Как найти значение параметра номер - Autoru.top

Одна из сложных задач Профильного ЕГЭ по математике — задача с параметрами. В ЕГЭ 2022 года это №17. И даже в вариантах ОГЭ они есть. Что же означает это слово — параметр?

Толковый словарь (в который полезно время от времени заглядывать) дает ответ: «Параметр — это величина, характеризующая какое-нибудь основное свойство устройства, системы, явления или процесса».

Хорошо, параметр — это какая-либо характеристика, свойство системы или процесса.

Вот, например, ракета выводит космический аппарат в околоземное пространство. Как вы думаете — какие параметры влияют на его полет?

Если корабль запустить с первой космической скоростью, приближенно равной 7,9 км/с, он выйдет на круговую орбиту.

Вторая космическая скорость, приближенно равная 11,2 км/с, позволяет космическому кораблю преодолеть поле тяжести Земли. Третья космическая скорость, приближенно равная 16,7 км/с, дает возможность преодолеть гравитационное притяжение Земли и Солнца и покинуть пределы Солнечной системы.

А если скорость меньше первой космической? Значит, тонны металла, топлива и дорогостоящей аппаратуры рухнут на землю, сопровождаемые репликой растерянного комментатора: «Кажется, что-то пошло не так».

Скорость космического корабля можно — параметр, от которого зависит его дальнейшая траектория и судьба. Конечно, это не единственный параметр. В реальных задачах науки и техники, задействованы уравнения, включающие функции многих переменных и параметров, а также производные этих функций.

1. Теперь пример из школьной математики.

Все мы помним, что такое квадратное уравнение. Это уравнение вида , где коэффициент а не равен нулю.

Количество корней квадратного уравнения зависит от знака выражения, которое называется дискриминант.

Дискриминант квадратного уравнения:

Если , квадратное уравнение имеет два корня: $x_1=frac{-b+sqrt{D}}{2a}$ и $x_2=frac{-b-sqrt{D}}{2a}.$

Если D = 0 , квадратное уравнение имеет единственный корень ${mathbf x}{mathbf =-}frac{{mathbf b}}{{mathbf 2}{mathbf a}}.$

Если , квадратное уравнение не имеет действительных корней. Рассмотрим уравнение . Его дискриминант равен 4 - 4c. Если , то есть , это квадратное уравнение имеет два корня.

Если при c = 1 , уравнение имеет единственный корень.

Если , то есть с > 1, корней нет.

В нашем уравнении с — параметр, величина, которая принимать любые значения. Но от этого параметра с зависит количество корней данного уравнения.

Для того чтобы уверенно решать задачи с параметрами, необходимо отличное знание и алгебры, и планиметрии.

И еще две простые задачи с параметром.

2. Найдите значение параметра p, при котором уравнение имеет 2 различных корня.

Квадратное уравнение имеет два различных корня, когда .

Найдем дискриминант уравнения

В нем

$D=b^2-4ac={left(-2pright)}^2-4cdot 3cdot left(6-pright)=4p^2+12p-72.$

Т.к. , получим:

Вспомним, как решаются квадратичные неравенства (вы проходили это в 9 классе).

Найдем корни квадратного уравнения . Это p=3 и p=-6.

Разложим левую часть неравенства на множители:

Значит,

Рисуем параболу с ветвями вверх. Она пересекает ось р в точках p=-6 и p=3.

Записываем ответ:

3. При каких значениях параметра k система уравнений $left{begin{matrix} kx+5y=3\2x+y=4 hfill end{matrix}right.$ не имеет решений?

Оба уравнения системы — линейные. График линейного уравнения — прямая. Запишем уравнения системы в привычном для нас виде, выразив у через х:

$left{begin{matrix} y=-frac{k}{5}x+frac{3}{5}\ y=-2x+4 end{matrix}right.$

Первое уравнение задает прямую с угловым коэффициентом $-frac{k}{5}$ . Второе уравнение — прямую с угловым коэффициентом -2.

Система уравнений не имеет решений, если эти прямые не пересекаются, то есть параллельны. Это значит, что $-frac{k}{5}=-2$ и k = 10 .

Действительно, в этом случае первое уравнение задает прямую $y = - 2x +frac{3}{5}$ , а второе — параллельную ей прямую

Ответ: 10

Читаем дальше:

Графический метод решения задач с параметрами.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Что такое параметр? Простые задачи с параметрами» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Цель данной работы – изучение различных способов решения задач с параметрами.
Возможность и умение решать задачи с параметрами демонстрируют владение методами
решения уравнений и неравенств, осмысленное понимание теоретических сведений,
уровень логического мышления, стимулируют познавательную деятельность. Для
развития этих навыков необходимы длительнее усилия, именно поэтому в профильных
10-11 классах с углубленным изучением точных наук введен курс: “Математический
практикум”, частью которого является решение уравнений и неравенств с
параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент учебного
плана школы.

Успешному изучению методов решения задач с параметрами могут помочь
элективный или факультативный курсы, или компонент за сеткой по теме: “Задачи с
параметрами”.

Рассмотрим четыре больших класса задач с параметрами:

Уравнения, неравенства и их системы, которые необходимо решить для
любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих
определенному множеству.
Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется определить
количество решений в зависимости от значения параметра.
Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется найти все те
значения параметра, при которых указанные уравнения (системы, неравенства)
имеют заданное число решений.
Уравнения, неравенства и их системы, для которых при искомых значениях
параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области
определения.

Методы решений задач с параметрами.

1. Аналитический метод.

Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения
ответа в задачах без параметра.

Пример 1. Найдите все значения параметра
a, при которых уравнение:

(2a – 1)x² + ax + (2a – 3) =0 имеет не более
одного корня.

Решение:

При 2a
– 1 = 0 данное уравнение квадратным не является, поэтому случай
a =1/2 разбираем отдельно.

Если a = 1/2, то уравнение принимает вид
1/2x – 2 = 0, оно имеет один корень.

Если a ≠ 1/2,
то уравнение является квадратным; чтобы оно имело не более одного корня
необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был неположителен:

D = a² – 4(2a – 1)(2a – 3) = -15a²
+ 32a – 12;

Чтобы записать окончательный ответ, необходимо понять,

2. Графический метод.

В зависимости от задачи (с переменной x
и параметром a)
рассматриваются графики в координатной плоскости (x;y)
или в плоскости (x;a).

Пример 2. Для каждого значения параметра a
определите количество решений уравнения
.

Решение:

Заметим, что количество решений уравнения

равно количеству точек пересечения графиков функций

и y = a.

График функции

показан на рис.1.

Рис.1

Рис. 2

Рис. 3

y = a – это горизонтальная прямая. По графику несложно
установить количество точек пересечения в зависимости от a
(например, при a =
11 – две точки пересечения; при a
= 2 – восемь точек пересечения).

Ответ: при a < 0 – решений нет; при a
= 0 и a = 25/4 – четыре решения; при
0 < a < 6 – восемь решений; при a
= 6 – семь решений; при

6 < a < 25/4 – шесть решений; при a >
25/4 – два решения.

3. Метод решения относительно параметра.

При решении этим способом переменные х и а принимаются
равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое
решение становится более простым. После упрощений нужно вернуться к исходному
смыслу переменных х и а и закончить решение.

Пример 3. Найти все значения параметра а , при каждом из которых
уравнение

= —ax +3a +2 имеет единственное решение.

Решение:

Будем решать это уравнение заменой переменных. Пусть

= t , t ≥ 0
, тогда x = t² + 8 и
уравнение примет вид at² + t + 5a – 2 = 0
. Теперь задача состоит в том, чтобы найти все а,
при которых уравнение at² + t + 5a – 2 =
0 имеет единственное неотрицательное решение. Это имеет
место в следующих случаях.

1) Если а = 0, то уравнение имеет единственное решение t
= 2.

Решение некоторых типов уравнений и неравенств с параметрами.

Задачи с параметрами помогают в формировании логического мышления, в
приобретении навыков исследовательской деятельности.

Решение каждой задачи своеобразно и требует к себе индивидуального,
нестандартного подхода, поскольку не существует единого способа решения таких
задач.

Ⅰ. Линейные уравнения.

Задача № 1.
При каких значениях параметра b
уравнение

не имеет корней?

Ⅱ. Степенные уравнения, неравенства и их системы.

Задача №2. Найти все значения параметра a,
при которых множество решений неравенства:

содержит число 6, а также содержит два отрезка длиной 6, не имеющие общих точек.

Решение:

Преобразуем обе части неравенства.

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало число 6, необходимо и
достаточно выполнение условия:

Рис.4

При a > 6 множество
решений неравенства:
.

Интервал (0;5) не может содержать ни одного отрезка
длины 6. Значит, два непересекающихся отрезка длины 6 должны содержаться в
интервале (5; a).

Это

Ⅲ. Показательные уравнения, неравенства и системы.

Задача № 3. В области определения функции
взяли
все целые положительные числа и сложили их. Найти все значения, при которых
такая сумма будет больше 5, но меньше 10.

Решение:

1) Графиком дробно-линейной функции

является гипербола. По условию x > 0. При
неограниченном возрастании х дробь

монотонно убывает и приближается к нулю, а значения функции z возрастают
и приближаются к 5. Кроме того, z(0) = 1.

Рис. 5

2) По определению степени область определения D(y)
состоит из решений неравенства
.
При a = 1 получаем неравенство, у которого решений
нет. Поэтому функция у нигде не определена.

3) При 0 < a < 1 показательная функция с
основанием а убывает и неравенство

равносильно неравенству

. Так как x > 0 , то z(x) >
z(0) = 1 . Значит, каждое положительное значение х
является решением неравенства

. Поэтому для таких а указанную в условии сумму нельзя найти.

4) При a > 1 показательная функция с основанием
а возрастает и неравенство

равносильно неравенству

. Если a ≥ 5,
то любое положительное число является его решением, и указанную в условии сумму
нельзя найти. Если 1 < a < 5, то множество
положительных решений – это интервал (0;x₀)
, где a = z(x₀) .

5) Целые числа расположены в этом интервале подряд, начиная с 1. Вычислим
суммы последовательно идущих натуральных чисел, начиная с 1 : 1; 1+2 = 3; 1+2+3
= 6; 1+2+3+4 = 10;… Поэтому указанная сумма будет больше 5 и меньше 10, только
если число 3 лежит в интервале (0;x₀),
а число 4 не лежит в этом интервале. Значит, 3 < x₀
≤ 4 . Так как

возрастает на
,
то z(3) < z(x₀)
≤ z(4) .

Решение иррациональных уравнений и неравенств, а также уравнений, неравенств
и систем, содержащих модули рассмотрены в Приложении 1.

Задачи с параметрами являются сложными потому, что не существует единого
алгоритма их решения. Спецификой подобных задач является то, что наряду с
неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых
не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом
множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и
технический ход решения задачи и форму ответа.

По статистике многие из выпускников не приступают к решению задач с
параметрами на ЕГЭ. По данным ФИПИ всего 10% выпускников приступают к решению
таких задач, и процент их верного решения невысок: 2–3%,
поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе
задач с параметрами, учащимися школ по-прежнему остается актуальным.

Источник

Тема 17.

Задачи с параметром

Задачи из сборника И.В. Ященко ЕГЭ 2023

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.

Готовиться с нами — ЛЕГКО!

Подтемы раздела

задачи с параметром

Решаем задачи

Найдите все значения параметра , при каждом из которых любое значение из
промежутка является решением неравенства

( 2 )
(4|x|− a− 3) x − 2x− 2− a ≥ 0.

Показать ответ и решение

Перепишем неравенство в виде

(
⌊ {a ≥ 4|x|− 3
|| ( 2
|| (a ≥ (x − 1) − 3
|| {a ≤ 4|x|− 3
⌈ ( 2
a ≤ (x − 1) − 3

Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе
координат xOa множества и решений первой и второй системы
соответственно. Если некоторая точка плоскости с координатами (x0;a0)
принадлежит одному из множеств или U2, то для исходной задачи это
означает, что если параметр принимает значение a ,
0 то x
0 будет одним из
решений соответствующего уравнения.

Нас просят найти все такие значения параметра при каждом из
которых все точки вида (x0;a0) , принадлежат множеству
решений изображенному на плоскости xOa.

Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая a= a
0
пересекается со множеством по отрезку AB, на котором расположены точки,
абсциссы которых лежат в промежутке

Рассмотрим две функции

Тогда множество решений первой системы состоит из точек, находящихся
внутри уголка a = a1 и внутри параболы a = a2. Множество решений
второй системы состоит из точек, находящихся снаружи уголка и снаружи
параболы. Точки, находящиеся на уголке или на параболе, также принадлежат
множеству

Для того, чтобы правильно изобразить множество необходимо найти точки
пересечения уголка и параболы. Для левой ветви уголка
получаем

2
x − 2x− 2 =− 4x− 3 ⇔ x= − 1.

Следовательно, левая ветвь уголка касается параболы в точке

Для правой ветви уголка получаем

2 √-
x − 2x− 2= 4x− 3 ⇔ x = 3± 2 2.

Следовательно, правая ветвь уголка пересекает параболу в двух точках. В итоге
получаем, что множество выглядит следующим образом:

— точка пересечения прямой с параболой,
— точка пересечения прямой с уголком. Видим, что все горизонтальные
прямые a= a0, где или a0 = 1, или пересекают множество
по множеству, содержащему в себе отрезок AB, где
Следовательно, ответ:

Ответ:

Найдите все значения параметра при каждом из которых неравенство

имеет хотя бы одно решение из промежутка

Показать ответ и решение

Перепишем неравенство в виде

(
⌊ {a ≥ 4|x|− 3
|| ( 2
|| (a ≤ (x − 1) − 3
|| {a ≤ 4|x|− 3
⌈ ( 2
a ≥ (x − 1) − 3

Нас просят найти все такие значения параметра при каждом из
которых существует точка вида (x0;a0) , принадлежащая множеству
решений изображенному на плоскости xOa.

Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая a= a
0
пересекается со множеством хотя бы по одной точке с абсциссой, принадлежащей
промежутку

Рассмотрим две функции

Тогда множество решений первой системы состоит из точек, находящихся
внутри уголка a = a1, но снаружи параболы a= a2. Множество решений
второй системы состоит из точек, находящихся снаружи уголка, но внутри
параболы. Точки, находящиеся на уголке или на параболе, также принадлежат
множеству

2
x − 2x− 2 =− 4x− 3 ⇔ x= − 1.

Следовательно, левая ветвь уголка касается параболы в точке

Для правой ветви уголка получаем

2 √-
x − 2x− 2= 4x− 3 ⇔ x = 3± 2 2.

Видим, что для любой горизонтальной прямой a= a ,
0 где a ∈ [− 3;22],
0
существует точка, абсцисса которой лежит в отрезке лежащая в
закрашенной области. Следовательно, ответ:

Ответ:

Найдите, при каких неотрицательных значениях параметра функция

на отрезке имеет ровно одну точку минимума.

Показать ответ и решение

По условию Функция определена при всех Найдем
производную функции

′ 2
f (x)= 6x(2ax − 4x+ 1)

Нули производной:

⌊
⌈ x= 0
2ax2− 4x + 1= 0

В зависимости от того, равен или не равен параметр нулю, второе уравнение
совокупности является линейным или квадратичным. Поэтому рассмотрим эти два
случая.

1)

Тогда совокупность примет вид

⌊
x = 0
|⌈
x = 1
4

Производная имеет вид ′
f (x)= 6x(− 4x + 1).

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают
область определения производной на промежутки, на каждом из
которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем
знаки производной на каждом из таких промежутков:

PICT

Следовательно, функция имеет ровно одну точку минимума — это
которая лежит на отрезке Значит, этот случай нам подходит и
a = 0 — первая часть ответа.

2)

Тогда второе уравнение совокупности квадратное. Его дискриминант
равен

Следовательно, нужно по отдельности рассмотреть
случаи, когда дискриминант меньше нуля, равен нулю или больше
нуля.

2.1)

Тогда производная имеет один нуль —
это x= 0,

а выражение

при всех

Следовательно, знаки производной такие:

PICT

Следовательно, функция имеет ровно одну точку минимума — это
которая лежит на отрезке Значит, этот случай нам
подходит и a > 2 — вторая часть ответа.

2.2)

Тогда нуль второго уравнения совокупности — это
x= 1.
2

Следовательно, производная имеет вид

Знаки производной такие:

PICT

Следовательно, функция имеет ровно одну точку минимума — это
которая лежит на отрезке Значит, этот случай нам
подходит и a = 2 — третья часть ответа.

2.3)

но также

Тогда второе уравнение
совокупности имеет два нуля: x1 <x2.

Заметим, что по теореме Виета
из произведение

сумма

следовательно,

Тогда производная имеет вид

и знаки производной такие:

PICT

Следовательно, функция имеет две точки минимума — это
x= 0 и x =x2. Так как то Следовательно,
необходимо, чтобы x2 > 1.

Рассмотрим параболу Она имеет направленные вверх
ветви и две точки пересечения с осью абсцисс. Чтобы больший корень
уравнения был больше 1, достаточно, чтобы хотя бы
один корень был больше 1. Это задается следующими условиями (сразу
укажем в них, что ):

( (
|| 0< a < 2 ||0 < a< 2
||||| ⌊ |||||⌊
{ |y((1)< 0 {| 2(a− 4+ 1< 0 3
||| ||||{ x(верш) = 1 > 1 ⇔ |||||| |{0 < a< 1 ⇔ 0< a < 2
|||| ⌈| a ||||⌈ |
( ( y(1)≥ 0 ( (2a − 4 +1 ≥ 0

Следовательно, 0 < a < 3
2 — четвертая часть ответа.

Объединяя все подходящие значения параметра, получаем итоговый
ответ:

Ответ:

Найдите все значения параметра , при каждом из которых среди корней
уравнения

2
x − 10x + 35 = a|x− 6|

ровно два положительных.

Показать ответ и решение

Рассмотрим две функции:

График — парабола, вершина которой находится в точке (5;10).
График y =g(x) — уголок (при a⁄= 0 ), вершина которого находится в точке
(6;0), левая ветвь задается уравнением правая ветвь
задается уравнением x≥ 6, или прямая y = 0 (при
a = 0 ). При a < 0 ветви уголка направлены вниз, при a> 0 — вверх.
Так как график f(x) находится в верхней полуплоскости, при a ≤0
графики и не имеют общих точек, следовательно, этот случай нам не
подходит.

Пусть a > 0. В силу того, что график параболы симметричен относительно
прямой x= 5, а график уголка — относительно прямой x= 6, при изменении
от до + ∞ сначала уголок левой ветвью коснется параболы, затем левая ветвь
будет иметь две точки пересечения с параболой, затем правая ветвь уголка
коснется параболы (а левая будет иметь две точки пересечения с параболой), и
затем уже и правая ветвь уголка будет иметь две точки пересечения с
параболой.

Следовательно, в теории нам могут подойти две ситуации: когда левая
ветвь имеет две точки пересечения с параболой, причем абсциссы обеих
точек положительны, а правая не имеет общих точек с параболой; когда
левая ветвь имеет две точки пересечения с параболой, абсцисса одной из
них положительна, а второй — неположительна, а правая ветвь касается
параболы.

1)

Проверим, возможна ли первая ситуация.

xy56

Определим при которых левая ветвь имеет две точки пересечения с
параболой. Тогда следующее квадратное уравнение должно иметь два
решения при a> 0:

2 2
−a(x− 6)= x − 10x +35 ⇔ x − (10− a)x+ 35− 6a= 0

Следовательно, его дискриминант

(
{D = (a+ 2)2− 44 > 0 ⇔ a> −2 +2√11-
(a > 0

Абсцисса одной из точек всегда положительна, следовательно, обе абциссы
положительны, если произведение корней этого квадратного уравнения
положительно:

35-
35− 6a> 0 ⇔ a< 6

Теперь осталось проверить, имеет ли правая ветвь точки пересечения с
параболой. Для этого найдем при котором правая ветвь касается
параболы (нам в любом случае это значение пригодится для проверки второй
ситуации):

( (
{a(x− 6)= x2− 10x+ 35 { x2− 12x +25 = 0
(a = 2x− 10 ⇔ ( a= 2x− 10

Корни первого уравнения Нам подходит так как
именно при нем мы получаем положительный Следовательно,
при √ --
a <2 +2 11 правая ветвь не имеет общих точек с параболой, при
√--
a= 2+ 2 11 — касается параболы, при √--
a> 2+ 2 11 — имеет две общие
точки с параболой.

Значит, наша ситуация задается следующими a :

( √ --
|||| a> −2 +2 11
{ 35 ⇔ −2+ 2√11-< a< 35
||| a< 6 6
|( a< 2+ 2√11

Это первая часть ответа.

2)

Проверим, возможна ли вторая ситуация.

Абсцисса одной из точек пересечения левой ветви с параболой положительна,
а второй — неположительна, при Правая ветвь касается параболы
при √ --
a =2 +2 11. Следовательно,

(
|{a ≥ 35
6 ⇔ a =2 +2√11-
|(a = 2+ 2√11

Это вторая часть ответа.

Ответ:

( )
a ∈ −2+ 2√11; 35 ∪{2 +2√11}
6

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получены все значения но некоторые граничные точки включены/исключены неверно	3

С помощью верного рассуждения получены не все значения	2

Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения графика функции и прямой (аналитически или графически)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Найдите все значения параметра при каждом из которых среди корней
уравнения

2
3x − 24x+ 64= a|x− 3|

будет ровно три положительных.

Показать ответ и решение

Рассмотрим две функции:

График — парабола, вершина которой находится в точке (4;16).
График y =g(x) — уголок (при a⁄= 0 ), вершина которого находится в точке
(3;0), левая ветвь задается уравнением правая ветвь
задается уравнением x≥ 3, или прямая y = 0 (при
a = 0 ). При a < 0 ветви уголка направлены вниз, при a> 0 — вверх.
Так как график f(x) находится в верхней полуплоскости, при a ≤0
графики и не имеют общих точек, следовательно, этот случай нам не
подходит.

Пусть a > 0. В силу того, что график параболы симметричен относительно
прямой x= 4, а график уголка — относительно прямой x= 3, при изменении
от до + ∞ сначала уголок правой ветвью коснется параболы, затем правая
ветвь будет иметь две точки пересечения с параболой, затем левая ветвь уголка
коснется параболы (а правая будет иметь две точки пересечения с параболой),
и затем уже и левая ветвь уголка будет иметь две точки пересечения с
параболой.

Следовательно, для начала рассмотрим случай, когда уголок и парабола имеют
три общие точки: левая ветвь уголка касается параболы. Если абсцисса точки
касания будет положительной, то этот случай нам подходит.

Запишем условия касания gleft и f :

( 2 ( 2
{− a(x − 3) =3x − 24x+ 64 ⇔ { 3x − 18x +8 = 0
(− a= 6x− 24 ( a= 24− 6x

Корнями первого уравнения являются √--
x= 9±357. Нам подходит √ --
x = 9−-357,
так как именно при нем мы получаем положительный Заметим, что
абсцисса точки касания 9−√57-
x= 3 >0, следовательно, как говорилось выше, этот
случай нам подходит.

Пусть √--
a > 6+ 2 57. Тогда левая ветвь пересекает параболу в двух точках.
Следовательно, необходимо, чтобы одна из этих точек была положительна, а
вторая неположительна. Тогда произведение абсцисс этих точек должно быть
неположительно. Запишем уравнение, из которого могут быть найдены абсциссы
точек пересечения левой ветви уголка и параболы:

Произведение корней должно быть неположительно, значит,

64− 3a 64
--3---≤ 0 ⇔ a ≥ 3-

Пересечем полученные значения с √--
a > 6+ 2 57. Для этого сравним
числа:

64 √--
3 ∨ 6+ 2 57
√--
23∨ 3 57

529∨ 513

Следовательно, 64 √--
-3 > 6+ 2 57. Значит, после пересечения получаем
a ≥ 64.
3

Тогда окончательный ответ:

√-- [64 )
a∈ {6+ 2 57}∪ 3 ;+∞

Ответ:

[ )
a ∈{6+ 2√57} ∪ 64;+ ∞
3

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получены все значения но некоторые граничные точки включены/исключены неверно	3

С помощью верного рассуждения получены не все значения	2

Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения графика функции и прямой (аналитически или графически)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Найдите все значения параметра , при каждом из которых система

(
|{ (x − 2a+ 2)2+ (y+ a− 2)2 = a+ 5
2
|( x+ y = 1 − a

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Первое уравнение: при a + 5> 0
2 задает окружность с центром в точке
и радиуса ∘----5
R = a + 2; при 5
a + 2 = 0 задает точку
при 5
a+ 2 <0 задает пустое множество. Следовательно, так как система
должна иметь решения, нам не нужно рассматривать только последний
случай.

1)

Пусть

Тогда

Проверим, удовлетворяют ли
координаты точки

второму уравнению:

9 5 5 7
−7+ 2 = 1+ 2 ⇔ − 2 = 2

Получили неверное равенство, следовательно, при система не
имеет решений.

2)

Про первое уравнение мы уже сказали выше. Второе уравнение
задает прямую

Окружность и прямая имеет единственную точку пересечения, когда
прямая касается окружности. Значит, расстояние от центра окружности
до прямой равно радиусу окружности.

Воспользуемся формулой расстояния от точки до прямой l :

ρ(O, l)= |Ax0√+-By0-+C-|
A2 + B2

Подставим наши значения:

∘ -----
|2a−-2+√-2−-a+-a−-1|= a+ 5 ⇔ |2a− 1|= √2a+-5 ⇔ a = − 1;2
12 +12 2 2

Оба значения удовлетворяют условию a > − 5.
2

Следовательно, { }
1
a∈ − 2;2 .

Ответ:

{ }
a ∈ − 1;2
2

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточное обоснование построения	3
ИЛИ
нет рассмотрения случая

Получено верно одно из двух значений параметра	2
ИЛИ
значения параметра найдены верно, но нет обоснования их нахождения на основе взаимного расположения графиков	2

Верно сведено к исследованию графически или аналитически, при этом построение обосновано	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Найдите все значения параметра при каждом из которых неравенство

верно при всех действительных значениях

Показать ответ и решение

Сделаем замену тогда неравенство примет вид

Рассмотрим функцию Тогда неравенство имеет
вид

и необходимо, чтобы оно было выполнено при всех

Исследуем функцию f(t). Ее производная равна

′ 2
f (t)= 6t + (a − 1)

В зависимости от знака выражения a− 1 производная имеет один нуль,
два нуля или не имеет нулей. Следовательно, рассмотрим эти случаи по
отдельности.

1.

Пусть

Тогда

′ 2 ∘-1−-a
f(t) =0 ⇒ 6t= 1 − a ⇔ t−,+ = ± -6--

Определим знаки производной на промежутках, образованных нулями
производной и нарисуем схематично график функции f(t):

PICT

Мы не знаем, как располагается отрезок относительно точек и
. Следовательно, рассмотрим два случая.

1.1.

Тогда в силу симметрии точек

относительно t= 0,

ровно как и точек − 1

имеем

Следовательно, схематично график функции f(t)

выглядит так:

PICT

Следовательно, неравенство будет выполнено для всех
если

({ ({
f(− 1) ≤1 ⇔ − 2− a+ 1≤ 1 ⇔ a≥ − 2
(f(1)≥ −1 (2+ a− 1 ≥− 1

В пересечении с получаем пустое множество. Следовательно, в
этом случае подходящих значений параметра нет.

1.2.

Тогда

Схематично график функции
f(t)

выглядит так:

PICT

Следовательно, неравенство будет выполнено для всех
если

( ∘ ----- ( )
( ||||− 1-− a ⋅ 2⋅ 1−-a+ a− 1 ≤ 1
||| f(t− )≤ 1 |||| 6 6
|||{ |||{1+ a ≤1
f(1)≤ 1 ⇔ ∘ ----- ( ) ⇔
|||| f(t+ )≥ −1 |||| 1−-a ⋅ 2⋅ 1−-a + a− 1 ≥ − 1
||( f(−1)≥ −1 ||||| 6 6
||(
( ∘ -----( −1)− a ≥ −1
||{ 1−-a ⋅ 2⋅ 1−-a + a− 1 ≥ −1
6 6 ⇔
||(
( a∘≤-0---
||{ 1−-a 2
6 ⋅3(a− 1) ≥− 1
||(
a≤ 0

Сделаем замену ∘ -----
1−-a = b,
6 тогда первое неравенство примет
вид

3 3∘-1
−4b ≥ −1 ⇔ b ≤ 4

Сделаем обратную замену:

∘----- ∘ --
1−-a 31 -3-
6 ≤ 4 ⇔ a≥ 1− √32-

Пересекая с получаем подходящие значения параметра
:

[ -3- ]
a ∈ 1 − 3√2;0 .

2.

Пусть

тогда

следовательно, график функции f(t)

схематично выглядит так:

PICT

Следовательно, неравенство будет выполнено для всех
если

( (
{ f(− 1)≥ −1 { −2+ 1− a ≥ −1
( ⇔ ( ⇔ a≤ 0
f(1) ≤1 2+ a− 1≤ 1

Пересекая с a≥ 1, получаем

Следовательно, ответ:

[ -3- ]
a ∈ 1 − 3√2;0 .

Ответ:

[ ]
a ∈ 1 − 3√-;0
32

Найдите все положительные значения параметра при каждом из которых
корни уравнения

2x x x
3a − 16 + 2⋅(4a) = 0

принадлежат отрезку

Показать ответ и решение

Разделим обе части исходного уравнения на положительное при всех
выражение x 2x
16 = 4 :

(a )2x (a)x
3⋅ 4 +2 ⋅ 4 − 1= 0 ⇔
( (a)x )(( a)x )
3 ⋅ 4 − 1 4 + 1 = 0 ⇔
⌊( a)x
| 4 = − 1 (не имеет реш ений)
|⌈( a)x 1 ⇔
4 = 3
( a)x 1
4 = 3 (∗)

1.

Если

то уравнение
(∗)

примет вид 1x = 1 ⇔ x ∈∅.
3

Следовательно, этот случай нам
не подходит.

2.

Пусть

Тогда мы имеем показательное уравнение (∗),

которое
имеет единственный корень

1
x= loga43

Этот корень существует, так как a⁄= 4 и по условию a> 0, то есть
удовлетворяет ОДЗ логарифма. Следовательно, этот корень должен
лежать в отрезке значит,

( 1
||{log a43 ≤ −1
| 1
|(log a43 ≥ −2

Применим метод рационализации для обоих неравенств:

Решим первое неравенство:

Таким образом, решением первого неравенства будут

Решим второе неравенство:

√√ -
a−044−++−+43 3

Таким образом, его решением будут [ √- ) [ √- )
a∈ −4 3;0 ∪ (0;4]∪ 4 3;+∞ .

Пересечем решения, учитывая, что a> 0 и Получим √ -
a ∈[4 3;12].

Ответ:

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Не рассмотрен случай	3

Верно наложены условия принадлежности корня данному отрезку, но граничные точки найдены неверно из-за вычислительной ошибки	2
ИЛИ
ошибка в решении одного из неравенств

Верно найден корень данного уравнения	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение

имеет ровно один корень.

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно

∘ -----------
|x+ a|⋅|x − a|− |x+ a|⋅ x2− 4ax+ 5a= 0 ⇔
⌊(
|{ |x +a|= 0
||( x2− 4ax+ 5a≥ 0 ⇔
⌈ √-----------
|x− a|= x2− 4ax+ 5a
⌊({ x = −a
|| 1
|⌈( x2− 4ax+ 5a≥ 0 ⇔
x2− 2ax+ a2 = x2− 4ax+ 5a
⌊(
{ x1 = −a
|||( 2 ⇔
⌈ x − 4ax+ 5a≥ 0
2ax =5a − a2

1.

Пусть

. Тогда совокупность имеет вид

⌊(
{ x1 = 0
|||( x2 ≥ 0 ⇔ x ∈ℝ
⌈
0⋅x = 0

Следовательно, этот случай нам не подходит.

2.

Пусть

Тогда совокупность имеет вид

⌊({ x = −a
|| 1
|⌈( x2− 4ax + 5a ≥ 0
x2 = 5-− a
2

Видим, что для любого a⁄= 0 число — решение совокупности,
а значит, и исходного уравнения. Следовательно, для того, чтобы
совокупность имела единственное решение, нужно, чтобы числа и
совпадали или они были различны, но тогда не удовлетворяло
неравенству, находящемуся с ним в системе.

( ⌊ 5− a
||||{ |−a = --2- ⌊
⌈ 2 2 ⇔ ⌈a= −5
|||| a + 4a + 5a< 0 −1< a < 0
( a⁄= 0

Следовательно, ответ:

Ответ:

Найдите все значения параметра при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных корня.

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно

⌊( ⌊ (
{ 10x2+x − 24= 0 {(2x− 3)(5x+ 8)= 0 (1)
|||( (x − 3)(a+ 5)+ 14> 0 ||| ((x− 3)(a +5)+ 14> 0 (1′)
||( ⇔ || (
|⌈{ (x − 3)(a+ 5)+ 14= 1 |⌈ {(x− 3)(a +5)= − 13 (2)
( 10x2+x − 24≥ 0 ((2x− 3)(5x+ 8)≥ 0 (2′)

Корни уравнения (1) — числа 3
x1 = 2, 8
x2 = −5.

Решим уравнение (2). Оно линейное.

При a= −5 уравнение (2) примет вид

Следовательно, совокупность, а значит и исходное уравнение, может иметь
максимум два корня — это и x2. Для того, чтобы оба этих числа являлись
решениями совокупности, нужно, чтобы они удовлетворяли неравенству (1’),
которое имеет вид 14> 0. То есть они ему удовлетворяют. Следовательно,
нам подходит и является первой частью ответа.

Пусть Не будем это повторять каждый раз в наших дальнейших
рассуждениях, просто в итоговых значениях это учтем.

Уравнение (2) имеет единственный корень

--13- 3a+-2
x= 3− a + 5 = a+ 5 = x3

Получаем, что числа x1, и — «потенциальные» решения совокупности
(значит, и исходного уравнения), причем и — решения, если удовлетворяют
(1’), — решение, если удовлетворяет (2’). Определим при которых каждое
из чисел x,x ,x
1 2 3 удовлетворяет «своему» неравенству. Будем такое число
называть хорошим. В противном случае будем называть число плохим. То
есть определим при которых каждое число является хорошим или
плохим.

Число — хорошее, если выполнено неравенство

( )
3− 3 (a +5)+ 14> 0 ⇔ a < 13
2 3

Значит, — плохое, если

13
a ≥ 3-

Число — хорошее, если

( 8 ) 45
− 5 − 3 (a +5)+ 14> 0 ⇔ a < −23

Значит, — плохое, если

a≥ − 45-
23

Число — хорошее, если

⌊
( )( ) a ≤ − 50
2 ⋅ 3a-+-2− 3 5⋅ 3a+-2+ 8 ≥ 0 ⇔ || 23
a+ 5 a + 5 ⌈a ≥ 11
3

Значит, — плохое, если

50 11
− 23 <a < 3-

В таком случае, если числа различны, то нам подходит ситуация, когда из трех
чисел ровно два хороших, а третье плохое.

Рассмотрим отдельно случаи, когда какие-то два числа совпадают. При этом
все три совпасть не могут, так как x ⁄= x
1 2 .

1.: Пусть Тогда — хорошиее, —
плохое, следовательно, этот случай нам не подходит.
2.: Пусть Тогда — хорошее и —
хорошее. Следовательно, исходное уравнение имеет два корня, значит,
— вторая часть ответа.

Далее пусть все три числа различны, то есть a ⁄=− 50; 11.
23 3 Составим для
удобства табличку:

1.: Ситуация «хорошее, хорошее, плохое»:
2.: Ситуация «хорошее, плохое, хорошее»:
3.: Ситуация «плохое, хорошее, хорошее»:

Следовательно, третья часть ответа:

( 50 45) ( 11 13 )
a ∈ −23;− 23 ∪ 3-;3-

Объединив все подходящие значения параметра, получаем окончательно:

[ 50 45-) (11 13)
a∈ {−5}∪ −23;− 23 ∪ 3 ; 3

Ответ:

[ ) ( )
a ∈{− 5} ∪ − 50;− 45 ∪ 11; 13
23 23 3 3

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получено множество значений отличающееся от искомого конечным числом точек	3

Верно найдены граничные значение параметра, но переход к ответу неверный	2
ИЛИ
допущена вычислительная ошибка

Верно найдены корни уравнения с учётом допустимых значений	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Найдите все значения параметра при каждом из которых оба уравнения

∘ --------------
a+ x = |x| и a√2 + x= 2a√2x − x2+ 12
2

имеют ровно по 2 различных корня, и строго между корнями каждого из
уравнений лежит корень другого уравнения.

Показать ответ и решение

1 способ. Графический. В системе координат xOa

Преобразуем первое и второе уравнение. Тогда первое уравнение примет
вид:

x
a = |x|− 2,

а второе уравнение примет вид

x2+ a2 = 6, при a ≥ −√x
2

Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе
координат xOa множества и решений первого и второго уравнений
соответственно. Если некоторая точка плоскости с координатами (x0;a0)
принадлежит одному из множеств или U2, то для исходной задачи это
означает, что если параметр принимает значение a0, то будет одним из
решений соответствующего уравнения.

Нас просят найти все такие значения параметра при каждом из
которых ровно четыре точки вида (x0;a0) , принадлежат множеству
решений изображенному на плоскости xOa. Причем выполнены
следующие требования:

две точки принадлежат множеству U1, то есть графику функции

x
a= |x|− 2 (⋆)

(назовем их — «точки уголка»);

две точки принадлежат множеству U2, то есть графику, задаваемому
системой

(
|{ x2+ a2 = 6,
x (⋆⋆)
|( a≥ − √-,
2

(назовем их — «точки дуги»);

точки уголка и точки дуги перемежаются и не совпадают.

Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая a= a0
пересекается со множеством по четырем точкам
где причем точки (x1;a0) и (x3;a0) принадлежат
U1, а точки (x2;a0) и (x4;a0) — U2, или наоборот.

Преобразуем уравнение (⋆):

(
||{ x, x ≥ 0 (луч pright)
a= 2
||( − 3x, x< 0 (луч pleft)
2

Таким образом, графиком уравнения (⋆) является ломаная MON,
O(0;0),

Графиком системы является дуга окружности с центром
в точке O(0;0) радиуса √-
R = 6, включая точки и (если быть
точнее, дуга является полуокружностью), находящаяся правее прямой
a = −√x-.
2 Точки A,C — точки пересечения прямой a= − x√--
2 с окружностью

Изобразим множества и на координатной плоскости:

Таким образом, видим, что нам подходят все горизонтальные прямые,
находящиеся в закрашенной области: между прямой a= aA, проходящей через
точку и прямой a =aB, проходящей через точку включая положение
прямой a= a .
A То есть ответом будут a ∈[a ;a ).
A B Дейсвительно, если
упорядочить абсциссы точек пересечения такой горизонтальной прямой со
множеством то мы получим четыре точки причем точки с
абсциссами и лежат на дуге AC, а точки с абсциссами и — на
ломаной MON.

Найдем ординаты точек и

— точка пересечения окружности с прямой a= −√x-,
2
находящаяся во II четверти, то есть имеющая отрицательную абсциссу. Значит, ее
координаты ищутся из системы:

( 2 2
|||| x + a = 6 (
{ a= − x√-- ⇔ { x= −2
||| 2 ( a= √2
|( x< 0

Значит,

— точка пересечения окружности 2 2
x + a = 6 с прямой 3x-
a= − 2 ,
находящаяся во II четверти, то есть имеющая отрицательную абсциссу. Значит, ее
кординаты ищутся из системы:

( ( ∘ ---
|||| x2+ a2 = 6 ||| -6
{ 3x { x= −2 13
||| a= − 2 ⇔ ||| ∘-6-
|( x< 0 ( a= 3 13

Значит, ∘ ---
6-
aB = 3 13.

Тогда ответ

[√ - ∘ -6)
a∈ 2;3 13 .

2 способ. Алгебраический

Рассмотрим первое уравнение. Определим, при каких оно имеет корни и
какие это корни.

(| (| 2a+ x≥ 0
||{ 2⌊a+ x≥ 0 ||{ ⌊
2a+ x= 2|x| ⇔ | ⌈2a+ x = 2x ⇔ | ⌈x = 2a
||( 2a+ x = −2x ||( x = − 2a
3

Полученная система имеет два решения, если корни совокупности удовлетворяют
условию и различны:

(
|||| 2a+ 2a≥ 0
|{ 2
|| 2a− 3a ≥ 0 ⇔ a> 0
|||( 2a⁄= − 2a
3

Таким образом, при a> 0 первое уравнение имеет два различных
корня.

Рассмотрим второе уравнение.

∘ -------------- (
√ - √- 2 { x2− 6+ a2 = 0
a 2+ x= 2a 2x − x +12 ⇔ ( x+ a√2 ≥ 0

Полученная система имеет два различных корня, если парабола
пересекает ось абсцисс в двух точках, причем обе точки удовлетворяют условию
√-
x ≥ −a 2. Следовательно, дискриминант уравнения должен
быть положителен, а число √-
− a 2 должно располагаться в I или II месте, то есть
левее меньшего из корней или совпадать с ним. Если — абсцисса
вершины этой параболы, то нужная нам ситуация задается следующей
системой:

( (
|||D = 4(6− a2)> 0 |||a2 < 6
{ √ - { √- √ - √ -
||x(верш√) > −a 2 ⇔ ||0 > −a 2 ⇔ 2≤ a< 6
|(y(−a 2)≥ 0 |(2a2− 6+ a2 ≥ 0

Следовательно, при второе уравнение имеет два различных
корня.

Значит, при

({ a> 0 √ - √-
√- √ - ⇔ 2≤ a< 6
( 2≤ a < 6

оба уравнения имеют по два различных корня.

Далее будем вести рассуждения при (чтобы существовали корни
обоих уравнений).

Корни первого уравнения найдены, корни второго уравнения ищутся из
то есть это числа √ -----
x21 = − 6− a2 и √ -----
x22 = 6− a2. Заметим, что
Пусть x11 = − 2a,
3 — корни второго уравнения. Заметим
также, что при a > 0 .

Определим, при каких корни перемежаются (между корнями каждого из
уравнений лежит корень другого уравнения). Возможны две ситуации.

1.

PICT

Следовательно,

( ( √----- ( √-----
{x21 > x11 {− 6 − a2 > − 2a { 6 − a2 < 2a
(x > x ⇒ (√ ----2 3 ⇔ ( √----2 3
22 12 6− a > 2a 6 − a >2a

Так как a> 0, то 2a > 2a,
3 следовательно, неравенство 2a< √6-−-a2 < 2
3
не имеет решений.

2.

PICT

Следовательно,

( ( √ ----- 2
{ x21 < x11 { − 6− a2 < −3 a
( x22 < x12 ⇒ ( √6-− a2 < 2a ⇔
( (
{ √6-− a2 > 2a {6 − a2 > 4a2
( √----2 3 ⇒ ( 2 92 ⇔
( 6 − a <2a 6 − a < 4a
|{ a2 < 54 ∘ -- ∘ ---
13 ⇒ 6 < a< 3 6-
|( a2 > 6 5 13
5

(решили систему при a > 0 ).

Пересекая полученные значения с √ - √ -
2≤ a< 6, получаем итоговый
ответ

[√ - ∘ -6)
a∈ 2;3 13 .

Ответ:

[ ∘ --)
√ - -6
a ∈ 2;3 13

Найдите все значения параметра при каждом из которых система

(
{ y2− x = 4− 2a
( 4 2 2
y +x = a − 3a +4

имеет ровно два различных решения.

Показать ответ и решение

Сделаем замену t= y2, Тогда система примет вид

(
{ t+p = 4− 2a
( 2 2 2 (∗)
t+ p = a − 3a+ 4

Заметим, что числу t< 0 не соответствует ни одного числу t= 0
соответствует ровно один y = 0; числу t> 0 соответствует ровно два Также
заметим, что каждому соответствует ровно один Следовательно,
исходная система будет иметь ровно два решения, если новая система будет иметь
решения, причем ровно одно из них имеет вид (t0;p0) с t0 > 0, а у остальных
решений координата отрицательна.

Так как то из системы (∗) получаем, что

2
(4− 2a)2− 2tp= a2− 3a+ 4 ⇔ tp = 3a-−-13a-+12-
2

Следовательно, систему (∗) можно переписать в виде

(|
{ t+p = 4− 2a
|( tp = 3a2-− 13a+-12 (∗∗)
2

Тогда по обратной теореме Виета получаем, что числа и являются
корнями квадратного уравнения

2 2 3a2−-13a+-12
α − (t+p)α +tp= 0 ⇒ α − (4− 2a)α+ 2 = 0 (∗ ∗∗)

Следовательно, система имеет решения, если дискриминант полученного
квадратного уравнения неотрицателен. Найдем этот дискриминант:

1.

Тогда система

имеет одно решение
(t0;p0)

, причем

4 − 2a
t0 = p0 =-2-- = 2− a

Следовательно, при a =1 получаем Этот случай нам
подходит.

При a= 4 получаем Этот случай нам не подходит.

2.

Следовательно, система

имеет два
решения (t1;p1)

(решения симметричны в
силу симметричности системы

). Нам нужно, чтобы t1 > 0,

. То есть

то есть произведение корней квадратного
уравнения

должно быть отрицательно:

2
3a-−-13a-+12-< 0 ⇔ 4 < a< 3
2 3

Эти значения параметра удовлетворяют условию

Объединив полученные в обоих случаях значения параметра, получаем ответ
(4 )
a ∈{1}∪ 3 ;3 .

Ответ:

( )
a ∈{1}∪ 4 ;3
3

Найдите все значения параметра при каждом из которых уравнение

имеет единственный корень.

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно системе

(
{ 6x2− 13x + 5ax − 6a2 − 13a+ 6 =1
( ⇔
2x− 3a+ 4> 0
(|{ 2 2
6x − (13 − 5a)x− (6a +13a− 5)= 0 (∗)
|( x> 3a-− 4 = x0 (∗∗)
2

Последняя система имеет единственное решение в одном из двух случаев:

— уравнение (∗) имеет единственный корень, то есть D = 0, причем этот
корень больше x0, то есть удовлетворяет неравенству

— уравнение (∗) имеет два корня и x2, то есть D > 0, причем ровно
один из корней больше x0, а другой соответственно ≤ x0.

Для обоих случаев нам необходим дискриминант, следовательно, найдем
его:

2 2 2
D = (13 − 5a) + 4⋅6⋅(6a + 13a − 5) =(13a+ 7)

1.

Тогда уравнение имеет единственный корень

13− 5⋅(− 7)
x= ---------13- = 17
12 13

В этом случае 73
x0 = −26.

Заметим, что 17> − 73,
13 26 следовательно, a = −-7
13 нам подходит.

2.

Тогда уравнение имеет два корня

x1,2 = 13−-5a±-(13a+-7)
12
x1 = 2a-+5, x2 = 1−-3a
3 2

Следовательно, нам необходимо, чтобы

⌊(
{ x1 > x0
||(
||( x2 ≤ x0
||⌈{ x2 > x0
(
x1 ≤ x0

Решим первую систему:

( (
||{2a-+5 > 3a−-4 ||{ a< 22
3 2 ⇔ 5 ⇔ 5≤ a < 22
||(1-− 3a ≤ 3a−-4 ||( a≥ 5 6 5
2 2 6

Тогда вторая система преобразуется в

(
||{ a≥ 22
5 ⇔ a∈ ∅
||( a< 5
6

Следовательно, в этом случае нам подходят [5 22)
a∈ 6;-5 , при этом
условие -7
a ⁄= −13 выполнено.

Объединив все подходящие значения параметра, получим окончательно

{ -7} [5 22)
a ∈ −13 ∪ 6;5

Ответ:

{ } [ )
a ∈ −-7 ∪ 5; 22
13 6 5

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Случай рассмотрен неверно, из-за чего ответ отличается от верного невключением	3

Верно рассмотрен случай а при рассмотрении либо есть ошибка, либо решение не завершено	2
ИЛИ
рассмотрен верно только случай

Уравнение сведено к рассмотрению квадратного уравнения с учётом допустимых значений и рассмотрен случай при этом допускается, что значение параметра могло быть не найдено или найдено не верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Найдите все значения параметра при каждом из которых уравнение

имеет ровно четыре различных решения.

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в виде

График полученной совокупности представляет собой объединение части
параболы y = y1, соответствующей x < 0, и части параболы y = y2,
соответствующей x≥ 0. Следовательно, может получиться одна из четырех
картинок:

Где бы ни находилась ось абсцисс на рис. 1, рис. 2 и рис. 3, график будет иметь
максимум две точки пересечения с этой осью. Следовательно, исходное
уравнение будет иметь максимум два корня. Нам подходит только рис. 4.
:

Этот рисунок задается следующим условием:

Ось абсцисс должна находиться в промежутке между прямой 1 и прямой 2. Это
значит, что обе параболы должна пересекать ось абсцисс (тогда ось абсцисс будет
находиться выше прямой 1) и значение должно быть положительно
(тогда ось абсцисс будет ниже прямой 2). Следовательно, дискриминанты D1 > 0
и D2 >0 и

В итоге получаем следующую систему:

(
||xв.1 <0 < xв.2
||||
{D1 > 0
|||D2 > 0
|||(
y1(0) = y2(0)> 0

Отсюда получаем

(
(||− 6− a< 0< 2− a ||||| a> − 6
|||| |||| a< 2
{16(a+ 1)2 >0 ⇔ {
|||16(a+ 3)2 >0 ||| a⁄= − 1
|||( 2 |||| a⁄= − 3
− (a + 4a)> 0 ||( −4 < a< 0

Тогда исходное уравнение имеет ровно четыре различных решения
при

Ответ:

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Нет обоснованного перехода к полученным неравенствам	3

Верно составлена система неравенств, но решение либо неверное, либо не завершено	2

Верно сведено к исследованию графически/или аналитически взаимного расположения частей парабол	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Источник

На этой странице вы узнаете

Игра в прятки: как значение одной переменной может помочь найти другую?
Парадокс: как стоять на месте и бежать с любой скоростью одновременно?
Решаем параметры осторожно: как не совершить ошибку в квадратном уравнении с параметром?

