Как найти знак числа sin 1

Знаки тригонометрических функций

5 ноября 2011

• Знаки триг. функций

Знак тригонометрической функции зависит исключительно от координатной четверти, в которой располагается числовой аргумент. В прошлый раз мы учились переводить аргументы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла»), а затем определять эту самую координатную четверть. Теперь займемся, собственно, определением знака синуса, косинуса и тангенса.

Синус угла α — это ордината (координата

y

) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.

Косинус угла α — это абсцисса (координата

x

) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.

Тангенс угла α — это отношение синуса к косинусу. Или, что то же самое, отношение координаты

y

к координате

x

.

Обозначение: sin α =

y

; cos α =

x

; tg α =

y

:

x

.

Все эти определения знакомы вам из курса алгебры старших классов. Однако нас интересуют не сами определения, а следствия, которые возникают на тригонометрической окружности. Взгляните:

Синим цветом обозначено положительное направление оси

OY

(ось ординат), красным — положительное направление оси

OX

(ось абсцисс). На этом «радаре» знаки тригонометрических функций становятся очевидными. В частности:

1. sin α > 0, если угол α лежит в

   I

   или

   II

   координатной четверти. Это происходит из-за того, что по определению синус — это ордината (координата

   y

   ). А координата

   y

   будет положительной именно в

   I

   и

   II

   координатных четвертях;

2. cos α > 0, если угол α лежит в

   I

   или

   IV

   координатной четверти. Потому что только там координата

   x

   (она же — абсцисса) будет больше нуля;

3. tg α > 0, если угол α лежит в

   I

   или

   III

   координатной четверти. Это следует из определения: ведь tg α =

   y

   :

   x

   , поэтому он положителен лишь там, где знаки

   x

   и

   y

   совпадают. Это происходит в

   I

   координатной четверти (здесь

   x

   > 0,

   y

   > 0) и

   III

   координатной четверти (

   x

   < 0,

   y

   < 0).

Для наглядности отметим знаки каждой тригонометрической функции — синуса, косинуса и тангенса — на отдельных «радарах». Получим следующую картинку:

Заметьте: в своих рассуждениях я ни разу не говорил о четвертой тригонометрической функции — котангенсе. Дело в том, что знаки котангенса совпадают со знаками тангенса — никаких специальных правил там нет.

Теперь предлагаю рассмотреть примеры, похожие на задачи B11 из пробного ЕГЭ по математике, который проходил 27 сентября 2011. Ведь лучший способ понять теорию — это практика. Желательно — много практики. Разумеется, условия задач были немного изменены.

Задача. Определите знаки тригонометрических функций и выражений (значения самих функций считать не надо):

1. sin (3π/4);
2. cos (7π/6);
3. tg (5π/3);
4. sin (3π/4) · cos (5π/6);
5. cos (2π/3) · tg (π/4);
6. sin (5π/6) · cos (7π/4);
7. tg (3π/4) · cos (5π/3);
8. ctg (4π/3) · tg (π/6).

План действий такой: сначала переводим все углы из радианной меры в градусную (π → 180°), а затем смотрим в какой координатной четверти лежит полученное число. Зная четверти, мы легко найдем знаки — по только что описанным правилам. Имеем:

1. sin (3π/4) = sin (3 · 180°/4) = sin 135°. Поскольку 135° ∈ [90°; 180°], это угол из

   II

   координатной четверти. Но синус во

   II

   четверти положителен, поэтому sin (3π/4) > 0;

2. cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Т.к. 210° ∈ [180°; 270°], это угол из

   III

   координатной четверти, в которой все косинусы отрицательны. Следовательно, cos (7π/6) < 0;

3. tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Поскольку 300° ∈ [270°; 360°], мы находимся в

   IV

   четверти, где тангенс принимает отрицательные значения. Поэтому tg (5π/3) < 0;

4. sin (3π/4) · cos (5π/6) = sin (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/6) = sin 135° · cos 150°. Разберемся с синусом: т.к. 135° ∈ [90°; 180°], это

   II

   четверть, в которой синусы положительны, т.е. sin (3π/4) > 0. Теперь работаем с косинусом: 150° ∈ [90°; 180°] — снова

   II

   четверть, косинусы там отрицательны. Поэтому cos (5π/6) < 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;

