Как найти время скольжения бруска

Динамика и кинематика — это два важных раздела физики, которые изучают законы перемещения объектов в пространстве. Первый рассматривает действующие на тело силы, второй же занимается непосредственно характеристиками динамического процесса, не вникая в причины того, что его вызвало. Знание этих разделов физики необходимо применять для успешного решения задач на движение по наклонной плоскости. Рассмотрим этот вопрос в статье.

Основная формула динамики

Конечно же, речь идет о втором законе, который постулировал Исаак Ньютон в XVII веке, изучая механическое движение твердых тел. Запишем его в математической форме:

F¯ = m*a¯

Действие внешней силы F¯ вызывает появление линейного ускорения a¯ у тела с массой m. Обе векторные величины (F¯ и a¯) направлены в одну и ту же сторону. Сила в формуле является результатом действия на тело всех сил, которые присутствуют в системе.

В случае движения вращения второй закон Ньютона записывается в виде:

M = I*α

Здесь M и I — моменты силы и инерции, соответственно, α — угловое ускорение.

Формулы кинематики

Решение задач на движение по наклонной плоскости требует знания не только главной формулы динамики, но и соответствующих выражений кинематики. Они связывают в равенства ускорение, скорость и пройденный путь. Для равноускоренного (равнозамедленного) прямолинейного движения применяются следующие формулы:

a = Δv/Δt;

v = v₀ ± a*t;

S = v₀*t ± a*t²/2

Здесь v₀ — значение начальной скорости тела, S — пройденный за время t путь вдоль прямолинейной траектории. Знак «+» следует поставить, если скорость тела увеличивается с течением времени. В противном случае (равнозамедленное движение) следует использовать в формулах знак «-«. Это важный момент.

Если движение осуществляется по круговой траектории (вращение вокруг оси), тогда следует использовать такие формулы:

α = Δω/Δt;

ω = ω₀ ± α*t;

θ = ω₀*t ± α*t²/2

Здесь α и ω — угловые ускорение и скорость, соответственно, θ — угол поворота вращающегося тела за время t.

Линейные и угловые характеристики друг с другом связаны формулами:

a = α*r;

v = ω*r

Здесь r — радиус вращения.

Движение по наклонной плоскости: силы

Под этим движением понимают перемещение некоторого объекта вдоль плоской поверхности, которая наклонена под определенным углом к горизонту. Примерами может служить соскальзывание бруска по доске или качение цилиндра по металлическому наклоненному листу.

Для определения характеристик рассматриваемого типа движения необходимо в первую очередь найти все силы, которые действуют на тело (брусок, цилиндр). Они могут быть разными. В общем случае это могут быть следующие силы:

• тяжести;
• реакции опоры;
• трения качения и/или скольжения;
• натяжение нити;
• сила внешней тяги.

Первые три из них присутствуют всегда. Существование последних двух зависит от конкретной системы физических тел.

Чтобы решать задачи на перемещение по плоскости наклонной необходимо знать не только модули сил, но и их направления действия. В случае, если тело по плоскости скатывается, сила трения неизвестна. Однако она определяется из соответствующей системы уравнений движения.

Методика решения

Решения задач данного типа начинается с определения сил и их направлений действия. Для этого в первую очередь рассматривают силу тяжести. Ее следует разложить на два составляющих вектора. Один из них должен быть направлен вдоль поверхности наклонной плоскости, а второй должен быть ей перпендикулярен. Первая составляющая силы тяжести, в случае движения тела вниз, обеспечивает его линейное ускорение. Это происходит в любом случае. Вторая равна силе реакции опоры. Все эти показатели могут иметь различные параметры.

Сила трения при движении по наклонной плоскости всегда направлена против перемещения тела. Если речь идет о скольжении, то вычисления довольно просты. Для этого следует использовать формулу:

F_f = µ*N

Где N — реакция опоры, µ — коэффициент трения, не имеющий размерности.

Если в системе присутствуют только указанные три силы, тогда их результирующая вдоль наклонной плоскости будет равна:

F = m*g*sin(φ) — µ*m*g*cos(φ) = m*g*(sin(φ) — µ*cos(φ)) = m*a

Здесь φ — это угол наклона плоскости к горизонту.

Зная силу F, можно по закону Ньютона определить линейное ускорение a. Последнее, в свою очередь, используется для определения скорости движения по наклонной плоскости через известный промежуток времени и пройденного телом расстояния. Если вникнуть, то можно понять, что все не так уж и сложно.

В случае, когда тело скатывается по наклонной плоскости без проскальзывания, суммарная сила F будет равна:

F = m*g*sin(φ) — F_r = m*a

Где F_r — сила трения качения. Она неизвестна. Когда тело катится, то сила тяжести не создает момента, поскольку приложена к оси вращения. В свою очередь, F_r создает следующий момент:

M = F_r*r = I*α

Учитывая, что мы имеем два уравнения и две неизвестных (α и a связаны друг с другом), можно легко решить эту систему, а значит, и задачу.

Теперь рассмотрим, как использовать описанную методику при решении конкретных задач.

Задача на движение бруска по наклонной плоскости

Деревянный брусок находится в верхней части наклонной плоскости. Известно, что она имеет длину 1 метр и располагается под углом 45^o. Необходимо вычислить, за какое время брусок опустится по этой плоскости в результате скольжения. Коэффициент трения принять равным 0,4.

Записываем закон Ньютона для данной физической системы и вычисляем значение линейного ускорения:

m*g*(sin(φ) — µ*cos(φ)) = m*a =>

a = g*(sin(φ) — µ*cos(φ)) ≈ 4,162 м/с²

Поскольку нам известно расстояние, которое должен пройти брусок, то можно записать следующую формулу для пути при равноускоренном движении без начальной скорости:

S = a*t²/2

Откуда следует выразить время, и подставить известные значения:

t = √(2*S/a) = √(2*1/4,162) ≈ 0,7 с

Таким образом, время движения по наклонной плоскости бруска составит меньше секунды. Заметим, что полученный результат от массы тела не зависит.

Задача со скатывающимся по плоскости цилиндром

Цилиндр радиусом 20 см и массой 1 кг помещен на наклонную под углом 30^o плоскость. Следует вычислить его максимальную линейную скорость, которую он наберет при скатывании с плоскости, если ее длина составляет 1,5 метра.

Запишем соответствующие уравнения:

m*g*sin(φ) — F_r = m*a;

F_r*r = I*α = I*a/r

Момент инерции I цилиндра вычисляется по формуле:

I = 1/2*m*r²

Подставим это значение во вторую формулу, выразим из нее силу трения F_r и заменим полученным выражением ее в первом уравнении, имеем:

F_r*r = 1/2*m*r²*a/r = >

F_r = 1/2*m*a;

m*g*sin(φ) — 1/2*m*a = m*a =>

a = 2/3*g*sin(φ)

Мы получили, что линейное ускорение не зависит от радиуса и массы скатывающегося с плоскости тела.

Зная, что длина плоскости составляет 1,5 метра, найдем время движения тела:

S = a*t²/2 =>

t = √(2*S/a)

Тогда максимальная скорость движения по наклонной плоскости цилиндра будет равна:

v = a*t = a*√(2*S/a) = √(2*S*a) = √(4/3*S*g*sin(φ))

Подставляем все известные из условия задачи величины в конечную формулу, получаем ответ: v ≈ 3,132 м/c.

1. Тела в начальном состоянии движутся друг относительно друга

Пусть на гладком столе лежит доска длиной L и массой m_д. На краю доски находится небольшой брусок массой m_б (рис. 24.1). Коэффициент трения между бруском и доской μ. В начальный момент доска покоится, а бруску толчком сообщают начальную скорость ₀, направленную вдоль доски.

Как будут двигаться тела?

При скольжении бруска по доске на него и на доску действуют противоположно направленные равные по модулю силы трения скольжения _тр1 и _тр2 (рис. 24.2). В результате скорость бруска будет уменьшаться, а скорость доски – увеличиваться.

Возможны два варианта дальнейшего развития событий:

1) брусок будет скользить по доске, пока их скорости не станут равными, то есть пока брусок не остановится относительно доски. Начиная с этого момента силы трения перестанут действовать на доску и брусок, и они будут скользить по гладкому столу вместе как единое целое с постоянной конечной скоростью _к (рис. 24.3);

2) скорости бруска и доски не успеют сравняться до того момента, когда брусок дойдёт до противоположного конца доски. В таком случае брусок соскользнёт с доски, после чего они будут двигаться по столу с различными скоростями _б и _д, причём v_б > v_д (рис. 24.4).

Рассмотрим сначала случай, когда доска с бруском будут двигаться как единое целое (см. рис. 24.3), и выведем условие, при котором этот случай реализуется.

? 1. Как зависят от времени проекции скорости бруска и доски на ось x, показанную на рисунке 24.1?

? 2. Через какой промежуток времени доска и брусок будут двигаться как единое целое?

? 3. Чему будет равна скорость доски с бруском, когда они будут двигаться как единое целое?

Найдём теперь условие того, что брусок будет скользить по доске до тех пор, пока их скорости не сравняются.

Так произойдёт, если путь l, пройденный бруском относительно доски, не превышает длины доски L. Путь l мы найдём, определив ускорение бруска относительно доски.

? 4. Чему равно ускорение бруска относительно доски?

? 5. Чему равен путь l, пройденный бруском относительно доски до того момента. когда их скорости сравнялись?

? 6. При выполнении какого условия доска и брусок будут двигаться как единое целое?

Рассмотрим конкретный пример.

? 7. Небольшой брусок массой 200 г находится на краю доски массой 1 кг, лежащей на гладком столе. Коэффициент трения между доской и бруском 0,5. В начальный момент скорость бруска 2,4 м/с, а доска покоится. Через некоторое время брусок и доска стали двигаться как единое целое.
а) С каким ускорением относительно доски двигался брусок?
б) Сколько времени брусок двигался по доске?
в) Какова минимально возможная длина доски?
г) Чему равна скорость доски с бруском, когда они движутся как единое целое?

Пусть теперь условие того, что доска и брусок станут двигаться как единое целое, не выполнено. Тогда брусок соскользнёт с доски, и скорость каждого тела при дальнейшем скольжении по столу останется такой, какой она была в момент соскальзывания бруска.

Чтобы найти конечные скорости бруска и доски, можно поступить, например, так.

1) Зная длину доски L, начальную скорость бруска v₀ и ускорение бруска относительна доски, найдём время t_ск, в течение которого брусок будет скользить по доске.

2) Зная время t_ск, найдём скорости бруска и доски в момент соскальзывания бруска с доски. С этими скоростями они и будут скользить далее по столу.

Воспользуйтесь этими советами при выполнении следующего задания.

? 8. Небольшой брусок массой 400 г находится на краю доски длиной 1 м и массой 800 г, лежащей на гладком столе (рис. 24.1). Коэффициент трения между доской и бруском 0,2. В начальный момент скорость бруска 3 м/с, а доска покоится.
а) С каким по модулю ускорением движется брусок относительно доски?
б) Какой должна была бы быть длина доски, чтобы скорость бруска относительно доски стала равной нулю?
в) Сколько времени брусок движется по доске согласно условию задания?
г) Чему равна скорость бруска относительно стола в тот момент, когда брусок соскользнёт с доски?
д) Какой путь пройдёт доска относительно стола до того момента, когда брусок соскользнёт с доски?

2. Тела в начальном состоянии покоятся друг относительно друга

На гладком столе лежат один на другом два бруска (рис. 24.5). Массу нижнего бруска обозначим mн‚ в массу верхнего — mв. Коэффициент трения между брусками μ.

К верхнему бруску прикладывают горизонтально направленную вправо силу .
Самое главное в таких задачах — увидеть две возможности:

1) бруски могут начать двигаться друг относительно друга — тогда между ними будут действовать силы трения скольжения;

2) бруски могут начать двигаться как единое целое — тогда между ними будут действовать силы трения покоя.

Начнём с первой возможности: в таком случае модуль силы трения скольжения, действующей на каждое тело, равен μm_вg. Модуль же силы трения покоя заранее неизвестен.

? 9. Объясните, почему в случае, когда верхний брусок скользит по нижнему, их ускорения относительно стола выражаются формулами

Учтём теперь, что сила приложена к верхнему бруску и что бруски вначале покоились. Если верхний брусок скользит по нижнему, то ускорение верхнего бруска больше, чем ускорение нижнего. Это позволяет получить условие того, что бруски движутся друг относительно друга.

? 10. Объясните, почему бруски будут двигаться друг относительно друга, если

? 11.На столе стоит тележка массой 500 г, а на ней лежит кирпич массой 2,5 кг. Коэффициент трения между кирпичом и тележкой 0,5, трением между тележкой и столом можно пренебречь. С какой горизонтальной силой надо тянуть кирпич, чтобы стащить его с тележки?

Итак, чтобы стащить тяжёлый кирпич со сравнительно лёгкой тележки, надо приложить к нему горизонтальную силу, которая в несколько раз превышает вес кирпича!

? 12. Объясните, почему тела движутся как единое целое, если

? 13. Объясните, почему, когда бруски движутся как единое целое, их (общее) ускорение а и модуль действующей на каждый брусок силы трения покоя F_тр.пок выражаются формулами

Рассмотрим теперь пример, когда горизонтальная сила приложена к нижнему бруску.

Пусть на гладком горизонтальном столе лежит брусок массой m_н, а на нём — брусок массой m_в (рис. 24.6). Коэффициент трения между брусками μ. К нижнему бруску привязана лёгкая нерастяжимая нить, переброшеивая через блок, а к нити подвешен груз массой m_г. Как будут двигаться тела?

В этой ситуации тоже есть две возможности:
1) бруски могут начать двигаться друг относительно друга;
2) бруски могут начать двигаться как единое целое.

На этот раз проще начать со второй возможности, потому что, когда бруски движутся как единое целое, мы можем рассматривать систему, состоящую только из двух тел — объединённого бруска массой M = m_в + m_н и груза массой m_г.

? 14. С каким ускорением движутся бруски как единое целое?

? 15. С каким максимально возможным ускорением могут двигаться бруски как единое целое?

Подсказка. Ускорение верхнему бруску сообщает сила трения покоя, которая не превышает силу трения скольжения.

? 16. Объясните, почему бруски движутся как единое целое, если выполнено соотношение

Если это соотношение не выполнено. то бруски будут двигаться порознь. Ускорение верхнему бруску сообщает в таком случае сила трения скольжения, равная по модулю μmвg. Такая же по модулю, но противоположно направленная сила трения скольжения действует на нижний брусок.

? 17. Каковы ускорения брусков, если они движутся друг относительно друга?

? 18. На гладком горизонтальном столе лежит брусок массой m_н = 0,5 кг, а на нём — другой брусок массой m_в = 0,3 кг (см. рис. 24.6). К нижнему бруску привязана лёгкая нерастяжимая нить, переброшенная через блок, и к нити подвешен груз массой m_г = 0,2 кг. В начальный момент бруски покоятся.
а) При каком наименьшем коэффициенте трения μmin между брусками они будут двигаться как единое целое?
б) С каким ускорением (ускорениями) движутся бруски при коэффициенте трения между ними 0,5?
в) С каким ускорением (ускорениями) движутся бруски, если коэффициент трения между ними равен 0,1?

Дополнительные вопросы и задания

19. На гладком столе лежит доска длиной l и массой M. На одном конце доски находится небольшой брусок массой m (рис. 24.7). Коэффициент трения между бруском и доской μ. В начальный момент тела покоятся. Какую наименьшую скорость надо толчком сообщить доске, чтобы она выскользнула из-под бруска?

20. На гладком столе лежат один на другом три одинаковых бруска массой m = 100 г каждый (рис. 24.8). Коэффициент трения между брусками μ = 0,2. К среднему бруску приложена горизонтально направленная сила .
а) С каким максимально возможным ускорением может двигаться верхний брусок?
б) С каким максимально возможным ускорением может двигаться нижний брусок?
в) При каких значениях силы F все бруски будут двигаться как единое целое?

ЛАБОРАТОРНАЯ
РАБОТА №
1.1

«ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ
ТЕЛ ПО НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ»

I.
Цель работы:
изучение влияния силы трения и момента
инерции на движение тел по наклонной
плоскости.

II.
Описание
установки

В комплект установки
входят: наклонная плоскость с регулируемой
высотой, миллисекундомер, набор тел
(брусок, шарик, сплошной и полый цилиндры).

Общий вид установки
представлен на рисунке. Наклонная
плоскость представляет собой доску 1,
угол наклона которой можно варьировать,
изменяя высоту плоскости с помощью
кронштейна 2. На вершине плоскости
укреплен электромагнит 3, удерживающий
тело. Измерение времени скольжения или
скатывания проводится с помощью
миллисекундомера 4. Включение секундомера
с помощью переключателя 6 размыкает
цепь электромагнита, и тело начинает
двигаться вниз по наклонной плоскости.
При ударе скатывающегося тела о
специальную пластинку 5, расположенную
вертикально у основания наклонной
плоскости, происходит выключение
секундомера. Сняв отсчет времени по
шкале секундомера, необходимо привести
переключатель контакта 6 в исходное
положение. Клавиши секундомера 7,
отмеченные красной наклейкой, должны
быть нажаты, остальные — отжаты.

III.
Методика измерений и расчетные формулы

1. Рассмотрим тело
(брусок) массой m,
находящееся на наклонной плоскости
(см. рисунок). Угол наклона плоскости 
можно найти из следующих соотношений:

где S
— длина
наклонной плоскости; h
— ее высота, которая является переменной
величиной.

Тело будет находиться
в покое, если геометрическая сумма
действующих на него сил равна нулю:

В проекциях на оси
координат:

Если учесть, что
максимальное значение силы трения покоя
равно

то коэффициент трения покоя

можно найти из соотношения

(2)

где
—
максимальный угол, при котором тело еще
остается в покое.

Если
,
то
,
и тело будет двигаться ускоренно.
Согласно второму закону Ньютона

Если учесть, что
,
где

— коэффициент трения скольжения, то

.

Отсюда следует,
что

Величину ускорения
можно определить, если известны длина
пути S₁
и время движения t:

Путь S₁
пройденный бруском, находится из
соотношения

,

где l
— длина бруска (размер бруска вдоль
наклонной плоскости). Поэтому окончательно
коэффициент трения скольжения находим
из следующего расчетного соотношения:

(3)

Для определения
времени движения бруска по наклонной
плоскости расчетным путем можно
воспользоваться законом изменения
полной механической энергии:

где

— высота, на которую опускается центр
тяжести бруска. Поэтому учитывая, что
конечная скорость бруска при равноускоренном
движении равна

,
(4)
окончательно получаем:

(5)

2. При рассмотрении
движения скатывающихся тел (цилиндр,
шар) можно считать, что коэффициент
трения качения достаточно мал и поэтому
.
Поэтому можно воспользоваться законом
сохранения механической энергии:

(6)
где

— высота, на которую опускается центр
тяжести скатывающегося тела; r
и J —
радиус и момент инерции скатывающегося
тела. Поэтому, с учетом (6) и выражения
для конечной скорости скатывающегося
тела

(7)
получаем, что
время скатывания тел равно:

а) для сплошного
цилиндра
,
следовательно

(8)

б) для шарика ()

(9)

в) для отрезка
трубы ()

(10)

IV.
Порядок выполнения работы

Задание 1.
Определение коэффициента трения покоя

для металлической и деревянной
поверхностей бруска.

1. Положить брусок
деревянной поверхностью на наклонную
плоскость при малом угле наклона.

2. Медленно
увеличивать угол наклона плоскости до
тех пор, пока не начнется соскальзывание
бруска.

3. Измерить в этом
положении линейкой высоту h₀
наклонной плоскости.

4. Повторить п.п.
1-3 для металлической поверхности бруска.

Задание 2.
Определение коэффициента трения
скольжения

для обеих поверхностей.

1. Установить такой
угол наклона плоскости, чтобы брусок
мог двигаться равноускоренно ().

2. Измерить в этом
положении линейкой высоту h
наклонной плоскости.

3. Проверить
правильность установки клавиш секундомера
(см. раздел II).
Включить секундомер, нажав клавишу
«Питание».

4. Установить брусок
деревянной поверхностью на наклонной
плоскости так, чтобы он удерживался
электромагнитом.

5. Нажав клавишу
«Пуск», определить по секундомеру
время скольжения бруска t_on.
Опыт повторить 3-5 раз (не забывая приводить
секундомер в исходное состояние).

6. Повторить п.п.
1-5 для металлической поверхности бруска.

Задание 3.
Определение времени движения скатывающихся
тел.

1. Установить высоту
наклонной плоскости меньше, чем в
предыдущем задании.

2. Измерить в новом
положении линейкой высоту h
наклонной плоскости.

3. Проверить
правильность установки клавиш секундомера
(см. раздел II).
Включить секундомер, нажав клавишу
«Питание».

4. Установить шар
на наклонной плоскости так, чтобы он
удерживался электромагнитом.

5. Нажав клавишу
«Пуск», определить по секундомеру
время скатывания шара t_on.
Опыт повторить 3-5 раз (не забывая приводить
секундомер в исходное состояние).

6. Повторить п.п.
4-5 для сплошного и полого цилиндров.

V.
Таблицы измерений

1. Данные установки:

Длина наклонной
плоскости S
= (500±0,5) мм

Длина бруска l
= (60±0,5) мм

Радиус шара r
= (11,5±0,5) мм

Радиус сплошного
цилиндра r
=(10±0,5) мм

Радиус полого
цилиндра r
=(10±0,5) мм

2. Определение
коэффициента трения покоя. Высота
наклонной плоскости:

Деревянная
поверхность h₀
=

Металлическая
поверхность h₀
=

3. Определение
коэффициента трения скольжения.

Высота наклонной
плоскости h
=

Результаты измерений
внести в таблицу:

4. Определение
времени движения скатывающихся тел.

Высота наклонной
плоскости h
=

Результаты измерений
внести в таблицу:

VI.
Обработка результатов измерений

1. Вычислить
коэффициент трения покоя µ₀
для деревянной и металлической
поверхностей по формуле (2), учитывая
соотношения (1).

2. Рассчитать
коэффициент трения скольжения µ, для
деревянной и металлической поверхностей
по формуле (3) с учетом (1).

3. Рассчитать время
скольжения бруска t_pac
для деревянной и металлической
поверхностей по формуле (5) с учетом (1).

4. Вычислить время
скатывания t_pac
для шара, сплошного и полого цилиндров
по формулам (8), (9), (10), учитывая соотношения
(1).

5. Сравнить опытные
и расчетные данные времени движения
тел и определить процент отклонения по
формуле

Сделать вывод о
качестве экспериментов.

6. Результаты свести
в таблицу.

Контрольные
вопросы

1. Запишите второй
закон Ньютона для тела, соскальзывающего
с наклонной плоскости равномерно,
равноускоренно.

2. Как определить
скорость поступательного движения
соскальзывающего тела, скатывающегося
тела? Какова связь между угловой и
линейной скоростями?

3. Каковы причины
возникновения сил трения?

4. От чего зависит
коэффициент трения?

5. Чему равна работа
переменной силы?

6. Что такое энергия?
Чему равна кинетическая энергия
поступательного движения, вращательного?

7. Сформулируйте
закон сохранения механической энергии.
Запишите закон сохранения энергии
применительно к движению тела по
наклонной плоскости.

8. Влияет ли момент
инерции тела на линейную скорость тела
у основания наклонной плоскости (при
прочих равных условиях)? Как это можно
объяснить?

5

2017-04-05   

Хорошо известно, что для большинства трущихся поверхностей коэффициент трения покоя превышает коэффициент трения скольжения. Увеличение силы трения покоя по сравнению с силой терния скольжения носит название «явление застоя». Это явление приводит к ряду интересных последствий, например, его наличием объясняется скрип дверных петель, звучание струны скрипки и др.

Для изучения явления застоя создана следующая установка. На движущуюся с постоянной скоростью горизонтальную ленту транспортера помещен брусок, прикрепленный с помощью лекгорастяжимой пружины к неподвижному упору. При этом брусок совершает незатухающие колебания.

A) . Объясните механизм возникновения незатухающих колебаний.

Б). Найдите максимальную и минимальную деформации пружины в процессе движения бруска.

B). Определите период колебаний бруска.

Г). Найдите закон движения бруска $x(t)$ и постройте его график (в качестве координаты $x$ используйте деформацию пружины).

Параметры установки: масса бруска $m = 100 г$; коэффициент жесткости пружины $k = 10 frac{Н}{м}$; скорость движения ленты транспортера $v_{0} = 5,0 frac{см}{с}$; коэффициент трения скольжения бруска о ленту $mu = 0,25$; коэффициент трения покоя бруска о ленту $mu = 0,30$.

Решение:

Будем рассматривать движение бруска в системе отсчета, связанной с неподвижным упором. Пусть в некоторый момент времени брусок покоится относительно ленты (т.е. движется со скоростью ленты в выбранной системе отсчета). В это время сила трения, действующая на брусок, является силой трения покоя, поэтому максимальна. Такое движение бруска возможно пока увеличивающаяся сила упругости пружинки не превысит силу трения покоя. (Обозначим координату этой точки $x_{1}$). После ее прохождения брусок начнет скользить относительно ленты, поэтому сила трения скачком уменьшится до силы трения скольжения. Однако, некоторое время брусок будет продолжать двигаться в прежнем направлении по инерции (т.к. он имел скорость, равную скорости ленты). Сместившись на максимальное расстояние $x_{max}$, он начнет двигаться в обратном направлении с ускорением, определяемым силами трения и упругости, до некоторого положения $x_{min}$. Затем направление его движения опять изменится, его скорость начнет возрастать до тех пор, пока не станет равной скорости ленты (точку, в которой это произойдет, обозначим $x_{2}$ ), после чего процесс повторится — брусок станет двигаться до точки $x_{1}$ со скоростью ленты и т. д. Заметим, что потери механической энергии бруска из-за трения скольжения компенсируются работой сил трения покоя.

Координату точки $x_{1}$, в которой начинается скольжение бруска относительно ленты, найдем из условия равенства силы упругости и силы трения покоя:

$kx_{1} = mu_{0} mg, Rightarrow x_{1} = frac{ mu_{0} mg}{k}$. (1)

Пока брусок скользит относительно ленты, его уравнение движения имеет вид, записанный на основании 2 закона Ньютона:

$ma = — kx + mu mg$. (2)

Следует отметить, что на этом участке сила трения не изменяет своего направления. Уравнение (2) перепишем в виде

$a = — frac{k}{m} left ( x — frac{ mu mg}{k} right )$, (3)

совпадающем с уравнением гармонических колебаний для величины $left ( x — frac{ mu mg}{k} right )$. Поэтому его полное решение имеет вид

$x — frac{ mu mg}{k} = A cos omega_{0} t + B sin omega_{0} t$, (4)

где обозначена

$omega_{0} = sqrt{ frac{k}{m}}$ (5)

собственная частота колебаний бруска на пружине. Произвольные постоянные А,В в выражении (4) определяются из начальных условий. Из выражения (4) следует, что скорость бруска зависит от времени по закону

$v = — A omega_{0} sin omega_{0} t + B omega_{0} cos omega_{0} t$. (6)

Учитывая, что в момент начала скольжения (будем считать этот момент началом отсчета времени $t=0$) координата бруска равна $x_{1}$, определяемая формулой (1), а его скорость равна скорости ленты $v_{0}$, из формул (4), (6) легко определить неизвестные коэффициенты А, В . Окончательно законы изменения координаты и скорости бруска от времени имеет вид (напомним, что эти законы справедливы только для этапа скольжения бруска относительно ленты)

$x = frac{ mu mg}{k} + frac{ ( mu_{0} — mu) mg}{k} cos omega_{0} t + frac{v_{0}}{ omega_{0}} sin omega_{0} t$, (7)

$v = — frac{ ( mu_{0} — mu) mg}{k} omega_{0} sin omega_{0} t + v_{0} cos omega_{0} t$

Преобразуя тригонометрическую сумму традиционным образом перепишем еще раз закон движения бруска

$x = frac{ mu mg}{k} + sqrt{ left ( frac{( mu_{0} — mu )mg}{k} right )^{2} + left ( frac{v_{0}}{ omega_{0}} right )^{2}} sin ( omega_{0} t + phi)$, (8)

где $phi$ не существенный для дальнейшего решения задачи фазовый сдвиг. Теперь не составляет труда найти максимальное и минимальное смещения бруска

$x_{max} = frac{ mu mg}{k} + sqrt{ left ( frac{( mu_{0} — mu )mg}{k} right )^{2} + left ( frac{v_{0}}{ omega_{0}} right )^{2}}$ (9)

$x_{max} = frac{ mu mg}{k} — sqrt{ left ( frac{( mu_{0} — mu )mg}{k} right )^{2} + left ( frac{v_{0}}{ omega_{0}} right )^{2}}$

Подстановка численных данных приводит к следующему результату $x_{max} approx 3,2 см; x_{min} approx 1,8 см$.

Далее нам необходимо найти момент времени $t_{1}$, когда скорость бруска станет равной скорости ленты $v_{0}$. Для этого следует решить второе уравнение системы (7), полагая в нем $v = v_{0}$:

$v_{0} = — frac{ ( mu_{0} — mu) mg}{ k} omega_{0} sin omega_{0} t_{1} + v_{0} cos omega_{0} t_{1}$. (10)

В интересующем нас диапазоне решение этого уравнения имеет вид

$t_{1} = frac{2 pi}{ omega_{0}} — frac{2}{ omega_{0}} arctg ~ left ( frac{( mu_{0} — mu) mg omega_{0}}{kv_{0}} right )$. (11)

Подстановка этого значения времени в закон движения бруска дает значение координаты $x_{2}$, в которой скорости бруска и ленты сравниваются (прямая подстановка требует определенной аккуратности в проведении тригонометрических преобразований)

$x_{2} = — frac{ mu_{0} mg}{2} + 2 frac{ mu mg}{k}$. (12)

Заметим, что этот же результат можно получить более простым способом, рассматривая закон изменения энергии бруска и пружины

$frac{kx_{1}^{2}}{2} = frac{kx_{2}^{2}}{2} + mu mg (x_{1} — x_{2})$. (13)

Далее брусок движется с постоянной скоростью, поэтому его закон движения на этом участке выражается формулой

$x = x_{2} + v_{0} (t — t_{1})$, (14)

до тех пор пока его координата не достигнет значения $x_{1}$ (с которого мы и начали рассмотрение движения бруска). Это произойдет в момент времени

$t_{2} = t_{1} + frac{x_{1} — x_{2}}{ v_{0}} = frac{2 pi}{ omega_{0}} — frac{2}{ omega_{0}} arctg ~ left ( frac{( mu_{0} — mu) mg omega_{0}}{kv_{0}} right ) + frac{2( mu_{0} — mu) mg}{kv_{0}}$ (15)

Очевидно, что это выражение и определяет период колебаний бруска. Численное значение периода колебаний $T approx 0,67 с$, что незначительно превышает период свободных колебаний бруска на пружине. Для построения графика закона движения подставим численные значения в функцию закона движения (7), что приводит ее к виду

$x = 2,5 + 0,5 cos omega_{0} t + 0,5 sin omega_{0} t$,

далее можно заметить, что момент времени $t_{1}$ приблизительно соответствует значению $omega_{0} t_{1} approx frac{3}{2} pi$. После этой точки график закона движения — прямая линия. В результате таких рассуждений можно получить следующий график (пунктир -продолжение гармонических колебаний).