Как найти вес льдины с человеком - Autoru.top - решение различных проблем

Условия плавания тел. Воздухоплавание

Условия плавания тел
Плавание судов
Ареометр
Воздухоплавание
Задачи
Лабораторная работа №12. Изучение условий плавания тела в жидкости

На тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила $$ F_A=rho_text{ж}V_text{т}g $$ где (rho_text{ж}) — плотность воды; (V_text{т}) — объем тела (части тела), погруженного в жидкость; (g) — ускорение свободного падения (см. §33 данного справочника).

Выталкивающая сила (F_A) направлена вертикально вверх, сила тяжести (V_text{тяж}) направлена вертикально вниз. В зависимости от соотношения абсолютных величин этих двух сил, тело будет плавать иди тонуть.

Если сила тяжести больше архимедовой силы (F_text{тяж}gt F_A), тело тонет.
Если сила тяжести меньше архимедовой силы (F_text{тяж}lt F_A), тело всплывает.
Если сила тяжести равна архимедовой силе (F_text{тяж}=F_A), и тело полностью погружено в воду, тело плавает на любой глубине.
Если сила тяжести равна архимедовой силе (F_text{тяж}=F_A), и тело не полностью погружено в воду, тело плавает на поверхности.

В зависимости от соотношения плотности жидкости и плотности тела, получаем:

Если плотность тела больше плотности жидкости (rho_text{т}gt rho_text{ж}) тело тонет.
Если плотность тела меньше плотности жидкости (rho_text{т}lt rho_text{ж}), тело всплывает и плавает на поверхности. Чем меньше плотность тела по сравнению с плотностью жидкости, тем меньшая часть тела погружена в жидкость.
Если плотность тела равна плотности жидкости (rho_text{т}=rho_text{ж}), и тело полностью погружено в воду, тело плавает на любой глубине.

п.2. Плавание судов

Чтобы судно держалось на воде, вес воды, вытесняемой подводной частью судна, должен быть равен весу судна с грузом в воздухе или силе тяжести, действующей на судно с грузом: begin{gather*} F_A=rho_text{в}V_text{подв}g \[7pt] P=Mg\[7pt] P=F_ALeftrightarrow M=rho_text{в}V_text{подв} end{gather*} В подводной части корабля есть большие полости, поэтому подводная часть имеет большой объем (V_text{подв}), который обеспечивает большую величину выталкивающей силы, достаточную для уравновешивания суммарного веса корабля и груза.

Глубину погружения судна в воду называют осадкой. Поскольку плотность речной воды меньше, чем плотность морской воды, при заходе в реку осадка увеличивается.

Наибольшую допустимую осадку называют ватерлинией; как правило, её отмечают на корпусе красной линией.

Водоизмещение судна – это вес воды, вытесняемой судном с грузом при погружении до ватерлинии, равный силе тяжести, действующей на судно с максимальным допустимым грузом.

п.3. Ареометр

Ареометр – прибор для измерения плотности жидкостей или концентрации растворов, принцип работы которого основан на законе Архимеда.

п.4. Воздухоплавание

Если наполнить шар газом, плотность которого меньше, чем плотность воздуха, то за счет действия выталкивающей силы можно подняться над поверхностью Земли.

Плотность воздуха при (t=0^circ C), (p=760 text{мм рт.ст.}) $$ rho_text{возд}=1,290 text{кг/м}^3 $$ При тех же условиях плотность водорода $$ rho_{mathrm{H_2}}=0,090 text{кг/м}^3, $$ плотность гелия $$ rho_{mathrm{He}}=0,179 text{кг/м}^3, $$

Поскольку (rho_{mathrm{H_2}}lt rho_text{возд}) и (rho_{mathrm{He}}lt rho_text{возд}), воздушные шары, наполненные этими газами, будут подниматься наверх в атмосфере; сила Архимеда, действующая на них, будет больше силы тяжести.

Подъемная сила воздушного шара – это разность между силой Архимеда, действующей на шар в воздухе, и весом шара.

Можно также заполнять шар обычным воздухом, только горячим.
Плотность воздуха заметно уменьшается с ростом температуры. Например, при (t=20^circ C), (rho_text{возд}=1,205 text{кг/м}^3), а при (t=120^circ C), (rho_text{возд}=0,898 text{кг/м}^3).
С повышением температуры, плотность воздуха внутри шара уменьшается, становится меньшим вес шара, а его подъёмная сила увеличивается.
Если хотим подняться наверх, включаем горелку.
Если хотим опуститься, выключаем горелку.

п.5. Задачи

Задача 1. Определите наименьшую площадь плоской льдины толщиной 40 см, способной удержать на себе человека массой 72 кг. Плотность льда 900 кг/м³.

Дано:
(h=40 text{см}=0,4 text{м})
(rho=900 text{кг/м}^3)
(m=72 text{кг})
(rho_text{в}=1000 text{кг/м}^3)
__________________
(S-?)

Общий вес льдины и человека begin{gather*} P=(M_text{л}+m)g=(rho V+m)g end{gather*} Объем льдины (V=Sh)
При полном погружении льдины в воду на нее будет действовать выталкивающая сила (F_A=rho_text{в}Vg). Чтобы льдина больше не погружалась, должно выполняться условие begin{gather*} P=F_A\[7pt] (rho V+m)g=rho_text{в}Vg\[7pt] rho V+m=rho_text{в}V\[7pt] m=(rho_text{в}-rho)V=(rho_text{в}-rho)Sh end{gather*} Площадь льдины begin{gather*} S=frac{m}{(rho_text{в}-rho)h} end{gather*} Получаем begin{gather*} S=frac{72}{(1000-900)cdot 0,4}=1,8 (text{м}^2) end{gather*} Ответ: 1,8 м²

Задача 2. Найдите вес, архимедову силу и подъемную силу воздушного шара объемом (V=40 text{м}^3), наполненного гелием. Плотность воздуха (rho_text{возд}=1,29 text{кг/м}^3), плотность гелия (rho_{mathrm{He}}=0,18 text{кг/м}^3); (g=9,8 text{м/с}^2). Ответы округлите до десятых долей ньютона.
Может ли шар поднять груз весом (400 text{Н})?

Дано:
(rho_text{возд}=1,29 text{кг/м}^3)
(rho_{mathrm{He}}=0,18 text{кг/м}^3)
(g=9,8 text{м/с}^2)
(P_{text{гр}}=400 text{Н})
__________________
(P, F_A, F_{text{под}}-?)

Вес шара: begin{gather*} P=mg=rho_{mathrm{He}}Vg=0,18cdot 40cdot 9,8approx 70,6 (text{Н}) end{gather*} Архимедова сила, действующая на шар в воздухе: $$ F_A=rho_text{возд}Vg=1,29cdot 40cdot 9,8approx 505,7 (text{Н}) $$ Подъёмная сила шара: begin{gather*} F_{text{под}}=F_A-P=505,7-70,6=435,1 (text{Н}) end{gather*} Вес груза меньше подъемной силы: $$ 400 text{Н}lt 435,1 text{Н}, P_{text{гр}}lt F_{text{под}} $$ Шар может поднять этот груз.
Ответ: 70,6 Н; 505,7 Н; 435,1 Н; может

Задача 3. Льдина плавает в пресной воде. Объем ее надводной части 20 м³. Каков объем подводной части? Плотность льда 900 кг/м³.

Дано:
(rho=900 text{кг/м}^3)
(V_text{над}=20 text{м}^3)
(rho_{text{в}}=1000 text{кг/м}^3)
__________________
(V_{text{под}}-?)

Вес льдины в воздухе: begin{gather*} P=Mg=rho Vg=rho(V_text{над}+V_{text{под}})g end{gather*} Сила Архимеда, действующая на подводную часть: begin{gather*} F_A=rho_{text{в}}V_{text{под}}g end{gather*} Силы уравновешивают друг друга begin{gather*} P=F_A\[7pt] rho(V_text{над}+V_{text{под}})g= rho_{text{в}}V_{text{под}}g\[7pt] rho(V_text{над}+V_{text{под}})= rho_{text{в}}V_{text{под}}\[7pt] (rho_{text{в}}-rho)V_{text{под}}=rho V_text{над} end{gather*} Объем подводной части begin{gather*} V_{text{под}}=frac{rho}{rho_{text{в}}-rho}V_text{над} end{gather*} Для льда и воды в общем случае begin{gather*} V_{text{под}}=frac{900}{1000-900}V_text{над}=9V_text{над} end{gather*} Объем подводной части льда в воде в 9 раз больше объема надводной части.
В данном случае: $$ V_{text{под}}=9cdot 20=180 (text{м}^3) $$ Ответ: 180 м³

Задача 4*. Наполненный теплым воздухом воздушный шар объемом 1600 м³ парит на высоте 5,5 км, где плотность воздуха в два раза меньше, чем на уровне моря. Какова плотность воздуха внутри шара, если общая масса его оболочки и груза 150 кг? Ответ округлите до сотых долей кг/м³.

Дано:
(V=1600 text{м}^3)
(rho=frac 12rho_0)
(M=150 text{кг})
(rho_0=1,29 text{кг/м}^3)
__________________
(rho_{text{ш}}-?)

Масса шара – сумма массы оболочки с грузом и воздуха внутри: begin{gather*} M_{text{ш}}=M+rho_{text{ш}}V end{gather*} Вес шара: begin{gather*} P=M_{text{ш}}g=(M+rho_{text{ш}}V)g end{gather*} Выталкивающая сила на данной высоте begin{gather*} F_A=rho Vg=frac 12rho_0 Vg end{gather*} Условие равновесия begin{gather*} P=F_A\[6pt] (M+rho_{text{ш}}V)g=frac 12rho_0 Vg\[6pt] M+rho_{text{ш}}V=frac 12rho_0 V\[6pt] rho_{text{ш}}V=frac 12rho_0 V-M end{gather*} Плотность воздуха в шаре begin{gather*} rho_{text{ш}}=frac 12rho_0-frac MV end{gather*} Получаем begin{gather*} rho_{text{ш}}=frac 12cdot 1,29-frac{150}{1600}approx 0,55 text{кг/м}^3 end{gather*} Ответ: ≈55 кг/м³

Задача 5*. Льдинка плавает на границе между водой и керосином. Какая часть её объема находится ниже этой границы, если керосин покрывает льдинку полностью?

Дано:
(rho_1=800 text{кг/м}^3)
(rho_2=1000 text{кг/м}^3)
(rho=900 text{кг/м}^3)
__________________
(frac{V_text{под}}{V}-?)

Пусть высота слоя керосина над границей с водой равна (h_1), высота льдинки над границей равна (h_text{над}), высота льдинки под границей равна (h_text{под}).
Сверху на льдинку действует сила (F_1), которая равна давлению столба керосина высотой (h_1-h_text{над}) на площадь верхней поверхности льдинки: begin{gather*} F_1=rho g(h_2-h_text{над})S. end{gather*} Снизу по закону Паскаля на льдинку действует сила (F_2), которая равна сумме давлений всего столба керосина высотой (h_1) и столба воды высотой (h_text{под}) на площадь нижней поверхности льдинки: begin{gather*} F_2=rho_1 gh_1S+rho_2gh_text{под}S. end{gather*} На любом промежуточном уровне силы, действующие на боковые поверхности, равны по значению и противоположны по направлению, т.е. взаимно уравновешивают друг друга.
Равнодействующая всех сил, действующих на тело со стороны жидкости, является выталкивающей силой и равна: begin{gather*} F_A=F_2-F_1=rho_1gh_1S+rho_2gh_text{под}S-rho_1g(h_1-h_text{над})S=\[7pt] =(rho_1H_1rho_2h_text{под}-rho_1h_1+rho_1h_text{над})gS=(rho_1h_text{над}+rho_2h_text{под})gS=\[7pt] =(rho_1V_text{над}+rho_2V_text{под})g end{gather*} Учитывая, что (V_text{над}=V-V_text{под}), получаем begin{gather*} F_Aleft(rho_1(V-V_text{под})+rho_2V_text{под}right)g=left(rho_1V+(rho_2-rho_1)V_text{под}right)g end{gather*} Вес льдинки (P=rho Vg). Условие равновесия begin{gather*} P=F_A\[7pt] rho Vg=left(rho_1V+(rho_2-rho_1)V_text{под}right)g\[7pt] rho V=rho_1V+(rho_2-rho_1)V_text{под}\[7pt] (rho-rho_1)V=(rho_2-rho_1)V_text{под} end{gather*} Часть объема льдинки под границей между керосином и водой: begin{gather*} frac{V_text{под}}{V}=frac{rho-rho_1}{rho_2-rho_1} end{gather*} Подставляем: begin{gather*} frac{V_text{под}}{V}=frac{900-800}{1000-800}=frac 12 end{gather*} Под границей находится половина льдинки.
Ответ: 1/2

п.6. Лабораторная работа №12. Изучение условий плавания тела в жидкости

Цель работы
Изучить условия плавания тел в жидкости.

Теоретические сведения

Выталкивающая сила (F_A) направлена вертикально вверх, сила тяжести (F_text{тяж}) направлена вертикально вниз. В зависимости от соотношения абсолютных величин этих двух сил, тело будет плавать иди тонуть.

Выталкивающая сила в работе определяется весом вытесненной телом воды.

Чтобы определить этот вес, отметьте уровни воды в измерительном цилиндре до погружения тела в воду и после погружения. Разность уровней даст вам объем вытесненной телом воды (V_text{т}), по которому находится (F_A=rho_text{в}V_text{т}g).

Масса тела (m) определяется взвешиванием. Вес рассчитывается по формуле (P=mg).

Значение (g) в работе можно принять (gapprox 10 text{м/с}^2).

Приборы и материалы
Весы с разновесами, измерительный цилиндр, пробирка-поплавок с пробкой, сухой песок, сухая ткань.

Ход работы
1. Насыпьте в пробирку песка так, чтобы она в мерном цилиндре плавала вертикально, и часть ее была над водой.
2. Отметьте уровни воды в измерительном цилиндре до погружения пробирки в воду ((V_1)) и после погружения ((V_2)). Найдите объем вытесненной пробиркой воды (V_text{т}=V_2-V_1).
3. Выньте пробирку из воды, тщательно протрите ее сухой тканью. Определите взвешиванием массу пробирки с точностью до 1 г.
4. Рассчитайте выталкивающую силу и вес пробирки, занесите данные в таблицу.
5. Насыпьте в пробирку еще немного песка и повторите процедуру, начиная с п.2. Проделайте так несколько раз, пока пробирка не утонет.
6. Сделайте выводы об условиях плавания тел в жидкости.

Результаты измерений и вычислений

№ опыта	V₁, мл	V₂, мл	V_т, мл	m, г	F_A, мН	P, мН	Поведение пробирки
1	200	234	34	34	340	340	(F_A=P) плавает на поверхности, выступает на 1/3
2	200	245	45	45	450	450	(F_A=P) плавает на поверхности, выступает на 1/5
3	200	254	54	54	540	540	(F_A=P) плавает на любой глубине
4	200	254	54	67	540	670	(F_Alt P) тонет

$$ 1 text{мл}=10^{-3} text{л}=10^{-3} text{дм}^3=10^{-6} text{м}^3 $$
Вычисления для первого опыта: begin{gather*} F_A=rho_text{в}V_text{т}g=1000cdot 34cdot 10^{-6}cdot 10=340cdot 10^{-3} (text{Н})=340 (text{мН})\[7pt] P=mg=34cdot 10^{-3}cdot 10=340cdot 10^{-3} (text{Н})=340 (text{мН}) end{gather*} Вычисления для остальных опытов проводятся аналогично.

Выводы
На основании проведенных экспериментов можно сделать следующие выводы.

Если вес равен архимедовой силе (P=F_A=540 text{мН}), пробирка полностью погружена в воду и плавает на любой глубине. Средняя плотность пробирки при этом равна плотности воды.

Если вес равен архимедовой силе (P=F_Alt 540 text{мН}), пробирка не полностью погружена в воду, она плавает на поверхности. Чем меньше P, тем большая часть пробирки выступает над водой; тем меньше средняя плотность пробирки по сравнению с плотностью воды.

Если вес больше архимедовой силы (Pgt F_A=540 text{мН}), пробирка тонет. Её средняя плотность становится больше плотности воды.

Источник

Чтобы найти массу льдины, которая сможет удерживать указанного человека, будем использовать неравенство: (mл + mч) * g < ρв * g * V.

mл * V + mч < ρв * mл / ρл.

mч < ρв * mл / ρл — mл.

mч < mл * (ρв / ρл — 1).

mл > mч / (ρв / ρл — 1).

Постоянные и переменные: mч — масса человека (mч = 60 кг); ρв — плотность воды (для пресной ρв = 1000 кг/м³); ρл — плотность льдины (ρл = 900 кг/м³).

Вычисление: mл > 60 / (1000 / 900 — 1).

mл > 540 кг.

Ответ: Льдина должна иметь массу больше 540 кг.

Источник

Масса льдины считается по формуле m1=ρ1*V, где ρ1 — плотность льда, равная 900 кг/м³, V — объём льда, который найдём по формуле: V=S*H, где S-площадь льдины, которую мы будем искать, Н — толщина льдины, равная 40 см=0,4 м. Значит, m1=ρ1*S*H. Сила тяжести льдины F1=m1*g=ρ1*S*H*g, где g — постоянная величина, равная 10 Н/кг.

Сила тяжести человека будет равна F2=m*g, где m — масса человека, равная 80 кг.

Сила тяжести, которая будет действовать на льдину вместе с грузом (с человеком) будет складываться из силы тяжести льдины и силы тяжести человека F=F1+F2, или F=ρ1*S*H*g+m*g

Чтобы льдина под действием этой силы тяжести не утонула, она должна уравновешиваться выталкивающей силой Архимеда, которую найдём по формуле:

Fa=ρ2*g*V=ρ2*g*S*H, где ρ2 — плотность воды, равная 1000 кг/м³.

Приравняем силу Архимеда и силу тяжести, действующую на льдину вместе с грузом.

F=Fа

ρ1*S*H*g+m*g=ρ2*g*S*H

Дальше работаем с получившейся формулой. Нам нужно выразить отсюда площадь S.

ρ1*S*H+m=ρ2*S*H

m=ρ2*S*H-ρ1*S*H

m=S*H*(ρ2-ρ1)

S=m/(H*(ρ2-ρ1))

Формула готова. Осталось подставить известные данные.

S=80/(0,4*(1000-900))=80/40=2 м².

Ответ: 2 м² должна быть минимальная площадь льдины, чтобы она не утонула под тяжестью человека массой 80 кг.

Источник

ОТВЕТЫ

На сколько не полностью погружена в водуМогу предложить только тот вариант, когда она полностью погружена в воду.Тогда F₁+F₂=Fарх, где F₁=Mg- сила тяжести, действующая на Человека, а F₂=mg-сила тяжести, действующая на льдину.Fa=ρgV, V=m/ρ°, ρ°-плотность льда-900кг/м³Fa=ρgm/ρ°Mg+mg=ρgm/ρ°, g-сокращаемM=m(ρ/ρ°-1)m=Mρ°/(ρ-ρ°)m=540кг

Минимальная масса льдины будет тогда, когда ее верхняя плоскость находится в уровень с водой. Но тогда она погружена полностью. Начиная с этой массы и больше Все ответы будут удовлетворять условию задачи.
Найдем вес человека Вес равен масса (m)* ускорение свободного падения (g=10 м/с^2)
Pч=mч*g
Вес льдины
Pл=mл*g=V*pл*g здесь мы массу льдины представили в виде произведения плотности льда (pл=900кг/м^3)* объем льда
далее условие равновесия (когда льдина не будет торчать над водой и человек не утонет вместе с льдиной) значить вес самой льдины с человеком должен быть равен Архимедовой силе (силе которая выталкивает лед из воды).
составим уравнение
Pл+Рч=Fa
сила Архимеда Fa= плотности воды (pв=1000 кг/ м) * ускорение свободного падения * объем льдины (V).
Fa=pв*g*V
подставим все значения в уравнение
mч*g+V*pл*g=pв*g*V разделим обе части уравнения на g
mч+V*pл = pв*V
mч= pв*V — V*pл
mч= V*(pв-pл)
V=mч/(pв-pл) подставим известные значения
V=60/(1000-900)=0.6 м^3 объем = 0,6 метров кубических.
Тогда масса льда
m=V*pл=0.6*900=540 кг.
При дальнейшем увеличении массы льда условие задания будет соблюдаться полностью.