5. cos (2π/3) · tg (π/4) = cos (2 · 180°/3) · tg (180°/4) = cos 120° · tg 45°. Смотрим на косинус: 120° ∈ [90°; 180°] — это

   II

   координатная четверть, поэтому cos (2π/3) < 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ [0°; 90°] — это

   I

   четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) > 0. Опять получили произведение, в котором множители разных знаков. Поскольку «минус на плюс дает минус», имеем: cos (2π/3) · tg (π/4) < 0;

6. sin (5π/6) · cos (7π/4) = sin (5 · 180°/6) · cos (7 · 180°/4) = sin 150° · cos 315°. Работаем с синусом: поскольку 150° ∈ [90°; 180°], речь идет о

   II

   координатной четверти, где синусы положительны. Следовательно, sin (5π/6) > 0. Аналогично, 315° ∈ [270°; 360°] — это

   IV

   координатная четверть, косинусы там положительны. Поэтому cos (7π/4) > 0. Получили произведение двух положительных чисел — такое выражение всегда положительно. Заключаем: sin (5π/6) · cos (7π/4) > 0;

7. tg (3π/4) · cos (5π/3) = tg (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/3) = tg 135° · cos 300°. Но угол 135° ∈ [90°; 180°] — это

   II

   четверть, т.е. tg (3π/4) < 0. Аналогично, угол 300° ∈ [270°; 360°] — это

   IV

   четверть, т.е. cos (5π/3) > 0. Поскольку «минус на плюс дает знак минус», имеем: tg (3π/4) · cos (5π/3) < 0;

8. ctg (4π/3) · tg (π/6) = ctg (4 · 180°/3) · tg (180°/6) = ctg 240° · tg 30°. Смотрим на аргумент котангенса: 240° ∈ [180°; 270°] — это

   III

   координатная четверть, поэтому ctg (4π/3) > 0. Аналогично, для тангенса имеем: 30° ∈ [0; 90°] — это

   I

   координатная четверть, т.е. самый простой угол. Поэтому tg (π/6) > 0. Снова получили два положительных выражения — их произведение тоже будет положительным. Поэтому ctg (4π/3) · tg (π/6) > 0.

В заключение рассмотрим несколько более сложных задач. Помимо выяснения знака тригонометрической функции, здесь придется немного посчитать — именно так, как это делается в настоящих задачах B11. В принципе, это почти настоящие задачи, которые действительно встречается в ЕГЭ по математике.

Задача. Найдите sin α, если sin² α = 0,64 и α ∈ [π/2; π].

Поскольку sin² α = 0,64, имеем: sin α = ±0,8. Осталось решить: плюс или минус? По условию, угол α ∈ [π/2; π] — это

II

координатная четверть, где все синусы положительны. Следовательно, sin α = 0,8 — неопределенность со знаками устранена.

Задача. Найдите cos α, если cos² α = 0,04 и α ∈ [π; 3π/2].

Действуем аналогично, т.е. извлекаем квадратный корень: cos² α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. По условию, угол α ∈ [π; 3π/2], т.е. речь идет о

III

координатной четверти. Там все косинусы отрицательны, поэтому cos α = −0,2.

Задача. Найдите sin α, если sin² α = 0,25 и α ∈ [3π/2; 2π].

Имеем: sin² α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Снова смотрим на угол: α ∈ [3π/2; 2π] — это

IV

координатная четверть, в которой, как известно, синус будет отрицательным. Таким образом, заключаем: sin α = −0,5.

Задача. Найдите tg α, если tg² α = 9 и α ∈ [0; π/2].

Все то же самое, только для тангенса. Извлекаем квадратный корень: tg² α = 9 ⇒ tg α = ±3. Но по условию угол α ∈ [0; π/2] — это

I

координатная четверть. Все тригонометрические функции, в т.ч. тангенс, там положительны, поэтому tg α = 3. Все!

Смотрите также:

1. Радианная мера угла
2. Тест к уроку «Знаки тригонометрических функций» (1 вариант)
3. Тест к параграфу «Что такое логарифм» (легкий)
4. Сводный тест по задачам B12 (1 вариант)
5. Изюм и виноград (смеси и сплавы)
6. Задача B4: транзит нефти

Единичная окружность помогает понять, чему равны sin 1, sin 2, sin 3, sin 4, sin 5, sin 6.

