Как найти координаты вектора в базисе
Решение:
Записываем матрицу перехода А:
и находим ее определитель
<>0
Видим, что ранг матрицы С равен трем. Из теоремы о базисном миноре векторы f1 , f2 , f3 линейно независимы, а поэтому могут быть приняты в качестве базиса пространства R 3 .
Находим обратную матрицу А -1 .
Транспонированная матрица:
Обратная матрица А -1
Находим координаты вектора х относительно нового базиса.
Пример №1 . Даны векторы a<1;2;1>, b<2;-2;1>, c <1;-2;0>и d <0;3;1>. Установить, что векторы a , b , c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
Решение:
Соотношение, записанное для векторов d = αa + βb + γc, справедливо для каждой из проекций:
α*1 + β*2 + γ*1 = 0
α*2 — β*2 — γ*2 = 3
α*1 + β*1 + γ0 = 1 т.е. получена алгебраическая система трёх уравнений с тремя неизвестными. Решение системы удобнее вычислять методом Крамера или методом обратной матрицы:
α = 1/2; β = 1/2; γ = -3/2
следовательно, и вектор d имеет разложение в базисе a, b, c :
d = 1/2a + 1/2b — 3/2c
Пример №2 . Даны векторы 
. Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе:
Пример №3 . Даны два линейных преобразования:
х’1 = a11x1 + a12x2 + a13x3, х»1 = b11x’1 + b12x’2 + b13x’3,
х’2 = a21x1 + a22x2 + a23x3, х»2 = b21x’1 + b22x’2 + b23x’3,
х’3 = a31x1 + a32x2 + a33x3, х»3 = b31x’1 + b32x’2 + b33x’3,
Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее х»1, x»2, x»3 через х1, х2, х3.
х’1 = 4x1 + 3x2 + 5x3, х»1 = — x’1 + 3x’2 — 2x’3,
х’2 = 6x1 + 7x2 + x3, х»2 = — 4x’1 + x’2 + 2x’3,
х’3 = 9x1 + x2 + 8x3, х»3 = 3x’1 — 4x’2 + 5x’3,
Решение. Используя калькулятор, получаем:
Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.
Вычислим определитель матрицы А:
∆ = 4*(7*8 — 1*1) — 6*(3*8 — 1*5) + 9*(3*1 — 7*5) = -182
Определитель матрицы А равен detA=-182
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим слева обе части уравнения на A -1 : A -1 ·A·X = A -1 ·B, тогда получим E·X = A -1 ·B, или X = A -1 ·B.
Найдем обратную матрицу A -1 .
| A -1 = -1/182 |
|
Матрицу Х ищем по формуле:
| X = A -1 ·B = -1/182 |
|
* | = |
|
Пример №4 . В декартовой прямой системе координат даны вершины пирамиды A(3,0,-1), B(-1,-2,-4), C(-1,2,4), D(7,-3,1). Найдите:
а) длину ребра AB;
б) косинус угла между векторами AB и AC ;
в) уравнение ребра AB;
г) уравнение грани ABC;
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC;
е) координаты векторов e 1= AB , e 2= AC , e 3= AD и докажите, что они образуют линейную независимую систему;
ж) координаты вектора MN , где M и N – середины ребер AD и DC соответственно;
з) разложение вектора MN по базису ( e 1, e 2, e 3)
Решение. Пункты (а-д) решаются через онлайн калькулятор.
Задание 1 . Разложить вектор d =(8;-5) по векторам a =(1;-2) и b =(2;3).
Решение. Векторы a и b образуют базис на плоскости, так как они не коллинеарны (, то есть соответствующие координаты этих векторов не пропорциональны).
Следовательно, вектор d = α a +β b , где α и β – коэффициенты, которые надо найти.
Таким образом, имеем равенство
8i-5j=α(i-2j)+β(2i+3j)=(α+2β)i+ (-2α+3β)j.
В координатной форме это равенство примет вид
Решим полученную систему уравнений.
Векторное пространство: размерность и базис, разложение вектора по базису
В статье о n -мерных векторах мы пришли к понятию линейного пространства, порождаемого множеством n -мерных векторов. Теперь нам предстоит рассмотреть не менее важные понятия, такие как размерность и базис векторного пространства. Они напрямую связаны с понятием линейно независимой системы векторов, так что дополнительно рекомендуется напомнить себе основы и этой темы.
Введем некоторые определения.
Размерность векторного пространства – число, соответствующее максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.
Базис векторного пространства – совокупность линейно независимых векторов, упорядоченная и в своей численности равная размерности пространства.
Рассмотрим некое пространство n -векторов. Размерность его соответственно равна n . Возьмем систему из n -единичных векторов:
e ( 1 ) = ( 1 , 0 , . . . , 0 ) e ( 2 ) = ( 0 , 1 , . . . , 0 ) e ( n ) = ( 0 , 0 , . . . , 1 )
Используем эти векторы в качестве составляющих матрицы A : она будет являться единичной с размерностью n на n . Ранг этой матрицы равен n . Следовательно, векторная система e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) является линейно независимой. При этом к системе невозможно добавить ни одного вектора, не нарушив ее линейной независимости.
Так как число векторов в системе равно n , то размерность пространства n -мерных векторов равна n , а единичные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) являются базисом указанного пространства.
Из полученного определения сделаем вывод: любая система n -мерных векторов, в которой число векторов меньше n , не является базисом пространства.
Если мы поменяем местами первый и второй вектор, получим систему векторов e ( 2 ) , e ( 1 ) , . . . , e ( n ) . Она также будет являться базисом n -мерного векторного пространства. Составим матрицу, взяв за ее строки векторы полученной системы. Матрица может быть получена из единичной матрицы перестановкой местами первых двух строк, ранг ее будет равен n . Система e ( 2 ) , e ( 1 ) , . . . , e ( n ) линейно независима и является базисом n -мерного векторного пространства.
Переставив местами в исходной системе другие векторы, получим еще один базис.
Мы можем взять линейно независимую систему неединичных векторов, и она также будет представлять собой базис n -мерного векторного пространства.
Векторное пространство с размерностью n имеет столько базисов, сколько существует линейно независимых систем из n -мерных векторов числом n.
Плоскость является двумерным пространством – ее базисом будут два любых неколлинеарных вектора. Базисом трехмерного пространства послужат три любых некомпланарных вектора.
Рассмотрим применение данной теории на конкретных примерах.
Исходные данные: векторы
a = ( 3 , — 2 , 1 ) b = ( 2 , 1 , 2 ) c = ( 3 , — 1 , — 2 )
Необходимо определить, являются ли указанные векторы базисом трехмерного векторного пространства.
Решение
Для решения поставленной задачи исследуем заданную систему векторов на линейную зависимость. Составим матрицу, где строки – координаты векторов. Определим ранг матрицы.
A = 3 2 3 — 2 1 — 1 1 2 — 2 A = 3 — 2 1 2 1 2 3 — 1 — 2 = 3 · 1 · ( — 2 ) + ( — 2 ) · 2 · 3 + 1 · 2 · ( — 1 ) — 1 · 1 · 3 — ( — 2 ) · 2 · ( — 2 ) — 3 · 2 · ( — 1 ) = = — 25 ≠ 0 ⇒ R a n k ( A ) = 3
Следовательно, заданные условием задачи векторы линейно независимы, и их численность равна размерности векторного пространства – они являются базисом векторного пространства.
Ответ: указанные векторы являются базисом векторного пространства.
Исходные данные: векторы
a = ( 3 , — 2 , 1 ) b = ( 2 , 1 , 2 ) c = ( 3 , — 1 , — 2 ) d = ( 0 , 1 , 2 )
Необходимо определить, может ли указанная система векторов являться базисом трехмерного пространства.
Решение
Указанная в условии задачи система векторов является линейно зависимой, т.к. максимальное число линейно независимых векторов равно 3. Таким образом, указанная система векторов не может служить базисом трехмерного векторного пространства. Но стоит отметить, что подсистема исходной системы a = ( 3 , — 2 , 1 ) , b = ( 2 , 1 , 2 ) , c = ( 3 , — 1 , — 2 ) является базисом.
Ответ: указанная система векторов не является базисом.
Исходные данные: векторы
a = ( 1 , 2 , 3 , 3 ) b = ( 2 , 5 , 6 , 8 ) c = ( 1 , 3 , 2 , 4 ) d = ( 2 , 5 , 4 , 7 )
Могут ли они являться базисом четырехмерного пространства?
Решение
Cоставим матрицу, используя в качестве строк координаты заданных векторов
A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7
По методу Гаусса определим ранг матрицы:
A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7
1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 — 1 1 0 1 — 2 1
1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 — 1 — 1 0 0 — 2 — 1
1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 — 1 — 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k ( A ) = 4
Следовательно, система заданных векторов линейно независима и их численность равна размерности векторного пространства – они являются базисом четырехмерного векторного пространства.
Ответ: заданные векторы являются базисом четырехмерного пространства.
Исходные данные: векторы
a ( 1 ) = ( 1 , 2 , — 1 , — 2 ) a ( 2 ) = ( 0 , 2 , 1 , — 3 ) a ( 3 ) = ( 1 , 0 , 0 , 5 )
Составляют ли они базис пространства размерностью 4?
Решение
Исходная система векторов линейно независима, но численность векторов в ней недостаточна, чтобы стать базисом четырехмерного пространства.
Ответ: нет, не составляют.
Разложение вектора по базису
Примем, что произвольные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) являются базисом векторного n-мерного пространства. Добавим к ним некий n -мерный вектор x → : полученная система векторов станет линейно зависимой. Свойства линейной зависимости гласят, что хотя бы один из векторов такой системы может линейно выражаться через остальные. Переформулируя это утверждение, можно говорить о том, что хотя бы один из векторов линейно зависимой системы может раскладываться по остальным векторам.
Таким образом, мы пришли к формулировке важнейшей теоремы:
Любой вектор n -мерного векторного пространства единственным образом раскладывается по базису.
Докажем эту теорему:
зададим базис n -мерного векторного пространства — e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) . Сделаем систему линейно зависимой, добавив к ней n -мерный вектор x → . Этот вектор может быть линейно выражен через исходные векторы e :
x = x 1 · e ( 1 ) + x 2 · e ( 2 ) + . . . + x n · e ( n ) , где x 1 , x 2 , . . . , x n — некоторые числа.
Теперь докажем, что такое разложение является единственным. Предположим, что это не так и существует еще одно подобное разложение:
Отнимем от левой и правой частей этого равенства соответственно левую и правую части равенства x = x 1 · e ( 1 ) + x 2 · e ( 2 ) + . . . + x n · e ( n ) . Получим:
1 — x 1 ) · e ( 1 ) + ( x
2 — x 2 ) · e ( 2 ) + . . . ( x
Система базисных векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) линейно независима; по определению линейной независимости системы векторов равенство выше возможно только тогда, когда все коэффициенты ( x
2 — x 2 ) , . . . , ( x
n — x n ) будут равны нулю. Из чего справедливым будет: x 1 = x
n . И это доказывает единственный вариант разложения вектора по базису.
При этом коэффициенты x 1 , x 2 , . . . , x n называются координатами вектора x → в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) .
Доказанная теория делает понятным выражение «задан n -мерный вектор x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) »: рассматривается вектор x → n -мерного векторного пространства, и его координаты заданы в некотором базисе. При этом также понятно, что этот же вектор в другом базисе n -мерного пространства будет иметь другие координаты.
Рассмотрим следующий пример: допустим, что в некотором базисе n -мерного векторного пространства задана система из n линейно независимых векторов
e ( 1 ) = ( e 1 ( 1 ) , e 2 ( 1 ) , . . . , e n ( 1 ) ) e ( 2 ) = ( e 1 ( 2 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( 2 ) ) ⋮ e ( n ) = ( e 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , e n ( n ) )
а также задан вектор x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) .
Векторы e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) в этом случае также являются базисом этого векторного пространства.
Предположим, что необходимо определить координаты вектора x → в базисе e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) , обозначаемые как x
Вектор x → будет представлен следующим образом:
2 · e ( 2 ) + . . . + x
Запишем это выражение в координатной форме:
( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x
1 · ( e ( 1 ) 1 , e ( 1 ) 2 , . . . , e ( 1 ) n ) + x
2 · ( e ( 2 ) 1 , e ( 2 ) 2 , . . . , e ( 2 ) n ) + . . . + + x
n · ( e ( n ) 1 , e ( n ) 2 , . . . , e ( n ) n ) = = ( x
2 e 1 ( 2 ) + . . . + x
2 e 2 ( 2 ) + + . . . + x
n e 2 ( n ) , . . . , x
2 e n ( 2 ) + . . . + x
Полученное равенство равносильно системе из n линейных алгебраических выражений с n неизвестными линейными переменными x
n e 2 n ⋮ x n = x
Матрица этой системы будет иметь следующий вид:
e 1 ( 1 ) e 1 ( 2 ) ⋯ e 1 ( n ) e 2 ( 1 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e 2 ( n ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n ( 1 ) e n ( 2 ) ⋯ e n ( n )
Пусть это будет матрица A , и ее столбцы – векторы линейно независимой системы векторов e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) . Ранг матрицы – n , и ее определитель отличен от нуля. Это свидетельствует о том, что система уравнений имеет единственное решение, определяемое любым удобным способом: к примеру, методом Крамера или матричным методом. Таким образом мы сможем определить координаты x
n вектора x → в базисе e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) .
Применим рассмотренную теорию на конкретном примере.
Исходные данные: в базисе трехмерного пространства заданы векторы
e ( 1 ) = ( 1 , — 1 , 1 ) e ( 2 ) = ( 3 , 2 , — 5 ) e ( 3 ) = ( 2 , 1 , — 3 ) x = ( 6 , 2 , — 7 )
Необходимо подтвердить факт, что система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) также служит базисом заданного пространства, а также определить координаты вектора х в заданном базисе.
Решение
Система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) будет являться базисом трехмерного пространства, если она линейно независима. Выясним эту возможность, определив ранг матрицы A , строки которой – заданные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) .
Используем метод Гаусса:
A = 1 — 1 1 3 2 — 5 2 1 — 3
1 — 1 1 0 5 — 8 0 3 — 5
1 — 1 1 0 5 — 8 0 0 — 1 5
R a n k ( A ) = 3 . Таким образом, система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) линейно независима и является базисом.
Пусть в базисе вектор x → имеет координаты x
3 . Связь этих координат определяется уравнением:
3 e 1 ( 3 ) x 2 = x
3 e 2 ( 3 ) x 3 = x
Применим значения согласно условиям задачи:
Решим систему уравнений методом Крамера:
∆ = 1 3 2 — 1 2 1 1 — 5 — 3 = — 1 ∆ x
1 = 6 3 2 2 2 1 — 7 — 5 — 3 = — 1 , x
1 ∆ = — 1 — 1 = 1 ∆ x
2 = 1 6 2 — 1 2 1 1 — 7 — 3 = — 1 , x
2 ∆ = — 1 — 1 = 1 ∆ x
3 = 1 3 6 — 1 2 2 1 — 5 — 7 = — 1 , x
Так, вектор x → в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) имеет координаты x
Ответ: x = ( 1 , 1 , 1 )
Связь между базисами
Предположим, что в некотором базисе n-мерного векторного пространства даны две линейно независимые системы векторов:
c ( 1 ) = ( c 1 ( 1 ) , c 2 ( 1 ) , . . . , c n ( 1 ) ) c ( 2 ) = ( c 1 ( 2 ) , c 2 ( 2 ) , . . . , c n ( 2 ) ) ⋮ c ( n ) = ( c 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , c n ( n ) )
e ( 1 ) = ( e 1 ( 1 ) , e 2 ( 1 ) , . . . , e n ( 1 ) ) e ( 2 ) = ( e 1 ( 2 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( 2 ) ) ⋮ e ( n ) = ( e 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , e n ( n ) )
Указанные системы являются также базисами заданного пространства.
n ( 1 ) — координаты вектора c ( 1 ) в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) , тогда связь координат будет задаваться системой линейных уравнений:
1 ( 1 ) e 1 ( 1 ) + c
2 ( 1 ) e 1 ( 2 ) + . . . + c
n ( 1 ) e 1 ( n ) с 2 ( 1 ) = c
1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) + c
2 ( 1 ) e 2 ( 2 ) + . . . + c
n ( 1 ) e 2 ( n ) ⋮ с n ( 1 ) = c
1 ( 1 ) e n ( 1 ) + c
2 ( 1 ) e n ( 2 ) + . . . + c
В виде матрицы систему можно отобразить так:
( c 1 ( 1 ) , c 2 ( 1 ) , . . . , c n ( 1 ) ) = ( c
n ( 1 ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )
Сделаем по аналогии такую же запись для вектора c ( 2 ) :
( c 1 ( 2 ) , c 2 ( 2 ) , . . . , c n ( 2 ) ) = ( c
n ( 2 ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )
И, далее действуя по тому же принципу, получаем:
( c 1 ( n ) , c 2 ( n ) , . . . , c n ( n ) ) = ( c
n ( n ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )
Матричные равенства объединим в одно выражение:
c 1 ( 1 ) c 2 ( 1 ) ⋯ c n ( 1 ) c 1 ( 2 ) c 2 ( 2 ) ⋯ c n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 ( n ) c 2 ( n ) ⋯ c n ( n ) = c
n ( n ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) ⋯ e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) ⋯ e n ( n )
Оно и будет определять связь векторов двух различных базисов.
Используя тот же принцип, возможно выразить все векторы базиса e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) через базис c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n ) :
e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) ⋯ e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) ⋯ e n ( n ) = e
n ( n ) · c 1 ( 1 ) c 2 ( 1 ) ⋯ c n ( 1 ) c 1 ( 2 ) c 2 ( 2 ) ⋯ c n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 ( n ) c 2 ( n ) ⋯ c n ( n )
Дадим следующие определения:
n ( n ) является матрицей перехода от базиса e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 )
к базису c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n ) .
n ( n ) является матрицей перехода от базиса c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n )
к базису e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) .
Координаты и преобразования координат в линейном пространстве
Координаты векторов в данном базисе линейного пространства
Пусть — базис линейного пространства . Каждый вектор можно разложить по базису (см. теорему 8.1), т.е. представить в виде , причем коэффициенты в разложении определяются однозначно. Эти коэффициенты называются координатами вектора в базисе (или относительно базиса ). Координаты вектора — это упорядоченный на бор чисел, который представляется в виде матрицы-столбца и называется координатным столбцом вектора (в данном базисе). Вектор и его координатный столбец обозначаются одной и той же буквой полужирной или светлой соответственно.
Если базис (как упорядоченный набор векторов) представить в виде символической матрицы-строки , то разложение вектора по базису можно записать следующим образом:
Здесь умножение символической матрицы-строки на числовую матрицу-столбец производится по правилам умножения матриц.
При необходимости, если речь идет о разных базисах, у координатного столбца указывается обозначение базиса, относительно которого получены координаты, например, — координатный столбец вектора в базисе .
Из теоремы 8.1 следует, что равные векторы имеют равные соответствующие координаты (в одном и том же базисе), и наоборот, если координаты векторов (в одном и том же базисе) соответственно равны, то равны и сами векторы .
Линейные операции в координатной форме
Пусть — базис линейного пространства , векторы и имеют в этом базисе координаты и соответственно, т.е.
Складывая эти равенства, получаем .
т.е. при сложении векторов их координаты складываются .
Умножая второе равенство в (8.7) на число , получаем
т.е. при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число .
Другими словами, сумма векторов имеет координаты , а произведение имеет координаты . Разумеется, что все координаты получены в одном базисе .
1. Нетрудно показать, что координатный столбец линейной комбинации векторов равен линейной комбинации координатных столбцов этих векторов.
2. Если система векторов линейно зависима (линейно независима), то их координатные столбцы, полученные относительно одного базиса, образуют линейно зависимую (соответственно, линейно независимую) систему. Это следует из равносильности равенств и . Например, если в этих равенствах не все коэффициенты равны нулю, т.е. система векторов и система их координатных столбцов линейно зависимы одновременно.
3. Все свойства линейной зависимости и линейной независимости векторов переносятся без изменений на их координатные столбцы, полученные в одном и том же базисе. И наоборот, свойства для матриц-столбцов, переносятся на векторы, если матрицы-столбцы считать их координатными столбцами.
4. Выбрав в n-мерном вещественном линейном пространстве некоторый базис, можно установить взаимно однозначное соответствие: каждому вектору поставить в соответствие его координатный столбец (в вы бранном базисе), и наоборот, каждому координатному столбцу поставить в соответствие вектор. Другими словами, любой фиксированный базис n-мерного вещественного линейного пространства позволяет установить взаимно однозначное соответствие между всеми векторами вещественно го пространства и всеми столбцами n-мерного арифметического пространства . Это соответствие обозначается . Для n-мерного комплексного линейного пространства аналогичное взаимно однозначное соответствие устанавливается с пространством .
Преобразование координат вектора при замене базиса
Пусть заданы два базиса пространства и . Базис будем условно называть «старым», а базис — «новым». Пусть известны разложения каждого вектора нового базиса по старому базису:
Записывая по столбцам координаты векторов в базисе , составляем матрицу:
Квадратная матрица , составленная из координатных столбцов векторов нового базиса в старом базисе , называется матрицей перехода от старого базиса к новому. При помощи матрицы перехода (8.9) формулы (8.8) можно записать в виде:
Умножение символической матрицы-строки на матрицу перехода в (8.10) производится по правилам умножения матриц.
Пусть в базисе вектор имеет координаты , а в базисе — координаты , т.е.
Подставляя в правую часть последнего равенства выражение (8.10), получаем — два разложения вектора в одном и том же базисе . Коэффициенты этих разложений должны совпадать (по теореме 8.1), так как это координаты одного и того же вектора в одном базисе. Поэтому
Формула (8.11) устанавливает связь координат вектора в разных базисах: координатный столбец вектора в старом базисе получается в результате умножения матрицы перехода на координатный столбец вектора в новом базисе .
Пример 8.3. В пространстве многочленов степени не выше второй даны две системы многочленов:
Доказать, что каждая система является базисом пространства . Найти матрицу перехода от базиса к базису . Определить координаты квадратного трехчлена относительно базисов и .
Решение. Система многочленов является стандартным базисом пространства . Докажем, что система является базисом. По ступим следующим образом. Найдем координатные столбцы этих многочленов в стандартном базисе. Раскладывая по базису , получаем
Составим из этих столбцов матрицу . Ранг этой матрицы равен 3, так как . Следовательно, столбцы линейно независимы, тогда и многочлены линейно независимы (см. пункт 2 замечаний 8.5). Итак, многочлены являются базисом пространства , а матрица — искомая матрица перехода от базиса к базису . Осталось найти координаты многочлена в этих базисах. Раскладывая по базисам, находим
Проверим результат, вычисляя по формуле (8.11):
Свойства матрицы перехода от одного базиса к другому
1. Пусть имеются три базиса пространства и известны матрицы перехода: от базиса к базису ; от к ; от к . Тогда
Действительно, запишем связь (8.10) для данных базисов:
Подставляя первое выражение во второе равенство, получаем . Сравнивая с третьим равенством, приходим к (8.12).
2. Если — матрица перехода от базиса к базису , то матрица обратима и обратная матрица является матрицей перехода от базиса к базису . Координаты вектора в базисах и связаны формулами:
В самом деле, пусть — матрица перехода от базиса к базису . Учитывая, что матрица перехода от базиса к базису — единичная, применяем свойство 1 к трем базисам . Для трех базисов аналогично получаем: . Следовательно, .
3. Всякая обратимая квадратная матрица n-го порядка может служить матрицей перехода от одного базиса n-мерного линейного пространства к другому базису.
Пример 8.4. В двумерном арифметическом пространстве даны два базиса: и . Найти матрицу перехода от базиса к базису и координаты вектора в каждом из базисов.
Решение. Рассмотрим стандартный базис пространства . Находим координаты векторов в стандартном базисе. Раскладываем вектор
В стандартном базисе пространства координатный столбец совпадает с вектором . Для других векторов аналогично получаем . Из координатных столбцов составим матрицы перехода (8.9) от стандартного базиса к данным базисам и
По свойству 1 матриц перехода имеем . .По свойству 2: . Поэтому
В стандартном базисе пространства координатный столбец совпадает с вектором . Найдем координаты этого вектора в базисе (по свойству 2 матрицы перехода):
В самом деле, справедливо разложение
Найдем координаты вектора в базисе двумя способами
Полученный результат подтверждает разложение:
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/vektornoe-prostranstvo/
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=pryeobrazovaniya-koordinat-v-linyeinom-prostranstve
Координаты вектора в базисе
В системе векторов a1, a2, a3, a4 найти любую подсистему векторов, которые образуют базис, разложить векторы по базису, перейти к другому базису, найти коэффициенты разложения векторов во втором базисе; в обоих случаях определить обратные матрицы, соответствующие векторам базиса. Правильность вычисления в каждом случае проверить с помощью умножения вектора слева на матрицу, обратную матрице вектора базиса.
Пример №2 . В системе векторов a1, a2, a3, a4 найти любую подсистему векторов, которые образуют базис, разложить векторы по базису, перейти к другому базису, найти коэффициенты разложения векторов во втором базисе; в обоих случаях определить обратные матрицы, соответствующие векторам базиса. Правильность вычисления в каждом случае проверить с помощью умножения вектора слева на матрицу, обратную матрице вектора базиса.
a1=(1;5;3), a2=(2;1;-1), a3=(4;2;1), a4=(17;13;4).
4.3.3 Формулы перехода от одного базиса к другому
Очевидно, что в одном и том же пространстве можно выбрать множество базисов. Пусть в 
выбрано два базиса 
и 
.
Векторы базиса 
могут быть выражены через векторы базиса 
:
(4)
Матрица 
называется матрицей перехода от базиса к базису . В ее столбцах записаны координаты векторов 
относительно базиса 
.
Соотношения (4) называются формулами перехода от базиса к базису . Их можно записать в матричной форме:
, отсюда 
.
Пусть вектор 
задан своими координатами относительно базиса – 
, а относительно базиса – 
. Тогда
и 
. (5)
Пример 4. Относительно базиса 
, 
, 
даны четыре вектора 
, 
, 
и 
. Векторы 
можно принять за базис в 
. Найти координаты вектора в базисе 
.
Решение. Матрица перехода от базиса 
к базису имеет вид 
. Обозначим координаты вектора в базисе через 
. Согласно формулам (5), имеем:
. Находим 
: 
;
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
; 
;
.
Проверка: 
;
;
или 
.
Анал_Геом / Изменение координат вектора при изменении базиса
Пусть в 
-мерном линейном пространстве 
выбран базис 
, который мы будем для удобства называть «старый» и другой базис 
, который мы будем называть «новый». Возьмем призвольный вектор 
из 
. Его координатный столбец в старом базисе обозначим 
, а в новом — 
. Нам нужно выяснить, как связаны друг с другом координаты в старом и в новом базисе. Для этого нам сначала нужно «связать» друг с другом старый и новый базисы. Запишем разложения новых базисных векторов по старому базису
Составим матрицу, столбцами которой служат координатные столбцы векторов нового базиса
Эта матрица называется матрицей перехода от старого базиса к новому.
Замечание 18.1 Матрица перехода всегда невырождена, то есть 
.
Предложение 18.5 Координатные столбцы в старом базисе и в новом базисе связаны формулой
где справа стоит произведение матрицы перехода 
на матрицу-столбец.
Доказательство. Так как 
— координатный столбец вектора 
в новом базисе, то
Заменив векторы 
их разложениями по старому базису, получим
В силу предложения 14.3 изменим порядок суммирования
Здесь мы получили разложение вектора 
по старому базису, причем координата вектора с номером 
равна 
. Элемент с номером 
столбца 
будет иметь такой же вид. Следовательно, формула (18.1) доказана.
Пример 18.4 Пусть 
, то есть 
— трехмерное векторное пространство. Пусть задан ортонормированный базис i, j, k. Выберем другой (новый) базис
Возьмем вектор 
. Найдем его координаты в новом базисе.
Выпишем матрицу перехода, ее столбцы — это координаты новых базисных векторов
Пусть 
— координатный столбец вектора 
в новом базисе. Тогда
Найдем матрицу 
по формуле (14.14). Находим определитель
Находим алгебраические дополнения
Находим координаты вектора
Таким образом, новые координаты вектора 
: 
, 
, 
, 
.
Тот же самый результат можно было получить, записав формулу (18.2) в виде системы уравнений
Решив эту систему, например, методом Гаусса, найдем новые координаты 
, 
, 
.
Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.
Теорема
7.3.
Любой
вектор
пространства раскладывается по базису
единственным
образом:
. (7.10)
Определение 23.
Коэффициенты
аx,
аy,
аz
разложения вектора по базисным ортам
называются координатами
вектора в данном базисе.
.
Координаты
есть проекции
вектора на соответствующие оси координат.
Свойства координат векторов:
Пусть
,
,
.
Тогда
1.
2.
3.
(7.11)
4. Условие
коллинеарности векторов:
векторы
и
,
коллинеарны тогда и только тогда, когда
их одноименные координаты пропорциональны:
. (7.12)
Пример 4. Выяснить, образуют ли
векторы
,
,
базис.
Решение. Система векторов образует
базис, если она линейно независима, т.е.
равенство
справедливо только при
.
.
Значит, векторы образуют базис.
Практикум 13. Векторы. Основные понятия. Линейные операции
-
Задача
1 (Элементы векторной алгебры. С.7) -
Задача
2 (ЭВА. С.7) -
В
треугольнике АВС
сторона АВ
точками M
и N
разделена на части: АМ=MN=NB.
Найдите вектор
,
если
,
. -
В
треугольнике АВС
сторона АМ
– биссектриса
угла
ВАС,
причем точка М
лежит на стороне ВС.
Найдите вектор
,
если
,
. -
Пример 7 (ЭВА. С.9)
-
Пример 9 (ЭВА. С.11)
-
Пример 8 (ЭВА. С.10)
-
Найдите
линейную комбинацию векторов
,
где
,
,
. -
Вычислите
координаты линейной комбинации векторов
,
где
,
,
. -
Вычислите
координаты вектора
в базисе
,
где
,
,
,
-
Выясните,
является ли система векторов линейно
независимой
,
,
. -
Выясните,
является ли система векторов линейно
независимой
,
,
. -
Даны векторы
,
,
в базисе
.
Докажите, что векторы
образуют базис. Вычислите координаты
вектора
в базисе
-
Выясните,
раскладывается ли вектор
через векторы системы:
,
,
. -
Выясните,
раскладывается ли вектор
через векторы системы:
,
,
.
,
,
.
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
,
,
,
.
,
,
.
,
,
.
,
,
.
,
,
.
Д/з:
1) Повторить теорему о коллинеарных
векторах, теорему о компланарных
векторах,
2) Выполнить оставшиеся номера
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Все курсы > Линейная алгебра > Занятие 2
Продолжим работать в том же ноутбуке⧉
Определение
С понятием вектора тесно связано понятие векторного или линейного пространства (vector space, linear space).
По большому счету, векторное пространство — это множество векторов, которые мы можем складывать (vector addition) и умножать на число или скаляр (scalar multiplication).
В частности, сложение и умножение на число двумерных (состоящих из двух компонентов) векторов дает нам двумерный вектор, трехмерных — трехмерный и так далее.
$$ begin{bmatrix} 3 \ 4 end{bmatrix} + 2 cdot begin{bmatrix} 1 \ 2 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 5 \ 8 end{bmatrix} $$
При этом сложить, например, двумерный и трехмерный вектор нельзя
$$ begin{bmatrix} 3 \ 4 end{bmatrix} + begin{bmatrix} 4 \ 3 \ 3 end{bmatrix} = ? $$
Также нельзя сформировать векторное пространство из двумерных векторов, лежащих только в первой четверти координатной плоскости. Хотя для таких векторов будет задана операция сложения, при умножении на отрицательный скаляр мы можем выйти за пределы первой четверти.
Поэтому говорят, что векторное пространство должно быть замкнуто относительно операций сложения и умножения на скаляр (closed under vector addition and scalar multiplication).
Двумерное пространтсво вещественных чисел принято обозначать $R^2$, трехмерное $R^3$, n-мерное — $R^n$.
Отметим, что вектор $begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 0 end{bmatrix}$ — это вектор в $R^3$ с нулевым третьим компонентом.
Линейная комбинация векторов
Любой вектор внутри одного пространства (например, $R^2$) можно представить как линейную комбинацию конечного числа векторов (linear combination of a finite set of vectors).
$$ 2 cdot begin{bmatrix} 1 \ 2 end{bmatrix} + 3 cdot begin{bmatrix} 2 \ 1 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 8 \ 7 end{bmatrix} $$
Под линейной комбинацией, как вы видите, понимается опять же сложение векторов и их умножение на число.
Аксиомы векторных пространств
Операции в векторных пространствах должны отвечать следующим правилам:
- $ mathbf u + (mathbf v + mathbf w) = (mathbf u + mathbf v) + mathbf w $
- $ mathbf v + mathbf w = mathbf w + mathbf v $
- Существует нулевой вектор $ mathbf 0 Rightarrow mathbf 0 + mathbf v = mathbf v, forall mathbf v $
- Для каждого $ mathbf v $ существует $ -mathbf v Rightarrow mathbf v + (-mathbf v) $
- $ a(b mathbf v) = (ab) mathbf v $
- $ 1 mathbf v = mathbf v $
- $ a(mathbf v + mathbf w) = a mathbf v + a mathbf w $
- $ (a + b) mathbf v = a mathbf v + b mathbf v $
Этим правилам могут отвечать не только векторы действительных чисел в пространстве $R^n$ (Евклидово пространство), но и, в частности, векторы функций. В этом случае речь идет о функциональных пространствах (function spaces).
Видео про абстрактные векторные пространства⧉.
Примечание. Некоторые понятия, упомянутые в видео выше, в частности, линейные преобразования (linear transformations), ядро матрицы (null space) и собственные векторы и значения (eigenvectors and eigenvalues) будут рассмотрены на более поздних занятиях.
Серия видео про алгебраические структуры⧉.
Внутреннее произведение
Скалярное произведение (dot product) является частным случаем внутреннего произведения (inner product) для евклидового пространства.
Приведем простой пример того, почему скалярное произведение может не подойти для векторов, состоящих, например, из комплексных чисел $mathbb C$. Ранее мы сказали, что скалярное произведение вектора самого на себя есть квадрат длины этого вектора, т.е. $mathbf x^T mathbf x = || mathbf x ||^2 $, и нам бы хотелось, чтобы квадрат длины был положителен.
Для действительных векторов это условие выполняется всегда, так как мы возводим в квадрат каждый компонент (вещественное число) такого вектора. Теперь рассмотрим комплексный вектор
$$ mathbf z = begin{bmatrix} 1 \ i end{bmatrix} in mathbb C^2 $$
По правилам скалярного произведения квадрат его длины был бы равен
$$ mathbf z^T mathbf z = begin{bmatrix} 1 & i end{bmatrix} begin{bmatrix} 1 \ i end{bmatrix} = 1 cdot 1 + i cdot i = 1-1 = 0 $$
Для того чтобы квадрат ненулевого вектора не был равен нулю в векторных пространствах комплексных чисел скалярное (а точнее внутреннее) произведение задано как $overline{mathbf z}^T mathbf z$, где $overline{mathbf z}$ является комплексно сопряженным (complex conjugate) к $mathbf z$ вектором. Тогда,
$$ overline{mathbf z}^T mathbf z = begin{bmatrix} 1 & -i end{bmatrix} begin{bmatrix} 1 \ i end{bmatrix} = 1 cdot 1 + (-i) cdot i = 1+1 = 2 $$
Векторное подпространство
Определение
Подпространством (subspace) векторного пространства $K$ называется множество $S$ его элементов, само являющееся векторным пространством относительно введенных в $K$ операций сложения и умножения на число.
Другими словами, чтобы $S$ было подпространством $K$ для каждого $mathbf v, mathbf w in S, K$ и $a in mathbb{R}$ должно выполняться ${ mathbf v + mathbf w, a mathbf v } in S, K$.
Например, выше мы сказали, что векторы $R^2$ первой четверти координатной плоскости не могут образовывать векторное пространство, потому что мы не можем задать для них операцию умножения на число, результатом которой был бы вектор только в этой четверти.
При этом, если мы возьмем на пространстве $R^2$ подпространство всех векторов, лежащих на прямой линии и проходящих через начало координат, то такое подпространство будет отвечать аксиомам векторных пространств.
Примечание. $R^1$ нельзя назвать подпространством $R^2$, потому что у векторов $R^1$ только один компонент, а у векторов $R^2$, даже тех, которые лежат на одной линии, их два.
Пересечение подпространств
Если $S$ и $T$ — подпространства, то $S cap T$ тоже подпространство. Возьмем $mathbf v, mathbf w in S, T$. Тогда $mathbf v + mathbf w in S, T$ и $a mathbf v in S,T$, так как $S$ и $T$ отвечают свойствам подпространств.
Ортогональные подпространства
Подпространство $S$ будет ортогонально подпространству $T$, если каждый вектор в $S$ ортогонален каждому вектору в $T$.
$$ forall mathbf v in S perp forall mathbf w in T $$
Ортогональное дополнение
Если внутри некоторого пространства $K$ существует подпространство $S$, и внутри этого же пространства $K$ можно найти другое ортогональное ему подпространство $S^{perp}$, то такое подпространство называется ортогональным дополнением (orthogonal complement) подпространства $S$.
Более формально, пусть $S$ — подпространство $K$. Тогда ортогональным дополнением $S^{perp}$ будет множество всех векторов $mathbf w in K$, для которых скалярное произведение $mathbf w cdot mathbf v = 0$ для любого $mathbf v in S$.
$$ S^{perp} = { mathbf w in K hspace{5pt} | hspace{5pt} mathbf w cdot mathbf v = 0, hspace{5pt} forall mathbf v in S hspace{2pt} } $$
Покажем, что $S^{perp}$ также является подпространством. Возьмем два вектора $mathbf a, mathbf b in S^{perp} $. Для того чтобы $S^{perp}$ было подпространством, нам нужно продемонстрировать замкнутость относительно сложения и умножения на скаляр.
$$ mathbf a + mathbf b underset{mathord{?}}{in} S^{perp} $$
$$ c cdot mathbf a underset{mathord{?}}{in} S^{perp} $$
Начнем со сложения. По определению ортогонального дополнения
$$ mathbf a cdot mathbf v = 0, hspace{5pt} forall mathbf v in S $$
$$ mathbf b cdot mathbf v = 0, hspace{5pt} forall mathbf v in S $$
Тогда,
$$ (mathbf a + mathbf b) cdot mathbf v = mathbf a cdot mathbf v + mathbf b cdot mathbf v = mathbf 0 + mathbf 0 = mathbf 0 $$
Другими словами, мы показали, что сумма векторов принадлежащих $ S^{perp} $ также ортогонально вектору $mathbf v in S$, а значит принадлежит $ S^{perp} $, $ mathbf a + mathbf b in S^{perp} $. Перейдем к умножению на скаляр.
$$ c cdot mathbf a cdot mathbf v = c cdot ( mathbf a cdot mathbf v) = c cdot mathbf 0 = mathbf 0 $$
Это доказывает, что $ c cdot mathbf a in S^{perp} $.
Таким образом, ортогональное дополнение подпространства само является векторным подпространством.
Отметим, что нулевой вектор всегда принадлежит ортогональному дополнению, поскольку при $c = 0$
$$ c cdot mathbf a = 0 cdot mathbf a = mathbf 0 rightarrow mathbf 0 in S^{perp} $$
Обратите внимание, что нулевой вектор также присутствует в подпространстве $S$, $mathbf 0 in S$.
Более того, $S cap S^{perp} = { mathbf 0 } $. Это легко доказать. Возьмем некоторый вектор $mathbf x$, который одновременно принадлежит $ S $ и $ S^{perp} $, $mathbf x in S, S^{perp}$.
Тогда по определению ортогонального дополнения должно выполняться $mathbf x cdot mathbf x = 0 $. Такому условию отвечает только нулевой вектор.
Линейная независимость векторов
Когда один вектор можно выразить через умножение другого вектора на число говорят, что эти векторы линейно зависимы (linearly dependent). С двумя линейно независимыми (linearly independent) векторами $ mathbf v_1, mathbf v_2 $ такого сделать не получится.
$$ mathbf v_2 neq k mathbf v_1 $$
где k — некоторое число.
Рассмотрим пример трех векторов. Чтобы эти три вектора были линейно независимы, не должно быть возможности выразить третий вектор через линейные комбинации (сложение и умножение на скаляр) первых двух.
$$ mathbf v_3 neq k_1 mathbf v_1 + k_2 mathbf v_2 $$
Если так сделать нельзя, мы попадаем в трехмерное пространство, если можно — останемся на плоскости.
Линейная оболочка
Линейная оболочка (linear span) — это множество всех возможных линейных комбинаций с помощью данного набора векторов.
Если у нас два линейно независимых (двумерных) вектора, то оболочка — $R^2$ (плоскость), если три (трехмерных) вектора, но один из них линейно зависим, то по-прежнему $R^2$.
Оболочка — это ответ на вопрос, какие векторы можно построить с помощью сложения и умножения на скаляр $n$ n-мерных векторов. Линейно зависимый вектор находится внутри оболочки, создаваемой комбинациями других линейно независимых векторов.
Базис пространства
Имея два двумерных линейно независимых вектора (например, $begin{bmatrix} 1 \ 2 end{bmatrix}$ и $begin{bmatrix} 3 \ 1 end{bmatrix}$), мы можем представить любой другой вектор в пространстве $ R^2 $, сложив эти два вектора и умножив их на скаляр. Такие векторы называются базисом пространства (basis of a vector space) $ R^2 $, по сути его координатами.
В целом, базисом называется такое множество линейно независимых векторов внутри векторного пространства, с помощью которых можно выразить любой другой вектор этого пространства.
Базис можно представить как некоторую систему координат, которой пользуются все векторы данного пространства.
Повторим пример с единичными векторами $mathbf i$ и $mathbf j$.
|
i = np.array([1, 0]) j = np.array([0, 1]) ax = plt.axes() plt.xlim([—0.07, 3]) plt.ylim([—0.07, 3]) plt.grid() ax.arrow(0, 0, i[0], i[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘g’, ec = ‘g’) ax.arrow(0, 0, j[0], j[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘g’, ec = ‘g’) plt.show() |
Приведенный выше базис называется стандартным (standard, natural basis). Это самый «экономный» или удобный способ представить все остальные векторы этого пространства.
При этом выбор такого базиса конечно условен, ничто не мешает мне перейти к другой системе координат, то есть другому базису.
Можно сказать, что координаты вектора имеют смысл только если мы знаем в какой системе координат (каком базисе) они выражены. При этом верно и то, что вектор существует в пространстве вне зависимости от системы координат или базиса.
Смена базиса
Предположим, что у нас есть два вектора исходного стандартного базиса $ mathbf g_1 $ и $ mathbf g_2 $ (на рисунке ниже изображены зеленым цветом). Кроме этого, у нас есть вектор $mathbf r$ (красный). Эти векторы имеют следующие координаты
$$ mathbf g_1 = begin{bmatrix} 1 \ 0 end{bmatrix}, mathbf g_2 = begin{bmatrix} 0 \ 1 end{bmatrix}, mathbf r_g = begin{bmatrix} 3 \ 4 end{bmatrix} $$
Если векторы нового базиса ортогональны (это важно), то мы можем выразить координаты вектора $mathbf r$ в новом базисе. Новым базисом будут следующие векторы $ mathbf b_1 $ и $ mathbf b_2 $ (черные):
$$ mathbf b_1 = begin{bmatrix} 2 \ 1 end{bmatrix}, mathbf b_2 = begin{bmatrix} -2 \ 4 end{bmatrix} $$
Посмотрим на эти векторы на графике.
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 |
g1 = np.array([1, 0]) g2 = np.array([0, 1]) r = np.array([3, 4]) b1 = np.array([2, 1]) b2 = np.array([—2, 4]) ax = plt.axes() plt.xlim([—2.5, 4.5]) plt.ylim([—0.07, 4.5]) plt.grid() ax.arrow(0, 0, g1[0], g1[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘g’, ec = ‘g’) ax.arrow(0, 0, g2[0], g2[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘g’, ec = ‘g’) ax.arrow(0, 0, r[0], r[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘r’, ec = ‘r’) ax.arrow(0, 0, b1[0], b1[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘k’, ec = ‘k’) ax.arrow(0, 0, b2[0], b2[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘k’, ec = ‘k’) plt.show() |
Убедимся, что векторы нового базиса $ mathbf b_1 $ и $ mathbf b_2 $ перпендикулярны (ортогональны).
Найдем скалярные и векторные проекции красного вектора $ mathbf r $ на векторы $ mathbf b_1 $ и $ mathbf b_2 $.
|
scalar_proj_r_on_b1 = np.dot(r, b1) / np.linalg.norm(b1) vector_proj_r_on_b1 = scalar_proj_r_on_b1 * (b1 / np.linalg.norm(b1)) scalar_proj_r_on_b1.round(1), vector_proj_r_on_b1 |
|
scalar_proj_r_on_b2 = np.dot(r, b2) / np.linalg.norm(b2) ** 2 vector_proj_r_on_b2 = scalar_proj_r_on_b2 * b2 scalar_proj_r_on_b2.round(1), vector_proj_r_on_b2 |
Посмотрим на векторные проекции.
|
plt.figure(figsize = (6, 6)) ax = plt.axes() plt.xlim([—2, 4.5]) plt.ylim([—0.07, 4.5]) plt.grid() ax.arrow(0, 0, r[0], r[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘r’, ec = ‘r’) ax.arrow(0, 0, vector_proj_r_on_b1[0], vector_proj_r_on_b1[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘k’, ec = ‘k’) ax.arrow(0, 0, vector_proj_r_on_b2[0], vector_proj_r_on_b2[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘k’, ec = ‘k’) plt.show() |
В сумме векторные проекции должны дать вектор $ mathbf r_g $ в исходном базисе.
|
vector_proj_r_on_b1 + vector_proj_r_on_b2 |
В новом же базисе вектор $ mathbf r_b $ можно выразить, как скалярные проекции вектора $ mathbf r $ на векторы нового базиса $ mathbf b_1 $ и $ mathbf b_2 $.
|
np.array([scalar_proj_r_on_b1, scalar_proj_r_on_b2]).round(1) |
Другими словами,
$$ mathbf r_b approx begin{bmatrix} 4,5 \ 2,2 end{bmatrix} $$
Ортонормированный базис
Если угол между векторами базиса равен 90 градусов, то такой базис называют ортогональным (orthogonal). Если одновременно это единичные (нормализованные) векторы, то такой базис называется ортонормированным (orthonormal).
Ортонормированный базис называют стандартным базисом пространства $R^n$.
$$ forall { mathbf q_1, …, mathbf q_k } in R^n $$
$$ mathbf q_i^T cdot mathbf q_j = begin{cases} 0, i not= j \ 1, i=j end{cases} $$
Хотя векторы базиса не обязательно должны быть ортогональными и иметь единичную норму, во многих случаях это удобно.
Видео про линейную оболочку⧉.
Подведем итог
Мы ввели понятие векторного пространства, подпространства, линейной комбинации векторов, понятия базиса, линейной независимости векторов и линейной оболочки.
Перейдем к изучению матриц и начнем этот путь с рассмотрения линейных преобразований.
оксана николаевна кузнецова
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Вектор в произвольном линейном пространстве — это некоторый элемент этого пространства.
Замечание 1
Базисом трёхмерного пространства называют некоторые линейно независимые вектора $a, b$ и $c$, если любой вектор $d$ может быть выражен в виде линейной комбинации этих векторов, то есть существуют некоторые вещественные коэффициенты $λ, μ$ и $ν$, причём такие, что будет соблюдаться условие $d= λ cdot a + μcdot b + ν cdot c left( 1 right)$.
Числа $λ, μ$ и $ν$ называются координатами рассматриваемого вектора относительно некоторого базиса $a, b$ и $c$.
В контексте плоскости базисом будет два независимых вектора, лежащих в этой плоскости, а не три, как в объёмном мире.
Любой вектор $d$ имеет лишь единственное разложение по базису векторов, то есть его координаты задаются однозначно через используемый базис.
Определение 1
Аффинными координатами некоторой точки $M$ в пространстве называются координаты точки относительно базиса пространства $a, b$ и $c$ и некоторой точки $O$, которую принимают за начало координат.
Декартова система координат является примером аффиной системы координат, причём базисные вектора в ней принято обозначать не буквами $a, b$ и $c$, а $i, j$ и $k$, представляющими собой направленные ортогональные между собой отрезки, причём длина каждого равна единице.
Для декартовой системы координат формула разложения выглядит так:
$d = X cdot vec{i} + Y cdot vec{j} + Z cdot vec{k}$
Здесь $X, Y$ и $Z$ — координаты вектора, а $ i, j$ и $k$ — базис.
Через базис декартовой системы координат выражается скалярное произведение векторов, заданных в этом пространстве. Для этого их координаты записываются через специальную матрицу.
Пример 1
Докажите, что вектора, $a_1…a_4$, перечисленные ниже, являются базисом пространства $mathbb{R^4}$.
$a_1 = (1; 2; -1: -2)$;
$a_2 = (2; 3 0; -1)$;
$a_3 = (1; 2; 1; 4)$;
$a_4 = (1; 3; -1; 0)$
Решение:
Размерность данного пространства равна 4, а это значит, что для проверки того, являются ли эти вектора базисом, нужно доказать их линейную независимость, то есть доказать, что ранг матрицы, составленной из координат этих векторов как из строчек, равен количеству строк.
Составленная матрица имеет вид:
$A = begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -2 \ 2 & 3 & 0 & -1 \ 1 & 2 & 1 & 4 \ 1 & 3 & -1 & 0 \ end{pmatrix}$
Преобразуем её к треугольной, для краткости описания выполняемых операций строчки будем записывать (n), здесь $n$ — номер строчки.
1) (4) — (1); (3) — (1); (2) — (1) $cdot 2$:
$begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -2 \ 0 & -1 & 2 & 3 \ 0 & 0 & 2 & 6 \ 0 & 1 & 0 & 2 \ end{pmatrix}$
2) (4) + (2):
$begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -2 \ 0 & -1 & 2 & 3 \ 0 & 0 & 2 & 6 \ 0 & 0 & 2 & 5 \ end{pmatrix}$
3) (4) — (3):
$begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -2 \ 0 & -1 & 2 & 3 \ 0 & 0 & 2 & 6 \ 0 & 0 & 0 & -1 \ end{pmatrix}$
Приведённая матрица имеет ранг 4, а значит данные вектора образуют базис этого пространства.
«Разложение вектора по базису векторов: формулировка с примерами решения» 👇
Пример 2
Пусть вектор $vec{k}$ можно разложить с использованием базиса $vec{a}$ и $vec{b}$ по формуле
$vec{k}= 5cdot vec{a} – 3 cdot vec{b}$. Каковы его координаты в соответствии с этим базисом?
Решение:
$vec{a}$ и $vec{b}$ — единичные вектора данного двумерного пространства, а это значит, что коэффициенты при них в заданном равенстве и являются координатами в этом базисе:
$vec{k} = (5; — 3)_{{a; b}}$.
Пример 3
Дан базис из трёх векторов $(1; 1; 3), ( -3; 4; 9), (2; -2; 4)$ и вектор $vec{k}=(8; -9; 6)$. Разложите данный вектор по заданному базису.
Решение:
Воспользуемся формулировкой разложения $(1)$:
$k_1 cdot (1; 1; 3) + k_2 cdot ( -3; 4; 9) + k_3 cdot (2; -2; 4) = (8; -9; 6)$;
Для того чтобы узнать координаты в данном базисе, составим расширенную матрицу, действия со строчками будем записывать как в предыдущем примере:
$begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 2 & 8 \ -1 & 4 & -2 & -9 \ 3 & 9 & 4 & 6 \ end{array}$
1) (2) — (1); (3) — (1) $cdot 3$:
$begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 2 & 8 \ 0 & 1 & 0 & -1 \ 0 & 18 & -2 & -18 \ end{array}$;
2) (1) + (2) $cdot 3$; (3) — (2) $cdot 18$:
$begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 2 & 5 \ 0 & 1 & 0 & -1 \ 0 & 0 & -2 & 0 \ end{array}$;
3) (3) : (-2):
$begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 2 & 5 \ 0 & 1 & 0 & -1 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ end{array}$;
4) (1) — (3) $cdot 2$:
$begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 5 \ 0 & 1 & 0 & -1 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ end{array}$;
Координатами вектора $vec{k}$ в заданном базисе будут $(5; — 1; 0)$.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме