Поиск значений выражений — основное математическое действие. Им сопровождается каждый пример, задача. Поэтому чтобы вам было проще работать с различными математическими выражениями, подробно разберем способы и правила их решения в данной статье. Правила представлены в порядке увеличения сложности: от простейших выражений до выражений с функциями. Для лучшего понимания каждый пункт сопровождается подробным пояснением и расписанными примерами.
Поиск значения числовых выражений
Числовые выражения представляют собой математические задачи, состоящие, преимущественно, из чисел. Они подразделяются на несколько групп в зависимости от своей сложности: простейшие, со скобками, корнями, дробями и т.д. Каждый тип выражений подразумевает свои правила нахождения значения, порядок действий. Рассмотрим каждый случай подробнее.
Простейшие числовые выражения. К простейшим числовым выражениям относятся примеры, состоящие из двух элементов:
- Числа (целые, дробные и т.д.);
- Знаки: «+», «—», «•» и «÷».
Чтобы найти значение выражения в данном случае, необходимо выполнить все арифметические действия (которые подразумевают конкретные знаки). В случае отсутствия скобок решение примера производится слева направо. Первыми выполняются действия деления и умножения. Вторыми — сложение и вычитание.
Пример 1. Решение числового выражения
Задача. Решить:
20 — 2 • 10 ÷ 5 — 4 = ?
Решение. Чтобы решить выражение, нам необходимо выполнить все арифметические действия в соответствии с установленными правилами. Поиск значения начинается с решения деления и умножения. В первую очередь находим произведение цифр 2 и 10 (если рассматривать с левой стороны, данное действие является первым по значимости). Получаем 20. Теперь это число делим на 5. Итог — 4. Когда известно значение основных действий, можем подставить его в наш пример:
20 — 4 — 4 = ?
Упрощенный пример также решаем слева направо: 20 — 4 = 16. Второе действие: 16 — 4 = 12. Ответ 12.
Решение без пояснений. 20 — 2 • 10 ÷ 5 — 4 = 20 — (2 • 10 ÷ 5) — 4 = 20 — 4 — 4 = 12.
Ответ. 12
Пример 2. Решение числового выражения
Задача. Решить:
0,2 — 5 • (— 4) + 1/2 • 5 • 4 = ?
Решение. Начинаем решение с умножения и деления. Умножая 5 на (— 4) получаем (— 20), т.к. производное сохраняет знак множителя. Далее умножаем 1/2 на 5. Для этого преобразуем дробь: 1/2 = 5/10 = 0,5. 0,5 умножаем на 5. Ответ — 2,5. Далее умножаем полученное число на 4. 2,5 • 4 = 10. Получаем следующее выражение:
0,2 — (— 20) + 10
Теперь нам остается решить сложение и вычитание. В первую очередь раскрываем скобку и получаем:
0,2 + 20 + 10 = 30,2
Решение без пояснений. 0,2 — 5 • (— 4) + 1/2 • 5 • 4 = 0,2 — (— 20) + 10 = 0,2 + 20 + 10 = 30,2
Ответ. 30,2
Находим значение выражения со скобками
Скобки определяют порядок действий при решении примера. Выражения, находящиеся внутри скобок «()» имеют первостепенную значимость, независимо от того, какое математическое действие в них выполняется.
Пример 3. Значение числового выражения со скобками
Задача. Решить:
5 + (7 — 2 • 3) • (6 — 4) ÷ 2 = ?
Решение. Начинаем нахождение значения выражения с решения скобок. Порядок действий определяется слева направо. При этом не забываем, что после раскрытия скобок в первую очередь решаем умножение и деление и лишь потом — вычитание и сложение:
- 7 — 2 • 3 = 7 — 6 = 1
- 6 — 4 = 2
Когда скобки решены, подставляем полученные значения в наш пример:
5 + 1 • 2 ÷ 2
Снова решаем все по порядку, не забывая о том, что деление и умножение выполняется в первую очередь:
- 1 • 2 = 2
- 2 ÷ 2 = 1
Упрощенное выражение выглядит следующим образом:
5 + 1 = 6
Решение без пояснений. 5 + (7 — 2 • 3) • (6 — 4) ÷ 2 = 5 + (7 — 6) • 2 ÷ 2 = 5+ 1 • 2 ÷ 2 = 5 + 1 = 6
Ответ. 6
Значение числового выражения со скобками
Задача. Решить:
4 + (3 + 1 + 4 • (2+3)) = ?
Решение. Подобные примеры решаются поэтапно. Помним, что поиск выражения со скобками начинается с решения скобок. Поэтому в первую очередь решаем:
3 + 1 + 4 • (2+3)
В уже упрощенном примере снова встречаются скобки. Их будем решать в первую очередь:
2 + 3 = 5
Теперь можем подставить определенное значение в общую скобку:
3 + 1 + 4 • 5
Начинаем решение с умножения и далее слева направо:
- 4 • 5 = 20
- 3 + 1 = 4
- 4 + 20 = 24
Далее подставляем полученный ответ вместо большой скобки и получаем:
4 + 24 = 28
Решение без пояснений. 4 + (3 + 1 + 4 • (2+3)) = 4 + (3 + 1 + 4 • 5) = 4 + (3 + 1 + 20) = 4 + 24 = 28
Ответ. 28
Важно: Чтобы правильно определить значение числового выражения с множественными скобками, необходимо выполнять все действия постепенно. Скобки читаются слева направо. Приоритет в решении внутри скобок остается за делением и умножением.
Поиск значения выражения с корнями
Часто алгебраические задания основываются на нахождении значений из-под корня. И если определить √4 несложно (напомним, это будет 2), то с примерами, которые полностью расположены под корнем, возникает ряд вопросов. На самом деле в таких заданиях нет ничего сложного. В данном случае порядок действий следующий:
- Решаем все выражение, которое находится под корнем (не забываем о правильной последовательности: сперва скобки, деление и умножение, а лишь потом — сложение и вычитание);
- Извлекаем корень из числа, которое получили в результате решения обычного примера.
Если же и под корнем имеется корень (например: √ 4 + 8 — √4), то начинаем решение примера с его извлечения (в нашем примере это будет: √ 4 + 8 — 2). Если подкоренные числа возведены во вторую степень, то их квадратный корень будет равняться модулю подкоренного выражения.
Значение числового выражения с корнями
Задача. Решить:
√ 2² • 2² • 3² = ?
Решение. Все действия под корнем одинаковы — умножение. Это дает нам право разделить выражение на множители. Получаем:
√2² • √2² • √3² = ?
Т.к. под квадратным корнем у нас числа, возведенные во вторую степень, получаем:
2 • 2 • 3 = 12
Решение без пояснений. √ 2² • 2² • 3² = √2² • √2² • √3² = 2 • 2 • 3 = 12
Ответ. 12
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Находим значение числовых выражений со степенями
Следующий математический знак, который имеет приоритет в процессе решения, — степени. Они представляют собой результат многократного умножения числа на себя. Само число является основанием степени. А количество операций умножения — ее показателем. Причем выражен он может быть не только целым числом, но и дробью, полноценным числовым выражением.
Начинается решение выражения со степенями с вычисления самих степеней. Если они представляют собой полноценное выражение (например: [3^{3 cdot 4-10}]), то его необходимо решить в нашем примере это будет: [3^{12-10}=3^{2}=9].
Задача. Решите:
[ 3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=? ]
Решение. Чтобы решить это выражение со степенями, воспользуемся равенством:
[(a cdot b)^{r}=a^{r} cdot b^{r}]
Рассматривая пример слева направо, видим, что у первых двух множителей одинаковые степени. Это позволяет нам упростить выражение:
[ (3 cdot 7)^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3} ]
Зная, что при умножении степени с одинаковыми показателями складываются, получаем следующее выражение:
[ 21^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3+2 / 3}=21^{1}=21 ]
Решение без пояснений: [3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=(3 cdot 7)^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3+2 / 3}=21^{1}=21]
Ответ. 21
Интересно: Этот же пример можно решить и другим способом, преобразовав число 21 в степени ⅔ в два множителя. В данном случае решение будет выглядеть следующим образом:
[3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot(3 cdot 7)^{2 / 3}=3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 3^{2 / 3} cdot 7^{2 / 3}=3^{1 / 3+2 / 3} cdot 7^{1 / 3+2 / 3}=3^{1}+7^{1}=21]
Ответ. 21
Задача. Решить:
[ 2^{-2 sqrt{5}} cdot 4^{sqrt{5}-1}+left((sqrt{3})^{1 / 3}right)^{6} ]
Решение. В данном случает получить точные числовые значения показателей степеней не удастся. Поэтому искать значение выражения с дробями в виде степени будем снова через упрощение:
Ответ. 3,25
Выражения с дробями
Поиск значения выражения дробей начинается с их приведения к общему виду. В большинстве случаев проще представить все значения в виде обыкновенной дроби с числителем и знаменателем. После преобразования всех чисел необходимо привести все дроби к общему знаменателю.
Важно: Прежде чем найти выражение дробей, необходимо провести вычисления в их знаменателе и числителе отдельно. В данном случае действуют стандартные правила решения.
Когда дроби приведены к единому знаменателю можно переходить к решению. Вычисление значений верхней строки (числителя) и нижней (знаменателя) производятся параллельно.
Задача. Решить:
[ 6 frac{2}{13}+4 frac{1}{13}=? ]
Решение. Действуя по главному правилу, прежде чем найти значение числового выражения, преобразуем всего его части в простую дробь. Получаем:
[ frac{6 cdot 13+2}{13}+frac{4 cdot 13+1}{13} ]
Теперь выполняем вычисления в знаменателе и числителе и находим ответ:
[ frac{6 cdot 13+2}{13}+frac{4 cdot 13+1}{13}=frac{80}{13}+frac{53}{13}=frac{133}{13}=10 frac{3}{13} ]
Ответ. [10 frac{3}{13}]
Примеры(2):
Задача. Решить:
[ frac{2}{sqrt{5}-1}-frac{2 sqrt{5}-7}{4}-3=? ]
Решение. В данном примере мы не можем извлечь корень из пятерки. Но мы можем воспользоваться формулой разложения корней:
[ frac{2}{sqrt{5}-1}=frac{2(sqrt{5}+1)}{(sqrt{5}-1)(sqrt{5}+1)}=frac{2(sqrt{5}+1)}{5-1}=frac{2 sqrt{5}+2}{4} ]
Теперь можем придать нашему первоначальному выражению следующий вид:
[ frac{2 sqrt{5}+2}{4} frac{2 sqrt{5}-7}{4}-3=frac{2 sqrt{5}+2-2 sqrt{5}+7}{4}-3=frac{9}{4} 3=-frac{3}{4} ]
Ответ. [-frac{3}{4}].
