Формулировка задачи: Конкурс исполнителей проводится в K дней. Всего заявлено N выступлений — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано L выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление исполнителя из России состоится в M-ый день конкурса?
Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 10 (Классическое определение вероятности).
Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере.
Пример задачи:
Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 50 выступлений — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано 14 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление исполнителя из России состоится в третий день конкурса?
Решение:
Вычислим, сколько исполнителей выступают в третий день конкурса. Для этого нужно вычесть количество выступлений в первый день из общего числа выступлений и разделить получившееся число на оставшиеся 4 дня:
(50 – 14) / 4 = 9
Осталось разделить количество выступлений в третий день на количество всех выступлений, чтобы получить вероятность того, что выступление исполнителя из России состоится в третий день конкурса:
9 / 50 = 0,18
Ответ: 0,18
В общем виде решение данной задачи выглядит следующим образом:
КОЛИЧЕСТВО_ВЫСТУПЛЕНИЙ_В_ДЕНЬ = (N – L) / (K – 1)
ВЕРОЯТНОСТЬ = КОЛИЧЕСТВО_ВЫСТУПЛЕНИЙ_В_ДЕНЬ / N
где K – количество дней,которое длится конкурс, N – количество заявленных выступлений, L – количество выступлений в первый день.
Осталось лишь подставить конкретные значения и получить ответ.
На чтение 16 мин Просмотров 126к. Опубликовано 25 мая, 2018
Вероятность — очень лёгкая тема, если концентрироваться на смысле задач, а не на формулах. Найти вероятность того что — не просто. И как решать задачи на вероятность?. Во-первых, что такое вероятность? Это шанс, что какое-то событие произойдёт. Если мы говорим, что вероятность некоторого события 50%, что это значит? Что оно либо произойдет, либо не произойдет — одно из двух. Таким образом подсчитать значение вероятности очень просто — нужно взять количество подходящих нам вариантов и разделить на количество всех возможных вариантов. Например, шанс получить решку при подбрасывании монеты это ½. Как мы получаем ½? Всего у нас два возможных варианта (орёл и решка), из них нам подходит один (решка), так мы и получаем вероятность ½.
Как мы уже с вами увидели, вероятность может быть выражена как в процентах, так и в обычных числах. Важно: на ЕГЭ вам нужно будет записать ответ в числах, не в процентах. Принято, что вероятность изменяется от 0 (никогда не произойдет) до 1 (абсолютно точно произойдет). Также можно сказать, что всегда
Вероятность подходящих событий + вероятность неподходящих событий = 1
Теперь мы точно понимаем, как считать вероятность отдельного события, и даже такие задачи есть в банке ФИПИ, но понятно, что на этом всё не заканчивается. Чтобы жизнь была веселее, в задачах на вероятность обычно происходят как минимум два события, и надо посчитать вероятность с учетом каждого из них.
Содержание
- Вероятность нескольких событий
- Задачи и решения задач на вероятность
- Вероятность нескольких событий
- Дополняющая вероятность
Вероятность нескольких событий
Подсчитываем вероятность каждого события в отдельности, затем между дробями ставим знаки:
1. Если нужно первое И второе событие, то умножаем.
2. Если нужно первое ИЛИ второе событие, то складываем.
Задачи и решения задач на вероятность
Задача 1. Среди натуральных чисел от 23 до 37 случайно выбирают одно число. Найдите вероятность того, что оно не делится на 5.
Решение:
Вероятность, это отношение благоприятных вариантов к общему их количеству.
Всего в этом промежутке 15 чисел. Из них на 5 делится всего 3, значит не делится 12.
Вероятность тогда: 
Ответ: 0,8.
Задача 2. Для дежурства в столовой случайно выбирают двух учащихся класса. Какова вероятность того, что дежурить будут два мальчика, если в классе обучается 7 мальчиков и 8 девочек?
Решение: Вероятность, это отношение благоприятных вариантов к общему их количеству. В классе 7 мальчиков, это благоприятные варианты. А всего 15 учеников.
Вероятность что первый дежурный мальчик:
Вероятность что второй дежурный мальчик:
Раз оба должны быть мальчики, вероятности перемножим:
Ответ: 0,2.
Задача 3. На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.
Решение: Пассажиру В. удобны 30 мест (12 + 18 = 30), а всего в самолете 300 мест. Поэтому вероятность того, что пассажиру В. достанется удобное место равна 30/300, т. е. 0,1.
Задача 4. В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам.
Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам.
Решение: Из 25 билетов 15 не содержат вопроса по неравенствам, поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам, равна 15/25, т. е. 0,6.
Задача 5. В сборнике билетов по химии всего 35 билетов, в 7 из них встречается вопрос по кислотам.
Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по кислотам.
Решение: Из 35 билетов 28 не содержат вопроса по кислотам, поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по кислотам, равна 28/35, т. е. 0,8.
Задача 6. В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 2 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Решение: Если из 500 насосов 2 подтекают, то 498 не подтекают. Следовательно, вероятность выбора хорошего насоса — 498/500, т. е. 0,996.
Задача 7. Вероятность того, что новый пылесос в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,065. В некотором городе из 1000 проданных пылесосов в течение года в гарантийную мастерскую поступило 70 штук.
На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?
Решение: Частота события «гарантийный ремонт» равна 70/1000, т. е. 0,07. Она отличается от предсказанной вероятности на 0,005 (0,07 – 0,065 = 0,005).
Задача 8. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 18 из России, 14 из Украины, остальные — из Белоруссии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием.
Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Белоруссии.
Решение: Всего участниц на чемпионате 50, а спортсменок из Белоруссии — 18 (50 – 18 – 14 = 18).
Вероятность того, что первой будет выступать спортсменка из Белоруссии — 18 из 50, т. е. 18/50, или 0,36.
Задача 9. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 80 докладов — первые три дня по 12 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой.
Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
Решение: За первые три дня будут прочитаны 36 докладов (12 ∙ 3 = 36), на последние два дня планируется 44 доклада. Поэтому на последний день запланировано 22 докладов (44 : 2 = 22). Значит, вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции, равна 22/80, т. е. 0,275.
Задача 10.
Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шахматистов, среди которых 14 участников из России, в том числе Егор Косов.
Найдите вероятность того, что в первом туре Егор Косов будет играть с каким-либо шахматистом из России?
Решение: В первом туре Егор Косов может сыграть с 25 шахматистами (26 – 1 = 25), из которых 13 ― из России. Значит, вероятность того, что в первом туре Егор Косов будет играть с каким-либо шахматистом из России, равна 13/25, или 0,52.
Задача 11.
В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.
Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?
Решение: Вероятность того, что команда России окажется во второй группе, равна отношению количества карточек с номером 2, к общему числу карточек, т. е. 4/16, или 0,25.
Задача 12. В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин?
Решение: Выбирают двоих туристов из пяти. Следовательно, вероятность быть выбранным равна 2/5, т. е. 0,4.
Задача 13. В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.
Решение: На первом рейсе 6 мест, всего мест 30. Тогда вероятность того, что турист полетит первым рейсом вертолёта, равна 6/30, или 0,2.
Задача 14. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?
Решение: Натуральных чисел от 10 до 19 десять, из них на 3 делятся три числа: 12, 15 и 18. Следовательно, искомая вероятность равна 3/10, т. е. 0,3.
Вероятность нескольких событий
Задача 1. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Стартер» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стратор». Найдите вероятность того, что «Стартер» будет начинать только вторую игру.
Решение:
Тип вопроса: совмещение событий.
Нас устроит следующий вариант: «Статор» не начинает первую игру, начинает вторую игру, не начинает третью игру. Вероятность такого развития событий равна произведению вероятностей каждого из этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, следовательно: 0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,125.
Задача 2. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей ― 1 очко, если проигрывает ― 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.
Решение:
Тип вопроса: совмещение событий.
Задачу выполняют несколько вариантов:
| Игра №1 | Игра №2 | Вероятность данного варианта |
| 3 | 1 | 0,4 · 0,2 = 0,08 |
| 1 | 3 | 0,2 · 0,4 = 0,08 |
| 3 | 3 | 0,4 · 0,4 = 0,16 |
Вероятность происхождения какого-либо их этих 3-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 0,08 + 0,08 + 0,16 = 0,32.
Задача 3. В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того что Аня и Нина окажутся в одной группе.
Решение:
Тип вопроса: уменьшение групп.
Вероятность попадания Ани в одну из групп равна 1. Вероятность попадания Нины в ту же группу равна 2 из 20 (2 оставшихся места в группе, а человек осталось 20). 2/20 = 1/10 = 0,1.
Задача 4. В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублёвые монеты лежат в одном кармане.
Решение:
Способ №1
Тип задачи: уменьшение групп.
Представим, что шесть монет делят на две группы по три монеты. Вероятность, что первая однорублевая монета попадет в один из карманов (групп) = 1.
Вероятность, что две двухрублевые монеты попадут в этот же карман = количество оставшихся мест в этом кармане/на количество оставшихся мест в обоих карманах = 2/5 = 0,4.
Способ №2
Тип вопроса: совмещение событий.
Задачу выполняют в несколько вариантов:
Если Петя переложил в другой карман три из четырех рублевых монет (а двухрублевые не перекладывал), или если переложил в другой карман обе двухрублевые монеты и одну рублевую одним из трех способов: 1, 2, 2; 2, 1, 2; 2, 2, 1. Можно изобразить это на схеме (перекладывает Петя в карман 2, поэтому будем высчитывать вероятности в колонке «карман 2»):
Вероятность происхождения какого-либо их этих 4-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 
Задача 5. В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.
Решение:
Тип задачи: уменьшение групп.
Способ №1
Представим, что шесть монет делят на две группы по три монеты. Вероятность, что первая двухрублевая монета попадет в один из карманов (групп) = 1. Вероятность, что вторая монета попадет в другой карман = количество оставшихся мест в другом/ на количество оставшихся мест в обоих карманах = 3/5 = 0,6.
Способ №2
Тип вопроса: совмещение событий.
Задачу выполняют несколько вариантов:
Чтобы пятирублевые монеты оказались в разных карманах, Петя должен взять из кармана одну пятирублевую и две десятирублевые монеты. Это можно сделать тремя способами: 5, 10, 10; 10, 5, 10 или 10, 10, 5. Можно изобразить это на схеме (перекладывает Петя в карман 2, поэтому будем высчитывать вероятности в колонке «карман 2»):
Вероятность происхождения какого-либо их этих 4-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 
Задача 6. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
Решение: Тип вопроса: нахождение желаемого и действительного совмещение событий Нас устраивают три варианта:
Орёл ― решка ― орёл;
Орёл ― орёл ― решка;
Решка ― орёл ― орёл;
Вероятность каждого случая ― 1/2, а каждого варианта ― 1/8 (1/2 ∙ 1/2 ∙ 1/2 = 1/8)
Нас устроит либо первый, либо второй, либо третий вариант. Следовательно, складываем их вероятности и получаем 3/8 (1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8), т. е. 0,375.
Задача 7. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,34. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Решение:
Тип вопроса: совмещение событий.
В любом случае А. будет играть как белыми, так и черными, поэтому нас устроит вариант, когда гроссмейстер А. выиграет, играя белыми (вероятность ― 0,5), а также играя чёрными (вероятность ― 0,34). Поэтому надо перемножить вероятности этих двух событий: 0,5 ∙ 0,34 = 0,17.
Задача 8. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,02. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
Решение:
Тип вопроса: совмещение событий.
Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,98. Покупателю надо, чтобы и первая, и вторая батарейка были исправны: 0,98 · 0,98 = 0,9604.
Задача 9. На рок-фестивале выступают группы ― по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из США будет выступать после группы из Канады и после группы из Китая? Результат округлите до сотых.
Решение:
Тип вопроса: совмещение событий.
Общее количество выступающих на фестивале групп для ответа на вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть 6 способов взаимного расположения среди выступающих (КИТ — Китай, КАН = Канада):
… США, КАН, КИТ …
… США, КИТ, КАН …
… КИТ, США, КАН …
… КАН, США, КИТ …
… КАН, КИТ, США …
… КИТ, КАН, США …
США находится после Китая и Канады в двух последних случаях. Поэтому вероятность того, что группы случайным образом будут распределены именно так, равна:
≈ 0,33.
Дополняющая вероятность
Задача 1.
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,97. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05.
Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована.
Решение:
Существуют 2 варианта, которые нам подходят:
Вариант А: батарейка забракована, она неисправна;
Вариант Б: батарейка забракована, она исправна.
Вероятность варианта А: 0,02 ∙ 0,97 = 0,0194;
Вероятность варианта Б: 0,05 ∙ 0,98 = 0,049;
Нас устроит либо первый, либо второй вариант: 0,0194 + 0,049 = 0,0684.
Задача 2. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 60% этих стекол, вторая — 40%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 5%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Решение:
Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: 0,6 · 0,03 = 0,018.
Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: 0,4 · 0,05 = 0,02.
Вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным, равна 0,018 + 0,02 = 0,038.
Задача 3. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до тысячных.
Решение:
Предположим, у нас х тарелок изначально (ведь мы постоянно имеем дело с процентами, поэтому нам ничего не мешает оперировать конкретными величинами).
Тогда 0,1х — дефектные тарелки, а 0,9х — нормальные, которые поступят в магазин сразу. Из дефектных убирается 80%, то есть 0,08х, и остаётся 0,02х, которые тоже пойдут в магазин. Таким образом, общее количество тарелок на полках в магазине окажется: 0,9х + 0,02х = 0,92х. Из них нормальными будет 0,9х. Соответственно, по формуле вероятность будет 0,9х/0,92х ≈ 0,978.
Задача 4. По отзывам покупателей Игорь Игоревич оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,91. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,89. Игорь Игоревич заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.
Решение. Вероятность того, что первый магазин не доставит товар, равна 1 − 0,91 = 0,09. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар, равна 1 − 0,89 = 0,11. Вероятность происхождения двух этих событий одновременно равна произведению вероятностей каждого из них: 0,09 · 0,11 = 0,0099.
Задача 5. При изготовлении подшипников диаметром 70 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного меньше чем на 0,01 мм, равна 0,961. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 69,99 мм или больше чем 70,01 мм.
Решение: Нам дана вероятность события, при котором диаметр будет в пределах между 69,99 мм и 70,01 мм, и она равна 0,961. Вероятность всех остальных вариантов мы можем найти по принципу дополняющей вероятности: 1 − 0,961 = 0,039.
Задача 6. Вероятность того, что на тесте по истории учащийся верно решит больше 9 задач, равна 0,68. Вероятность того, что верно решит больше 8 задач, равна 0,78. Найдите вероятность того, что верно решит ровно 9 задач.
Решение: Вероятность того, что Т. верно решит более 8 задач, включает в себя вероятность решения ровно 9 задач. При этом, события, при которых О. решит больше 9 задач, нам не подходят. Следовательно, отняв от вероятности решения более 9 задач вероятность решения более 8 задач, мы и найдём вероятность решения только 9 задач: 0,78 – 0,68 = 0,1.
Задача 7. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 21 пассажира, равна 0,88. Вероятность того, что окажется меньше 12 пассажиров, равна 0,66. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 12 до 20.
Решение. Вероятность того, что в автобусе окажется меньше 21 пассажира, включает в себя вероятность, что в нём окажутся от 12 до 20 пассажиров. При этом события, при которых пассажиров будет меньше 12, нам не подходят. Следовательно, отняв от первой вероятности (менее 21) вторую вероятность (менее 12), мы и найдём вероятность того, что пассажиров будет от 12 до 20 : 0,88 – 0,66 = 0,22.
Задача 8. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 10 апреля погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 13 апреля в Волшебной стране будет отличная погода.
Решение:
Задачу выполняют несколько вариантов («Х» — хорошая погода, «О» — отличная погода):
| 11 апреля | 12 апреля | 13 апреля | Вероятность данного варианта |
| X – 0,9 | X – 0,9 | O – 0,1 | 0,9 ·0,9 ·0,1 = 0,081 |
| X – 0,9 | O – 0,1 | O – 0,9 | 0,9 ·0,1 ·0,9 = 0,081 |
| O – 0,1 | O – 0,9 | O – 0,9 | 0,1 ·0,9 ·0,9 = 0,081 |
| O – 0,1 | X – 0,1 | O – 0,1 | 0,1 ·0,1 ·0,1 = 0,001 |
Вероятность происхождения какого-либо их этих 4-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 0,081 + 0,081 + 0,081 + 0,001 = 0,244.
Задача 9. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.
Решение:
Задачу выполняют несколько вариантов («Х» ― хорошая погода, «О» ― отличная погода):
| 4 июля | 5 июля | 6 июля | Вероятность данного варианта |
| X – 0,8 | X – 0,8 | O – 0,2 | 0,8 · 0,8 · 0,2 = 0,128 |
| X – 0,8 | O – 0,2 | O – 0,8 | 0,8 · 0,2 · 0,8 = 0,128 |
| O – 0,2 | O − 0,8 | O − 0,8 | 0,2 · 0,8 · 0,8 = 0,128 |
| O – 0,2 | X – 0,2 | O – 0,2 | 0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,008 |
Вероятность происхождения какого-либо их этих 4 ― х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 0,128 + 0,128 + 0,128 + 0,008 = 0,392.
Раздел «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» в материалах открытого банка заданий ФИПИ по математике ЕГЭ базового уровня содержит 392 задачи на сорока страницах. В статье выделены несколько типов задач по различным темам курса теории вероятностей и предложены способы их решения. Каждый тип задач сопровождают минимально необходимые теоретические сведения. Формулировки задач скопированы с сайта ФИПИ.
1. Задачи на применение классической формулы определения вероятности события
Вероятностью события А называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу: 
.
Задача 1.1. На семинар приехали 6 учёных из Норвегии, 5 из России и 9 из Испании. Каждый учёный подготовил один доклад. Порядок докладов определяется случайным образом. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад учёного из России.
Решение. Число благоприятных исходов –это и есть число участников семинара из России. Их пятеро. Общее число исходов 6+5+9=20, -это количество учёных, участвующих в семинаре. Итак, искомая вероятность равна 
.
Замечание: решительно всё равно, каким по счёту, восьмым, как в условии задачи, или первым, вторым, третьим, …, двадцатым будет выступать российский докладчик. Искомая вероятность зависит только от количества российских учёных и общего количества участников.
Ответ: 0,25.
Задача 1.2. В кармане у Дани было пять конфет — «Ласточка», «Взлётная», «Василёк», «Грильяж» и «Гусиные лапки», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Даня случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что упала конфета «Взлётная».
Решение. Конфета «Взлётная» — одна, всего конфет – 5. Вероятность того, что выпала именно она, равна
Ответ: 0,2.
Задача 1.3. На борту самолёта 26 мест рядом с запасными выходами и 10 мест
за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Д. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру Д. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.
Решение: Удобных для пассажира Д. мест 26+10=36. Общее число мест для пассажиров -300. Значит, искомая вероятность равна
Задача 1.4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
Решение. Перечислим все возможные исходы (их 4) при двух бросаниях монеты:
| N исходов |
Первое бросание |
Второе бросание |
|
1 |
Решка |
Решка |
|
2 |
Орёл |
Орёл |
|
3 |
Орёл |
Решка |
|
4 |
Решка |
Орёл |
Видно из таблицы, что интересующему нас событию (ровно двум появлениям орла) благоприятствует исход с номером 2. Он единственный, а возможных исходов в нашем случае – 4. Стало быть, искомая вероятность равна
Ответ: 0,25.
Задача 1.5. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.
Решение: Ровно один раз орёл выпадает в исходах под номерами 2 и 3 (см. таблицу к задаче 1.4). Отношение числа благоприятных исходов (2) к общему числу всех равновозможных исходов (4) определяет вероятность интересующего нас события:
Ответ: 0,5.
Задача 1.6. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет хотя бы один раз.
Событие «орёл выпадет хотя бы один раз» означает, что орёл появится либо один раз (первым или вторым), либо оба раза, что возможно при реализации исходов 2,3,4. Благоприятных исходов, таким образом, три, при общем количестве возможных – четырёх. Вероятность, согласно классической формуле, равна 
Ответ: 0,75.
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
Задача 1.7. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
Решение: Орёл выпадает оба раза – один исход при двух бросаниях математической монеты из четырёх возможных. Значит, вероятность равна 
.
Ответ: 0,25.
Задача 1.8. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что во второй раз выпадет то же, что и в первый.
Решение: Формулировка «во второй раз выпадет то же, что и в первый» означает, что могут выпасть подряд два орла, либо выпадают две решки подряд, что соответствует исходам 1 и 2 в таблице к задаче 1.4. При общем количестве (их 4) равновозможных исходов вычисляем вероятность 
.
Ответ: 0,5.
Задача 1.9. Найдите вероятность того, что случайно выбранное трёхзначное число делится на 25.
Решение: Найдем количество трёхзначных чисел. Первое из них -100. Последнее -999. Значит, их всего 999-100+1=900. Определяем количество чисел, кратных 25. Первое из них – 100. Последнее – 975. Таких чисел 
По классической формуле вычисляем вероятность 
.
Ответ: 0,04.
Задача 1.10. Найдите вероятность того, что случайно выбранное трёхзначное число делится на 33.
Решение: Как и в задаче 1.10, общее число всех равновозможных исходов 900. Первое трёхзначное число, кратное 33, это — 132. Последнее из них – 990. Таким образом, благоприятных исходов, т.е. трёхзначных чисел, кратных 33, всего
Ответ: 0,03.
Задача 1.11. В коробке вперемешку лежат чайные пакетики с чёрным и зелёным чаем, одинаковые на вид, причём пакетиков с чёрным чаем в 4 раза больше, чем пакетиков с зелёным. Найдите вероятность того, что случайно выбранный
из этой коробки пакетик окажется пакетиком с зелёным чаем.
Решение: Примем количество пакетиков с зелёным чаем за х, тогда количество пакетиков с чёрным чаем будет равно 4х, и общее количество пакетиков с чаем определится как х+4х=5х (пакетиков). Вероятность того, что случайно выбранный из этой коробки пакетик окажется пакетиком с зелёным чаем, согласно классической формуле, определяется отношением
Ответ: 0,2.
Задача 1.12. На олимпиаде по русскому языку участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 130 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 400 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
Решение: Найдём количество человек, писавших олимпиаду в запасной аудитории: 400-(130+130) =140. Значит, искомая вероятность равна 
.
Ответ: 0,35.
Задача 1.13. В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают шестерых человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?
Решение: Для туриста Д., входящего в состав группы, для похода в магазин есть 6 благоприятных исходов. Общее число всех равновозможных исходов – количество туристов в группе (их 8 по условию задачи). Итак Р(А)=
Ответ: 0,75.
Задача 1.14. Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 50 докладов:
в первый день — 18 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется случайным образом. Какова вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
Решение: Последний день конференции – третий. Количество докладов, запланированных во второй, а также и в третий день конференции: 
Это и есть число благоприятных для профессора М. исходов. Вычисляем вероятность выступления докладчика в третий день: 
.
Ответ: 0,32.
Задача 1.15. На экзамене будет 50 билетов, Оскар не выучил 7 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение: Невелик у Оскара шанс получить выученный билет: 
.
Ответ: 0,14.
Задача 1.16. В фирме такси в наличии 12 легковых автомобилей: 3 из них чёрного цвета
с жёлтыми надписями на боках, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.
Решение: Жёлтых с чёрными надписями машин -9. Разделив их на общее число машин фирмы (12), получаем:
Ответ: 0,75.
2. Задачи на нахождение вероятности противоположного события
Определение. Противоположными событиями называют два несовместных события, образующих полную группу.
Два события называются несовместными, если они не могут появиться одновременно в результате однократного опыта. События образуют полную группу, если в результате опыта одно из событий обязательно произойдёт. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т.е. 
. Здесь 
— вероятность события, противоположного событию А.
Задача 2.1. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо или вовсе
не пишет, равна 0,21. Покупатель, не глядя, берёт одну шариковую ручку
из коробки. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.
Решение. Событие А – новая шариковая ручка пишет плохо или вовсе
не пишет. Событие 
— ручка пишет хорошо. Эти события – противоположные. Р(А)=0,21. Р(
Ответ: 0,79.
Задача 2.2. В среднем из 140 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекает. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Решение: Событие А — насос подтекает, событие 
– насос не подтекает.
Ответ: 0,95.
Задача 2.3. Из 600 луковиц тюльпанов в среднем 48 не прорастают. Какова вероятность того, что случайно выбранная и посаженная луковица прорастёт?
Решение. Событие – «случайно выбранная и посаженная луковица прорастёт» противоположно событию «что случайно выбранная и посаженная луковица не прорастёт». Поэтому 
.
Ответ: 0,92.
3. Задачи на применение теоремы сложения вероятностей для несовместных событий
Суммой (А+В) двух событий А и В называют событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий А или В.
Сложение вероятностей используется тогда, когда нужно вычислить вероятность суммы случайных событий.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность того, что произойдёт одно из двух несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий: 
.
Задача 3.1. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос
по теме «Внешние углы», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение: событие А – достанется вопрос по теме «Вписанная окружность», событие В – достанется вопрос по теме «Внешние углы», тогда событие А+В — на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Учитывая, что «Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет», применяем теорему сложения вероятностей для двух несовместных событий: P(А+В) = 0,35+0,25 = 0,6.
Ответ: 0,6.
Задача 3.2. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,3. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение: Как и при решении задачи 3.1, применяем теорему сложения вероятностей для двух несовместных событий: P(А+В) = 0,3+0,25 = 0,55.
Ответ: 0,55.
Задачи по теории вероятноти
Вероятностью
события A называют отношение числа m
благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n
всех равновозможных несовместимых событий, которые могут произойти в результате
одного испытания или наблюдения:
Р = 
Пусть k – количество бросков монеты, тогда
количество всевозможных исходов: n = 2k.
Пусть k – количество бросков кубика, тогда
количество всевозможных исходов: n = 6k.
Свойства вероятностей
Свойство
1. Вероятность достоверного события равна единице: Р(А)
= 1.
Свойство
2. Вероятность
невозможного события равна нулю: Р(А)
= 0.
Свойство
3. Вероятность случайного события есть положительное число,
заключенное между нулем и единицей: 0 ≤
Р(А) ≤ 1.
Задача №1
В случайном эксперименте
бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8
очков. Результат округлите до сотых.
Решение.
Игральные кости – это кубики с 6 гранями. На первом кубике может
выпасть 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Каждому варианту выпадения очков
соответствует 6 вариантов выпадения очков на втором кубике.
Т.е. всего различных вариантов 6×6 = 36.
Варианты (исходы эксперимента) будут такие:
1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6
2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6
и т.д. …………………………
6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6
Подсчитаем количество исходов (вариантов), в которых сумма очков
двух кубиков равна 8.
2; 6 3; 5; 4; 4 5; 3 6; 2.
Всего 5 вариантов.
Найдем вероятность: 5/36 = 0,138 ≈ 0,14.
Задача №2
В случайном эксперименте
симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет
ровно один раз.
Решение.
Всего 4 варианта: о; о о; р р; р р; о.
Благоприятных 2: о; р и р; о.
Вероятность равна 2/4 = 1/2 = 0,5.
Задача №3
В чемпионате по гимнастике
участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные − из Китая. Порядок,
в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того,
что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.
Решение.
Всего участвует 20 спортсменок,
из которых 20 – 8 – 7 = 5 спортсменок из
Китая.
Вероятность того, что спортсменка,
выступающая первой, окажется из Китая, равна 5/20 = 1/4 = 0,25.
Задача №4
В среднем из 1000 садовых насосов,
поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно
выбранный для контроля насос не подтекает.
Решение:
1000 – 5 = 995 – насосов не подтекают.
Вероятность того, что один случайно
выбранный для контроля насос не подтекает, равна 995/1000 = 0,995.
Задача №5
Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100
качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите
вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат
округлите до сотых.
Решение:
100 + 8 = 108 – сумок всего (качественных
и со скрытыми дефектами).
Вероятность того, что купленная сумка
окажется качественной, равна 100/108 = 0,(925) ≈ 0,93.
Задача №6
В соревнованиях по толканию ядра
участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из
Швеции и 5 − из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется
жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним,
окажется из Швеции.
Решение:
Всего участвует 4 + 7 + 9 + 5 = 25
спортсменов. Вероятность того, что спортсмен, который выступает последним,
окажется из Швеции, равна
9/25 =
36/100 = 0,36.
Задача №7
Научная конференция проводится в 5
дней. Всего запланировано 75 докладов − первые три дня по
17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями.
Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад
профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
Решение:
В последний день конференции запланировано
(75 – 17 × 3) : 2 = 12 докладов.
Вероятность того, что доклад профессора М.
окажется запланированным на последний день конференции, равна 12/75 = 4/25 =
0,16.
Задача №8
Конкурс исполнителей проводится в
5 дней. Всего заявлено 80 выступлений − по одному от каждой страны. В
первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися
днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что
выступление представителя России состоится в третий день конкурса?
Решение:
В третий день конкурса запланировано
(80 – 
: 4 = 18 выступлений.
Вероятность того, что выступление
представителя России состоится в третий день конкурса, равна
18/80
= 9/40 = 225/1000 = 0,225.
Задача №9
На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из
Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того,
что восьмым окажется доклад ученого из России.
Решение:
Всего участвует 3 + 3 + 4 = 10 ученых.
Вероятность того, что восьмым окажется
доклад ученого из России, равна 3/10 = 0,3.
Задача №10
Перед началом первого тура
чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом
с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых
10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того,
что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из
России?
Решение:
Нужно учесть, что Руслан Орлов должен
играть с каким-либо бадминтонистом из России. И сам Руслан Орлов тоже из
России.
Вероятность того, что в первом туре Руслан
Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России, равна 9/25 = 36/100
= 0,36.
Задача №11
В сборнике билетов по биологии
всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по ботанике. Найдите
вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику
достанется вопрос по ботанике.
Решение:
Вероятность того, что в случайно
выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике, равна
11/55 =1/5 = 0,2.
Задача №12
В сборнике билетов по
математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам.
Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику
не достанется вопроса по неравенствам.
Решение:
25 – 10 = 15 – билетов не содержат вопрос
по неравенствам.
Вероятность того, что в случайно выбранном
на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам, равна
15/25
= 3/5 = 0,6.
Задача №13
На чемпионате по прыжкам в
воду выступают 25 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 9 прыгунов из
Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность
того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая.
Решение:
Всего участвует 25 спортсменов.
Вероятность того, что шестым будет
выступать прыгун из Парагвая, равна 9/25 = 36/100 = 0,36.
Задача №14
Перед началом футбольного
матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая
владеть мячом. Команда «Меркурий» по очереди играет с командами
«Марс», «Юпитер», «Уран». Найдите вероятность
того, что во всех матчах право владеть мячом выиграет команда «Меркурий»?
Решение:
Обозначим право владения первой мячом команды «Меркурий» в матче с
одной из других трех команд как «Решка».
Тогда право владения второй мячом этой команды – «Орел». Итак, напишем все
возможные исходы бросания монеты три раза.
«О» – орел,
«Р» – решка.
|
«Марс» |
«Юпитер» |
«Уран» |
|
О |
О |
О |
|
О |
О |
Р |
|
О |
Р |
О |
|
О |
Р |
Р |
|
Р |
О |
О |
|
Р |
О |
Р |
|
Р |
Р |
О |
|
Р |
Р |
Р |
Итак, всего исходов получилось 8, нужных нам – 1, следовательно,
вероятность
выпадения нужного исхода 1/8 = 0,125.
Задача №15
Даша дважды бросает
игральный кубик. В сумме у нее выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что
при первом броске выпало 2 очка.
Решение.
В сумме на двух кубиках должно выпасть 8 очков. Это возможно, если
будут следующие комбинации:
2 и 6
6 и 2
3 и 5
5 и 3
4 и 4
Всего 5 вариантов. Подсчитаем количество исходов (вариантов), в
которых при первом броске выпало 2 очка.
Такой вариант 1.
Найдем вероятность: 1/5 = 0,2.
Задача №16
Тоша и Гоша играют в кости.
Они бросают кубик по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков.
Если очков выпало поровну, то наступает ничья. Первым бросил Тоша, у него
выпало 3 очка. Найдите вероятность того, что Гоша не выиграет.
Решение.
При условии, что у Тоши выпало 3 очка, возможны следующие
варианты:
3 и 1
3 и
2
3 и
3
3 и
4
3 и
5
3 и
6
Всего 6 вариантов. Подсчитаем количество исходов, в которых Гоша
не выиграет, т.е. наберет 1, 2 или 3 очка.
Таких вариантов 3.
Найдем вероятность: 3/6 = 0,5.
Задача №17
В чемпионате мира участвует 20
команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по четыре команды в
каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами
групп:
1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2,
3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.
Капитаны команд тянут по одной
карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется в третьей
группе.
Решение:
Всего команд
20, групп – 5.
В каждой
группе – 4 команды.
Итак, всего исходов получилось
20, нужных нам – 4, значит, вероятность выпадения нужного исхода 4/20 = 0,2.
Задача №18
Вася, Петя, Коля и Лёша
бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что
начинать игру должен будет Петя.
Решение:
Вероятность того, что игру должен будет
начинать любой из мальчиков равна
1/4 =
0,25.
В том числе и для Пети.
Задача №19
На клавиатуре телефона 10
цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет
чётной?
Решение:
Количество четных цифр на клавиатуре равно
5:
0, 2,
4, 6, 8
всего же цифр на клавиатуре 10, тогда
вероятность что случайно нажатая цифра будет чётной равна
5/10 =
0,5.
Задача №20
Две фабрики выпускают
одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих
стекол, вторая – 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая
– 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло
окажется бракованным.
Решение:
Вероятность того, что стекло куплено на
первой фабрике и оно бракованное:
р1 =
0,45 · 0,03 = 0,0135.
Вероятность того, что стекло куплено на
второй фабрике и оно бракованное:
р2 =
0,55 · 0,01 = 0,0055.
Поэтому по формуле полной вероятности
вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным
равна
р = р1 + р2 =
0,0135 + 0,0055 = 0,019.
Задача №21
Если гроссмейстер А. играет
белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет
черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3.
Гроссмейстеры А. и Б. играют
две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность
того, что А. выиграет оба раза.
Решение:
Возможность выиграть первую и вторую
партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий
равна произведению их вероятностей:
р =
0,52 · 0,3 = 0,156.
Задача №22
На экзамене по геометрии
школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность
того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность
того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые
одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на
экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение:
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме
вероятностей этих событий:
р =
0,2 + 0,15 = 0,35.
Задача №23
В торговом центре два
одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате
закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих
автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется
в обоих автоматах.
Решение:
Рассмотрим события
А = кофе закончится в первом автомате,
В = кофе закончится во втором автомате.
Тогда A·B = кофе закончится в обоих автоматах,
A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.
По условию P(A) = P(B) = 0,3;
P(A·B) = 0,12.
События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных
событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их
произведения:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48.
Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в
том, что кофе останется в обоих автоматах, равна
1 − 0,48 = 0,52.
Задача №24
Биатлонист пять раз стреляет
по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8.
Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а
последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых.
Решение:
Результат каждого следующего выстрела не зависит от предыдущих.
Поэтому события «попал при первом выстреле», «попал при втором выстреле» и т.д.
независимы.
Вероятность каждого попадания равна 0,8. Значит, вероятность
промаха равна 1 – 0,8 = 0,2.
1 выстрел: 0,8
2 выстрел: 0,8
3 выстрел: 0,8
4 выстрел: 0,2
5 выстрел: 0,2
По формуле умножения вероятностей независимых событий, получаем,
что искомая вероятность равна:
0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙
0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.
Задача №25
В магазине стоят два платёжных
автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от
другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
Решение:
Найдем вероятность того, что неисправны
оба автомата.
Эти события независимые, вероятность их
произведения равна произведению вероятностей этих событий:
0,05 · 0,05 = 0,0025.
Событие, состоящее в том, что исправен
хотя бы один автомат, противоположное.
Следовательно, его вероятность равна
1 − 0,0025 = 0,9975.
Задача №26
Помещение освещается фонарём с
двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3.
Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Решение:
Найдем вероятность того, что перегорят обе
лампы.
Эти события независимые, вероятность их
произведения равна произведению вероятностей этих событий:
р1 = 0,3 · 0,3 = 0,09.
Событие, состоящее в том, что не перегорит
хотя бы одна лампа, противоположное.
Следовательно, его вероятность равна
р = 1
– р1 = 1 − 0,09 =
0,91.
Задача №27
Вероятность того, что новый
электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что
он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он
прослужит меньше двух лет, но больше года.
Решение:
Пусть A = «чайник прослужит
больше года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит больше двух
лет»,
тогда A + B = «чайник
прослужит больше года».
События A и В совместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих
событий, уменьшенной на вероятность их произведения. Вероятность произведения
этих событий, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года
– строго в тот же день, час и секунду – равна нулю. Тогда:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = P(A) + P(B),
откуда, используя данные из условия,
получаем
0,97 = P(A) + 0,89.
Тем самым, для искомой вероятности имеем:
P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.
Задача №28
Агрофирма закупает куриные
яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства – яйца
высшей категории, а из второго хозяйства – 20% яиц высшей категории. Всего
высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное
у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Решение:
Пусть х – искомая вероятность того, что
куплено яйцо, произведенное в первом хозяйстве.
Тогда 1 – х вероятность того, что куплено
яйцо, произведенное во втором хозяйстве.
По формуле полной вероятности имеем:
0,4х +
0,2(1 – х) = 0,35
0,2х =
0,15
х =
0,75
Задача №29
Какова вероятность того, что
случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?
Решение:
10,
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
Р =
0,3
Задача №30
Ковбой Джон попадает в муху на
стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон
стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью
0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон
видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в
муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
Решение:
Вероятность
того, что Джон промахнется, если схватит пристрелянный револьвер равна:
0,4 ·
(1 − 0,9) = 0,04
Вероятность
того, что Джон промахнется, если схватит непристрелянный револьвер равна:
0,6 ·
(1 − 0,2) = 0,48
Эти события
несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:
0,04 + 0,48 = 0,52.
Задача №31
В группе туристов 5 человек. С
помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за
продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию.
Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин?
Решение:
Всего
туристов пять, случайным образом из них выбирают двоих.
Вероятность
быть выбранным равна
Р = 2/5 = 0,4.
Задача №32
Перед началом футбольного
матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с
мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите
вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.
Решение:
Обозначим право владения первой мячом команды «Физик» в матче с одной из
трех команд как «Орел». Тогда право владения второй мячом этой
команды – «Решка». Итак, запишем все возможные исходы бросания монеты три раза
в таблице:
|
Ф/1 |
ОР |
ОР |
ОР |
ОР |
РО |
РО |
РО |
РО |
|
Ф/2 |
ОР |
ОР |
РО |
РО |
ОР |
ОР |
РО |
РО |
|
Ф/3 |
ОР |
РО |
ОР |
РО |
ОР |
РО |
ОР |
РО |
«О» – орел,
«Р» – решка.
Итак, всего исходов получилось 23 = 8, нужных нам – 3,
следовательно, вероятность выпадения нужного исхода равна:
3/8 = 0,375.
Задача №33
Игральный кубик бросают
дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «А = сумма
очков равна 5»?
Решение:
В сумме должно выпасть 5 очков. Это возможно, если будут следующие
комбинации:
1 и 4
4 и 1
2 и 3
3 и 2
Всего 4 варианта.
Задача №34
В случайном эксперименте
симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что наступит
исход ОР (в первый раз выпадает орёл, во второй – решка).
Решение.
Всего 4 варианта: о; о о; р р; р р; о.
Благоприятных 1: о; р.
Вероятность равна 1/4 = 0,25.
Задача №35
На рок-фестивале выступают
группы – по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления
определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет
выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат
округлите до сотых.
Решение:
Общее количество выступающих на фестивале групп для ответа на
вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть 6 способов
взаимного расположения среди выступающих (Д – Дания, Ш –Швеция, Н – Норвегия):
Д − Ш − Н
Д − Н − Ш
Ш − Н − Д
Ш − Д − Н
Н − Д − Ш
Н − Ш − Д
Дания находится после Швеции и Норвегии в двух случаях. Поэтому
вероятность того, что группы случайным образом будут распределены именно так,
равна
Р = 2/6 = 1/3 ≈ 0,33
Задача №36
При артиллерийской стрельбе автоматическая
система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает
повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет
уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна
0,4, а при каждом последующем – 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того,
чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?
Решение:
Можно решать задачу «по
действиям», вычисляя вероятность уцелеть после ряда последовательных промахов:
Р(1) = 0,6;
Р(2) = Р(1)
· 0,4 = 0,24;
Р(3) = Р(2)
· 0,4 = 0,096;
Р(4) = Р(3)
· 0,4 = 0,0384;
Р(5) = Р(4)
· 0,4 = 0,01536.
Последняя вероятность меньше 0,02, поэтому достаточно пяти
выстрелов по мишени.
Ответ: 5
Задача №37
Чтобы пройти в следующий круг соревнований,
футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда
выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей – 1 очко, если проигрывает – 0
очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг
соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша
одинаковы и равны 0,4.
Решение:
Команда может получить не меньше 4
очков в двух играх тремя способами:
3 + 1, 1 + 3, 3 + 3.
Эти события несовместны,
вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Каждое из этих событий
представляет собой произведение двух независимых событий – результата в первой
и во второй игре. Отсюда имеем:
P(N ≥ 4) = P(3 + 1) + P(1 + 3) + P(3 + 3) =
= P(3) · P(1) + P(1) · P(3) + P(3) · P(3) =
= 0,4 · 0,2 + 0,2 · 0,4 + 0,4 ·
0,4 =
= 0,08 + 0,08 + 0,16 = 0,32.
Ответ: 0,32
Задача №38
В некотором городе из 5000
появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек
в этом городе. Результат округлите до тысячных.
Решение:
Из 5000 тысяч новорожденных 5000 − 2512 =
2488 девочек. Поэтому частота рождения девочек равна:
2488/5000 = 0,4976 ≈ 0,498
Ответ: 0,498
Задача №39
На борту самолёта 12 мест рядом с
запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные
места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста.
Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места
пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.
Решение:
В самолете
12 + 18 = 30 мест удобны пассажиру В., а всего в самолете
300 мест. Поэтому вероятность того, что пассажиру В. достанется удобное место
равна
P = 30 : 300 = 0,1.
Ответ: 0,1
Задача №40
На олимпиаде в вузе участников
рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 120 человек, оставшихся
проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что
всего было 250 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный
участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
Решение:
Всего в запасную аудиторию
направили
250 − 120
− 120 = 10 человек.
Поэтому вероятность того, что
случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории, равна
P = 10 : 250 = 0,04.
Задача №41
В классе 26 человек, среди них
два близнеца – Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по
13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в
одной группе.
Решение:
Пусть один из близнецов находится
в некоторой группе.
Вместе с ним в группе окажутся 12
человек из 25 оставшихся одноклассников.
Вероятность того, что второй
близнец окажется среди этих 12 человек, равна
P = 12 : 25 = 0,48.
Задача №42
В фирме такси в наличии 50
легковых автомобилей; 27 из них чёрные с жёлтыми надписями на бортах, остальные
– жёлтые с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов
приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.
Решение:
Машин желтого цвета с черными
надписями 23, всего машин 50. Поэтому вероятность того, что на случайный вызов
приедет машина желтого цвета с черными надписями, равна:
P = 23 : 50 = 0,46.
Задача №43
В группе туристов 30 человек. Их
вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек
за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите
вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.
Решение:
На первом рейсе 6 мест, всего мест
30. Тогда вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта,
равна:
P = 6 : 30 = 0,2.
№44
Вероятность того, что новый
DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В
некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в
гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота
события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?
Решение:
Частота (относительная частота)
события «гарантийный ремонт» равна
51 : 1000 = 0,051.
Она отличается от предсказанной
вероятности на
0,051 – 0,045 = 0,006.
Ответ: 0,006
Задача №45
При изготовлении подшипников
диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не
больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный
подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 66,99 мм, или больше, чем 67,01 мм.
Решение:
По условию, диаметр подшипника
будет находиться в пределах от 66,99 до 67,01 мм с вероятностью 0,965. Поэтому
искомая вероятность противоположного события равна
1 − 0,965 = 0,035.
Ответ: 0,035
Задача №46
Вероятность того, что на тесте
по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность
того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того,
что О. верно решит ровно 11 задач.
Решение:
Рассмотрим события A = «учащийся
решит 11 задач» и
В = «учащийся решит больше 11
задач».
Их сумма – событие
A + B = «учащийся решит больше 10 задач». События A и В
несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:
P(A + B) = P(A) + P(B).
Тогда, используя данные задачи,
получаем:
0,74 = P(A) + 0,67,
откуда P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07.
Ответ: 0,07
Задача №47
Чтобы поступить в институт на
специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70
баллов по каждому из трёх предметов – математика, русский язык и
иностранный язык. Чтобы поступить на на специальность «Коммерция», нужно
набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов – математика,
русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент
З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому
языку – 0,8, по иностранному языку – 0,7 и по обществознанию –
0,5.
Найдите вероятность того, что З.
сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
Решение:
Для того, чтобы поступить хоть
куда-нибудь, З. нужно сдать и русский, и математику как минимум на 70 баллов, а
помимо этого еще сдать иностранный язык или обществознание не менее, чем на 70
баллов. Пусть A, B, C и D – это события, в которых З. сдает соответственно
математику, русский, иностранный и обществознание не менее, чем на 70 баллов.
Тогда поскольку
Р(С + D) = P(C) + P(D) – P(C · D),
для вероятности поступления имеем:
P(AB(C + D)) = P(A) · P(B) · P(C + D) = P(A) · P(B) · (P(C) + P(D) – P(C) · P(D)) =
= 0,6 · 0,8 · (0,7 + 0,5 – 0,7 · 0,5) = 0,408.
Ответ: 0,408
№48
На фабрике керамической посуды 10%
произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется
80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите
вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов.
Ответ округлите до сотых.
Решение:
Пусть завод произвел n тарелок. В продажу поступят все
качественные тарелки и 20% невыявленных дефектных тарелок: 0,9n + 0,2 · 0,1n = 0,92n тарелок. Поскольку качественных из них
0,9n, вероятность купить качественную
тарелку равна:
Задача №49
В магазине три продавца. Каждый из
них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в
случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что
клиенты заходят независимо друг от друга).
Решение:
Вероятность произведения
независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Поэтому вероятность того, что все
три продавца заняты равна:
Задача №50
По отзывам покупателей Иван
Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что
нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот
товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих
магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга,
найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.
Решение:
Вероятность того, что первый
магазин не доставит товар равна:
Р1 =
1 − 0,9 = 0,1.
Вероятность того, что второй
магазин не доставит товар равна:
Р2 =
1 − 0,8 = 0,2.
Поскольку эти события
независимы, вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар) равна
произведению вероятностей этих событий:
Р1 · Р2 = 0,1 · 0,2 = 0,02
Ответ: 0,02
Задача №51
Из районного центра в деревню
ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе
окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется
меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров
будет от 15 до 19.
Решение:
Рассмотрим события A = «в автобусе меньше
15 пассажиров»
и В = «в автобусе от 15 до 19 пассажиров».
Их сумма – событие
A + B = «в автобусе меньше 20 пассажиров». События A и В
несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:
P(A + B) = P(A) + P(B).
Тогда, используя данные задачи, получаем:
0,94 = 0,56 + P(В),
откуда P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38.
Ответ: 0,38
Задача №52
Перед началом волейбольного матча
капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт
игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и
«Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую
и последнюю игры.
Решение:
Требуется найти вероятность
произведения трех событий: «Статор» начинает первую игру, не начинает вторую
игру, начинает третью игру.
Вероятность произведения
независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Вероятность
каждого из них равна 0,5, откуда находим:
0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,125.
Ответ: 0,125
Задача №53
В Волшебной стране бывает два типа
погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится
неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет
такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая.
Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.
Решение:
Для погоды на 4, 5 и 6 июля
есть 4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х – хорошая, О – отличная погода).
Найдем вероятности наступления такой погоды:
P(XXO) = 0,8 · 0,8 ·
0,2 = 0,128;
P(XOO) = 0,8 · 0,2 · 0,8 =
0,128;
P(OXO) = 0,2 · 0,2 · 0,2 =
0,008;
P(OOO) = 0,2 · 0,8 · 0,8 =
0,128.
Указанные события несовместные, вероятность их сумы равна сумме
вероятностей этих событий:
P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) =
= 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.
Ответ: 0,392
Задача №54
Всем пациентам с подозрением на
гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа
называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт
положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то
анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно,
что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны
гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента,
поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.
Решение:
Анализ пациента может быть положительным
по двум причинам: а) пациент болеет гепатитом, его анализ верен;
б) пациент не болеет гепатитом, его анализ
ложен.
Это несовместные события,
вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Имеем:
P(A) =
0,9 · 0,05 = 0,045,
P(B) =
0,01 · 0,95 = 0,0095,
P(A + B)
= P(A) + P(B) = 0,045 + 0,0095 = 0,0545.
Ответ: 0,0545
Задача №55
В кармане у Миши было четыре
конфеты – «Грильяж», «Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а так же ключи от
квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите
вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж».
Решение:
В кармане было 4 конфеты, а выпала
одна конфета. Поэтому вероятность этого события равна одной четвертой.
Ответ: 0,25
Задача №56
Механические часы с
двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить.
Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но
не дойдя до отметки 1 час.
Решение:
На циферблате между десятью часами
и одним часом три часовых деления. Всего на циферблате 12 часовых делений.
Поэтому искомая вероятность равна:
Ответ: 0,25
Задача №57
Вероятность того, что
батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную
упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе
батарейки окажутся исправными.
Решение:
Вероятность того, что батарейка исправна,
равна 0,94.
Вероятность произведения
независимых событий (обе батарейки окажутся исправными) равна произведению
вероятностей этих событий:
0,94 · 0,94 = 0,8836.
Ответ: 0,8836
Задача №58
Автоматическая линия изготавливает
батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02.
Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того,
что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что
система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите
вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет
забракована системой контроля.
Решение:
Ситуация, при которой батарейка
будет забракована, может сложиться в результате событий:
A = «батарейка действительно
неисправна и забракована» или
В = «батарейка исправна, но по
ошибке забракована».
Это несовместные события,
вероятность их суммы равна сумме вероятностей эти событий.
Имеем:
P(A + B) = P(A) + P(B) = 0,02 · 0,99 +
0,98 · 0,01 =
= 0,0198 + 0,0098 = 0,0296.
Ответ: 0,0296
Задача №59
На рисунке изображён лабиринт.
Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не
может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому
ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с
какой вероятностью паук придёт к выходу D.
Решение:
На каждой из четырех отмеченных
развилок паук с вероятностью 0,5 может выбрать или путь, ведущий к выходу D,
или другой путь. Это независимые события, вероятность их произведения (паук
дойдет до выхода D) равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому
вероятность прийти к выходу D равна (0,5)4 = 0,0625.
Ответ: 0,0625
Теория вероятностей для сдачи ОГЭ и ЕГЭ
Справится с задачей по теории вероятности можно запросто, если знаешь формулу нахождения вероятности и если повезет с задачей. Пока практика показывает, что на экзамене даются задачи проще, чем на пробнике.
К таким простым задачам будем относить задачи из разряда «на тарелке лежат столько-то пирожков, найти вероятность, что попадется пирожок с вишней», с кубиками/монетками и задачки на подобие «найти вероятность того, что ручка не пишет, если вероятность того, что она пишет равна 0,6».
Все остальные типы задач будем считать сложными, т.к. не каждый сможет к ним подступиться без определенных знаний.
Начнем разбор задач с формулы нахождения вероятности:
P=m:n, где P – вероятность какого-либо события, m – благоприятные события (то, что нас спрашивают в вопросе), n – всевозможные события.
Разберемся с поиском благоприятных событий на примере.
#1.
Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию А=«сумма очков равна 10»?
Задаем себе вопрос: в каких случаях сумма очков будет равна 10?
| 1 кубик | 2 кубик | |
| 1 | 4 | 6 |
| 2 | 5 | 5 |
| 3 | 6 | 4 |
Это и есть все благоприятные события. Итого, их 3.
Ответ: 3.
Ну и теперь рассмотрим несколько простейших задач.
Простейшие задачи на нахождение вероятности.
#2.
На тарелке лежат 15 пирожков. Из них 4 с вишней, 5 с яблоком, остальные с абрикосом. Вова наугад берет пирожок. Найдите вероятность того, что ему попадется пирожок с абрикосом.
Благоприятные события – это пирожки с абрикосом. Их в тарелке 15-4-5=6.
Всевозможные события – это все пирожки. Их 15.
Вероятность=Благоприятные : Всевозможные, т.е.
P=6:15=0,4.
!!! Обратите внимание на то, что вероятность не может быть больше 1! Это связано с тем, что 100%-ая вероятность равна 1.
Ответ: 0,4.
#3.
На научной конференции будут выступать 3 докладчика из Германии, 2 из России и 5 из Японии. Найдите вероятность того, что последним будет выступать докладчик из России, если порядок выступления определяется жребием.
Благоприятные события – это российские докладчики. Их 2.
Всевозможные события – это все прибывшие докладчики. Их 3+2+5=10.
P=2:10=0,2
Ответ: 0,2
#4.
Из слова «МАТЕМАТИКА» случайным образом выбирается одна буква. Найдите вероятность того, что эта буква окажется гласной.
Благоприятные события – это гласные буквы. Их 5.
Всевозможные события – это все буквы в слове. Их 10.
Р=5:10=0,5
Ответ: 0,5
#5.
Из класса, в котором учатся 12 мальчиков и 8 девочек, выбирают по жребию одного дежурного. Найдите вероятность того, что дежурным окажется мальчик.
Благоприятные события – это все мальчики. Их 12.
Всевозможные события – все дети в классе. Их 12+8=20.
Р=12:20=0,6
Ответ: 0,6
#6.
В партии из 1000 компьютеров оказалось 5 бракованных. Какова вероятность купить исправный компьютер?
Благоприятные события – это исправные компьютеры. Их 1000-5=995.
Всевозможные события – это все компьютеры. Их 1000.
Р=995:1000=0,995
Ответ: 0,995
#7.
В урне лежат 3 белых, 2 желтых и 5 красных шаров. Найдите вероятность того, что извлеченный наугад шар будет красного цвета.
Благоприятные события – это красные шарики. Их 5.
Всевозможные события – это все шарики. Их 3+2+5=10.
Р=5:10=0,5
Ответ: 0,5
#8.
В каждой пятой банке кофе есть приз. Призы распределены случайно. Галя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Галя не найдет приз.
Благоприятные события – это банки, в которых нет приза. Их 4.
Всевозможные события – это все банки. Их 5.
P=4:5=0,8
Ответ: 0,8.
Из простых задач остались самые элементарные.
Мы уже знаем, что если какое-либо событие происходит стопроцентно, то его вероятность обозначают за 1.
Если вероятность выпадения снега 50%, то логично предположить, что вероятность того, что снег не выпадет равна так же 50%. Избавимся от процентов. Вероятность выпадения снега равна 0,5, вероятность невыпадения – 0,5. В сумме эти два числа равны 1.
Если вероятность того, что при письме карандаш сломается равна 0,24, то, чтобы найти вероятность того, что он не сломается, надо из 1 вычесть 0,24. Получится 0,76.
#9.
Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что ручка пишет хорошо.
Р=1-0,06=0,94
Ответ: 0,94.
Задачи с кубиками.
Следующий тип простых задач – это задачи с кубиками.
У кубика, как известно, 6 сторон. Значит, при подбрасывании одного кубика, всевозможных событий у нас будет 6. А при подбрасывании двух кубиков? Можно, конечно, расписать все варианты, но если кубиков не два, а три/четыре/пять? Всё время экзамена уйдет на это.
Нужно запомнить, что если количество сторон кубика возвести в степень, равную количеству кубиков, то мы получим число всевозможных событий.
6количество кубиков=всевозможные события
Для нахождения благоприятных событий такой формулы нет, поэтому разминаем мозг и ищем все самостоятельно.
#10.
В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 10 очков. Результат округлите до сотых.
Найдем благоприятные события. В каких случаях сумма очков будет равна 10? Распишем, главное, ничего не забыть.
| 1 кубик | 2 кубик | 3 кубик | |
| 1 | 1 | 3 | 6 |
| 2 | 1 | 4 | 5 |
| 3 | 1 | 5 | 4 |
| 4 | 1 | 6 | 3 |
| 5 | 2 | 2 | 6 |
| 6 | 2 | 3 | 5 |
| 7 | 2 | 4 | 4 |
| 8 | 2 | 5 | 3 |
| 9 | 2 | 6 | 2 |
| 10 | 3 | 1 | 6 |
| 11 | 3 | 2 | 5 |
| 12 | 3 | 3 | 4 |
| 13 | 3 | 4 | 3 |
| 14 | 3 | 5 | 2 |
| 15 | 3 | 6 | 1 |
| 16 | 4 | 1 | 5 |
| 17 | 4 | 2 | 4 |
| 18 | 4 |
3 |
3 |
| 19 | 4 | 4 | 2 |
| 20 | 4 | 5 | 1 |
| 21 | 5 | 1 | 4 |
| 22 | 5 | 2 | 3 |
| 23 | 5 | 3 | 2 |
| 24 | 5 | 4 | 1 |
| 25 | 6 | 1 | 3 |
| 26 | 6 | 2 | 2 |
| 27 | 6 | 3 | 1 |
Итого, благоприятных событий 27, а всевозможных – 63=216.
Р=27:216=0,125. Округляем до сотых – 0,13.
Ответ: 0,13.
#11.
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых.
С двумя кубиками совсем просто.
Всевозможных событий — 62=36
Благоприятных событий — 3 (в сумме выйдет 4, если выпадут 1 и 3, или 3 и 1, или 2 и 2)
Р=3:36=0,08333
Ответ: 0,08
Задачи с монетами.
Задачи с монетками похожи на задачки с кубиками, но придется все всевозможные варианты выписать, чтобы найти благоприятные. Не уверены, что выписали всё? По аналогии с кубиками, можно сделать проверку: количество сторон монеты возвести в степень, равную количеству монеток.
2количество монет=всевозможные события
#12.
Одновременно бросают две монеты. Найдите вероятность, что на обеих монетах выпадет орел.
О – орел, Р — решка
Благоприятных – 1
Всевозможных – 4
Р=1:4=0,25
Ответ: 0,25
#13.
Одновременно бросают три монеты. Найдите вероятность, что на выпадут два орла и одна решка.
Всевозможных событий у нас 23=8. Выпишем их.
| О | О | О |
| О | О | Р |
| О | Р | О |
| О | Р | Р |
| Р | О | О |
| Р | О | Р |
| Р | Р | О |
| Р | Р | Р |
Благоприятных событий 3.
Р=3:8=0,375
Ответ: 0,375.
На этом приятности заканчиваются, и начинаются неприятности.
Задачи на нахождение вероятности совместных и несовместных событий.
В предыдущих задачах события были случайными. Но еще есть такие виды событий как совместные и несовместные. Из названий понятно, что совместные события могут происходить одновременно, а несовместные нет. Например, к совместным событиям относятся снег с дождем, т.е. одновременно идет снег И дождь; к несовместным событиям относятся наступление дня и наступление ночи, т.к. в природе может быть ИЛИ день, ИЛИ ночь. Что-то одно.
Союзы и/или я выделила не просто так. В информатике есть тема «Логические операции». Правда не могу сказать, в каких классах ее изучают. Определенно в старших. В этой теме есть такие понятия как логическое сложение и логическое умножение. Так вот. Союз И отвечает за логическое умножение, а союз ИЛИ – за логическое сложение.
О чем это говорит? Если в задаче нам даны вероятности совместных событий, то их необходимо умножать. Если даны вероятности несовместных событий, то их будем складывать.
И – умножаем
ИЛИ — складываем
#14.
В уличном фонаре три лампы. Вероятность перегорания лампы в течении года равно 0,8. Найдите вероятность того, что в течении года хотя бы одна лампа не перегорит.
Начинаем рассуждать. Если лампа перегорает с вероятностью 0,8, то она не перегорает с вероятностью 1-0,8=0,2.
Возможны несколько случаев.
1) 1 лампа остается И 2 лампы перегорают. Вероятность такого расклада равна 0,2*0,8*0,8=0,128. Причем остаться гореть может первая лампа, вторая ИЛИ третья. Т.е. первый случай разбивается еще на три таких же. Учитывая этот факт, вероятность того, что одна лампа не перегорит, равна 0,128*3=0,384.
2) 2 лампы остаются И 1 перегорает. Этот случай так же разбивается на три. Найдем вероятность: (0,2*0,2*0,8)*3=0,096.
3) 3 лампы остаются гореть. И первая, и вторая, и третья. Вероятность данного события равна 0,2*0,2*0,2=0,008.
Что получаем на выходе? Произойти может или первый случай, или второй, или третий. Найдем вероятность:
Р=0,384+0,096+0,008=0,488
И решим задачу вторым способом. Более коротким.
Вероятность того, что все лампы перегорят (и первая, и вторая, и третья) равна 0,8*0,8*0,8=0,512
Т.к. нас интересует противоположный результат, то вероятность того, что в течении года хотя бы одна лампа не перегорит равна 1-0,512=0,488
Ответ: 0,488
#15.
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.
Вероятность ничьей = 1-0,4-0,4=0,2.
Команду ожидают две игры. За эти игры она должна набрать 4 очка. Это возможно осуществить тремя способами. Либо они одерживают победу в обоих играх, либо одерживают победу в первой игре и играют вничью во второй, либо играют вничью в первой игре и побеждают во второй. Расставим союзы и/или, чтобы составить полноценную формулу:
(победа и победа) или (победа и ничья) или (ничья и победа)
Заменяем союзы на знаки и получим, что вероятность того, что команда попадет в следующий тур равна 0,4*0,4+0,4*0,2+0,2*0,4=0,32.
Ответ: 0,32.
Успехов в учебе!
Автор статьи, но не задач: Васильева Анна