Как найти значение выражения дроби примеры решений

Поиск значений выражений — основное математическое действие. Им сопровождается каждый пример, задача. Поэтому чтобы вам было проще работать с различными математическими выражениями, подробно разберем способы и правила их решения в данной статье. Правила представлены в порядке увеличения сложности: от простейших выражений до выражений с функциями. Для лучшего понимания каждый пункт сопровождается подробным пояснением и расписанными примерами.

Поиск значения числовых выражений

Числовые выражения представляют собой математические задачи, состоящие, преимущественно, из чисел. Они подразделяются на несколько групп в зависимости от своей сложности: простейшие, со скобками, корнями, дробями и т.д. Каждый тип выражений подразумевает свои правила нахождения значения, порядок действий. Рассмотрим каждый случай подробнее.

Простейшие числовые выражения. К простейшим числовым выражениям относятся примеры, состоящие из двух элементов:

• Числа (целые, дробные и т.д.);
• Знаки: «+», «—», «•» и «÷».

Чтобы найти значение выражения в данном случае, необходимо выполнить все арифметические действия (которые подразумевают конкретные знаки). В случае отсутствия скобок решение примера производится слева направо. Первыми выполняются действия деления и умножения. Вторыми — сложение и вычитание.

Пример 1. Решение числового выражения

Задача. Решить:

20 — 2 • 10 ÷ 5 — 4 = ?

Решение. Чтобы решить выражение, нам необходимо выполнить все арифметические действия в соответствии с установленными правилами. Поиск значения начинается с решения деления и умножения. В первую очередь находим произведение цифр 2 и 10 (если рассматривать с левой стороны, данное действие является первым по значимости). Получаем 20. Теперь это число делим на 5. Итог — 4. Когда известно значение основных действий, можем подставить его в наш пример:

20 — 4 — 4 = ?

Упрощенный пример также решаем слева направо: 20 — 4 = 16. Второе действие: 16 — 4 = 12. Ответ 12.

Решение без пояснений. 20 — 2 • 10 ÷ 5 — 4 = 20 — (2 • 10 ÷ 5) — 4 = 20 — 4 — 4 = 12.

Ответ. 12

Пример 2. Решение числового выражения

Задача. Решить:

0,2 — 5 • (— 4) + 1/2 • 5 • 4 = ?

Решение. Начинаем решение с умножения и деления. Умножая 5 на (— 4) получаем (— 20), т.к. производное сохраняет знак множителя. Далее умножаем 1/2 на 5. Для этого преобразуем дробь: 1/2 = 5/10 = 0,5. 0,5 умножаем на 5. Ответ — 2,5. Далее умножаем полученное число на 4. 2,5 • 4 = 10. Получаем следующее выражение:

0,2 — (— 20) + 10

Теперь нам остается решить сложение и вычитание. В первую очередь раскрываем скобку и получаем:

0,2 + 20 + 10 = 30,2

Решение без пояснений. 0,2 — 5 • (— 4) + 1/2 • 5 • 4 = 0,2 — (— 20) + 10 = 0,2 + 20 + 10 = 30,2

Ответ. 30,2

Находим значение выражения со скобками

Скобки определяют порядок действий при решении примера. Выражения, находящиеся внутри скобок «()» имеют первостепенную значимость, независимо от того, какое математическое действие в них выполняется.

Пример 3. Значение числового выражения со скобками

Задача. Решить:

5 + (7 — 2 • 3) • (6 — 4) ÷ 2 = ?

Решение. Начинаем нахождение значения выражения с решения скобок. Порядок действий определяется слева направо. При этом не забываем, что после раскрытия скобок в первую очередь решаем умножение и деление и лишь потом — вычитание и сложение:

• 7 — 2 • 3 = 7 — 6 = 1
• 6 — 4 = 2

Когда скобки решены, подставляем полученные значения в наш пример:

5 + 1 • 2 ÷ 2

Снова решаем все по порядку, не забывая о том, что деление и умножение выполняется в первую очередь:

• 1 • 2 = 2
• 2 ÷ 2 = 1

Упрощенное выражение выглядит следующим образом:

5 + 1 = 6

Решение без пояснений. 5 + (7 — 2 • 3) • (6 — 4) ÷ 2 = 5 + (7 — 6) • 2 ÷ 2 = 5+ 1 • 2 ÷ 2 = 5 + 1 = 6

Ответ. 6

Значение числового выражения со скобками

Задача. Решить:

4 + (3 + 1 + 4 • (2+3)) = ?

Решение. Подобные примеры решаются поэтапно. Помним, что поиск выражения со скобками начинается с решения скобок. Поэтому в первую очередь решаем:

3 + 1 + 4 • (2+3)

В уже упрощенном примере снова встречаются скобки. Их будем решать в первую очередь:

2 + 3 = 5

Теперь можем подставить определенное значение в общую скобку:

3 + 1 + 4 • 5

Начинаем решение с умножения и далее слева направо:

• 4 • 5 = 20
• 3 + 1 = 4
• 4 + 20 = 24

Далее подставляем полученный ответ вместо большой скобки и получаем:

4 + 24 = 28

Решение без пояснений. 4 + (3 + 1 + 4 • (2+3)) = 4 + (3 + 1 + 4 • 5) = 4 + (3 + 1 + 20) = 4 + 24 = 28

Ответ. 28

Важно: Чтобы правильно определить значение числового выражения с множественными скобками, необходимо выполнять все действия постепенно. Скобки читаются слева направо. Приоритет в решении внутри скобок остается за делением и умножением.

Поиск значения выражения с корнями

Часто алгебраические задания основываются на нахождении значений из-под корня. И если определить √4 несложно (напомним, это будет 2), то с примерами, которые полностью расположены под корнем, возникает ряд вопросов. На самом деле в таких заданиях нет ничего сложного. В данном случае порядок действий следующий:

• Решаем все выражение, которое находится под корнем (не забываем о правильной последовательности: сперва скобки, деление и умножение, а лишь потом — сложение и вычитание);
• Извлекаем корень из числа, которое получили в результате решения обычного примера.

Если же и под корнем имеется корень (например: √ 4 + 8 — √4), то начинаем решение примера с его извлечения (в нашем примере это будет: √ 4 + 8 — 2). Если подкоренные числа возведены во вторую степень, то их квадратный корень будет равняться модулю подкоренного выражения.

Значение числового выражения с корнями

Задача. Решить:

√ 2² • 2² • 3² = ?

Решение. Все действия под корнем одинаковы — умножение. Это дает нам право разделить выражение на множители. Получаем:

√2² • √2² • √3² = ?

Т.к. под квадратным корнем у нас числа, возведенные во вторую степень, получаем:

2 • 2 • 3 = 12

Решение без пояснений. √ 2² • 2² • 3² = √2² • √2² • √3² = 2 • 2 • 3 = 12

Ответ. 12

Находим значение числовых выражений со степенями

Следующий математический знак, который имеет приоритет в процессе решения, — степени. Они представляют собой результат многократного умножения числа на себя. Само число является основанием степени. А количество операций умножения — ее показателем. Причем выражен он может быть не только целым числом, но и дробью, полноценным числовым выражением.

Начинается решение выражения со степенями с вычисления самих степеней. Если они представляют собой полноценное выражение (например: [3^{3 cdot 4-10}]), то его необходимо решить в нашем примере это будет: [3^{12-10}=3^{2}=9].

Задача. Решите:

[ 3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=? ]

Решение. Чтобы решить это выражение со степенями, воспользуемся равенством:

[(a cdot b)^{r}=a^{r} cdot b^{r}]

Рассматривая пример слева направо, видим, что у первых двух множителей одинаковые степени. Это позволяет нам упростить выражение:

[ (3 cdot 7)^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3} ]

Зная, что при умножении степени с одинаковыми показателями складываются, получаем следующее выражение:

[ 21^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3+2 / 3}=21^{1}=21 ]

Решение без пояснений: [3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=(3 cdot 7)^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3+2 / 3}=21^{1}=21]

Ответ. 21

Интересно: Этот же пример можно решить и другим способом, преобразовав число 21 в степени ⅔ в два множителя. В данном случае решение будет выглядеть следующим образом:

[3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot(3 cdot 7)^{2 / 3}=3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 3^{2 / 3} cdot 7^{2 / 3}=3^{1 / 3+2 / 3} cdot 7^{1 / 3+2 / 3}=3^{1}+7^{1}=21]

Ответ. 21

Задача. Решить:

[ 2^{-2 sqrt{5}} cdot 4^{sqrt{5}-1}+left((sqrt{3})^{1 / 3}right)^{6} ]

Решение. В данном случает получить точные числовые значения показателей степеней не удастся. Поэтому искать значение выражения с дробями в виде степени будем снова через упрощение:

Ответ. 3,25

Выражения с дробями

Поиск значения выражения дробей начинается с их приведения к общему виду. В большинстве случаев проще представить все значения в виде обыкновенной дроби с числителем и знаменателем. После преобразования всех чисел необходимо привести все дроби к общему знаменателю.

Важно: Прежде чем найти выражение дробей, необходимо провести вычисления в их знаменателе и числителе отдельно. В данном случае действуют стандартные правила решения.

Когда дроби приведены к единому знаменателю можно переходить к решению. Вычисление значений верхней строки (числителя) и нижней (знаменателя) производятся параллельно.

Задача. Решить:

[ 6 frac{2}{13}+4 frac{1}{13}=? ]

Решение. Действуя по главному правилу, прежде чем найти значение числового выражения, преобразуем всего его части в простую дробь. Получаем:

[ frac{6 cdot 13+2}{13}+frac{4 cdot 13+1}{13} ]

Теперь выполняем вычисления в знаменателе и числителе и находим ответ:

[ frac{6 cdot 13+2}{13}+frac{4 cdot 13+1}{13}=frac{80}{13}+frac{53}{13}=frac{133}{13}=10 frac{3}{13} ]

Ответ. [10 frac{3}{13}]

Примеры(2):

Задача. Решить:

[ frac{2}{sqrt{5}-1}-frac{2 sqrt{5}-7}{4}-3=? ]

Решение. В данном примере мы не можем извлечь корень из пятерки. Но мы можем воспользоваться формулой разложения корней:

[ frac{2}{sqrt{5}-1}=frac{2(sqrt{5}+1)}{(sqrt{5}-1)(sqrt{5}+1)}=frac{2(sqrt{5}+1)}{5-1}=frac{2 sqrt{5}+2}{4} ]

Теперь можем придать нашему первоначальному выражению следующий вид:

[ frac{2 sqrt{5}+2}{4} frac{2 sqrt{5}-7}{4}-3=frac{2 sqrt{5}+2-2 sqrt{5}+7}{4}-3=frac{9}{4} 3=-frac{3}{4} ]

Ответ. [-frac{3}{4}].

Выражения с логарифмами

Как и степени, логарифмы (log), имеющиеся в выражении, вычисляются (если это возможно) в первую очередь. К примеру, зная, что [log _{2} 4=2] мы можем сразу упростить выражение  [log _{2} 4+5 cdot 6] до простого и понятного 2 + 5*6 = 32.

Со степенями логарифмы объединяет и порядок выполнения действий. Прежде чем искать значение выражения логарифмов, необходимо вычислить его основание (если оно представлено математическим выражением).

В случаях, когда полное вычисление логарифма невозможно, производится упрощение примера.

Задача. Решить:

[log _{27} 81+log _{27} 9=?]

Решение. Чтобы найти логарифм выражения, воспользуемся свойствами логарифмов и представим значение логарифмов со степенями:

Это позволит нам решить пример следующим образом:

Ответ. 2

Решаем выражения с тригонометрической функцией

Часто в выражениях встречаются тригонометрические функции. Всего их в математике шесть:

• Синус;
• Косинус;
• Котангенс;
• Тангенс;
• Секанс;
• Косеканс.

Изучение тригонометрии начинается в 9-м классе, когда ученики уже подготовлены к сложным задачам. Большинство заданий представляются с sin и cos. Остальные функции встречаются значительно реже.

В математических примерах, которые содержат sin, cos, tg и др. функции, вычисление тригонометрической функции производится в первую очередь. Если это невозможно — осуществляется упрощение выражения до получения краткой формулы.

Задача. Решить:

[ frac{24}{sin ^{2} 127+1+sin ^{2} 217} ]

Решение. Разложим 217 на 90 и 127. Т.к. по формуле приведения sin(90 + a) = cosa, получаем:

sin217 — sin (90 + 127) = cos127

Теперь заменяем полученной формулой наше слагаемое в знаменателе дроби:

[ frac{24}{sin ^{2} 127+cos ^{2} 127+1} ]

Вспоминаем, что по тригонометрическому тождеству sin²a+ cos² a= 1 (независимо от значения угла a). Поэтому одну часть слагаемого знаменателя (sin²127+ cos²127) преобразуем в единицу и получаем:

[ frac{24}{sin ^{2} 127+cos ^{2} 127+1}=frac{24}{1+1}=frac{24}{2}=2 ]

Ответ. 2

Задача. Решить:

[ sqrt{4} 8-sqrt{1} 92 sin ^{2} frac{19 pi}{12}=? ]

Решение. Начинаем решение с разбора второй дроби. Обращаем внимание, что 192 = 48 • 2. А значит, корень этого числа можно представить в виде 2√48. Зная это и используя формулу косинуса двойного угла, преобразим наше выражение:

Теперь по формуле приведения решаем наш пример:

[ sqrt{4} 8 cos left(3 pi+frac{pi}{6}right)=sqrt{4} 8left(-cos frac{pi}{6}right)=-sqrt{4} 8 cdot frac{sqrt{3}}{2}=-4 sqrt{3} cdot frac{sqrt{3}}{2}=-6 ]

Ответ. — 6.