Мы привыкли, что в уравнении коэффициенты не меняются. Но возможно ли из одного уравнения составить бесконечное множество различных его вариантов? Узнаем об этом в статье.

Что такое параметр

Утром на термометре было некоторое количество градусов, которое мы обозначим за х. В обед температура воздуха изменилась в несколько раз. Во сколько раз должна была измениться температура воздуха, чтобы на термометре было 20 градусов?

Такие задачи достаточно легко решаются. Если бы изначально было пять градусов, то искомое число было бы равно (frac{20}{5} = 4). А если было 10 градусов, то искомое число было бы равно (frac{20}{10} = 2).

Но не все так просто. Мы не знаем, какой изначально была температура. Также мы не знаем, во сколько раз она изменилась. То есть мы получили уравнение с двумя неизвестными переменными.

Обозначим вторую переменную a, у нас получится уравнение вида ax=20. Только что введенная нами переменная “a” называется параметр.

Параметр — это условная буква, вместо которой можно подставить число.

То есть параметр — это еще одна переменная, которая может принять несколько значений.

Как решать уравнения с параметром, если у нас целых две (а то и больше) неизвестных переменных? Нужен иной подход, чем при решении обычного уравнения.

Решить уравнение с параметром — это найти такие числовые значения параметра, при которых условие выполняется.

Мы ищем не единственное значение параметра, а все возможные его значения для заданного условия.

Игра в прятки: как значение одной переменной может помочь найти другую?

Поскольку параметр — переменная в уравнении, которая является коэффициентом, его значение задает и корни уравнения. То есть переменные а и х зависят друг от друга так же, как и зависят корни обычного уравнения от его коэффициентов.

Линейные уравнения с параметром

Вернемся к нашей погоде. У нас получилось уравнение ax = 20. Как найти, сколько градусов было изначально? Разделить все уравнение на число a.

(x = frac{20}{a})

Какие значения может принимать параметр? Любые. Например, при a = 1 x = 20.
При a = 2 x = 10.
При a = 40 x = 0,5

Что, если a=0? Мы получаем уравнение (x = frac{20}{0}), у которого нет решения, поскольку на 0 делить нельзя.

Если мы не будем преобразовывать изначальное уравнение, то получится 0*x=20, то есть уравнение не будет выполняться: какое бы число мы ни умножили на 0, получится 0.

Получается, решение есть при любых значениях a, кроме 0. Таким образом, мы и нашли ответ: при a = 0 решений нет, при a (neq) 0 — x = 20a.

Добавим немного теории. Представим наше уравнение в виде ax = b, где a, b — действительные числа. Рассмотрим несколько случаев.

1) b (neq) 0.

Предположим, Пете необходимо в несколько раз увеличить скорость х, пробежать дистанцию и поставить рекорд. Чтобы поставить рекорд, он должен бежать со скоростью 15 км/ч — это и будет коэффициент b.

Получаем уравнение ax = 15. Как найти начальную скорость Пети? (x = frac{15}{a}).

Такое уравнение мы уже решали выше. Получаем два случая:

Если a = 0 — решений нет.
Если a (neq) 0, то изначальная скорость Пети была равна (x = frac{15}{a}).

Парадокс: как стоять на месте и бежать с любой скоростью одновременно?

Когда Пете нужно увеличить скорость в 0 раз, получается парадокс.
С какой бы скоростью ни бежал Петя, он все равно будет стоять на месте, поскольку 0 * x = 0. Даже если он изначально бегал со скоростью света, его скорость останется равна 0, а не 15 км/ч.

2) b = 0.

Мы получаем уравнение ax = 0. Также разберем два случая значений параметра:

a = 0. Мы получаем уравнение 0 * x = 0. Какое значение х нужно подставить, чтобы уравнение выполнялось?

Какое бы число мы ни умножили на 0, получим 0. Получаем бесконечное множество решений.

a (neq) 0. Здесь получается, что равен 0 уже х: (x = frac{0}{a} = 0).

Подведем итог. Как можно решить уравнение вида ax = b?

Если a = 0, b = 0 — бесконечное множество решений.
Если a = 0, b (neq) 0 — решений нет.
Если a (neq) 0, b (neq) 0 — решением будет (x = frac{b}{a}).

Квадратные уравнения с параметром

Прежде чем приступать к изучению следующего материала, рекомендуем ознакомиться с понятием квадратного уравнения в статье «Линейные, квадратные и кубические уравнения». Также важно ориентироваться в графиках параболы из статьи «Основные элементарные функции».

Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0, а графиком функции y = ax² + bx + c будет парабола.

Как работать с такими уравнениями, если в них присутствует параметр? В первую очередь, важны рассуждения. Любое задание с параметром можно решить, проанализировав функцию.

Решение квадратного уравнения опирается на понятие дискриминанта. В зависимости от его значений может получиться разное количество корней:

При D > 0 уравнение имеет два корня.
При D = 0 уравнение имеет один корень.
При D < 0 уравнение не имеет корней.

Как это проверить на графике? Корни уравнения — это точки, в которых парабола пересекает ось абсцисс, то есть ось х.

Рассмотрим три уравнения.

1) x² — x — 2 = 0
Решим уравнение с помощью дискриминанта.
D = 1² — 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9
Поскольку дискриминант больше 0, то уравнение имеет два корня.

(x_1 = frac{1 + 3}{2} = 2)
(x_2 = frac{1 — 3}{2} = -1)

Проверим с помощью графика функции. Построим параболу и заметим, что она действительно дважды пересекает ось абсцисс, а координаты этих точек равны (−1; 0) и (2; 0) .

2) x² -4x + 4 = 0
Решим уравнение с помощью дискриминанта.
D = 16 — 4 * 1 * 4 = 16 — 16 = 0
Поскольку дискриминант равен 0, у уравнения всего один корень.

(x = frac{4}{2} = 2)

Проверим на графике. И действительно, парабола касается оси х только один раз в вершине, координаты которой (2; 0).

3) x² — 5x + 7 = 0
Решим уравнение с помощью дискриминанта.
D = 25 — 4 * 1 * 7 = 25 — 28 = -3

Поскольку дискриминант отрицательный, у уравнения нет корней. И это отлично видно, если посмотреть на график функции: парабола лежит выше оси х и никогда ее не пересечет.

Где можно применить эти знания, решая параметры?

Пример 1. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение x² + (3a + 11)x + 18,25 + a = 0 имеет два различных решения.

Решение. Перед нами квадратное уравнение с коэффициентами b = 3a + 11, c = a + 18,25. В каких случаях это уравнение будет иметь два различных корня?

Квадратное уравнение имеет два корня, если D > 0. Нужно найти все значения параметра, при которых дискриминант будет положительным.

1. Для начала найдем сам дискриминант.

D = (3a + 11)² — 4 * 1 * (a + 18,25) = 9a² + 66a + 121 — 4a — 73 = 9a² + 62a + 48

2. Поскольку дискриминант должен быть больше 0, то получаем неравенство 9a² + 62a + 48 > 0

3. Решим его «Методом интервалов».

9a² + 62a + 48 = 0
D = 3844 — 1728 = 2116
(a_1 = frac{-62 + 46}{18} = -frac{16}{18} = -89)
(a_2 = frac{-62 — 46}{18} = -frac{108}{18} = -6)

4. Дискриминант будет положительным при (a in (-infty; -6) cup (-frac{8}{9}; +infty)). Это и будет ответ.

Ответ: (a in (-infty; -6) cup (-frac{8}{9}; +infty)).

Важно: в уравнении мы указываем не сами решения уравнения, а значения параметра, при которых уравнение имеет два решения.

Пример 2. При каких значениях параметра a уравнение (2a + 1)x² — ax + 3a + 1 = 0 имеет два различных решения?

Решение. Этот пример похож на предыдущий, однако здесь есть одна важная особенность. Что произойдет с уравнением, если 2a+1 = 0?

Мы получим уравнение 0,5x — 0,5 = 0, то есть линейное уравнение. У уравнения будет всего одно решение, что уже не подходит под условие задачи.

Решаем параметры осторожно: как не совершить ошибку в квадратном уравнении с параметром?

Если перед x² стоит коэффициент, обязательно проверить, чтобы он не был равен 0. В противном случае уравнение из квадратного превращается в линейное, а это уже совершенно другой алгоритм решений уравнений.

1. Поскольку по условию должно быть 2 решения, мы получаем, что a (neq) -0,5.

2. Найдем дискриминант уравнения. Он должен быть строго больше 0, чтобы у уравнения было два решения.

D = a² — 4 * (2a + 1) * (3a + 1) = a² — 24a² — 20a -4 = -23a² — 20a — 4

3. Составим неравенство и решим его:

-23a² — 20a — 4 > 0
23a² + 20a + 4 < 0
23a² + 20a + 4 = 0
D = 400 — 4 * 23 * 4 = 400 — 368 = 32
(a_1 = frac{-20 + 4 sqrt{2}}{46} = frac{2sqrt{2} — 10}{23})
(a_2 = frac{-20 — 4sqrt{2}}{46} = frac{-2sqrt{2} — 10}{23})

4. Разложим уравнение на множители:

(23a^2 + 20a + 4 = 23(a — frac{2sqrt{2} — 10}{23})(a — frac{-2sqrt{2} — 10}{23}))

5. Получаем неравенство:

(23(a — frac{2sqrt{2} — 10}{23})(a — frac{-2sqrt{2} — 10}{23} < 0)

6.Тогда (a in (frac{-2sqrt{2} — 10}{23}; frac{2sqrt{2} — 10}{23})). Вспомним, что a (neq) -0,5, следовательно, мы получаем ответ (a in (frac{-2sqrt{2} — 10}{23}; -0,5) cup (-0,5; frac{2sqrt{2} — 10}{23})).

Ответ: (a in (frac{-2sqrt{2} — 10}{23}; -0,5) cup (-0,5; frac{2sqrt{2} — 10}{23}))

Теорема Виета

Дискриминант — не единственный способ решить квадратное уравнение. Обратимся к теореме Виета. Если нам дано уравнение ax² + bx + c = 0, то его корни можно найти с помощью следующей системы:

Теорему Виета удобно использовать, если на корни уравнения наложены дополнительные ограничения.

Пример 3. При каких значениях параметра a корни уравнения x² — 3ax — a(a — 1) = 0 удовлетворяют условию x₁ = 5x₂.

Решение. 1. Корни уравнения — это два различных числа. Значит, дискриминант должен быть строго больше 0:

D = 9a² — 4 * 1 * (-a² + a) = 9a² + 4a² — 4a = 13a² — 4a = a(13a — 4)

Получаем неравенство a(13a — 4) > 0, следовательно, (a in (-infty; 0) cup (frac{4}{13}; +infty)).

2. По теореме Виета найдем корни уравнения:

3. По условию x₁ = 5x₂, тогда 5x₂ + x2 = 6x₂ = 3a, откуда получаем:
(x_2 = frac{3a}{6} = frac{a}{2})
(x_1 = 5 * a_2 = frac{5a}{2})

4. Подставим во второе уравнение системы:
(frac{a}{2} * frac{5a}{2} = a — a^2)
(frac{5a^2}{4} = a — a^2 | * 4)
5a² = 4a — 4a²
(9a^2 — 4a = 0 rightarrow a(9a — 4) = 0 rightarrow a = 0, a = frac{4}{9})

5. Мы нашли значения параметра, при которых выполняется условие. Осталось проверить, чтобы при этих значениях у уравнения было два корня.

a = 0 не подходит, поскольку ограничение (a in (-infty; 0) cup (frac{4}{13}; +infty)) не включает точку 0.

(a = frac{4}{9}) подходит, поскольку (frac{4}{9} > frac{4}{13}).

Ответ: (a = frac{4}{9})

Условия на корни квадратного трехчлена

Однако могут встретиться еще более сложные задания с параметрами. Рассмотрим каждый из этих случаев.

1. Корни квадратного трехчлена меньше, чем число N.

Построим параболу. Вспомним, что ветви параболы могут быть направлены или вверх, или вниз.

Если ветви параболы направлены вверх. Отметим на оси х точку N так, чтобы она лежала правее обоих корней уравнения. Так мы зададим условие, что корни уравнения меньше, чем число N.

Представим, что мы идем по холмистой местности, и у нас есть ее карта. Имея перед собой плоскую картинку, мы понимаем, как относительно друг друга располагаются точки в пространстве. Но посмотрев на рельеф сбоку, заметим, что точки имеют разную высоту.

Пусть в точках, где парабола пересекает ось х, будут привалы на экскурсионном маршруте, а в точке N будет смотровая площадка.

Что можно сказать про смотровую площадку на этой карте? Она находится выше, чем привалы, и лежит правее, чем самая низкая точка рельефа.

Рассмотрим эти условия на графике. В точке N значение функции f(x) больше, чем в корнях уравнения. Более того, она лежит правее, чем вершина параболы, то есть ее абсцисса больше абсциссы параболы.

Почему эти условия так важны? Пусть точка N будет лежать левее вершины параболы. Тогда не выполняется условие, что корни меньше, чем N.

В этом случае на нашем экскурсионном маршруте смотровая площадка будет лежать до привалов.

А если значение функции в точке N будет меньше, чем в корнях уравнения? Точка N будет лежать между ними.

В этом случае смотровая площадка окажется между привалами.

Аналогичным способом можно проследить изменение условий при любом положении точки N на графике.

Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена ax² + bx + c были меньше, чем число N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

Что произойдет, если ветви параболы будут направлены вниз? Наш экскурсионный маршрут немного поменяется: появится гора, а не овраг.

Где теперь располагается смотровая площадка? Она будет ниже, чем привалы, и дальше, чем самая высокая точка горы.

Мы можем сделать вывод, что точка N на графике будет лежать правее вершины параболы, а значение функции в ней будет меньше, чем значение функции в корнях уравнения.

2. Корни квадратного трехчлена больше, чем число N.

Рассуждаем так же, как и в предыдущей функции, однако теперь точка N перемещается левее параболы.

Если ветви параболы направлены вверх, то функция в точке N принимает большее значение, чем в корнях уравнения, а сама точка N будет лежать левее параболы.

Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена ax² + bx + c были больше, чем число N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

Теперь направим ветви параболы вниз. Значение функции в точке N будет меньше, чем в корнях уравнения.

С помощью анализа расположения точек на графике функций можно задать условия для любой ситуации, даже если точек будет несколько.

Алгоритм: как задать любые условия для корней квадратных уравнений с помощью графика?

Достаточно начертить примерный график функции и расставить на оси х нужные точки. Чтобы составить систему, необходимо:

1. Определить, куда направлены ветви параболы и задать условие для коэффициента перед x².
2. Определить, сколько корней имеет уравнение и задать условие для дискриминанта.
3. Определить расположение вершины параболы относительно точек на графике и задать условие для их абсцисс.
4. Определить, какое значение принимает функция в данных точках относительно корней уравнения.

В итоге должна получиться система, с помощью которой можно решить задачу.

Фактчек

Параметр — это буква a, вместо которой можно подставить число. Решить уравнение с параметром — это найти такие числовые значения параметра, при которых условие выполняется.
При решении линейного уравнения ax=b в зависимости от значения коэффициентов может получиться несколько вариантов решений. Если a = 0, b = 0 — бесконечное множество решений. Если a = 0, b (neq) 0 — решений нет. Если a (neq) 0, b (neq) 0 — решением будет (x = frac{b}{a}).
При решении квадратного уравнения обязательно проверять коэффициент перед x². Если коэффициент будет равен 0, то уравнение станет линейным.
При решении квадратного уравнения важно учитывать значение дискриминанта: если он строго больше 0, то корней у уравнения два, если дискриминант равен 0, то у уравнения один корень, если дискриминант меньше 0, то у уравнения нет корней.
Решить квадратное уравнение можно и с помощью теоремы Виета.
Если в задаче даны дополнительные условия на корни уравнения (например, они должны быть больше или меньше определенного числа), то задать их можно с помощью системы. Неравенства в системе можно составить с помощью анализа примерного графика функций.

Проверь себя

Задание 1.
Что такое параметр?

Это буква a, вместо которой можно подставить число.
Это коэффициент перед x² в квадратном уравнении.
Это переменная х.
Это значение функции в определенной точке.

Задание 2.
Дано уравнение ax = b. Сколько решений оно имеет, если a = 0 и b = 0?

Решений нет.
Одно решение.
Бесконечное множество решений.
Невозможно определить количество решений.

Задание 3.
При каких значениях дискриминанта уравнение будет иметь корни?

D > 0
D = 0
D < 0
D (neq) 0

Задание 4.
Корни квадратного уравнения меньше числа А. Где будет лежать вершина параболы относительно точки А?

Справа.
Слева.
Совпадать с точкой А.
Невозможно определить расположение вершины.

Задание 5.
Меньший корень квадратного уравнения больше числа А, но меньше числа В. Ветви параболы направлены вниз. Чему будет равно значение функции в точке В?

Значение функции в точке В будет меньше 0.
Значение функции в точке В будет равно 0.
Значение функции в точке В будет больше 0.
Невозможно определить значение функции.

Ответы: 1. — 1 2. — 3 3. — 4 4. — 2 5. — 3.

Источник

Всем привет, сегодня я попытаюсь объяснить как решаются задачи с параметром. Для начала поймем, что вообще такое этот параметр?

Представьте, у нас есть телефон, и чтобы совершать с него звонки, нужно иметь деньги на нём. Если у нас нету денег(мы в минусе или 0 рублей) — мы не сможем позвонить. Давайте теперь это переведём на язык алгебры:

Пусть число a — это наш баланс на телефоне. И теперь рассмотрим два случая:

1) a ( от минус бесконечности до 0 включительно): Мы не можем совершать звонки, денег нет.

2) a > 0 (от нуля не включительно до плюс бесконечности) : Мы можем совершать звонки, деньги есть.

Грубо говоря, мы ввели и исследовали функцию «ЗВОНОК», которая зависит от параметра a (баланса), нашли те параметры a , при которых она меняет своё «поведение»( с нельзя звонить до можно звонить ).

Дадим определение параметру — параметр, это такая переменная(число), влияющая на поведение, вид, количество корней уравнения и т.д. нашей функции. Заметьте » влияющая на поведение, вид, кол-во корней уравнения и т.д. «, дело в том, что подставлять разные значения параметра a в функцию и проверять то, как она будет себя вести — это не очень-то умно. К примеру, у нас на телефоне (-150 рублей), мы же не будем пытаться дозвониться до кого-либо, всё таки люди умные, понимаем что если на счете не более 0 рублей, то вызов совершить не получится.

Поймите одну важную вещь, когда вы решаете задачу с параметром, вам нужно определить те значения параметра, при которых с функцией что-то происходит, где-то пропадают корни, выкалываются точки и т.д.

Давайте теперь проанализируем линейные уравнения с параметром.

Линейная функция.

Допустим дано такое уравнение, нужно его решить.

Источник

Уравнения с параметром

Разделы: Математика

Справочный материал

Уравнение вида f(x; a) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а.

Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению.

Если 1 – а = 0, т.е. а = 1, то х0 = -2 корней нет

Если 1 – а 0, т.е. а 1, то х =

Пример 4.

Если а = 1, то 0х = 0
х – любое действительное число

Если а = -1, то 0х = -2
Корней нет

Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).

Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х.

если а = 5, то х = = ;

3. а = +

4. + 3(х+1)

5. = –

6. =

Пример 1. Решить уравнение

В случае а 1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль.

Д = (2(2а + 1)) 2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а 2 + 16а + 4 – 4(4а 2 + 3а – 4а – 3) = 16а 2 + 16а + 4 – 16а 2 + 4а + 12 = 20а + 16

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение

Пример 3. Найдите значения а, при которых данное уравнение имеет решение.

2. При каком значении а уравнение (а + 2) х 2 + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?

3. При каких значениях а уравнение (а 2 – 6а + х 2 + (а 2 – 4) х + (10 – 3а – а 2 ) = 0 имеет более двух корней?

4. При каких значениях а уравнение 2х 2 + х – а = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х 2 – 7х + 6 = 0?

5. При каких значениях а уравнения х 2 +ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень?

9 х – (а + 2)*3 х-1/х +2а*3 -2/х = 0 (1) имеет ровно два корня.

Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 3 2/х , получим равносильное уравнение

Если у = 2, т.е. 3 х+1/х = 2 то х + 1/х = log₃2 , или х 2 – хlog₃2 + 1 = 0.

Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log 2 ₃2 – 4 х+1/х = а то х + 1/х = log₃а, или х 2 – хlog₃а + 1 = 0. (3)

Д = log 2 ₃2 – 4 > 0, или |log₃а| > 2.

Если log₃а > 2, то а > 9, а если log₃а 9.

Пример 2. При каких значениях а уравнение 2 2х – (а – 3) 2 х – 3а = 0 имеет решения?

Для того чтобы заданное уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение t 2 – (a – 3) t – 3a = 0 имело хотя бы один положительный корень. Найдем корни по теореме Виета: х₁ = -3, х₂ = а = >

а – положительное число.

1. Найти все значения а, при которых уравнение

2. При каких значениях а уравнение

3. При каких значениях параметра а уравнение

Если а = 0, то – 2у + 1 = 0
2у = 1
у = 1/2
х = 1/2
х = 1/4

Не выполняется (2) условие из (3).

Пусть а 0, то ау 2 – 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.

Если Д = 0 (а = 1), то (4) имеет единственный положительный корень х = 1, удовлетворяющий условиям (3).

Пусть Д > 0 (а 0 уравнение (4) имеет действительные корни разных знаков. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда Д > 0 и 1/а х

Выражая х из (1) и подставляя в (2), получаем неравенство

2 – а > 1 – а (3)

Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций у = 2 – а и у = 1 – а.

Решения неравенства (3) образуют промежуток (а₀; 2), где а₀ 2

а₀ =

Ответ: x + 9a 3 ) = x имеет ровно два корня.

Уравнение вида f (x ; a ) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а .

Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х , удовлетворяющие этому уравнению.

Если 1 – а = 0, т.е. а = 1, то х 0 = -2 корней нет

Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).

Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х .

Пример 1. Решить уравнение

В случае а 1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль.

Д = (2(2а + 1)) 2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а 2 + 16а + 4 – 4(4а 2 + 3а – 4а – 3) = 16а 2 + 16а + 4 – 16а 2 + 4а + 12 = 20а + 16

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение

В итоге 4(а – 1)(а – 6) > 0
— 2(а + 1) 0 а 6
а > — 1
а > 5/9

Пример 3. Найдите значения а , при которых данное уравнение имеет решение.

Д = 4(а – 1) 2 – 4(2а + 10 = 4а 2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а 2 – 16а

Дидактический материал

1. При каком значении а уравнение ах 2 – (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?

2. При каком значении а уравнение (а + 2) х 2 + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?

3. При каких значениях а уравнение (а 2 – 6а + х 2 + (а 2 – 4) х + (10 – 3а – а 2) = 0 имеет более двух корней?

4. При каких значениях а уравнение 2х 2 + х – а = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х 2 – 7х + 6 = 0?

5. При каких значениях а уравнения х 2 +ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень?

Показательные уравнения с параметром

Пример 1 .Найти все значения а , при которых уравнение

9 х – (а + 2)*3 х-1/х +2а *3 -2/х = 0 (1) имеет ровно два корня.

Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 3 2/х, получим равносильное уравнение

3 2(х+1/х) – (а + 2)*3 х+1/х + 2а = 0 (2)

Пусть 3 х+1/х = у , тогда уравнение (2) примет вид у 2 – (а + 2)у + 2а = 0, или

Если у = 2, т.е. 3 х+1/х = 2 то х + 1/х = log 3 2 , или х 2 – х log 3 2 + 1 = 0.

Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log 2 3 2 – 4 0, или |log 3 а| > 2.

Если log 3 а > 2, то а > 9, а если log 3 а 9.

Пример 2 . При каких значениях а уравнение 2 2х – (а – 3) 2 х – 3а = 0 имеет решения?

а – положительное число.

Дидактический материал

1. Найти все значения а, при которых уравнение

25 х – (2а + 5)*5 х-1/х + 10а * 5 -2/х = 0 имеет ровно 2 решения.

2. При каких значениях а уравнение

2 (а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный корень?

3. При каких значениях параметра а уравнение

4 х — (5а -3)2 х +4а 2 – 3а = 0 имеет единственное решение?

Логарифмические уравнения с параметром

Пример 1. Найти все значения а , при которых уравнение

log 4x (1 + ах ) = 1/2 (1)

имеет единственное решение.

Решение. Уравнение (1) равносильно уравнению

Не выполняется (2) условие из (3).

Пусть а 0, то ау 2 – 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1990

Крамор В.С . Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – М.: Просвещение, 1990.

Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И . Сборник задач по алгебре. – М.: Просвещение, 1994.

Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. Алгебра и начала анализа. Решение экзаменационных задач. – М.: Дрофа, 1998.

Макарычев Ю.Н. и др. Дидактические материалы по алгебре 7, 8, 9 кл. – М.: Просвещение, 2001.

Саакян С.И., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа для 10–11-х классов. – М.: Просвещение, 1990.

Журналы “Математика в школе”.

Л.С. Лаппо и др. ЕГЭ. Учебное пособие. – М.: Экзамен, 2001–2008.

К задачам с параметром можно отнести, например, поиск решения линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование уравнения на количество имеющихся корней в зависимости от значения параметра.

Не приводя подробных определений, в качестве примеров рассмотрим следующие уравнения:

у = kx, где x, y – переменные, k – параметр;

у = kx + b, где x, y – переменные, k и b – параметр;

аx 2 + bх + с = 0, где x – переменные, а, b и с – параметр.

Решить уравнение (неравенство, систему) с параметром это значит, как правило, решить бесконечное множество уравнений (неравенств, систем).

Задачи с параметром можно условно разделить на два типа:

а) в условии сказано: решить уравнение (неравенство, систему) – это значит, для всех значений параметра найти все решения. Если хотя бы один случай остался неисследованным, признать такое решение удовлетворительным нельзя.

б) требуется указать возможные значения параметра, при которых уравнение (неравенство, система) обладает определенными свойствами. Например, имеет одно решение, не имеет решений, имеет решения, принадлежащие промежутку и т. д. В таких заданиях необходимо четко указать, при каком значении параметра требуемое условие выполняется.

Параметр, являясь неизвестным фиксированным числом, имеет как бы особую двойственность. В первую очередь, необходимо учитывать, что предполагаемая известность говорит о том, что параметр необходимо воспринимать как число. Во вторую очередь, свобода обращения с параметром ограничивается его неизвестностью. Так, например, операции деления на выражение, в котором присутствует параметр или извлечения корня четной степени из подобного выражения требуют предварительных исследований. Поэтому необходима аккуратность в обращении с параметром.

Например, чтобы сравнить два числа -6а и 3а, необходимо рассмотреть три случая:

1) -6a будет больше 3a, если а отрицательное число;

2) -6а = 3а в случае, когда а = 0;

3) -6а будет меньше, чем 3а, если а – число положительное 0.

Решение и будет являться ответом.

Пусть дано уравнение kx = b. Это уравнение – краткая запись бесконечного множества уравнений с одной переменной.

При решении таких уравнений могут быть случаи:

1. Пусть k – любое действительное число не равное нулю и b – любое число изR, тогда x = b/k.

2. Пусть k = 0 и b ≠ 0, исходное уравнение примет вид 0 · x = b. Очевидно, что у такого уравнения решений нет.

3. Пусть k и b числа, равные нулю, тогда имеем равенство 0 · x = 0. Его решение – любое действительное число.

Алгоритм решения такого типа уравнений:

1. Определить «контрольные» значения параметра.

2. Решить исходное уравнение относительно х при тех значениях параметра, которые были определены в первом пункте.

3. Решить исходное уравнение относительно х при значениях параметра, отличающихся от выбранных в первом пункте.

4. Записать ответ можно в следующем виде:

1) при … (значения параметра), уравнение имеет корни …;

2) при … (значения параметра), в уравнении корней нет.

Решить уравнение с параметром |6 – x| = a.

Легко видеть, что здесь a ≥ 0.

По правилу модуля 6 – x = ±a, выразим х:

Ответ: х = 6 ± a, где a ≥ 0.

Решить уравнение a(х – 1) + 2(х – 1) = 0 относительно переменной х.

Раскроем скобки: aх – а + 2х – 2 = 0

Запишем уравнение в стандартном виде: х(а + 2) = а + 2.

В случае, если выражение а + 2 не нуль, т. е. если а ≠ -2, имеем решение х = (а + 2) / (а + 2), т.е. х = 1.

В случае, если а + 2 равно нулю, т.е. а = -2, то имеем верное равенство 0 · x = 0, поэтому х – любое действительное число.

Ответ: х = 1 при а ≠ -2 и х € R при а = -2.

Решить уравнение x/a + 1 = а + х относительно переменной х.

Если а = 0, то преобразуем уравнение к виду а + х = а 2 + ах или (а – 1)х = -а(а – 1). Последнее уравнение при а = 1 имеет вид 0 · x = 0, следовательно, х – любое число.

Если а ≠ 1, то последнее уравнение примет вид х = -а.

Данное решение можно проиллюстрировать на координатной прямой (рис. 1)

Ответ: нет решений при а = 0; х – любое число при а = 1; х = -а при а ≠ 0 и а ≠ 1.

Рассмотрим еще один способ решения уравнений с параметром – графический. Этот метод применяется достаточно часто.

Сколько корней в зависимости от параметра a имеет уравнение ||x| – 2| = a?

Для решения графическим методом строим графики функций y = ||x| – 2| и y = a (рис. 2) .

На чертеже наглядно видны возможные случаи расположения прямой y = a и количество корней в каждом из них.

Ответ: корней у уравнения не будет, если а 2 и а = 0; три корня уравнение будет иметь в случае а = 2; четыре корня – при 0 1.

На рисунке 3 хорошо видно, что единственный корень уравнение будет иметь только при а = 1.

Определить число решений уравнения |x + 1| + |x + 2| = a в зависимости от параметра а?

График функции y = |x + 1| + |x + 2| будет представлять собой ломаную. Ее вершины будут располагаться в точках (-2; 1) и (-1; 1) (рисунок 4) .

Ответ: если параметр a будет меньше единицы, то корней у уравнения не будет; если а = 1, то решение уравнения является бесконечное множество чисел из отрезка [-2; -1]; если значения параметра а будут больше одного, то уравнение будет иметь два корня.

Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения с параметром?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Внимание: мелкие насыщенные графики можно увеличить, щелкнув по ним мышью.

Исследование и решение уравнений с параметрами считается не самым простым разделом школьной математики. Однако, параметр, как понятие, часто воспринимается школьниками гораздо более сложным, чем есть в действительности. Здесь в первом пункте представлены очень простые вводные примеры использования параметров в уравнениях. Те, для кого это понятие не составляет большой трудности, могут сразу перейти к решению задач, которые представлены ниже.

Что такое уравнение с параметром?

Допустим нам нужно решить уравнение 2х + 5 = 2 − x .
Решение: 2x + x = 2 − 5; 3x = −3; x = −3/3 = −1.

Теперь нужно решить уравнение 2x + 5 = 3 − x .
Решение: 2x + x = 3 − 5; 3x = −2; x = −2/3

Затем нужно решить уравнение 2x + 5 = 0,5 − x .
Решение: 2x + x = 0,5 − 5; 3x = −4,5; x = −4,5/3 = −1,5.

А потом может потребоваться решить уравнение 2x + 5 = 10,7 − x или уравнение 2x + 5 = −0,19 − x .
Понятно, что уравнения похожи, а потому их решение будет сопровождаться теми же действиями, что выше. Возникает естественный вопрос — сколько можно делать одно и то же?

Уменьшим себе трудозатраты. Заметим, что все эти уравнения отличаются только одним числом в правой части. Обозначим это число символом a .
Получим уравнение 2х + 5 = a − х ,
где a — переменная величина, вместо которой можно подставить нужное числовое значение и получить нужное уравнение. Эта переменная и называется параметром.

Решим это уравнение так же, как и все предыдущие.
Решение: 2х + 5 = a − x ; 2x + x = a − 5; 3x = a − 5; x = (a − 5)/3.

Теперь для того, чтобы найти ответы для двух последних примеров, мы можем не повторять полностью всё решение каждого уравнения, а просто подставить в полученную формулу для х числовое значение параметра а :
x = (10,7 − 5)/3 = 5,7/3 = 1,9;
x = (−0,19 − 5)/3 = −5,19/3 = −1,73.

Таким образом, под термином «уравнение с параметром», фактически, скрывается целое семейство «почти одинаковых уравнений» , которые отличаются друг от друга только одним числом (одним слагаемым или одним коэффициентом) и одинаково решаются. Параметр — это число, которое меняется от уравнения к уравнению.
Полученную формулу для корня уравнения мы можем запрограммировать на компьютере. Достаточно будет только ввести значение параметра a , чтобы получить решение любого такого уравнения.

Рассмотрим еще один пример.

Нужно решить несколько уравнений:
2х + 5 = 2 − x ;
3х + 5 = 2 − x ;
−4х + 5 = 2 − x ;
17х + 5 = 2 − x ;
0,5х + 5 = 2 − x .

Замечаем, что они похожи друг на друга и отличаются только первым коэффициентом. Обозначим его, например, символом k .
Решим уравнение kх + 5 = 2 − x с параметром k .

С помощью этой формулы вычислим все ответы для приведенных уравнений.
x = −3/(2 + 1) = −1
x = −3/(3 + 1) = −0,75
x = −3/(−4 + 1) = 1
x = −3/(17 + 1) = −1/6

Можем ли мы теперь запрограммировать эту формулу и сказать, что с её помощью можно решить любое аналогичное уравнение?
Запрограммировать можем. Компьютер справится как с очень большими значениями коэффициента, так и с очень маленькими.
Например, если введём k = 945739721, то для уравнения заданного вида будет получен корень примерно равный −0,0000000031721201195353831188, если k = 0,0000004, то получим корень ≈ −2,9999988000004799998080000768.
Но, если мы введем в программу, казалось бы, более простое значение k = −1, то компьютер зависнет.
Почему?

Посмотрим внимательнее на формулу x = −3/(−1 + 1) = −3/0. Деление на ноль.
Посмотрим на соответствующее уравнение −1·х + 5 = 2 − x .
Преобразуем его −х + x = 2 − 5.
Оказывается, оно равносильно уравнению 0 = −3 (. ) и не может иметь корней.
Таким образом, из общего подхода к решению «почти одинаковых уравнений» могут существовать исключения, о которых нужно позаботиться отдельно. Т.е. провести предварительное исследование всего семейства уравнений. Именно этому и учатся на уроках математики с помощью так называемых задач с параметрами.

Графические способы решения уравнений

Сначала вспомним, что представляет собой графический способ решения обычного уравнения (без параметра).
Пусть дано уравнение вида f(x) = g(x) . Построим графики функций y = f(x) и y = g(x) и найдём точки пересечения этих графиков. Абсциссы точек пересечения и есть корни уравнения.

Для быстрого построения эскизов графиков повторите еще раз которые изучаются в школьном курсе математики, и

Первые два из приведенных уравнений вы можете решить и аналитически, так как это обычные линейное и квадратное уравнения. Второе уравнение содержит функции разных классов — степенную (здесь линейную) и трансцендентную (здесь логарифмическую). Для таких случаев выбор способов решения у школьников очень ограничен. Фактически, единственным доступным способом является именно графическое решение.

Внимание: Для корней, найденных графическим способом, обязательна проверка! Вы уверены, что на третьем рисунке пересечение именно в точке х = 4 , а не в точке 3,9 или 4,1? А если на реальном экзамене у вас нет возможности построить график достаточно точно? На чертеже «от руки» разброс может быть еще больше. Поэтому алгоритм действий должен быть следующим:

Предварительный вывод: х ≈ 4.

Проверка: l og 2 4 = −0,5·4 + 4; 2 = −2 + 4; 2 ≡ 2.

Окончательный вывод х = 4.

Чтобы графически решать уравнения с параметрами надо строить не отдельные графики, а их семейства.

Решение уравнений с параметрами с помощью графиков.

q при которых уравнение |x + 1| − |x − 3| − x = q 2 − 8q + 13 имеет ровно 2 корня.

При каждом значении параметра q можно вычислить значение выражения q 2 − 8q + 13 . Результат обозначим переменной а .
Т.е. примем q 2 − 8q + 13 = a и решим уравнение с параметром |x + 1| − |x − 3| − x = a

Строим график функции y = |x + 1| − |x − 3| − x , расположенной в левой части уравнения.
Для этого разобьём числовую ось на отрезки точками, в которых каждый из встречающихся модулей принимает нулевое значение.

Для каждого из этих участков раскроем модули с учётом знаков.
Вспомним: по определению |x | = x , если х ≥ 0 , и |x | = −x , если х −∞ имеем −(x + 1) + (x − 3) − x = − x − 4.
Следовательно, должны построить график функции y = − x − 4 .
Это линейная функция. Её график прямая линия, которую можно построить по двум точкам, например, x = 0, y = −4 и у = 0, x = −4. Cтроим всю прямую бледной линией, а затем выделяем часть графика, относящуюся только к рассматриваемому участку.

Аналогично, разбираемся с оставшимися двумя участками.

На участке III , где 3 (x + 1) − (x − 3) − x = − x + 4
и должны построить соответствующую часть графика функции y = − x + 4 .

Последовательное построение итогового графика показано ниже. (Чтобы увеличить рисунок, нужно щелкнуть по нему левой кнопкой мыши.)

Замечание: если вы освоили тему , то с этой частью задачи сможете справиться быстрее, чем показано в примере.

Итак, построение графика функции, расположенной в левой части уравнения, мы завершили. Посмотрим, что находится в правой части.

График функции y = a представляет собой прямую линию, параллельную оси абсцисс (Ox ), и пересекающую ось ординат (Oy ) в точке а . Так как а — параметр, который может принимать разные значения, то нужно построить целое семейство таких параллельных линий, пересекающих ось ординат на разной высоте. Очевидно, что все графики семейства построить мы не сможем, поскольку их бесконечное множество. Изобразим для примера несколько штук в районе уже построенного графика функции. Ниже прямые семейства y = a показаны красным цветом.

Из рисунка видно, что количество точек пересечения каждой из красных прямых с ранее построенным (зелёным) графиком зависит от высоты, на которой расположена эта прямая, т.е. от параметра а . Прямые, расположенные ниже y = −3 , пересекают график в одной точке, а значит эти уравнения имеют только одно решение. Прямые, проходящие на уровне −3 (2 − x )x (x − 4) = a имеет ровно 3 корня.

Рассмотрим функцию y = (2 − x )x (x − 4) . Видно, что если раскрыть скобки, то старший член будет −х 3 . Т.е. графиком функции должна быть кубическая парабола, причем на при x , стремящемcя к +∞, y → −∞, а при x , стремящемся к −∞, y → +∞.
Поскольку уравнение (2 − x )x (x − 4) = 0 имеет три корня 2, 0 и 4, то график функции будет пересекать ось абсцисс трижды.
Понятно, что при упомянутых условиях график непрерывной функции должен иметь участок с «волной». Строим от руки эскиз графика.

Правая часть уравнения y = a такая же, как в предыдущей задаче. Поэтому дальнейшие построения не требуют комментариев. Смотрите рисунки. Чтобы увеличить, используйте щелчок мышью.

Из рисунков видно, что прямые, отделяющие линии с тремя точками пересечения от других случаев, проходят через экстремумы кубической функции. Поэтому определяем значения y max и y min через производную. (Исследовать функцию полностью не нужно, так как примерное положение точек экстремума мы видим на эскизе графика.) Обратите внимание на то, что при вычислении значений функции используются точные значения x и формулы сокращенного умножения. Приближенные значения в промежуточных вычислениях не используют.

Ответ:

Задача для самостоятельного решения

При каком наибольшем отрицательном значении параметра а уравнение имеет один корень?

Чтобы увеличить рисунок, нужно щелкнуть по нему левой кнопкой мыши.
Переносим 2x в правую часть уравнения, в результате получим две элементарные функции, графики которых изучались в школе.
По рисунку видим, что условию задачи удовлетворяет линия, которая касается графика. Поэтому для дальнейших вычислений используем условия:
1) тангенс угла наклона касательной равен производной функции в точке касания;
2) искомая параметрическая прямая и график имеют общую точку.
При вычислениях игнорируем модуль, поскольку проводим их для правого участка кривой (x > 0 ).

Задача реального экзамена ЗНО-2013 (http://www.osvita.ua/).

Есть вопросы? пожелания? замечания?
Обращайтесь —

Внимание, ©mathematichka . Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.

При каких значениях параметра $a$ неравенство $<>-x^2 + (a + 2)x — 8a — 1 > 0$ имеет хотя бы одно решение?

Решение

Приведем данное неравенство к положительному коэффициенту при $x^2$:

$<>-x^2 + (a + 2)x — 8a — 1 > 0 quad Leftrightarrow quad x^2 — (a + 2)x + 8a + 1 0$. Квадратный трехчлен $a^2 — 28a$ имеет два корня: $a_1 = 0$, $a_2 = 28$. Поэтому неравенству $a^2 — 28a > 0$ удовлетворяют промежутки $a in (-infty; 0) cup (28; + infty)$.

Ответ. $a in (-infty; 0) cup (28; + infty)$.

При каких значениях параметра $a$ уравнение $(a-2)x^2-2ax+a+3=0$ имеет хотя бы один корень, и при этом все корни положительны?

Решение

Пусть $a=2$. Тогда уравнение принимает вид $<> — 4x +5 = 0$ , откуда получаем, что $x=dfrac<5><4>$ — положительный корень.

Пусть теперь $ane 2$. Получается квадратное уравнение. Определим сначала, при каких значениях параметра $a$ данное уравнение имеет корни. Нужно, чтобы его дискриминант был неотрицателен. То есть:

$ D = 4a^2 — 4(a-2)(a+3) =<> -4a+24geqslant 0Leftrightarrow aleqslant 6.$

Корни по условию должны быть положительны, следовательно, из теоремы Виета получаем систему:

$ beginx_1 + x_2 = dfrac<2a>>0,\ x_1x_2 = dfrac> 0,\aleqslant 6end quad Leftrightarrow quad beginain(- infty;0)cup(2; +infty), \ ain(- infty;-3)cup(2; +infty), \ ain(-infty;6] endquadLeftrightarrow quad ain(-infty;-3)cup(2;6]. $

Объединяем ответы, получаем искомое множество: $ain(-infty;-3)cup$.

При каких значениях параметра $a$ неравенство $ax^2 + 4ax + 5 leqslant 0$ не имеет решений?

Решение

Если $a = 0$, то данное неравенство вырождается в неравенство $5 leqslant 0$ , которое не имеет решений. Поэтому значение $a = 0$ удовлетворяет условию задачи.

Если $a > 0$, то график квадратного трехчлена в левой части неравенства — парабола с ветвями, направленными вверх. Вычислим $dfrac<4>= 4a^2 — 5a$. Неравенство не имеет решений, если парабола расположена выше оси абсцисс, то есть когда квадратный трёхчлен не имеет корней ($D 0$ и $y(1) > 0$.

Случай I. Пусть $a > 0$. Тогда

$left< begin y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3 0 end right. quad Leftrightarrow quad left< begin a>-1 \ a>3 \ a>0 end right.quad Leftrightarrow quad a>3.$

То есть в этом случае получается, что подходят все $a > 3$.

Cлучай II. Пусть $a 0 \ y(1)=a+(a+3)-3a=-a+3>0 \ a 0$, то есть эта функция на данном промежутке неограниченно возрастает.

Рассмотрим теперь промежуток $x 0 quad Leftrightarrow quad |9-|3+a|| 0$. Тогда первоначальное уравнение принимает вид квадратного уравнения: $t^2-3t+a-1 =0$. Исходное уравнение будет иметь единственный корень в том случае, если у данного уравнения будет один положительный корень либо два корня, один из которых положительный, другой — отрицательный.

Дискриминант уравнения равен: $D = 13-4a$. Один корень это уравнение будет иметь в том случае, если полученный дискриминант окажется равным нулю, то есть при $a = dfrac<13><4>$. При этом корень $t=dfrac<3> <2>> 0$, поэтому данное значение $a$ подходит.

Если есть два корня, один из которых положителен, другой — неположителен, то $D = 13-4a > 0$, $x_1+x_2 = 3 > 0$ и $x_1x_2 = a — 1 leqslant 0$.

То есть $ain(-infty;1]$

Найдите все значения параметра $a$, при которых система

имеет ровно два решения.

Решение

Преобразуем систему к следующему виду:

$ begin log_a y = (2x-x^2)^2, \ y = 2x-x^2. end $

Поскольку параметр $a$ находится в основании логарифма, на него накладываются следующие ограничения: $a>0$, $a ne 1$. Поскольку переменная $y$ является аргументом логарифма, то $y > 0$.

Скомбинировав оба уравнения системы, переходим к уравнению: $log_a y = y^2$. В зависимости от того, какие значения принимает параметр $a$, возможны два случая:

Пусть $0 0$. Из поведения графиков очевидно, что корень уравнения один, при этом он меньше 1. Второе уравнение системы и вся система в целом имеют, следовательно, два решения, в силу того что дискриминант уравнения $ x^2-2x+y = 0$ при $0 1$. В этом случае функция $f(y)=log_a y leqslant 0$ при $y 0$ при тех же $y$. Значит, если решения и есть, то только при $y > 1$, но второе уравнение системы решений иметь не будет, так как дискриминант уравнения $x^2 — 2x + y = 0$ при $y > 1$ отрицателен.

Рассмотрим случай, когда $a > 1$. Так как при больших по модулю значениях $t$ график функции $f(t) = a^t$ лежит выше прямой $g(t) = t$, то единственная общая точка может быть только точкой касания.

Пусть $t_0$ — точка касания. В этой точке производная к $f(t) = a^t$ равняется единице (тангенс угла наклона касательной), кроме того, значения обоих функций совпадают, то есть имеет место система:

$ begin a^ln a = 1, \ a^ = t_0 end quad Leftrightarrow quad begin a^ = dfrac<1><ln a>, \ a^ <tau>= tau end $

$ a^<frac<1><ln a>>ln a = 1 quad Leftrightarrow quad a^ <log_a e>=frac<1> <ln a>quad Leftrightarrow quad a = e^<frac<1>>. $

При этом других общих точек у прямой и показательной функции очевидно нет.

1. Задача.
При каких значениях параметра a уравнение (a — 1)x 2 + 2x + a — 1 = 0 имеет ровно один корень?

1. Решение.
При a = 1 уравнение имеет вид 2x = 0 и, очевидно, имеет единственный корень x = 0. Если a № 1, то данное уравнение является квадратным и имеет единственный корень при тех значениях параметра, при которых дискриминант квадратного трехчлена равен нулю. Приравнивая дискриминант к нулю, получаем уравнение относительно параметра a 4a 2 — 8a = 0, откуда a = 0 или a = 2.

1. Ответ: уравнение имеет единственный корень при a О <0; 1; 2>.

2. Задача.
Найти все значения параметра a , при которых имеет два различных корня уравнение x 2 +4ax +8a +3 = 0.
2. Решение.
Уравнение x 2 +4ax +8a +3 = 0 имеет два различных корня тогда и только тогда, когда D = 16a 2 -4(8a +3) > 0. Получаем (после сокращения на общий множитель 4) 4a 2 -8a -3 > 0, откуда

a О (-Ґ ; 1 – Ц 7 2 ) И (1 + Ц 7 2 ; Ґ ).

3. Задача.
Известно, что
f 2 (x ) = 6x —x 2 -6.
а) Постройте график функции f 1 (x ) при a = 1.
б) При каком значении a графики функций f 1 (x ) и f 2 (x ) имеют единственную общую точку?

3. Решение.
3.а. Преобразуем f 1 (x ) следующим образом
График этой функции при a = 1 изображен на рисунке справа.
3.б. Сразу отметим, что графики функций y = kx +b и y = ax 2 +bx +c (a № 0) пересекаются в единственной точке тогда и только тогда, когда квадратное уравнение kx +b = ax 2 +bx +c имеет единственный корень. Используя представление f 1 из 3.а , приравняем дискриминант уравнения a = 6x —x 2 -6 к нулю. Из уравнения 36-24-4a = 0 получаем a = 3. Проделав то же самое с уравнением 2x —a = 6x —x 2 -6 найдем a = 2. Нетрудно убедиться, что эти значения параметра удовлетворяют условиям задачи. Ответ: a = 2 или a = 3.

4. Задача.
Найти все значения a , при которых множество решений неравенства x 2 -2ax -3a і 0 содержит отрезок .

4. Решение.
Первая координата вершины параболы f (x ) = x 2 -2ax -3a равна x 0 = a . Из свойств квадратичной функции условие f (x ) і 0 на отрезке равносильно совокупности трех систем
имеет ровно два решения?

5. Решение.
Перепишем это уравнение в виде x 2 + (2a -2)x — 3a +7 = 0. Это квадратное уравнение, оно имеет ровно два решения, если его дискриминант строго больше нуля. Вычисляя дискриминант, получаем, что условием наличия ровно двух корней является выполнение неравенства a 2 +a -6 > 0. Решая неравенство, находим a 2. Первое из неравенств, очевидно, решений в натуральных числах не имеет, а наименьшим натуральным решением второго является число 3.

6. Задача (10 кл.)
Найти все значения a , при которых график функции или, после очевидных преобразований, a -2 = | 2-a | . Последнее уравнение равносильно неравенству a і 2.

Источник

Adblock
detector

Источник

На этой странице вы узнаете

Что такое параметр

Линейные уравнения с параметром

Квадратные уравнения с параметром

Теорема Виета

Условия на корни квадратного трехчлена

Фактчек

Проверь себя

Линейная функция.

Уравнения с параметром

Справочный материал

Дидактический материал

Показательные уравнения с параметром

Дидактический материал

Логарифмические уравнения с параметром

Что такое уравнение с параметром?

Графические способы решения уравнений

Решение уравнений с параметрами с помощью графиков.

Задача для самостоятельного решения

Решение

Решение

Решение

Решение

Не пропустите также: