Как правильно найти координаты вектора

Вектор, имеющий начальную точку А и конечную точку В, обозначается [overrightarrow{A B}](рис. 1).

Правило нахождения координат вектора

Отложим от начала системы координат два единичных вектора, то есть векторы, длины которых равны единице. Направление вектора [bar{i}] должно совпадать с осью [O x], а направление вектора [bar{j}] с осью [O y].

Векторы  [bar{i}, bar{j}] — рассматриваемые векторы называются векторами координат или ортами. Эти векторы образуют базис поверхности. Иногда построенный базис называют ортонормированным базисом плоскости.

Обозначение: базис обычно пишется в круглых скобках, внутри которых в строгом порядке перечисляются векторы.

Любой вектор плоскости выражается по формуле нахождения координат вектора:

[vec{v}=v_{1} cdot vec{i}+v_{2} cdot vec{j}]

Где числа в этом базисе называются векторными координатами. Но само выражение называется векторным разложением.

Как выразить вектор через его координаты

Чтобы выразить вектор [overrightarrow{A B}(a, b)], где [Aleft(x_{1} ; y_{1}right)], а [Bleft(x_{2} ; y_{2}right)], сначала вычислим разницу между абсциссами [x], чтобы получить [a], затем вычислим разницу между ординатами [y], чтобы получить [b]:

[overrightarrow{A B}=left(x_{2}-x_{1} ; y_{2}-y_{1}right)]

Пример 1 

Найти координаты [overrightarrow{A B}] при значении координат точек [A(3 ; 2), B(6 ; 9)].

Решение:

Горизонтальное расстояние равно разнице между абсциссами [x], т.е. 6−3=3. Вертикальное расстояние равно разнице между ординатами [y], где 9−2=7.

Поэтому мы можем обозначить вектор от А до В как:

[overrightarrow{A B}=(3 ; 7)]

Нахождение координат вектора в пространстве

Теперь рассмотрим векторы в трехмерном пространстве, здесь все почти так же, как на плоскости, но будет добавлена ​​только одна дополнительная координата.

Любой вектор в пространстве выражается следующим образом:

[vec{v}=v_{1} cdot vec{i}+v_{2} cdot vec{j}+v_{3} cdot vec{k}], где координаты вектора (числа) в заданном базисе.

Пример 2

Нужно найти вектор, соединяющий точку А (начало) с координатами (4, 5, 6) с точкой В (конец) с координатами (10, 11, 12).

Решение:

Вектор направлен из точки А в точку В и может быть обозначен как [overrightarrow{A B}]. Таким образом:

[overrightarrow{A B}=(10-4) ;(11-5) ;(12-6)=(6 ; 6 ; 6)]

Как записать вектор на основе единичных векторов

Если мы перейдем от начальной точки к конечной точке [Cleft(x_{y} ; y_{1}right) Dleft(x_{2} ; y_{2}right)], это описывает вектор, который представляет собой смещение на расстояние в направлении [overrightarrow{C D}left(x_{2}-x_{1}right) x] затем с расстояния в направлении [left(y_{2}-y_{1}right) y].

Мы можем обозначить этот вектор двумя способами:

[overrightarrow{C D}=left(x_{2}-x_{1}, y_{2}-y_{1}right)] или [overrightarrow{C D}=left(x_{2}-x_{1}right) i+left(y_{2}-y_{1}right) vec{j}]

Пример 3

Выразить вектор в виде суммы единичных векторов.

Зная, что каждый квадрат сетки имеет длину 1, представим вектор [overrightarrow{A B}] как [a vec{i}+b vec{j}].

Решение:

Из точки [A](начало), мы перемещаем единицы в горизонтальном направлении (которое представляет собой вектор), затем мы перемещаем единицы в вертикальном направлении (что представляет собой вектор), чтобы перейти к точке [B+2(2 vec{i}) u+3(3 vec{j})].

Вектор [overrightarrow{A B}] что представляет собой прямое движение от [A] к [B] , тогда равна сумме этих единичных векторов.

Как результат: [overrightarrow{A B}=2 vec{i}+3 vec{j}=(2,3)].

Использование векторов и позволяет описать вектор в соответствии с количеством шагов по горизонтали и вертикали длиной 1, которые необходимо сделать, чтобы пройти от начала до конца. Обратите внимание, что отрицательные коэффициенты представляют движение влево или вниз соответственно.

Например, приведенный выше вектор, представляющий смещение на -2 единицы в направлении и на -3 единицы в направлении [overrightarrow{A B}=(-2 ;-3) x y] или [(-2 vec{i})+(-3 vec{j})].

[overrightarrow{A B}=-2 vec{i}-3 vec{j}]

Координаты равных векторов соответственно равны.

Если точка начала вектора не совпадает с началом системы координат, тогда рассмотрим задачу. На оси [O_{x y}] заданы координаты точек вектора, где [Aleft(x_{a} ; y_{a}right)] и [Bleft(x_{b} y_{b}right)]. Найти координаты [overrightarrow{A B}].

Зная формулу сложения векторов, имеем [overrightarrow{O A}+overrightarrow{A B}=overrightarrow{O B}], следует: [overrightarrow{A B}=overrightarrow{O B}-overrightarrow{O A}].

[overrightarrow{O A}] и [overrightarrow{O B}] радиус-векторы точек А и В, следовательно, координаты точек: [overrightarrow{O A}=left(x_{a}, y_{a}right), overrightarrow{O B}=left(x_{b} ; y_{b}right)].

Содержание:

• Формула
• Примеры нахождения координат вектора

Формула

Чтобы найти координаты вектора $overline {A B}$, если заданы координаты его начала и конца,
необходимо от координат конца отнять соответствующие координаты начала. В случае если точки заданы на плоскости и имеют соответственно
координаты $Aleft(x_{A} ; y_{A}right)$ и $Bleft(x_{B} ; y_{B}right)$, то координаты вектора $overline {A B}$ вычисляются по формуле:

Если точки заданы в пространстве и имеют координаты
$Aleft(x_{A} ; y_{A} ; z_{A}right)$ и $Bleft(x_{B} ; y_{B} ; z_{B}right)$ соответственно, то координаты вектора
$overline {A B}$ вычисляются по следующей формуле:

Примеры нахождения координат вектора

Читать дальше: как найти направляющие косинусы вектора.

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора:

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Сумма векторов:

Разность векторов:

Произведение вектора на число:

Скалярное произведение векторов:

Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1.  В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K — середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

Запишем координаты векторов:

и найдем косинус угла между векторами и :

2.  В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

Из прямоугольного треугольника AOS найдем

Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найдем координаты векторов и :

и угол между ними:

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму.

3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A₁B₁. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC₁

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

Точка D — середина A₁B₁. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Для точки M:

То есть A + C + D = 0.

Для точки N:

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

.

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

;

.

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

.

Решив систему, получим:

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и F — середины ребер соответственно A₁B₁ и A₁D₁. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD₁.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD₁ пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD₁.

Сначала — нормаль к плоскости BDD₁. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D₁ в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD₁ — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF.

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Упростим систему:

.

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике»

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3». Прямые A₁C₁ и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A₁C₁ и BD — это, очевидно, OO₁, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O₁ — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO₁ и равен высоте параллелепипеда.

Итак, AA₁ = √3

Плоскость AA₁ D₁ D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор  или, еще проще, вектор .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B₁D — значит, B₁D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B₁ и D известны:

Координаты вектора — тоже:

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Получим:

Ответ:

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E — середина ребра A₁B₁. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD₁.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD₁? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Ответ:

Расстояние от точки M с координатами x₀, y₀ и z₀ до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA₁B₁C₁D₁ лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA₁ = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A₁DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Запишем уравнение плоскости A₁DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A₁, D и B в уравнение A_x + B_e + C_z + D

Решим эту систему. Выберем

Тогда

Уравнение плоскости A₁DB имеет вид:

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A₁DB:

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

Задачи с векторами только на первый взгляд кажутся сложными, особенно если задача связана с трехмерным пространством. Но не стоит пугаться ведь если разобраться по-лучше в данной тематике задачи решаются в два счета. Так например в данной статье мы разберем тематику определения координат вектора, исходными данными для которого известны координаты начальной и конечной точки.

Задача 1

Рассмотрим первый вариант задачи. Вектор задан в двухмерном пространстве {x,y}. Тогда у каждой точки вектора существует две координаты, соответственно относящиеся к оси ОХ и ОУ. Формула для определения координаты вектора в таком случае принимает вид:

MN⃗=Mx−Nx;My−Ny.vec{MN}={M_x{-N}_x;M_y{-N}_y}.

Рассмотрим на примере: На некоторой плоскости заданы точки M и N, координаты которых равны соответственно (1,2) и (3,5). Необходимо найти координаты вектора MN⃗vec{MN}

Решение

Возьмем некоторую плоскость ОХУОХУ и отметим точки ММ и NN. Затем соединим исходные точки и рассчитаем координаты полученного вектора. MN⃗={3−1;5−2}=2;3.vec{MN}=left{3-1;5-2right}={2;3}.

Вот так вот мы получили простое решение искомой задачи. Вариация таких задач может сочетать в себе нахождение не только координат вектора, но и отдельных координат исходных точек вектора.

Но у меня задача может быть не только одно- или двухмерное, но также трехмерное или как мы будем называть их n-мерное. Формула тогда в таком случае немного изменит вид, но смысл не меняется.

Задача 2

Сформулируем формулу для определения координат вектора расположенного в n-мерном пространстве.
Такое пространство подразумевает координаты точек в виде M(M1;M2;M3;..;Mn)M(M_1;M_2{;M}_3;..{;M}_n) и формула примет вид:

MN⃗=Mx−Nx;My−Ny;..;Mn−Nn.vec{MN}={M_x{-N}_x;M_y{-N}_y{;..;M}_n{-N}_n}.

Рассмотрим задачу на примере 5-мерного пространства. Необходимо найти координаты точки N вектора

MN⃗={3,8,4,1,7}vec{MN}={3,8,4,1,7}, если известны координаты точки M(1,9,6,7,4).M(1,9,6,7,4).

Решение

Не стоит пугаться при виде слов 5-мерное пространство, т.к. рисовать данную систему координат не обязательно. Стоит лишь правильно понимать и применять формулу которую мы рассмотрели выше. Перепишем ее еще раз для нашего случая.

MN⃗={M1−N1;M2−N2;M3−N3;M4−N4;M5−N5}.vec{MN}= {M_1{-N}_1;M_2{-N}_2{;M_3{-N}_3{;M}_4{-N}_4;M}_5{-N}_5}.

Тогда рассмотрим систему:

{1−N1=39−N2=86−N3=47−N4=14−N5=7begin{cases}1-N_1=3 \
9-N_2=8 \
6-N_3=4\
7-N_4=1\
4-N_5=7end{cases}

и решив данную систему, получим

{N1=−2N2=1N3=2N4=6N5=−3begin{cases}N_1=-2\
N_2=1\
N_3=2\
N_4=6\
N_5=-3\ end{cases}

Тогда получим ответ на задачу N(−2,1,2,6,−3).N(-2,1,2,6,-3).