Общий случай: находим значения выражений с дробями, функциями, степенями и не только

Самым сложным считается поиск числовых выражений общих случаев. Они представляют собой тригонометрические примеры, которые могут содержать:

• Степени;
• Скобки;
• Корни;
• Функции и т.д.

Общие числовые выражения сложны только длительностью решения. В остальном же они ничуть не сложнее, чем решение каждого примера (со скобкой, степенями, функциями и т.д.) по отдельности.

Чтобы найти значение выражения с логарифмами, тригонометрическими функциями, скобками и/или другими действиями, необходимо помнить три основных правила:

• Упрощение. Прежде чем приступать к решению внимательно изучите выражение. Особенно — его степени, корни, логарифмы, функции. В большинстве случаев их можно сократить или заменить простым числовым значением еще до решения.
• Скобки. Независимо от типа выражения, действий, начинать решение всегда необходимо со скобок. Часто именно игнорирование этого правила приводит к получению неверного ответа или отсутствию решения в принципе.
• Общий вид. Старайтесь привести выражение к общему виду. Особенно это касается дробей. Смешанные и десятичные дроби преобразуйте в обычные.
• Последовательность. Действия в скобках и действия после их решения выполняются слева направо. В первую очередь необходимо совершать умножение и деление. Когда все произведения и частные найдены, можно переходить к сложению и вычитанию.

Для удобства решения и устранения возможных ошибок рекомендуем расставлять порядок действий непосредственно над математическими знаками.

Задача. Решить:

[ -frac{sqrt{2} sin left(frac{pi}{6}+2left(frac{2 pi}{5}+frac{3 pi}{5}right)right)+3}{operatorname{Ln} e^{2}}+left(1+3^{sqrt{9}}right)=? ]

Решение. Чтобы решить этот пример, сначала найдем значение выражения числителя дроби, а точнее — подкоренного выражения. Для этого необходимо вычислить значение sin и общего выражения. Начинаем с раскрытия скобок в числителе:

Полученное значение можем подставить в подкоренное выражение для вычисления числителя дроби:

[ sqrt{2} sin cdotleft(frac{pi}{6}+2left(frac{2 pi}{5}+frac{3 pi}{5}right)+3=sqrt{4}=2right. ]

Со знаменателем дела обстоят куда проще:

[ ln e^{2}=2 ]

Числитель и знаменатель у нас одинаковые, что позволяет нам их сократить:

Теперь остается решить следующее выражение:

Ответ. 27

Как видите, при последовательном решении примеров с большим количеством действий нет ничего сложного. Главное — верно обозначить последовательность шагов и четко ей следовать.

Как найти значение выражения числителя дроби, подкорневого значения рационально?

Независимо от типа выражения решать его необходимо последовательно, руководствуясь стандартными правилами (описаны ранее). Но не стоит забывать, что во многих случаях поиск ответа может быть значительно упрощен за счет рационального подхода к решению. Основывается он на нескольких правилах.

Правило 1. Когда произведение равно нулю

Производное равно нулю в том случае, если хотя бы один из его сомножителей равен нулю. Если вы решаете пример из нескольких сомножителей, одним из которых является «0», то проводить многочисленные вычислительные действия не стоит.

Например, выражение [3 cdotleft(451+4+frac{18}{3}right)left(1-sin left(frac{3 pi}{4}right)right) cdot 0] будет равняться нулю.

Правило 2. Группировка и вынесение чисел

Ускорить процесс поиска ответа можно за счет группировки множителей, слагаемых или вынесения единого множителя за скобки. Также не стоит забывать о возможности сокращения дроби.

Например, выражение [frac{left(451+4+frac{18}{3}right)}{4left(451+4+frac{18}{3}right)}] решать не надо. Достаточно сократить скобки, чтобы получить ответ [=frac{1}{4}]

Решение примеров с переменными

Примеры с переменными отличаются от числовых только формой предоставления. В данном случае значения предоставляются дополнительно к выражению.

Пример задания: Найдите значение выражения 2x — y, если x = 2,5, а y = 2. В данном случае решение будет выглядеть следующим образом:

2x — y = 2 • 2,5 — 2 = 3

При этом в таких примерах сохраняются все описанные выше правила. Касается это и советов по рациональному решению примеров. Так, решать дробь [frac{sqrt{y}}{sqrt{y}}] бессмысленно, т.к. при любых значениях «y» ответ будет одинаковым — 1.

Формулировка задачи: Найдите значение выражения (действия с дробями).

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 1 (Действия с дробями).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примерах.

Содержание:

Рациональные выражения

Деление степеней и одночленов

В курсе алгебры 7 класса вы ознакомились с целыми выражениями, научились складывать и вычитать их, умножать и возводить в степень. Теперь рассмотрим, как можно делить выражения. Разделить выражение A на выражение В —означает найти такое выражение X₁ при котором X•В = А.

Примеры:

, поскольку.

Следовательно, если а — отличное от нуля число, — натуральные числа, причём , то

Ведь по правилу умножения степеней, . Из тождества следует правило:

при делении степеней с одинаковыми основание оставляют без изменения, а из показателя степени делимого вычитают показатель а степени делителя.

Пользуясь этим правилом, можно записать:

Если , то всегда . Чтобы тождество а было верно и для данного случая, в математике принято считать, что при каждом значении а, отличном от нуля, . Запись 0° не имеет смысла.

Примеры:

.

Рассмотрим, как можно делить одночлены.

, поскольку ,;

,поскольку ; , поскольку — .

Чтобы разделить одночлен на одночлен, необходимо:

1. разделить коэффициент делимого на коэффициент делителя
2. к найденному частному приписать множителями каждую переменную делимого с показателем, равным разности показателя этой переменной в делимом и делителе.

Пример:

Надо разделить одночлен .

Решение:

Делим 8 на 4, — на а, — и — на . Имеем, соответственно, 2, , 1 и . Итак,  Но, например, одночлен с на пс таким способом разделить нельзя. Их частное тождественно не равно некоторому одночлену. Говорят, что во множестве одночленов деление не всегда возможно. Если необходимо разделить и такие одночлены, частное которых не является одночленом, его записывают в виде дроби. Об этом вы узнаете в следующем параграфе.

Хотите знать ещё больше?

Рассмотрим, как можно делить не только одночлены, но и выражения, содержащие степени многочленов. Например,

, .

Иногда перед делением надо преобразовать многочлены. Разделим, например, :

Известны и другие способы деления многочленов. В частности, многочлены можно делить «углом», подобно тому, как делят числа. Сравните, например, деление чисел 7488 и 234 и деление многочленов

:

, .

Частное от деления многочленов не всегда является многочленом, как и частное от деления двух целых чисел не всегда число целое. То есть во множестве многочленов деление не всегда возможно.

Выполним вместе!

Пример:

Разделите: а) на ; б) на —.

Решение:

а) ; 6) .

Ответ. а) ; б) .

Пример:

Проверьте, правильно ли выполнено деление: .

Решение:

.

Произведение частного и делителя тождественно равно делимому, следовательно, деление выполнено верно.

Ответ. Правильно.

Пример:

Упростите выражение: .

Решение:

.

Ответ:

Деление и дроби

Деление двух целых выражений не всегда можно выполнить без остатка. Например, частные нельзя записать в виде целых выражений. Деление одночленов нельзя выполнить без остатка, если делитель содержит переменную, которой нет в делимом, либо если показатель степени любой переменной в делителе больше показателя степени этой же переменной в делимом.

Если частное от деления одного выражения на другое не является целым выражением, то его записывают в виде дроби. Например:

,

.

Дробью называют частное от деления двух выражений, записанное с помощью черты дроби.

Какими бы не были выражения А и В, их частное — дробь . Выражения А и B — члены этой дроби. А — числитель, B — знаменатель.

Подобно другим выражениям дроби бывают числовые и содержащие переменные.

Например, дроби , , — числовые выражения, —

выражения, содержащие переменные.

Обыкновенная дробь — отдельный вид дроби. Это дробь, члены которой — натуральные числа. Если члены дроби — многочлены, её называют алгебраической дробью. Дроби, содержащие переменные, имеют смысл не при всех значениях переменных. Например, если а = 5, то

Запись — не число, поскольку на 0 делить нельзя. Следовательно, дробь

при а = 5 не имеет смысла. При всех других значениях а она имеет смысл. Говорят, что для данной дроби допустимы все значения переменной а, кроме а = 5.

Для переменных, входящих в знаменатель дроби, допустимы только те значения, которые не превращают этот знаменатель в нуль.

Рассмотрим две дроби:

Составим таблицу их значений для таких а: —4, -3, —2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Как видно из таблицы, при указанных значениях а, равных -4, -3, -2, -1, 1, 2, 4, 5, 6, 7, обе дроби имеют равные значения. Равны они и при других значениях переменной а, кроме 0 и 3. Значение а = 0 недопустимо для обеих рассматриваемых дробей, а значение а = 3 — для второй дроби. При всех допустимых значениях переменной а все соответствующие значения этих дробей равны.

Два выражения, соответствующие значения которых равны при всех допустимых значениях переменных, называются тождественно равными, или тождественными.

Это определение отличается от аналогичного определения для целых выражений только словом «допустимых». Говоря только о целых выражениях, это слово ранее мы исключали, поскольку для них все значения переменных допустимы.

Два тождественных выражения, соединённых знаком равенства, образуют тождество. Замена одного выражения другим, тождественным ему, называется тождественным преобразованием данного выражения.

Хотите знать ещё больше?

Соотношение дробей разных видов можно проиллюстрировать следующей диаграммой (рис. 3). Здесь каждое более узкое понятие является частью более широкого. Обыкновенные дроби — это составляющая числовых дробей, которые, в свою очередь, являются частью алгебраических дробей, и т. д.

Примеры обыкновенных дробей:

;

Числовых

;

алгебраических

.

Общее понятие дроби довольно широкое. Кроме алгебраических бывают неалгебраические дроби, вам ещё неизвестные, например.

.

Выполним вместе:

Пример:

Какие значения переменных допустимы для дроби: а) ; б) ?

Решение:

а) х+7= 0, если х = -7. Это значение х недопустимо для данной дроби. Все другие значения допустимы;

б) х²-а²=0, если (х -а)(х + а) = 0, отсюда либо х = а, либо х = -а.

Ответ. а) Для данной дроби допустимы все значения, кроме х = -7;

6) допустимы все значения, кроме х =а и х = -а.

Пример:

Докажите, что дробь , имеет смысл при всех значениях .

Доказательство:

При каждом рациональном значении число неотрицательное, а + 1 — положительное. Знаменатель данной дроби при каждом значении не равен 0.

Следовательно, при каждом значении данная дробь имеет смысл, что и требовалось доказать.

Пример:

Тождественны ли выражения:

а) б)?

Решение:

а) Представим дробь в виде частного двух одночленов и выполним деление:

. При всех допустимых значениях переменных () первое выражение равно второму, поэтому их соответствующие значения равны. Следовательно, выражения и тождественны.

б) Выполним действия в каждом выражении, используя свойства степеней: .

При всех допустимых значениях переменных () выражения принимают противоположные значения. Следовательно, они нетождественны.

Ответ. а) Выражения тождественны; 6) выражения нетождественны.

Основное свойство дроби

Вспомните основное свойство обыкновенной дроби. Если числитель и знаменатель обыкновенной дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получим равную ему дробь. Иными словами, при любых натуральных a, b и

. Это равенство — тождество. Докажем его для любых рациональных a, b и если б и .

Пусть , где — некоторое рациональное число. По определению действия деления,. Умножив обе части этого равенства на отличное от нуля число , получим равенство , отсюда . Следовательно, если и , то .

Доказанное тождество справедливо для любых дробей и является основным свойством дроби.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же выражение, то получим дробь, которая тождественно равна данной.

.

Здесь под «выражением» понимают выражение с переменными, которое тождественно не равно нулю, либо число, отличное от нуля.

Основное свойство дроби даёт возможность заменить дробь вида

тождественно равной ему дробью в. Такое преобразование называют сокращением дроби. Например,

Первую из этих дробей сократили на , вторую — на .

Исходя из основного свойства дроби, приходим к следующим выводам.

1. Значение дроби не изменится, если знаки числителя и знаменателя изменить на противоположные.
2. Значение дроби не изменится, если изменить знаки одного из членов дроби и перед самой дробью.

Если члены дроби — многочлены, то перед сокращением дроби их часто необходимо разложить на множители. Иногда перед сокращением дроби изменяют знак числителя или знаменателя, изменив соответственно и знак перед дробью.

Примеры:

;

.

Примечание. Последнее преобразование и равенство справедливы только для . Чтобы не усложнять решение упражнений, такие условия можно не указывать. Каждую дробь будем рассматривать только при допустимых значениях её переменных.

Хотите знать ещё больше ?

Сократить дробь можно делением числителя и знаменателя на их общий делитель, выраженный не только целым выражением, но и дробным. Например, можно записать

Это равенство — тождество, верное при условии и . Кроме того, имеются дроби, члены которых содержат выражения с модулями, например:

.

Такие дроби не относятся к алгебраическим дробям. Подробнее с ними вы ознакомитесь в старших классах. А теперь рассмотрим наиболее простые случаи. Первую дробь можно сократить на с. Равенство верно при любых значениях а и .

Равенство верно, если а > 0. Если а < 0, то .

Выполним вместе!

Пример:

Сократите дробь .

Решение:

.

Пример:

Представьте дробь знаменателем: а) 4х³; б) 6х (х — 1).

Решение:

а) Чтобы получить знаменатель 4х³, нужно 2х умножить на 2х². Следовательно, ;

б) чтобы получить знаменатель 6х(х — 1), нужно 2х умножить на 3(х — 1). Следовательно,

.

Ответ. а) ; б)

Пример:

Приведите к общему знаменателю дроби .

Решение:

Общий знаменатель — ..

Ответ. .

Рациональные выражения

Выражение, составленное из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, деления или возведения в степень, называется рациональным.

Примеры рациональных выражений:

Целые выражения — это рациональные выражения, не содержащие действия деления на переменную.

Дробные выражения это рациональные выражения, содержащие действие деления на переменную.

Целые выражения и дроби — простейшие виды рациональных выражений. Другие виды этих выражений связаны между собой, как показано на схеме (рис. 9).

Рис. 9

Словом «другие» здесь обозначены дробные рапиональные выражения, которые не являются дробями, например:

.

Уравнение называется рациональным, если его левая и правая части — рациональные выражения.

Рациональное уравнение называется дробным, если его правая или левая части — выражения дробные.

Примеры дробных уравнений:

.

Для того чтобы решать такие уравнения, необходимо знать, как выполняют действия с дробными выражениями. Поэтому в следующих параграфах будем рассматривать сложение, вычитание, умножение, деление и возведение дробей в степень.

Простейшие дробные уравнения, то есть уравнения, в которых левая часть — это дробь, а правая — нуль, решают пользуясь условием равенства дроби нулю.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличный от нуля.

Например, чтобы решить уравнение , нужно приравнять к нулю числитель и решить полученное уравнение:

.

Кроме того, проверить, не равен ли нулю при таком значении х знаменатель:

Следовательно, — корень данного уравнения.

Обратите внимание! Условие равенства дроби нулю состоит из двух частей:

1. числитель равен нулю;
2. знаменатель отличный от нуля.

Каждая из этих частей условия является одинаково важной.

Хотите знать ещё больше!

В представленной выше схеме словом «дроби» называют только рациональные дроби (часть рациональных выражений). Но дроби бывают не только рациональные, например,

Это также дроби, но нерациональные. Поэтому, забегая немного вперёд, соотношение между разными видами выражений можно представить в виде диаграммы (рис. 10).

Рис. 10

Если выражение содержит переменные под знаком модуля, его не считают рациональным При этом многие такие выражения можно заменить двумя, тремя либо большим количеством рациональных выражений. Например, рассмотрим дробь .

Если, то; если , то . Поэтому

Выполним вместе!

Пример:

При каких значениях переменной х значение дроби равно нулю?

Решение:

Значение дроби равно нулю лишь тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличный от нуля. Приравняем числитель к нулю: 5х -1=0, 5х =1, х= 0,2.

Если х = 0,2, то знаменатель 4 — Зх не равен нулю. Следовательно, если х = 0,2, то дробь 4_зх Равна нулю.

Ответ. х = 0,2.

Пример:

Имеет ли корни уравнение ?

Решение:

Значение дроби равно нулю лишь тогда, когда нулю равен его числитель. Числитель дроби в данном уравнении равен нулю только тогда, когда х = 3. Но при таком значении х знаменатель равен нулю. Но на нуль делить нельзя. Символ — не число .

Ответ. Уравнение корней не имеет.

Сложение и вычитание дробей

Для натуральных чисел а, b, с справедливо равенство

.

Выполняется оно и для произвольных рациональных значений а, b, с , кроме с = 0. Докажем это. Пусть а, b и — произвольные рациональные числа. Тогда и также рациональные числа. Если и то, по определению действия деления,

и . Сложив левые и правые части этих равенств, получим .

По определению действия деления, из полученного равенства следует, что, то есть .

Аналогично можно доказать и тождество

Из этих двух тождеств следуют правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.

Чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, необходимо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить тот же.

На основании этих правил выполняют сложение и вычитание любых дробей с одинаковыми знаменателями:

.

Примеры:

; .

Чтобы найти сумму или разность дробей с разными знаменателями, сначала их нужно привести к общему знаменателю, как при сложении и вычитании обыкновенных дробей.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, знаменатель каждой дроби нужно разложить на множители. Если знаменатели дробей не имеют общих множителей, то сложение и вычитание выполняют по формуле:

.

Примеры:

;

.

Иногда нужно найти сумму или разность дроби и целого выражения. Их можно складывать или вычитать, как дроби, записав целое выражение в виде дроби со знаменателем 1.

Пример:

Аналогично упрощают выражения, состоящие из трёх или более дробей, соединённых знаками плюс» или «минус». Например,

Хотите знать ещё больше?

Если рассматривать каждое тождество только при его допустимых значениях переменных, то ость при условии, что левая и правая части имеют смысл, то мы сознательно упрощаем задачу. Доказательство, подтверждаем лишь то. что оно верно на всей области допустимых значений, но не указываем, какая это область.

Чтобы получить исчерпывающее решение такой задачи, необходимс не только убедиться, что тождество правильное для всей области допустимых значений, но и показать, какова эта область. Либо чётко указать, какие из действительных чисел не относятся к этой области. Например, показав, что , желательно указать, что доказанное равенство верно, если и . В ответственных случаях, например в экзаменационных работах, такие уточнения целесообразны.

Выполним вместе!

Пример:

Найдите разность дробей.

Решение:

.

Ответ: -1.

Пример:

Найдите сумму дробей .

Решение:

Общий знаменатель дробей а(а² — с). Чтобы привести данные дроби к общему знаменателю, надо умножить первую дробь на а²— с, а вторую — на а.

.

Ответ. .

Пример:

Выполните действия: .

Решение:

Используем формулу

.

Ответ: 2а+ b

Умножение дробей

Правило умножения обыкновенных дробей вы уже знаете. Для любых натуральных чисел а, b, с и d справедливо равенство

Докажем, что это равенство — тождество, то есть оно выполняется для всех допустимых значений а, b, с , d ( и ) . Пусть и . По определению действия деления, и , отсюда

. Поскольку , то из равенства , по определению действия деления, имеем: , или . Из доказанного тождества следует правило умножения дробей.

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и отдельно — знаменатели, затем первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем дроби.

На основании этого правила выполняют умножение любых дробей:

.

Примеры:

;

.

Поскольку целое выражение можно считать дробью со знаменателем 1, то, по сформулированному правилу, можно перемножать дроби и целые выражения.

Примеры:

;

.

Правило умножения дробей распространяется на произведение трёх множителей и более, например:

. Возвести дробь в n-ную степень означает перемножить n таких дробей:.

Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень числитель и знаменатель, затем первый результат записать в числителе, а второй — в знаменателе дроби. .

Пример:

Возведём дробь в пятую степень:

.

Хотите знать ещё больше?

Вы уже знаете, что для умножения многочленов возможно обратное преобразование: разложение многочленов на множители. Существует ли преобразование, обратное умножению дробей?

Любую дробь можно представить как произведение двух, трёх или произвольного количества других дробей, Например,

.

Преобразование, обратное умножению дробей, неоднозначно, неопределенно. Упростим задачу. Представьте дробь ввиде произведения двух дробей, одна из которых равна . В данном случае ответ подобрать несложно:

.

Решение таких задач в более сложных случаях, как и операций, обратных возведению дробей в степень, рассмотрим позднее.

Выполним вместе!

Пример:

Найдите произведение добей: и .

Решение:

.

Ответ.

Пример:

Найдите значение выражения .

Решение:

.

Ответ. При каждом значении х, кроме х= 5, значение данного выражения равно 1.

Пример:

Представьте в виде степени дроби выражение .

Решение:

.

Ответ. .

Деление дробей

Действие деления дробей — обратное умножению:

, поскольку .

Аналогично , поскольку . Выражение — произведение дробей и . Следовательно,

Дробь называют обратной дроби . Поэтому при делении дробей можно воспользоваться следующим правилом.

Чтобы разделить две дроби, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Примеры:

;

.

Поскольку целое выражение можно представить в виде дроби со знаменателем 1, то, согласно сформулированному правилу, дробь можно делить на целое выражение и целое выражение — на дробь:

;

.

Хотите знать ещё больше?

Проанализируем, при каких значениях переменных а, b, с, d значение частного существует.

Знаменатели дробей не равны нулю, поэтому и . Не равно нулю и значение с, поскольку при этом условии значение второй дроби равно О, а на нуль делить нельзя.

Следовательно, данное частное имеет значение только в том случае, если выполняются все три следующих условия: , и .

Рассмотрим, при каких значениях х имеет смысл выражение .

Если , то ; в этом случае знаменатель первой дроби равен О, и частного не существует.

Если , то ; в этом случае значение второй дроби равно О, а на нуль

Выполним вместе!

Пример:

Упростите выражение .

Решение:

Ответ. 1— с.

Пример:

Найдите частное от деления дроби на и укажите, при каких значениях переменных частное существует.

Решение:

.

Первая из данных дробей не имеет смысла, если а²-1=0, то есть при а = 1 или а = -1.

Вторая дробь не имеет смысла, если а² (а-1)=0, то есть при а = 0 или а = 1.

При с = 0 значение второй дроби равно 0, а на нуль делить нельзя.

Следовательно, частное этих дробей существует, если , , и . Ответ. частное существует при , , и

Преобразование рациональных выражений

Вы уже знаете, что любое числовое выражение после выполнения всех действий принимает конкретное значение, выраженное некоторым числом. Преобразования рациональных выражений выполняют так же, как находят значение числового выражения. Заданное выражение заменяют другим, тождественным ему. Такие преобразования называются тождественными преобразованиями.

Тождественные преобразования рациональных выражений выполняют частями или «цепочкой», используя известные вам из предыдущих параграфов правила действий с дробями и целыми выражениями. Если выражение содержит несколько действий разных ступеней, то их выполняют в такой же последовательности, что и преобразования числовых выражений:

1. действия в скобках;
2. действия третьей ступени (возведение в степень);
3. действия второй ступени (умножение, деление);
4. действия первой ступени (сложение, вычитание).

Любое рациональное дробное выражение можно представить в виде дроби, а некоторые — даже в виде целого выражения. Рассмотрим, например, выражения:

.

Первое из них можно преобразовать таким образом:

1) ; 2) ;

3) .

Следовательно, .

Аналогичным способом (последовательно) можно упростить и второе выражение. А можно преобразовать и «цепочкой»:

Хотите знать больше?

В математике часто приходится не только упрощать выражения, например сумму нескольких дробей записать одним выражением, но и осуществлять обратные операции.

Задача (О. Коши):

Разложите дробь на сумму двух дробей со знаменателями х — 1 и х + 1.

Решение. Пусть .

Преобразуем правую часть равенства в дробь:

.

Подставляем это выражение в правую часть (1):

, отсюда .

Правая часть последнего равенства не содержит переменной х. Это возможно только при условии, если А + В = 0, то есть В=-А. Вэтом случае А — (-А) = 2, отсюда 2А =2, А=1, В=-1.

Следовательно, .

Ответ. .

Рациональные уравнения

Умение преобразовывать дробные выражения необходимо, в частности, для решения дробных уравнений.

Вы уже знаете, что уравнение ‚ называется рациональным, если его левая и правая части — рациональные выражения. Рациональное уравнение называют дробным, если его правая, левая либо правая и левая части — дробные выражения.

Примеры дробных уравнений:

.

При решении целого уравнения его часто стараются заменить равносильным. С дробными уравнениями это возможно лишь в некоторых случаях. Их преимущественно заменяют уравнениями-следствиями.

Уравнения называют следствием данного, если все решения данного уравнения удовлетворяют полученное уравнение.

Уравнение-следствие удовлетворяют все корни данного уравнения, но кроме них оно может иметь и посторонние корни.

Дробные рациональные уравнения можно решать разными способами. В частности:

1. заменить данное уравнение равносильным уравнением, левая часть которого — дробь, а правая — нуль;
2. заменить данное уравнение целым, которое является следствием данного.

Рассмотрим на конкретных примерах каждый способ.

Пример:

Решите уравнение:

.

Решение:

Заменим данное уравнение равносильным, в котором правая часть — нуль, а левая — дробь. Для этого дробь перенесём из правой части в левую, изменив знак перед ней на противоположный, и упростим полученное дробное выражение:

,

.

Полученное уравнение равносильно данному. Решить его просто, поскольку дробь равна нулю лишь тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличный от нуля.

Приравняем числитель к нулю: , если х = 0 или х=2.

Если х = 0, то знаменатель (х + 3) (х — 2) не равен 0. Следовательно, х = 0 — корень данного уравнения. Если х =2, то (х + 3)(х-2)=0.

Следовательно, х = 2 не удовлетворяет данное уравнение.

Ответ. х = 0.

Чтобы решить дробное уравнение с использованием уравнения-следствия, обе его части нужно умножить на общий знаменатель — целое выражение. Получаем целое уравнение. Находим его корни и проверяем, какие из них не удовлетворяют данному уравнению. То есть проверка корней — неотъемлемая составляющая решения.

Пример:

Решите уравнение:

Решение:

Умножим обе части уравнения на а(а — 1) — общий знаменатель дробей.

Имеем:

.

.

Проверка. .

Ответ. х = 0,2.

Если дробное уравнение имеет вид пропорции либо его можно представить в виде пропорции, то используется основное свойство пропорции. В этом случае также получаем уравнение-следствие.