Выражения с логарифмами
Как и степени, логарифмы (log), имеющиеся в выражении, вычисляются (если это возможно) в первую очередь. К примеру, зная, что [log _{2} 4=2] мы можем сразу упростить выражение [log _{2} 4+5 cdot 6] до простого и понятного 2 + 5*6 = 32.
Со степенями логарифмы объединяет и порядок выполнения действий. Прежде чем искать значение выражения логарифмов, необходимо вычислить его основание (если оно представлено математическим выражением).
В случаях, когда полное вычисление логарифма невозможно, производится упрощение примера.
Задача. Решить:
[log _{27} 81+log _{27} 9=?]
Решение. Чтобы найти логарифм выражения, воспользуемся свойствами логарифмов и представим значение логарифмов со степенями:
Это позволит нам решить пример следующим образом:
Ответ. 2
Решаем выражения с тригонометрической функцией
Часто в выражениях встречаются тригонометрические функции. Всего их в математике шесть:
- Синус;
- Косинус;
- Котангенс;
- Тангенс;
- Секанс;
- Косеканс.
Изучение тригонометрии начинается в 9-м классе, когда ученики уже подготовлены к сложным задачам. Большинство заданий представляются с sin и cos. Остальные функции встречаются значительно реже.
В математических примерах, которые содержат sin, cos, tg и др. функции, вычисление тригонометрической функции производится в первую очередь. Если это невозможно — осуществляется упрощение выражения до получения краткой формулы.
Задача. Решить:
[ frac{24}{sin ^{2} 127+1+sin ^{2} 217} ]
Решение. Разложим 217 на 90 и 127. Т.к. по формуле приведения sin(90 + a) = cosa, получаем:
sin217 — sin (90 + 127) = cos127
Теперь заменяем полученной формулой наше слагаемое в знаменателе дроби:
[ frac{24}{sin ^{2} 127+cos ^{2} 127+1} ]
Вспоминаем, что по тригонометрическому тождеству sin2a+ cos2 a= 1 (независимо от значения угла a). Поэтому одну часть слагаемого знаменателя (sin2127+ cos2127) преобразуем в единицу и получаем:
[ frac{24}{sin ^{2} 127+cos ^{2} 127+1}=frac{24}{1+1}=frac{24}{2}=2 ]
Ответ. 2
Важно: Не стоит бояться буквенных тригонометрических значений. Большинство примеров построено таким образом, чтобы функции можно было заменить более удобной для вычисления формулой. Поэтому вместо того, чтобы пытаться сразу решить пример, стоит обратить внимание на особенности функций и возможность их приведения к подходящей формуле.
Задача. Решить:
[ sqrt{4} 8-sqrt{1} 92 sin ^{2} frac{19 pi}{12}=? ]
Решение. Начинаем решение с разбора второй дроби. Обращаем внимание, что 192 = 48 • 2. А значит, корень этого числа можно представить в виде 2√48. Зная это и используя формулу косинуса двойного угла, преобразим наше выражение:
Теперь по формуле приведения решаем наш пример:
[ sqrt{4} 8 cos left(3 pi+frac{pi}{6}right)=sqrt{4} 8left(-cos frac{pi}{6}right)=-sqrt{4} 8 cdot frac{sqrt{3}}{2}=-4 sqrt{3} cdot frac{sqrt{3}}{2}=-6 ]
Ответ. — 6.
Общий случай: находим значения выражений с дробями, функциями, степенями и не только
Самым сложным считается поиск числовых выражений общих случаев. Они представляют собой тригонометрические примеры, которые могут содержать:
- Степени;
- Скобки;
- Корни;
- Функции и т.д.
Общие числовые выражения сложны только длительностью решения. В остальном же они ничуть не сложнее, чем решение каждого примера (со скобкой, степенями, функциями и т.д.) по отдельности.
Чтобы найти значение выражения с логарифмами, тригонометрическими функциями, скобками и/или другими действиями, необходимо помнить три основных правила:
- Упрощение. Прежде чем приступать к решению внимательно изучите выражение. Особенно — его степени, корни, логарифмы, функции. В большинстве случаев их можно сократить или заменить простым числовым значением еще до решения.
- Скобки. Независимо от типа выражения, действий, начинать решение всегда необходимо со скобок. Часто именно игнорирование этого правила приводит к получению неверного ответа или отсутствию решения в принципе.
- Общий вид. Старайтесь привести выражение к общему виду. Особенно это касается дробей. Смешанные и десятичные дроби преобразуйте в обычные.
- Последовательность. Действия в скобках и действия после их решения выполняются слева направо. В первую очередь необходимо совершать умножение и деление. Когда все произведения и частные найдены, можно переходить к сложению и вычитанию.
Для удобства решения и устранения возможных ошибок рекомендуем расставлять порядок действий непосредственно над математическими знаками.
Задача. Решить:
[ -frac{sqrt{2} sin left(frac{pi}{6}+2left(frac{2 pi}{5}+frac{3 pi}{5}right)right)+3}{operatorname{Ln} e^{2}}+left(1+3^{sqrt{9}}right)=? ]
Решение. Чтобы решить этот пример, сначала найдем значение выражения числителя дроби, а точнее — подкоренного выражения. Для этого необходимо вычислить значение sin и общего выражения. Начинаем с раскрытия скобок в числителе:
Полученное значение можем подставить в подкоренное выражение для вычисления числителя дроби:
[ sqrt{2} sin cdotleft(frac{pi}{6}+2left(frac{2 pi}{5}+frac{3 pi}{5}right)+3=sqrt{4}=2right. ]
Со знаменателем дела обстоят куда проще:
[ ln e^{2}=2 ]
Числитель и знаменатель у нас одинаковые, что позволяет нам их сократить:
Теперь остается решить следующее выражение:
Ответ. 27
Как видите, при последовательном решении примеров с большим количеством действий нет ничего сложного. Главное — верно обозначить последовательность шагов и четко ей следовать.
Как найти значение выражения числителя дроби, подкорневого значения рационально?
Независимо от типа выражения решать его необходимо последовательно, руководствуясь стандартными правилами (описаны ранее). Но не стоит забывать, что во многих случаях поиск ответа может быть значительно упрощен за счет рационального подхода к решению. Основывается он на нескольких правилах.
Правило 1. Когда произведение равно нулю
Производное равно нулю в том случае, если хотя бы один из его сомножителей равен нулю. Если вы решаете пример из нескольких сомножителей, одним из которых является «0», то проводить многочисленные вычислительные действия не стоит.
Например, выражение [3 cdotleft(451+4+frac{18}{3}right)left(1-sin left(frac{3 pi}{4}right)right) cdot 0] будет равняться нулю.
Правило 2. Группировка и вынесение чисел
Ускорить процесс поиска ответа можно за счет группировки множителей, слагаемых или вынесения единого множителя за скобки. Также не стоит забывать о возможности сокращения дроби.
Например, выражение [frac{left(451+4+frac{18}{3}right)}{4left(451+4+frac{18}{3}right)}] решать не надо. Достаточно сократить скобки, чтобы получить ответ [=frac{1}{4}]
Решение примеров с переменными
Примеры с переменными отличаются от числовых только формой предоставления. В данном случае значения предоставляются дополнительно к выражению.
Пример задания: Найдите значение выражения 2x — y, если x = 2,5, а y = 2. В данном случае решение будет выглядеть следующим образом:
2x — y = 2 • 2,5 — 2 = 3
При этом в таких примерах сохраняются все описанные выше правила. Касается это и советов по рациональному решению примеров. Так, решать дробь [frac{sqrt{y}}{sqrt{y}}] бессмысленно, т.к. при любых значениях «y» ответ будет одинаковым — 1.
Нахождение значения выражения, примеры, решения.
После того, как мы узнали что такое значение выражения, логичным будет разобраться с вопросом как найти значение выражения. Сейчас мы рассмотрим правила нахождения значений выражений. Начнем с числовых выражений, и будем продвигаться от самых простых случаев, когда выражение содержит лишь числа и соединяющие их знаки арифметических действий, и закончим общим случаем, когда в выражении, значение которого нужно найти, содержатся скобки, дроби, корни, степени и другие функции. В конце покажем, как находить значения буквенных выражений и выражений с переменными при выбранных значениях переменных. Всю теорию снабдим примерами с подробным описанием решений.
Навигация по странице.
Как найти значение числового выражения?
Разберемся с правилами, по которым вычисляются значения выражений.
Простейшие случаи
Знакомство с правилами нахождения значений выражений начнем со случаев, когда числовое выражение не содержит в своей записи ничего другого, кроме чисел и знаков арифметических действий. Эти случаи мы и назвали простейшими.
Чтобы успешно находить значения таких выражений, нужно уметь выполнять действия с различными числами, а также иметь представление о порядке выполнения действий в выражениях без скобок.
Итак, если числовое выражение составлено из чисел и знаков +, −, · и :, то по порядку слева направо нужно сначала выполнить умножение и деление, а затем – сложение и вычитание, что позволит найти искомое значение выражения.
Приведем решение примеров для пояснения.
Найдите значение выражения 
.
Подставляем полученные значения в исходное выражение: 
.
Осталось записать десятичную дробь в виде обыкновенной дроби 
, вспомнить правило вычитания отрицательных чисел 
, сгруппировать и сложить обыкновенные дроби 
, и сложить обыкновенную дробь с натуральным числом 
.
Так мы нашли искомое значение выражения.
.
Со скобками
Теперь разберемся, как найти значение выражения, содержащего в своей записи скобки, указывающие порядок выполнения действий. При этом сначала следует находить значение выражений в скобках, придерживаясь принятого порядка выполнения действий, а затем выполнять остальные действия, что приведет к искомому значению исходного выражения. Это правило перекликается с порядке выполнения действий в выражениях без скобокпорядком выполнения действий в выражениях со скобками.
Покажем решение примера.
Аналогично находятся значения выражений, содержащих скобки в скобках. Удобно нахождение значения начинать со внутренних скобок и продвигаться к внешним.
Итак, в нахождении значений выражений со скобками нет ничего сложного, главное – соблюдать последовательность выполнения действий, и не допускать вычислительных ошибок.
С корнями
Числовые выражения, значения которых требуется найти, могут в своей записи содержать различные знаки, в частности, корни. Как найти значение корня, под которым стоит число, объясняет материал статьи извлечение корней.
А как быть, когда под знаком корня находится числовое выражение? Чтобы получить значение такого корня, нужно сначала найти значение подкоренного выражения, придерживаясь принятого порядка выполнений действий. Например, 
.
В числовых выражениях корни следует воспринимать как некоторые числа, и корни целесообразно сразу заменить их значениями, после чего находить значение полученного выражения без корней, выполняя действия в принятой последовательности.
Найдите значение выражения с корнями 
.
Теперь вычислим значение второго корня из исходного выражения: 
.
Наконец, мы можем найти значение исходного выражения, заменив корни их значениями: 
.
.
Достаточно часто, чтобы стало возможно найти значение выражения с корнями, предварительно приходится проводить его преобразование. Покажем решение примера.
Каково значение выражения 
.
.
Со степенями
Когда в выражении, значение которого мы находим, присутствуют степени, то их значения вычисляются до выполнения остальных действий. Вычислению значений степеней чисел посвящена статья возведение в степень.
Стоит заметить, что более распространены случаи, когда целесообразно провести предварительное упрощение выражения со степенями на базе свойств степени.
Найдите значение выражения 
.
Судя по показателям степеней, находящихся в данном выражении, точные значения степеней получить не удастся. Попробуем упростить исходное выражение, может быть это поможет найти его значение. Имеем
.
Степени в выражениях зачастую идут рука об руку с логарифмами, но о нахождении значений выражений с логарифмами мы поговорим в одном из следующих пунктов.
Находим значение выражения с дробями
Числовые выражения в своей записи могут содержать дроби. Когда требуется найти значение подобного выражения, дроби, отличные от обыкновенных дробей, следует заменить их значениями перед выполнением остальных действий.
Рассмотрим решение примера.
Найдите значение выражения с дробями 
.
В исходном числовом выражении три дроби 
и 
. Чтобы найти значение исходного выражения, нам сначала нужно эти дроби, заменить их значениями. Сделаем это.
В числителе и знаменателе дроби 
находятся числа. Чтобы найти значение такой дроби, заменяем дробную черту знаком деления, и выполняем это действие: 
.
Третья дробь в числителе и знаменателе содержит числовые выражения, поэтому, сначала нужно вычислить их значения, а это позволит найти значение самой дроби. Имеем 
.
Осталось подставить найденные значения в исходное выражение, и выполнить оставшиеся действия: 
.
.
Часто при нахождении значений выражений с дробями приходится выполнять упрощение дробных выражений, базирующееся на выполнении действий с дробями и на сокращении дробей.
Найдите значение выражения 
.
Корень из пяти нацело не извлекается, поэтому для нахождения значения исходного выражения для начала упростим его. Для этого избавимся от иррациональности в знаменателе первой дроби: 
. После этого исходное выражение примет вид 
. После вычитания дробей пропадут корни, что нам позволит найти значение изначально заданного выражения: 
.
.
С логарифмами
Когда под знаком логарифма и/или в его основании находятся числовые выражения, то сначала находятся их значения, после чего вычисляется значение логарифма. Для примера рассмотрим выражение с логарифмом вида 
. В основании логарифма и под его знаком находятся числовые выражения, находим их значения: 
. Теперь находим логарифм, после чего завершаем вычисления: 
.
Если же логарифмы не вычисляются точно, то найти значение исходного выражения может помочь предварительное его упрощение с использованием свойств логарифмов. При этом нужно хорошо владеть материалом статьи преобразование логарифмических выражений.
Найдите значение выражения с логарифмами 
.
Осталось лишь подставить полученные результаты в исходное выражение и закончить нахождение его значения:
.
Как найти значение тригонометрического выражения?
Когда числовое выражение содержит синус, косинус, тангенс, котангенс или арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс и т.п., то их значения вычисляются перед выполнением остальных действий. Если под знаком тригонометрических функций стоят числовые выражения, то сначала вычисляются их значения, после чего находятся значения тригонометрических функций.
Найдите значение выражения 
.
.
Стоит отметить, что вычисление значений выражений с синусами, косинусами и т.п. зачастую требует предварительного преобразования тригонометрического выражения.
Чему равно значение тригонометрического выражения 
.
Преобразуем исходное выражение, используя тригонометрические формулы, в данном случае нам потребуются формула косинуса двойного угла и формула косинуса суммы:
Проделанные преобразования помогли нам найти значение выражения.
.
Общий случай
В общем случае числовое выражение может содержать и корни, и степени, и дроби, и какие-либо функции, и скобки. Нахождение значений таких выражений состоит в выполнении следующих действий:
Перечисленные действия выполняются до получения конечного результата.
Найдите значение выражения 
.
Вид данного выражения довольно сложен. В этом выражении мы видим дробь, корни, степени, синус и логарифм. Как же найти его значение?
Продвигаясь по записи слева на право, мы натыкаемся на дробь вида 
. Мы знаем, что при работе с дробями сложного вида, нам нужно отдельно вычислить значение числителя, отдельно – знаменателя, и, наконец, найти значение дроби.
В числителе мы имеем корень вида 
. Чтобы определить его значение, сначала надо вычислить значение подкоренного выражения 
. Здесь есть синус. Найти его значение мы сможем лишь после вычисления значения выражения 
. Это мы можем сделать: 
. Тогда 
, откуда 
и 
.
Со знаменателем все просто: 
.
Таким образом, 
.
После подстановки этого результата в исходное выражение, оно примет вид 
. В полученном выражении содержится степень 
. Чтобы найти ее значение, сначала придется найти значение показателя, имеем 
.
Итак, 
.
.
Если же нет возможности вычислить точные значения корней, степеней и т.п., то можно попробовать избавиться от них с помощью каких-либо преобразований, после чего вернуться к вычислению значения по указанной схеме.
Рациональные способы вычисления значений выражений
Вычисление значений числовых выражений требует последовательности и аккуратности. Да, необходимо придерживаться последовательности выполнения действий, записанной в предыдущих пунктах, но не нужно это делать слепо и механически. Этим мы хотим сказать, что часто можно рационализировать процесс нахождения значения выражения. Например, значительно ускорить и упростить нахождение значения выражения позволяют некоторые свойства действий с числами.
К примеру, мы знаем такое свойство умножения: если один из множителей в произведении равен нулю, то и значение произведения равно нулю. Используя это свойство, мы можем сразу сказать, что значение выражения 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2,2)· (45·36−2·4+456:3·43) равно нулю. Если бы мы придерживались стандартного порядка выполнения действий, то сначала нам бы пришлось вычислять значения громоздких выражений в скобках, а это бы заняло массу времени, и в результате все равно получился бы нуль.
Нахождение значения буквенного выражения и выражения с переменными
Значение буквенного выражения и выражения с переменными находится для конкретных заданных значений букв и переменных. То есть, речь идет о нахождении значения буквенного выражения для данных значений букв или о нахождении значения выражения с переменными для выбранных значений переменных.
Правило нахождения значения буквенного выражения или выражения с переменными для данных значений букв или выбранных значений переменных таково: в исходное выражение нужно подставить данные значения букв или переменных, и вычислить значение полученного числового выражения, оно и является искомым значением.
Источник
Числовые и буквенные выражения
Числовые выражения: что это
Числовое выражение — это запись, которая состоит из чисел и знаков арифметического действия между ними.
Именно числовые выражения окружают нас повсюду — не только на уроках математики, но и в магазине, на кухне или когда мы считаем время. Простые примеры, в которых нужно вычислить разность, сумму, получить результат умножения или деления — это все числовые выражения.
Например:
Это простые числовые выражения.
Чтобы получить сложное числовое выражение, нужно к простому выражению присоединить знаком арифметического действия еще одно простое числовое выражение. Вот так:
Это сложные числовые выражения.
Знать, где простое выражение, а где сложное — нужно, но называть оба типа выражений следует просто «числовое выражение».
Число, которое мы получаем после выполнения всех арифметических действий в числовом выражении, называют значением этого выражения.
Вспомним, какие виды арифметических действий есть.
+ — знак сложения, найти сумму.
— — знак вычитания, найти разность.
* — знак умножения, найти произведение.
: — знак деления, найти частное.
11 — значение числового выражения.
6 * 8 = 48
48 — значение числового выражения.
При вычислении сложных числовых выражений нужно строго соблюдать очередность выполнения арифметических действий:
Пример 2. Найдите значение числового выражения: (6 + 7) * (13 + 2)
Часто бывает нужно сравнить два числовых выражения.
Сравнить числовые выражения — значит найти значения каждого выражения и сравнить их.
Пример 1. Сравните два числовых выражения: 6 + 8 и 2 * 2
14 больше 4
14 > 4
6 + 8 > 2 * 2
Буквенные выражения
Кажется, с числовыми выражениями все достаточно просто. Буквенные выражения немногим сложнее.
В буквенном выражение есть цифры, знаки арифметических действия и буквы.
Получается, что буквенное выражение — это числовое выражение, в котором есть не только числа, но и буквы.
Это буквенные выражения. Для записи буквенных выражений используют буквы латинского алфавита.
У буквенных выражений, как и у числовых, есть определенный алгоритм вычисления:
Пример 1. Найдите значение выражения: 5 + x.
Пример 2. Найдите значение выражения: (4 + a) * (2 + x).
Выражения с переменными
Переменная — это значение буквы в буквенном выражении.
Числа, которые подставляют вместо переменных — это значения переменных. В нашем примере это числа 5 и 10.
Число и переменная записаны без знака арифметического действия. Так коротко записывается умножение.
5x — это произведение числа 5 и переменной x
4a — это произведение числа 4 и переменной a
Числа 4 и 5 называют коэффициентами.
Коэффициент показывает, во сколько раз будет увеличена переменная.
Теперь вы вооружены всеми необходимыми теоретическими знаниями о числовых и буквенных выражениях. Давайте немного поупражняемся в решении задачек и примеров, чтобы научиться применять полученные знания на практике.
Задание раз.
Задание два.
Составьте буквенное выражение:
Сумма разности b и 345 и суммы 180 и x.
Ответ: роллы “Калифорния” и “Филадельфия” вместе стоят 1 000 рублей.
Задание пять.
Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение.
Маша посмотрела за день 150 видео в ТикТок, а Лена — на 13 видео больше. Сколько всего видео было просмотрено обеими девочками?
150 + (150 + 13)
Выполняем сначала действие в скобках: 150 + 13 = 163.
150 + 163 = 313.
Ответ: Маша и Лена посмотрели всего 313 видео.
Источник
Нахождение значения выражения: правила, примеры, решения
В данной статье рассмотрено, как находить значения математических выражений. Начнем с простых числовых выражений и далее будем рассматривать случаи по мере возрастания их сложности. В конце приведем выражение, содержащее буквенные обозначения, скобки, корни, специальные математические знаки, степени, функции и т.д. Всю теорию, по традиции, снабдим обильными и подробными примерами.
Как найти значение числового выражения?
Числовые выражения, помимо прочего, помогают описывать условие задачи математическим языком. Вообще математические выражения могут быть как очень простыми, состоящими из пары чисел и арифметических знаков, так и очень сложными, содержащими функции, степени, корни, скобки и т.д. В рамках задачи часто необходимо найти значение того или иного выражения. О том, как это делать, и пойдет речь ниже.
Простейшие случаи
Это случаи, когда выражение не содержит ничего, кроме чисел и арифметических действий. Для успешного нахождения значений таких выражений понадобятся знания порядка выполнения арифметических действий без скобок, а также умение выполнять действия с различными числами.
Пример 1. Значение числового выражения
Выполним сначала умножение и деление. Получаем:
Теперь проводим вычитание и получаем окончательный результат:
Сначала выполняем преобразование дробей, деление и умножение:
Теперь займемся сложением и вычитанием. Сгруппируем дроби и приведем их к общему знаменателю:
Искомое значение найдено.
Выражения со скобками
Если выражение содержит скобки, то они определяют порядок действий в этом выражении. Сначала выполняются действия в скобках, а потом уже все остальные. Покажем это на примере.
Пример 3. Значение числового выражения
Значение выражений, содержащих скобки в скобках, находится по такому же принципу.
Пример 4. Значение числового выражения
Выполнять действия будем начиная с самых внутренних скобок, переходя к внешним.
Выражения с корнями
Математические выражения, значения которых нам нужно найти, могут содержать знаки корня. Причем, само выражение может быть под знаком корня. Как быть в таком случае? Сначала нужно найти значение выражения под корнем, а затем извлечь корень из числа, полученного в результате. По возможности от корней в числовых выражениях нужно лучше избавляться, заменяя из на числовые значения.
Пример 5. Значение числового выражения
Сначала вычисляем подкоренные выражения.
Теперь можно вычислить значение всего выражения.
Часто найти значение выражения с корнями часто нужно сначала провести преобразование исходного выражения. Поясним это на еще одном примере.
Пример 6. Значение числового выражения
Как видим, у нас нет возможности заменить корень точным значением, что усложняет процесс счета. Однако, в данном случае можно применить формулу сокращенного умножения.
Выражения со степенями
Если в выражении имеются степени, их значения нужно вычислить прежде, чем приступать ко всем остальным действиям. Бывает так, что сам показатель или основание степени являются выражениями. В таком случае, сначала вычисляют значение этих выражений, а затем уже значение степени.
Пример 7. Значение числового выражения
Начинаем вычислять по порядку.
Осталось только провести операцию сложение и узнать значение выражения:
Также часто целесообразно бывает провести упрощение выражения с использованием свойств степени.
Пример 8. Значение числового выражения
Показатели степеней опять таковы, что их точные числовые значения получить не удастся. Упростим исходное выражение, чтобы найти его значение.
Выражения с дробями
Если выражение содержит дроби, то при вычислении такого выражения все дроби в нем нужно представить в виде обыкновенных дробей и вычислить их значения.
Если в числителе и знаменателе дроби присутствуют выражения, то сначала вычисляются значения этих выражений, и записывается финальное значение самой дроби. Арифметические действия выполняются в стандартном порядке. Рассмотрим решение примера.
Пример 9. Значение числового выражения
Как видим, в исходном выражении есть три дроби. Вычислим сначала их значения.
Перепишем наше выражение и вычислим его значение:
Часто при нахождении значений выражений удобно бывает проводить сокращение дробей. Существует негласное правило: любое выражение перед нахождением его значения лучше всего упростить по максимуму, сводя все вычисления к простейшим случаям.
Пример 10. Значение числового выражения
Мы не можем нацело извлечь корень из пяти, однако можем упростить исходное выражение путем преобразований.
Исходное выражение принимает вид:
Вычислим значение этого выражения:
Выражения с логарифмами
Если же вычислить точное значение логарифма невозможно, упрощение выражения помогает найти его значение.
Пример 11. Значение числового выражения
По свойству логарифмов:
Вновь применяя свойства логарифмов, для последней дроби в выражении получим:
Теперь можно переходить к вычислению значения исходного выражения.
Выражения с тригонометрическими функциями
Бывает, что в выражении есть тригонометрические функции синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также функции, обратные им. Из значения вычисляются перед выполнением всех остальных арифметических действий. В противном случае, выражение упрощается.
Пример 12. Значение числового выражения
Сначала вычисляем значения тригонометрических функций, входящих в выражение.
Подставляем значения в выражение и вычисляем его значение:
Значение выражения найдено.
Часто для того, чтобы найти значение выражения с тригонометрическими функциями, его предварительно нужно преобразовать. Поясним на примере.
Пример 13. Значение числового выражения
Для преобразования будем использовать тригонометрические формулы косинуса двойного угла и косинуса суммы.
Общий случай числового выражения
В общем случае тригонометрическое выражение может содержать все вышеописанные элементы: скобки, степени, корни, логарифмы, функции. Сформулируем общее правило нахождения значений таких выражений.
Как найти значение выражения
Пример 14. Значение числового выражения
Выражение довольно сложное и громоздкое. Мы не случайно выбрали именно такой пример, постаравшись уместить в него все описанные выше случаи. Как найти значение такого выражения?
Известно, что при вычислении значения сложного дробного вида, сначала отдельно находятся значения числителя и знаменателя дроби соответственно. Будем последовательно преобразовывать и упрощать данное выражение.
π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 · 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 · 5 π 5 = π 6 + 2 π
Теперь можно узнать значение синуса:
Вычисляем значение подкоренного выражения:
2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 · 1 2 + 3 = 4
Со знаменателем дроби все проще:
Теперь мы можем записать значение всей дроби:
С учетом этого, запишем все выражение:
В данном случае мы смогли вычислить точные значения корней, логарифмов, синусов и т.д. Если такой возможности нет, можно попробовать избавиться от них путем математических преобразований.
Вычисление значений выражений рациональными способами
Нахождение значений выражений с переменными
Значение буквенного выражения и выражения с переменными находится для конкретных заданных значений букв и переменных.
Нахождение значений выражений с переменными
Чтобы найти значение буквенного выражения и выражения с переменными, нужно в исходное выражение подставить заданные значения букв и переменных, после чего вычислить значение полученного числового выражения.
Подставляем значения переменных в выражение и вычисляем:
Иногда можно так преобразовать выражение, чтобы получить его значение независимо от значений входящих в него букв и переменных. Для этого от букв и переменных в выражении нужно по возможности избавиться, используя тождественные преобразования, свойства арифметических действий и все возможные другие способы.
Еще один пример. Значение выражения x x равно единице для всех положительных иксов.
Источник
- Главная
- Справочники
- Справочник по математике для начальной школы
- Числовые и буквенные выражения
Числовые выражения
В этом разделе мы узнаем, что называют числовым выражением и значением выражения, научимся читать выражения.
Числовое выражение – это запись , состоящая из чисел и знаков действий между ними.
Например, 44 + 32
Значение выражения — это результат выполненных действий.
Например, в записи 44 + 32 = 76, значение выражения — это 76.
Чтение числовых выражений
12 + 9 — сумма
49 — 20 — разность
34 — (8 + 21) — из 34 вычесть сумму чисел 8 и 21
13 + (26 — 
— к 13 прибавить разность чисел 26 и 8
Решение числовых выражений
45 – (30 + 2) = …
Сначала выполняем действие, записанное в скобках. К 30 прибавляем 2.
30 + 2 = 32
Теперь нужно из 45 вычесть 38.
45 – 32 = 13
45 – (30 + 2) = 13
Сравнение значений числовых выражений
Сравнить числовое выражение – найти значение каждого из выражений и их сравнить.
Давай сравним значения двух выражений: 14 — 6 и 18 — 9.
Для этого найдем значения каждого из них:
14 — 6 = 8
18 — 9 = 9
8 < 9, значит,
14 — 6 < 18 — 9
Буквенные выражения
Буквенным называется математическое выражение, в котором используются цифры, знаки действий и буквы. Например, (47 + d) – 11.
В этих выражениях буквы могут обозначать различные числа. Число, которым заменяют букву, называют значением.
Для записи буквенных выражений необходимо знать некоторые буквы латинского алфавита. Мы приводим его полностью, чтобы ты знал, с какими буквами можешь встретиться при составлении, решении или чтении буквенных выражений.
Чаще всего используются буквы:
a, b, c, d, x, y, k, m, n
Алгоритм решения буквенного выражения
Алгоритм — значит, порядок, план выполнения команд.
1. Прочитать буквенное выражение
2. Записать буквенное выражение
3. Подставить значение неизвестного в выражении
4. Вычислить результат
Например, 28 – с
Читаем выражение: Из 28 вычесть с или Найти разность числа 28 и с
Подставим вместо неизвестного «с» число 4.
У нас получается выражение: 28 – 4
Вычисляем результат:
28 – 4 = 24
Переменные
Буквы, которые содержатся в буквенных выражениях называются переменными. Например, в выражении с + x + 2 переменными являются буквы c и x. Если вместо этих переменных подставить любые числа, то буквенное выражение с + x + 2 обратится в числовое выражение, значение которого можно будет найти.
Числа, которые подставляют вместо переменных называют значениями переменных. Например, изменим значения переменных c и x. Для изменения значений используется знак равенства
c = 2, x = 3
Мы изменили значения переменных c и x. Переменной c присвоили значение 2, переменной x присвоили значение 3, тогда выражение с + х + 2 будет выглядеть так:
2 + 3 + 2
Теперь мы можем найти значение этого выражения:
с + х + 2 = 2 + 3 + 2 = 5 + 2 = 7
Советуем посмотреть:
Уравнения
Правило встречается в следующих упражнениях:
1 класс
Страница 10. Урок 6,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 11. Урок 6,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 49. Урок 25,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 51. Урок 26,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 9. Урок 5,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 15. Урок 8,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 31. Урок 16,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 35. Урок 18,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 37. Урок 19,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 43. Урок 22,
Петерсон, Учебник, часть 3
2 класс
Страница 42,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 78,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 79,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1
Страница 23. ПР 4-5. Вариант 2,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 18,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 59,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 105,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 41. Урок 16,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 21. Урок 7,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 88. Урок 34,
Петерсон, Учебник, часть 3
3 класс
Страница 10,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 31,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 76,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 95,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 105,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 21,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
Страница 31. Урок 11,
Петерсон, Учебник, часть 1
Страница 110. Урок 43,
Петерсон, Учебник, часть 1
Страница 42. Урок 16,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 55. Урок 25,
Петерсон, Учебник, часть 3
4 класс
Страница 68,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 58,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1
Страница 5. ПР. Вариант 2,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 21,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 67,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 34,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
Страница 3. Урок 1,
Петерсон, Учебник, часть 1
Страница 4. Урок 2,
Петерсон, Учебник, часть 1
Страница 26. Урок 9,
Петерсон, Учебник, часть 1
Страница 30. Урок 10,
Петерсон, Учебник, часть 1
5 класс
Задание 429,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 430,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 642,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 922,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 2
Номер 256,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 317,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 433,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 949,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 3,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 5,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
6 класс
Номер 329,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 963,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1063,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Задание 699,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 704,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 989,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1127,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 4,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 2
7 класс
Номер 259,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 315,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 316,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 480,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 481,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1040,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1139,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 2,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 4,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
8 класс
Номер 2,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 3,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 4,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 46,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 47,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 229,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 391,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 392,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник