaystyle x=0):

( displaystyle y={{0}^{2}}+0-8=-8)

При ( displaystyle x=2):

( displaystyle y={{2}^{2}}+2cdot 2-8=0)

Теперь у нас есть три точки, и мы спокойно можем построить нашу параболу, отразив две последние точки относительно ее вершины:

reshenie kvadratnyh uravnenij s pomoshyu grafikov funktsij 3

Как ты думаешь, что является решением уравнения?

Правильно, точки, в которых ( displaystyle y=0), то есть ( displaystyle x=2) и ( displaystyle x=-4). Потому что ( displaystyle {{x}^{2}}+2{x} -8=0).

И если мы говорим, что ( displaystyle y={{x}^{2}}+2{x} -8), то значит, что ( displaystyle y) тоже должен быть равен ( displaystyle 0), или ( displaystyle y={{x}^{2}}+2{x} -8=0).

Просто? Это мы закончили с тобой решение уравнения сложным графическим способом, то ли еще будет!

Конечно, ты можешь проверить наш ответ алгебраическим путем – посчитаешь корни через теорему Виета или Дискриминант.

Что у тебя получилось? То же самое?

Вот видишь! Теперь посмотрим совсем простое графическое решение, уверена, оно тебе очень понравится!

Решение смешанных неравенств

Теперь перейдем к более сложным неравенствам!

Как тебе такое:

( displaystyle 4x<{{x}^{3}})?

Жуть, правда? Честно говоря, я понятия не имею, как решить такое алгебраически… Но, оно и не надо. Графически ничего сложного в этом нет! Глаза боятся, а руки делают!

Первое, с чего мы начнем, – это с построения двух графиков:

( displaystyle {{y}_{1}}=4x)

( displaystyle {{y}_{2}}={{x}^{3}})

Я не буду расписывать для каждого таблицу – уверена, ты отлично справишься с этим самостоятельно (еще бы, столько прорешать примеров!).

Расписал? Теперь строй два графика.

Сравним наши рисунки?

У тебя так же? Отлично!

Теперь расставим точки пересечения и цветом определим, какой график у нас по идее должен быть больше, то есть ( displaystyle {{y}_{2}}={{x}^{3}}).

Смотри, что получилось в итоге:

А теперь просто смотрим, в каком месте у нас выделенный график находится выше, чем график ( displaystyle {{y}_{1}}=4x)? Смело бери карандаш и закрашивай данную область! Она и будет решением нашего сложного неравенства!

На каких промежутках по оси ( displaystyle Ox) у нас ( displaystyle {{y}_{2}}={{x}^{3}}) находится выше, чем ( displaystyle {{y}_{1}}=4x)? Верно, ( displaystyle xin left( -2;0 right)cup left( 2;+infty right)).

Это и есть ответ!

Ну вот, теперь тебе по плечу и любое уравнение, и любая система, и уж тем более любое неравенство!

Источник

Подведём итоги наших знаний о графиках функций.

Нами были изучены методы построения таких функций, как:

(y =b) (график — прямая, параллельная оси (x));

(y = kx) (график — прямая, которая проходит через начало координат);

(y = kx + m) (график — прямая);

y=x2

(график — парабола).

При необходимости мы сможем преобразовать аналитическую модель на графическую. Допустим, аналитическую модель

y=x2

трансформировать в графическую модель в виде параболы, расположенной в прямоугольной системе координат.

Этот приём полезен при решении уравнений. Продемонстрируем это на примерах.

Пример:

решить уравнение

x2=2x+8

Рассмотрим две функции:

y=x2

, (y = 2x + — выполним построение графиков этих функций в одной системе координат, чтобы найти их точки пересечения.

Парабола

y=x2

и прямая (y = 2x + пересекаются в точках (A (- 2; 4)) и (B (4; 16)).

Корни уравнения

x2=2x+8

— значения (x), при которых выражения

и (2x + 16) принимают одинаковые значения. Это первые координаты точек (A) и (B) пересечения графиков:

x1=−2;x2=4

Алгоритм графического решения уравнений

1. Преобразовать уравнение так, чтобы в левой и правой части стояли известные функции.

2. В одной системе координат начертить графики этих функций.

3. Определить точки пересечения полученных графиков.

4. Взять из них значения абсцисс.

Источник

Решение системы линейных уравнений графическим способом

ВИДЕО С ТЕОРИЕЙ:

Видео YouTube

ВИДЕО С РАЗБОРОМ ЗАДАНИЙ:

Видео YouTube

Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

Другими словами, если задано несколько уравнений с одной, двумя или больше неизвестными, и все эти уравнения (равенства) должны одновременно выполняться, такую группу уравнений мы называем системой.

Объединяем уравнения в систему с помощью фигурной скобки:

Графический метод

Недаром ответ записывается так же, как координаты какой-нибудь точки.

Например, построим графики уравнений из предыдущего примера.

Пример 1

Для этого сперва выразим yyy в каждом уравнении, чтобы получить функцию (ведь мы привыкли строить функции относительно xxx):

⎧

⎪⎪⎪

⎪

Для того чтобы графически решить систему уравнений с двумя переменными нужно:

Разберем это задание на примере.

Решить графически систему линейных уравнений.

Пример 2

а) иметь единственное решение;

б) не иметь решений;

в) иметь бесконечное множество решений.

2) Решением системы уравнений является точка (если уравнения являются линейными) пересечения графиков.

Пример 3

Графическое решение системы

Пример 4

Решить графическим способом систему уравнений.

Графиком каждого уравнения служит прямая линия, для построения которой достаточно знать координаты двух точек. Мы составили таблицы значений х и у для каждого из уравнений системы.

Прямую y=2x-3 провели через точки (0; -3) и (2; 1).

Прямую y=x+1 провели через точки (0; 1) и (2; 3).

Ответ: (4; 5).

Пример 5

Прямую y=2x+9 проводим через точки (0; 9) и (-3; 3). Прямую y=-1,5x+2 проводим через точки (0; 2) и (2; -1).

Наши прямые пересеклись в точке В(-2; 5).

Ответ: (-2; 5).

Видео YouTube

ДОМАШНЯЯ РАБОТА: ВЫПОЛНЯТЬ ВСЕ ШАГИ ПОСТРОЕНИЯ, КАК ПОКАЗАНО В ВИДЕО РАЗБОРАХ И ПРИМЕРАХ. В УЧЕБНИКЕ ТЕОРИЯ НА СТРАНИЦАХ СТР 195-199. ВСЕ ИЗУЧИТЬ, ТЕМА ОЧЕНЬ ВАЖНАЯ.

Источник

Загрузить PDF

Построить график уравнения значительно проще, чем полагают многие люди. Чтобы понять основные принципы этого процесса, вовсе необязательно быть математическим гением или первым в классе по математике. В данной статье описано, как изображать на графиках линейные и квадратные уравнения и неравенства, а также уравнения с модулями.

1
Используйте формулу y=mx+b. Чтобы построить график линейного уравнения, необходимо просто подставить значения в эту формулу.
- Данная формула устанавливает связь между переменными x и y.
- Параметр m соответствует наклону прямой. Иными словами, m указывает на скорость роста (или уменьшения) y с изменением x.
- Параметр b указывает на то, где соответствующая уравнению линия пересекает ось y.
2

Постройте график. Линейное уравнение изображается наиболее просто, поскольку перед построением графика нет необходимости что-либо считать. Для начала постройте прямоугольную систему координат.
3
Найдите точку пересечения линии с осью y (это b). Например, в случае уравнения y=2x-1 параметр b равен -1, то есть линия пересекает ось y в точке -1.
- В точке пересечения оси y координата x всегда принимает значение 0. Таким образом, в нашем примере точка пересечения имеет координаты (0,-1).
- Отметьте на графике точку пересечения линии с осью y.
4
Найдите наклон линии. Для прямой наклон соответствует параметру m. В случае уравнения y=2x-1 этот параметр равен 2. Однако следует учесть, что наклон указывает на изменение y с ростом x, то есть его следует представить в виде дроби. Поскольку при координате x стоит целое число 2, можно записать наклон в виде 2/1.
- Чтобы изобразить наклон на графике, начните с точки пересечения оси y. При этом изменение координаты y соответствует числителю, а изменение координаты x — знаменателю дроби.
- В нашем примере можно начать от точки -1 и сдвинуться от нее вверх на 2 и вправо на 1.
- Положительный наклон означает, что при росте x вы поднимаетесь по y, в то время как при отрицательном наклоне y уменьшается. Переменная x растет вправо по горизонтальной оси и уменьшается в левую сторону.
- При определении наклона можно использовать сколько угодно точек, хотя достаточно одной точки.
5

Проведите прямую линию. После того как вы определите наклон прямой и нанесете хотя бы одну точку, можно соединить ее с точкой пересечения оси y и провести прямую линию. Продолжите линию до краев графика и нарисуйте на ее концах стрелки, чтобы обозначить, что она продолжается дальше.^[1]

Реклама

1

Нарисуйте числовую линию. Поскольку для изображения неравенства с одной переменной достаточно одной оси, нет необходимости рисовать прямоугольную систему координат. Вместо этого просто проведите прямую линию.
2

Изобразите неравенство. Это довольно просто, так как имеется всего лишь одна координата. Предположим, необходимо изобразить неравенство x<1. Для начала следует найти на оси число 1.
3

Проведите линию. Проведите линию из только что отмеченной точки на числовой оси. Если переменная больше данного числа, отложите линию вправо. Если переменная меньше, проведите линию влево. На конце линии поставьте стрелку, чтобы показать, что она не является конечным отрезком и продолжается дальше.
4

Проверьте ответ. Подставьте вместо переменной x какое-либо число и отметьте его положение на числовой оси. Если это число лежит на проведенной вами линии, график верен.

Реклама

1
Используйте формулу прямой линии. Подобная формула использовалась выше для обычных линейных уравнений, однако в данном случае вместо знака ‘=’ следует поставить знак неравенства. Это может быть один из следующих знаков: <, >, или .
- Уравнение прямой линии имеет вид y=mx+b, где m соответствует наклону, а b — пересечению с осью y.
- Знак неравенства означает, что данное выражение имеет множество решений.
2

Изобразите неравенство. Найдите точку пересечения прямой с осью y и ее наклон, после чего отметьте соответствующие координаты. В качестве примера рассмотрим неравенство y>1/2x+1. В этом случае прямая будет пересекать ось y при x=1, а ее наклон составит ½, то есть при движении вправо на 2 единицы мы будем подниматься вверх на 1 единицу.
3

Проведите линию. Перед этим посмотрите на знак неравенства. Если это < или >, следует провести пунктирную линию. Если в неравенстве стоит знак или , линия должна быть сплошной.
4
Заштрихуйте график. Так как неравенство имеет множество решений, на графике следует показать все возможные решения. Это означает, что следует заштриховать область над линией или под ней.
- Выберите координаты точки — часто проще всего выбрать начало координат (0,0). Посмотрите, находится ли выбранная точка над проведенной линией или под ней.
- Подставьте координаты точки в неравенство. Для нашего примера получаем 0>1/2(0)+1. Проверьте, выполняется ли неравенство.
- Если выбранная точка лежит над линией и неравенство выполняется, заштрихуйте область над линией. Если же неравенство не выполняется, следует заштриховать область под линией. Если выбранная точка лежит под линией и неравенство выполняется, заштрихуйте участок под линией. Если неравенство не выполняется, следует заштриховать область над линией.
- В нашем примере точка (0,0) расположена ниже линии, и при подстановке координат неравенство не выполняется. Значит, следует заштриховать область над линией.^[2]
Реклама

1
Посмотрите на формулу. В квадратном уравнении хотя бы одна переменная возводится в квадрат. Обычно квадратное уравнение записывается в следующем виде: y=ax²+bx+c.
- При построении графика квадратного уравнения у вас получится парабола, то есть кривая в виде латинской буквы ‘U’.
- Для построения параболы необходимо знать координаты хотя бы трех точек, в том числе вершины параболы (ее центральной точки).
2

Определите a, b и c. Например, в уравнении y=x²+2x+1 a=1, b=2 и c=1. Каждый параметр представляет собой число, которое стоит перед переменной в соответствующей степени. Например, если перед x не стоит никакого числа, значит b=1, поскольку соответствующее слагаемое можно записать в виде 1x.
3

Найдите вершину параболы. Чтобы найти среднюю точку параболы, используйте выражение -b/2a. Для нашего примера получаем -2/2(1), то есть -1.
4

Составьте таблицу. Итак, мы знаем, что координата x вершины равна -1. Однако это лишь одна координата. Чтобы найти соответствующую ей координату y, а также две другие точки параболы, необходимо составить таблицу.
5
Постройте таблицу из трех строк и двух столбцов.
- Запишите координату x вершины параболы в центральной ячейке левого столбца.
- Выберите еще две координаты x на одинаковом расстоянии слева и справа (в отрицательную и положительную стороны вдоль горизонтальной оси). Например, можно отступить от вершины на 2 единицы влево и вправо, то есть записать в соответствующих ячейках -3 и 1.
- Можно выбрать любые целые числа, которые отстоят от вершины на равном расстоянии.
- Если вы хотите построить более точный график, вместо трех можно взять пять точек. В этом случае следует делать то же самое, только таблица будет состоять не из трех, а из пяти строк.
6
Используйте уравнение и таблицу, чтобы найти неизвестные координаты y. Берите по одной координате x из таблицы, подставляйте ее в заданное уравнение и находите соответствующую координату y.
- В нашем случае мы подставляем в уравнение y=x²+2x+1 вместо x -3. В результате находим y= -3²+2(-3)+1, то есть y=4.
- Записываем найденную координату y в ячейке возле соответствующей ей координаты x.
- Найдите таким образом все три (или пять, если вы используете больше точек) координаты y.
7

Нанесите на график точки. Итак, у вас получилось по крайней мере три точки с известными координатами, которые можно отметить на графике. Соедините их кривой в форме параболы. Готово!

Реклама

1

Постройте график параболы. В квадратном неравенстве используется формула, аналогичная квадратному уравнению, однако вместо знака ‘=’ стоит знак неравенства. Например, квадратное неравенство может выглядеть следующим образом: y<ax²+bx+c. Используйте шаги из предыдущего метода “График квадратного уравнения” и найдите три точки параболы.
2

Отметьте найденные координаты на графике. Хотя трех точек достаточно, чтобы провести параболу, пока что не делайте этого.
3

Соедините точки. В данном случае строится график неравенства, поэтому линия будет выглядеть несколько иначе.
4
Заштрихуйте график. Чтобы указать на множество решений, заштрихуйте тот участок графика, для которого выполняется неравенство. Для этого подставьте в формулу пару координат. Например, можно выбрать точку (0,0). Посмотрите, лежит ли точка с такими координатами снаружи или внутри параболы.
- Решите неравенство для выбранных координат. В нашем примере следует подставить в неравенство y>x²-4x-1 координаты (0,0). В результате получится выражение 0>0²-4(0)-1.
- Если точка лежит внутри параболы и неравенство выполняется, заштрихуйте внутреннюю область параболы. Если неравенство не выполняется, заштрихуйте внешнюю область.
- Если точка лежит за пределами внутренней области параболы и неравенство выполняется, заштрихуйте внешнюю область. Если неравенство не выполняется, заштрихуйте внутреннюю область параболы.^[3]
Реклама

1

Посмотрите на уравнение. Простейшим уравнением с модулем является выражение y=|x|. Уравнение может содержать также другие числа и выражения.
2
Приравняйте абсолютное значение к нулю. Просто подставьте вместо всех выражений под знаком модуля 0: | | =0. Рассмотрим пример y=|x-2|+1: в этом случае подставляем |x-2|=0. Отсюда находим, что абсолютное значение равно 2.
- Абсолютное значение представляет собой число точек от |x| до 0 вдоль числовой оси. Абсолютное значение |2| равно 2, и абсолютное значение |-2| также равно 2. Это потому, что 2 и -2 расположены от нуля на расстоянии 2.
- Под знаком модуля может стоять одна переменная x. В этом случае абсолютное значение равно 0. Например, уравнение y=|x|+3 приобретает вид y=|0|+3, то есть y становится равно 3.
3
Составьте таблицу. Понадобятся три строки и два столбца.
- Запишите в среднюю строку координату абсолютного значения.
- Выберите два других числа, которые отстоят на одинаковом расстоянии от уже записанной координаты x в большую и меньшую стороны. Если |x|=0, выберите два числа на одинаковом расстоянии от нуля.
- Хотя подойдут любые числа, удобнее выбирать значения неподалеку от первой координаты. Кроме того, это должны быть целые числа.
4

Решите неравенство. Необходимо найти соответствующие значения y для выбранных трех значений координаты x. Для этого подставьте величины координаты x в неравенство и найдите значения y. Запишите найденные значения в таблицу.
5

Отметьте точки на графике. Чтобы построить график уравнения с модулем, достаточно трех точек, хотя при желании можно использовать и больше. График уравнения с абсолютным значением будет иметь форму латинской буквы “V”. Нарисуйте на концах стрелки, чтобы показать, что линии продолжаются дальше.^[4]

Реклама