Хотите знать еще больше ?

Известные вам линейные уравнения — это отдельный вид рациональных уравнений. Как именно связаны между собой рациональные уравнения, иллюстрирует рисунок 18. Рациональные уравнения, которые не являются целыми, называют дробно-рациональными. Только некоторые из них сводятся к линейным. Большая часть дробнорациональных уравнений сводится к таким, решать которые вы ещё не умеете. Решение некоторых из них рассмотрим позднее.

Рис. 18

Дробно-рациональными бывают не только уравнения с одной, но и с двумя, тремя и большим количеством переменных, а также системы таких уравнений. Например, решим систему уравнений:

Суммируем левые и правые части этих уравнений и получим:

, или 4х — 4 = 8, отсюда х = 3.

Подставляем это значение х в первое уравнение: , отсюда у=3. Ответ: х = 3, у= 3.

Выполним вместе!

Пример:

Решите уравнение .

Решение:

Согласно основному свойству пропорции: х² -9=6х— 18; х²-6х+9=0; (х-3)² =0, отсюда х = 3. При таком значении х знаменатели дробей данного уравнения равны нулю. Поэтому это значение х не является корнем уравнения.

Ответ. Уравнение решений не имеет.

Пример:

Какое число нужно прибавить к членам дроби , чтобы получить дробь, равную ?

Решение:

Обозначим искомое число буквой х. Тогда по условию задачи:

‚ 18 + 6х = 25 — 5х, отсюда х =7.

Поверка. .

Ответ. Искомое число равно 7.

Степени с целыми показателями

Некоторые дроби часто записывают в виде степеней с отрицательными показателями. Например, вместо

пишут .

Вспомните, как делят степени с одинаковыми основаниями:

Рассматривая степени только с положительными показателями, отмечают, что последнее равенство верно только при . Если это ограничение снять, то получим: .

Поэтому условились, что .

.

Следовательно, желательно условиться, что

.

Итак, можно рассматривать степени с произвольными целыми показателями. Объясним кратко смысл этого понятия:

Свойства степеней с целыми показателями такие же, как и степеней с натуральными показателями:

Докажем первое из этих тождеств (его называют основным свойством степеней) для случая, когда и — целые отрицательные числа. При этом условии и , где — натуральные числа. Поэтому

.

Аналогично можно доказать равенство для случая, когда один из показателей и отрицательный, а другой — положительный или равен нулю.

Обратите внимание на степени, в которых основание или показатель равны нулю.

Если а и n не равны нулю, то

Выражение 0° не имеет смысла, это не число, как и выражение . Выражения, содержащие степени с целыми показателями, можно преобразовать двумя способами: заменить их дробями либо использовать свойства степеней. Например, упростим выражение .

Первый способ.

.

Второй способ.

.

Хотите знать ещё больше ?

Обратите внимание на то, как расширяется понятие степень. Сначала вам были известны только квадрат числа и куб числа. Далее узнали о степенях чисел и переменных с произвольным натуральным показателем. Теперь вы ознакомитесь со степенями с произвольными целыми показателями. Со временем узнаете о степенях, показатели которых — произвольные рациональные и даже нерациональные числа.

Выполним вместе!

Пример:

Вычислите: а) 100^.2^-2; 6) 81^. (-3) ^-4.

Решение:

а) ; b).

Ответ. а) 25; b) 1.

Пример:

Запишите без знаменателя выражение .

Решение:

Ответ. .

Пример:

Упростите выражение: .

Решение:

.

Ответ: .

Стандартный вид числа

Если имеют дело с очень большими или очень малыми числами, то такие числа удобно записывать в стандартном виде, то есть в виде , где и число n — целое. Показатель степени n называют порядком числа a^.10ⁿ. Массу земли, которая равна 6 000 000 000 000 000 000 000 т, в стандартном виде записывают так: 6^.10²¹ т. А массу атома Гидрогена 0,0000000000000000000017 г в стандартном виде записывают так: 1,7^.10²¹ т. Порядок массы Земли равен 21, а порядок массы атома Гидрогена составляет —21.

Над числами, записанными в стандартном виде, математические действия можно выполнять так же, как над одночленами. Но для этого надо научиться преобразовывать произведения вида а ^. 10ⁿ в равные им произведения с другими показателями степеней. Чтобы значение такого произведения не изменилось при увеличении показателя степени n на 1, 2, 3, значение а необходимо уменьшить соответственно в 10, 100, 1000 раз. Напротив, уменьшая n на 1, 2, 3, значение а надо увеличить соответственно в 10, 100, 100 раз.

Например,

35^. 10⁵=3,5^. 10⁶; 0,23^. 10⁸ =2,3^. 10⁷; 227^.10^-4=2,27^.10^-2; 0.024 ^.0¹⁴ =2,4^.10¹².

Как выполнять действия с числами, записанными в стандартном виде, покажем на примерах.

Если а= 1,5. 10⁸, b=2,4. 10⁷, то:

а^.b= (1,5^. 10⁸) ^. (2,4^. 10⁷)=1,5^.2,4. 10^8. 10⁷=3,6^. 10¹⁵; а:6 = (1,5^. 10⁸) : (2,4. 10⁷) = (15^.10⁷): (2,4^. 10⁷) = 6,25; а+6=1,5^.10⁸+0,24^.10⁸ = (1,5 + 0,24)^.10⁸ = 1,74^.10⁸; а-6=1,5^.10⁸— 0,24^.10⁸ = (1,5- 0,24)^.10⁸ =1,26^.10⁸.

Обратите внимание!

Числа, записанные в стандартном виде, выражают преимущественно приближённые значения величин. Это объясняется тем, что так часто записывают значения расстояний, площадей, масс, объёмов, скоростей, температур, которые почти всегда приближённые.

Например, масса Луны равна 7,35 ^. 10²² кг. то есть 73 500 000 000 000 000 000 000 кг. Является ли это значение точным? Нет, это приближённое значение. Все нули в этом числе — цифры не точные, а округлённые. Значащими являются только три первые цифры: 7, 3 и 5. А все нули заменяют неизвестные нам точные цифры.

Вообще, если значение величин записывают в стандарт ном виде, то есть а ^. 10ⁿ, то число а — точное, все его цифры являются значащими. А все нули, полученные при умножении а на 10ⁿ, — это результат округления.

Хотите знать ещё больше?

Как следует понимать выражение число х больше, чем у, на порядок? Это означает, что число х больше у приблизительно в 10 раз.

Например,

• 2^.10⁷ и 9 ^.10⁷— числа одного порядка;
• 2 ^.10⁷ больше, чем 9 ^.10⁶, на порядок, поскольку 7 — 6 = 1;
• 2 ^_.10⁷ меньше, чем 8 ^.10¹⁰ , на три порядка, поскольку 10-7 = 3.

Выполним вместе! Пример:

Запишите в стандартном виде число: а) 320; б) 0,4; в) 1000 000; г) 0,00000027.

Решение:

а) 320 = 3,2 ^.10²; б) 0,4=4^.10^-1 в) 1 000 000- 1 ^.10⁶; г) 0,00000027 = 2,7^.10⁷.

Пример:

Найдите произведение, частное, сумму, разность чисел х =4,5^.10^-7 и y=1,5 ^.10^-6

Решение:

ху = (4,5^. 1,5) ^.10^-7.10^-6= 6,75 ^.10^-13;

х : y = (4.5:1,5) (10^-7: 10^-6) =3 ^.10^{-7 (-6)}=3^.10^-1; х + y = 4,5 ^.10^-7+ 15 ^.10^-7 = 19,5 ^.10^-7=1,95 ^.10^-6; х- у =4,5 ^.10^-7— 1,5 ^.10^-6= 0,45 ^.10^-6— 1,5 ^.10^-6 =-1,05 ^.10^-6.

Функция y=k/x

Функция

Вы уже знаете, что функция — это соответствие между двумя переменными, при котором каждому значению одной переменной соответствует единственное значение другой переменной.

Вспомните, что такое аргумент функции, её область определения, множество значении, как задают функции

Далее мы рассмотрим функцию, заданную формулой , где k — произвольное действительное число, отличное от нуля; аргумент х может принимать не только положительные, но и отрицательные значения.

Например, дана функция . Область её определения множество всех действительных чисел, кроме х = О (поскольку на нуль делить нельзя). Составим таблицу значений этой функции для нескольких значений аргумента:

х	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6
y	-1	-1.2	-1.5	-2	-3	-6	—	6	3	2	1.5	1.2	1

Обозначим точки, координаты которых приведены в таблице (рис. 23, а). Если бы на этой же координатной плоскости было нанесено больше точек, координаты которых удовлетворяют равенство , то они разместились бы так, как показано на рисунке 23, б. Если для каждого действительного значения х, кроме х = 0, по формуле — вычислить соответствующее значение у и нанести все точки с полученными координатами на координатную плоскость, то получим график данной функции (рис. 23, в). Такую линию называют гиперболой. Гипербола состоит из двух ветвей.

График функции — гипербола, симметричная относительно начала координат. Её ветви располагаются в I и III координатных углах. (Оси координат делят координатную плоскость на четыре координатных угла, их также называют координатными четвертями, или квадрантами, и нумеруют, как показано на рисунке 24.).

Если таким способом построить график функции , то получим также гиперболу, только её ветви будут располагаться в II и IV координатных углах (рис. 25).

График каждой функции , где k — отличное от нуля данное число, — это гипербола, симметричная относительно начала координат. Если k > 0, то ветви такой гиперболы расположены в I и III координатных углах, если k < 0, — то во II и IV.

Рис. 23

Рис. 24 Рис. 25

Свойства функции для разных значений k можно определить по графикам, представленным, например, на ри­сунках 23, в и 25. Приводим их в виде таблицы.

Выполним вместе!

Пример:

Функция задана формулой ; . Найдите значение n, если график функции проходит через точку А (5; 2).

Решение:

Подставим значения х = 5 и у = 2 в формулу, которой задана функция. Получим . Следова­тельно, n = 10.

Пример:

Решите графическое уравнение

Решение:

Построим в одной системе координат графики функций (рис. 27). Графики пересекаются в точках P и Q, абсциссы которых равны приблизительно 1 и -3. Проверяем, точное это значение или приближенное: 1+2=3; -3+2=-1.

Ответ. х₁=1, х₂=-3.

ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.

Обыкновенные дроби в древних Вавилоне и Египте были известны ещё 4 тыс. лет тому назад. Греческие математики умели выполнять с обыкновенными дробями все арифметические действия. В «Арифметике» Диофанта (III в.) также было мното дробей с переменными. Например, в книге показано, что

.

В то время дробные выражения записывали не так, как в наши дни. Черту дроби впервые применил итальянский математик Л. Фибоначчи (1180—1240). Дроби с переменными стали широко использовать после появления «Общей арифметики» известного английского учёного И. Ньютона (1643—1727). В этой книге, в частности, говорилось: «+… — это величина, образующаяся при делении а на b …. означает величину, образующая при делении ab-bb на а+х и т.д. Величины такого рода называют дробями». Тогда вместо b² ещё писали bb.

Степени с целыми показателями вводили в математику постепенно. Около 4 тыс. лет тому назад учёные Вавилона рассматривали квадрат и куб числа при вычислении площади квадрата и объёма куба. Донаших дней сохранились глиняные плитки с таблицами квадратов и кубов натуральных чисел, изготовленные древними вавилонянами. Со временем учёные стали рассматривать четвёртую, пятую степени и выше, называя их сначала квадрато-квадратом, кубо-квадратом и т. д.

Степень с нулевым показателем ввели в V в. независимо друг от друга самаркандец ал-Каши и француз Ф. Н. Шюке. Степени с отрицательными показателями Ф. Н. Шюке также использовал. Теорию степеней с отрицательными показателями разработал в ХVII в. английский математик Д. Валлис. Он отождествлял последовательности

,

,

Стандартный вид числа ввели в науку только в ХХ в. с началом использования электронных вычислительных машин (ЭВМ).

ОСНОВНОЕ В ГЛАВЕ

Частное от деления выражения А на выражение В можно записать в виде дроби . Дробь имеет смысл только тогда, когда её знаменатель не равен нулю. Алгебраической дробью называют дробь, числитель и знаменатель которой — много-члены. Выражение, представленное переменными и числами с помощью действий сложения, вычитания, умножения, деления или возведения в степень с целым показателем, называется рациональным. При любых значениях а, b и с (основное свойство дроби). На основании этого свойства дроби можно сокращать или приводить к общему знаменателю.

Действия с любыми дробями можно выполнять так же, как с обыкновенными дробями. Если знаменатели не равны нулю, то всегда

.

Дробное выражение записывают также в виде аⁿ. Степень с целым показателем

Свойства степеней с целыми показателями аналогичны свойствам степеней с натуральными показателями. Если числа m и n — целые, а и b — отличные от нуля, то всегда:

Если число х записано в виде а^. 10ⁿ, где n — целое число, , то говорят, что оно записано в стандартном виде, а n — порядок числа х.

Функция определена на множестве всех действительных чисел, за исключением х = 0. Если > 0, то она убывающая.

Функция у = х²

Рассмотрим функцию, заданную формулой у = х². Область её определения — множество всех чисел. Составим таблицу значений функции для некоторых значений аргумента х:

х	-3	-2,5	-2	-1,5	-1	0	1	1,5	2	2,5	3
y	9	6,25	4	2,25	1	0	1	2,25	4	6,25	9

Нанесём точки, координаты которых приведены в этой таблице (рис. 32, а). Если на координатной плоскости нанести больше точек с координатами х и у, удовлетворяющих формулу у = х², то они разместились бы так, как показано на рисунке 32, б. Если для каждого действительного значения х по формуле у = х2 вычислить соответствующее значение у и обозначить точки с такими координатами на координатной плоскости, то получим непрерывную кривую линию, которую называют параболой (рис. 32, в). Парабола имеет две бесконечных ветви, плавно сходящиеся в одной точке — вершине параболы. Для функции у = х² вершиной параболы является точка (0; 0). То есть график функции у = х² проходит через начало координат. Поскольку противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции, то её график симметричен относительно оси у.

Рис. 32

Построенный график даёт возможность наглядно выразить свойства функции у = х².

Свойства функции у = х², определённые по графику, можно представить в виде таблицы.

Свойства функции	Вид функции у = х2
Область определения Область значения Положительные значения Отрицательные значения Промежутки убывания Промежутки возрастания	Все числа (R) Все неотрицательные числа х0 — х<0 х>0

Для чего надо знать, каков график функции? Подробнее об этом вы узнаете в старших классах. А сейчас обратите внимание на то, что с помощью графиков функций можно решать уравнения, которые иными способами решить сложно либо невозможно.

Сколько решений имеет уравнение х² = 4? Прямая (её уравнение у = 4) пересекает график функции у = х² в двух точках (рис. 33). Их абсциссы х = 2 и х = -2 — решения уравнения.

А сколько решений имеет уравнение х2 — 2? Попытайтесь ответить на этим вопрос самостоятельно.

Хотите знать ещё больше?

Кривые в виде парабол используют физики, астрономы, архитекторы и другие специалисты. Графическое изображение траектории струи воды или брошенного (не вертикально) предмета — это параболы (рис. 34). Арки мостов и сооружений нередко имеют форму параболы. У многих прожекторов и различных приёмников радиоволн осевые сечения также параболической формы. Функция у = х² — простейшая из квадратичных функций. Примеры других квадратичных функций: y = х² + 1, у = х²-3, у = -х².

Каждое значение функции у = х² + 1 на единицу больше, чем соответствующее значение функции у = х². Поэтому её график — такая же парабола, только смещённая вверх на единицу (рис. 35).

Попытайтесь построить графики функций: у = х²-1,у=х², у=2х².

Рис. 33 Рис. 34

Выполним вместе!

Пример:

Постройте график зависимости площади квадрата S от длины его стороны а.

Решение:

Если сторона квадрата а, то его площадь S = а². Это одна и та же функция у = х², лишь обозначенная буквами а и S. Поэтому такими же буквами обозначают и координатные оси. Поскольку длина стороны квадрата может иметь только положительные значения, то область определения рассматриваемой функции — множество положительных чисел. Её график — на рисунке 36.

Пример:

Решите графически уравнение х² + 2х — 3 = 0.

Решение:

Запишем уравнение в виде х² = 3 — 2х. В одной системе координат построим графики функций у = х² и у = 3 — 2х (рис. 37). Пересекаются они в точках, абсциссы которых равны (возможно, приближённо) 1 и -3. Проверка подтверждает, что корни верны. О т в е т. х₁ = 1, х₂ = -3.

Рис. 36

Рис. 37

Функция y= √x

Функция

Вы уже знаете, что площадь квадрата является функцией длины его стороны: S = а². А как зависит длина стороны квадрата от изменения его площади? Решим уравнение а² = S (S > 0, а > 0). Используя определение арифметического корня, имеем,

На основании этой формулы каждому значению S соответствует единственное значение а, то есть а является функцией S. Существуют и другие задачи, решение которых приводит к функциям, где аргумент находится под знаком квадратного корня. Приведём примеры.

Площадь круга (S) находят по формуле , где R — радиус круга, = 3,14. Отсюда . Путь, пройденный телом при свободном падении, определяем по формуле , где t — время, g — постоянное число. Отсюда Рассмотрим свойства функции .

Область её определения — множество неотрицательных действительных чисел, поскольку только из неотрицательного числа можно извлечь квадратный корень. Составим таблицу значений функции для нескольких значений аргумента х:

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
y	0	1	1,41	1,73	2	2,24	2,45	2,65	2,83	3

Дробные значения здесь приближённые. Точки с координатами, указанными в этой таблице, нанесём на рисунке 49, а. Если на координатной плоскости отметить точки с координатами х и у при условии, что переменная х принимает все неотрицательные действительные значения, то получим график функции (рис. 49,б). Этот график — одна ветвь параболы. Она выходит из начала координат и располагается в первом координатном углу. Функция возрастает на всей области определения.

Рис. 49

Свойства функции можно установить по графику, изображённому, например, на рисунке 49, б. Представляем их в виде таблицы.

Свойства функции	Вид функции
Область определения	Все неотрицательные числа
Область значений	Все неотрицательные числа
Положительные значения	Все числа, кроме х = 0
Отрицательные значения	—
Промежутки убывания	—
Промежутки возрастания	х>0

В современной математике графики функций используют довольно часто. Остановимся на графическом решении уравнений. Пусть надо решить уравнение .

Заменим данное уравнение равносильным и построим в одной системе координат графики функций и (рис. 50)

Рис. 50

Эти графики пересекаются в точке с абсциссой х = 4. При таком значении х выражения и принимают равные значения, то есть число 4 — корень (возможно, приближённый) уравнения . Подставляем х = 4 в данное уравнение и убеждаемся, что 4 точный корень. Построенные графики других общих точек не имеют, следовательно, данное уравнение имеет только один корень: х = 4.

Хотите знать ещё больше?

График функции не обязательно строить по точкам. Этот график для х > О симметричен графику функции у = x² относительно биссектрисы первого координатного угла. Ведь равенства и при положительном х выражают одну и ту же зависимость между переменными х и у. Если во втором из этих равенств поменять х на у, а у на х, то это равнозначно замене оси х осью у и наоборот. Такие функции, как и называются обратными. Постройте их графики в одной системе координат и убедитесь, что они симметричны относительно прямой у = х.

Выполним вместе!

Пример:

В одной системе координат постройте графики функции

Решение:

Составим таблицу соответствующих значений х и у.

x	0	0,5	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	0	0,7	1	1,4	1,7	2	2,2	2,4	2,6	2,8	3
	0	1,4	2	2,8	3,4	4	4,4	4,8	5,2	5,6	6
	0	-1,4	-2	-2,8	-3,4	-4	-4,4	-4,8	-5,2	-5,6	-6

Дробные значения здесь приближённые. Построим в системе координат точки, координаты которых приведены в таблице. Получим графики соответствующих функций(рис. 51).

Рис. 51

Действительные числа

Известные вам числа — целые и дробные, положительные и отрицательные — представляют собой множество рациональных чисел. Рациональными их на зывают потому, что каждое можно записать в виде частного, отношения двух целых чисел, а слово «отношение» на латинском языке — ratio.

Попытаемся записать рациональные числа виде десятичных дробей. Для этого их числители разделим на знаменатели. Итак, В двух последних примерах деление можно продолжать бесконечно (почему?). Полученные доли частного — это бесконечные десятичные дроби, цифры которых периодически повторяются. Это бесконечные периодические десятичные дроби.

Бесконечные периодические десятичные дроби записывают короче:

0,363636… = (0,36); 1,166666… = 1,1(6).

Цифру или группу повторяющихся цифр называют периодом периодической десятичной дроби. Любую десятичную дробь и даже целое число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби, если к её дробной части дописать множество нулей:

1,125 = 1,125000… . 18 = 18,000… , -3,7 =-3,7000… .

Можно доказать, что: । каждое рациональное число можно представить в виде в бесконечной периодической десятичной дроби; любая бесконечная периодическая десятичная дробь изображает некоторое рациональное число.

Существуют ли числа, отличные от рациональных? Да, существуют. Например, вычисляя значения , , , получаем бесконечные непериодические десятичные дроби:

Эти числа — нерациональные. Числа, которые можно представить в виде бесконечных непериодических десятичных дробей, называют иррациональными. Иррациональный — означает нерациональный (латинское ir соответствует отрицательной частице не). Иррациональные числа вместе с рациональными образуют множество действительных чисел.

Множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел обозначают соответственно буквами N, Z, Q и R. Каждое из этих множеств является подмножеством (частью) следующего множества (рис. 41). Любое натуральное число является одновременно и целым, и рациональным, и действительным. Любое целое число — — также рациональное и действительное. Например, все числа 12, -3, , — действительные, три первых — рациональные, два первых — целые и только число 12 — натуральное.

Действительные числа, записанные в виде бесконечных десятичных дробей, сравнивают по тому же правилу, что и десятичные дроби. Например, число 3,131313… меньше, чем 4,0111…. 3,25 и , но больше, чем 3,1222…, -2, 0.

Действительные числа можно складывать, вычитать, умножать, возводить в степень и делить (на числа, отличные от нуля). Для сложения и умножения этих чисел верны переместительный, сочетательный и распределительный законы. Например,

Все правила действий над выражениями с переменными, доказанные ранее для рациональных значений переменных, справедливы и для произвольных действительных значений этих переменных. В частности, для любых действительных чисел верны известные вам свойства пропорций, дробей, степеней.

При решении прикладных задач иррациональные числа обычно округляют, отбрасывая бесконечные «хвосты» десятичных знаков. Например, если нужно найти значение суммы чисел и с точностью до тысячных, пишут:

Хотите знать ещё больше? Иррациональность числа можна доказать таким образом. Предположим, что число рациональное, то есть равно некоторой несократимой обыкновенной дроби . Тогда, , то есть число m², следовательно, и m — чётное:, . Подставив в равенство, получим , , число n — тоже чётное. Значит, дробь можно сократить на 2. А предполагалось, что эта дробь — несократимая. То есть сделанное предположение приводит к противоречию, поэтому число не является рациональным. Докажите таким способом, что числа и — иррациональные.

Выполним вместе!

Пример:

Представьте в виде десятичной дроби: а) : б) ; в) .

Решение:

а) Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, нужно числитель данной дроби разделить на её знаменатель. Имеем:

Ответ: а) 0,375; б) 0,(45); в) 2,1(6).

Пример:

Сравните числа:

Решение:

а) Разделив числитель дроби на знаменатель, получим 1,333… . Число 1,333… больше, чем 1,33. Поэтому 1,333… <-1,33, или —<-1,33; б) 1,333… < 1,34, следовательно, —> -1,34; в) = 1,333… , следовательно, = — 1,333… .

Рациональные выражения

• В этом параграфе вы ознакомитесь с дробями, числитель и знаменатель которых — выражения с переменными; научитесь складывать, вычитать, умножать и делить такие дроби; ознакомитесь с уравнениями, составленными с помощью этих дробей.
• Вы узнаете, с помощью каких правил можно заменить данное уравнение более простым.
• Вы расширите свои представления о понятии «степень», научитесь возводить числа в степень с целым отрицательным показателем.
• Вы научитесь строить математические модели процессов, в которых увеличение (уменьшение) одной величины в несколько раз приводит к уменьшению (увеличению) другой величины в такое же количество раз.

Рациональные дроби

В курсе алгебры 7 класса были рассмотрены целые выражения, то есть выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения и деления на отличное от нуля число.

Вот примеры целых выражений:

В курсе алгебры 8 класса мы рассмотрим дробные выражения.

Дробные выражения отличаются от целых тем, что они содержат деление на выражение с переменными.

Приведем примеры дробных выражений:

Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.

Если в рациональном выражении заменить переменные числами, то получим числовое выражение. Однако эта замена возможна только тогда, когда она не приводит к делению на нуль.

Например, выражение при не имеет смысла, то есть числового значения этого выражения при не существует. При всех других значениях это выражение имеет смысл.

Определение: Допустимыми значениями переменных, входящих в рациональное выражение, называют все значения переменных, при которых это выражение имеет смысл.

Например, в рассмотренном выше выражении допустимыми значениями переменной являются все числа, кроме 1.

Допустимыми значениями переменных, входящих в целое выражение, являются все числа.

Отдельным видом рационального выражения является рациональная дробь. Это дробь, числитель и знаменатель которой — многочлены. Так, рациональные выражения являются примерами рациональных дробей.

Отметим, что рациональная дробь может быть как целым выражением, так и дробным.

Знаменатель рациональной дроби не может быть нулевым многочленом, то есть многочленом, тождественно равным нулю.

Допустимыми значениями переменных, входящих в рациональную дробь, являются все те значения переменных, при которых значение знаменателя дроби не равно нулю.

Схема на рисунке 1 иллюстрирует связь между понятиями, которые рассматриваются в этом пункте.

Напомним, что числа и одночлены считают отдельными видами многочленов.

Пример:

Найдите допустимые значения переменной, входящей в выражение

Решение:

Дробь имеет смысл при всех значениях кроме а дробь имеет смысл при всех значениях кроме

Следовательно, искомыми допустимыми значениями переменной являются все числа, отличные от 0 и 5.

Основное свойство рациональной дроби

Равенство является тождеством, так как оно выполняется при любых значениях

Равенство также естественно считать тождеством. Но оно выполняется не при любых значениях При рациональные дроби, входящие в данное равенство, не имеют смысла.

Уточним принятые в 7 классе определение тождественно равных выражений и определение тождества.

Определение: Выражения, соответствующие значения которых равны при любых допустимых значениях входящих в них переменных, называют тождественно равными.

Определение: Равенство, которое выполняется при любых допустимых значениях входящих в него переменных, называют тождеством.

