Как найти угол между прямыми в параллелограмме

и

2.2 Даны уравнение двух сторон параллелограмма (ав) и(аd) и точка пересечения его диагоналей n(1,2). Найти уравнения двух других сторон этого параллелограмма. Задание №3

Для решения третьей задачи потребуются
следующие понятия о кривых второго
порядка: Пусть на плоскости имеется
прямоугольная декартова система
координат. Как было видно в предыдущей
задаче, множество точек плоскости,
удовлетворяющих равенству
=0
является линией.

В примере №2уравнения были линейными
(т.е. функцияявлялась многочленом первой степени),
линия — прямой линией; то есть линиями
первого порядка являлись прямые линии.
В качестве функцииможет
выступать и многочленвторой
степени

такое уравнение – уравнение линии
второго порядка.

ЭЛЛИПС

Если уравнение имеет вид

то кривая называется эллипсом (каноническое
уравнение эллипса).Точка— центр эллипса. Точки (±,0),(0,
±)
называются вершинами эллипса.

(<)
– расстояние от центра до фокусов

Если
==0,
то центр эллипса совпадает с началом
координат и точки(-,0)и(,0)–левый и правый фокусы эллипса.

Число
называется эксцентриситетом эллипса.

ГИПЕРБОЛА

Если уравнение имеет вид

>0,>0

кривая называется гиперболой (каноническое
уравнение гиперболы)

Точка
—
центр гиперболы, Точки(±,0)-вершины
гиперболы, При
=0,=0,

Прямые
=
±асимптоты гиперболы.

,

>0.Точки(-,0)и(,0)фокусы гиперболы.

ПАРАБОЛА

Если уравнение имеет вид:

,
где>0,
то линия называется параболой(каноническое
уравнение параболы)

,-координаты
вершины параболы; При
==0
(,0
) —фокус параболы; прямая

— директриса параболы.

На плоскости может быть введена не
только декартова прямоугольная, но и
полярная система координат.

Зададим точку О-полюс, осьZсодержащую точку Ои единицу длины
осиZ.

Возьмем произвольную точку Мплоскости. Её положение на плоскости
определяется двумя числами – расстояниемrотОдоМ(полярный радиус) и отсчитываемым против
часовой стрелки угломφмежду лучомOMи лучом оси (полярный
угол). Если поместить начало координат
декартовой прямоугольной системы в
полюс, то координаты будут связаны
следующим образом.

Пример 1. Пусть в задаче №3

Построим заданную линию по точкам в
полярной системе координат. В начале
определим область допустимых значений
(ОДЗ) независимой переменной φ. По
определению полярной системы координат
и.Точкеr = 0 соответствует
полюс 0.

По условию задач угол φ может меняться
от0до2π. Поэтому наибольшие
размеры ОДЗ таковы.
При этомr>0 (r0),
т.к. числитель соответствующей дроби4>0. отсюда знаменатель этой дроби
также должен удовлетворять неравенству

2-3cosφ
> 0 илиcosφ
< 2/3.

Решаем последнее неравенство

cosφ=
2/3
0,667;

0,667
+2πk,kN;φ =.

В промежуток
попадают два значения φ₁=иφ₂ =
—.

Отсюда для
cosφ<2/3.

Следовательно, допустимые значения φпринадлежат промежутку от 3π/8 до
13π/8, т.е. ОДЗ:.

Результаты расчетов заносим в таблицу

φ	3π/8	π/2	5π/8	6π/8	7π/8	π	9π/8	10π/8	11π/8	12π/8	13π/8
cosφ	0.38	0	-0.38	-0.71	-0.92	-1	-0.92	-0.71	-0.38	0	0.38
r	4.75	2	1.27	0.97	0.84	0.8	0.84	0.97	1.27	2	4.75

Строим чертеж, откладывая на луче,
проведенном из полюса О под определенным
углом φ, соответствующие значения
радиус-вектораrиз
таблицы

rl(φ)

Для перехода к системе 0хувоспользуемся
формулами.Имеем, следовательно

r(2-3cosφ)=4,

Определяем ОДЗ для х. Из ОДЗ: для φ>0.

Следовательно, 3х+4>0. Отсюда ОДЗ:х>-4/3.

Возводим правую и левую части равенства
в квадрат и выделяем полный квадрат для
переменной х:

4х²+4у²=9х²+24х+16;

(5х²+24х)-4у²+16=0;

5(х²+2;

(х+12/5)²-4/5у²-144/25+16/5=0;

(х+12/5)²-4у²/5=64/25

Окончательно получаем уравнение
гиперболы

х> —

с центром в точке С(-12/5;0), а= 8/5,b
= 4/.

Находим координаты фокусов, уравнения
асимптот и эксцентриситет. Для этого
систему координат 0ху параллельно
перенесем в точку.
Заменяя переменные

=х+12/5,=у,

получим в новой системе координат
уравнение гиперболы с центром в

Получим координаты фокусов, уравнения
асимптот и эксцентриситет гиперболы:

или,

Переходим в старую систему координат.
Имеем:

.

Следовательно:

F₁(x;y)=F₁(=F₁(-24/5;0);

F₂(0;0), у
=+

Совмещаем начало О системы координатОху с полюсом, отмечаем координаты
фокусовF₁иF₂,
проводим асимптоты и строим пунктиром
левую ветвь гиперболы, т.к. точки гиперболы
в полуплоскости слева от прямойх=-4/3
не удовлетворяют ОДЗх>-4/3.

Более подробное описание кривых
второго порядка смотрите в [1] гл.3; в [2]
§24.

В случае если уравнение не подходит под
один из перечисленных выше частных
случаев линии второго порядка требование
задачи «назвать линию» следует опустить.

Решение аналогичных задач можно найти
в [3] гл.1 §3.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Даны уравнения двух сторон параллелограмма

Даны уравнения двух сторон параллелограмма x + 2y + 1 = 0 (AB), 2x + y — 3 = 0 (AD) и точка пересечения его диагоналей N(1, 2). Найти уравнения двух других сторон этого параллелограмма.

При решении, замечая, что данные стороны параллелограмма не параллельны, будем следовать такому плану:

1) Найдем координаты точки A пересечения данных сторон.

2) Зная координаты точек A и N, найдем координаты точки C, что мы легко сможем сделать по формуле определения координат середины отрезка.

3) Через найденную точку C проведем сначала прямую, параллельную AD, а потом прямую, параллельную AB.

4) Определим координаты точки A, как точки пересечения прямых AB и AD, и получим, что

5) Формулы для определения координат середины отрезка в данном случае запишутся так:

По этим формулам получим

Итак, точка .

6) Через точку C проведем прямую, параллельную AD, и получим, что уравнение стороны BC будет таким:

Даны уравнения двух сторон параллелограмма

Даны уравнения двух сторон параллелограмма 8х+3у+1=0, 2х+у-1=0 и уравнение одной из его диагоналей 3х+2у+3=0. Определить координаты вершин этого параллелограмма.

Выразим у:

Мы видим, что в уравнениях сторон коэффициенты при х не равны, значит прямые, определяемые этими уравнениями, не параллельны. То есть пересекаются, образуя одну из вершин. Пусть это будет вершина А. И пусть первое уравнение – сторона АВ, второе – А D .

Для нахождения точки А приравняем эти два уравнения:

А(-2;5)

Мы видим, что уравнение 3х+2у+3=0 задает диагональ BD . Поэтому, приравняв сначала 1 и 3, а затем 2 и 3 уравнения, найдем соответственно точки D и В.

Итак В (1;-3) D (5;-9)

Как известно в параллелограмме противоположные стороны параллельны, то есть коэффициенты k при х равны. Поэтому для сторон ВС и CD остаются неизвестными только свободные члены d . Найдем их, подставив в уравнения прямых их известные точки D и В соответственно:

Теперь для нахождения точки С приравняем уравнения сторон BC и CD

С(8;-17)

4.1.8. Примеры решения задач по теме «Уравнение прямой на плоскости»

Даны уравнения двух сторон параллелограмма: 2Х + У + 3 = 0 и 2Х – 5У + 9 = 0 и уравнение одной из его диагоналей: 2Х – у — 3 = 0. Найти координаты вершин этого параллелограмма.

Выясните, уравнения каких сторон даны в условии задачи: параллельных или

Смежных, и как расположена данная диагональ по отношению к данным сторонам.

Выясним, уравнения каких сторон даны в условии задачи: параллельных или

Следовательно, прямые пересекаются, то есть даны уравнения смежных сторон параллелограмма.

Условие параллельности прямых

.

Пусть даны уравнения сторон АВ и AD. Тогда координаты точки А будут решением системы уравнений:

Теперь определим, уравнение какой диагонали: АС или BD – нам известно. Если это диагональ АС, то на ней лежит точка А, следовательно, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению диагонали. Проверим:

Значит, точка А не лежит на данной прямой, то есть дано уравнение диагонали BD.

Тогда вершина В лежит на прямых АВ и BD, значит, ее координаты найдем из системы:

Система уравнений для определения координат точки D составлена из уравнений прямых AD И BD:

Остается найти координаты точки С. Составим уравнения прямых ВС и DC.

Поскольку ВС параллельна AD, их угловые коэффициенты равны. Найдем угловой коэффициент прямой AD:

Тогда ВС можно задать уравнением

Найдем координаты точки С, решив систему из двух полученных уравнений:

Найти точку, симметричную точке А(2; 1) относительно прямой, проходящей через точки В(-1; 7) и С(1; 8).

Представьте себе, что вам нужно Построить искомую точку на плоскости. Последовательность действий при этом можно задать так:

1) провести прямую ВС;

2) провести через точку А прямую, перпендикулярную ВС;

3) найти точку О пересечения этих прямых и отложить на прямой АО по другую сторону прямой ВС отрезок ОА1 = АО.

Представим себе, что нам нужно Построить искомую точку на плоскости. Последовательность действий при этом можно задать так:

4) провести прямую ВС;

5) провести через точку А прямую, перпендикулярную ВС;

6) найти точку О пересечения этих прямых и отложить на прямой АО по другую сторону прямой ВС отрезок ОА1 = АО.

Тогда точка А1 будет симметричной точке А относительно прямой ВС.

Теперь заменим каждое из действий составлением уравнений и вычислением координат точек.

1) Найдем уравнение прямой ВС в виде:

2) Найдем угловой коэффициент прямой ВС:

Прямая АО Перпендикулярна прямой ВС, поэтому

Составим уравнение прямой АО:

3) Найдем координаты точки О как решение системы:

4) Точка О – середина отрезка АА1, поэтому

Найти угол между прямыми L1: 3Х – у + 5 = 0 и L2: 2Х + У – 7 = 0.

Если J – угол между прямыми L1 и L2, то J = A2 — A1, где A2 и A1 – углы, образованные прямыми L1 и L2 с положительной полуосью Ох. Тогда

Где K1 и K2 – угловые коэффициенты прямых L1 и L2.

Если J – угол между прямыми L1 и L2, то J = A2 — A1, где A2 и A1 – углы, образованные прямыми L1 и L2 с положительной полуосью Ох. Тогда

Где K1 и K2 – угловые коэффициенты прямых L1 и L2. Найдем K1 и K2: для L1

Y = 3X + 5, K1 = 3; для второй: Y = -2X + 7, K2 = -2. Следовательно,

Для прямых А1х + В1У + С1 = 0 И А2Х + В2У + С2 = 0

.

Определить, лежит ли точка М(2; 3) внутри или вне треугольника, стороны которого заданы уравнениями 4Х – у – 7 = 0, Х + 3У – 31 = 0, Х + 5У – 7 = 0.

Если точка М расположена внутри треугольника АВС, то ее отклонение δ от каждой стороны треугольника имеет тот же знак, что и для вершины, не лежащей на этой стороне, а если точка М лежит вне треугольника, то по крайней мере с одной из вершин она окажется в разных полуплоскостях относительно стороны треугольника.

Пусть первое уравнение задает сторону АВ, второе – ВС, третье – АС. Найдем координаты точек А, В и С:

Для ответа на вопрос задачи отметим, что:

1) если точка М расположена внутри треугольника АВС, то ее отклонение δ от каждой стороны треугольника имеет тот же знак, что и для вершины, не лежащей на этой стороне (т. е. точка М расположена относительно каждой стороны треугольника в одной полуплоскости с третьей вершиной);

2) если точка М лежит вне треугольника, то по крайней мере с одной из вершин она окажется в разных полуплоскостях относительно стороны треугольника (на рисунке: точки М1 и В расположены по разные стороны от прямой АС).

Составим нормальные уравнения сторон треугольника АВС:

Вычислим соответствующие отклонения:

1) для точек М и А относительно прямой ВС:

2) для точек М и В относительно прямой АС:

3) для точек М и С относительно прямой АВ:

Итак, точки М И С лежат по разные стороны от прямой АВ. Следовательно, точка М расположена вне треугольника АВС.

Ответ: Точка М расположена вне треугольника АВС.

Для треугольника АВС с вершинами А(-3; -1), В(1; 5), С(7; 3) составить уравнения медианы и высоты, выходящих из вершины В.

Составьте уравнение медианы как прямой, проходящей через точки В и М – середину стороны АС, а высоты – как прямой, проходящей через точку В и перпендикулярной стороне АС.

1) Медиана ВМ проходит через точку В и точку М – середину отрезка АС. Найдем координаты точки М:

Тогда уравнение медианы можно записать в виде:

2) Высота ВН перпендикулярна стороне АС. Составим уравнение АС:

Ответ: медиана ВМ: 4Х + У – 9 = 0; высота ВН: 5Х + 2У – 15 = 0.

Определить, при каком значении А прямая

Параллельна оси ординат. Написать уравнение прямой.

Если прямая параллельна оси ординат, то в уравнении Ах + Ву + С = 0

Если прямая параллельна оси ординат, то в уравнении Ах + Ву + С = 0

В = 0, С ≠ 0. Из условия В = 0 получаем: А2 – 1 = 0, А = ± 1.

При А = 1 С = 2 + 7 – 9 = 0 – второе условие не выполняется (получившаяся при этом прямая -4Х = 0 не параллельна оси Оу, а совпадает с ней).

При А = -1 получим: -6Х – 14 = 0, 3Х + 7 = 0.

Составить уравнения всех прямых, проходящих через точку М(2; 3) и отсекающих от координатного угла треугольник площадью 12.

Составьте уравнение искомой прямой «в отрезках»:

Где |A| и |B| — длины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях. Тогда

Откуда |Ab| = 24. Кроме того, координаты точки М(2; 3) должны удовлетворять уравнению «в отрезках».

Составим уравнение искомой прямой «в отрезках»:

Где |A| и |B| — длины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях. Тогда

Откуда |Ab| = 24. Кроме того, координаты точки М(2; 3) должны удовлетворять уравнению «в отрезках». Таким образом, для А и B можно составить систему уравнений:

Следовательно, условию задачи удовлетворяют три прямые:

Содержание:

С четырехугольником вы уже знакомились на уроках математики. Дадим строгое определение этой фигуры.

Определение четырехугольника:

Четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех точек (вершин четырехугольника) и четырех отрезков, которые их последовательно соединяют (сторон четырехугольника). При этом никакие три его вершины не лежат на одной прямой и никакие две стороны не пересекаются.

На рисунке 1 изображен четырехугольник с вершинами 

Говорят, что две вершины четырехугольника являются соседними вершинами, если они соединены одной стороной; вершины, которые не являются соседними, называют противолежащими вершинами. Аналогично стороны четырехугольника, имеющие общую вершину, являются соседними сторонами, а стороны, не имеющие общих точек,— противолежащими сторонами. На рисунке 1 стороны  — соседние для стороны  а сторона  — противолежащая стороне  вершины  — соседние с вершиной  а вершина  — противолежащая вершине 

Четырехугольник обозначают, последовательно указывая все его вершины, причем буквы, которые стоят рядом, должны обозначать соседние вершины. Например, четырехугольник на рисунке 1 можно обозначить  или  но нельзя обозначать 

Определение

Диагональю четырехугольника называется отрезок, соединяющий две противолежащие вершины.

В четырехугольнике  (рис. 2) диагоналями являются отрезки Следует отметить, что любой четырехугольник имеет диагональ, которая делит его на два треугольника.

Определение

Периметром четырехугольника называется сумма длин всех его сторон. Периметр четырехугольника (как и треугольника) обозначают буквой 

Любой четырехугольник ограничивает конечную часть плоскости, которую называют внутренней областью этого четырехугольника (на рис. 3, а, б она закрашена).

На рисунке 3 изображены два четырехугольника и проведены прямые, на которых лежат стороны этих четырехугольников. В четырехугольнике  эти прямые не проходят через внутреннюю область — такой четырехугольник является выпуклым (рис. 3, а). В четырехугольнике  прямые  проходят через внутреннюю область — этот четырехугольник является невыпуклым (рис. 3, б).

Определение

Четырехугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону.

Действительно, четырехугольник  на рисунке 3, а лежит по одну сторону от любой из прямых  В школьном курсе геометрии мы будем рассматривать только

выпуклые четырехугольники (другие случаи будут оговорены отдельно).

Определение

Углом (внутренним углом) выпуклого четырехугольника  при вершине  называется угол 

Угол, смежный с внутренним углом четырехугольника при данной вершине, называют внешним углом четырехугольника при данной вершине.

Углы, вершины которых являются соседними, называют соседними углами, а углы, вершины которых являются противолежащими,— противолежащими углами четырехугольника.

Теорема (о сумме углов четырехугольника)

Сумма углов четырехугольника равна 

Доказательство:

 В данном четырехугольнике  проведем диагональ, которая делит его на два треугольника (рис. 4). Поскольку  сумма углов четырехугольника  равна сумме всех углов треугольников  и  то есть равна  Теорема доказана. 

Пример:

Углы четырехугольника  соседние с углом  равны, а противолежащий угол  в два раза больше угла  (см. рис. 1). Найдите угол  если 

Решение:

Углами, соседними с углом  являются углы  а углом, противолежащим к  — угол  По условию задачи  Поскольку сумма углов четырехугольника равна  то  Если градусная мера угла  равна  то градусная мера угла  по условию равна  Отсюда имеем:  Следовательно, 

Ответ: 

Определение параллелограмма

Определение параллелограмма

Рассмотрим на плоскости две параллельные прямые, пересеченные двумя другими параллельными прямыми (рис. 7).

В результате такого пересечения образуется четырехугольник, который имеет специальное название — параллелограмм.

Определение

Параллелограммом называется четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны.

На рисунке 7 изображен параллелограмм  в котором 

Пример:

На рисунке 8  Докажите, что четырехугольник  — параллелограмм.

Решение:

Из равенства треугольников  следует равенство углов:  Углы 1 и 2 являются внутренними накрест лежащими при прямых  и секущей  Аналогично углы 3 и 4 являются внутренними накрест лежащими при прямых  и секущей  По признаку параллельности прямых имеем:  Следовательно, в четырехугольнике  противолежащие стороны попарно параллельны, т.е.  — параллелограмм по определению.

Как и в треугольнике, в параллелограмме можно провести высоты (рис. 9).

Определение

Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведенный из точки одной стороны к прямой, которая содержит противолежащую сторону.

Очевидно, что к одной стороне параллелограмма можно провести бесконечно много высот (рис. 9, а),— все они будут равны как расстояния между параллельными прямыми, а из одной вершины параллелограмма можно провести две высоты к разным сторонам (рис. 9, б). Часто, говоря «высота параллелограмма», имеют в виду ее длину.

Свойства параллелограмма

Непосредственно из определения параллелограмма следует, что любые два его соседних угла являются внутренними односторонними при параллельных прямых, которые содержат противолежащие стороны. Это означает, что сумма двух соседних углов параллелограмма равна 

Докажем еще несколько важных свойств сторон, углов и диагоналей параллелограмма.

Теорема (свойства параллелограмма)

В параллелограмме:

1. противолежащие стороны равны;
2. противолежащие углы равны;
3. диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Свойства 1 и 2 иллюстрирует рисунок 10, а, а свойство 3 — рисунок 10, б.

Доказательство:

Проведем в параллелограмме  диагональ  (рис. 11) и рассмотрим треугольники  

У них сторона  — общая,  как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых  и секущей  как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых  и секущей  Следовательно,  по второму признаку равенства треугольников. Отсюда, в частности, следует, что  и  А поскольку  то  Следовательно, свойства 1 и 2 доказаны.

Для доказательства свойства 3 проведем в параллелограмме  диагонали  которые пересекаются в точке  (рис. 12).

Рассмотрим треугольники  У них  по доказанному,  как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых  и секущей  как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых  и секущей  Следовательно,  по второму признаку. Отсюда следует, что  т. е. точка  является серединой каждой из диагоналей  и  Теорема доказана полностью. 

Пример №1

Сумма двух углов параллелограмма равна  Найдите углы параллелограмма.

Решение:

Пусть дан параллелограмм  Поскольку сумма двух соседних углов параллелограмма равна  то данные углы могут быть только противолежащими. Пусть  Тогда по свойству углов параллелограмма  Сумма всех углов параллелограмма равна  поэтому 

Ответ: 

Пример №2

В параллелограмме  биссектриса угла  делит сторону  пополам. Найдите периметр параллелограмма, если 

Решение:

Пусть в параллелограмме  биссектриса угла  пересекает сторону  в точке (рис. 13). Заметим, что  поскольку — биссектриса угла  как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых  и секущей  Отсюда  т.е. по признаку равнобедренного треугольника треугольник  — равнобедренный с основанием  значит,  По условию Следовательно, поскольку противолежащие стороны параллелограмма равны, то 

Ответ: 36 см.

Признаки параллелограмма

Теоремы о признаках параллелограмма

Для того чтобы использовать свойства параллелограмма, во многих случаях необходимо сначала убедиться, что данный четырехугольник действительно является параллелограммом. Это можно доказать либо по определению (см. задачу в п. 2.1), либо по признакам — условиям, гарантирующим, что данный четырехугольник — параллелограмм. Докажем признаки параллелограмма, которые чаще всего применяются на практике.

Теорема (признаки параллелограмма)

1. Если две противолежащие стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
2. Если противолежащие стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
3. Если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство:

1) Пусть в четырехугольнике  (рис. 15).

Проведем диагональ  и рассмотрим треугольники  и  Они имеют общую сторону  по условию,  как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых  и секущей  Следовательно, по первому признаку равенства треугольников. Из равенства этих треугольников следует равенство углов 3 и 4. Но эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых  и секущей  Тогда по признаку параллельности прямых  Таким образом, в четырехугольнике  противолежащие стороны попарно параллельны, откуда следует, что  — параллелограмм по определению.

2) Пусть в четырехугольнике  (рис. 16).

Снова проведем диагональ  и рассмотрим треугольники  и  В этом случае они равны по третьему признаку: сторона  — общая,  и  по условию. Из равенства треугольников следует равенство углов 1 и 2, которые являются внутренними накрест лежащими при прямых  и секущей  По признаку параллельности прямых  Следовательно, в четырехугольнике  стороны  параллельны и равны, и по только что доказанному признаку 1  — параллелограмм.

3) Пусть в четырехугольнике  диагонали пересекаются в точке  и  (рис. 17). Рассмотрим треугольники  Эти треугольники равны по первому признаку:  как вертикальные, а  и  по условию. Следовательно, равны и соответствующие стороны и углы этих треугольников:  Тогда  и  — параллелограмм по признаку 1.

Теорема доказана полностью. 

Пример №3

В параллелограмме  точки  — середины сторон  соответственно (рис. 18). Докажите, что четырехугольник  —параллелограмм.

Решение:

Рассмотрим четырехугольник  Стороны  и  параллельны, т.к. лежат на прямых, содержащих противолежащие стороны параллелограмма  Кроме того,  как половины равных сторон параллелограмма  Таким образом, в четырехугольнике  две стороны параллельны и равны. Следовательно, четырехугольник  — параллелограмм.

Попробуйте самостоятельно найти другие способы решения этой задачи, основанные на применении других признаков и определения параллелограмма.

Необходимые и достаточные условия

Каждый из признаков параллелограмма указывает на определенную особенность, наличия которой в четырехугольнике достаточно для того, чтобы утверждать, что он является параллелограммом. Вообще в математике признаки иначе называют достаточными условиями. Например, перпендикулярность двух прямых третьей — достаточное условие параллельности данных двух прямых.

В отличие от признаков, свойства параллелограмма указывают на ту особенность, которую обязательно имеет любой параллелограмм. Свойства иначе называют необходимыми условиями. Поясним такое название примером: равенство двух углов необходимо для того, чтобы углы были вертикальными, ведь если этого равенства нет, вертикальными такие углы быть не могут.

В случае верности теоремы «Если  то  утверждение  является достаточным условием для утверждения  а утверждение  — необходимым условием для утверждения  Схематически это можно представить так:

Таким образом, необходимые условия (свойства) параллелограмма следуют из того, что данный четырехугольник — параллелограмм; из достаточных условий (признаков) следует то, что данный четырехугольник — параллелограмм.

Сравнивая свойства и признаки параллелограмма, нетрудно заметить, что одно и то же условие (например, попарное равенство противолежащих сторон) является и свойством, и признаком параллелограмма. В таком случае говорят, что условие является необходимым и достаточным. Необходимое и достаточное условие иначе называют критерием. Например, равенство двух углов треугольника — критерий равнобедренного треугольника.

Немало примеров необходимых и достаточных условий можно найти в других науках и в повседневной жизни. Все мы знаем, что воздух — необходимое условие для жизни человека, но не достаточное (человеку для жизни нужно еще много чего, среди прочего — пища). Выигрыш в лотерею — достаточное условие для материального обогащения человека, но оно не является необходимым — ведь улучшить свое финансовое положение можно и другим способом. Попробуйте самостоятельно найти несколько примеров необходимых и достаточных условий.

Виды параллелограммов

Прямоугольник

Определение

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

На рисунке 28 изображен прямоугольник 

Поскольку прямоугольник является частным случаем параллелограмма, он имеет все свойства параллелограмма: противолежащие стороны прямоугольника параллельны и равны, противолежащие углы равны, диагонали точкой пересечения делятся пополам и т.д. Однако прямоугольник имеет некоторые особые свойства. Докажем одно из них.

Теорема (свойство прямоугольника)

Диагонали прямоугольника равны.

Доказательство:

 Пусть дан прямоугольник  с диагоналями  (рис. 29). Треугольники  и  прямоугольные и равны по двум катетам  — общий,  как противолежащие стороны прямоугольника). Отсюда следует равенство гипотенуз этих треугольников, т. е.  что и требовалось доказать. 

Имеет место и обратное утверждение (признак прямоугольника): если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. Докажите это утверждение самостоятельно. Таким образом, можно утверждать, что равенство диагоналей параллелограмма — необходимое и достаточное условие (критерий) прямоугольника.

Опорная задача

Если все углы четырехугольника прямые, то этот четырехугольник — прямоугольник. Докажите.

Решение:

Пусть в четырехугольнике  (см. рис. 28). Углы  являются внутренними односторонними при прямых  и секущей  Поскольку сумма этих углов составляет  то по признаку параллельности прямых  Аналогично доказываем параллельность сторон  Следовательно, по определению параллелограмма  — параллелограмм. А поскольку все углы этого параллелограмма прямые, то  — прямоугольник по определению.

Ромб

Определение

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

На рисунке 30 изображен ромб 

Он обладает всеми свойствами параллелограмма, а также некоторыми дополнительными свойствами, которые мы сейчас докажем.

Теорема (свойства ромба)

Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам.

Эти свойства ромба иллюстрируются рисунком 31.

Доказательство:

 Пусть диагонали ромба  пересекаются в точке  (рис. 32). Поскольку стороны ромба равны, то треугольник  равнобедренный с основанием  а по свойству диагоналей параллелограмма точка  — середина Следовательно, отрезок  — медиана равнобедренного треугольника, которая одновременно является его высотой и биссектрисой. Это означает, что  т.е. диагонали ромба перпендикулярны, и— биссектриса угла 

Аналогично доказываем, что диагонали ромба являются биссектрисами и других его углов. Теорема доказана. 

Опорная задача

Если все стороны четырехугольника равны, то этот четырехугольник — ромб. Докажите.

Решение:

Очевидно, что в четырехугольнике, все стороны которого равны, попарно равными являются и противолежащие стороны. Следовательно, по признаку параллелограмма такой четырехугольник — параллелограмм, а по определению ромба параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом.

Решая задачи, помещенные в конце этого параграфа, вы докажете другие признаки прямоугольника и ромба.

Квадрат

На рисунке 33 изображен еще один вид параллелограмма — квадрат.

Определение

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Иначе можно сказать, что квадрат — это прямоугольник, который является ромбом. Действительно, поскольку квадрат является прямоугольником и ромбом и, конечно же, произвольным параллелограммом, то:

1. все стороны квадрата равны, а противолежащие стороны параллельны;
2. все углы квадрата прямые;
3. диагонали квадрата равны, перпендикулярны, делят углы квадрата пополам и делятся точкой пересечения пополам.

Связь между отдельными видами параллелограммов. Равносильные утверждения

Исходя из определений произвольного параллелограмма и его отдельных видов, мы можем схематически отобразить связь между ними (рис. 34).

На схеме представлены множества параллелограммов, прямоугольников и ромбов. Такой способ наглядного представления множеств называют диаграммами Эйлера — Венна. Диаграмма Эйлера — Венна для параллелограммов демонстрирует, что множества прямоугольников и ромбов являются частями (подмножествами) множества параллелограммов, а множество квадратов — общей частью (пересечением) множеств прямоугольников и ромбов. Диаграммы Эйлера — Венна часто используют для подтверждения или проверки правильности логических рассуждений.

Подытоживая материал этого параграфа, обратим также внимание на то, что возможно и другое определение квадрата: квадратом называется ромб с прямыми углами. В самом деле, оба приведенных определения описывают одну и ту же фигуру. Такие определения называют равносильными. Вообще два утверждения называются равносильными, если они или оба выполняются, или оба не выполняются. Например, равносильными являются утверждения «В треугольнике две стороны равны» и «В треугольнике два угла равны», ведь оба они верны, если рассматривается равнобедренный треугольник, и оба ложны, если речь идет о разностороннем треугольнике.

Равносильность двух утверждений также означает, что любое из них является необходимым и достаточным условием для другого. В самом деле, рассмотрим равносильные утверждения «Диагонали параллелограмма равны» и «Параллелограмм имеет прямые углы». Из того, что диагонали параллелограмма равны, следует, что он является прямоугольником, т.е. имеет прямые углы, и наоборот: параллелограмм с прямыми углами является прямоугольником, т.е. имеет равные диагонали. На этом примере легко проследить логические шаги перехода от признаков фигуры к ее определению и далее — к свойствам. Такой переход довольно часто приходится выполнять в процессе решения задач.

Трапеция

Как известно, любой параллелограмм имеет две пары параллельных сторон. Рассмотрим теперь четырехугольник, который имеет только одну пару параллельных сторон.

Определение

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называют ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. На рисунке 37 в трапеции  стороны  являются основаниями, а  — боковыми сторонами.

Углы, прилежащие к одной боковой стороне, являются внутренними односторонними при параллельных прямых, на которых лежат основания трапеции. По теореме о свойстве параллельных прямых из этого следует, что сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна  На рисунке 37 

Определение

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведенный из точки одного основания к прямой, содержащей другое основание.

Очевидно, что в трапеции можно провести бесконечно много высот (рис. 38),— все они равны как расстояния между параллельными прямыми.

Чаще всего в процессе решения задач высоты проводят из вершин углов при меньшем основании трапеции.

Частные случаи трапеций

Как среди треугольников и параллелограммов, так и среди трапеций выделяются отдельные виды, обладающие дополнительными свойствами.

Определение

Прямоугольной трапецией называется трапеция, в которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

На рисунке 39 изображена прямоугольная трапеция. У нее два прямых угла при меньшей боковой стороне. Эта сторона одновременно является и высотой трапеции.

Определение

Равнобедренной трапецией называется трапеция, в которой боковые стороны равны.

На рисунке 40 изображена равнобедренная трапеция  с боковыми сторонами  и  Иногда равнобедренную трапецию также называют равнобокой или равнобочной.

У равнобедренной трапеции так же, как и у равнобедренного треугольника, углы при основании равны. Докажем это в следующей теореме.

Теорема (свойство равнобедренной трапеции)

В равнобедренной трапеции углы при основании равны.

Доказательство:

 Пусть  — данная трапеция, 

Перед началом доказательства заметим, что этой теоремой утверждается равенство углов при каждом из двух оснований трапеции, т. е. необходимо доказать, что 

Проведем высоты  из вершин тупых углов и рассмотрим прямоугольные треугольники  (рис. 41). У них  как боковые стороны равнобедренной трапеции,  как расстояния между параллельными прямыми  Следовательно,  по гипотенузе и катету. Отсюда следует, что  Углы трапеции  также равны, поскольку они дополняют равные углы

Теорема доказана. 

Имеет место также обратное утверждение (признак равнобедренной трапеции):

• если в трапеции углы при основании равны, то такая трапеция является равнобедренной.

Докажите этот факт самостоятельно.

Пример №4

Меньшее основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите углы трапеции.

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция  в которой  (рис. 42). По условию задачи треугольник  равнобедренный с основанием  с другой стороны,  как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых  и  и секущей  Пусть градусная мера угла 1 равна  тогда в данной трапеции  Поскольку сумма углов, прилежащих к боковой стороне, составляет  имеем: Следовательно, 

Ответ:

Построение параллелограммов и трапеций

Задачи на построение параллелограммов и трапеций часто решают методом вспомогательного треугольника. Напомним, что для этого необходимо выделить в искомой фигуре треугольник, который можно построить по имеющимся данным. Построив его, получаем две или три вершины искомого четырехугольника, а остальные вершины находим по данным задачи.

Пример №5

Постройте параллелограмм по двум диагоналям и углу между ними.

Решение:

Пусть  — данные диагонали параллелограмма,  — угол между ними. Анализ

Пусть параллелограмм  построен (рис. 43).

Треугольник  можно построить по двум сторонам и углу между ними 

Таким образом, мы получим вершины  искомого параллелограмма.

Вершины  можно получить, «удвоив» отрезки 

Построение

1.    Разделим отрезки  пополам.

2.    Построим треугольник  по двум сторонам и углу между ними.

3.    На лучах  отложим отрезки  и 

4.    Последовательно соединим точки 

Доказательство:

Четырехугольник  — параллелограмм, поскольку по построению его диагонали  точкой пересечения делятся пополам. В этом параллелограмме  (по построению),

Исследование

Задача имеет единственное решение при любых значениях 

В некоторых случаях для построения вспомогательного треугольника на рисунке-эскизе необходимо провести дополнительные линии.

Пример №6

Постройте трапецию по четырем сторонам.

Решение:

Пусть  — основания искомой трапеции,  — ее боковые стороны.

Анализ

Пусть искомая трапеция  построена (рис. 44).

Проведем через вершину  прямую  параллельную  Тогда  — параллелограмм по определению, следовательно,  Кроме того,  следовательно,  Вспомогательный треугольник  можно построить по трем сторонам. После этого для получения вершин  надо отложить на луче  и на луче с началом в точке  параллельном  отрезки длиной

Построение

1. Построим отрезок 

2. Построим треугольник  по трем сторонам 

3. Построим луч, проходящий через точку  и параллельный  При этом построенный луч и луч  должны лежать по одну сторону от прямой 

4. На луче  от точки  отложим отрезок  на луче с началом  — отрезок 

5. Соединим точки 

Доказательство:

По построению  следовательно,  — параллелограмм по признаку. Отсюда  Кроме того, Следовательно,  — искомая трапеция.

Исследование

Задача имеет единственное решение, если числа  удовлетворяют неравенству треугольника.

Теорема Фалеса

Для дальнейшего изучения свойств трапеции докажем важную теорему.

Теорема (Фалеса)

Параллельные прямые, которые пересекают стороны угла и отсекают на одной из них равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой стороне.

Доказательство:

 Пусть  — точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон данного угла, а  — соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Докажем, что если  то  (рис. 46).

Проведем через точку  прямую  параллельную  (рис. 47).

Четырехугольники  — параллелограммы по определению. Тогда  а поскольку 

Рассмотрим треугольники  У них  по доказанному,  как вертикальные, a  как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых  и секущей Следовательно,  по второму признаку, откуда 

Теорема доказана. 

Заметим, что в условии данной теоремы вместо сторон угла можно рассматривать две произвольные прямые, поэтому теорема Фалеса может формулироваться и следующим образом: параллельные прямые, которые пересекают две данные прямые и отсекают на одной из них равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой.

Пример №7

Разделите данный отрезок на  равных частей.

Решение:

Решим задачу для  т.е. разделим данный отрезок  на три равные части (рис. 48).

Для этого проведем из точки  произвольный луч, не дополнительный к лучу  и отложим на нем равные отрезки  Проведем прямую  и параллельные ей прямые через точки  По теореме Фалеса эти прямые делят отрезок  на три равные части. Аналогично можно разделить произвольный отрезок на любое количество равных частей.

Средняя линия треугольника

Теорема Фалеса помогает исследовать еще одну важную линию в треугольнике.

Определение

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 49, а отрезок  — средняя линия треугольника  В любом треугольнике можно провести три средние линии (рис. 49, б).

Теорема (свойство средней линии треугольника)

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Доказательство:

 Пусть  — средняя линия треугольника  (рис. 50). Докажем сначала, что  Проведем через точку  прямую, параллельную  По теореме Фалеса она пересечет отрезок  в его середине, т.е. будет содержать отрезок  Следовательно, 

Проведем теперь среднюю линию  По только что доказанному она будет параллельна стороне  Четырехугольник  с попарно параллельными сторонами по определению является параллелограммом, откуда  А поскольку точка  — середина  то 

Теорема доказана. 

Опорная задача (теорема Вариньона) Середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Докажите.

Решение:

Пусть точки  — середины сторон четырехугольника  (рис. 51). Проведем диагональ  Отрезки  — средние линии треугольников  соответственно. По свойству средней линии треугольника они параллельны стороне  и равны ее половине, т.е. параллельны и равны между собой. Тогда по признаку параллелограмма четырехугольник  — параллелограмм.

Средняя линия трапеции

Определение

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

На рисунке 52 отрезок  — средняя линия трапеции 

Теорема (свойство средней линии трапеции) Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство:

 Пусть  — средняя линия трапеции  с основаниями  (рис. 53).

Проведем прямую  и отметим точку  — точку пересечения прямых  Рассмотрим треугольники  У них поскольку  — середина  как вертикальные, a  как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых  и секущей  Следовательно,  по второму признаку, откуда  Тогда по определению  — средняя линия треугольника  По свойству средней линии треугольника  поэтому  и Кроме того, из доказанного равенства треугольников следует, что откуда  По свойству средней линии треугольника 

Теорема доказана.

Пример №8

Через точки, делящие боковую сторону трапеции на три равные части, проведены прямые, параллельные основаниям трапеции. Найдите длины отрезков этих прямых, заключенных внутри трапеции, если ее основания равны 2 м и 5 м.

Решение:

Пусть в трапеции  (рис. 54).

По теореме Фалеса параллельные прямые, которые проходят через точки  отсекают на боковой стороне  равные отрезки, т.е.  Тогда по определению  — средняя линия трапеции  — средняя линия трапеции  Пусть  По свойству средней линии трапеции имеем систему:

Ответ: 3 м и 4 м.

Вписанные углы

Градусная мера дуги

В седьмом классе изучение свойств треугольников завершалось рассмотрением описанной и вписанной окружностей. Но перед тем как рассмотреть описанную и вписанную окружности для четырехугольника, нам необходимо остановиться на дополнительных свойствах углов.

До сих пор мы изучали только те углы, градусная мера которых не превышала  Расширим понятие угла и введем в рассмотрение вместе с самим углом части, на которые он делит плоскость.

На рисунке 58 угол  делит плоскость на две части, каждая из которых называется плоским углом. Их градусные меры равны 

Используем понятие плоского угла для определения центрального угла в окружности.

Определение

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в центре окружности.

На рисунке 59, а, б стороны угла с вершиной в центре окружности  пересекают данную окружность в точках  При этом образуются две дуги, одна из которых меньше полуокружности (на ней обозначена промежуточная точка  рис. 59, а), а другая — больше полуокружности (на ней обозначена промежуточная точка  рис. 59, б).

Для того чтобы уточнить, какой из двух плоских углов со сторонами  мы рассматриваем как центральный, мы будем указывать дугу окружности, которая соответствует данному центральному углу (т.е. содержится внутри него).

На рисунке 59, а центральному углу  обозначенному дужкой, соответствует дуга  а на рисунке 59, б — дуга  В случае, когда лучи  дополнительные, соответствующая дуга  является полуокружностью (рис. 59, в).

Определение

Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.

Градусную меру дуги, как и саму дугу, обозначают так: Например, на рисунке 59, в  т. е. градусная мера полуокружности составляет  Очевидно, что градусная мера дуги всей окружности составляет 

Концы хорды  делят окружность на две дуги —  (рис. 59, г). Говорят, что эти дуги стягиваются хордой 

Вписанный угол

Определение

Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

На рисунке 60 изображен вписанный угол  Его вершина  лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в точках  и  Дуга  (на рисунке она выделена) лежит внутри этого угла. В таком случае говорят, что вписанный угол  опирается на дугу  

Теорема (о вписанном угле)

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Доказательство:

 Пусть в окружности с центром  вписанный угол  опирается на дугу  Докажем, что  Рассмотрим три случая расположения центра окружности относительно данного вписанного угла (рис. 61).

1) Пусть центр окружности лежит на одной из сторон данного угла  (рис. 61, а). В этом случае центральный угол  является внешним углом при вершине  равнобедренного треугольника  По теореме о внешнем угле треугольника  А поскольку углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника, то 

т.е. 

2) Пусть центр окружности лежит внутри угла  (рис. 61, б). Луч  делит угол  на два угла. По только что доказанному  следовательно, 

3) Аналогично в случае, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 60, б),

Теорема доказана. 

Только что доказанную теорему можно сформулировать иначе.

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Пример №9

Найдите угол  если  (рис. 62).

Решение:

Для того чтобы найти угол  необходимо найти градусную меру дуги  на которую он опирается. Но непосредственно по данным задачи мы можем найти только градусную меру дуги  на которую опирается угол  из теоремы о вписанном угле  Заметим, что дуги вместе составляют полуокружность, т.е.  следовательно,  Тогда по теореме о вписанном угле 

Ответ: 

Следствия теоремы о вписанном угле

По количеству и значимости следствий теорема о вписанном угле является одной из «богатейших» геометрических теорем. Сформулируем наиболее важные из этих следствий.

Следствие 1

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Действительно, по теореме о вписанном угле градусная мера каждого из вписанных углов на рисунке 63 равна половине дуги 

Следствие 2

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность,— прямой, и наоборот: любой прямой вписанный угол опирается на полуокружность.

Действительно, поскольку градусная мера полуокружности равна  то угол  который опирается на полуокружность, равен (рис. 64). Обоснование обратного утверждения проведите самостоятельно.

Следствие 3

Центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Первое из приведенных утверждений вытекает из следствия 2. Если в треугольнике  угол  прямой (рис. 65, а), то дуга  на которую опирается этот угол, является полуокружностью.

Тогда гипотенуза  — диаметр описанной окружности, т.е. середина гипотенузы — центр окружности. Утверждение о длине медианы следует из равенства радиусов:

Отметим еще один интересный факт: медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит данный треугольник на два равнобедренных треугольника с общей боковой стороной. Из этого, в частности, следует, что углы, на которые медиана делит прямой угол, равны острым углам треугольника (рис. 65, б).

В качестве примера применения следствий теоремы о вписанном угле приведем другое решение задачи, которую мы рассмотрели в п. 7.2.

Пример №10

Найдите угол  если  (см. рис. 62).

Решение:

Проведем хорду  (рис. 66).

Поскольку вписанный угол  опирается на полуокружность, то по следствию 2  Значит, треугольник  прямоугольный,  тогда  По следствию 1 углы  равны, поскольку оба они опираются на дугу  Следовательно, 

Ответ: 

Вписанные четырехугольники

Определение

Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности.

Четырехугольник  на рисунке 72 является вписанным в окружность. Иначе говорят, что окружность описана около четырехугольника.

Как известно, около любого треугольника можно описать окружность. Для четырехугольника это можно сделать не всегда. Докажем свойство и признак вписанного четырехугольника.

Теорема (овписанном четырехугольнике)

1. Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна  (свойство вписанного четырехугольника).
2. Если сумма противолежащих углов четырехугольника равна  то около него можно описать окружность (признак вписанного четырехугольника).

Доказательство:

 1) Свойство. Пусть четырехугольник  вписан в окружность (рис. 72). По теореме о вписанном угле 

Следовательно, 

Аналогично доказываем, что 

2) Признак. Пусть в четырехугольнике  Опишем окружность около треугольника  и докажем от противного, что вершина  не может лежать ни внутри этой окружности, ни вне ее. Пусть точка  лежит внутри окружности, а точка  — точка пересечения луча  с дугой  (рис. 73).

Тогда четырехугольник  — вписанный. По условию  а по только что доказанному свойству вписанного четырехугольника  т.е.  Но угол  четырехугольника  — внешний угол треугольника  и по теореме о внешнем угле треугольника он должен быть больше угла  Следовательно, мы пришли к противоречию, т.е. точка  не может лежать внутри окружности. Аналогично можно доказать, что точка  не может лежать вне окружности. Тогда точка  лежит на окружности, т.е. около четырехугольника  можно описать окружность.

Теорема доказана.

 Следствие 1

Около любого прямоугольника можно описать окружность.

Если параллелограмм вписан в окружность, то он является прямоугольником

Прямоугольник, вписанный в окружность, изображен на рисунке 74.

Центр описанной окружности является точкой пересечения диагоналей прямоугольника (см. задачу 255).

Следствие 2

Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная.

Равнобедренная трапеция, вписанная в окружность, изображена на рисунке 75.

Описанные четырехугольники

Определение

Четырехугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности.

Четырехугольник  на рисунке 76 является описанным около окружности. Иначе говорят, что окружность вписана в четырехугольник.

Оказывается, что не в любой четырехугольник можно вписать окружность. Докажем соответствующие свойство и признак.

Теорема (об описанном четырехугольнике)

1. В описанном четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны (свойство описанного четырехугольника).
2. Если в четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность (признак описанного четырехугольника).

Доказательство:

1) Свойство. Пусть стороны четырехугольника  касаются вписанной окружности в точках  (рис. 76).

По свойству отрезков касательных  С учетом обозначений на рисунке 

2) Признак. Пусть в четырехугольнике  с наименьшей стороной Поскольку по теореме о биссектрисе угла точка  (точка пересечения биссектрис углов  равноудалена от сторон  то можно построить окружность с центром  которая касается этих трех сторон (рис. 77, а). Докажем от противного, что эта окружность касается также стороны 

Предположим, что это не так. Тогда прямая  либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей окружности. Рассмотрим первый случай (рис. 77, б). Проведем через точку  касательную к окружности, которая пересекает сторону  в точке  Тогда по свойству описанного четырехугольника  Но по условию Вычитая из второго равенства первое, имеем:  т.е.  что противоречит неравенству треугольника для треугольника 

Таким образом, наше предположение неверно. Аналогично можно доказать, что прямая  не может быть секущей окружности. Следовательно, окружность касается стороны т. е. четырехугольник  описанный. Теорема доказана.

Замечание. Напомним, что в данной теореме рассматриваются только выпуклые четырехугольники.

Следствие

В любой ромб можно вписать окружность. Если в параллелограмм вписана окружность, то он является ромбом

Ромб, описанный около окружности, изображен на рисунке 78. Центр вписанной окружности является точкой пересечения диагоналей ромба (см. задачу 265, а).

Пример №11

В равнобедренную трапецию с боковой стороной 6 см вписана окружность. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Пусть  — данная равнобедренная трапеция с основаниями  По свойству описанного четырехугольника Средняя линия трапеции равна  т.е. равна 6 см.

Ответ: 6 см

Геометрические софизмы

Многим из вас, наверное, известна древнегреческая история об Ахиллесе, который никак не может догнать черепаху. История математики знает немало примеров того, как ложные утверждения и ошибочные результаты выдавались за истинные, а их опровержение давало толчок настоящим математическим открытиям. Но даже ошибки и неудачи могут принести пользу математикам. Эти ошибки остались в учебниках и пособиях в виде софизмов — заведомо ложных утверждений, доказательства которых на первый взгляд кажутся правильными, но на самом деле таковыми не являются. Поиск и анализ ошибок, содержащихся в этих доказательствах, часто позволяют определить причины ошибок в решении других задач. Поэтому в процессе изучения геометрии софизмы иногда даже более поучительны и полезны, чем «безошибочные» задачи и доказательства.

Рассмотрим пример геометрического софизма, связанного с четырехугольниками, вписанными в окружность.

Окружность имеет два центра.

Доказательство:

Обозначим на сторонах произвольного угла  точки  и проведем через эти точки перпендикуляры к сторонам  соответственно (рис. 79).

Эти перпендикуляры должны пересекаться (ведь если бы они были параллельны, то параллельными были бы и стороны данного угла — обоснуйте это самостоятельно). Обозначим точку  — точку пересечения перпендикуляров.

Через точки  не лежащие на одной прямой, проведем окружность (это можно сделать, поскольку окружность, описанная около треугольника существует и является единственной). Обозначим точки  — точки пересечения этой окружности со сторонами угла  Прямые углы  являются вписанными в окружность. Значит, по следствию теоремы о вписанных углах, отрезки  являются диаметрами окружности, которые имеют общий конец  но не совпадают. Тогда их середины  являются двумя разными центрами одной окружности, т.е. окружность имеет два центра.

Ошибка этого «доказательства» заключается в неправильности построений на рисунке 79. В четырехугольнике  т.е. он вписан в окружность. Это означает, что в ходе построений окружность, проведенная через точки  обязательно пройдет через точку  В таком случае отрезки  совпадут с отрезком  середина которого и является единственным центром построенной окружности.

Среди задач к этому и следующим параграфам вы найдете и другие примеры геометрических софизмов и сможете самостоятельно потренироваться в их опровержении. Надеемся, что опыт, который вы при этом приобретете, поможет в дальнейшем избежать подобных ошибок при решении задач.

Четырехугольник и окружность в задачах. Метод вспомогательной окружности

При решении задач об окружностях и четырехугольниках иногда следует использовать специальные подходы. Один из них заключается в рассмотрении вписанного треугольника, вершины которого являются вершинами данного вписанного четырехугольника.

Пример №12

Найдите периметр равнобедренной трапеции, диагональ которой перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием угол  если радиус окружности, описанной около трапеции, равен 8 см.

Решение:

Пусть дана вписанная трапеция  (рис. 80).

Заметим, что окружность, описанная около трапеции, описана также и около прямоугольного треугольника  значит, ее центром является середина гипотенузы  Тогда  В треугольнике  как катет, противолежащий углу  Поскольку в прямоугольном треугольнике  то углы при большем основании трапеции равны   как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых  и секущей  Следовательно, в треугольнике  два угла равны, т.е. он является равнобедренным с основанием  откуда  Тогда

Ответ: 40 см.

Особенно интересным и нестандартным является применение окружности (как описанной, так и вписанной) при решении задач, в условиях которых окружность вообще не упоминается.

Пример №13

Из точки  лежащей на катете  прямоугольного треугольника  проведен перпендикуляр  к гипотенузе  (рис. 81). Докажите, что 

Решение:

В четырехугольнике  значит, около него можно описать окружность. В этой окружности вписанные углы  будут опираться на одну и ту же дугу, и по следствию теоремы о вписанном угле 

Метод решения задач с помощью дополнительного построения описанной или вписанной окружности называют методом вспомогательной окружности.

Замечательные точки треугольника

Точка пересечения медиан

В седьмом классе в ходе изучения вписанной и описанной окружностей треугольника рассматривались две его замечательные точки — точка пересечения биссектрис (иначе ее называют инцентром треугольника) и точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

Рассмотрим еще две замечательные точки треугольника.

Теорема (о точке пересечения медиан треугольника)

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, начиная от вершины треугольника.

Доказательство:

 Пусть в треугольнике  проведены медианы  (рис. 85).

Докажем, что они пересекаются в некоторой точке  причем 

Пусть  — точка пересечения медиан  и  точки  — середины отрезков  и  соответственно. Отрезок  — средняя линия треугольника  и по свойству средней линии треугольника  Кроме того,  — средняя линия треугольника и по тому же свойству  Значит, в четырехугольнике  две стороны параллельны и равны. Таким образом,  — параллелограмм, и его диагонали  точкой пересечения делятся пополам. Следовательно,  т.е. точка  делит медианы  в отношении 2:1.

Аналогично доказываем, что и третья медиана  точкой пересечения с каждой из медиан  делится в отношении 2 :1. А поскольку такая точка деления для каждой из медиан единственная, то, следовательно, все три медианы пересекаются в одной точке. 

Точку пересечения медиан треугольника иначе называют центроидом или центром масс треугольника. В уместности такого названия вы можете убедиться, проведя эксперимент: вырежьте из картона треугольник произвольной формы, проведите в нем медианы и попробуйте удержать его в равновесии, положив на иглу или острый карандаш в точке пересечения медиан (рис. 86).

Пример №14

Если в треугольнике две медианы равны, то он равнобедренный. Докажите.

Решение:

Пусть в треугольнике  медианы  равны и пересекаются в точке  (рис. 87).

Рассмотрим треугольники  Поскольку точка  делит каждую из равных медиан  и  в отношении  Кроме того,  как вертикальные. Значит,  по первому признаку. Отсюда следует, что 

Но по определению медианы эти отрезки — половины сторон Следовательно,  т.е. треугольник  равнобедренный.

Точка пересечения высот

Теорема (о точке пересечения высот треугольника)

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство:

 Пусть  — высоты треугольника  (рис. 88).

Проведя через вершины треугольника прямые, параллельные противолежащим сторонам, получим треугольник  стороны которого перпендикулярны высотам треугольника  По построению четырехугольники  — параллелограммы, откуда  Следовательно, точка  — середина отрезка  Аналогично доказываем, что  — середина  — середина 

Таким образом, высоты  лежат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника  которые пересекаются в одной точке по следствию теоремы об окружности, описанной около треугольника. 

Точку пересечения высот (или их продолжений) иначе называют ортоцентром треугольника.

Таким образом, замечательными точками треугольника являются:

• точка пересечения биссектрис — центр окружности, вписанной в треугольник;
• точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам — центр окружности, описанной около треугольника;
• точка пересечения медиан — делит каждую из медиан в отношении 2:1, начиная от вершины треугольника;
• точка пересечения высот (или их продолжений).

ИТОГОВЫЙ ОБЗОР ГЛАВЫ I

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК

Теорема о сумме углов четырехугольника.

Сумма углов четырехугольника равна 

Справочный материал по параллелограмму

Параллелограммом называется четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны

Признаки параллелограмма

Если две противолежащие стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм

Если противолежащие стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник- параллелограм.

 

Противолежащие углы параллелограмма равны.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам

Если противолежащие углы четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм

Если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм

Виды параллелограммов

 

Прямоугольником называется параллелограм у которого все углы прямые

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны

Свойство прямоугольника

Диагонали прямоугольника равны 

Признак прямоугольника

Если все углы четырехугольника равны, то этот четырехугольник является прямоугольником

Свойства ромба

Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам
 

Признак ромба

Если все стороны четырехугольника равны, то этот четырехугольник является ромбом

Свойства квадрата

 

Все стороны квадрата равны, а противолежащие стороны параллельны

Все углы квадрата прямые

Диагонали квадрата равны, перпендикулярны, делят углы квадрата пополам и точкой пересечения делятся пополам
 

Трапеция

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие непараллельны

Прямоугольной трапецией называется трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям

Равнобедренной трапецией называется трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойство равнобедренной 

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. 

Признак равнобедренной

Если в трапеции углы при основании равны, то такая трапеция равнобедренная

Теорема Фалеса

Параллельные прямые, которые пересекают стороны угла и отсекают на одной из них равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой стороне

Средние линии треугольника и трапеции

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

 

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции

Свойство средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны
Свойство средней линии трапеции

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме

Углы в окружности

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в центре окружности

Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла

Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность

Теорема о вписанном угле Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается

Следствия теоремы о вписанном угле

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой, и наоборот: любой прямой вписанный угол опирается на полуокружность

Центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы

Вписанные четырехугольники

Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности

Признак вписанного четырехугольника

Если сумма противолежащих углов четырехугольника равна  то около него можно описать окружность

Около любого прямоугольника можно описать окружность

Около равнобедренной трапеции можно описать окружность

Свойство вписанного четырехугольника

• Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна 
• Если параллелограмм вписан в окружность, то он является прямоугольником
• Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная

Описанные четырехугольники

Четырехугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности

Признак описанного четырехугольника

Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность

В любой ромб можно вписать окружность

Свойство описанного четырехугольника

• В описанном четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны
• Если в параллелограмм вписана окружность, то он является ромбом

Замечательные точки треугольника

Теорема о точке пересечения медиан треугольника Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, начиная от вершины треугольника

Теорема о точке пересечения высот треугольника Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке

Историческая справка

Большая часть теоретических положений, связанных с четырехугольником, была известна еще в Древней Греции. Например, параллелограмм упоминается в работах Евклида под названием «параллельно-линейная площадь». Основные свойства четырехугольников были установлены на практике и только со временем доказаны теоретически.

Одним из творцов идеи геометрического доказательства по праву признан древнегреческий ученый Фалес Милетский (ок. 625-547 гг. до н. э.). Его считали первым среди прославленных «семи мудрецов» Эллады. Механик и астроном, философ и общественный деятель, Фалес значительно обогатил науку своего времени. Именно он познакомил греков с достижениями египтян в геометрии и астрономии. По свидетельству историка Геродота, Фалес предсказал затмение Солнца, которое произошло 28 мая 585 г. до н. э. Он дал первые представления об электричестве и магнетизме. Достижения Фалеса в геометрии не ограничиваются теоремой, названной его именем. Считается, что Фалес открыл теорему о вертикальных углах, доказал равенство углов при основании равнобедренного треугольника, первым описал окружность около прямоугольного треугольника и обосновал, что угол, который опирается на полуокружность, прямой. Фалесу приписывают и доказательство второго признака равенства треугольников, на основании которого он создал дальномер для определения расстояния до кораблей на море.
В молодые годы Фалес побывал в Египте. Согласно легенде, он удивил египетских жрецов, измерив высоту пирамиды Хеопса с помощью подобия треугольников (о подобии треугольников — в следующей главе).

Изучая замечательные точки треугольника, нельзя не вспомнить имена еще нескольких ученых.

Теорему о пересечении высот треугольника доказал в XV в. немецкий математик Региомонтан (1436-1476) — в его честь эту теорему иногда называют задачей Региомонтана.

Выдающийся немецкий ученый Леонард Эйлер (1707-1783), который установил связь между замечательными точками треугольника, является уникальной исторической фигурой. Геометрия и механика, оптика и баллистика, астрономия и теория музыки, математическая физика и судостроение — вот далеко не полный перечень тех областей науки, которые он обогатил своими открытиями. Перу Эйлера принадлежит более 800 научных работ, причем, по статистическим подсчетам, он делал в среднем одно изобретение в неделю! Человек чрезвычайной широты интересов, Эйлер был академиком Берлинской, Петербургской и многих других академий наук, он существенным образом повлиял на развитие мировой науки. Недаром французский математик Пьер Лаплас, рассуждая об ученых своего поколения, утверждал, что Эйлер — «учитель всех нас».

Среди украинских математиков весомый вклад в исследование свойств четырехугольников внес Михаил Васильевич Остроградский (1801-1862). Этот выдающийся ученый, профессор Харьковского университета, получил мировое признание благодаря работам по математической физике, математическому анализу, аналитической механике. Талантливый педагог и методист, Остроградский создал «Учебник по элементарной геометрии», который, в частности, содержал ряд интересных и сложных задач на построение вписанных и описанных четырех. М. В. Остроградский угольников и вычисление их площадей.

У параллелограмма 4 угла, это частный случай четырехугольника, у которого противоположные стороны
попарно параллельны. Из этого свойства вытекает равенство противоположных сторон, равенство
противоположных углов и равенство суммы смежных углов двум прямым. Свойства параллелограмма широко
используются в быту и технике.

Острый угол параллелограмма через боковую сторону и высоту

Если известна боковая сторона и высота, то можно найти острый угол параллелограмма по формуле:

sin α = h / b

где α – острый угол, h – высота, b – боковая сторона.

Пример. Пусть h = 4 см, b = 8 см. sin α = h / b = 8 / 4 = 2. α = 90°.

Острый угол параллелограмма через площадь и две стороны

Если известна площадь и две стороны, то можно найти острый угол параллелограмма по формуле:

sin α= S / ab

где α – острый угол, S — площадь параллелограмма, a и b – его стороны.

Пример.  Пусть S=50 м², a=10 м, b=5 м. sin α= S / ab = 50 / (10 * 5) = 1. α = 90°.
Угол прямой, смежные стороны не равны, имеем дело с прямоугольником.

Острый угол параллелограмма через высоту, сторону и периметр

Если известна высота, сторона и периметр, то можно найти острый угол параллелограмма по формуле:

sin α = (2h + a) / P

где α – острый угол, h — высота, a — сторона, P — периметр.

Высота опускается на известную и подставляемую в формулу сторону a. Параллелограмм с заданным
периметром приходится строить, если, например, периметр определен длиной веревки, которую требуется
растянуть на местности в форме параллелограмма.

Пример. Пусть h=10 м, a=15 м, P=70 м. sin α=(2h + a) / P= (2 * 10 + 15) / 70 = 0,5. α = 30°.

Острый угол параллелограмма через две стороны и короткую диагональ

Если известны две стороны и короткая диагональ, то можно найти острый угол параллелограмма по
формуле:

cos α = (a² + b² — d²) / 2ab

где α – острый угол, a и b – стороны параллелограмма, d – его короткая диагональ.

Пример расчета: в данном частном случае 2 прилежащие стороны и короткая диагональ
равны, а именно: a = b = d = 26 мм. cos α=(a² + b² — d²) / 2ab = (26² + 26² — 26²) / (2 * 26 * 26) = 0,5. α=60°.

Из равенства прилежащих сторон следует, что это ромб, а результат расчета показывает, что острый угол
в ромбе равен 60°. Знаете, что это за ромб с подобными размерами? Это нагрудный академический знак
для лиц, окончивших советские высшие учебные заведения, установленный с 1961 года.

Тупой угол параллелограмма через две стороны и длинную диагональ

Если известны две стороны и длинная диагональ, то можно найти тупой угол параллелограмма по
формуле:

cos β = (a² + b² — D²) / 2ab

где α – тупой угол, a и b – стороны параллелограмма, D – его длинная диагональ.

Пример расчета: вновь ромб со сторонами a = b = 26 мм и длинной диагональю D=43 мм.
cos β = (a² + b² — D²) / 2ab = (26² + 26² — 43²) / (2 * 26 * 26) = -0,368. α = 112°.
Это опять-таки нагрудный академический знак из предыдущего примера, небольшое отличие полученного
результата от 120° (при остром угле 60° по предыдущему примеру) объясняется округлением исходных
данных до целого числа миллиметров.

Свойства параллелограмма

У любого выпуклого четырехугольника сумма всех внутренних углов равна 360°, исходя из общей формулы
суммы внутренних углов выпуклого многоугольника в градусах s = 180 (n — 2), где n – количество
сторон. Следовательно, если хотя-бы 1 угол параллелограмма равен прямому (90°), остальные 3 угла
также являются прямыми, и параллелограмм вырождается в свой частный вид – прямоугольник.

Если 2 смежные стороны параллелограмма равны, то равны все его 4 стороны, и параллелограмм
вырождается в ромб. И, наконец, если у параллелограмма равны 2 смежные стороны, а угол между ними
прямой, параллелограмм является одновременно и прямоугольником, и ромбом, и вырождается в квадрат.
Зачастую возникает необходимость определения неизвестных характеристик параллелограмма через
известные. Выше ряд примеров подобного рода.

Самый наглядный пример параллелограмма – пантограф электропоезда. При подключении опущенного
пантографа к контактной сети железной дороги изменяется конфигурация пантографа при сохранении длин
сторон, в результате изменяется вертикальная диагональ и происходит касание с подачей электрического
тока.
Форму параллелограмма имеет автомобильный реечный домкрат, велосипедная рама (с
диагональю для увеличения жесткости). Ведь параллелограмм — фигура нежесткая, в отличие от
треугольника. Из нежесткости параллелограмма следует, что знания одних длин сторон недостаточно для
вычисления площади фигуры. Так, пантограф электропоезда можно «сложить» до нулевой площади.
Стеклоочиститель лобового стекла автобуса также представляет собой параллелограмм, и именно
нежесткость фигуры позволяет стеклоочистителю «ометать» при движении стекло.