Итак, речь идет об углах в радианах. 1 радиан — это угол, длина дуги которого равна радиусу окружности. Соответственно, определяем приблизительное местонахождение на единичной окружности углов в 2, 3, 4, 5 и 6 радиан, отмечая каждую следующую точку через дугу, длина которой равна радиусу.  Впрочем, если вспомнить, что п приближенно равно 3,14, задача существенно упростится.

Рисунок позволяет наглядно определять приблизительные значения sin 1, sin 2, sin 3, sin 4, sin 5, sin 6, а также сравнивать их.

Поскольку синус — это ордината соответствующей точки на единичной окружности (как это легко запомнить — здесь), то для нахождения sin 1, sin 2, sin 3, sin 4, sin 5, sin 6 достаточно определить значение y в точках 1, 2, 3, 4, 5 и 6 радиан.

Поскольку синус — это y, то вверху, над осью x, синус принимает положительные значения. Поэтому sin 1>0, sin 2>0, sin 3>0.

Соответственно внизу синус отрицателен: sin 4<0, sin 5<0, sin 6<o. Поэтому легко сравнить sin2 и sin4, например: sin2>sin4, ведь любое положительное число больше любого отрицательного.

Если требуется сравнить значения синуса одного знака, например, sin2 и sin3, то исходя из геометрических соображений, sin2>sin3.

Если нужно уточнить, чему равен 1 радиан, 2, 3, 4, 5 и 6 радиан в градусах, то приближенные значения таковы:

Приближенно чему равен синус 1, синус 2 и синус 3, можно узнать по таблицам Брадиса:

Используя геометрические соображения, можно найти и приблизительные значения углов, больших 6 радиан.

знак определяется по четвертям(координатная плоскость xoy делится на 4 части(справа вверху -1 часть,слева вверху-2,снизу слева-3,справа внизу-4)sin -y(оси)cos -x.
смотришь в какой четверти этот угол и какой знак там имеют х(cos) или у(sin).
1 принадлежит первой четверти, поэтому sin1>0
3 принадлежит второй четверти, поэтому cos3<0
5 принадлежит четвёртой четверти, поэтому tg5<0
Тогда всё произведение >0
sin1=>+
cos3=>-
tg5=>-
знак +*-*-=>+      
Ответ:+ 
2) sin 8 • cos 0,7 • tg 6,4 
решение: 
8 радиан равно 458° 21′ 45″ 
sin (458°- 360°) = sin 98° 
вторая четверть. Синус положительный. 
6,4 радиан равно 366° 41′ 76″ 
tg (366° — 360°) = tg 6° 
Первая четверть. Тангенс положительный 
0,7 радиан = 40° 
Первая четверть. Косинус  положительный. 
Сответственно знак числа  sin 8 • cos 0,7 • tg 6,4 
будет положительный
 0,7 – это радиан.=>40,11 градус итд
1 радиан- 57,3 градуса

Светило науки — 1558 ответов — 7129 раз оказано помощи

знак определяется по четвертям(координатная плоскость xoy делится на 4 части(справа вверху -1 часть,слева вверху-2,снизу слева-3,справа внизу-4)sin -y(оси)cos -x.
смотришь в какой четверти этот угол и какой знак там имеют х(cos) или у(sin).
1 принадлежит первой четверти, поэтому sin1>0
3 принадлежит второй четверти, поэтому cos3<0
5 принадлежит четвёртой четверти, поэтому tg5<0
Тогда всё произведение >0
sin1=>+
cos3=>-
tg5=>-
знак +*-*-=>+      
Ответ:+ 
2) sin 8 • cos 0,7 • tg 6,4 
решение: 
8 радиан равно 458° 21′ 45″ 
sin (458°- 360°) = sin 98° 
вторая четверть. Синус положительный. 
6,4 радиан равно 366° 41′ 76″ 
tg (366° — 360°) = tg 6° 
Первая четверть. Тангенс положительный 
0,7 радиан = 40° 
Первая четверть. Косинус  положительный. 
Сответственно знак числа  sin 8 • cos 0,7 • tg 6,4 
будет положительный
 0,7 – это радиан.=>40,11 градус итд
1 радиан- 57,3 градуса