Например, равенство является тождеством, поскольку оно выполняется при всех допустимых значениях то есть при всех кроме

В 7 классе мы рассматривали тождественные преобразования целых выражений. Теперь рассмотрим тождественные преобразования дробных выражений.

Как вы знаете, основное свойство отношения выражается следующим равенством:

где и — некоторые числа, причем и

Рациональные дроби обладают свойством, аналогичным основному свойству отношения:

если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получим дробь, тождественно равную данной.

Это свойство называют основным свойством рациональной дроби и записывают:

где и — многочлены, причем многочлены и ненулевые.

В соответствии с этим свойством выражение можно заменить на тождественно равную ему дробь Такое тождественное преобразование называют сокращением дроби на множитель

Пример:

Сократите дробь:

Решение:

1) Одночлены и имеют общий множитель Тогда

можно записать:

2) Разложим числитель данной дроби на множители:

Следовательно, числитель и знаменатель данной дроби имеют общий множитель 3, сократив на который получаем:

3) Разложив предварительно числитель и знаменатель данной дроби на множители и сократив на общий множитель получаем:

Из основного свойства дроби следует, что

Каждую из дробей и можно записать в виде выражения

то есть

Пример:

Сократите дробь

Решение:

Имеем:

Пример:

Приведите дробь:

1) к знаменателю

2) к знаменателю

3) к знаменателю

Решение:

1) Поскольку то новый знаменатель отличается от знаменателя данной дроби множителем Следовательно, числитель и знаменатель данной дроби надо умножить на дополнительный множитель Имеем:

2) Запишем:

3) Умножив числитель и знаменатель данной дроби на число —1, получаем:

Пример:

Приведите к общему знаменателю дроби:

Решение:

1) Можно принять за общий знаменатель данных дробей произведение их знаменателей, равное Однако удобнее в качестве общего знаменателя взять одночлен сконструированный таким образом: его коэффициент 18 является наименьшим общим кратным коэффициентов 9 и 6 знаменателей данных дробей, а каждая из переменных и взята в степени с наибольшим показателем степени из тех, с которыми она входит в знаменатели данных дробей.

Поскольку то дополнительным множителем для дроби является одночлен Учитывая, что получаем, что дополнительным множителем для дроби является одночлен

Следовательно, получаем:

2) Здесь общий знаменатель данных дробей равен произведению их знаменателей. Имеем:

3) Чтобы найти общий знаменатель рациональных дробей, бывает полезным предварительно разложить их знаменатели на множители:

Следовательно, общим знаменателем данных дробей может служить выражение

Тогда

Пример:

Постройте график функции

Решение:

Данная функция определена при всех значениях кроме 1. Имеем:

то есть

Следовательно, искомым графиком являются все точки прямой за исключением одной точки, абсцисса которой равна 1 (рис. 2).

Пример:

Для каждого значения решите уравнение

Решение:

Запишем данное уравнение в виде и рассмотрим три случая.

1)

Тогда получаем уравнение которое не имеет корней.

2)

В этом случае получаем уравнение корнем которого является любое число.

3)

Тогда

Ответ: если то уравнение не имеет корней; если то корнем является любое число; если и то

Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями

Вы знаете правила сложения и вычитания обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями. Их можно выразить такими равенствами:

По таким же правилам складывают и вычитают рациональные дроби с одинаковыми знаменателями.

Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.

Чтобы вычесть рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тот же.

Пример:

Выполните вычитание:

Решение:

Пример:

Известно, что Найдите значение выражения

Решение:

Представим данную дробь в виде суммы целого и дробного выражений:

Если то Следовательно,

Пример:

Найдите все натуральные значения при которых значение выражения является целым числом.

Решение:

Представим данную дробь в виде разности целого и дробного выражений:

Выражение принимает натуральные значения при любом натуральном Поэтому выражение принимает целые значения, если значения выражения являются целыми числами. Это возможно только при следующих натуральных значениях

Ответ: или или или

Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями

Применяя основное свойство рациональной дроби, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями можно свести к сложению и вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями.

Пусть нужно сложить две рациональные дроби и

Можно записать:

Тогда

Здесь в качестве общего знаменателя выбрано выражение, равное произведению знаменателей данных дробей.

Отметим, что произведение знаменателей данных дробей не всегда является наиболее удобным общим знаменателем.

Напомним: чтобы найти общий знаменатель обыкновенных дробей, мы находили наименьшее общее кратное знаменателей, раскладывая их на простые множители. Аналогично, чтобы найти общий знаменатель рациональных дробей, может оказаться удобным предварительно разложить знаменатели на множители.

Пример:

Упростите выражение:

Решение:

1) Общим знаменателем данных дробей является одночлен

Следовательно,

2) Разложив предварительно знаменатели данных дробей на множители, получаем:

3) Имеем:

4)

5) В этом случае общий знаменатель данных дробей равен произведению их знаменателей. Тогда

Пример:

Представьте в виде дроби выражение

Решение:

Представив выражение в виде дроби со знаменателем 1, получаем:

Заметим, что сумма и разность двух рациональных дробей являются рациональными дробями.

Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень

Вы знаете правила умножения и деления обыкновенных дробей. Их можно выразить следующими равенствами:

По аналогичным правилам выполняют умножение и деление рациональных дробей.

Произведением двух рациональных дробей является рациональная дробь, числитель которой равен произведению числителей данных дробей, а знаменатель — произведению их знаменателей.

Частным двух рациональных дробей является рациональная дробь, числитель которой равен произведению числителя делимого и знаменателя делителя, а знаменатель — произведению знаменателя делимого и числителя делителя.

Пример:

Выполните действия:

Решение:

1) Имеем:

2) Представив многочлен в виде дроби со знаменателем 1, получаем:

Правило умножения двух дробей можно обобщить для случая, когда требуется найти произведение трех и более рациональных дробей. Например, для трех дробей имеем:

Пример:

Упростите выражение

Решение:

Имеем:

Применяя правило умножения дробей, можно получить правило возведения рациональных дробей в степень. Для натурального имеем:

Для договорились, что

Следовательно,

где — натуральное число.

Чтобы возвести рациональную дробь в степень, нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель. Первый результат записать как числитель, а второй — как знаменатель дроби.

Пример:

Представьте в виде дроби выражение

Решение:

Тождественные преобразования рациональных выражений

Правила действий с рациональными дробями позволяют любое рациональное выражение преобразовать в рациональную дробь. Рассмотрим примеры.

Пример:

Упростите выражение

Решение:

Данное выражение можно упростить аналогично тому, как мы делали это, когда находили значение числового выражения, содержащего несколько арифметических действий. Выполним действия в соответствии с порядком выполнения арифметических действий: сначала — вычитание выражений, стоящих в скобках, затем — деление и наконец — вычитание:

Ответ:

Преобразование рационального выражения можно выполнять не отдельными действиями, а «цепочкой». Проиллюстрируем этот прием на примере.

Пример:

Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения не зависит от значения

Решение:

Упростим данное выражение:

Следовательно, при всех допустимых значениях значение данного выражения равно 3.

Пример:

Докажите тождество

Решение:

Преобразуем левую часть доказываемого равенства.

Здесь целесообразно раскрыть скобки, применяя распределительное

свойство умножения:

Тождество доказано.

Пример:

Упростите выражение

Решение:

Записав данное выражение в виде частного от деления числителя на знаменатель, получим:

Данное выражение можно упростить иным способом, используя основное свойство дроби, а именно: умножить ее числитель и знаменатель на одночлен

Ответ:

Равносильные уравнения. Рациональные уравнения

Рассмотрим два уравнения: и Очевидно, что каждое из них имеет одни и те же корни: Говорят, что уравнения и равносильны. Приведем еще примеры пар равносильных уравнений:

и

Рассмотрим уравнения и Каждое из этих уравнений не имеет корней. Такие уравнения также принято считать равносильными.

Определение: Два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни или каждое из уравнений не имеет корней.

Число 2 является корнем каждого из уравнений и Однако эти уравнения не являются равносильными, так как первое уравнение имеет еще один корень, равный —1, который не является корнем второго уравнения.

В 7 классе вы изучили свойства уравнений с одной переменной. Теперь, используя понятие «равносильные уравнения», эти свойства можно сформулировать следующим образом.

• Если к обеим частям дачного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.
• Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.
• Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

Рассмотрим такую задачу. Автомобиль, проехав 180 км пути, увеличил скорость на 10 км/ч и оставшиеся 210 км проехал за то же время, что и первую часть пути. Найдите начальную скорость автомобиля.

Решение:

Пусть км/ч — искомая скорость. Тогда скорость автомобиля на второй части пути равна км/ч. Автомобиль преодолел первую часть пути за ч, а вторую — за ч.

Уравнение является математической моделью рассмотренной реальной ситуации. Обе части полученного уравнения являются рациональными выражениями.

Определение: Уравнение, левая и правая части которого являются рациональными выражениями, называют рациональным.

Из определения следует, что, решая задачу, мы получили рациональное уравнение.

Отметим, что линейное уравнение с одной переменной, то есть уравнение вида является рациональным.

Рассмотрим рациональное уравнение вида где и — многочлены.

Вы знаете, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, и знаменатель отличен от нуля. Поэтому, чтобы решить уравнение вида нужно потребовать одновременного выполнения двух условий: и Это значит, что при решении уравнений указанного вида следует руководствоваться таким алгоритмом:

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Приравняем числитель дроби, стоящей в левой части уравнения, к нулю. Имеем: Корнями этого уравнения являются числа —1 и 1.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию При получаем, что При получаем, что

Следовательно, число —1 является корнем заданного уравнения, а число 1 — нет.

Ответ: —1 .

Как мы уже отмечали выше, решение уравнения вида сводится к решению уравнения и проверке условия

Говорят, что уравнение равносильно системе

Например, уравнение равносильно системе

Как мы выяснили, решением этой системы является число —1.

Завершим решение задачи об автомобиле. Имеем:

Переходим к равносильному уравнению

Отсюда

Последнее уравнение равносильно системе

Корнем уравнения, входящего в систему, является число 60; очевидно, что оно удовлетворяет условию

Ответ: 60 км/ч.

Как известно, любое рациональное выражение можно представить в виде дроби. Поэтому любое рациональное уравнение можно свести к уравнению вида Именно так мы и поступили, решая уравнение

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Имеем: Представив левую часть этого уравнения в виде рациональной дроби, получим:

Полученное уравнение равносильно системе

Перепишем эту систему так:

Следовательно, данное уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Представим левую часть уравнения в виде дроби:

Полученное уравнение равносильно системе

откуда получаем:

Ответ: —4.

Рассмотрим задачу, в которой рациональное уравнение является математической моделью реальной ситуации.

Пример:

Турист проплыл на лодке 3 км по течению реки и 2 км против течения за 30 млн. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Решение:

Пусть скорость лодки в стоячей воде равна км/ч. Тогда ее скорость по течению реки составляет км/ч, а против течения км/ч. Турист проплыл 3 км по течению за а 2 км против течения — Поскольку весь путь был пройден за то

Решим полученное уравнение:

или

Корень не соответствует смыслу задачи. Следовательно, скорость лодки в стоячей воде равна 10 км/ч.

Ответ: 10 км/ч.

Степень с целым отрицательным показателем

Часто для записи больших чисел в компактном виде используют степень с натуральным показателем. Например,

В науке и практике для краткой записи больших значений величин используют степень числа 10.

Например, расстояние от Земли до Полярной звезды приблизительно равно 4 470 000 000 000 000 км, или км. Масса Солнца равна 1 990 000 000 000 000 000 000 000 000 000 кг, или кг.

Это были примеры из макромира, то есть мира очень больших физических величин. Приведем примеры из микромира, то есть мира очень маленьких физических величин. Масса атома Гидрогена равна 0,000000000000000000000000001661 кг.

Радиус атома Оксигена равен 0,0000000066 см. Для записи этих величин точно так же можно использовать степень числа 10. Имеем:

Однако если договориться обозначить и соответственно и , то для рассмотренных величин получим «одноэтажную» форму записи:

Аналогично можно договориться, что, например,

Определение: Для любого числа не равного нулю, и натурального числа

Из определения следует, что, например,

Итак, мы можем возводить число в любую целую степень, кроме нуля. Заполним этот пробел.

Определение: Для любого числа не равного нулю,

Например,

Выражение при целых меньших или равных нулю, не имеет смысла.

Из данных определений следует, что при любом и делом числа и являются взаимно обратными. Поэтому равенство выполняется при любом целом

Например, при имеем:

В справочной литературе вы можете найти следующую информацию: «Масса Венеры равна кг. Масса Марса равна кг. Площадь поверхности Луны равна » Числа, выражающие эти величины, записаны в так называемом стандартном виде.

Определение: Стандартным видом числа называют его запись в виде произведения где и — целое число.

Число называют порядком числа, записанного в стандартном виде. Например, порядок числа, выражающего массу Солнца в килограммах, равен 30, а порядок числа, выражающего массу атома Гидрогена в килограммах, равен -27.

В стандартном виде можно записать любое положительное число. Например, Однако на практике стандартный вид числа используют для записи больших и малых значений величин. При этом порядок числа дает представление о величине. Например, если порядок числа равен 3, то есть то с учетом того, что получаем:

Пример:

Найдите значение выражения:

Решение:

1)

И вообще, если и то

Пример:

Представьте выражение в виде рациональной дроби.

Решение:

Пример:

Запишите в стандартном виде число: 1) 564 000 000; 2) 0,0036.

Решение:

Свойства степени с целым показателем

В 7 классе вы изучали свойства степени с натуральным показателем. Они справедливы и для степени с любым целым показателем.

Теорема: Для любого и любых целых и выполняются равенства:

(1)

(2)

Теорема: Для любых и любого целого выполняется равенство

(3)

Равенство (1) выражает основное свойство степени. Докажем его.

Для натуральных и это равенство уже было доказано в курсе алгебры 7 класса.

Рассмотрим теперь случай, когда и — целые отрицательные числа.

Если и — целые отрицательные числа, то и — натуральные числа. Тогда

Имеем:

Для завершения доказательства основного свойства степени следует также рассмотреть следующие случаи: один из показателей степени или отрицательный, а другой — положительный; один или оба показателя равны нулю. Рассмотрите эти случаи самостоятельно.

Равенства (2) и (3) можно доказать аналогично.

С помощью свойства (1) докажем следующую теорему.

Теорема: Для любого и любых целых и выполняется равенство

(4)

Доказательство: Имеем:

С помощью свойств (2) и (3) докажем следующую теорему.

Теорема: Для любых и любого целого выполняется равенство

(5)

Доказательство: Имеем:

Свойства (1)-(5) называют свойствами степени с целым показателем.

Пример:

Представьте в виде степени с основанием выражение:

Решение:

1) Применив основное свойство степени, получаем:

2) Используя равенство получаем:

3) Применив последовательно правила возведения степени в степень (свойство (2)), умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями (свойства (1) и (4)), получаем:

Пример:

Найдите значение выражения:

Решение:

1) Имеем:

2) Представив числа 16 и 8 в виде степеней с основанием 2, получаем:

3) Используя правило возведения дроби в степень (свойство (5)),

получаем:

Пример:

Упростите выражение:

Решение:

Пример:

Выполните умножение и результат запишите в стандартном виде.

Решение:

Функция y=k/x и ее график

Функция и ее график

В курсе математики 6 класса вы ознакомились с функциональной зависимостью, при которой с увеличением (уменьшением) одной величины в несколько раз другая величина уменьшается (увеличивается) во столько же раз. Такую зависимость называют обратной пропорциональностью. Рассмотрим два примера.

Пример:

Пусть имеется 500 грн. Обозначим через грн цену 1 кг товара, а через кг — количество этого товара, которое можно приобрести за 500 грн.

Зависимость переменной от переменной является обратной пропорциональностью: увеличение цены в несколько раз приводит к уменьшению количества товара во столько же раз и, наоборот, уменьшение цены приводит к увеличению количества купленного товара.

Этой функциональной зависимости соответствует функция, заданная формулой

Пример:

Рассмотрим прямоугольник, площадь которого равна , а стороны — см и см. Тогда

Увеличение (уменьшение) знаменателя в несколько раз приводит к уменьшению (увеличению) величины у во столько же раз, то есть зависимость переменной от переменной является обратной пропорциональностью.

В рассмотренных примерах математической моделью реальных ситуаций является функция, которую можно задать формулой вида

Определение: Функцию, которую можно задать формулой вида где называют обратной пропорциональностью.

Поскольку в выражении допустимыми значениями переменной являются все числа, кроме 0, то областью определения функции — также являются все числа, кроме 0.

Рассмотрим функцию В таблице приведены некоторые значения аргумента и соответствующие им значения функции.

Отметим на координатной плоскости точки, координаты которых приведены в таблице (рис. 3).

Чем больше точек, координаты которых удовлетворяют уравнению нам удастся отметить, тем меньше полученная фигура (рис. 4) будет отличаться от графика функции

Среди отмеченных точек не может быть точки, абсцисса которой равна нулю, поскольку число 0 не принадлежит области определения данной функции. Поэтому график функции не имеет общих точек с осью ординат.

Кроме того, этот график не имеет общих точек и с осью абсцисс, то есть точек, ординаты которых равны нулю. Действительно, уравнение не имеет решений. Следовательно, число 0 не принадлежит области значений данной

функции.

Если то то есть если то Следовательно, точки графика данной функции могут находиться только в I и III координатных четвертях.

Заметим, что с увеличением модуля абсциссы расстояния от точек графика функции до оси абсцисс уменьшаются и могут стать сколь угодно малыми, но никогда не будут равны нулю. Действительно, чем больше модуль аргумента, тем меньше модуль соответствующего значения функции.

Аналогично можно установить, что с уменьшением модуля абсциссы расстояния от точек графика до оси ординат уменьшаются и могут стать сколь угодно малыми, но никогда не будут равны нулю.

Если бы удалось отметить на координатной плоскости все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению то мы получили бы фигуру, изображенную на рисунке 5.

Фигуру, являющуюся графиком функции , где называют гиперболой. Гипербола состоит из двух частей — ветвей гиперболы.

Заметим, что если верно равенство то также верно равенство Тогда можно сделать следующий вывод: если точка принадлежит гиперболе то точка также принадлежит этой гиперболе.

На рисунке 5 изображена гипербола

Если то ветви гиперболы расположены в I и III четвертях, а если — то во II и IV четвертях.

На рисунке 6 изображен график функции . Ветви гиперболы расположены во II и IV четвертях.

Заметим, что областью значений функции где являются все числа, кроме 0.

В таблице приведены свойства функции изученные в этом пункте.

Область определения Все числа, кроме 0

Область значений Все числа, кроме 0

График Гипербола

Нуль функции (значение аргумента, при котором значение функции равно 0)

Не существует

Свойство графика

Если точка принадлежит гиперболе то точка также принадлежит этой гиперболе.

Покажем, как график функции можно использовать при решении уравнений.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Рассмотрим функции и Построим в одной системе координат графики этих функций (рис. 7). Они пересекаются в двух точках, абсциссы которых равны 1 и —4. В каждой из точек пересечения графиков значение функции равно значению функции Следовательно, при найденных абсциссах значения выражении и равны, то есть числа 1 и —4 являются корнями уравнения Проверка это подтверждает. Действительно, и

Описанный метод решения уравнений называют графическим. В 7 классе вы ознакомились с графическим методом решения систем уравнений и знаете, что этот метод не всегда дает точные результаты. Поэтому проверка найденных корней является обязательным этапом решения уравнения.

В дальнейшем (п. 22) вы научитесь решать такие уравнения, не используя графический метод.

ГЛАВНОЕ В ПАРАГРАФЕ 1

Рациональное выражение

Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.

Допустимые значения переменных

Допустимыми значениями переменных, входящих в рациональное выражение, называют все значения переменных, при которых это выражение имеет смысл.

Тождественно равные выражения

Выражения, соответствующие значения которых равны при любых допустимых значениях входящих в них переменных, называют тождественно равными.

Тождество

Равенство, которое выполняется при любых допустимых значениях входящих в него переменных, называют тождеством.

Основное свойство рациональной дроби

Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получим дробь, тождественно равную данной.

Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.

Чтобы вычесть рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тот же.

Умножение рациональных дробей

Произведением двух рациональных дробей является рациональная дробь, числитель которой равен произведению числителей данных дробей, а знаменатель — произведению их знаменателей.

Деление рациональных дробей

Частным двух рациональных дробей является рациональная дробь, числитель которой равен произведению числителя делимого и знаменателя делителя, а знаменатель — произведению знаменателя делимого и числителя делителя.

Возведение рациональной дроби в степень

Чтобы возвести рациональную дробь в степень, нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель. Первый результат записать как числитель, а второй — как знаменатель дроби.

Равносильные уравнения

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни или каждое из уравнений не имеет корней.

Свойства уравнений

Бели к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.

Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

Рациональное уравнение

Уравнение, левая и правая части которого являются рациональными выражениями, называют рациональным.

Степень с целым отрицательным показателем

Для любого числа не равного нулю, и натурального числа

Степень с показателем, равным нулю

Для любого числа не равного нулю,

Стандартный вид числа

Стандартным видом числа называют его запись в виде произведения где и — целое число.

Свойства степени с целым показателем

Для любых и и любых целых и выполняются равенства:

(основное свойство степени);

Функция обратная пропорциональность

Функцию, которую можно задать формулой вида , где называют обратной пропорциональностью.

Свойства функции

Область определения: все числа, кроме 0.

Область значений: все числа, кроме 0.

График: гипербола.

Нуль функции: не существует.

Свойство графика: если точка принадлежит гиперболе то точка также принадлежит этой гиперболе.

Функция y=x² и ее график

Обозначим через площадь квадрата со стороной Тогда

С изменением стороны квадрата соответственно будет изменяться и его площадь .

Понятно, что каждому значению переменной соответствует единственное значение переменной . Следовательно, зависимость переменной от переменной является функциональной, а формула задает функцию.

Рассмотрим функцию , областью определения которой являются все числа. В таблице приведены некоторые значения аргумента и соответствующие им значения функции.

Отметим на координатной плоскости точки, координаты которых возьмем из таблицы (рис. 11).

Чем больше точек, координаты которых удовлетворяют уравнению будет отмечено, тем меньше полученная фигура (рис. 12) будет отличаться от графика функции

Пара чисел (0; 0) является решением уравнения Следовательно, график данной функции проходит через начало координат. Поскольку то то есть среди отмеченных точек не может быть точек с отрицательными ординатами.

Область значений функции — все неотрицательные числа.

Если бы удалось отметить на координатной плоскости все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению то получилась бы фигура — график функции которую называют параболой (рис. 13).

Точка с координатами (0; 0) делит параболу на две равные части, каждую из которых называют ветвью параболы, а саму точку — вершиной параболы.

Заметим, что если верно равенство то верно и равенство Тогда можно сделать такой вывод: если точка принадлежит параболе то точка также принадлежит этой параболе.

В таблице приведены свойства функции изученные в этом пункте. Область определения Все числа

Область значений Все неотрицательные числа

График Парабола

Нуль функции (значение аргумента, при котором значение функции равно 0)

Свойство графика Если точка принадлежит параболе то точка также принадлежит этой параболе.

Пример:

Решите графически уравнение

Решение:

В одной системе координат построим графики функций и (рис. 14). Эти графики пересекаются в двух точках, абсциссы которых равны 2 и —1. Следовательно, как при так и при значения выражений и равны, то есть числа 2 и —1 являются корнями уравнения Проверка это подтверждает. Действительно, и

Функция y=√x и ее график

Функция и ее график

Если площадь квадрата равна то его сторону можно найти по формуле Изменение площади квадрата приводит и к изменению его стороны .

Каждому значению переменной соответствует единственное значение переменной . Следовательно, зависимость переменной от переменной является функциональной, а формула задает функцию.

Поскольку в выражении допустимыми значениями переменной являются все неотрицательные числа, то областью определения функции является множество неотрицательных чисел.

Выражение не может принимать отрицательные значения, то есть ни одно отрицательное число не может принадлежать области значений рассматриваемой функции. Покажем, что функция может принимать любые неотрицательные значения, например 7,2. Действительно, существует такое значение аргумента что Это значение равно На этом примере мы видим, что для любого неотрицательного числа всегда найдется такое значение что Таким значением аргумента является число

Следовательно, областью значений функции является множество неотрицательных чисел.

Заметим, что если то

Учитывая область определения и область значений функции можно сделать вывод, что ее график расположен только в первой координатной четверти.

В таблице приведены некоторые значения аргумента и соответствующие им значения функции

Отметим на координатной плоскости точки, координаты которых приведены в таблице (рис. 29).

Чем больше отметить точек, координаты которых удовлетворяют уравнению тем меньше полученная фигура будет отличаться от графика функции (рис. 30).

Если бы удалось отметить на координатной плоскости все такие точки, то получили бы фигуру, изображенную на рисунке 31. В старших классах будет доказано, что графиком функции является фигура, равная ветви параболы

Пусть и — два произвольных значения аргумента функции таких, что Тогда из свойства арифметического квадратного корня следует, что

Это означает, что большему значению аргумента функции соответствует большее значение функции. Верно и обратное утверждение: большему значению функции соответствует большее значение аргумента, то есть если то (рис. 32).

В таблице приведены свойства функции изученные в этом пункте. Область определения Множество неотрицательных чисел

Область значений Множество неотрицательных чисел

График Ветвь параболы

Нуль функции (значение аргумента, при котором значение функции равно 0)

Сравнение значений функции

Большему значению аргумента соответствует большее значение функции

Пример:

Решите графически уравнение

Решение:

В одной системе координат построим графики функций и (рис. 33). Эти графики пересекаются в точке, абсцисса которой равна 4. Проверка подтверждает, что число 4 является корнем данного уравнения.

Пример:

Сравните числа: и 2) и

Решение:

1) Поскольку и то то есть

2) Имеем:

Следовательно,

Пример:

При каких значениях выполняется неравенство

Решение. Запишем данное неравенство так: Поскольку большее значение функции соответствует большему значению аргумента, то можно сделать вывод, что Учитывая, что выражение имеет смысл только при получаем, что данное неравенство выполняется при всех удовлетворяющих неравенству

Пример:

Упростите выражение

Решение:

Поскольку и то и

Отсюда получаем:

Ответ: 1.

——-

Рациональные выражения

В этом разделе вы научитесь:

• упрощать рациональные выражения;
• выполнять действия над рациональными выражениями;
• решать задачи, которые требуют составления рациональных выражений;
• классифицировать четырёхугольники;
• проводить классификацию параллелограммов;
• исследовать общие и различные свойства параллелограммов;
• решать задачи, применяя свойства четырёхугольника. Рациональные выражения широко используются для решения проблем в различных областях, таких как экономика, медицина, транспорт, космические исследования, энергетика, акустика и т.д.

Знания о четырёхугольниках, наряду с применением в повседневной жизни, широко применяются в строительстве, в дизайне, при производстве мебели и т.д.

Это интересно!

Бельгиец Марсель Толковский в 21 год придумал точную математическую модель для огранки бриллиантов. В ней он определил такие пропорции, при которых камень был прозрачен, имел идеальную круглую форму и при этом свет, входящий в бриллиант, отражался максимально.

Благодаря математической модели Марселя Толковского процесс огранки бриллиантов был автоматизирован. На сегодняшний день Бельгия является ведущей страной по обработке бриллиантов.

Исследование.

Опишите общие и различные свойства выражений. 1) Площадь прямоугольника со сторонами

2) Ширина прямоугольника с площадью и длиной

Рациональные выражения Сумма, разность и произведение многочленов, также является многочленом. Отношение многочленов не всегда является многочленом. Например, отношение многочлена является многочленом, т.к. существует такой многочлен, произведение которого с многочленом равно

Однако отношение многочленов не является многочленом, т.к. нет такого многочлена, произведение которого с

Отношение двух многочленов называется рациональным выражением.

Например:

Любой многочлен можно представить в виде дроби со знаменателем 1. Например, Таким образом, многочлен также является рациональным выражением. Сумма, разность, произведение и отношение рациональных выражений также являются рациональными выражениями, то есть их можно преобразовать в дробь, у которой числитель и знаменатель-некоторые многочлены (в частном случае одночлены).

Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называются областью допустимых значений переменных (ОДЗ).

Многочлен имеет смысл при всех значениях переменной (то есть,при любом значении переменной можно найти соответствующее значение выражения). Однако, рациональное выражение может не иметь смысла при некоторых значениях переменной.

Например, выражение не имеет смысла при так как при знаменатель превращается в нуль.

На нуль делить нельзя! Поэтому, если знаменатель дроби содержит одну или несколько переменных, то они не могут принимать значения, которые обращают знаменатель в нуль.

Пример:

найдём возможные значения переменного в рациональном выражении

Чтобы найти при каких значениях знаменатель дроби обращается в нуль, надо решить уравнение Данное уравнение имеет два корня: 0 и 1. Значит допустимыми значениями являются любые числа, кроме 0 и 1. Для рациональной дроби ОДЗ записывается как

Эквивалентные рациональные выражения

Тождественно равные (эквивалентные выражения)

Два выражения называются тождественно равными или эквивалентными, если они имеют одинаковые значения при всех допустимых значениях переменных. Значение дроби не изменится, если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число отличное от нуля, т.е при справедливо следующее равенство , а это значит, что данная дробь умножается на дробь , т.е. на 1. Аналогичное свойство верно и для рациональных выражений. При умножении или делении числителя и знаменателя рационального выражения на одно и то же отличное от нуля выражение, получается дробь,эквивалентная данному выражению при всех допустимых значениях переменной.

Пример:

Покажем эквивалентность дробей

1. Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение Получим

2. Разделим числитель и знаменатель дроби на выражение Получим

Внимание! При определении возможных значений переменных эквивалентных выражений надо учитывать существование каждой из дробей в левых и правых частях равенства.

Упрощение рациональных выражений

Для упрощения рациональных выражений надо:

1. Разложить числитель и знаменатель на множители (если это возможно);
2. Определить общий множитель;
3. Разделить числитель и знаменатель на общий множитель.

Пример:

Пример:

Внимание! При изменении знака числителя (или знаменателя) дроби и знака перед дробью, получается дробь эквивалентная данной.

Разложение трёхчлена на множители и упрощение рациональных выражений

Если числитель или знаменатель рационального выражения является трёхчленом, то для сокращения дроби применяют различные методы разложения на множители. Если для трёхчлена возможно найти такие числа чтобы их произведение было равно а сумма была равна то в этом случае:

На самом деле, если тогда можно записать, что Понятно что, если являются целыми числами, то числа надо искать среди делителей числа

Пример:

Для сокращения дроби сначала надо разложить числитель и знаменатель на множители.

Для разложения на множители трёхчлена надо найти два положительных числа, произведение которых равно 6, а сумма 5. Это числа 2 и 3:

Для разложения на множители трёхчлена надо найти два числа, произведение которых равно -3, а сумма 2. Так как, эти числа 3 и 1, тогда имеем

Для разложения на множители трёхчлена надо найти такие

числа чтобы Тогда

Пример:

Сократим дробь

Для

Умножение, деление и возведение в степень рациональных выражений

Умножение, деление и возведение в степень рациональных выражений выполняется по тем же правилам, что и соответствующие действия с обыкновенными дробями.

Умножение рациональных выражений.

здесь некоторые многочлены

Пример:

Деление рациональных выражений

Чтобы разделить дробь на дробь надо делимое умножить на дробь обратную делителю.

Это правило верно и, если делимое или делитель являются многочленами.

Пример:

Возведение рациональных дробей в степень:

Пример:

Сложение и вычитание рациональных выражений

Для того, чтобы получить точную фотография важно уметь правильно выбрать фокусное расстояние (расстояние от фокуса, точки, в которой сгущаются параллельные лучи света от объекта, до линзы). Это расстояние можно вычислить по формуле.

— фокусное расстояние,

— расстояние от объекта до линзы фотоаппарата,

— расстояние от линзы фотоаппарата до ленты.

Представьте себе, что расстояние от объекта, который вы хотите сфотографировать, до линзы фотоаппарата 50 см, а расстояние от линзы до ленты 8 см. Чему в данном случае будет равно фокусное расстояние?

Сложение и вычитание рациональных выражений

Сложение и вычитание рациональных выражений выполняется по правилам сложения и вычитания обыкновенных дробей.

Сложение и вычитание рациональных выражений с одинаковыми знаменателями: здесь некоторые многочлены

Пример:

Сложение и вычитание рациональных выражений с разными знаменателями: здесь некоторые многочлены

Пример:

Найдем разность.

Числитель и знаменатель первой дроби умножим на а числитель и знаменатель второй дроби на приведём дроби к общему знаменателю, а затем выполним вычитание.

Нахождение простейшего общего знаменателя

Часто удаётся найти более простой общий знаменатель, чем произведение знаменателей. Чтобы найти простейший общий знаменатель для дробей с разными знаменателями, сначала необходимо разложить знаменатель каждой дроби на множители. Простейший общий знаменатель равен произведению, составленному из НОК коэффициентов знаменателей и различных множителей, взятых с большей степенью.

Пример:

Сложим дроби

тогда простейший общий знаменатель будет:

Каждое рациональное выражение запишем в виде эквивалентной дроби со знаменателем и выполним сложение.

Пример:

Найдём разность дробей

Упрощение рациональных выражений

Рассмотрим примеры на различные действия над рациональными выражениями.

Пример:

Выполните действия.

Пример:

Упростите.

Степень с целым показателем

Степень с целым отрицательным показателем

Запишем последовательно 0; 1; 2 и тд. степени числа В этой строке каждое число в 10 раз меньше следующего. Если продолжить запись влево, в соответствии с данным правилом, то получим следующее: перед числом стоит число перед числом число и т.д.

Степень каждого числа в этой строке от числа справа, на единицу меньше степени следующего числа. Примен ив данное правило к числам, стоящим слева от числа получим отрицательные степени числа 10, которые запишем так: вместо запишем вместо запишем и т.д.

Обобщив полученное, примем при

На самом деле, приняв во внимание основное свойство степени при

имеем а отсюда получим,

Пример:

Свойства степени с целым показателем

Для любого и любых целых чисел и справедливы равенства

Для любых и для любого целого числа справедливы равенства

Действия над степенями с целым показателем, выполняются по тем же правилам, что и над степенями с натуральным показателем.

Пример:

К такому же результату можно прийти по определению степени с отрицательным показателем и по свойству степени с натуральным показателем.

Пример:

Стандартный вид числа

В науке и технике наряду с очень большими положительными числами встречаются и очень маленькие положительные числа Например, объём Земли выражается гигантским числом а диаметр молекулы очень маленьким числом Большие и малые числа неудобно записывать в виде обыкновенных или десятичных дробей и выполнять какие-либо действия над ними. В этом случае их представляют в виде

Например, или

Запись числа в виде называется стандартным видом числа, где и целое число, число называется значащей частью, — порядком.

Пример:

1) (порядок равен 6).

2) (порядок равен 7).

Функция y= k/x и ее график

Функция и ее график

Исследуем зависимость между сторонами прямоугольника с площадью Выразив длину через см, а ширину через см, эту зависимость можно записать в виде Так как в данном задании и выражают измерения длины и ширины прямоугольника, то они могут принимать только положительные значения. Составим таблицу, в которой будем задавать значения и находить соответствующие значения . Из таблицы видно, что во сколько раз значение увеличивается, во столько же раз значение уменьшается, т.е. переменные и связаны обратно пропорциональной зависимостью.

На координатной плоскости отметим точки, указанные в таблице, и соединим их плавной линией, как показано на рисунке.

Произведение абсциссы и ординаты (длины и ширины прямоугольника) любой точки на графике остаётся постоянным и в данном случае равно 6-ти (площади прямоугольника).

Если переменные и связаны обратно пропорциональной зависимостью, то по заданным значениям можно определить формулу данной зависимости.

Пример:

Переменные и связаны обратно пропорциональной зависимостью и при Запишите формулу данной зависимости. Так как произведение переменных, связанных обратно пропорциональной зависимостью, всегда остаётся постоянным, то обозначим эту постоянную через тогда В нашем случае Тогда соответствующую зависимость можно записать в виде формулы так:

Рассмотрим функцию, заданную формулой в которой переменная принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Пример:

Составим таблицу значений функции и построим её график.

Определение: функция, заданная формулой называется обратно пропорциональной функцией.

Где — независимая переменная, — число отличное от нуля. Функция определена для всех , кроме нуля

График функции симметричен относительно начала координат. Если точка принадлежит графику функции , то точка также принадлежит графику функции. График функции называется гиперболой. Гипербола состоит из двух ветвей. При ветви гиперболы расположены в I и II1 четверти, а при расположены во II и IV четверти. Чем больше абсолютное значение абсциссы на графике, тем ближе эта точка расположена к оси абсцисс.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Сложение дробей бывает двух видов:

1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями;
2. Сложение дробей с разными знаменателями.

Сначала изýчим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения.

Например, слóжим дроби    и  . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к   пиццы прибавить  пиццы, то получится  пиццы:

---

Пример 2. Сложить дроби  и  .

Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

В ответе получилась неправильная дробь .  Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два будет один:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к  пиццы прибавить еще  пиццы, то получится одна целая пицца:

---

Пример 3. Сложить дроби    и   .

Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к  пиццы прибавить ещё  пиццы, то получится  пиццы:

---

Пример 4. Найти значение выражения  

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к  пиццы прибавить  пиццы и ещё прибавить  пиццы, то получится 1 целая и ещё  пиццы.

Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями нет ничего сложного. Достаточно понимать следующие правила:

1. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения;
2. Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.

---

Сложение дробей с разными знаменателями

Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

Например, дроби   и   сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.

А вот дроби    и    сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.

Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.

Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1. Сложим дроби  и 

У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6

НОК (2 и 3) = 6

Теперь возвращаемся к дробям  и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.

Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.

Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:

Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Таким образом, пример завершается.  К  прибавить  получается .

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к  пиццы прибавить  пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:

Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби  и  к общему знаменателю, мы получили дроби  и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).

Первый рисунок изображает дробь  (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь  (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем  (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили  (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).

Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:

Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби?«.

Поэтому на первых этапах советуем записывать каждую мелочь. Хвастаться можно лишь в будущем, когда будут усвоены азы.

Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:

1. Найти НОК знаменателей дробей;
2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
4. Сложить дроби, у которых одинаковые знаменатели;
5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;

Пример 2. Найти значение выражения  .

Воспользуемся инструкцией, которая приведена выше.

Шаг 1. Найти НОК знаменателей дробей

Находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4

Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби

Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:

Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители

Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:

Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:

Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.

Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить в ней целую часть

У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:

Получили ответ 

---

Вычитание дробей с разными знаменателями

Теперь научимся вычитать дроби у которых разные знаменатели. Когда вычитают дроби их знаменатели должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

Например, от дроби  можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей  одинаковые знаменатели. А вот от дроби  нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.

Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1. Найти значение выражения: 

У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12

НОК (3 и 4) = 12

Теперь возвращаемся к дробям  и 

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:

Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Получили ответ 

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от  пиццы отрезать  пиццы, то получится  пиццы

Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:

Приведение дробей  и  к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби  и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):

Первый рисунок изображает дробь  (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь  (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь  и описывает эти пять кусочков.

---

Пример 2. Найти значение выражения 

У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Найдём НОК знаменателей этих дробей.

Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30

НОК (10, 3, 5) = 30

Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:

Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли  к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.

Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:

В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь.

Чтобы сократить дробь , нужно разделить её числитель и знаменатель на наибольший общий делитель (НОД) чисел 20 и 30.

Итак, находим НОД чисел 20 и 30:

Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби  на найденный НОД, то есть на 10

Получили ответ 

Задания для самостоятельного решения:

Задание 1. Найдите значение выражения:

Задание 2. Найдите значение выражения:

Задание 3. Найдите значение выражения:

Задание 4. Найдите значение выражения:

Задание 5. Найдите значение выражения:

Задание 6. Найдите значение выражения:

Задание 7. Найдите значение выражения:

Задание 8. Найдите значение выражения: