Содержание:
- Критические точки и экстремумы функции
- Теорема Ферма (Необходимое условие существовании экстремумов)
- Достаточное условие существования экстремума
- Задача пример №117
- Задача пример №118
- Задача пример №119
- Задача пример №120
- Задача пример №121
Критические точки и экстремумы функции
В некоторых точках из области определения производная функции может быть равна нулю или вообще может не существовать. Такие точки из области определения называются критическими точками функции. Покажем критические точки на графике заданной функции.
1. Для значений 
равных 
угловой коэффициент касательной к графику равен 0. Т.e. 
. Эти точки являются критическими точками функции.
2. В точках 
функция не имеет производной. Эти тоже критические точки функции.
3. Для рассматриваемой нами функции критические точки 
делят ее область определения на чередующиеся интервалы возрастания и убывания. Точки 
— критические точки, которые не изменяют возрастание и убывание (или наоборот).
По графику видно, что в точках внутреннего экстремума 
производная функции равна нулю, а в точке 
производная не существует. Точки, в которых производная функции равна нулю, также называются стационарными точками.
Теорема Ферма (Необходимое условие существовании экстремумов)
Во внутренних точках экстремума производная либо равна нулю, либо не существует.
Примечание. Точка, в которой производная равна нулю, может и не быть точкой экстремума. Например, в точке 
производная функции 
равна нулю, но эта точка не является ни точкой максимума, ни точкой минимума.
На отрезке непрерывности функция может иметь несколько критических точек, точек максимума и минимума. Существование экстремума в точке зависит от значения функции в данной точке и в точках, близких к данной, т.е. имеет смысл локального (местного) значения. Поэтому иногда используют термин локальный максимум и локальный минимум.
Достаточное условие существования экстремума
Пусть функция 
непрерывна на промежутке 
и 
. Если 
является критической точкой, в окрестности которой функция дифференцируема, то, если в этой окрестности:
1 ) 
слева от точки положительна, а справа — отрицательна, то точка является точкой максимума.
2) слева от отрицательна, а справа — положительна, то точка является точкой минимума
3) с каждой стороны от точки имеет одинаковые знаки, то точка не является точкой экстремума.
Чтобы найти наибольшее (абсолютный максимум) или наименьшее (абсолютный минимум) значение функции, имеющей конечное число критических точек на отрезке, надо найти значение функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее.
Соответствующие наибольшее и наименьшее значения функции 
на отрезке 
записываются как 
и 
.
Ниже представлены примеры определения максимума и минимума в соответствии со знаком производной первого порядка.
Задача пример №117
Для функции 
определите максимумы и минимумы и схематично изобразите график.
Решение:
Для решения задания сначала надо найти критические точки. Для данной функции этими точками являются точки (стационарные), в которых производная равна нулю.
1. Производная функции: 
2. Критические точки функции: 
3. Точки 
и 
разбивают область определения функции на три промежутка.
Проверим знак 
на интервалах, выбрав пробные точки:
для интервала 
для интервала 
для интервала 
Интервал 
Пробные точки 
Знак 
Возрастание и убывание 
При 
имеем 
. (-1;3) — максимум
При 
имеем 
(1;-1) — минимум
4. Используя полученные для функции 
данные и найдя координаты нескольких дополнительных точек, построим график функции.
Задача пример №118
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции 
на отрезке [-1;2].
Решение:
Сначала найдем критические точки. Так как 
, то критические точки можно найти из уравнения 
. Критическая точка 
не принадлежит данному отрезку [-1; 2], и поэтому мы ее не рассматриваем. Вычислим значение заданной функции в точке 
и на концах отрезка.
Из этих значений наименьшее — 4, наибольшее 12. Таким образом: 
Задача пример №119
Найдите экстремумы функции 
.
Решение:
1. Производная функции: 
2. Критические точки: 
, 
3. Интервалы, на которые критические точки делят область определения функции: 
Проверим знак 
на интервалах, выбрав пробные точки.
Для промежутка 
возьмем 
Для промежутка (0; 1,5) возьмем 
Для промежутка 
возьмем 
Интервал 
Пробные точки 
Знак 
Возрастание-убывание 
Используя полученную для функции 
информацию и найдя значение функции еще в нескольких точках, можно построить график функции. При этом следует учитывать, что в точках с абсциссами 
и 
касательная к графику горизонтальна. Построение графика можно проверить при помощи графкалькулятора.
• Функция 
на промежутке 
возрастает.
• Точка 
критическая точка функции , но не является экстремумом.
• Функция на промежутке [0; 1,5] возрастает.
• Функция на промежутке 
убывает.
• 
Задача пример №120
Найдите экстремумы функции 
Решение:
1. Производная 
2. Критические точки: для этого надо решить уравнение 
или найти точки, в которых производная не существует. В точке 
функция не имеет конечной производной. Однако точка 
принадлежит области определения. Значит, точка 
является критической точкой функции.
3. Промежутки, на которые критическая точка делит область определения функции: 
и 
Определим знак 
, выбрав пробные точки для каждого промежутка:
Для 
возьмем 
Для 
возьмем 
Интервал 
Пробные точки 
Знак 
Возрастание-убывание 
• Функция на промежутке 
убывает.
• Функция на промежутке 
возрастает.
• 
Задача пример №121
По графику функции производной схематично изобразите график самой функции.
Решение:
Производная в точке равна нулю, а при 
отрицательна, значит, на интервале 
функция убывающая. При 
производная положительна, а это говорит о том, что функция на промежутке 
возрастает. Точкой перехода от возрастания к убыванию функции является точка 
. Соответствующий график представлен на рисунке.
Эта лекция взята из раздела решения задач по математике, там вы найдёте другие лекци по всем темам математики:
Другие темы которые вам помогут понять математику:
|
|
|
|
Лекции:
- Экстремумы функции двух переменных. Производная по направлению
- Доказательство неравенств
- Системы уравнений
- Максимальные и минимальные значения функции
- Действия с корнями
- Отрицательное биномиальное распределение
- Длина дуги кривой
- Вычислить несобственный интеграл
- Градиент функции: пример решения
- Интеграл натурального логарифма
Критические точки – это точки в которых производная функции равна нулю или не существует. Если производная равна 0 то функция в этой точке принимает локальный минимум или максимум. На графике в таких точках функция имеет горизонтальную асимптоту, то есть касательная параллельна оси Ох.
Такие точки называют стационарными. Если видите на графике непрерывной функции «горб» или «яму» помните, что максимум или минимум достигается в критической точке. Рассмотрим для примера следующее задание.
Пример 1. Найти критические точки функции y=2x^3-3x^2+5 .
Решение. Алгоритм нахождения критических точек следующий:
Итак функция имеет две критические точки.
Далее, если нужно провести исследование функции то определяем знак производной слева и справа от критической точки. Если производная при переходе через критическую точку меняет знак с «-» на «+», то функция принимает локальный минимум. Если с «+» на «-» должны локальный максимум.
Второй тип критических точек это нули знаменателя дробных и иррациональных функций
Функции с логарифмами и тригонометрические, которые не определены в этих точках
Третий тип критических точек имеют кусочно-непрерывные функции и модули.
Например любая модуль-функция имеет минимум или максимум в точке излома.
Например модуль y = | x -5 | в точке x = 5 имеет минимум (критическую точку).
Производная в ней не существует, а справа и слева принимает значение 1 и -1 соответственно.
Попробуйте определить критические точки функций
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
Если в ответе у Вы получите значение
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1.
то Вы уже знаете как найти критические точки и сможете справиться с простой контрольной или тестами.
Исследовать функцию — это значит установить её свойства: указать её область определения и область значений; промежутки возрастания и убывания; промежутки, на которых функция приобретает положительные значения, на которых — отрицательные; выяснить, не является ли данная функция чётной или нечётной и т. д.
Содержание:
Что такое исследование функции
Одна из важных задач исследования функции — определение промежутков её возрастания и убывания. Как отмечалось, в тех точках, в которых функция возрастает, её производная (угловой коэффициент касательной) положительная, а в точках убывания функции её производная отрицательная {рис. 70).
Правильными будут следующие утверждения.
- Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка положительная, то функция на этом промежутке возрастает.
- Если производная в каждой точке промежутка отрицательная, то функция на этом промежутке убывает.
- Если производная в каждой точке промежутка тождественно равна нулю, то на этом промежутке функция постоянная.
Строгое доказательство этого утверждения достаточно громоздкое, поэтому мы его не приводим. Заметим только, что в нём выражается достаточный признак возрастания или убывания функции, но не необходимый. Поэтому функция может возрастать и на промежутке, в некоторых точках которого она не имеет производной. Например, функция 
Из сказанного следует, что два соседних промежутка, на одном из которых функция возрастает, а на другом — убывает, могут разделяться только такой точкой, в которой производная функции равна нулю или не существует.
Внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна нулю или не существует, называют критическими точками функции.
Следовательно, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции 
нужно решить неравенства 
или найти все критические точки функции,разбить ими область определения функции на промежутки, а потом исследовать, на каких из них функция возрастает, а на каких — убывает.
Пример:
Найдите промежутки возрастания и убывания функции 
Решение:
Уравнение 
имеет корни 
Это — критические точки. Область определения данной функции — множество 
— они разбивают на три промежутка: 
(рис. 72). Производная функции на этих промежутках имеет соответственно такие знаки: 
Следовательно, данная функция на промежутках 
возрастает, а на 
убывает.
Замечание: Если функция непрерывна в каком-нибудь конце промежутка возрастания или убывания, то эту точку можно присоединить к рассматриваемому промежутку. Поскольку функция 
в точках 0 и 2 непрерывна, то можно утверждать, что она возрастает на промежутках 
на 
— убывает.
Пример:
Найдите промежутки убывания функции 
Решение:
Критические точки: 
Они всю область определения функции разбивают на интервалы: 
(рис. 73). Производная 
на этих промежутках имеет соответственно такие знаки: 
Следовательно, функция убывает на промежутках 
Поскольку в точках 
данная функция непрерывна, то ответ можно записать и так: 
Пример:
Найдите критические точки функции 
Решение:
Найдем произвольную функции: 
Найдём точки, в которых производная равна нулю или не существует: 
— не существует, если знаменатель равен нулю, отсюда 
и 
Точка 
не входит в область определения функции. Следовательно, функция имеет две критические точки: 
Ответ. 0 и 4.
Пример:
Докажите, что функция 
возрастает на 
Решение:
При любом значении 
выражение 
имеет положительное значение. Следовательно, данная функция возрастает на всей области определения, т.е. на множестве 
Пример:
Установите, на каком промежутке функция 
возрастает, а на каком убывает.
Решение:
Способ 1. 
Найдём производную функции:
Найдём критические точки функции:
Эта точка разбивает область определения функции на два промежутка (рис. 74). Определим знак производной на каждом из них.
Следовательно, функция 
возрастает на промежутке 
а убывает на 
Способ 2. Решим неравенство 
и 
Ответ. Возрастает, если 
убывает если 
Применение второй производной к исследованию функций и построению их графиков
При помощи первой производной можно исследовать функцию на монотонность и экстремумы и схематично построить график. Оказывается, что поведение некоторых функций не всегда можно охарактеризовать, используя первую производную. Более детальное исследование проводится при помощи второй производной. Вспомним, что такое вторая производная.
Пусть функция 
является дифференцируемой, 
её производная 
— функция, которая также дифференцируема. Тогда можно найти производную 
Это производная второго порядка, или вторая производная функции 
Например, найти производную 2-го порядка функции 
означает найти производную этой функции 
и полученную функцию продифференцировать: 
Кривая 
называется выпуклой на интервале 
если все её точки, кроме точки касания, лежат ниже произвольной её касательной на этом интервале (на рис. 86 — 1).
Кривая 
называется вогнутой на интервале 
если все её точки, кроме точки касания, лежат выше произвольной её касательной на этом интервале (на рис. 86 — 2).
Точкой перегиба называется такая точка кривой, которая отделяет её выпуклую часть от вогнутой.
Интервалы выпуклости и вогнутости находят при помощи такой теоремы.
Теорема. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции 
отрицательна 
на интервале 
то кривая 
выпуклая на данном интервале; если вторая производная функции 
положительная 
то кривая вогнутая на 
Из теоремы следует, что точками перегиба кривой 
могут быть только точки, в которых вторая производная 
равна нулю или не существует. Такие точки называют критическими точками второго рода.
Установим до статочное условие существования точки перегиба.
Теорема. Пусть 
— критическая точка второго рода функции 
Если при переходе через точку 
производная 
меняет знак, то точка 
является точкой перегиба кривой 
Для нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба графика функции целесообразно пользоваться следующей схемой:
- найти область определения функции;
- найти критические точки второго рода;
- определить знак второй производной на образованных интервалах. Если
то кривая выпуклая; если — кривая вогнутая; - если производная меняет знак при переходе через точку то точка является точкой перегиба кривой
то кривая выпуклая; если 
— кривая вогнутая;
меняет знак при переходе через точку 
то точка 
является точкой перегиба кривой 
Пример №1
Найдите интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба кривой 
Решение:
1) Область определения функции: 
2) Найдём вторую производную: 
Критические точки второго рода: 
Других критических точек нет.
3) Разбиваем область определения на интервалы 
и определяем знак второй производной на каждом из них.
Если 
поэтому кривая вогнутая.
Если 
поэтому кривая выпуклая.
Если 
— кривая вогнутая.
Следовательно, точки 
— точки перегиба кривой. Рассмотрим ещё один компонент в исследовании функций, благодаря которому упрощается построение некоторых графиков. Это асимптоты. В предыдущих параграфах рассматривались горизонтальные и вертикальные асимптоты. Повторим, расширим и обобщим это понятие. Асимптоты бывают вертикальные, наклонные и горизонтальные (рис. 87).
Напомним, что прямая 
будет вертикальной асимптотой кривой 
если при 
(справа или слева) значение функции 
стремится к бесконечности, т.е. выполняется одно из условий: 
Уравнение наклонной асимптоты: 
Если записанные пределы существуют, то существует наклонная асимптота; если хотя бы один из них не существует или равен 
то кривая наклонной асимптоты не имеет.
Если 
поэтому 
— уравнение горизонтальной асимптоты.
Замечание: Рассмотренные пределы могут быть односторонними, а под символом 
следует понимать и 
При этом указанные пределы могут быть разными при 
Пример №2
Найдите асимптоты кривых:
Решение:
а) 
Найдём вертикальные асимптоты. Поскольку функция не определена в точках 
и 
то прямые 
— вертикальные асимптоты.
Найдём наклонную асимптоту: 
Кривая имеет горизонтальную асимптоту, её уравнение: 
Следовательно, заданная кривая имеет три асимптоты: 
Найдем вертикальные асимптоты.
Поскольку функция не определена в точках 
и 
то прямые 
— вергикальные асимптоты.
Для наклонной асимптоты 
Значит прямая 
— наклонная асимптота. Горизонтальной асимптоты нет.
Итак, асимптоты кривой: 
Будем искать наклонные асимптоты:
Следовательно, 
— наклонная асимптота, если 
2) если 
(проверьте самостоятельно), отсюда 
— наклонная асимптота, если 
Следовательно, заданная кривая имеет две асимптоты: 
Определение точек перегиба, интервалов выпуклости и асимптот существенно помогает в построении графиков различных функций.
Нахождение промежутков возрастания и убывания функции
Интервалы возрастания и убывания функции
возрастающая функция
Если для любых 
и 
из некоторого промежутка области определения при 
выполняется условие 
то на этом промежутке функция возрастающая.
убывающая
Если для любых 
и 
из некоторого промежутка области определения при 
выполняется условие 
на этом промежутке функция убывающая.
Связь промежутков возрастания и убывания функции с угловым коэффициентом секущей можно выразить следующим образом.
Если на заданном промежутке угловой коэффициент любой секущей положителен, то на этом промежутке функция 
возрастает.
Если на заданном промежутке угловой коэффициент любой секущей отрицателен, то на этом промежутке функция 
убывает.
Промежутки возрастания и убывания функции
Пусть на определенном промежутке производная функции 
положительна, т. е. 
Так как 
то угловой коэффициент касательной будет положительным. А это значит, что касательная с положительным направлением оси абсцисс образует острый угол и на заданном промежутке график «поднимается «, т. е. функция возрастает. Если 
тогда касательная с положительным направлением оси абсцисс образует тупой угол, график «спускается», т. е. функция убывает.
Теорема. Если функция 
дифференцируема в каждой точке заданного промежутка, то:
Примечание: если функция 
непрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку.
По графику функции 
исследуйте промежутки возрастания и убывания функции.
На интервалах 
и 
угловой коэффициент касательной положительный, поэтому на каждом из промежутков 
и 
функция 
возрастает.
На интервале 
угловой коэффициент касательной отрицателен, поэтому на промежутке 
функция 
убывает.
Пример №3
При помощи производной определите промежутки возрастания и убывания функции 
Решение: 1. Алгебраический метод.
Найдем производную функции
Функция 
на промежутке удовлетворяющем неравенству 
т. е. 
возрастает.
Для решения неравенства сначала надо решить соответствующее уравнение
Значит, при 
и 
Точки 
разбивают область определения функции на три интервала: 
и 
В каждом из интервалов выберем контрольную точку для проверки и установим знак производной.
Из таблицы и непрерывности функции 
видно, что данная функция возрастает на промежутках 
и 
и убывает на промежутке 
Из графика так же видно, что задания решение верно.
2. Промежутки возрастания и убывания функции можно определить но графику производной. На рисунке изображен график производной
График производной 
при 
и 
расположен выше оси 
значит, 
При 
график производной расположен ниже оси 
значит 
Так как функция 
в точках 
и 
непрерывна, то на промежутках 
и 
она возрастает, а на промежутке 
убывает.
Пример №4
Изобразите схематично график непрерывной функции согласно еле дующим условиям:
a) при 
при 
b) при 
или 
при 
Решение:
а) при 
знак производной положительный: 
значит,
функция возрастает. При 
знак производной отрицательный: 
значит, функция убывает, при 
значение функции равно 5.
b) При 
и 
знак производной положительный: 
значит, функция возрастает. При 
знак производной отрицательный: 
значит, функция убывает, при 
значение функции равно 0.
Критические точки и экстремумы функции
В некоторых точках из области определения производная функции может быть равна нулю или вообще может не существовать. Такие точки из области определения называются критическими точками функции. Покажем критические точки на графике заданной функции.
1. Для значений 
равных 
угловой коэффициент касательной к графику равен 0. Т. e.
Эти точки являются критическими точками функции.
2. В точках 
функция не имеет производной. Эти тоже критические точки функции.
3. Для рассматриваемой нами функции критические точки 
делят ее область определения на чередующиеся интервалы возрастания и убывания. Точки 
— критические точки, которые не изменяют возрастание и убывание (или наоборот).
По графику видно, что в точках внутреннего экстремума(
и 
) производная функции равна нулю, а в точке 
производная не существует. Точки, в которых производная функции равна нулю, также называются стационарными точками.
Теорема Ферма (Необходимое условие существовании экстремумов)
Во внутренних точках экстремума производная либо равна нулю, либо не существует.
Примечание. Точка, в которой производная равна нулю, может и не быть точкой экстремума. Например, в точке 
производная функции 
равна нулю, но эта точка не является ни точкой максимума, ни точкой минимума.
На отрезке непрерывности функция может иметь несколько критических точек, точек максимума и минимума. Существование экстремума в точке зависит от значения функции в данной точке и в точках, близких к данной, т. е. имеет смысл локального (местного) значения. Поэтому иногда используют термин локальный максимум и локальный минимум.
Достаточное условие существования экстремума
Пусть функция 
непрерывна на промежутке 
и 
Если 
является критической точкой, в окрестности которой функция дифференцируема, то, если в этой окрестности:
- слева от точки положительна, а справа — отрицательна, то точка является точкой максимума.
- слева от отрицательна, а справа — положительна, то точка является точкой минимума
- с каждой стороны от точки имеет одинаковые знаки, то точка не является точкой экстремума.
слева от точки 
положительна, а справа — отрицательна, то точка 
является точкой максимума.Чтобы найти наибольшее (абсолютный максимум) или наименьшее (абсолютный минимум) значение функции, имеющей конечное число критических точек на отрезке, надо найти значение функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее.
Соответствующие наибольшее и наименьшее значения функции 
на отрезке 
записываются как 
и 
Ниже представлены примеры определения максимума и минимума в соответствии со знаком производной первого порядка.
Пример №5
Для функции
определите максимумы и минимумы и схематично изобразите график.
Решение: Для решения задания сначала надо найти критические точки. Для данной функции этими точками являются точки (стационарные), в которых производная равна нулю.
1. Производная функции: 
2. Критические точки функции: 
3. Точки 
и 
разбивают область определения функции на три промежутка.
Проверим знак 
на интервалах, выбрав пробные точки:
для интервала 
для интервала 
для интервала 
При 
имеем 
максимум
При 
имеем 
минимум
4. Используя полученные для функции 
данные и найдя координаты нескольких дополнительных точек, построим график функции.
Пример №6
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции 
на отрезке 
Решение: Сначала найдем критические точки.
Так как 
то критические точки можно найти из уравнения 
и 
Критическая точка 
не принадлежит данному отрезку 
и поэтому мы ее не рассматриваем. Вычислим значение заданной функции в точке 
и на концах отрезка.
Из этих значений наименьшее — 4, наибольшее 12. Таким образом:
Пример №7
Найдите экстремумы функции 
Решение: 1. Производная функции: 
2. Критические точки: 
и 
3. Интервалы, на которые критические точки делят область определения функции:
и 
Проверим знак 
на интервалах, выбрав пробные точки.
Для промежутка 
возьмем 
Для промежутка 
возьмем 
Для промежутка 
возьмем 
Используя полученную для функции 
информацию и найдя значение функции еще в нескольких точках, можно построить график функции. При этом следует учитывать, что в точках с абсциссами 
и 
касательная к графику горизонтальна. Построение графика можно проверить при помощи графкалькулятора.
Пример №8
Найдите экстремумы функции 
Решение: 1. Производная 
2. Критические точки: для этого надо решить уравнение 
или найти точки, в которых производная не существует. В точке 
функция не имеет конечной производной. Однако точка 
принадлежит области определения. Значит, точка 
является критической точкой функции.
3. Промежутки, на которые критическая точка делит область определения функции: 
и 
Определим знак 
выбрав пробные точки для каждого промежутка:
Для 
возьмем 
Для 
возьмем 
Пример №9
По графику функции производной 
схематично изобразите график самой функции.
Решение:
Производная 
в точке 
равна нулю, а при 
отрицательна, значит, на интервале 
функция убывающая. При 
производная положительна, а это говорит о том, что функция/на промежутке 
возрастает. Точкой перехода от возрастания к убыванию функции является точка 
Соответствующий график представлен на рисунке.
- Заказать решение задач по высшей математике
Построение графиков функции с помощью производной
Функция — многочлен определена и непрерывна на всей числовой оси.
Чтобы построить график функции- многочлен надо выполнить следующие шаги.
- Определите точки пересечения с осями координат.
- Найдите критические точки.
- Найдите промежутки возрастания и убывания функции.
- Найдите максимумы и минимумы.
- Постройте график.
Пример:
Постройте график функции 
1) Точки пересечения с осями координат :
2) Критические точки ( точки, в которых производная равна нулю): 
значит, точки 
и 
расположены на графике.
3) Промежутки возрастания и убывания. Экстремумы.
Критические точки 
деляг область определения функции на четыре промежутка. Проверим знаки производной 
4) Используя полученную информацию, построим график функции.
Чтобы построить график рациональной функции надо выполнить следующие шаги.
- Найдите область определения.
- Найдите асимптоты (если они есть).
- Определите точки пересечения с осями координат.
- Найдите критические точки.
- Найдите промежутки возрастания и убывания и экстремумы.
- Постройте график.
Пример:
Постройте график функции 
1) Область определения функции: 
2) Асимптоты: 
Прямая 
вертикальная асимптота функции.
Так как степень многочлена в числителе больше степени многочлена в знаменателе, рациональная функция не имеет горизонтальной асимптоты. Однако, записав следующее: 
условии 
имеем 
т. е. график функции 
бесконечно приближается к прямой 
В этом случае прямая 
является наклонной асимптотой функции 
Вообще, если степень многочлена 
на 1 единицу больше степени многочлена 
то рациональная функция 
имеет наклонную асимптоту.
3) Точки пересечения с осями координат: 
4) Критические точки:
5) Промежутки возрастания и убывания: в точке 
функция не определена, точки 
и 
являются критическими точками функции. Определим знаки производной в каждом полученном интервале.
6) Построим график. Отметим на координатной плоскости точки 
относящиеся к графику. Проведем вертикальную асимптоту 
и наклонную асимптоту 
Используя полученные результаты, изобразим график функции.
Обратите внимание! В области, близкой к точке 
график функции ведет себя как парабола 
Задачи на экстремумы. Оптимизации
В реальной жизненной ситуации возникает необходимость выбора оптимального варианта и нахождения экстремумов определенной функции. Ежедневно, при решении проблем в различных областях, мы сталкиваемся с терминами наибольшая прибыль, наименьшие затраты, наибольшее напряжение, наибольший объем, наибольшая площадь и т.д. Большое экономическое значение в промышленности, при определении дизайна упаковки, имеет вопрос, как подобрать размеры упаковки с наименьшими затратами. Такого рода задания связаны с нахождением максимального или минимального значения величины. Задачи на нахождение максимального и минимального значения величины называются задачами на оптимизацию. Для решения данных задач применяется производная.
Замечание 1: На интервале 
должны учитываться предельные значения функции на концах.
Замечание 2: В рассматриваемом интервале может быть одна стационарная точка: или точка максимума, или точка минимума. В этом случае, в точке максимума функция принимает наибольшее значение, а в точке минимума — наименьшее значение.
Пример 1. Максимальный объем. Фирма планирует выпуск коробки без крышки, с квадратным основанием и площадью поверхности 
Найдите размеры коробки, при которых она будет иметь наибольший объем?
Решение:
Так как основанием коробки является квадрат, то ее объем можно вычислить по формуле 
Используя другие данные задачи, выразим объем только через одну переменную 
Вычислим площадь поверхности коробки. Она равна 
и состоит из 4 площадей боковых граней + площадь основания.
Тогда выразим 
подставим в формулу 
Зависимость объема коробки от переменной 
можно выразить следующим образом:
Теперь найдем область определения функции 
согласно условию задачи.
Понятно, что длина не может быть отрицательной, т. е. 
Площадь квадрата в основании коробки должна быть меньше 192, т. е. 
или 
Значит, 
Найдем максимальное значение функции 
на интервале 
Для этого используем производную первого порядка:
При 
и 
имеем, что 
Однако. 
Значит, в рассматриваемом интервале критической точкой является 
При 
имеем 
при 
имеем 
функция
в точке 
принимает максимальное значение.
Если длина основания коробки будет 8 см, то высота будет равна
Значит, максимальный объем будет иметь коробка с размерами 
Построив при помощи графкалькулятора график функции 
также можно увидеть, что при 
объем имеет максимальное значение. Постройте график функции при помощи производной и убедитесь в правильности решения.
Пример 2. Минимальное потребление. Два столба высотой 4 м и 12 м находятся на расстоянии 12 м друг от друга. Самые высокие точки столбов соединены с металлической проволокой, каждая из которых, в свою очередь крепится на земле в одной точке. Выберите такую точку на земле, чтобы для крепления использовалось наименьшее количество проволоки.
Решение: 1) Изобразим рисунок, соответствующий условию задачи, и обозначим соответствующие данные на рисунке.
2) Аналитически выразим зависимость между переменными.
По теореме Пифагора:
зависимость функции 
от переменной 
будет
Производная функции 
Найдем критические точки функции 
Сравнивая значения функции 
в точках 
(это проверьте самостоятельно), получим, что наименьшее количество проволоки используется при 
(метр)
При решении задач на экстремумы обратите внимание на следующее!
1. Внимательно читайте условие. Сделайте соответствующий рисунок.
2. Задайте список соответствующих переменных и констант, которые менялись и оставались неизменными и какие единицы использовались. Если на рисунке есть размеры, обозначьте их.
3. Выберите соответствующий параметр 
и выразите искомую величину функцией 
Найдите экстремумы данной функции.
4. Полученные значения объясните экспериментально.
Пример: Минимальное потребление материала. Для мясных консервов планируется использовать банку в форме цилиндра объемом 250 
a) Каких размеров должна быть банка, чтобы для ее изготовления использовалось как можно меньше материала?
b) Для круглого основания используется материал, цена 1 
которого равна 0,05 гяпик, а для боковой поверхности используется материал цена 1 
которого равна 0,12 гяпик. Какие размеры должна иметь банка, чтобы затраты на ее изготовление были минимальными?
Решение: а) По условию задачи объем равен 250 
Эти данные дают нам возможность найти зависимость между 
и 
Для функции, выражающей площадь поверхности, область определения представляет собой незамкнутый интервал, и мы должны найти, при каком значении 
где 
функция имеет наименьшее значение. Найдем производную функции 
Критическая точка функции: 
При 
имеем 
при 
Значит, 
Подставим значение 
в формулу для высоты 
получим 
Итак, минимальные затраты на материал будет иметь банка цилиндрической формы с размерами 
и 
Размеры, при которых затраты на материал будут минимальными
- Приложения производной
- Производные высших порядков
- Дифференциал функции
- Дифференцируемые функции
- Касательная к графику функции и производная
- Предел и непрерывность функции
- Свойства функций, непрерывных в точке и на промежутке
- Предел функции на бесконечности
Как найти критические точки функции
При построении графика функции необходимо определить точки максимума и минимума, промежутки монотонности функции. Чтобы ответить на эти вопросы первым делом нужно найти критические точки, то есть такие точки области определения функции, в которых производная не существует или равна нулю.
Вам понадобится
- Умение находить производную функции.
Инструкция
Найдите область определения D(x) функции y=ƒ(x), так как все исследования функции проводятся в том интервале, где функция имеет смысл. Если вы исследуете функцию на некотором промежутке (a; b), то проверьте, чтобы этот интервал принадлежал области определения D(x) функции ƒ(x). Проверьте функцию ƒ(x) на непрерывность в этом промежутке (a; b). То есть lim(ƒ(x)) при x стремящимся к каждой точке x0 из интервала (a; b) должен быть равен ƒ(x0). Также функция ƒ(x) должна быть дифференцируема на этом интервале за исключением возможно конечного числа точек.
Вычислите первую производную ƒ'(x) функции ƒ(x). Для этого воспользуйтесь специальной таблицей производных элементарных функций и правилами дифференцирования.
Найдите область определения производной ƒ'(x). Выпишите все точки, которые не попали в область определения функции ƒ'(x). Отберите из этого множества точек только те значения, которые принадлежат области определения D(x) функции ƒ(x). Это и будут критические точки функции ƒ(x).
Отыщите все решения уравнения ƒ'(x)=0. Выберите из этих решений только те значения, которые попадают в область определения D(x) функции ƒ(x). Эти точки так же будут являться критическими точками функции ƒ(x).
Рассмотрите пример. Пусть дана функция ƒ(x)=2/3×x^3−2×x^2−1. Область определения этой функции вся числовая прямая. Найдите первую производную ƒ'(x)=(2/3×x^3−2×x^2−1)’=(2/3×x^3)’−(2×x^2)’=2×x^2−4×x. Производная ƒ'(x) определена при любом значении x. Тогда решите уравнение ƒ'(x)=0. В данном случае 2×x^2−4×x=2×x×(x−2)=0. Этому уравнению равносильна система из двух уравнений: 2×x=0, то есть x=0, и x−2=0, то есть x=2. Эти два решения принадлежат области определения функции ƒ(x). Таким образом, у функции ƒ(x)=2/3×x^3−2×x^2−1 существует две критические точки x=0 и x=2.
Обратите внимание
Знак ^ обозначает возведение в степень, знак ‘ – взятие производной.
Источники:
- критических точек функции
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Одна
из основных задач исследования функции
– нахождение промежутков ее возрастания
и убывания.
Достаточный
признак возрастания функции:
Если
f/
(x)>0
в
точке
интервала (а,в),
то функция f
(x)
возрастает на (а,в).
Достаточный
признак убывания функции:
Если
f/
(x)<0
в
точке
интервала (а,в),
то функция f
(x)
убывает на (а,в).
Пример:
Найти промежутки возрастания и убывания
функции:
y=
-x2
+ 2x
– 3
Решение:
Область определения функции – все
множество действительных чисел ( т.к.
нет «подводных камней»)
D
(y)
= R
Найдем
критические точки функции:
y/
= -2x
+ 2 = 0
x = 1
+
1 —
Ответ:
f
(x)
возрастает при x
( —
;
1
],
f
(x)
убывает при x
[1;
+
).
11. Критические точки функции, экстремумы.
Определение:
Внутренние
точки области определения функции, в
которых производная равна нулю или не
существует, называются критическими
точками.
Теорема
Ферма:
( необходимое условие экстремума )
Если
точка является точкой экстремума функции
f
(x)
и в этой точке существует производная,
то она равна нулю.
Признак
максимума:
Если
функция f
непрерывна в точке х0,
а f/
(x)
>0 на интервале
(
а;
х0),
и f/
(x)
<0 на интервале (х0,
в), то точка
х0
является точкой максимума функции f
.
Признак
минимума:
Если
функция f
непрерывна в точке х0,
а f/
(x)
<0 на интервале
(
а;
х0),
и f/
(x)
>0 на интервале (х0,
в), то точка
х0
является точкой минимума функции f
.
Упрощенно:
Если в
точке х0
производная меняет знак
с «+» на
«-», то х0
– точка максимума
с «-» на
«+», то х0
– точка минимума
12. Схема исследования функции.
-
Область
определения функции -
Четность-нечетность
( функция называется
четной, если выполняется условие
f
(-x)
= f
(x),
график симметричен относительно оси
ОУ; функция называется нечетной, если
выполняется условие
f
(-x)
= -f
(x),
график симметричен относительно начала
координат)
3.
Точки пересечения с осями координат:
с
ОХ: у=0, решить уравнение f(х)=0
с
ОУ: х=0, у=f
(0)
4.
Промежутки возрастания, убывания,
экстремумы, значение
функции в точках
экстремума.
5.
Построить график.
Пример:
Исследовать
функцию и построить график:
у=
х2
+ х – 2
-
D
(y) = (-
;
+)
-
y
(-x)
= (-x)2
+ (-x)
– 2 = x2
– x
– 2 – общего вида -
с
ОХ: у=0 х2
+ х – 2 = 0
х1,2=
-2; 1
точки пересечения
с осью ОХ (-2; 0 ), ( 1; 0)
с ОУ: х=0 у= -2
точка пересечения
с ОУ (0; -2)
-
у/
= 2x + 1 = 0
x = —
— —
+
y(-
)
=
—
— 2 = -2
-
Построим
график функции:
у
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #