Как найти угол в правильном шестиугольнике abcdef

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II


1. Вспоминай формулы по каждой теме


2. Решай новые задачи каждый день


3. Вдумчиво разбирай решения

Правильный шестиугольник (страница 2)

Правильный шестиугольник — выпуклый шестиугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

(blacktriangleright) Каждый угол правильного шестиугольника равен (120^circ).

(blacktriangleright) Около правильного шестиугольника можно описать окружность: ее радиус равен его стороне.

(blacktriangleright) Большие диагонали правильного шестиугольника делят его на (6) равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу вписанной в правильный шестиугольник окружности.

(blacktriangleright) Центры вписанной и описанной около правильного шестиугольника окружностей есть точка пересечения больших диагоналей этого шестиугольника.

(blacktriangleright) Площадь правильного шестиугольника со стороной (a) равна [S=dfrac{3sqrt3}2a^2]


Задание
8

#667

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Сторона правильного шестиугольника (ABCDEF) равна (sqrt[4]{3}). Найдите его площадь.

Пусть (O) – центр описанной около (ABCDEF) окружности

тогда треугольники (AOF), (AOB), (BOC), (COD), (DOE), (EOF) – равносторонние и все они попарно равны.
[S_{triangle{AOF}} = 0,5 AF^2 cdot sin{60^{circ}} = dfrac{AF^2sqrt{3}}{4}, qquadqquad S_{ABCDEF} = 6cdot S_{triangle{AOF}} = dfrac{3sqrt{3}AF^2}{2}.] В данной задаче (S_{ABCDEF} = 6cdot S_{triangle{AOF}} = dfrac{3sqrt{3}AF^2}{2} = 4,5).

Ответ: 4,5


Задание
9

#2428

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите расстояние между двумя параллельными сторонами правильного шестиугольника со стороной (sqrt{108}).

Рассмотрим правильный шестиугольник (ABCDFE) и в нем треугольник (ABC). Параллельными сторонами являются пары (AB) и (DF), (BC) и (FE), (CD) и (EA).
Помним, что угол правильного шестиугольника равен (120^circ).

(triangle ABC) равнобедренный ((AB=BC,)), следовательно, (angle
BAC=0,5cdot (180^circ-120^circ)=30^circ). Таким образом, (angle
CAE=120^circ-30^circ=90^circ).

Следовательно, (AC) – расстояние между сторонами (AE) и (CD) (по определению расстояние между двумя параллельными прямыми – отрезок, проведенный из любой точки одной прямой перпендикулярно ко второй прямой).

Найдем (AC) по теореме косинусов ((AB=BC=a=sqrt{108})):

(AC^2=a^2+a^2-2a^2cdot cos120^circ=2a^2(1-cos120^circ)=2cdot
108cdot left(1+frac12right)=3cdot 108 quad Rightarrow
)

(Rightarrow quad AC=sqrt{3cdot 108}=sqrt{3cdot 3cdot
36}=3cdot 6=18.)

Ответ: 18


Задание
10

#2431

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Около правильного шестиугольника (ABCDEF) описана окружность с центром в точке (O). Во сколько раз площадь этого шестиугольника больше площади треугольника (AOK), где (K) – середина стороны (BC).

По свойству правильного шестиугольника центр описанной окружности лежит на пересечении больших его диагоналей. Следовательно, (AO) – радиус описанной окружности. Также по свойству радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника, следовательно, (AB=AO=x).

Т.к. (triangle AOB) – правильный, то (angle AOB=60^circ). (triangle BOC) также правильный. Т.к. по условию (OK) – медиана в правильном (triangle BOC), то она и биссектриса, то есть (angle
BOK=frac12cdot 60^circ=30^circ). Таким образом, (angle
AOK=90^circ), то есть (triangle AOK) – прямоугольный.

Следовательно, [S_{triangle AOK}=dfrac12cdot AOcdot OK=dfrac
x2cdot OK]

Площадь правильного шестиугольника равна сумме площадей шести правильных треугольников:

[S_{ABCDEF}=6cdot dfrac12cdot BCcdot OK=6cdot dfrac x2cdot OK]

Таким образом, [dfrac{S_{ABCDEF}}{S_{triangle AOK}}=6.]

Ответ: 6


Задание
11

#2432

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Около правильного шестиугольника (ABCDEF) описана окружность с центром в точке (O). Найдите большую сторону треугольника (AOK), где (K) – середина стороны (BC=sqrt7) шестиугольника (ABCDEF).

По свойству правильного шестиугольника центр описанной окружности лежит на пересечении больших его диагоналей. Следовательно, (AO) – радиус описанной окружности. Также по свойству радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника, следовательно, (AB=AO=sqrt7).

Т.к. (triangle AOB) – правильный, то (angle AOB=60^circ). (triangle BOC) также правильный. Т.к. по условию (OK) – медиана в правильном (triangle BOC), то она и биссектриса, то есть (angle
BOK=frac12cdot 60^circ=30^circ). Таким образом, (angle
AOK=90^circ), то есть (triangle AOK) – прямоугольный.

Следовательно, большая сторона в (triangle AOK) – это гипотенуза (AK). По теореме Пифагора из (triangle BOK) ((OK) также является в нем высотой):

[OK=sqrt{BO^2-BK^2}=sqrt{(sqrt7)^2-left(dfrac{sqrt7}2right)^2}=
dfrac{sqrt3}2cdot sqrt7]

Таким образом, по теореме Пифагора из (triangle AOK):

[AK=sqrt{AO^2+OK^2}=sqrt{(sqrt7)^2+left(dfrac{sqrt3}2cdot sqrt7right)^2}=
dfrac72=3,5.]

Ответ: 3,5

УСТАЛ? Просто отдохни

Источник

Ответы

Автор ответа: Marisabelle1





4

Ответ:

60°

Объяснение:

Так как шестиугольник правильный все углы его вершин равны 120°, а АС и АЕ  основания равнобедренных треугольников АВС и AFE соответственно. Так как они равнобедренные с вершиной 120°, то два угла у основания равны и равны 30° каждый. То есть, углы BAE и EAF = 30°, а угол EAC = 120°-30°-30° = 60°

Интересные вопросы

Выпиши слова в которые нужно вставить букву опа_ный,окрес_ный,прекрас_ный,прелес_ный,трос_ник,звёз_ный,лес_ница,ус_ный,вкус_ный,чудес_ный,извес_ный

Предмет: Химия,
автор: Аноним

Предмет: Химия,
автор: Nikita123890

Источник

Привет! Цель нашего проекта помочь тебе подготовиться к ЕГЭ (или ОГЭ).
У нас более 1000 заданий с подробным решением, сервис, запоминающий твои ответы, и удивительная система тестирования.
Обо всем по порядку расскажу тебе после быстрой регистрации.

Присоединиться к ExamMe

ОГЭ по Математике

Задание 1. Числа и вычисления (0/10)

Задание 2. Числовые неравенства, координатная прямая (0/10)

Задание 3. Числа, вычисления и алгебраические выражения (0/10)

Задание 4. Уравнения и неравенства (0/10)

Задание 5. Чтение графиков функций (0/10)

Задание 6. Арифметические и геометрические прогрессии (0/10)

Задание 7. Алгебраические выражения (0/10)

Задание 8. Уравнения, не­ра­вен­ства и их системы (0/10)

Задание 9. Треугольники, четырёхугольники, многоугольники и их элементы (0/10)

Задание 10. Окружность, круг и их элементы (0/10)

Задание 11. Площади фигур (0/10)

Задание 12. Фигуры на квадратной решётке (0/10)

Задание 13. Верные и неверные геометрические высказывания (0/10)

Задание 14. Анализ диаграмм, таблиц, графиков (0/10)

Задание 15. Анализ диаграмм, таблиц, графиков (0/10)

Задание 16. Простейшие текстовые задачи (0/10)

Задание 17. Практические задачи по геометрии (0/10)

Задание 18. Анализ диаграмм (0/10)

Задание 19. Статистика и вероятности (0/10)

Задание 20. Расчеты по формулам (0/10)

Задание 21. Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы (0/10)

Задание 22. Текстовые задачи (0/10)

Задание 23. Функции и их свойства. Графики функций (0/10)

Задание 24. Геометрическая задача на вычисление (0/10)

Задание 25. Геометрическая задача на доказательство (0/10)

Задание 26. Геометрическая задача повышенной сложности (0/10)

Начать проверочный тест

Задание:

Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Докажите, что угол ACD прямой.

Решение:

Так как шестиугольник ABCDEF правильный, то каждый угол в нем равен 720 : 6 = 120 градусов.

Отрезок АС отсекает от данного правильного шестиугольника равнобедренный треугольник АВС. В котором угол АВС равен 120 градусов, тогда угол ВСА = (180 — 120):2=30 градусов.

Значит, угол АСD = 120 — 30 = 90 градусов.

Задание добавил(а)

О задание:

Источник условия: Книга: Новый сборник заданий ОГЭ2017. Л.Д. Лаппо, М.А. Попов.
Источник решения: авторское

Обсуждения

Только зарегистрированные пользователи могут оставлять комментарии.

Источник

См. рис1:

Для вычисления суммы углов выпуклого N-многоугольника нужно использовать формулу 

Треугольник ABC состоит из ОДНОГО треугольника, значит сумма всех его углов равна 

Четырехугольник DEFG состоит из ДВУХ треугольников, значит сумма всех его углов равна 

Пятиугольник MNOPQ состоит из ТРЕХ треугольников, значит сумма всех его углов равна 

Шестиугольник RSTUVW состоит из ЧЕТЫРЕХ треугольников, значит сумма всех его углов равна 

……..

N-угольник состоит из N — 2 треугольников, значит сумма всех его углов равна  (строго доказываеться с помощью метода математической индукции)
————————————————

Теперь сама задача см. Рис. 2
По скольку 6-угольник ABCDEF правильный, то 
также 

Находить скалярное произведение будем за опредилением через угол:

Как видим, нам нужно найти величину угла  и длину стороны .

(1) :

угол правильного 6-угольника равен: 

диагональ AD разделяет 6-угольник пополам, и потому угол 

(2) :
для нахождения AD найдем сначала DF за теоремой косинусов в треуг. FED:
[tex]DF^2=EF^2+ED^2-2*EF*ED*cos(angle FED)\
DF^2=1^2+1^2-2*cos(120^0)\
DF^2=2-2*(-frac{1}{2})=3\
DF=sqrt{3}[/tex]

также из треуг. FED найдем угол 

треуг. FED равнобедренный, по этому 

тогда угол 

из треуг. DFA за теор. Пифагора:

————————
тогда:
[tex]vec{CD}*vec{AD}=AF*AD*cos(angle FAD)=\
=1*2*cos(angle 60^0)=1*2*frac{1}{2}=1[/tex]

Ответ: 1

Источник

См. рис1:

Для вычисления суммы углов выпуклого N-многоугольника нужно использовать формулу 180^0*(N-2)

Треугольник ABC состоит из ОДНОГО треугольника, значит сумма всех его углов равна 180^0*1=180^0*(3-2)

Четырехугольник DEFG состоит из ДВУХ треугольников, значит сумма всех его углов равна 180^0*2=180^0*(4-2)

Пятиугольник MNOPQ состоит из ТРЕХ треугольников, значит сумма всех его углов равна 180^0*3=180^0*(5-2)

Шестиугольник RSTUVW состоит из ЧЕТЫРЕХ треугольников, значит сумма всех его углов равна 180^0*4=180^0*(6-2)

……..

N-угольник состоит из N — 2 треугольников, значит сумма всех его углов равна 180^0*(N-2) (строго доказываеться с помощью метода математической индукции)
————————————————

Теперь сама задача см. Рис. 2
По скольку 6-угольник ABCDEF правильный, то vec{CD}=vec{AF}
также AB=BC=CD=DE=FE=EA=1

Находить скалярное произведение vec{CD}*vec{AD}=vec{AF}*vec{AD} будем за опредилением через угол:
vec{AF}*vec{AD}=|vec{AF}|*|vec{AD}|*cos(angle FAD)=AF*AD*cos(angle FAD).

Как видим, нам нужно найти величину угла angle FAD и длину стороны AD.

(1) angle FAD:

угол правильного 6-угольника равен: frac{180^0*(6-2)}{6}=120^0

диагональ AD разделяет 6-угольник пополам, и потому угол angle FAD=frac{1}{2}*120^0=60^0

(2) AD:
для нахождения AD найдем сначала DF за теоремой косинусов в треуг. FED:
DF^2=EF^2+ED^2-2*EF*ED*cos(angle FED)\ DF^2=1^2+1^2-2*cos(120^0)\ DF^2=2-2*(-frac{1}{2})=3\ DF=sqrt{3}

также из треуг. FED найдем угол angle EFD

треуг. FED равнобедренный, по этому angle EFD=frac{180^0-angle FED}{2}=frac{180^0-120^0}{2}=30^0

тогда угол angle DFA=angle EFA-angle EFD=120^0-30^0=90^0

из треуг. DFA за теор. Пифагора:
DA=sqrt{DF^2+FA^2}=sqrt{(sqrt{3})^2+1^2}=sqrt{4}=2

————————
тогда:
vec{CD}*vec{AD}=AF*AD*cos(angle FAD)=\ =1*2*cos(angle 60^0)=1*2*frac{1}{2}=1

Ответ: 1

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Не пропустите также:

  • Как составить показатели премирования работников
  • Как найти страницу вк если есть фото
  • Как составить мой личный финансовый план
  • Как составить этнографический маршрут коренные народы кубани
  • Как найти детские косметики

    • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии