Как найти ядро матрицы онлайн

Решение.

Множество  всех векторов  называется образом оператора A.

То есть  в том и только том случае, когда найдется вектор  $xin R^3$ такой, что $y=Ax$ или, в координатной записи,

Найдем ядро оператора.

Определение. Ядром (или нуль-пространством) линейного оператора  называется множество всех элементов из V , которые отображаются линейным оператором A в нулевой вектор. Ядро оператора A обозначается ker A. 

 В соответствии с определением ядра

Итак, ядром оператора A является точка  

Найдем собственные вектора заданного линейного оператора.

Число  есть собственное число оператора  в том и только том случае, когда . Запишем характеристическое уравнение:

Решая его, имеем 

 Таким образом, получаем собственные числа оператора:

Для каждого из полученных собственных значений найдем собственные векторы.

Их можно найти их системы .

А) 

Решим однородную систему уравнений.

Матрица коэффициентов  имеет ранг 1. Выберем в качестве базисного минора  Тогда, полагая , имеем

Таким образом, общее решение системы

.

Из общего решения находим фундаментальную систему решений:

.

С использованием фундаментальной системы решений, общее решение может быть записано в виде .

Б) 

Решим однородную систему уравнений.

Матрица коэффициентов   имеет ранг 1. Выберем в качестве базисного минора  Тогда, полагая  имеем 

Таким образом, общее решение системы .

Из общего решения находим фундаментальную систему решений: .

С использованием фундаментальной системы решений, общее решение может быть записано в виде .

Ответ:

Собственные числа оператора:  

Собственные векторы: ;  .