Основания правильной усеченной пирамиды представляют собой правильные многоугольники, зная стороны которых можно найти все остальные параметры, такие как внутренний угол, периметр, площадь, радиусы вписанной и описанной окружностей.
γ=180°(n-2)/n
P=n(a+b+d)
S_a=(na^2)/(4 tan〖(180°)/n〗 )
S_b=(nb^2)/(4 tan〖(180°)/n〗 )
r_a=a/(2 tan〖(180°)/n〗 )
r_b=b/(2 tan〖(180°)/n〗 )
R_a=a/(2 sin〖(180°)/n〗 )
R_b=a/(2 sin〖(180°)/n〗 )
Зная высоту усеченной пирамиды, можно найти ее боковое ребро и апофему, рассмотрев прямоугольные трапеции, соединяющие их через радиусы вписанной и описанной окружностей в основаниях. Из прямоугольных трапеций построив дополнительный прямоугольный треугольник, легко вычислить боковое ребро или апофему как гипотенузу, а также найти углы при основаниях. (рис. 50.3, 50.4)
f=√(h^2+(b/2-a/2)^2 )=√(h^2+(b-a)^2/4)
cosβ=(r_b-r_a)/f
α=180°-β
d=√(h^2+(R_b-R_a )^2 )
cosδ=(R_b-R_a)/d
ε=180°-δ
Чтобы найти площадь боковой поверхности, нужно вычислить площадь каждой грани усеченной пирамиды, а затем умножить полученное значение на количество сторон в основаниях. Вычислить площадь полной поверхности усеченной пирамиды, зная стороны и высоту, нужно, преобразовав высоту в апофему по приведенным выше формулам, и сложив площадь боковой поверхности с площадями оснований.
S_(б.п.)=nf (a+b)/2
S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_(осн.1,2)=n(f (a+b)/2+a^2/(4 tan〖(180°)/n〗 )+b^2/(4 tan〖(180°)/n〗 ))
Объем усеченной пирамиды, зная стороны и высоту, равен одной трети высоты умноженной на сумму площадей оснований с радикалом из их произведения.
V=1/3 h(S_осн1+S_осн2+√(S_осн1 S_осн2 ))
Данный сайт находится в режиме тестирования, обо всех выявленных проблемах Вы можете сообщить на почту
Формулы усеченной пирамиды
Для расчёта всех основных параметров усеченной пирамиды воспользуйтесь калькулятором.
Площадь верхнего основания правильной усеченной пирамиды
$$
S_{верх.основ} = {N * CD^2 over 4 * tan(180/N)}
$$
Площадь нижнего основания правильной усеченной пирамиды
$$
S_{нижн.основ} = {N * AB^2 over 4 * tan(180/N)}
$$
Объём усеченной пирамиды
$$
V = {1 over 3} * OE * (S_{верх.основ} + sqrt{S_{верх.основ} * S_{нижн.основ}} + S_{нижн.основ})
$$
Апофема усеченной пирамиды
Так как боковая сторона усеченной пирамиды – это трапеция, то высота этой трапеции и будет апофемой усеченной пирамиды
$$
SK = sqrt{AC^2 — ({(AB — CD)^2 + AC^2 — BD^2 over 2 * (AB — CD)})^2}
$$
Площадь боковой поверхности
Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды является сумма всех боковых сторон, каждая боковая сторона является трапецией
$$
S_{Бок.стороны} = {1 over 2} * SK * (CD + AB)
$$
ВИДЕОУРОК
Усечённой пирамидой ABCDA1B1C1D1 называется часть пирамиды SABCD, заключённая между её основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.
Основаниями усечённой пирамиды называются параллельные грани ABCD и A1B1C1D1 (ABCD – нижнее основание, A1B1C1D1 – верхнее основание).
Высотой усечённой пирамиды называется отрезок прямой, перпендикулярный её основаниям и заключённый между их плоскостями.
Усечённая пирамида называется правильной, если её основания – правильные многоугольники и прямая, соединяющая центры оснований, перпендикулярна плоскости оснований.
Апофемою правильной усечённой пирамиды называют высоту её боковой грани.
Свойства усечённой пирамиды.
Основания – подобные многоугольники.
Боковые грани – трапеции.
Отношение высоты к высоте пирамиды, из которой она получена, равно отношению разности сторон одной грани к длине нижнего основания этой самой грани.
Поверхность усечённой пирамиды.
Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды равна сумме площадей её боковых граней.
Полная поверхность усечённой пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площадей оснований.
Боковая поверхность правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.
где Р и Р1 – периметры оснований, m – апофема усечённой пирамиды.
Правильная четырёхугольная усечённая пирамида.
Правильная треугольная усечённая пирамида.
Правильная шестиугольная усечённая пирамида.
ЗАДАЧА:
В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде стороны оснований равны 5 и 11 дм, а диагональ пирамиды – 12 дм. Определите боковую поверхность пирамиды.
РЕШЕНИЕ:
В усечённой пирамиде АС1 имеем
А1В1 = В1С1 = С1D1 = D1А1 = 5 дм,
АВ = ВС = СD = DА = 11 дм и
А1С = 12 дм.
Найти боковую поверхность.
Из вершины А1 проведём А1N ⊥ AB и А1M ⊥ AC, тогда А1N – апофема пирамиды.
Боковая поверхность
Sбок = 1/2 (P + P1) × A1N.
где P = 4AB = 44
дм, а
P1 = 4A1B1 = 20
дм.
В квадратах АВСD и А1В1С1D1 по иіх сторонам определяем диагонали
АС = 11√͞͞͞͞͞2 (дм),
A1С1 = 5√͞͞͞͞͞5 (дм).
Рассмотрев равнобедренную трапецию АА1С1С, находим
и соответственно
Тогда из прямоугольного ∆ А1MC находим высоту пирамиды
Из равнобедренного прямоугольного ∆ AMN (∠ ANM = 90°), гипотенуза которого AM = 3√͞͞͞͞͞2 (дм), находим сторону
Апофему данной пирамиды найдём из прямоугольного
Подставляя найденные значения P, P1 и A1N в формулу боковой поверхности пирамиды, получим:
Sбок = 1/2 (44 + 20)×5 = 160 (дм2).
ОТВЕТ:
S = 160 дм2 = 1,6 м2.
ЗАДАЧА:
Высота правильной четырёхугольной усечённой пирамиды
равна 4
см. Стороны оснований равны 2
см и
8 см. Найдите площадь диагональных сечений.
РЕШЕНИЕ:
Начертим чертёж.
Диагональные сечения
AA1C1D и BB1D1D– равные равнобедренные трапеции с высотой ОО1 = h = 4 см и с основаниями
– диагоналями оснований АС и А1С1 та ВD и В1D1 соответственно. ABCD – квадрат, а поэтому
AC2 = AD2 + CD2 =
= 82 + 82 = 128,
AC = √͞͞͞͞͞128 = 8√͞͞͞͞͞2 (cм).
A1B1C1D1 – квадрат, а поэтому
A1C12 = A1D12 + C1D12 = 22 + 22 = 8,
A1C1 = √͞͞͞͞͞8 = 2√͞͞͞͞͞2 (cм).
ОТВЕТ: 20√͞͞͞͞͞2 (cм2)
ЗАДАЧА:
В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде высота
равна 2
см, а стороны оснований – 3 см и 5
см. Найдите диагональ этой пирамиды.
РЕШЕНИЕ:
Начертим чертёж.
Диагональным сечением данной пирамиды
является равнобедренная трапеция АА1С1С.
Так как
А1С1 и АС –
диагонали квадратов, А1В1С1D1 и ABCD, то
А1С1 = А1В1 ∙ √͞͞͞͞͞2 = 3√͞͞͞͞͞2 (см) и
АС = АВ ∙ √͞͞͞͞͞2 = 5√͞͞͞͞͞2 (см).
Проведём
А1К ⊥
АС
и С1Н ⊥ АС. Тогда А1С1НК – прямоугольник
и А1С1 =
КН. Так что, прямоугольные треугольники АА1К и СС1Н равны по гипотенузе и катету.
Тогда,
АК = СН = 1/2 (АС – А1С1) =
= 1/2 (5√͞͞͞͞͞2 – 3√͞͞͞͞͞2) = √͞͞͞͞͞2 (см).
Тогда,
СК = АС – АК = 5√͞͞͞͞͞2 – √͞͞͞͞͞2 =
4√͞͞͞͞͞2 (см),
и по
теореме Пифагора в ∆ А1СК:
ОТВЕТ: 6 см
ЗАДАЧА:
В правильной четырёхугольной пирамиде плоскость, проведённая
параллельно основанию, делит высоту пирамиды пополам. Найдите сторону основания,
если площадь сечения равна 36 см2.
РЕШЕНИЕ:
Пусть SABCD – данная правильная пирамида,
основание – квадрат
ABCD, SO – высота, O –
точка пресечения диагоналей квадрата, φ – плоскость сечения, О1 –
точка пересечения φ и SO, φ ∥ (ABC), S = 36 cм2.
Поскольку φ ∥ (ABC),
то прямые пересечения 𝜑 и боковых граней параллельны соответственно рёбрам
основания:
A1B1 ∥ AB, B1C1 ∥ BC, C1D1 ∥ CD,
A1D1 ∥ AD, 𝜑 ⊥ SO,
можно рассмотреть гомотетию с центром S и коэффициентом
которая преобразует квадрат ABCD в квадрат
А1В1С1D1, стороны которого в два раза меньше, а
SABCD = 4SА1В1С1D1 = 4 ∙ 36 (см2).
SABCD = a2 = 4 ∙
36,
a = 2 ∙ 6
= 12 (см).
ОТВЕТ: 12 см
Задания к уроку 10
- Задание 1
- Задание 2
- Задание 3
Другие уроки:
- Урок 1. Прямые и плоскости в пространстве
- Урок 2. Прямая призма
- Урок 3. Наклонная призма
- Урок 4. Правильная призма
- Урок 5. Параллелепипед
- Урок 6. Прямругольный параллелепипед
- Урок 7. Куб
- Урок 8. Пирамида
- Урок 9. Правильная пирамида
- Урок 11. Цилиндр
- Урок 12. Вписанная и описанная призмы
- Урок 13. Конус
- Урок 14. Усечённый конус
- Урок 15. Вписанная и описанная пирамиды
- Урок 16. Сфера и шар
- Урок 17. Комбинация тел
Объем усеченной пирамиды
Рассчитайте объем усеченной пирамиды в зависимости от ее высоты и площадей оснований.
Площадь основания 1
см2
Площадь основания 2
см2
Высота
см
Размерность
Раcсчитать
Оглавление:
- 📝 Как это работает?
- 🤔 Частые вопросы и ответы
- 📋 Похожие материалы
- 📢 Поделиться и комментировать
🧮 Что такое калькулятор объема усеченной пирамиды?
Калькулятор объема усеченной пирамиды — это инструмент для расчета объема геометрического тела, которое представляет собой усеченную пирамиду.
Усеченная пирамида — это геометрическое тело, которое состоит из двух параллельных и равных многоугольников, называемых основаниями, и боковой поверхности, состоящей из параллельных трапеций. Объем усеченной пирамиды можно вычислить, зная ее высоту и площади оснований.
Калькулятор объема усеченной пирамиды предоставляет пользователю возможность ввести размеры оснований и высоту усеченной пирамиды, после чего вычисляет ее объем.
Как рассчитывается объем усеченной пирамиды?
Объем усеченной пирамиды можно рассчитать с помощью следующей формулы:
V = (1/3) * h * (A + sqrt(A*B) + B)
где V — объем усеченной пирамиды, h — высота усеченной пирамиды, sqrt — означает квадратный корень, A и B — площади большего и меньшего оснований соответственно.
Для расчета объема усеченной пирамиды необходимо знать высоту и площади ее оснований. Первым шагом необходимо определить площади большего и меньшего оснований. Для этого необходимо найти площадь каждого основания (например, площадь треугольника или многоугольника) и обозначить их A и B соответственно.
Затем необходимо найти высоту усеченной пирамиды, которая является расстоянием между плоскостями оснований. Высоту можно измерить прямым измерением или вычислить, зная расстояние между плоскостями оснований и угол между этим расстоянием и боковой гранью.
После этого можно использовать формулу для расчета объема усеченной пирамиды, подставив известные значения площадей оснований и высоты в формулу.
Для чего можно использовать калькулятор объема усеченной пирамиды?
Калькулятор объема усеченной пирамиды можно использовать для расчета объема данной геометрической фигуры, когда известны ее размеры. Это может быть полезно в различных областях, включая:
- Архитектуру и строительство: расчет объема усеченной пирамиды может быть полезен для расчета объема строительных материалов, таких как бетон или кирпич, необходимых для создания определенных форм.
- Производство: объем усеченной пирамиды может использоваться для расчета объема материала, необходимого для производства определенного изделия.
- Образование: расчет объема усеченной пирамиды может быть использован в качестве учебного материала в школах и университетах для изучения геометрии и математики.
- Хобби и ремесло: расчет объема усеченной пирамиды может быть полезен в различных хобби и ремеслах, таких как создание моделей или изготовление ювелирных изделий.
Усеченная пирамида как фигура
Усеченная пирамида является интересной геометрической фигурой, которая обладает несколькими уникальными свойствами:
- Усеченная пирамида имеет два плоских многоугольных основания, которые могут быть различной формы, но параллельны друг другу.
- В отличие от обычной пирамиды, усеченная пирамида может иметь наклонные боковые ребра, которые делают ее форму более сложной и необычной.
- Усеченная пирамида может использоваться в качестве модели для создания архитектурных конструкций, таких как купола, шатры, крыши зданий и т.д.
- Усеченные пирамиды используются в различных областях науки и техники, включая архитектуру, физику, инженерию, компьютерную графику и многие другие.
- Усеченная пирамида может быть использована как основа для создания различных предметов декора и искусства, таких как светильники, вазы, канделябры и т.д.
- Усеченная пирамида может быть использована для создания различных игрушек и головоломок, что делает ее интересной не только для учебных, но и для развлекательных целей.
❓Вопросы и ответы
Вот некоторые часто задаваемые вопросы и ответы, связанные с калькулятором объема усеченной пирамиды:
Что такое усеченная пирамида?
Усеченная пирамида — это геометрическая фигура, которая имеет два параллельных многоугольных основания и наклонные боковые грани.
Как рассчитать объем усеченной пирамиды?
Объем усеченной пирамиды можно вычислить с помощью специальной формулы: V = (1/3) * h * (S1 + S2 + sqrt(S1 * S2)), где h — высота усеченной пирамиды, S1 и S2 — площади оснований, sqrt — квадратный корень.
Как использовать калькулятор объема усеченной пирамиды?
Введите значения высоты усеченной пирамиды, площадей ее оснований и нажмите кнопку «Вычислить». Калькулятор автоматически рассчитает объем усеченной пирамиды для вас.
Какие единицы измерения используются при вычислении объема усеченной пирамиды?
Объем усеченной пирамиды может быть выражен в кубических единицах измерения, таких как кубические метры, кубические сантиметры, кубические дюймы и т.д.
Для чего можно использовать калькулятор объема усеченной пирамиды?
Калькулятор объема усеченной пирамиды может быть полезен в образовательных целях, а также для проектирования и расчета объема различных конструкций и изделий.
Похожие калькуляторы
Возможно вам пригодятся ещё несколько калькуляторов по данной теме:
- Калькулятор площади шара (сферы). Рассчитайте онлайн площадь поверхности шарообразного объекта (сферы).
- Площадь правильного шестиугольника: калькулятор. Рассчитайте площадь правильного (равностороннего) шестиугольника с помощью онлайн-калькулятора.
- Калькулятор числа «e». Посмотрите онлайн нужное число знаков после запятой в числе «e» (Эйлера или Непера).
- Площадь поверхности куба: калькулятор. Рассчитайте онлайн площадь поверхности куба по длине ребер, диагонали куба или диагоналям его сторон.
- Калькулятор масштабов. Переведите онлайн именованный масштаб на чертеже в реальный и наоборот.
- Калькулятор числа Пи. Узнайте, чему равно число Пи с точностью до нужного количества знаков после запятой.
- Калькулятор объема параллелепипеда. Рассчитайте онлайн объем любого параллелепипеда по длинам его ребер и не только.
- Калькулятор объема куба. Рассчитайте онлайн объем любого кубического предмета по длине стороны или диагоналям.
- Калькулятор объема бака. Посчитайте объем цилиндрического, прямоугольного или автомобильного бака по габаритам (по расходу и пройденному расстоянию).
- Калькулятор объема помещения. Посчитайте объем комнаты или любого помещения в кв.метра или литрах.
Если понравилось, поделитесь калькулятором в своих социальных сетях: вам нетрудно, а проекту полезно для продвижения. Спасибо!
Есть что добавить?
Напишите своё мнение, комментарий или предложение.
Показать комментарии
Этот онлайн-калькулятор поможет узнать не только площадь усеченной пирамиды, но и 18 дополнительных значений. Для этого должны быть известны всего 4 значения, такие как: длины сторон верхнего и нижнего основания, общее количество граней, а также один показатель на выбор из следующих: длина ребра, высота, апофема или площадь боковой поверхности усеченной пирамиды. Введя все необходимые значения и нажав на кнопку расчета, можно будет узнать объем усеченной пирамиды, площадь, высоту, угол сторон основания, длину всех ребер и другие величины. Благодаря развернутым формулам в ответах разобраться в расчетах по величинам фигуры не составит труда.
Введите данные:
Сторона верхнего основания (a) *
Сторона нижнего основания (b) *
Количество граней усеченной пирамиды (n) *
Значение ключевого показателя *
Округление:
* — обязательно заполнить