Как найти вектор по двум проекциям

Аналитическая геометрия – раздел геометрии, в котором про-стейшие геометрические образы – линии и поверхности (а также их частные случаи прямые и плоскости) исследуются средствами алгеб-ры на основе метода координат.

Прямоугольная система координат в пространстве

Прямоугольная система координат Oxyz в пространстве определяется заданием масштабной единицы измерения длин и трех пересекающихся в одной точке О взаимно перпендикулярных осей:
Ох, Оу и Oz. Точка О — начало координат, Ох — ось абсцисс, Оу — ось координат, Oz — ось аппликат.

Пусть М — произвольная точка пространства (рис. 121). Проведем через точку М три плоскости, перпендикулярные координатным осям Ох, Оу и Oz.

Точки пересечения плоскостей с осями обозначим соответственно через Прямоугольными координатами точки М называются числа

т. е. величины направленных отрезков при этом х называется абсциссой, у — ординатой, a z — аппликатой точки М.

Таким образом, при выбранной системе координат каждой точке М пространства соответствует единственная упорядоченная тройка чисел (х; у; z) — ее прямоугольные координаты и, обратно, каждой упорядоченной тройке чисел (х; у; z) соответствует, и притом одна, точка М в пространстве.

Итак, прямоугольная система координат в пространстве устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек пространства и множеством упорядоченных троек чисел.

Плоскости Оху, Oyz, Oxz называются координатными плоскостями. Они делят все пространство на восемь частей, называемых октантами.

Понятие вектора

Скалярные и векторные величины

Многие физические величины полностью определяются заданием некоторого числа. Это, например, объем, масса, плотность, температура тела и др. Такие величины называются скалярными. В связи с этим числа иногда называют скалярами.

Но есть и такие величины, которые определяются заданием не только числа, но и некоторого направления. Например, при движении тела следует указать не только скорость, с которой движется тело, но и направление движения. Точно так же, изучая действие какой- либо силы, необходимо указать не только значение этой силы, но и направление ее действия. Такие величины называются векторными. Для их описания было введено понятие вектора, оказавшееся полезным для математики.

Определение вектора

Любая упорядоченная пара точек А и В пространства определяет направленный отрезок, т. е. отрезок вместе с заданным на нем направлением. Если точка А первая, то ее называют началом направленного отрезка, а точку В — его концом. Направлением отрезка считают направление от начала к концу.

Определение:

Направленный отрезок называется вектором.
Будем обозначать вектор символом причем первая буква означает начало вектора, а вторая — его конец. Вектор также обозначают и одной буквой с черточкой наверху, например Направление вектора на рисунке указывают стрелкой (рис. 122).

Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается или просто 0.

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной и обозначается

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.

Нулевой вектор будем считать направленным одинаково с любым вектором; длина его равна нулю, т. е.
Теперь можно сформулировать важное понятие равенства двух векторов.

Определение:

Векторы называются равными , если они коллинеарны. одинаково направлены и их длины равны.

На рис 123 изображены слева неравные, а справа — равные векторы . Из определения равенства векторов следует, что если данный вектор перенести параллельно самому себе, то получится вектор, равный данному. В связи с этим векторы в аналитической геометрии называют свободными.

Проекция вектора на ось

Пусть в пространстве заданы ось и некоторый вектор Проведем через точки А и В плоскости, перпендикулярные оси и. Обозначим через А’ и В’ точки пересечения этих плоскостей с осью (рис. 124).

Проекцией вектора на ось и называется величина А’В’ направленного отрезка на оси . Напомним, что
Имеет место следующая теорема.

Теорема:

Проекция вектора на ось и равна длине вектора , умноженной на косинус угла между вектором и осью и
т. е.

где — угол между вектором и осью (рис. 125).

Доказательство:

Если (рис. 125, а), то в силу (1)

Если же (рис. 125, б), то в силу (1)
Таким образом, для любого угла справедливо равенство (2). ■

Замечание 1. Пусть и задана какая-то ось . Применяя к каждому из этих векторов формулу (2), получаем
т. е. равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось.

Проекции вектора на оси координат

Пусть в пространстве заданы прямоугольная система координат Oxyz и произвольный вектор
. Пусть, далее,

Проекции X, У, Z вектора на оси координат называют его координатами. При этом пишут

Теорема:

Каковы бы ни были две точки координаты вектора определяются следующими формулами:

Доказательство:

Проведем через точки А и В плоскости, перпендикулярные оси Ох, и обозначим точки их пересечения с осью Ох соответственно через А’ и В’. Точки А’ и В’ на оси Ох

имеют координаты (рис. 126). По определению, (см. гл. 1, § 3). Поэтому Аналогично устанавливаются и остальные формулы (3).

Замечание 2. Если вектор выходит из начала координат, т. е. то координаты X, Y, Z вектора АВ равны координатам его конца:

Направляющие косинусы вектора

Пусть дан произвольный вектор ; будем считать, что выходит из начала координат и не лежит ни в одной координатной плоскости. Проведем через точку А плоскости, перпендикулярные осям, вместе с координатными плоскостями они образуют прямоугольный параллелепипед, диагональю которого служит отрезок ОА (рис. 127). Из элементарной геометрии известно, что квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его измерений. Следовательно,

Формула (4) выражает длину произвольного вектора через его координаты.

Обозначим через углы между вектором и осями координат. Из формул (2) и (4) получаем
называются направляющими косинусами вектора .

Возводя в квадрат левую и правую части каждого из равенств (5) и суммируя полученные результаты, имеем
т. е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.

В заключение пункта рассмотрим задачу. Пусть даны две произвольные точки Найдем расстояние d между ними. Используя теорему 9.2 и формулу (4), сразу получаем искомый результат

Линейные операции над векторами и их основные свойства

Линейными операциями над векторами называются операции сложения и вычитания векторов и умножения векторов на числа.

Сложение двух векторов

Пусть даны два вектора . Суммой называется вектор, который идет из начала вектоpa в конец вектора при условии, что вектор Ь приложен к концу вектора а (рис. 128, а).

Замечание:

Действие вычитания векторов обратно действию сложения, т. е. разностью векторов называется вектор, который в сумме с вектором дает вектор (рис. 128, б).

Замечание:

Определив сумму двух векторов, можно найти сумму любого числа данных векторов. Пусть, например, даны три вектора Сложила , получим вектор . Прибавив теперь к нему вектор, , получим вектор

Произведение вектора на число

Пусть даны вектор и число Произведением называется вектор, который коллинеарен вектору , имеет длину, равную и направление такое же, как и вектор , если и противоположное, если (рис. 129).

Геометрический смысл операции умножения вектора на число можно выразить следующим образом: если то при умножении вектора на число вектор «растягивается» в раз, а если — «сжимается» раз. При вектор изменяет направление на противоположное. На рис. 129 изображен случай .

Если то произведение считаем равным нулевому вектору.

Замечание:

Используя определение умножения вектора на число, нетрудно доказать, что если векторы коллинеарны и то существует (и притом только одно) число такое, что (докажите это утверждение самостоятельно).

Основные свойства линейных операций

1°. (переместительное свойство сложения).
Доказательство. Приложив векторы к одной точке О, построим на них параллелограмм (рис. 130). Тогда

2°. (сочетательное свойство сложения).

Доказательство:

Расположим рассматриваемые векторы так, чтобы вектор был приложен к концу вектора , а вектор — к концу вектора . Обозначим буквой О начало вектора буквой А — его конец, буквой В — конец вектора и буквой С — конец вектора (рис. 131). Тогда

Рассмотрим еще три свойства линейных операций, два из которых относятся одновременно к сложению векторов и умножению вектора на число. Пусть — произвольные числа, — любые векторы. Тогда:

Докажем свойство 3°. Если хотя бы одно из чисел или вектор равны нулю, то обе части равенства 3° обращаются в нуль. Если то векторы коллинеарны, одинаково направлены (их направления либо совпадают с направлением вектора , если имеют одинаковый знак, либо противоположны направлению вектора если разных знаков) и имеют одинаковые длины следовательно, они равны. ■

Докажем свойство 4°. Пусть имеют одинаковые знаки и Тогда векторы коллинеарны и одинаково направлены (при их направления совпадают с направлением вектора , а при противоположны направлению . Таким образом векторы коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины, следовательно, они равны.

Пусть теперь имеют разные знаки и для определенности . В этом случае векторы направлены так же, как вектор . Длина вектора равна т. е. длина вектора равна длине вектора ■ Следовательно, и в этом случае векторы и равны. Если же и знаки . различны, то обе части доказываемого равенства равны нулю.

Равенство 4° очевидно, если хотя бы одно из чисел или вектор равны нулю. ■

Докажем свойство 5°. Пусть неколлинеарные векторы и Построим векторы (рис. 132). Из подобия треугольников и определения операции умножения вектора на число следует, что а из треугольника получаем: Таким образом, т. е. доказываемое равенство справедливо. Случаях рассматривается аналогично.

Если — коллинеарные векторы и то вектор можно представить в виде и искомое равенство следует из равенству 3° и 4°. Действительно. Доказываемое равенство очевидно, если один из векторов или число равны нулю. ■

Замечание:

Доказанные свойства линейных операций имеют фундаментальное значение, так как дают возможность производить над векторами обычные алгебраические действия. Например, в силу свойств 4° и 5° можно выполнять умножение скалярного многочлена на векторный многочлен «почленно».

Теоремы о проекциях векторов

Теорема:

Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось, т. е.

Доказательство:

Пусть точки — соответственно начало и конец вектора точки —начало и конец вектора (рис. 133). Обозначим через соответственно проекции на ось точек По определению, Согласно основному тождеству (см. гл. 1, § 3) Отсюда

Теорему можно обобщить на случай любого числа слагаемых.

Теорема:

При умножении вектора на число eго проекция на ось также умножается на это число, т. е.

Доказательство:

Пусть —угол между вектором и осью — угол между вектором и осью (рис. 134). Тогда, если то векторы направлены одинаково и Если же то векторы имеют противоположные направления и По теореме 9.1 имеем: при

при равенство (1) очевидно. Таким образом, при любом X

Из доказанных теорем вытекают два важных следствия.

Следствие:

Из теоремы 9.3 вытекает, что если

Следствие:

Из теоремы 9.4 вытекает, что если для любого числа .

Отсюда легко выводится условие коллинеарности двух векторов в координатах. В самом деле, равенство равносильно равенствам или

т. е. векторы коллинеарны в том и только в том случае, когда их координаты пропорциональны.

Разложение вектора по базису

Пусть векторы — единичные векторы осей координат,
т. е. и каждый из них одинаково направлен с соответствующей осью координат (рис. 135). Тройка векторов называется базисом. Имеет место следующая теорема.

Теорема:

Любой вектор может быть единственным образом разложен по базису т. е. представлен в виде
где — некоторые числа.

Доказательство:

Приложив вектор к началу координат, обозначим его конец через А. Проведем через точку А плоскости, перпендикулярные осям координат. Пусть — точки пересечения этих плоскостей с осями координат. По определению сложения векторов имеем

Из равенств (2) получаем

Так как векторы коллинеарны, то

где — некоторые числа.

Из равенства (3) и соотношений (4) получаем

Для доказательства единственности представления (1) установим, что
где X, У, Z — координаты вектора .

Покажем, например, что Так как , если имеет то же направление, что и вектор если вектор имеет направление, противоположное направлению вектора Сравнивая с равенством получаем .

Аналогично показывается, что ■

Скалярное произведение векторов. Определение и основные свойства скалярного произведения

Определение:

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один из векторов нулевой, то угол не определен и скалярное произведение по определению полагают равным нулю.

Скалярное произведение векторов обозначают Итак,
где — угол между векторами (рис.136).

Так как то можно записать

Типичным примером скалярного произведения в физике является формула работы

где вектор — сила, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора (рис.137).

Рассмотрим некоторые свойства скалярного произведения.
1°. (свойство перестановочности сомножителей).

Доказательство:

По определению скалярного произведения поскольку это произведение чисел. Следовательно, ■
2°. (свойство сочетательности относительно умножения на число). Доказательство. По формуле (1) имеем

Замечание:

Из свойств 1° и 2° следует, что Действительно,

3°. (свойство распределительности суммы векторов).
Доказательство. По формуле (1)

Замечание:

Доказанное свойство дает право при скалярном умножении векторных многочленов выполнять действия почленно. В силу свойства 1° можно при этом не заботиться о порядке сомножителей, а свойство 2° позволяет (см. замечание 1) объединить числовые коэффициенты векторных сомножителей. Например

4°.

Доказательство:

По определению скалярного произведения т. е. если Если же то также, по определению, Но в этом случае и, значит, равенство также справедливо. ■

Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора и обозначается . На основании только что доказанного мы имеем: ; отсюда, в частности,

5″. если , и, обратно, , если

Доказательство:

По определению скалярного произведения Если т. e перпендикулярны друг другу, то

Обратно, если т. е. векторы перпендикулярны. ■

Замечание:

Из свойств 4° и 5° для базисных векторов (рис. 138) непосредственно получаем следующие равенства:

Выражение скалярного произведения через координаты векторов

Теорема:

Если векторы заданы своими координатами: то их скалярное произведение определяется формулой

Доказательство:

Разложим векторы по базису Используя замечание 2, получаем

Откуда, используя равенства (2), находим:

Из теоремы 9.6 вытекают два важных следствия.
Следствие 1. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов является равенство

Это утверждение непосредственно следует из свойства 5° и теоремы 9.6

Следствие:

Угол между векторами
определяется равенством
Действительно, по определению скалярного произведения откуда

В силу теоремы 9.6 и формулы (4) § 2 из формулы (5) следует формула (4).

Пример:

Даны три точки
Найти угол

Решение:

Применяя теорему 9.2, найдем АВ = { 1; 1; 0), Отсюда на основании формулы (4) получаем

Векторное произведение

Определение векторного произведения: Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, какой из них считается первым, какой вторым и какой третьим.
Например, в записи вектор считается первым,
— вторым, —третьим; в записи вектор — первый, — второй, — третий.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если после приведения их к общему началу из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой.

Определение:

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который определяется тремя условиями: 1) длина вектора равна — угол между векторами ;
2) вектор перпендикулярен каждому из векторов ;
3) векторы образуют правую тройку векторов (рис. 139).

Заметим, что условия 2) и 3) относятся к случаю, когда т. е. вектор Если (т. е. либо, по крайней мере, один из векторов нулевой, либо ), то векторное произведение определяется только условием 1): в этом случае .
Понятие векторного произведения имеет свой источник в механике.

Пусть в точке М твердого тела приложена сила и О — некоторая точка пространства. Как известно из механики, Моментом силы относительно точки О (точка приложения момента) называется вектор , который: 1) имеет длину, равную , где — угол между векторами ;
2) перпендикулярен плоскости , проходящей через точки О, М, К,
3) направлен так, что из конца его сила представляется вращающей плоскость вокруг точки О против часовой стрелки (рис. 140). Из рисунка, на котором , видно, что представляет собой векторное произведение .

Основные свойства векторного произведения

1°. если — коллинеарные векторы.

Доказательство:

Если векторы коллинеарны, то .
Следовательно, т. е. длина вектора а X b равна нулю, а значит, и сам вектор а X b равен нулю. ■
2°. Длина векторного произведения неколлинеарных векторов равна площади s параллелограмма, построенного на этих векторах (см. рис. 139).

Доказательство:

Как известно из элементарной геометрии, площадь параллелограмма равна произведению его смежных сторон на синус угла между ними. Отсюда т. е.

3°. (свойство антиперестановочности сомножителей).

Доказательство:

Если векторы коллинеарны, то свойство очевидно. Пусть неколлинеарны. Из определения векторного произведения следует, что векторы имеют одинаковые длины (длина векторного произведения не зависит от порядка сомножителей), коллинеарны (они перпендикулярны одной и той же плоскости, в которой лежат векторы ),но направлены противоположно (рис. 141), так как векторы образуют правые тройки. Следовательно,

4°. (свойство сочетательности по отношению к скалярному множителю) Доказательство. Если коллинеарны или то свойство очевидно. Пусть неколлинеарны и . Из определения векторного произведения следует, что поэтому векторы имеют одинаковую длину. Кроме этого, они перпендикулярны к каждому из векторов и, значит, коллинеарны друг другу. Наконец, они одинаково направлены (рис. 142) (при это очевидно, так как одинаковое направление имеют векторы ; при векторы имеют противоположные направления, поэтому вектор направлен противоположно вектору но при этом вектор также направлен противоположно вектору значит, и при векторы имеют одинаковое направление). Следовательно, векторы равны.

Используя свойства 3° и 4°, докажите самостоятельно, что

5° (свойство распределительности относительно суммы векторов).
Доказательство. Если векторы коллинеарны вектору с или хотя бы один из векторов нулевой, то свойство очевидно. В остальных случаях введем для доказательства единичный вектор одинаково направленный с вектором . Проведем через его начало О плоскость , перпендикулярную и рассмотрим треугольник ОАВ такой, что (рис. 143).

Спроектируем треугольник ОАВ на плоскость , в результате получим треугольник (если точка лежит на прямой , то треугольник вырождается в отрезок). Повернем треугольник , вокруг на 90° по часовой стрелке, если смотреть из конца , в результате получим треугольник . Обозначим через угол между векторами . Пусть для определенности (как на рис. 143). Остальные случаи угла рассматриваются аналогично.

Рассмотрим вектор . Длина этого вектора так как . Кроме этого, и векторы образуют правую тройку. Следовательно, по определению векторного произведения

Проводя аналогичные рассуждения для каждого из векторов получаем

Но так как то

Вектор направлен так же, как . Поэтому Умножив обе части равенства (1) на число , получим Отсюда согласно свойству 4° Заменяя окончательно имеем ■

Замечание:

Доказанное свойство дает право при вектор, ном умножении векторных многочленов выполнять действия почленно, а свойство 4°— объединить числовые коэффициенты векторных сомножителей. Например,

Следует, однако, помнить, что порядок сомножителей векторного произведения является существенным и при перестановке сомножителей знак векторного произведения можно изменить.

Замечание:

Согласно определению и свойствам 1° и 3°
векторного произведения для базисных векторов (рис. 144) получаем следующие равенства:

Выражение векторного произведения через координаты векторов

Теорема:

Если векторы координатами: , то векторное
произведение вектора на вектор определяется формулой

Эту формулу с помощью определителей второго порядка можно записать в виде

Доказательство:

Разложим векторы по базису :

Используя замечание 1, получаем
Отсюда, на основании равенств (2), находим

Получено разложение вектора по базису ; коэффициенты этого разложения представляют собой координаты вектора . Таким образом,

Пример:

Даны векторы . Найти координаты векторного произведения .
Решение. По формуле (3) находим

Смешанное произведение трех векторов

Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Определение:

Смешанным произведением трех векторов называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов , т.е.

Следующая теорема выражает геометрический смысл смешанного произведения.

Теорема:

Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах взятому со знаком «+», если тройка — правая, со знаком « —», если тройка — левая. Если же компланарны, то Другими словами:

Доказательство:

Пусть даны некомпланарные векторы образующие правую тройку. Обозначим через объем параллелепипеда, построенного на этих векторах, через s — площадь параллелограмма, построенного на векторах , а через h — высоту параллелепипеда (рис. 145). Тогда по определению скалярного и векторного произведений

где — угол между векторами , а — угол между векторами Так как то Если тройка — левая, то Поэтому Первое утверждение теоремы доказано.

Докажем второе утверждение. Пусть векторы компланарны. Если , то, очевидно, Пусть . Тогда либо (если векторы коллинеарны), либо (если неколлинеарны). В любом случае

Итак, доказано, что если векторы компланарны, то Верно и обратное: если , то векторы компланарны. Действительно, если бы векторы были некомпланарны, то по теореме 9.8 смешанное произведение что противоречит условию.

Следствие:

Из теоремы легко выводится следующее тождество
т. е. знаки в смешанном произведении можно менять местами.

Действительно, согласно свойству 1° скалярного произведения
Далее, по теореме 9.8 имеем

Так как тройки имеют одинаковую ориентацию, т. е. либо обе правые, либо обе левые, то, на основании теоремы 9.8 в правых частях равенств (3) нужно брать один и тот же знак. Таким образом, имеем

и на основании равенства (2)

т. е. получено тождество (1).

В силу тождества (1) смешанные произведения и можно обозначить более простым символом .

Выражение смешанного произведения через координаты векторов

Теорема:

Если векторы заданы своими координатами

то смешанное произведение определяется формулой

Доказательство:

По теореме 9.7
Имеем:

Умножая скалярно вектор на вектор используя теорему 9.6, получаем

Пример:

В пространстве даны четыре точки: А(1; 1; 1), В (4; 4; 4), С (3; 5; 5), D (2; 4; 7). Найти объем тетраэдра АВСD.

Решение:

Как известно из элементарной геометрии, объем тетраэдра ABCD равен одной шестой объема параллелепипеда, построенного на векторах отсюда и из теоремы 9.8 заключаем, что равен 1/6 абсолютной величины смешанного произведения Найдем это смешанное произведение. Прежде всего определим координаты векторов По теореме 9.2 имеем: Используя теорему 9.9, получаем

Отсюда

Уравнения поверхности и линии

Пусть заданы прямоугольная система координат Oxyz, произвольная поверхность S (рис. 146) и уравнение

Будем говорить, что уравнение (1) является уравнением поверхности S в заданной системе координат, если ему удовлетворяют координаты любой точки и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности.

С точки зрения данного определения поверхность S есть множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (1).

Пример:

В прямоугольной системе координат уравнение

определяет поверхность, являющуюся сферой радиуса R с центром в точке О (0; 0; 0) (рис. 147).

В самом деле, если М (х; у, z) — произвольная точка, то по формуле (7) (см. § 2, п. 5)

Следовательно, заданному уравнению удовлетворяют координаты тех и только тех точек, которые удалены от точки О на расстояние R. Таким образом, множество точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению, есть сфера с центром в начале координат и радиусом R.

Линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей, т. е. как множество точек, находящихся одновременно на двух поверхностях, и соответственно этому определять линию заданием двух уравнений. Таким образом, два уравнения
называются уравнениями линии L, если им удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на L, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на линии L.

Например, уравнения двух сфер

совместно определяют лежащую в плоскости Оху окружность, радиус которой равен единице с центром в начале координат.

Уравнение цилиндрической поверхности

Пусть в плоскости Оху лежит некоторая линия L (рис. 148). Проведем через каждую точку линии L прямую, параллельную оси Oz. Множество этих прямых образует некоторую поверхность S, которая называется цилиндрической. Указанные прямые называются образующими поверхности S, а линия L — ее направляющей.

Аналогично определяется .цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными осям Ох и Оу.

Для определенности будем рассматривать цилиндрическую поверхность S с образующими, параллельными оси Oz, и докажем, что она определяется уравнением вида

Действительно, пусть (1) — уравнение направляющей L. Возьмем на S любую точку М (х; у; z). Эта точка лежит на какой-то образующей. Если — пересечение этой образующей с плоскостью Оху, то точка и ее координаты х и у удовлетворяют уравнению (1). Но тогда числа х, у, z также удовлетворяют этому уравнению, поскольку F (х; у) от z не зависит. Итак, координаты х, у, z произвольной точки удовлетворяют уравнению (1). Очевидно, если т. е. координаты х и у не удовлетворяют уравнению (1). Это доказывает, что (1) является уравнением поверхности S.

Таким образом, уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Oz, не содержит координаты z и совпадает с уравнением направляющей. Например, если направляющей является эллипс

то соответствующая цилиндрическая поверхность называется эллиптическим цилиндром, а (2) — ее уравнением.

Заметим, что на плоскости Оху уравнение F (х; у)= 0 определяет линию L, но эта же линия в пространственной системе координат Oxyz задается двумя уравнениями

Так, например, в пространственной системе координат Oxyz уравнение определяет цилиндрическую поверхность — круговой цилиндр (рис. 149), а направляющая L этого цилиндра (окружность), лежащая в плоскости Оху, определяется двумя уравнениями

Уравнения плоскости

Покажем, что поверхности первого порядка плоскости и только плоскости, и рассмотрим два вида уравнений плоскости.

Общее уравнение плоскости:

Пусть заданы: прямоугольная система координат Oxyz, произвольная плоскость ; точка вектор , перпендикулярный плоскости , где А, В, С — его координаты (рис. 150).

Рассмотрим произвольную точку М (х, у, z). Точка М лежит на плоскости тогда и только тогда, когда векторы взаимно перпендикулярны. Так как координаты вектора равны то в силу условия перпендикулярности двух векторов [см. § 6, формулу (3)] получаем, что точка М (х, у, z) лежит на плоскости тогда и только тогда, когда

Это и есть искомое уравнение плоскости , так как ему удовлетворяют координаты х; у; z любой точки М, лежащей на плоскости , и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой плоскости.

Раскрывая скобки, приведем уравнение (1) к виду
Далее, обозначая число через D, получаем

Уравнение (2) называется общим уравнением плоскости. Таким образом, плоскость является поверхностью первого порядка, так как определяется уравнением первой степени.

Верно и обратное: всякое уравнение первой степени вида (2) определяет в заданной прямоугольной системе координат плоскость.

Действительно, пусть заданы прямоугольная система координат Oxyz и уравнение с произвольными коэффициентами А, В, С и D, причем из коэффициентов А, В и С хотя бы один отличен от нуля. Данное уравнение заведомо имеет хотя бы одно решение (если, например, , то, взяв произвольные из уравнения получим: ).
Таким образом, существует хотя бы одна точка координаты которой удовлетворяют уравнению, т. е. Вычитая это числовое равенство из уравнения получаем уравнение

эквивалентное данному. Полученное уравнение (а стало быть, и уравнение ) совпадает с уравнением (1) и, значит, определяет плоскость , проходящую через точку и перпендикулярную вектору

Вектор , перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором этой плоскости.

Пример:

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору
Решение. По формуле (1) искомое уравнение таково:
В заключение докажем следующую теорему.

Теорема:

Если два уравнения и определяют одну и ту же плоскость, то их коэффициенты пропорциональны.

Доказательство:

Действительно, векторы и перпендикулярны этой плоскости и, следовательно, коллинеарны. Но тогда числа пропорциональны числам (см. формулу (2), § 4), т. е.
или ( — множитель пропорциональности). Умножая первое из заданных уравнений на ц и вычитая из второго, получаем и, следовательно,

Угол между двумя плоскостями

Рассмотрим две плоскости заданные соответственно уравнениями
При любом расположении плоскостей в пространстве один из углов между ними равен углу между их нормальными векторами и вычисляется по следующей формуле:

Второй угол равен 180° — .

Условие параллельности плоскостей

Если плоскости параллельны, то коллинеарны их нормальные векторы и наоборот. Но тогда

Условие (4) является условием параллельности плоскостей

Условие перпендикулярности плоскостей

Если плоскости взаимно перпендикулярны, то их нормальные векторы также перпендикулярны друг другу, и наоборот. Поэтому из формулы (3) непосредственно получаем условие перпендикулярности плоскостей :

Нормальное уравнение плоскости

Расстояние от точки до плоскости. Пусть заданы прямоугольная система координат Охуz и произвольная плоскость (рис. 151). Проведем через начало координат прямую, перпендикулярную плоскости л. Будем называть ее нормалью. Обозначим через Р точку, в которой нормаль пересекает плоскость .

На нормали введем направление от точки О к точке Р. Если точки О и Р совпадают, то возьмем любое из двух направлений на нормали. Пусть — углы, которые составляет направленная нормаль с осями координат; р — длина отрезка ОР.

Выведем уравнение данной плоскости л, считая известными числа и р. Для этого введем единичный вектор на нормали, направление которого совпадает с положительным направлением нормали.

Так как — единичный вектор, то
Пусть М (х; у; z) — произвольная точка. Она лежит на плоскости тогда и только тогда, когда проекция вектора на нормаль равна р, т. е.

Заметим теперь, что По теореме 9.6, учитывая равенство (5), имеем

Из равенств (6) и (7) получаем, что точка М (х; у; z) лежит на плоскости тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

которое и является искомым уравнением данной плоскости. Уравнение плоскости в виде (8) называется нормальным.

Теорема:

Если точка М* имеет координаты х*, у*, z*, а плоскость задана нормальным уравнением

Доказательство:

Пусть Q — проекция точки М* на направленную нормаль (рис. 151); тогда в силу основного тождества (см. гл. 1, § 3) PQ=OQ—ОР, откуда

Вектор По теореме 9.5, учитывая равенство (5), найдем
Из равенств (9) и (10) окончательно получаем
Покажем теперь, как привести общее уравнение плоскости к нормальному виду. Пусть
— общее уравнение некоторой плоскости, а
— ее нормальное уравнение. Так как уравнения (11) и (12) определяют одну и ту же плоскость, то по теореме 9.10 коэффициенты этих уравнений пропорциональны. Это означает, что умножая все члены (11) на некоторый множитель , получаем уравнение

совпадающее с уравнением (12), т. е. имеем
Чтобы найти множитель , возведем первые три из равенств (13) в квадрат и сложим; тогда получим

Но согласно формуле (6) из § 2 правая часть последнего равенства Равна единице. Следовательно,

Число , с помощью которого общее уравнение плоскости преобразуется в нормальное, называется нормирующим множителем этого уравнения. Знак определяется равенством , т. е. имеет знак, противоположный знаку свободного члена общего уравнения (11).

Если в уравнении (11) D=О, то знак нормирующего множителя выбирается произвольно.

Пример:

Даны плоскость и точка М* (1; 1; 1) Найти расстояние d от точки М* до данной плоскости.

Решение:

Чтобы использовать теорему 9.11, надо прежде всего привести данное уравнение к нормальному виду. Для этого найдем нормирующий множитель

Умножая данное уравнение на , получаем искомое нормальное уравнение плоскости

Подставляя в левую часть этого уравнения координаты точки М*, имеем

Уравнения прямой

Как уже было отмечено, линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей и определять заданием двух уравнений. В частности, каждую прямую линию можно рассматривать как пересечение двух плоскостей и соответственно этому определять заданием двух уравнений первой степени.

Пусть заданы некоторая прямоугольная система координат Oxyz и произвольная прямая L. Обозначим через две различные плоскости, пересекающиеся по прямой L, заданные соответственно уравнениями

Два уравнения вида (1) совместно определяют прямую L в том и только в том случае, когда плоскости не параллельны и не совпадают друг с другом, т. е. нормальные векторы этих плоскостей не коллинеарны (коэффициенты не пропорциональны коэффициентам .

Уравнения (1) называются общими уравнениями прямой.

Канонические уравнения прямой

Для решения задач уравнения (1) не всегда удобны, поэтому используют специальный вид уравнений прямой.

Пусть дана какая-нибудь прямая L и ненулевой вектор , лежащий на данной прямой или параллельный ей (рис. 152). Вектор называется направляющим вектором данной прямой. Выведем уравнения прямой, проходящей через данную точку и имеющей данный направляющий вектор (рис. 152).

Пусть М(х; y; z) — произвольная точка. Она лежит на прямой тогда и только тогда, когда вектор коллинеарен направляющему вектору , т. е. когда координаты вектора пропорциональны координатам вектора :

Уравнения (2) и являются искомыми. Они называются каноническими уравнениями прямой.

Для того чтобы составить канонические уравнения (2), если прямая L задана уравнениями (1), необходимо:
1) найти какую-нибудь точку ; для этого следует задать числовое значение одной из неизвестных координат и подставить его вместо соответствующей переменной в уравнения (1), после этого две другие координаты определяются в результате совместного решения уравнении (1);

2) найти направляющий вектор . Так как прямая L определена пересечением плоскостей , то она перпендикулярна каждому из нормальных векторов (рис. 153). Поэтому в качестве вектора можно взять любой вектор, перпендикулярный векторам , например их векторное произведение . Так как координаты векторов известны: ; , то по теореме 9.7 найдем координаты вектора :

Пример:

Найти канонические уравнения прямой

Решение:

Полагая, например, , из системы

получаем Таким образом, точка прямой найдена. Теперь определим направляющий вектор . Имеем: отсюда Подставляя найденные значения в равенства (2), получаем канонические уравнения данной прямой:

Параметрические уравнения прямой

Иногда прямую полезно задавать не в виде канонических уравнений (2), а иначе. Пусть прямая L задана уравнениями (2). Обозначим через t каждое из равных отношений. Тогда
Равенства (3) называются параметрическими уравнениями прямой L, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор В уравнениях (3) t рассматривается как произвольно изменяющийся параметр х, у, z — как функции от t. При изменении t величины х, у, z изменяются, так что точка М (x; у; z) движется по данной прямой.

Параметрические уравнения удобны в тех случаях, когда требуется найти точку пересечения прямой с плоскостью. В самом деле, пусть непараллельные плоскость и прямая L заданы соответственно уравнениями

Для определения точки пересечения прямой и плоскости подставим выражения для х, у, z из уравнений L в уравнение . В результате преобразований получаем

причем знаменатель дроби не равен нулю, так как плоскость не параллельна прямой (см. § 13). Подставляя найденное значение t в уравнения прямой, находим искомую точку М (х; у; z). пересечения прямой L с плоскостью .

Угол между прямыми

Рассмотрим две прямые , заданные соответственно уравнениями
При любом расположении прямых в пространстве один из двух углов между ними равен углу между их направляющими векторами , а второй угол равен Угол вычисляется по следующей формуле:

Условие параллельности прямых

Прямые параллельны в том и только в том случае, когда их направляющие векторы коллинеарны. Отсюда получаем условие параллельности прямых :

Условие перпендикулярности прямых

Прямые перпендикулярны в том и только в том случае, когда их направляющие векторы перпендикулярны. Отсюда получаем условие перпендикулярности прямых :

Расстояние от точки до прямой

В заключение рассмотрим задачу: найти расстояние d от данной точки до данной прямой в пространстве.

Пусть дана прямая L:

и точка . Искомое расстояние d является высотой параллелограмма, построенного на векторах (рис. 154)._

Пусть вектор — векторное произведение векторов и Так как равен площади параллелограмма, построенного на векторах где

Взаимное расположение прямой и плоскости

Условия параллельности и перпендикулярности

Пусть заданы прямая
и плоскость

Прямая параллельна плоскости в том и только в том случае, когда ее направляющий вектор перпендикулярен нормальному вектору плоскости. Отсюда получаем условие параллельности прямой и плоскости:

Прямая перпендикулярна плоскости в том и только в том случае, когда её направляющий вектор коллинеарен нормальному вектору плоскости. Отсюда получаем условие перпендикулярности прямой и плоскости:

Угол между прямой и плоскостью

Пусть заданы плоскостью:
не перпендикулярная плоскости. Под углом между прямой L и плоскостью будем понимать острый угол между L и ее проекцией на (рис. 155). Обозначим через угол между векторами Если (как на рис. 155), то Если же В любом случае Но для формула известна [см. §6, формулу (4)], следовательно,

Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка — это поверхности, которые в прямоугольной системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени.

Геометрическое исследование поверхностей второго порядка проведем по заданным уравнениям с помощью метода параллельных сечений.

Эллипсоид

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида.
Установим геометрический вид эллипсоида. Для этого рассмотрим сечения данного эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости Оху. Каждая из таких плоскостей определяется уравнением вида z=h, где h — любое число, а линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями

Исследуем уравнения (2) при различных значениях h.
1) Если и уравнения (2) определяют мнимый эллипс, т. е. точек пересечения плоскости z=h с данным эллипсоидом не существует.
2) Если и линия (2) вырождается в точки (плоскости касаются эллипсоида).
3) Если то уравнения (2) можно представить в виде

откуда следует, что плоскость z—h пересекает эллипсоид по эллипсу с полуосями При уменьшении значения а* и b* увеличиваются и достигают своих наибольших значений при h=0, т. е. в сечении эллипсоида координатной плоскостью Оху получается самый большой эллипс с полуосями a*=a и b*=b.

Аналогичная картина получается и при пересечении данной поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz.

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллипсоид как замкнутую овальную поверхность (рис. 156). Величины a, b, с называются полуосями эллипсоида. В случае а=Ь=с эллипсоид является сферой.

Однополостный гиперболоид

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
Уравнение (3) называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида.

Установим вид поверхности (3). Для этого рассмотрим сечения ее координатными плоскостями Oxz (у=0) и Oyz (х=0). Получаем соответственно уравнения

из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.

Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Оху. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями

из которых следует, что плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями достигающими своих наименьших значений при h=0, т. е. в сечении данного гиперболоида координатной плоскостью Оху получается самый маленький эллипс с полуосями a*=a и b*=b. При бесконечном возрастании величины а* и Ь* возрастают бесконечно.

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополостный гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере удаления (по обе стороны) от плоскости Оху (рис. 157).

Величины а, b, с называются полуосями однополостного гиперболоида, первые две из них изображены на рис. 157, а чтобы изобразить на чертеже полуось с, следует подстроить основной прямоугольник какой-нибудь из гипербол.

Двуполостный гиперболоид

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

Установим геометрический вид поверхности (5). Для этого рассмотрим ее сечения координатными плоскостями Oxz и Oyz. Получаем соответственно уравнения
из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.

Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h параллельными координатной плоскости Оху. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями
из которых следует, что при плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями и При увеличении величины а* и b* также увеличиваются.

При h=±c уравнениям (6) удовлетворяют координаты только двух точек: (плоскости касаются данной поверхности).

При уравнения (6) определяют мнимый эллипс, т. е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом не существует.

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить двуполостный гиперболоид как поверхность, состоящую из двух отдельных «полостей» (отсюда название двуполостный), каждая из которых имеет вид бесконечной выпуклой чаши (рис. 158).

Величины а, b, с называются полуосями двуполостного гиперболоида. На рис. 158 изображена величина с. Чтобы изобразить на чертеже а и b, нужно построить основные прямоугольники гипербол в плоскостях Oxz и Oyz.

Эллиптический параболоид

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

Уравнение (7) называется каноническим уравнением эллиптического параболоида.

Исследуем с помощью сечений эту поверхность. Рассмотрим сначала сечения данной поверхности координатными плоскостями Oxz и Oyz. Получаем соответственно уравнения

из которых следует, что в сечениях получаются параболы, симметричные относительно оси Oz, с вершинами в начале координат.

Теперь рассмотрим сечения данного параболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Оху. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями

из которых следует, что при плоскость z=h пересекает эллиптический параболоид по эллипсу с полуосями

При увеличении h величины а* и b* также увеличиваются; при h=0 эллипс вырождается в точку (плоскость z=0 касается данного параболоида). При h<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т. е. точек пересечения плоскости z=h с данным параболоидом не существует.

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллиптический параболоид в виде бесконечной выпуклой чаши (рис. 159).

Точка (0; 0; 0) называется вершиной эллиптического параболоида; числа р и q — его параметрами.

В случае p=q уравнения (8) определяют окружность с центром на оси Oz, т. е. эллиптический параболоид можно рассматривать как поверхность, образованную вращением параболы вокруг ее оси. Такая поверхность называется параболоидом вращения.

Гиперболический параболоид

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

Уравнение (9) называется каноническим уравнением гиперболического параболоида.

Установим геометрический вид поверхности (9). Рассмотрим сечение параболоида координатной плоскостью Oxz (у=0). Получаем уравнения

из которых следует, что в сечении получается парабола, направленная вверх, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. В сечениях поверхности плоскостями, параллельными плоскости Oxz (y = h), получаются также направленные вверх параболы

Рассмотрим сечение данного параболоида плоскостью Oyz (x=0). Получаем уравнения

из которых следует, что и в этом случае в сечении получается парабола, но теперь направленная вниз, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. Рассмотрев сечения параболоида плоскостями, параллельными плоскости Oyz (x=h), получим уравнения

из которых следует, что при любом h в сечении получается парабола, направленная вниз, а вершина ее лежит на параболе, определенной уравнениями (10).

Рассмотрим, наконец, сечения параболоида плоскостями z=h, параллельными плоскости Оху. Получим уравнения

из которых следует, что при h>0 в сечении получаются гиперболы, пересекающие плоскость Oxz при h<0 — гиперболы, пересекающие плоскость Oyz; при h=0 гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить гиперболический параболоид в виде седлообразной поверхности

(рис. 160). На рисунке изображено несколько сечений параболоида плоскостями z=h для случаев h>0 и h<0.

Точка (0; 0; 0) называется вершиной гиперболического параболоида; числа р и q — его параметрами.

Конус второго порядка

Конусом второго порядка называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

Уравнение (11) называется каноническим уравнением конуса второго порядка. Рассмотрим геометрические свойства конуса. В сечение этой поверхности плоскостью Oxz (y=0) получаем линию

распадающуюся на две пересекающиеся прямые

Аналогично, в сечении конуса плоскостью Оуz (х=0) также получаются две пересекающиеся прямые

Рассмотрим теперь сечения данной поверхности плоскостями z=h, параллельными плоскости Оху. Получим уравнения
из которых следует, что при h>0 и h<О в сечениях получаются эллипсы с полуосями При увеличении абсолютной величины h полуоси а* и b* также увеличиваются.

При h=0 линия пересечения поверхности с плоскостью z=h вырождается в точку (0; 0; 0). Таким образом, рассмотренные сечения позволяют представить конус в виде поверхности, изображенной на рис. 161.

Аналитическая геометрия в пространстве — решение заданий и задач по всем темам с вычислением

Плоскость в пространстве

1°. Всякая плоскость определяется уравнением первой степени относительно декартовых координат переменной точки плоскости. Всякое уравнение первой степени относительно декартовых координат определяет плоскость.

2°. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно вектору

называется нормальным вектором плоскости (рис. 4.1).

3°. Общее уравнение плоскости

Примечание:

На самом деле в качестве нормального вектора плоскости можно брать любой вектор, коллинеарный , координаты которого наиболее приемлемы для вычислений. Неполные уравнения плоскости:

1) если D = 0, т. е. Ах + By + Cz = 0, то плоскость проходит через начало координат;

2) отсутствие в общем уравнении плоскости коэффициента при какой-либо переменной означает, что нормальный вектор имеет соответствующую нулевую координату, т. е. перпендикулярен к этой оси, а плоскость, следовательно, параллельна этой оси.

Например, если А = 0, то уравнение плоскости имеет вид By + Cz + D = 0, ее нормальный вектор и плоскость параллельна оси Ох (рис. 4.2,а); если В = 0, то и

плоскость параллельна оси Оу (рис. 4.2,6); если В = С = 0, т.е. Ах + D = 0, то а плоскость параллельна плоскости Oyz, т.е. перпендикулярна оси Ох (рис. 4.2, в).

4°. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки получается раскрытием следующего определителя:

5°. Уравнение плоскости, отсекающей на координатных осях отрезки а, b, с (рис. 4.3), имеет вид

и называется уравнением плоскости в отрезках.

6°. Если |р| есть длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость (рис. 4.4), a — направляющие косинусы этого перпендикуляра, то называется нормальным уравнением плоскости.

Общее уравнение плоскости всегда можно привести к нормальному виду умножением всех его членов на нормирующий множитель

где знак перед корнем берется противоположным знаку D.

7°. Расстояние d от точки до плоскости с уравнением Ах + By + Cz + D = 0 определяется по формуле

8°. Угол между плоскостями, заданными уравнениями

есть двугранный угол (рис. 4.5), который измеряется углом между нормальными векторами этих плоскостей:

Условие перпендикулярности плоскостей равносильно условию перпендикулярности их нормальных векторов: или Условие параллельности плоскостей совпадает с условием коллинеарности векторов

Примеры с решениями

Пример:

Построить плоскости, заданные уравнениями:

Решение:

а) Данное уравнение приводим к уравнению в отрезках:

На оси Ох откладываем отрезок (от начала координат), на

Оу — отрезок b = 4, на оси Oz — отрезок с = 2. Остается соединить полученные точки (получаем сечения плоскости координатными плоскостями, рис. 4.6, а).

б) Данная плоскость содержит ось Oz и пересекает плоскость Оху по прямой х — у = 0, принадлежащей этой плоскости (рис. 4.6, б).

в) Это неполное уравнение плоскости, параллельной оси Oz. Она пересекает плоскость Оху по прямой 2х + Зу — 6 = 0. Добавим, что эта плоскость перпендикулярна вектору (рис. 4.6, в).

г) Плоскость перпендикулярна вектору т.е. оси Oz, и пересекает эту ось в точке (0,0,2) (рис. 4.6, г).

Пример:

Составить уравнение плоскости, отсекающей на оси Ох отрезок OA = 3 и перпендикулярной вектору = {2, -3, 1}.

Решение:

По условию точка A(3,0,0) принадлежит искомой плоскости. Согласно п. 3° уравнение этой плоскости имеет вид

Пример:

Составить уравнение плоскости, параллельной оси Oz и проходящей через точки (1,0,1) и (-2,1,3).

Решение:

Уравнение плоскости, параллельной оси Oz, имеет вид Ах + By + D = 0. Подставив сюда координаты заданных точек плоскости, получим систему для определения коэффициентов уравнения:

т. е. Ах + 3Ay — А = 0, или х + 3у — 1 =0.

Пример:

Установить, что плоскости с уравнениями 2х + 3у —4z + 1= 0 и 5х-2y+ z + 6 = 0 перпендикулярны.

Решение:

Запишем нормальные векторы данных плоскостей: Плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда скалярное произведение Имеем 2 • 5 + 3 • (-2) + (-4) • 1=0 (см. п. 8°).

Пример:

Найти расстояние от точки А(2,3,-4) до плоскости 2х + 6у — 3z + 16 = 0.

Решение:

По формуле п. 7° имеем

Ответ,

Пример:

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

Решение:

Согласно п. 4е уравнение искомой плоскости определяется равенством

Раскрываем определитель (гл. I) по элементам первой строки:

Прямая в пространстве

1°. Прямую в пространстве можно определить как линию пересечения двух плоскостей. Система уравнений

задает общие уравнения прямой.

2°. Канонические уравнения прямой

определяют прямую, проходящую через точку параллельно вектору который называется направляющим вектором прямой (рис. 4.7)

3°. Параметрические уравнения прямой имеют вид

где параметр t изменяется в интервале

4°. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки

(если знаменатель какой-либо дроби равен нулю, то ее числитель тоже равен нулю).

5°. Для приведения общих уравнений прямой к каноническому виду следует:

• взять две точки на прямой, для чего одной переменной нужно придать два числовых значения и решить систему уравнений относительно других переменных (или взять два значения параметра t)
• написать уравнения прямой, проходящей через две точки (п. 4°).

6°. Направляющий вектор прямой, заданной общими уравнениями (рис. 4.8)

имеет вид: — векторное произведение нормальных
векторов

7°. Под углом между двумя скрещивающимися прямыми, заданными каноническими уравнениями

следует понимать угол (рис. 4.9) между направляющими векторами этих прямых. Этот угол можно определить при помощи косинуса:

Условие перпендикулярности прямых есть вместе с тем условие перпендикулярности их направляющих векторов:

Условие параллельности прямых совпадает с условием коллинеарности направляющих векторов:

Примеры с решениями

Пример:

Привести к каноническому виду общие уравнения
прямой

Решение:

Канонические уравнения прямой составим по двум точкам (как в п. 4°). Координаты двух точек прямой найдем по схеме п. 5°.

1) Положим, например, и решим систему

Точка лежит на прямой.

2) Аналогично, пусть Тогд

Точка также принадлежит прямой.

3) Запишем уравнения прямой, проходящей через две точки (п. 4°):

Пример:

Для направляющего вектора прямой

Г 2х — Зу — 3z + 4 = О, x + 2y + z- 5 = 0

найти направляющие косинусы.

Решение:

Согласно п. 6° найдем направляющий вектор данной прямой

Найдем
Теперь (гл. Ill)

Пример:

Составить уравнения прямой, проходящей через точку А(-2,3,1) параллельно прямой

Решение:

Чтобы записать канонические уравнения прямой (п. 2°), нам недостает направляющего вектора, который определим по п. 6° (см. пример 2):

Искомые уравнения имеют вид

Плоскость и прямая в пространстве

1°. Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
Пусть — направляющий вектор прямой, а —нормальный вектор плоскости. Тогда (рис. 4.10)

Условие перпендикулярности прямой и плоскости совпадает с условием параллельности векторов

Условие параллельности прямой и плоскости совпадает с условием перпендикулярности векторов

2°. Координаты точки пересечения прямой с плоскостью Ax + By + Cz + D = 0 определяются подстановкой параметрических уравнений прямой в уравнение плоскости, нахождением значения параметра t и подстановкой этого значения в параметрические уравнения прямой.

3°. Координаты точки пересечения трех плоскостей определяются решением системы уравнений этих плоскостей:

Примеры с решениями

Пример:

Даны вершины тетраэдра A(2,3,1), В(4,1,-2), С(6,3,7), D(-5,-4,8). Найти:

1. длину ребра АВ
2. угол между ребрами АВ и AD
3. угол между ребром AD и плоскостью АВС
4. объем тетраэдра ABCD
5. уравнение ребра АВ
6. уравнение плоскости АВС
7. уравнение высоты, опущенной из D на АВС
8. проекцию О точки D на основание ABC
9. высоту DO.

Решение:

Условию задачи удовлетворяет построенный чертеж (рис. 4.11).

1) АВ вычислим по формуле

2) Угол вычислим по формуле

3) Синус угла между ребром AD и плоскостью ABC равен косинусу угла между ребром AD и нормальным вектором плоскости ABC (рис. 4.12). Вектор коллинеарен векторному произведению .

Принимаем

4) Объем тетраэдра ABCD равен 1/6 модуля смешанного произведения векторов .

Имеем:

Искомый объем равен:

5) Уравнения прямой, проходящей через две точки, имеют вид — направляющий вектор прямой.

Принимаем Тогда

6) Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:

Имеем

или, после раскрытия определителя: Зх + 6у — 2z — 22 = 0.

7) В качестве направляющего вектора прямой DO можно взять вектор ,

или

Проекция D на AВС — это точка О (точка пересечения DO с ABC). Значения х, у и z, выраженные через параметр t, подставим в уравнение AВС. Найдем значение t и подставим обратно в выражения для х, у и z.

9) Высоту DO можно вычислить как расстояние между D и О, или как расстояние от D до плоскости, или используя формулу для объема тетраэдра.

В любом случае получим

Пример:

Найти координаты точки Q, симметричной точке Р( —6,7,-9) относительно плоскости, проходящей через точки A(1,3,-1), B(6,5,-2) и С(0, -3, -5).

Решение:

Воспользуемся эскизом задачи (рис. 4.13).

1) Составим уравнение плоскости проходящей через три точки:

Подробности опускаем, так как подобное действие выполнили в предыдущей зада-Рис. 4.13 че. После раскрытия определителя получаем уравнение (ABC) : 2х — 3у + 4z + 11 =0.
2) Напишем уравнение прямой l, проходящей через точку Р перпендикулярно . Принимаем

3) Определим координаты точки О пересечения l и . Имеем: 2(-6 + 2t) — 3(7 — 3t) + 4(-9 + 4t) + 11 = 0, 29t = 58, t = 2. После подстановки t = 2 в параметрические уравнения прямой получаем: х = 4-6 = -2, у = 7-6=1, z = -9 + 8 = -1.

4) Точка 0(—2,1, — 1) делит отрезок PQ пополам, т.е., в частности, или Аналогичные формулы используем для Получаем

Ответ. Q(2,-5,7).

Пример:

Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(1,3,2) относительно прямой АВ, где А(1, 2, -6), B(7,-7,6).

Решение:

1) Имеем Принимаем

или

2) Уравнение плоскости , проходящей через Р перпендикулярно АВ, имеет вид (рис. 4.14)

3) Находим координаты точки О пересечения АВ и : 2(1 + 2t — 1) — 3(2 — 3t — 3) + 4(4t — 6 — 2) = 0, t = 1; х = 3, у = -1, z = -2. Итак, O(3,-1, -2).

4.Координаты Q вычислим по уже использованным ранее формулам: Получаем

Ответ. Q(5, -5, -6).

Пример:

Определить расстояние от точки Р(—7,-13,10) до прямой

Решение:

1) Через Р проводим плоскость а перпендикулярно , принимая Получаем т. е. 2х — у + 1 = 0.

2) Находим координаты точки О пересечения Выражения х = 1 — 2t, у = -2 + t, z = 0 подставляем в уравнение плоскости: 2(1 — 2t) — (t — 2) + 1 = 0. Находим сначала t = 1, затем х = 1, у = -1, z=0, т.е. O(-1, -1,0)

3) Искомое расстояние равно

Ответ,

Пример:

При каких значениях В и С прямая и плоскость Зх — 2у + 5z = 0 перпендикулярны?

Решение:

Условие перпендикулярности прямой и плоскости равносильно условию параллельности их векторов Соответствующие координаты этих векторов должны быть пропорциональными:

Пример:

Через прямую с общими уравнениями

и начало координат провести плоскость и составить ее уравнение.

Решение:

Задачу сводим к построению плоскости по трем точкам. Подставляем z = -2 в исходную систему и решаем ее относительно х, у. Получаем одну точку на данной прямой. Другую точку на этой прямой найдем при z = 6: Остается составить уравнение плоскости по трем точкам:

т.е. 18х — 8у + 23z = 0.

Пример:

Составить уравнение плоскости, содержащей точку и прямую

Решение:

Из уравнения прямой известны координаты точки на ней и направляющего вектора

Пусть M(x,y,z) — текущая точка плоскости (рис. 4.15). Тогда векторы лежат в одной плоскости, т.е. компланарны. Условие компланарности векторов будет искомым уравнением: Имеем:

Уравнение искомой плоскости имеет вид

Раскрывая определитель по элементам первой строки, упрощаем: 5х + 2у — 3z — 17 = 0.

Пример:

Найти расстояние от точки до прямой

Решение:

Искомое расстояние можно найти как высоту h параллелограмма, построенного на векторах (рис. 4.16)

Площадь параллелограмма, как известно, равна модулю векторного произведения векторов

Таким образом,

Сравните с примером 4.

Поверхности второго порядка

1°. Если в пространстве ввести прямоугольную систему координат Oxyz, то каждая поверхность будет задаваться некоторым уравнением F(x,y,z) =0, где (х, у, z) — координаты любой точки поверхности. Если F(x,y,z) — многочлен второй степени относительно совокупности переменных х, у, z, то уравнение F(x,y,z) = 0 называется уравнением второго порядка, а поверхность, изображаемая этим уравнением, называется поверхностью второго порядка. Если поверхность имеет специальное расположение относительно системы координат (например, симметрична относительно некоторых координатных плоскостей), то ее уравнение имеет достаточно простой вид и называется каноническим уравнением.

2°. Для поверхностей второго порядка перечислим канонические уравнения и приведем эскизы.

1) Сфера радиуса R с центром в начале координат (рис. 4.17):

Уравнение

изображает сферу радиуса R с центром в точке

2) Эллипсоид с полуосями a, b, с и центром в начале координат (рис. 4.18)

При а = b = с = R эллипсоид превращается в сферу радиуса R.

3) Гиперболоид однополостный (рис. 4.19):

Сечения гиперболоида горизонтальными плоскостями z = h являются эллипсами:

Сечения гиперболоида вертикальными плоскостями х = h или у = h являются гиперболами:

4) Гиперболоид двуполостный (рис. 4.20):

Сечения гиперболоида горизонтальными плоскостями являются эллипсами:

Сечения гиперболоида вертикальными плоскостями х = h или у = h являются гиперболами:

5) Параболоид эллиптический (рис. 4.21):

Сечения параболоида горизонтальными плоскостями суть эллипсы:

Сечения параболоида вертикальными плоскостями х = h или у = h являются параболами:

6) Параболоид гиперболический (рис. 4.22):

Сечения параболоида горизонтальными плоскостями z = h суть гиперболы Сечения вертикальными плоскостями х = h или у = h являются параболами:

7) Конус эллиптический с вершиной в начале координат (рис. 4.23):

Если а = b, то конус круглый или круговой. Сечения конуса горизонтальными плоскостями являются эллипсами:

(при h = 0 эллипс вырождается в точку). Сечения конуса вертикальными плоскостями х = h и у = h являются гиперболами:

3°. К поверхностям второго порядка относятся цилиндры, направляющие которых — линии второго порядка. Мы ограничимся перечислением цилиндров, направляющие которых расположены в плоскости Оху, а образующие — прямые, параллельные оси Oz, что является следствием отсутствия переменной г в уравнении поверхности F(x,y)= 0.

Различают следующие цилиндры: 1) Эллиптический (рис. 4.24):

Если а = b = R, то цилиндр — круговой:

2) Гиперболический (рис. 4.25):

3) Параболический (рис. 4.26):

Примеры с решениями

Пример:

Определить тип поверхности и сделать чертеж:

Решение:

а) Запишем данное уравнение в виде Сопоставив его с 7), определяем, что это круговой (а = b = с) конус с вершиной в начале координат и осью вращения Ох (ср. рис. 4.23, на котором ось вращения — Oz).

б) Переписав уравнение поверхности в виде определим, согласно 3), что это однополостный гиперболоид (рис. 4.27).

в) Переписав уравнение поверхности в виде определяем, согласно 4), что это двуполостный гиперболоид (рис. 4.28)

г) Переписав уравнение поверхности в виде определяем, согласно 5), что это эллиптический параболоид (рис. 4.29).

Пример:

Определить тип поверхности и сделать чертеж:

Решение:

а) Так как в уравнении поверхности отсутствует переменная z, то это цилиндр с образующими, параллельными оси Oz, и направляющей — параболой (рис. 4.30) с уравнениями

б) Так как в уравнении поверхности отсутствует переменная у, то это цилиндр с образующими, параллельными оси Оу, и направляющей — параболой (рис. 4.31) с уравнениями

в) Цилиндр с образующими, параллельными оси Ох, и направляющей — окружностью радиуса 2 с уравнениями (рис. 4.32)

Пример:

Начертить тело, ограниченное данными поверхностями:

Решение:

а) Первая поверхность — эллиптический параболоид вторая — цилиндр с образующими, параллельными оси Оу (рис. 4.33)

б) z = 0 — это координатная плоскость Оху, у + z = 2 — это плоскость, параллельная оси — это параболический цилиндр с образующими, параллельными оси Oz (рис. 4.34).

в) Тело ограничено параболоидом и конусом (рис. 4.35).

Уравнения поверхности и линии в пространстве

Поверхность в пространстве, как правило, можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию. Например, сфера радиуса R с центром в точке есть геометрическое место всех точек пространства, находящихся от точки Oi на расстоянии R.

Прямоугольная система координат Oxyz в пространстве позволяет установить взаимно однозначное соответствие между точками пространства и тройками чисел х, у и z — их координатами. Свойство, общее всем точкам поверхности, можно записать в виде уравнения, связывающего координаты всех точек поверхности.

Уравнением данной поверхности в прямоугольной системе координат Oxyz называется такое уравнение с тремя переменными х, у и z, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности. Переменные х, у и z в уравнении поверхности называются текущими координатами точек поверхности.

Уравнение поверхности позволяет изучение геометрических свойств поверхности заменить исследованием его уравнения. Так, для того, чтобы узнать, лежит ли точка на данной поверхности, достаточно подставить координаты точки в уравнение поверхности вместо переменных: если эти координаты удовлетворяют уравнению, то точка лежит на поверхности, если не удовлетворяют — не лежит.

Уравнение сферы

Найдем уравнение сферы радиуса R с центром в точке . Согласно определению сферы расстояние любой ее точки М(х; у; z) от центра равно радиусу R, т. е. , где . Следовательно,

или

Это и есть искомое уравнение сферы. Ему удовлетворяют координаты любой ее точки и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на данной сфере.

Если центр сферы совпадает с началом координат, то уравнение сферы принимает вид

Если же дано уравнение вида F(x; у; z) = 0, то оно, вообще говоря, определяет в пространстве некоторую поверхность.

Выражение «вообще говоря» означает, что в отдельных случаях уравнение F(x; у, z ) = 0 может определять не поверхность, а точку, линию или вовсе не определять никакой геометрический образ. Говорят, «поверхность вырождается».

Так, уравнению не удовлетворяют никакие действительные значения х, у, z. Уравнению удовлетворяют лишь координаты точек, лежащих на оси Ох (из уравнения следует: у = 0, z = 0, а х — любое число).

Итак, поверхность в пространстве можно задать геометрически и аналитически. Отсюда вытекает постановка двух основных задач:

1. Дана поверхность как геометрическое место точек. Найти уравнение этой поверхности.
2. Дано уравнение F(x; у, z) = 0. Исследовать форму поверхности, определяемой этим уравнением.

Уравнения линии в пространстве

Линию в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей (см. рис. 66) или как геометрическое место точек, общих двум поверхностям.

Если — уравнения двух поверхностей, определяющих линию L, то координаты точек этой линии удовлетворяют системе двух уравнений с тремя неизвестными:

Уравнения системы (12.1) называются уравнениями линии в пространстве. Например, есть уравнения оси Ох.

Линию в пространстве можно рассматривать как траекторию движения точки (см. рис. 67). В этом случае ее задают векторным уравнением

или параметрическими уравнениями

проекций вектора (12.2) на оси координат.

Например, параметрические уравнения винтовой линии имеют вид

Если точка М равномерно движется по образующей кругового цилиндра, а сам цилиндр равномерно вращается вокруг оси, то точка М описывает винтовую линию (см. рис. 68).

Уравнения плоскости в пространстве

Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве Oxyz можно задать разными способами. Каждому из них соответствует определенный вид ее уравнения.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Пусть в пространстве Oxyz плоскость Q задана точкой и вектором , перпендикулярным этой плоскости (см. рис. 69). Выведем уравнение плоскости Q. Возьмем на ней произвольную точку М(х; у; z) и составим вектор

При любом расположении точки М на плоскости Q векторы и
взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю: т. е.

Координаты любой точки плоскости Q удовлетворяют уравнению (12.3), координаты точек, не лежащих на плоскости Q, этому уравнению не удовлетворяют (для них ).

Уравнение (12.3) называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно вектору . Оно первой степени относительно текущих координат х, у и z. Вектор называется нормальным вектором плоскости.

Придавая коэффициентам А, В и С уравнения (12.3) различные значения, можно получить уравнение любой плоскости, проходящей через точку . Совокупность плоскостей, проходящих через данную точку, называется связкой плоскостей, а уравнение (12.3) — уравнением связки плоскостей.

Общее уравнение плоскости

Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными х, у и z:

Полагая, что по крайней мере один из коэффициентов А, В или С не равен нулю, например , перепишем уравнение (12.4) в виде

Сравнивая уравнение (12.5) с уравнением (12.3), видим, что уравнения (12.4) и (12.5) являются уравнением плоскости с нормальным вектором , проходящей через точку.
Итак, уравнение (12.4) определяет в системе координат Oxyz некоторую плоскость. Уравнение (12.4) называется общим уравнением плоскости.

Частные случаи общего уравнения плоскости:

1. Если D = 0, то оно принимает вид Ах + By + Cz = 0. Этому уравнению удовлетворяет точка О(0; 0;0). Следовательно, в этом случае плоскость проходит через начало координат.
2. Если С = 0, то имеем уравнение Ах + By + D = 0. Нормальный вектор перпендикулярен оси Oz. Следовательно, плоскость параллельна оси Oz; если В = 0 — параллельна оси Оу, А = 0 — параллельна оси Ох.
3. Если С = D = 0, то плоскость проходит через О(0; 0; 0) параллельно оси Oz, т. е. плоскость Ах + By = 0 проходит через ось Oz. Аналогично, уравнениям By + Cz = 0 и Ах + Cz = 0 отвечают плоскости, проходящие соответственно через оси Ох и Оу.
4. Если А = В = 0, то уравнение (12.4) принимает вид Cz + D = 0, т. е. Плоскость параллельна плоскости Оху. Аналогично, уравнениям Ах + D = 0 и By + D = 0 отвечают плоскости, соответственно параллельные плоскостям Oyz и Oxz.
5. Если А = В = D = 0, то уравнение (12.4) примет вид Cz = 0, т. е. z = 0. Это уравнение плоскости Оху. Аналогично: у = 0 — уравнение плоскости Oxz; х = 0 — уравнение плоскости Oyz.

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Найдем уравнение плоскости Q, проходящей через три данные точки не лежащие на одной прямой.

Возьмем на плоскости произвольную точку M(x;y;z) и составим векторы . Эти векторы лежат на плоскости Q, следовательно, они компланарны. Используем условие компланарности трех векторов (их смешанное произведение равно нулю), получаем

т. е.

Уравнение (12.6) есть уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Уравнение плоскости в отрезках

Пусть плоскость отсекает на осях Ох, Оу и Oz соответственно отрезки a, b и с, т. е. проходит через три точки А(а;0;0), В(0;b;0) и С(0;0;c) (см. рис. 70).

Подставляя координаты этих точек в уравнение (12.6), получаем

Раскрыв определитель, имеем bcx — т. е. или

Уравнение (12.7) называется уравнением плоскости в отрезках на осях. Им удобно пользоваться при построении плоскости.

Нормальное уравнение плоскости

Положение плоскости Q вполне определяется заданием единичного вектора , имеющего направление перпендикуляра ОК, опущенного на плоскость из начала координат, и длиной р этого перпендикуляра (см. рис. 71).

Пусть — углы, образованные единичным вектором с осями Ох, Оу и Oz. Тогда . Возьмем на плоскости произвольную точку М(х, у, z) и соединим ее с началом координат. Образуем вектор .

При любом положении точки М на плоскости Q проекция радиус-вектора на направление вектора всегда равно р: , т. е. или

Уравнение (12.8) называется нормальным уравнением плоскости в векторной форме. Зная координаты векторов, уравнение (12.8) перепишем в виде

Уравнение (12.9) называется нормальным уравнением плоскости в координатной форме.

Отметим, что общее уравнение плоскости (12.4) можно привести к нормальному уравнению (12.9) так, как это делалось для уравнения прямой на плоскости. А именно: умножить обе части уравнения (12.4) на нормирующий множитель , где знак берется противоположным знаку свободного члена D общего уравнения плоскости.

Плоскость и её основные задачи

Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей

Пусть заданы две плоскости :

Под углом между плоскостями понимается один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Угол между нормальными векторами и плоскостей равен одному из этих углов (см. рис. 72). Поэтому или

Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части.

Если плоскости перпендикулярны (см. рис. 73, а), то таковы же их нормали, т. е. (и наоборот). Но тогда

т. е. Полученное равенство есть условие перпендикулярности двух плоскостей .

Если плоскости параллельны (см. рис. 73, б), то будут параллельны и их нормали (и наоборот). Но тогда, как известно, координаты векторов пропорциональны: .

Это и есть условие параллельности двух плоскостей .

Расстояние от точки до плоскости

Пусть задана точка и плоскость Q своим уравнением Ах + By + Cz + D = 0. Расстояние d от точки до плоскости Q находится по формуле

Вывод этой формулы такой же, как вывод формулы расстояния от точки до прямой Ах + By + С = 0 (см. с. 73).

Расстояние d от точки до плоскости Q равно модулю проекции вектора , где — произвольная точка плоскости Q, на направление нормального вектора (см. рис. 74). Следовательно,

А так как точка принадлежит плоскости Q, то

Поэтому Отметим, что если плоскость Q задана уравнением то расстояние от точки до плоскости Q может быть найдено по формуле

Уравнения прямой в пространстве

Векторное уравнение прямой

Положение прямой в пространстве вполне определено, если задать какую-либо точку на прямой и вектор , параллельный этой прямой. Вектор называется направляющим вектором прямой. Пусть прямая L задана ее точкой и направляющим вектором . Возьмем на прямой L произвольную точку М(х; у; z). Обозначим радиус-векторы точек и М соответственно через Очевидно, что три вектора связаны соотношением

Вектор лежащий на прямой L, параллелен направляющему вектору , поэтому , где t — скалярный множитель, называемый параметром, может принимать различные значения в зависимости от положения точки М на прямой (см. рис. 75).

Уравнение (12.10) можно записать в виде

Полученное уравнение называется векторным уравнением прямой.

Параметрические уравнения прямой

Замечая, что , уравнение (12.11) можно записать в виде

Отсюда следуют равенства:

Они называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.

Канонические уравнения прямой

Пусть — направляющий вектор прямой L и — точка, лежащая на этой прямой. Вектор , соединяющий точку с произвольной точкой М(х; у; z) прямой L, параллелен вектору . Поэтому координаты вектора и векторапропорциональны:

Уравнения (12.13) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Замечания:

1) Уравнения (12.13) можно было бы получить сразу из параметрических уравнений прямой (12.12), исключив параметр t. Из уравнений (12.12) находим

2) Обращение в нуль одного из знаменателей уравнений (12.13) означает обращение в нуль соответствующего числителя.

Например, уравнения задают прямую, проходящую через точку перпендикулярно оси Oz (проекция вектора на ось Oz равна нулю). Но это означает, что прямая лежит в плоскости z = 1, и поэтому для всех точек прямой будет z — 1=0.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки

Пусть прямая L проходит через точки . В качестве направляющего вектора можно взять вектор

(см. рис. 76). Следовательно,

Поскольку прямая проходит через точку , то, согласно уравнениям (12.13), уравнения прямой L имеют вид

Общие уравнения прямой

Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух непараллельных плоскостей. Рассмотрим систему уравнений

Каждое из уравнений этой системы определяет плоскость. Если плоскости не параллельны (координаты векторов и не пропорциональны), то система (12.15) определяет прямую как геометрическое место точек пространства, координаты которых удовлетворяют каждому из уравнений системы (см. рис. 77). Уравнения (12.15) называют общими уравнениями прямой.
От общих уравнений (12.15) можно перейти к каноническим уравнениям (12.13). Координаты точки на прямой L получаем из системы уравнений (12.15), придав одной из координат произвольное значение (например, z = 0).

Так как прямая L перпендикулярна векторам , то за направляющий вектор прямой L можно принять векторное произведение

Замечание:

Канонические уравнения прямой легко получить, взяв две какие-либо точки на ней и применив уравнения (12.14).

Пример:

Написать канонические уравнения прямой L, заданной уравнениями

Решение:

Положим z = 0 и решим систему Находим точку Положим у = 0 и решим систему Находим вторую точку прямой L. Записываем уравнение прямой L,проходящей через точки :

Прямая линия в пространстве

Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Пусть прямые заданы уравнениями

и

Под углом между этими прямыми понимают угол между направляющими векторами

(см. рис. 78).

Поэтому, по известной формуле для косинуса угла между векторами, получаем или

Для нахождения острого угла между прямыми числитель правой части формулы (12.16) следует взять по модулю.

Если прямые перпендикулярны, то в этом и только в этом случае имеем . Следовательно, числитель дроби (12.16) равен нулю, т. е.

Если прямые параллельны, то параллельны их направляющие векторы . Следовательно, координаты этих векторов пропорциональны, т. е.

Пример:

Найти угол между прямыми

Решение:

Очевидно, где . Отсюда следует, что . Так как .

Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости

Пусть прямые заданы каноническими уравнениями

Их направляющие векторы соответственно (см. рис. 79).

Прямая проходит через точку , радиус-вектор которой обозначим через ; прямая проходит через точку , радиус-вектор которой обозначим через . Тогда

Прямые лежат в одной плоскости, если векторы и
компланарны. Условием компланарности векторов является равенство нулю их смешанного произведения: т.е.

При выполнении этого условия прямые лежат в одной плоскости, то есть либо пересекаются, если , либо параллельны, если .

Прямая и плоскость в пространстве

Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

Пусть плоскость Q задана уравнением Ах + By + Cz + D = 0, а прямая L уравнениями .

Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Обозначим через угол между плоскостью Q и прямой L, а через — угол между векторами (см. рис. 80). Тогда . Найдем синус угла , считая : И так как , получаем

Если прямая L параллельна плоскости Q, то векторы перпендикулярны (см. рис. 81), а потому , т. е.

является условием параллельности прямой и плоскости.

Если прямая L перпендикулярна плоскости Q, то векторы параллельны (см. рис. 82). Поэтому равенства

являются условиями перпендикулярности прямой и плоскости.

Пересечение прямой с плоскостью. Условие принадлежности прямой плоскости

Пусть требуется найти точку пересечения прямой

с плоскостью

Для этого надо решить систему уравнений (12.18) и (12.19). Проще всего это сделать, записав уравнения прямой (12.18) в параметрическом виде:

Подставляя эти выражения для х, у и z в уравнение плоскости (12.19), получаем уравнение или

Если прямая L не параллельна плоскости, т. е. если то из равенства (12.20) находим значение t:

Подставляя найденное значение t в параметрические уравнения прямой, найдем координаты точки пересечения прямой с плоскостью. Рассмотрим теперь случай, когда

а) если , то прямая L параллельна плоскости и пересекать ее не будет (уравнение (12.20) решения не имеет, так как имеет вид );

б) если , то уравнение (12.20) имеет вид ; ему удовлетворяет любое значение t, любая точка прямой является точкой пересечения прямой и плоскости. Заключаем: прямая лежит в плоскости. Таким образом, одновременное выполнение равенств,

является условием принадлежности прямой плоскости.

Цилиндрические поверхности

Поверхность, образованная движением прямой L, которая перемещается в пространстве, сохраняя постоянное направление и пересекая каждый раз некоторую кривую К, называется цилиндрической поверхностью или цилиндром. При этом кривая К называется направляющей цилиндра, а прямая L — его образующей (см. рис. 83).

Будем рассматривать цилиндрические поверхности, направляющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а образующие параллельны координатной оси, перпендикулярной этой плоскости.

Пусть в плоскости Оху лежит некоторая линия К, уравнение которой

Построим цилиндр с образующими параллельными оси Oz и направляющей К.

Теорема:

Уравнение цилиндра, образующие которого параллельны оси Oz, имеет вид (12.21), т. е. не содержит координаты z.

Возьмем на цилиндре любую точку М(х; у; z) (см. рис. 84). Она лежит на какой-то образующей. Пусть N — точка пересечения этой образующей с плоскостью Оху. Следовательно, точка N лежит на кривой K и ее координаты удовлетворяют уравнению (12.21).

Но точка М имеет такие же абсциссу х и ординату у, что и точка N. Следовательно, уравнению (12.21) удовлетворяют и координаты точки М(х; у; z), так как оно не содержит z. И так как М — это любая точка цилиндра, то уравнение (12.21) и будет уравнением этого цилиндра.

Теперь ясно, что F(x; z) = 0 есть уравнение цилиндра с образующими, параллельными оси Оу, a F(y; z) = 0 — с образующими, параллельными оси Ох. Название цилиндра определяется названием направляющей. Если направляющей служит эллипс.

в плоскости Оху, то соответствующая цилиндрическая поверхность называется эллиптическим цилиндром (см. рис. 85).

Частным случаем эллиптического цилиндра является круговой цилиндр, его уравнение . Уравнение определяет в пространстве параболический цилиндр (см. рис. 86). Уравнение

определяет в пространстве гиперболический цилиндр (см. рис.87).

Все эти поверхности называются цилиндрами второго порядка, так как их уравнения есть уравнения второй степени относительно текущих координат х, у и z.

Поверхности вращения. Конические поверхности

Поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости, называется поверхностью вращения. Пусть некоторая кривая L лежит в плоскости Oyz. Уравнения этой кривой запишутся в виде

Найдем уравнение поверхности, образованной вращением кривой L вокруг оси Oz.

Возьмем на поверхности произвольную точку M(x;y;z) (см. рис. 88). Проведем через точку М плоскость, перпендикулярную оси Oz, и обозначим точки пересечения ее с осью Oz и кривой L соответственно через и N. Обозначим координаты точки N через . Отрезки являются радиусами одной и той же окружности. Поэтому . Но . Следовательно или Кроме того, очевидно, .

Так как точка N лежит на кривой L, то ее координаты удовлетворяют уравнению (12.22). Стало быть, . Исключая вспомогательные координаты точки N, приходим к уравнению

Уравнение (12.23) — искомое уравнение поверхности вращения, ему удовлетворяют координаты любой точки М этой поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на поверхности вращения.

Как видно, уравнение (12.23) получается из (12.22) простой заменой у на , координата z сохраняется.

Понятно, что если кривая (12.22) вращается вокруг оси Оу, то уравнение поверхности вращения имеет вид

если кривая лежит в плоскости Оху (z = 0) и ее уравнение F(x;у) = 0, то уравнение поверхности вращения, образованной вращением кривой вокруг оси Ох, есть

Так, например, вращая прямую у = z вокруг оси Oz (см. рис. 89), получим поверхность вращения (ее уравнение или ). Она называется конусом второго порядка.

Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через данную точку Р и пересекающими данную плоскую линию L (не проходящую через Р), называется конической поверхностью или конусом. При этом линия L называется направляющей конуса, точка Р — ее вершиной, а прямая, описывающая поверхность, называется образующей.

Пусть направляющая L задана уравнениями

а точка — вершина конуса. Найдем уравнение конуса. Возьмем на поверхности конуса произвольную точку М(х; у, z) (см. рис. 90). Образующая, проходящая через точки Р и М, пересечет направляющую L в некоторой точке . Координаты точки N удовлетворяют уравнениям (12.24) направляющей:

Канонические уравнения образующих, проходящих через точки Р и N, имеют вид

Исключая из уравнений (12.25) и (12.26), получим уравнение конической поверхности, связывающее текущие координаты х, у и z.

Пример:

Составить уравнение конуса с вершиной в точке О(0; 0; 0), если направляющей служит эллипс , лежащий в плоскости .

Решение:

Пусть М(х; у; z) — любая точка конуса. Канонические уравнения образующих, проходящих через точки (0; 0; 0) и точку пересечения образующей ОМ с эллипсом будут . Исключим из этих уравнений и уравнения

(точка лежит на эллипсе), . Имеем: . Отсюда Подставляя значения в уравнение эллипса (12.27), получим

Это и есть искомое уравнение конуса.

Канонические уравнения поверхностей второго порядка

По заданному уравнению поверхности второго порядка (т. е. поверхности, уравнение которой в прямоугольной системе координат является алгебраическим уравнением второй степени) будем определять ее геометрический вид. Для этого применим так называемый метод сечений: исследование вида поверхности будем производить при помощи изучения линий пересечения данной поверхности с координатными плоскостями или плоскостями, им параллельными.

Эллипсоид

Исследуем поверхность, заданную уравнением

Рассмотрим сечения поверхности (12.28) с плоскостями, параллельными плоскости хОу. Уравнения таких плоскостей: z = h, где h — любое число.

Линия, получаемая в сечении, определяется двумя уравнениями

Исследуем уравнения (12.29): а) Если , Точек пересечения поверхности (12.28) с плоскостями z = h не существует.

б) Если . Линия пересечения (12.29) вырождается в две точки (0; 0; с) и (0; 0; -с). Плоскости z = с и z = -с касаются данной поверхности.

в) Если , то уравнения (12.29) можно переписать в виде:

Как видно, линия пересечения есть эллипс с полуосями (см. рис. 91)

При этом чем меньше тем больше полуоси . При они достигают своих наибольших значений: . Уравнения (12.29) примут вид

Аналогичные результаты получим, если рассмотрим сечения поверхности (12.28) плоскостями х = h и у = h.

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить поверхность (12.28) как замкнутую овальную поверхность. Поверхность (12.28) называется эллипсоидом. Величины а, b и с называются полуосями эллипсоида. Если все они различны, то эллипсоид называется трехосным; если какие-либо две полуоси равны, трехосный эллипсоид превращается в эллипсоид вращения; если а = b = с, то — в сферу

Однополостный гиперболоид

Исследуем поверхность, заданную уравнением

Пересекая поверхность (12.30) плоскостью z = h, получим линию пересечения, уравнения которой имеют вид

Как видно, этой линией является эллипс с полуосями

Полуоси достигают своего наименьшего значения при . При возрастании |h| полуоси эллипса будут увеличиваться.

Если пересекать поверхность (12.30) плоскостями х = h или у = h, то в сечении получим гиперболы. Найдем, например, линию пересечения поверхности (12.30) с плоскостью Oyz, уравнение которой х = 0. Эта линия пересечения описывается уравнениями

Как видно, эта линия есть гипербола (см. рис. 92).

Анализ этих сечений показывает, что поверхность, определяемая уравнением (12.30), имеет форму бесконечной расширяющейся трубки. Поверхность (12.30) называется однополостным гиперболоидом.

Замечание: можно доказать, что через любую точку гиперболоида (12.30) проходят две прямые, лежащие на нем.

Двухполостный гиперболоид

Пусть поверхность задана уравнением

Если поверхность (12.31) пересечь плоскостями z = h, то линия пересечения определяется уравнениями

Отсюда следует, что:

а) если |h| < с, то плоскости z = h не пересекают поверхности;

б) если |h| = с, то плоскости z = ±с касаются данной поверхности соответственное точках (0;0;с) и (0;0; -с).

в) если |h| > с, то уравнения (12.32) могут быть переписаны так

Эти уравнения определяют эллипс, полуоси которого возрастают с ростом |h|.

Пересекая поверхность (12.31) координатными плоскостями Oyz (х = 0) и Oxz (у = 0), получим в сечении гиперболы, уравнения которых соответственно имеют вид

У обеих гипербол действительной осью является ось Oz. Метод сечения позволяет изобразить поверхность (см. рис. 93), определяемую уравнением (12.31), как поверхность, состоящую из двух полостей, имеющих форму выпуклых неограниченных чаш. Поверхность (12.31) называется двухполостным гиперболоидом.

Эллиптический параболоид

Исследуем поверхность, заданную уравнением

где р > 0, q > 0. Рассечем поверхность (12.33) плоскостями z = h. В сечении получим линию, уравнения которой есть

Если h < 0, то плоскости z = h поверхности не пересекают, если h = 0, то плоскость z = 0 касается поверхности в точке (0; 0; 0); если h > 0, то в сечении имеем эллипс, уравнение которого имеет вид

Его полуоси возрастают с ростом h.

При пересечении поверхности (12.33) координатными плоскостями Oxz и Oyz получатся соответственно параболы Таким образом, поверхность, определяемая уравнением (12.33), имеет вид выпуклой, бесконечно расширяющейся чаши (см. рис. 94). Поверхность (12.33) называется эллиптическим параболоидом.

Гиперболический параболоид

Исследуем поверхность, определяемую уравнением

где р > 0, q > 0. Рассечем поверхность (12.34) плоскостями z = h. Получим кривую

которая при всех значениях является гиперболой. При h > 0 ее действительные оси параллельны оси Ох; при h < 0 — параллельны оси Оу , при h = 0 линия пересечения распадается на пару пересекающихся прямых . При пересечении поверхности плоскостями, параллельными плоскости Oxz (у = h), будут получаться параболы

ветви которых направлены вверх. При у=0 в сечении получается парабола

с вершиной в начале координат и осью симметрии Oz.

Пересекая поверхность (12.34) плоскостями х = h, получим параболы ветви которых направлены вниз.

Анализ линии пересечения позволяет определить вид поверхности: она имеет вид седла (см. рис. 95). Поверхность (12.34) называется гиперболическим параболоидом.

Конус второго порядка

Исследуем уравнение поверхности

Пересечем поверхность (12.35) плоскостями z = h. Линия пересечения . При h = 0 она вырождается в точку (0;0;0). При в сечении будем получать эллипсы

Полуоси этих эллипсов будут возрастать при возрастании |h|. Рассечем поверхность (12.35) плоскостью Oyz (х = 0). Получится
линия

распадающаяся на две пересекающиеся прямые

При пересечении поверхности (12.35) плоскостью у = 0 получим линию

также распадающуюся на две пересекающиеся прямые

Поверхность, определяемая уравнением (12.35), называется конусом второго порядка, имеет вид, изображенный на рисунке 96. Поверхности, составленные из прямых линий, называются линейчатыми. Такими поверхностями являются цилиндрические, конические поверхности, а также однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид.

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Формулы и правила дифференцирования
45. Дифференциальное исчисление
46. Дифференциальные уравнения
47. Дифференциальные уравнения первого порядка
48. Дифференциальные уравнения высших порядков
49. Дифференциальные уравнения в частных производных
50. Тригонометрические функции
51. Тригонометрические уравнения и неравенства
52. Показательная функция
53. Показательные уравнения
54. Обобщенная степень
55. Взаимно обратные функции
56. Логарифмическая функция
57. Уравнения и неравенства
58. Положительные и отрицательные числа
59. Алгебраические выражения
60. Иррациональные алгебраические выражения
61. Преобразование алгебраических выражений
62. Преобразование дробных алгебраических выражений
63. Разложение многочленов на множители
64. Многочлены от одного переменного
65. Алгебраические дроби
66. Пропорции
67. Уравнения
68. Системы уравнений
69. Системы уравнений высших степеней
70. Системы алгебраических уравнений
71. Системы линейных уравнений
72. Системы дифференциальных уравнений
73. Арифметический квадратный корень
74. Квадратные и кубические корни
75. Извлечение квадратного корня
76. Рациональные числа
77. Иррациональные числа
78. Арифметический корень
79. Квадратные уравнения
80. Иррациональные уравнения
81. Последовательность
82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
83. Тригонометрические функции произвольного угла
84. Тригонометрические формулы
85. Обратные тригонометрические функции
86. Теорема Безу
87. Математическая индукция
88. Показатель степени
89. Показательные функции и логарифмы
90. Множество
91. Множество действительных чисел
92. Числовые множества
93. Преобразование рациональных выражений
94. Преобразование иррациональных выражений
95. Геометрия
96. Действительные числа
97. Степени и корни
98. Степень с рациональным показателем
99. Тригонометрические функции угла
100. Тригонометрические функции числового аргумента
101. Тригонометрические выражения и их преобразования
102. Преобразование тригонометрических выражений
103. Комбинаторика
104. Вычислительная математика
105. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
106. Прямая и плоскость
107. Линии и уравнения
108. Прямая линия
109. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
110. Кривые второго порядка
111. Кривые и поверхности второго порядка
112. Числовые ряды
113. Степенные ряды
114. Ряды Фурье
115. Преобразование Фурье
116. Функциональные ряды
117. Функции многих переменных
118. Метод координат
119. Гармонический анализ
120. Вещественные числа
121. Предел последовательности
122. Аналитическая геометрия
123. Аналитическая геометрия на плоскости
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат