Как найти уклон прямой

Загрузить PDF

Нахождение угла наклона прямой – это один из важнейших навыков в геометрии, необходимый для построения графика линейной функции или для определения координат точек пересечения прямой с осями X и Y. Угол наклона прямой определяет скорость ее роста или убывания,^[1] то есть как быстро прямая перемещается по вертикали в зависимости от движения по горизонтали. Угол наклона прямой легко вычисляется по координатам двух точек, лежащих на этой прямой.

1

Уясните формулу для вычисления углового коэффициента. Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой, который она образует с осью Х, и вычисляется как отношение вертикального расстояния между двумя точками к горизонтальному расстоянию между двумя точками.
2

Выберите две точки и найдите их координаты. Можно выбрать любые две точки, лежащие на прямой.
3

Задайте порядок точек (относительно друг друга). Одна точка будет первой точкой, а другая – второй. Не имеет значения, какая точка будет первой, а какая второй – главное не перепутать их порядок в процессе вычисления.^[2]
4

Запишите формулу для вычисления углового коэффициента. Формула: ${frac {VR}{GR}}={frac {y_{{2}}-y_{{1}}}{x_{{2}}-x_{{1}}}}$ , где VR – вертикальное расстояние, определяемое изменением координаты «у», GR – горизонтальное расстояние, определяемое изменением координаты «х».^[3]

Реклама

1

В формулу для вычисления углового коэффициента подставьте координаты «у». Не перепутайте их с координатами «х» и убедитесь, что подставляете правильные координаты первой и второй точек.
2

В формулу для вычисления углового коэффициента подставьте координаты «х». Не перепутайте их с координатами «у» и убедитесь, что подставляете правильные координаты первой и второй точек.
3

Вычтите координаты «у». Вы найдете вертикальное расстояние.
4

Вычтите координаты «х». Вы найдете горизонтальное расстояние.
5

Если возможно, сократите дробь. Вы найдете угловой коэффициент.
6
Обращайте внимание на отрицательные числа. Угловой коэффициент может быть положительным или отрицательным. В случае положительного значения прямая возрастает (движется вверх слева направо); в случае отрицательного значения прямая убывает (движется вниз слева направо).
- Помните, что если и в числителе, и в знаменателе стоят отрицательные числа, то результат будет положительным.
- Если в числителе или в знаменателе стоит отрицательное число, то результат будет отрицательным.
7
Проверьте ответ. Для этого измерьте или посчитайте (по шкалам осей) вертикальное и горизонтальное расстояния. Если они совпали с вычисленными, то ответ правильный.
- Если измеренные или посчитанные вертикальное и горизонтальное расстояния не совпали с вычисленными, то ответ не правильный.
Реклама

Советы

Об этой статье

Эту страницу просматривали 90 407 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Что такое линейная функция и как выглядит ее график мы подробно разбирали здесь.

В этой статье мы остановимся на том, как находить коэффициент наклона прямой.

Как мы знаем, уравнение прямой имеет вид y=kx+b . В этом уравнении коэффициент при отвечает за наклон прямой и называется коэффициентом наклона. Он равен тангенсу угла между прямой и положительным направлением оси .

Внимание! Не просто между прямой и осью , а именно между прямой и положительным направлением оси .

Например, в прямой y=3x-1 коэффициент наклона равен , в прямой y=2-5x коэффициент наклона равен .

В уравнении прямой y=-1 слагаемое, содержащее отсутствует, следовательно, коэффициент при равен нулю. Угол наклона этой прямой к оси равен нулю — прямая y=-1 параллельна оси .

Если прямая наклонена вправо, то угол между прямой и положительным направлением оси — острый, соответственно, тангенс этого угла больше нуля, и коэффициент k>0 .

Например:

Здесь

Если прямая наклонена влево, то угол между прямой и положительным направлением оси — тупой, соответственно, тангенс этого угла меньше нуля, и коэффициент k<0 :

Здесь .

Решим две задачи на нахождение коэффициента наклона прямой.

1. Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (-1;-1) и (1;3).

Решим эту задачу двумя способами.

А). Так как прямая проходит через точки (-1;-1) и (1;3), координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой y=kx+b . То есть если мы координаты каждой точки подставим в уравнение прямой, то получим верное равенство. Так как у нас две точки, получаем систему:

или

Вычтем из второго уравнения первое, и получим 2k=4 , отсюда k=2 .

Б). Построим график этой функции. Для этого нанесем данные точки А(-1;-1) и В(1;3) на координатную плоскость и проведем через них прямую:

Коэффициент равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси , на чертеже это угол alpha :

Чтобы найти рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с вершинами в данных точках.

Угол beta прямоугольного треугольника АВС равен углу alpha (соответственные углы, полученный при пересечении параллельных прямых АС и ОХ секущей АВ):

равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть

Отсюда

2. Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (4;0) и (0;8).

Решение с помощью системы уравнений абсолютно аналогично решению предыдущей задачи, можете воспроизвести его самостоятельно.

Выполним это задание с помощью графика.

Нанесем данные токи на координатную плоскость и проведем через них прямую:

Угол между прямой и положительным направлением оси ОХ — это угол alpha :

Коэффициент наклона прямой . Чтобы найти , построим прямоугольный треугольник ВОА:

В этом прямоугольном треугольнике угол alpha — внешний. Мы можем найти тангенс внутреннего угла beta . .

. Отсюда .

Еще раз! Если прямая наклонена влево, то коэффициент наклона прямой отрицательный.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Источник

Download Article

The slope of a line is a measure of how fast it is changing. This can be for a straight line — where the slope tells you exactly how far up (positive slope) or down (negative slope) a line goes while it goes how far across. Slope can also be used for a line tangent to a curve. Or, it can be for a curved line when doing Calculus, where slope is also known as the «derivative» of a function. Either way, think of slope simply as the «rate of change» of a graph: if you make the variable «x» bigger, at what rate does «y» change? That is a way to see slope as a cause and an effect event.

1

Use slope to determine how steep, and in what direction (upward or downward), a line goes. Finding the slope of a line is easy, as long as you have or can setup a linear equation. This method works if and only if:^[1]
2

Find the number in front of the x, usually written as «m,» to determine slope. If your equation is already in the right form, , then simply pick the number in the «m» position (but if there is no number written in front of x then the slope is 1). That is your slope! Note that this number, m, is always multiplied by the variable, in this case an «x.» Check the following examples:

Advertisement
3

Reorganize the equation so one variable is isolated if the slope isn’t apparent. You can add, subtract, multiply, and more to isolate a variable, usually the «y.» Just remember that, whatever you do to one side of the equal sign (like add 3) you must do to the other side as well. Your final goal is an equation similar to . For example:

1
Use a graph and two points to find slope without the equation handy. If you’ve got a graph and a line, but no equation, you can still find the slope with ease. All you need are two points on the line, which you plug into the equation ${frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ . While finding the slope, keep in mind the following information to help you check if you’re on the right track:^[5]
- Positive slopes go higher the further right you go.
- Negative slopes go lower the further right you go.
- Bigger slopes are steeper lines. Small slopes are always more gradual.
- Perfectly horizontal lines have a slope of zero.
- Perfectly vertical lines do not have a slope at all. Their slope is «undefined.»^[6]
2
Find two points, putting them in simple (x,y) form. Use the graph (or the test question) to find the x and y coordinates of two points on the graph. They can be any two points that the line crosses through. For an example, assume that the line in this method goes through (2,4) and (6,6).^[7]
- In each pair, the x coordinate is the first number, the y coordinate comes after the comma.
- Each x coordinate on a line has an associated y coordinate.
3
Label your points x₁, y₁, x₂, y₂, keeping each point with its pair. Continuing our first example, with the points (2,4) and (6,6), label the x and y coordinates of each point. You should end up with:^[8]
- x₁: 2
- y₁: 4
- x₂: 6
- y₂: 6^[9]
4

Plug your points into the «Point-Slope Formula» to get your slope. The following formula is used to find slope using any two points on a straight line: ${frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ . Simply plug in your four points and simplify:^[10]
5

Understand how the Point-Slope Formula works. The slope of a line is “Rise over Run:” how much the line goes up divided by how much the line «runs» to the right. The “rise” of the line is the difference between the y-values (remember, the Y-axis goes up and down), and the “run” of the line is the difference between the x-values (and the X-axis goes left and right).^[11]
6

Recognize other ways you may be tested to find slope. The equation of the slope is ${frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ . This may also be shown using the Greek letter “Δ”, called “delta”, meaning “difference of”. Slope can also be shown as Δy/Δx, meaning «difference of y / difference of x:» this is the same exact question as «find the slope between

1
Review how to take a variety of derivatives from common functions. Derivatives give you the rate of change (or slope) at a single point on a line. The line can be curved or straight — it doesn’t matter. Think of it as how much the line is changing at any time, instead of the slope of the entire line. How you take derivatives changes depending on the type of function you have, so review how to take common derivatives before moving on.
- Review taking derivatives here
- The most simple derivatives, those for basic polynomial equations, are easy to find using a simple shortcut. This will be used for the rest of the method.
2

Understand what questions are asking for a slope using derivatives. You will not always be asked to explicitly find the derivative or slope of a curve. You might also be asked for the «rate of change at point (x,y). You could be asked for an equation for the slope of the graph, which simply means you need to take the derivative. Finally, you may be asked for «the slope of the tangent line at (x,y).» This, once again, just wants the slope of the curve at a specific point, (x,y).
3
Take the derivative of your function. You don’t even really need you graph, just the function or equation for your graph. For this example, use the function from earlier, $f(x)=2x^{2}+6x$ . Following the methods outlined here, take the derivative of this simple function.^[13]
- Derivative:
4

Plug in your point to the derivative equation to get your slope. The differential of a function will tell you the slope of the function at a given point. In other words, f’(x) is slope of the function at any point (x,f(x)) So, for the practice problem:
5
Check your point against a graph whenever possible. Know that not all points in calculus will have a slope. Calculus gets into complex equations and difficult graphs, and not all points will have a slope, or even exist on every graph. Whenever possible, use a graphing calculator to check the slope of your graph. If you can’t, draw the tangent line using your point and the slope (remember — «rise over run») and note if it looks like it could be correct.^[14]
- Tangent lines are just lines with the exact same slope as your point on the curve. To draw one, go up (positive) or down (negative) your slope (in the case of the example, 22 points up). Then move over one and draw a point. Connect the dots, (4,2) and (26,3) for your line.

Practice Problems and Answers

Our Most Loved Articles & Quizzes

Add New Question

Question

What is the slope for the equation y=1?

The graph of y=1 is a straight, horizontal line, meaning that it does not rise or fall as it moves left or right. Its slope is therefore zero.
Question

What if the equation is like x+y=0 or x-y=0?

That’s no problem. When x+y=0, y=-x. In this case the slope is -1. On the other hand, when x-y=0, y=x. Here the slope is +1.
Question

What’s the difference between a slope = 0 and slope = undefined?

A zero slope is a horizontal line (parallel to the x-axis), and an undefined slope is a vertical line (parallel to the y-axis).

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Video

About This Article

Article SummaryX

To find the slope of a linear equation, start by rearranging the given equation into slope-intercept form, which is y = mx + b. In slope-intercept form, «m» is the slope and «b» is the y-intercept. The slope of the line is whatever number is multiplied on the «x» variable, so just solve the equation for «x» to figure out the slope! For tips on finding the slope when you’re given two points on a graph, read on!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 539,941 times.

Did this article help you?

Источник

Как определить угол наклона прямой

Углом наклона прямой обычно считается угол между этой прямой и положительным направлением оси абцисс. Определить этот угол можно, исходя из уравнения прямой или координат определенных точек прямой.

Вам понадобится

декартова система координат

Инструкция

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид y = kx+b, где k — угловой коэффициент прямой. Этот коэффициент и определяет угол наклона прямой. Этот коэффициент равен k = tg?, где ? — угол между лучом прямой, расположенным выше оси абцисс и положительным направлением оси абцисс. Это и есть угол наклона прямой. Он равен ? = arctg(k).Если k = 0, то прямая будет параллельна оси абцисс или совпадать с ней. Тогда угол наклона ? = arctg(0) = 0, что отражает параллельности прямой оси абцисс (или их совпадение).

Если прямая пересекает ось абцисс и ось ординат, то ее угол наклона можно определить по координатам точек ее пересечения с этими осями. Рассмотрите прямоугольный треугольник, образованный этими точками и центром координат. Пусть O — центр координат, X — точка пересечения прямой с осью абцисс, Y — точка пересечения прямой с осью ординат. Тангенс угла в треугольнике между прямой и осью абцисс будет равен tg? = OY/OX. Здесь OY = |y|, OX = |x|, где y — координата по оси ординат точки пересечения прямой с осью ординат, а x — координата по оси ординат точки пересечения прямой с осью абцисс.

Следовательно, ? = arctg(OY/OX). Если угол наклона прямой острый, то этот угол наклона и есть угол ?, Если угол наклона тупой, то он равен 180-? = pi-arctg(OY/OX).Если прямая не проходит через центр координат, то можно выбрать две любые точки прямой с известными координатами и по аналогии посчитать тангенс угла наклона.Если уравнение имеет вид y = const, то угол наклона равен 0o. Если она имеет вид x = const, то угол наклона равен 90o.

Видео по теме

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Интервал и уклон прямой.

Длина проекции
отрезка прямой называется его заложением
и обозначается буквой L
(рис. 99),
разность расстояний концов отрезка до
плоскости П₀
называется
превышением и обозначается буквой Н.

Наклон прямой
может быть выражен не только величиной
угла α, но
также уклоном. Уклон — i
— равен
тангенсу угла наклона прямой к плоскости
П₀:

i
=H
/ L =
tg α.
Если превышение равно единице (Н=1),
то заложение,
ему соответствующее, называется
интервалом и обозначается буквой l.
Уклон в этом случае равен i=1
/ l.
Откуда следует, что уклон и интервал
прямой — величины, обратные друг другу.

Следствие:
прямую линию в проекциях с числовыми
отметками можно задать направлением
ее проекции с проекциями одной точки и
интервалом или уклоном (рис. 100).

Проградуировать
прямую — это значит, определить точки,
отметки которых выражены целыми числами.
Существует несколько способов
градуирования прямой.

1 способ (рис. 101) —
проведем через произвольные, но равные
интервалы, параллельно отрезку АВ серию
параллельных прямых; обозначим их как
горизонтали с целыми отметками.

На перпендикулярах,
восстановленных к проекции прямой АВ
из точек
А_5,8и В_3,5,
отметим положение точек А¹В¹.
Точки пересечения ее с построенными
горизонталями дают положение искомых
точек.

2 способ (рис. 101)
— вариант решения задачи делением отрезка
в заданном отношении по теореме Фалеса.

3 способ — аналитический
— с помощью формул уклона и интервала
прямой. Зная длину проекции прямой —
заложение L
(рис. 101) легко определить величину
интервала из отношения: l
= L/H,
где Н
— превышение точки В
над точкой

А.

14.3. Взаимное положение двух прямых

Параллельные
прямые (рис. 102а).

Две прямые
параллельны между собой, если их проекции
также параллельны, интервалы и уклоны
равны и числовые отметки возрастают в
одну и ту же сторону.

ℓ_AB=ℓ_CD;
ί_AB=ί_CD

Пересекающиеся
прямые (рис. 102б).

Точка пересечения
пересекающихся прямых имеет одинаковые
отметки на первой и второй прямой. Это
легко проверить, если прямые проградуированы:
прямые, соединяющие точки с одинаковыми
отметками, параллельны между собой.

Скрещивающиеся
прямые (рис. 102в).

Если признаки
параллельности и пересечения прямых
отсутствуют, прямые скрещиваются.
Отметки прямых в точке пересечения их
проекций разные для каждой прямой.

14.4. Проекции плоскости.

Плоскость в
проекциях с числовыми отметками может
быть задана всеми известными в
начертательной геометрии способами.
Но часто плоскость задается масштабом
уклонов (рис. 103 а, б). Такое задание
является наиболее наглядным и удобным
при решении инженерных задач.

Проекции горизонталей
плоскости и масштаб уклонов пересекаются
под прямым углом. Интервал плоскости
равен интервалу ее линии ската. Линия
ската плоскости иначе называется линией
падения. Она определяет угол наклона
или угол падения плоскости (рис. 103а).

Масштабом уклонов
называют проградуированную проекцию
линии ската плоскости. Масштаб уклонов
изображается на плане двумя параллельными
прямыми: толстой и тонкой с нанесенными
на ней отметками горизонталей плоскости
(рис. 103б).

Направление и угол
простирания. При проведении проектно
– изыскательских и геологических работ
возникает необходимость определять
положение плоскости относительно сторон
света. Это положение определяется такими
понятиями как направление простирания
и угол простирания. За направление
простирания плоскости принимается
направление вправо по горизонталям,
если смотреть на масштаб уклона плоскости
в сторону возрастания отметок (рис. 103
а, в).

Углом простирания
плоскости называется угол между северным
концом меридиана и направлением
простирания против хода часовой стрелки
(рис. 103в).