Сложение
и вычитание векторов.
Сумма
двух векторов. Законы сложения векторов. Правило параллелограмма.
Представим себе такую ситуацию.
Направляясь из школы домой, вам захотелось пить и вы решили зайти сначала в
магазин, а затем уже домой. Цель достигнута: вы из школы добрались домой.
Сейчас мы описали принцип первого правила сложения векторов.
Правило треугольника.
Чтобы найти вектор суммы двух векторов 
и 
, нужно:
1) совместить параллельным переносом начало вектора с концом
вектора ;
2) провести вектор из начала вектора в конец
вектора ;
3) получившийся вектор и есть вектор суммы: 
.
Если к вектору 
прибавить
нулевой вектор 
по правилу
треугольника, то получим вектор , т.е.
справедливо равенство: 
.
Утверждение. Если 
и 
–
произвольные точки, то 
.
Например, 
.
Сложение векторов подчиняется алгебраическим законам.
ТЕОРЕМА.
Для любых векторов 
и 
справедливы
равенства:
(переместительный
закон)
(сочетательный
закон).
Дано: 
Доказать: 1) 
2) 
Доказательство.
Доказательство теоремы в случае, когда
векторы коллинеарны достаточно простое. Его вы можете провести самостоятельно.
Мы рассмотрим случай, когда данные векторы неколлинеарны.
1). Отметим произвольную точку 
и отложим от этой точки
вектор 
. Воспользуемся правилом
треугольника и прибавим к нему вектор 
. Вектором суммы этих двух
векторов является вектор 
. (Рисунок слева).
Теперь от точки и отложим вектор 
. По правилу треугольника
прибавим к нему вектор 
. Вектором суммы этих двух
векторов является вектор 
. (Рисунок справа).
– параллелограмм и точка 
совпадает с точкой 
. Значит, 
, т.е. 
 |
2). От точки отложим вектор , от точки 
отложим вектор , а от точки – вектор 
. Найдём суммы векторов по
правилу треугольника.
Теорема доказана.
При доказательстве первой формулы получился параллелограмм,
причём, из точки выходят два вектора и 
, а вектор их суммы является
диагональю параллелограмма. На основе этого возникает второе правило
геометрического сложения векторов.
Правило параллелограмма.
Чтобы найти вектор суммы двух векторов и , нужно:
1) совместить параллельным переносом начала векторов и ;
2) на этих векторах достроить параллелограмм;
3) вектором суммы является
вектор, который лежит на диагонали параллелограмма, имеющий своё начало в
начале исходных векторов.
Сумма
нескольких векторов.
Сложение нескольких векторов происходит по принципу правила
треугольника. Складываются два вектора, к вектору суммы прибавляется следующий
вектор и т.д. Приведём пример.
Сложить векторы 
.
Отметим точку и отложим от неё вектор . Прибавим к нему вектор по правилу треугольника. 
. Теперь к вектору 
прибавим вектор . 
. К вектору 
прибавляем вектор 
. 
. Осталось к вектору 
прибавить вектор 
. 
.
Итак, 
. Значит, суммой векторов 
является вектор, с началом
в начале первого вектора и концом – в конце последнего. Такое сложение векторов
называется правилом многоугольника.
Правило многоугольника.
Чтобы найти вектор суммы нескольких векторов, нужно:
1) последовательно совместить параллельным переносом начало
последующего вектора с концом предыдущего;
2) вектором суммы всех векторов является вектор, с началом в
начале первого вектора и концом – в конце последнего.
Вычитание
векторов.
Определение. Разностью
двух векторов и называется такой вектор 
, что при
сложении его с вектором получается
вектор .
Вычитание
векторов можно производить, руководствуясь двумя понятиями: следствием из
правила треугольника сложения векторов; определением разности двух чисел. Разберём
каждое из них.
Сложим векторы и по правилу треугольника. По
рисунку видно, что . Отсюда, 
и 
. Значит, разность двух
векторов можно составить, совмещая их начала, либо совмещая их концы. Отсюда
два правила:
I правило
вычитания векторов.
Чтобы найти вектор разности двух векторов, нужно:
1) совместить параллельным переносом начала этих векторов;
2) вектором разности является вектор с началом в конце второго вектора
и концом в конце первого вектора.
II правило
вычитания векторов.
Чтобы найти вектор разности двух векторов, нужно:
1) совместить параллельным переносом концы этих векторов;
2) вектором разности является вектор с началом в начале первого
вектора и концом в начале второго вектора.
Далее, из алгебры мы знаем, что для того, чтобы
из числа 
вычесть
число 
, нужно к числу прибавить
число, противоположное числу , т.е. 
. Такое же
правило справедливо и для векторов.
ТЕОРЕМА.
Для любых векторов справедливо
равенство:
Дано: 
Доказать:
Доказательство.
1. Найдём разность векторов 
по
I правилу. Вектором разности является
вектор (рисунок слева). А теперь
найдём сумму векторов 
по правилу
треугольника, где 
– вектор,
противоположный вектору . Вектором
суммы является вектор 
(рисунок
справа). Не трудно заметить, что 
. Они сонаправлены и имеют
одинаковые модули.
2. А теперь докажем то же самое аналитически. По определению
разности векторов,
Что и требовалось доказать.
Из этой теоремы следует третье правило
вычитания векторов.
III правило
вычитания векторов.
Чтобы найти вектор разности двух векторов, нужно к первому вектору прибавить вектор, противоположный
второму.
Используя это правило вычитания векторов,
способ сложения векторов выбирается произвольно.
1. 
Вектор 
является суммой векторов 
и 
. Определите, какой из четырёх рисунков верный.
2. Проведите векторы 
. Какая геометрическая фигура у вас
получилась?
3. 
Вектор является разностью векторов и . Определите, какой из четырёх рисунков
верный.
4. 
Вектор является суммой векторов и . Определите, какой из четырёх рисунков
верный.
5. 
Выразите
вектор 
через векторы 
, используя рисунок.
6. 
Выразите
вектор 
через векторы 
, используя рисунок.
7. Упростите выражения:
8. Длина вектора равна 
, а длина вектора равна 
. Сколько различных целых значений может
принимать длина вектора 
?
9. Длина вектора равна 
, а длина вектора 
равна 
. Сколько различных целых значений может
принимать длина вектора 
?
10. Длина вектора равна 
, а длина вектора равна 
. Сколько различных целых значений может
принимать длина вектора ?
11. Длина вектора равна 
, а длина вектора равна 
. Сколько различных целых значений может
принимать длина вектора ?
12. Длина вектора равна 
, а длина вектора равна . Сколько различных целых значений может
принимать длина вектора ?
13. В квадрате 
проведены диагонали 
и 
. Укажите номера верных утверждений.
|
1) |
2) |
3) |
|||
|
4) |
5) |
6) |
|||
|
7) |
|
||||
14. 
– параллелограмм. Найдите сумму векторов 
.
15. – прямоугольник. Диагонали и пересекаются в точке 
. Укажите номера верных утверждений.
|
1) |
2) |
3) |
|||
|
4) |
5) |
6) |
|||
|
7) |
|
9) |
10) |
||
16. 
– параллелограмм. Выразите векторы 
и 
через векторы и 
.
17. 
– параллелограмм. Выразите векторы 
и 
через векторы и .
18. 
– прямоугольник. Выразите векторы 
и 
через векторы и .
19. 
– параллелограмм. Выразите векторы 
и 
через векторы и .
20. 
Найдите длины
векторов 
, изображённых на клетчатой бумаге с
размерами клетки 1 х 1.
21. 
Две стороны
прямоугольника равны 20 и 21. Найдите длину суммы
векторов и 
.
22. 
Две стороны
прямоугольника равны 7 и 24. Найдите длину разности
векторов и .
23. 
На каждом рисунке
найдите длину вектора (размеры клетки 1 х 1).
24. 
На каждом рисунке
найдите длину суммы векторов и (размеры клетки 1 х 1).
25. 
На каждом рисунке
найдите длину разности векторов и , изображённых на клетчатой бумаге с
размерами клетки 1 х 1.
Содержание:
- Формула
- Примеры нахождения суммы векторов
Формула
Чтобы найти сумму векторов $bar{a}+bar{b}$, которые заданны координатами
$bar{a}=(a_x;a_y)$ и $bar{b}=(b_x;b_y)$, необходимо сложить соответствующие
координаты этих векторов,
то есть
$$bar{a}+bar{b}=left(a_{x}+b_{x} ; a_{y}+b_{y}right)$$
В случае если векторы заданы в пространстве, то есть $bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}right)$, то их сумма равна
$$bar{a}+bar{b}=left(a_{x}+b_{x} ; a_{y}+b_{y} ; a_{z}+b_{z}right)$$
Примеры нахождения суммы векторов
Пример
Задание. Найти сумму векторов
$bar{a}+bar{b}$,
$bar{a}=(2;0)$ и
$bar{b}=(1;3)$
Решение. Для нахождения суммы векторов, сложим их соответствующие координаты
$$bar{a}+bar{b}=(2 ; 0)+(1 ; 3)=(2+1 ; 0+3)=(3 ; 3)$$
Ответ. $bar{a}+bar{b}==(3 ; 3)$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Найти суммы векторов
$bar{a}+bar{b}$,
$bar{a}+bar{c}$,
$bar{b}+bar{c}$ и
$bar{a}+bar{b} +bar{c}$, если
$bar{a}=(1;-1;0)$,
$bar{b}=(3;2;-1)$ и
$bar{c}=(4;2;-1)$
Решение. Для нахождения искомой суммы векторов сложим их соответствующие координаты:
$$bar{a}+bar{b}=(1+3 ;-1+2 ; 0+(-2))=(4 ; 1 ;-2)$$
$$bar{a}+bar{c}=(1+4 ;-1+2 ; 0+(-1))=(5 ; 1 ;-1)$$
$$bar{b}+bar{c}=(3+4 ; 2+2 ;-2+(-1))=(7 ; 4 ;-3)$$
$$bar{a}+bar{b}+bar{c}=(1+3+4 ;-1+2+2 ; 0+(-2)+(-1))=(8 ; 3 ;-3)$$
Ответ. $bar{a}+bar{b}=(4 ; 1 ;-2)$ , $bar{a}+bar{c}=(5 ; 1 ;-1)$ , $bar{b}+bar{c}=(7 ; 4 ;-3)$ , $bar{a}+bar{b}+bar{c}=(8 ; 3 ;-3)$
Читать дальше: как найти разность векторов.
В механике существуют два типа величин:
- скалярные величины, задающие некоторое числовое значение — время, температура, масса и т.д.
- векторные величины, которые вместе с некоторым числовым значением задают направление — скорость, сила и т.д..
Рассмотрим сначала алгебраический подход к сложению векторов.
Покоординатное сложение векторов.
Пусть даны два вектора, заданные покоординатно ( чтобы вычислить координаты вектора, нужно вычесть из соответствующих координат его конца соответствующие координаты его начала, т.е. из первой координаты — первую, из второй — вторую и т.д.):
Тогда координаты вектора, получившегося при сложении этих двух векторов вычисляются по формуле:
В двумерном случае все абсолютно анологично, просто отбрасываем третью координату.
Теперь перейдем к геометрическому смыслу сложения двух векторов:
При сложении векторов нужно учитывать и их числовые значения, и направления. Есть несколько широко используемых методов сложения:
- правило параллелограмма
- правило треугольника
- тригонометрический способ
Правило параллелограмма. Сложение векторов по правилу параллелограмма. |
|
 |
Процедура сложения векторов по правилу параллелограмма заключается в следующем:
|
Правило треугольника. Сложение векторов по правилу треугольника. |
|
 |
Сложение векторов по правилу треугольника заключается в следующем:
|
Тригонометрический способ. Сложение векторов тригонометрическим способом. |
|
 |
Результирующий вектор сложения двух компланарных векторов может быть вычислен с помощью теоремы косинусов:
Угол между результирующим вектором и одним из исходных векторов может быть вычислен по теореме синусов:
|
Пример — сложение векторов.
Сила 1 равна 5кН и воздействует на тело в направлении, на 80o отличающемся от направления действия второй силы, равной 8 кН.
Результирующая сила вычисляется следующим образом:
Fрез = [ (5 кН)2 + (8 кН)2 — 2 (5 кН)(8 kН) cos(180o — (80o)) ]1/2
= 10,14кН
Угол между результирующей силой и первой силой равен:
β= arcsin[ (8кН) sin(180o — (80o)) / (10,14кН) ]
= 51o
А угол между второй и результирующей силой можно посчитать следующим образом: as
α = arcsin [ (5 кН) sin(180o — (80o)) / (10,2 кН) ]
= 29o
Он-лайн калькулятор сложения векторов.
Калькулятор ниже может быть использован для любвых векторных величин ( силы, скорости и т.д.) Точка начала вектора совпадает с началами обоих исходных векторов.
Сумма и разность векторов
В данной публикации мы рассмотрим, как найти сумму и разность векторов, приведем геометрическую интерпретацию, а также формулы, свойства и примеры этих действий.
Сумма векторов
Сложение векторов выполняется по правилу треугольника.
Геометрическая интерпретация:
Суммой a и b является вектор c , начало которого совпадает с началом a , а конец – с концом b . При этом конец вектора a должен совпадать с началом вектора b .
Для сложения векторов также используется правило параллелограмма.
Два неколлинеарных вектора a и b можно привести к общему началу, и в этом случае их суммой является вектор c , совпадающий с диагональю параллелограмма и берущий начало в той же точке, что и исходные векторы.
Формула сложения векторов
Элементы вектора c равняются попарной сумме соответствующих элементов a и b .
» data-lang=»default» data-override=»<«emptyTable»:»»,»info»:»»,»infoEmpty»:»»,»infoFiltered»:»»,»lengthMenu»:»»,»search»:»»,»zeroRecords»:»»,»exportLabel»:»»,»file»:»default»>» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>
| Для плоских задач | a + b = x + bx; ay + by> |
| Для трехмерных задач | a + b = x + bx; ay + by; az + bz> |
| Для n-мерных векторов | a + b = 1 + b1; a2 + b2; . an + bn> |
Свойства сложения векторов
1. Коммутативность: a + b = b + a
2. Ассоциативность: ( a + b ) + c = a + ( b + c )
3. Прибавление к нулю: a + 0 = a
4. Сумма противоположных векторов: a + (- a ) = 0
Примечание: Вектор – a коллинеарен и равен по длине a , но имеет противоположное направление, из-за чего называется противоположным.
Разность векторов
Для вычитания векторов также применяется правило треугольника.
Если из вектора a вычесть b , то получится c , причем должно соблюдаться условие:
Формула вычитания векторов
Элементы вектора c равны попарной разности соответствующих элементов a и b .
» data-lang=»default» data-override=»<«emptyTable»:»»,»info»:»»,»infoEmpty»:»»,»infoFiltered»:»»,»lengthMenu»:»»,»search»:»»,»zeroRecords»:»»,»exportLabel»:»»,»file»:»default»>» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>
| Для плоских задач | a — b = x — bx; ay — by> |
| Для трехмерных задач | a — b = x — bx; ay — by; az — bz> |
| Для n-мерных векторов | a — b = 1 — b1; a2 — b2; . an — bn> |
Примеры задач
Задание 1
Вычислим сумму векторов и .
Задание 2
Найдем разность векторов и .
Как найти сумму векторов
Формула
Примеры нахождения суммы векторов
Задание. Найти сумму векторов $bar+bar$, $bar=(2;0)$ и $bar=(1;3)$
Решение. Для нахождения суммы векторов, сложим их соответствующие координаты
Решение. Для нахождения искомой суммы векторов сложим их соответствующие координаты:
Остались вопросы?
Здесь вы найдете ответы.
Поможем выполнить
любую работу
Все еще сложно?
Наши эксперты помогут разобраться
Не получается написать работу самому?
Доверь это кандидату наук!
Ищещь ответ на вопрос с которым нужна помощь?
Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор.
Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор
В механике существуют два типа величин:
- скалярные величины, задающие некоторое числовое значение — время, температура, масса и т.д.
- векторные величины, которые вместе с некоторым числовым значением задают направление — скорость, сила и т.д..
Рассмотрим сначала алгебраический подход к сложению векторов.
Покоординатное сложение векторов.
Тогда координаты вектора, получившегося при сложении этих двух векторов вычисляются по формуле:
В двумерном случае все абсолютно анологично, просто отбрасываем третью координату.
Теперь перейдем к геометрическому смыслу сложения двух векторов:
При сложении векторов нужно учитывать и их числовые значения, и направления. Есть несколько широко используемых методов сложения:
- правило параллелограмма
- правило треугольника
- тригонометрический способ
Правило параллелограмма. Сложение векторов по правилу параллелограмма.
| |
Процедура сложения векторов по правилу параллелограмма заключается в следующем:
|
Правило треугольника. Сложение векторов по правилу треугольника.
|
Сложение векторов по правилу треугольника заключается в следующем:
|
Тригонометрический способ. Сложение векторов тригонометрическим способом.
|
Результирующий вектор сложения двух компланарных векторов может быть вычислен с помощью теоремы косинусов:
Угол между результирующим вектором и одним из исходных векторов может быть вычислен по теореме синусов:
|
Пример — сложение векторов.
Сила 1 равна 5кН и воздействует на тело в направлении, на 80 o отличающемся от направления действия второй силы, равной 8 кН.
Результирующая сила вычисляется следующим образом:
Fрез = [ (5 кН) 2 + (8 кН) 2 — 2 (5 кН)(8 kН) cos(180 o — (80 o )) ] 1/2
Угол между результирующей силой и первой силой равен:
А угол между второй и результирующей силой можно посчитать следующим образом: as
α = arcsin [ (5 кН) sin(180 o — (80 o )) / (10,2 кН) ]
Он-лайн калькулятор сложения векторов.
Калькулятор ниже может быть использован для любвых векторных величин ( силы, скорости и т.д.) Точка начала вектора совпадает с началами обоих исходных векторов.
Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team
http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_13_1.php
http://dpva.ru/Guide/GuideMathematics/linearAlgebra/vectorsaddition/
Заказать задачи по любым предметам можно здесь от 10 минут
Сложение векторов
Формула
Чтобы складывать вектора нужно найти суммы соответствующих координат данных векторов. Например, пусть есть векторы на плоскости $ overline{a} = (x_1;y_1) $ и $ overline{b}=(x_2;y_2) $, тогда их сумму можно найти по формуле: $$ overline{a}+overline{b} = (x_1+x_2;y_1+y_2)$$
Если векторы заданы в пространстве тремя координатами $ overline{a} = (x_1;y_1;z_1) $ и $ overline{b}=(x_2;y_2;z_2) $, то выполнить сложение нужно по другой формуле:
$$ overline{a}+overline{b} = (x_1+x_2;y_1+y_2; z_1+z_2) $$
При сложении первая координата первого вектора складывается с первой координатой второго вектора, вторая координата первого вектора складывается со второй координатой второго вектора и так далее в зависимости от размерности векторов. Стоит отметить, что складывать векторы можно только одинаковой размерности.
Примеры решений
| Пример |
| Даны два вектора $ overline{a} = (1,3) $ и $ overline{b} = (2,4) $. Нужно сложить два вектора. |
| Решение |
|
Итак, как складывать вектора по координатам? К первой прибавляем первую, вторую ко второй: $$ overline{a}+overline{b} = (1+2;3+4) = (3;7) $$ В этой задаче векторы заданы в двумерном пространстве и имеют только две координаты. Если бы координат было бы три, то применять нужно вторую формулу для трехмерной задачи. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ overline{a}+overline{b} = (3;7) $$ |