Как найти угол между прямыми в цилиндре

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания – точка С1, причём СС1 – образующая цилиндра, а АС – диаметр основания. Известно, что ∠АСВ = 30°, АВ = √2, СС1 = 4.

а) Докажите, что угол между прямыми АС1 и ВС равен 60°

б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра

Решение:

1. a) Проведём B1C1 параллельно ВС, тогда ∠(АС1;ВС) = ∠(AC1;B1C1) = ∠AC1B1

△ABC – прямоугольный, так как АС – диаметр окружности

△АВС: sin∠ACB = AB/AC → 1/2 = √2/AC → AC = 2√2 → AO = CO = r = √2

cos∠ACB = BC/AC → √3/2 = BC/(2√2) → BC = √6 = B1C1

△ACC1: AC1² = AC²+CC1² = 8+16 = 24 → AC1 = 2√6

△AA1B1: AB1² = AA1²+A1B1² = 16+2 = 18→ AB1 = 3√2

△AB1C1: AB1² = AC1²+B1C1²-2·AC1·B1C1·cos∠AC1B1

18 = 24+6-2·2√6·√6·cos∠AC1B1

cos∠AC1B1 = 1/2 → ∠AC1B1 = ∠(АС1;ВС) = 60°

б) Пусть площадь боковой поверхности = S

S = 2·π·r·h, где r – радиус окружности, h – высота цилиндра

S = 2·π·√2·4 = 8√2·π = 8√2π

Ответ: б) 8√2π

Цели и задачи урока:

• Знакомство учащихся  со
  стереометрическими  задачами на применение
  свойств цилиндра и скрещивающихся прямых.
• Способствовать формированию и развитию у
  учащихся пространственных представлений;
  повторить  определения, свойства цилиндра и
  скрещивающихся прямых  при решении
  комбинированных задач на  нахождение
  расстояния, угла между двумя скрещивающихся
  прямыми в прямом круговом цилиндре.
• Формировать умения анализировать,
  устанавливать связь между элементами содержания
  ранее изученного материала, способность к
  самоанализу, рефлексии.
• Содействовать развитию интереса к оперированию
  геометрическими понятиями и образами,
  личностной активности учащихся; создать условия
  для творческой самореализации личности.  

Оборудование: 16 персональных
компьютеров для учащихся, персональный
компьютер учителя, проектор, раздаточный
материал в виде готовых чертежей с задачами,
листы для отчета о проделанной работе, модели
  цилиндра и призмы. Презентации учителя к
уроку .

ХОД УРОКА

1. Организационный момент (2 мин.)

После проверки готовности класса к уроку,
учитель сообщает тему, цели и задачи практикума и
отмечает, что урок проходит  с использованием
компьютерной презентации, выполненной в Power Point.
Учитель проводит инструктирование учащихся по
технике безопасности при работе в компьютерном
классе.

2. Актуализация опорных знаний и умений
учащихся (10 мин.)

Тестирование с самопроверкой

Для диагностики и коррекции основных понятий и
формул, необходимых на уроке учитель предлагает
учащимся ответить на вопросы теста. С условиями
заданий теста учащиеся знакомятся с помощью
слайдов презентации. Оценивает ответы учащихся
компьютер. Максимальная оценка 3 балла – за три
правильных ответа. На каждом слайде необходимо
нажать кнопку с номером ответа. Неверно
выбранный ответ откроет слайд решение задачи или
напомнит теоретический материал.

1. Дан куб. Угол между прямыми A1D1 и    BC1
равен …

1) 90°; 2)  45°; 3) 60°.   

2. Дан куб . Угол между прямыми A D1 и  BD равен …

1) 90°; 2) 45°; 3) 60°.   

3.   На основании цилиндра взяты две
непараллельные друг другу хорды AN и BM, не
проходящие через центры оснований. Тогда
расстояние между хордами…

1) равно образующей цилиндра  ;  2) больше
высоты цилиндра  3)   меньше образующей
цилиндра

4. Концы отрезка AB лежат на окружностях
оснований цилиндра   AB  и OQ не
параллельные друг другу отрезки.  Тогда
расстояние между прямой AB и осью цилиндра OQ
неравно длине отрезка …

1) MN;  2) QK ;  3) OA.

5  Высота цилиндра 8 см, радиус основания 5 см.
Цилиндр пересечен плоскостью параллельно оси
так, что в сечении получился квадрат. Тогда
расстояние от этого сечения до оси цилиндра
равно…   

1. см ; 2) 4 см  ;
    3)  3 см  

3. Решение задачи №1 (8 мин.)

Учитель предлагает вниманию учащихся задачу:
Концы отрезка AB лежат на окружностях оснований
цилиндра. Высота цилиндра равна 16, радиус
основания равен 10, а угол между прямой AB и
плоскостью основания цилиндра равен 45°. Найдите
расстояние между осью цилиндра и параллельной ей
плоскостью, проходящей через точки A и B.

Вопросы для обсуждения:

1. Назовите угол между прямой AB и плоскостью
   основания цилиндра. Ответ обоснуйте.
2. Каким четырехугольником является  сечение
   цилиндра AA1BB1? 
3. Какое взаимное расположение прямых AB и OO1  в
   пространстве?
4. Как найти расстояние между осью цилиндра и
   параллельной ей плоскостью, проходящей через
   точки A и B?

Далее в ходе обсуждения условия задачи,
приходим к решению задачи.

Отмечаем какой теоретический материал
использовался при решении задачи:

1. Прямой круговой цилиндр
2. Определение скрещивающихся прямых
3. Расстояние между двумя скрещивающихся прямыми
4. Угол между наклонной и плоскостью
5. Терема Пифагора
6. Тригонометрические функции острых углов
7. Решение прямоугольных треугольников
8. Свойства равнобедренного треугольника

4. Решение задачи №2 (8 мин.)

Учитель предлагает вниманию учащихся задачу:

Радиус основания цилиндра равен 6, высота равна
10. Отрезки AB и CD – диаметры одного из оснований
цилиндра, AC =

Отрезок AA1 – образующая цилиндра. Найдите
тангенс угла между прямыми   BC и A1D

Вопросы для обсуждения:

1. Какое взаимное расположение прямых   BCи
   A1D   в пространстве?
2. Как найти угол между прямыми BC и A1D?
3. Угол ACB опирается на диаметр окружности.
   Что   можно сказать о его величине?  

Далее в ходе обсуждения условия задачи,
приходим к решению задачи.

Отмечаем какой теоретический материал
использовался при решении задачи

1. Прямой круговой цилиндр
2.  Определение скрещивающихся прямых
3.  Угол между двумя скрещивающихся прямыми
4.  Терема Пифагора
5.  Вписанный угол, опирающийся на диаметр
6. Тригонометрические функции острых углов
7. Решение прямоугольных треугольников  

5. Самостоятельная работа по решению
задач с использованием готовых чертежей и
последующей проверкой или самопроверкой (10 мин.)

Учащиеся получают тексты задач по вариантам в
печатном виде и на слайдах презентации. Учитель
контролирует работу  учащихся, определяет
степень усвоения изученного материала. Через
определенное время краткое решение задач можно
проверить, используя слайды презентации.

Вариант №1

1. Концы отрезка AB лежат на окружностях оснований
   цилиндра. Радиус  основания цилиндра равен 15,
   длина отрезка AB равна , а угол между прямой AB и плоскостью
   основания цилиндра равен 30?. Найдите расстояние
   между осью цилиндра и параллельной ей
   плоскостью, проходящей через точки A и B.
2. Радиус основания цилиндра равен 1, высота равна   Отрезки AB и CD
   – диаметры одного из оснований цилиндра. Отрезок
   AA1 –  образующая цилиндра, AD = . Найдите косинус угла между
   прямыми   BD и A1C 

6. Отчёт о проделанной на уроке работе
(5 мин.)

В конце занятия учащимся  заполняют бланк
отчета о проделанной на уроке работе.
Тестирование с самопроверкой.

Приложение 1

Координаты вектора

Вектор – отрезок, имеющий длину и указывающий направление.

На самом деле, понимать, что такое вектор для решения задач методом координат необязательно. Можно просто использовать это понятие, как необходимый инструмент для решения задач по стереометрии. Любое ребро или отрезок на нашей фигуре мы будем называть вектором.

Для того, чтобы определить координаты вектора, нужно из координат конечной точки вычесть координаты начальной точки. Пусть у нас есть две точки (Рис. 4) :
$$ т.А(x_A,y_A,z_A); $$
$$ т.B(x_B,y_B,z_B); $$
Тогда координаты вектора (vec{AB}) можно определить по формуле:
$$ vec{AB}={x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A}. $$

Скрещивающиеся прямые

И так, мы научились находить координаты точек, и при помощи них определять координаты векторов. Теперь познакомимся с формулой нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми (векторами). Пусть даны два вектора:
$$ a={x_a,y_a,z_a};$$
$$ b={x_b,y_b,z_b}; $$
тогда угол (alpha) между ними находится по формуле:
$$ cos{alpha}=frac{x_a*x_b+y_a*y_b+z_a*z_b}{sqrt{{x_a}^2+{y_a}^2+{z_a}^2}*sqrt{{x_b}^2+{y_b}^2+{z_b}^2}}. $$

Уравнение плоскости

В задачах №14 (С2) ЕГЭ по профильной математике часто требуется найти угол между прямой и плоскостью и расстояние между скрещивающимися прямыми. Но для этого вы должны уметь выводить уравнение плоскости. В общем виде уравнение плоскости задается формулой:
$$ A*x+B*y+C*z+D=0,$$
где (A,B,C,D) – какие-то числа.

Если найти (A,B,C,D), то мы мы найдем уравнений плоскости. Плоскость однозначно задается тремя точками в пространстве, значит нужно найти координаты трех точек, лежащий в данной плоскости, а потом подставить их в общее уравнение плоскости.

Например, пусть даны три точки:

$$ K(x_K,y_K,z_K);,L(x_L,y_L,z_L);,P(x_P,y_P,z_P). $$

Подставим координаты точек в общее уравнение плоскости:

$$begin{cases} A*x_K+B*y_K+C*z_K+D=0,\ A*x_L+B*y_L+C*z_L+D=0, \ A*x_P+B*y_P+C*z_P+D=0.end{cases}$$

Получилась система из трех уравнений, но неизвестных 4: (A,B,C,D). Если наша плоскость не проходит через начало координат, то мы можем (D) приравнять (1), если же проходит, то (D=0). Объяснение этому простое: вы можете поделить каждое ваше уравнения на (D), от этого уравнение не изменится, но вместо (D) будет стоять (1), а остальные коэффициенты будут в (D) раз меньше.

Теперь у нас есть три уравнения и три неизвестные – можем решить систему:

Пример 3

Найти уравнение плоскости, проходящей через точки
$$ K(1;2;3);,P(0;1;0);,L(1;1;1). $$
Подставим координаты точек в уравнение плоскости (D=1):
$$begin{cases} A*1+B*2+C*3+1=0,\ A*0+B*1+C*0+1=0, \ A*1+B*1+C*1+1=0.end{cases}$$
$$begin{cases} A+2*B+3*C+1=0,\ B+1=0, \ A+B+C+1=0.end{cases}$$
$$begin{cases} A-2+3*C+1=0,\ B=-1, \ A=-C.end{cases}$$
$$begin{cases} A=-0.5,\ B=-1, \ C=0.5.end{cases}$$
Получаем искомое уравнение плоскости:
$$ -0.5x-y+0.5z+1=0.$$

Расстояние от точки до плоскости

Зная координаты некоторой точки (M(x_M;y_M;z_M)), легко найти расстояние до плоскости (Ax+By+Cz+D=0:)
$$ rho=frac{|A*x_M+B*y_M+C*z_M+D|}{sqrt{A^2+B^2+C^2}}. $$

Пример 4

Найдите расстояние от т. (H (1;2;0)) до плоскости, заданной уравнением
$$ 2*x+3*y-sqrt{2}*z+4=0.$$

Из уравнения плоскости сразу находим коэффициенты:
$$ A=2,,B=3,,C=-sqrt{2},,D=4.$$
Подставим их в формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости.
$$ rho=frac{|2*1+3*2-sqrt{2}*0+4|}{sqrt{2^2+3^2+{-sqrt{2}}^2}}. $$
$$ rho=frac{12}{sqrt{16}}=3.$$

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от любой точки одной из прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через вторую прямую.

Таким образом, если требуется найти расстояние между скрещивающимися прямыми, то нужно через одну из них провести плоскость параллельно второй прямой. Затем найти уравнение этой плоскости и по формуле расстояния от точки до плоскости найти расстояние между скрещивающимися прямыми. Точку на прямой можно выбрать произвольно (у которой легче всего найти координаты).

Пример 5

Рассмотрим задачу из досрочного ЕГЭ по математике 2018 года.

Дана правильная треугольная призма (ABCFDE), ребра которой равны 2. Точка (G) — середина ребра (CE).

• Докажите, что прямые (AD) и (BG) перпендикулярны.
• Найдите расстояние между прямыми (AD) и (BG).

Решение:

Решим задачу полностью методом координат.

Нарисуем рисунок и выберем декартову систему координат. (Рис 5).

Содержание:

В планиметрии угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки — вершины угла (лучи — стороны угла). Такое определение понятия угла переносится и в стереометрию. Углы в пространстве рассматриваются между двумя прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями. Опишем и определим каждый из этих случаев.

Угол между двумя прямыми в пространстве

Две прямые, лежащие в одной плоскости, при пересечении образуют смежные и вертикальные углы. В модуле 1 мы повторили все свойства таких углов (вертикальные углы равны, а смежные — дополняют друг друга до 180°). В пространстве (аналогично планиметрии) также сохраняются все названия и понятия об углах и их величинах. Меньший из углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, называют углом между прямыми. Угол между перпендикулярными прямыми равен 90°. Считают, что параллельные прямые также образуют угол, равный 0°. В стереометрии рассматривают угол между скрещивающимися прямыми. Пусть даны скрещивающиеся прямые

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между прямыми, которые пересекаются и соответственно параллельны скрещивающимся. — угол между скрещивающимися прямыми и (рис. 6.1). Он не зависит от выбора пересекающихся прямых, поскольку параллельное перенесение сохраняет равенство соответствующих углов с параллельными сторонами. Например, если то углом между прямыми и будет угол между прямыми и , где (рис. 6.1,6).

Итак,
Если , то . Однако о перпендикулярности скрещивающихся прямых не говорят, поскольку выдерживается определение понятия перпендикулярных прямых.
 

Угол между прямой и плоскостью в пространстве

Об угле наклона прямой к плоскости говорят в том случае, когда прямая пересекает эту плоскость. Чтобы построить, например, угол между прямой и плоскостью , последовательно выполняют такие шаги (рис. 6.2):

1. выбирают точку прямой ;
2. проводят из точки перпендикуляр к плоскости ;
3. проводят через точки плоскости и прямую .

Прямую называют проекцией прямой на плоскость а.
Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Если прямая перпендикулярна , то угол между ней и плоскостью равен 90°, если параллельна, то — 0°.
Угол между прямой и плоскостью обозначают или или . Читают: «угол между прямой и плоскостью ».
 

Угол между двумя плоскостями, пространства

Прямая на плоскости разбивает ее на две полуплоскости. Две полуплоскости могут иметь общую прямую и не образовывать одну плоскость. В этом случае они образуют фигуру, которую называют двугранным углом.
 

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями вместе с общей прямой, их ограничивающей. Эту прямую называют ребром двугранного угла.

Если двугранный угол пересечь плоскостью, перпендикулярной его ребру, то лучи, по которым она пересекает заданные
полуплоскости, образуют линейный угол, например (рис. 6.3). Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

Пересекающиеся плоскости образуют четыре угла. Чтобы определить угол между двумя плоскостями, проводят плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым. Угол между этими прямыми называется углом между данными плоскостями. Т.е. угол между двумя пересекающимися плоскостями — это угол между двумя прямыми, которые принадлежат этим плоскостям и перпендикулярны прямой их пересечения.
(рис. 6.3).

Если линейный угол — 90°, то плоскости перпендикулярны. Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0°.
 

Теорема 1

Угол между плоскостями не зависит от места построения линейного угла.

Доказательство:

Выберем точки и (рис. 6.4), принадлежащие прямой — линии пересечения плоскостей и , — и построим два линейных угла для плоскостей  и . Для этого проведем плоскости и , которые пересекут плоскости и по прямым и , и . Прямые и лежат в плоскости и перпендикулярны прямой , значит и . Если к плоскости применить параллельный перенос, который переводит точку в точку , то прямая совпадет с прямой , а прямая — с прямой . Это возможно, поскольку прямые параллельны. А потому плоскости и совпадают, отсюда совпадение линейных углов и соответственно их равенство. Теорема доказана.
 

Пример №1

Концы отрезка длиной 24 см принадлежат двум перпендикулярным плоскостям. Расстояния от концов отрезка до линии пересечения данных плоскостей равны 12 см и см. Найдите углы, образованные отрезком с этими плоскостями.

Дано: — отрезок, 
Найти: углы, образованные отрезком с плоскостями и .

Решение:

и — проекции точек и на плоскости и соответственно. Поскольку , (или ) — прямая пересечения этих плоскостей, то , .
Итак, и — прямоугольные, у которых: (по условию).
Из  
Из  
Ответ. 30°; 45°.
 

Почему именно так?

В этой задаче важно построить проекции концов отрезка на другую, перпендикулярную ей, плоскость. При этом следует помнить, что они должны лежать на прямой пересечения данных перпендикулярных плоскостей, согласно свойствам перпендикулярных плоскостей. Далее, рассматривая прямоугольные треугольники, нужно правильно использовать определение синуса угла как отношения противолежащего катета к гипотенузе и таблицу значений: 

Расстояния в пространстве

Одним из ключевых понятий геометрии является длина отрезка. Через него вводится много других понятий, связанных с понятием расстояния. Как известно, расстоянием между двумя точками и  называется длина отрезка (рис. 6.14). Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра , проведенного из этой точки на данную прямую (рис. 6.15). Поскольку все другие отрезки с концами в точке и произвольной точке прямой, отличной от , — наклонные, то их длина больше длины перпендикуляра. Поэтому говорят, что расстояние от точки до прямой — это длина наименьшего из всех возможных отрезков, проведенных из этой точки к прямой. Такой отрезок является перпендикуляром к прямой. Опираясь на такие рассуждения, определим понятие расстояния между некоторыми другими фигурами в пространстве.

Рассмотрим плоскость и точку , не принадлежащую ей (рис. 6.16). Понятно, что за расстояние от точки до плоскости  следует выбрать длину перпендикуляра , проведенного из этой точки к плоскости, поскольку все другие отрезки , где — произвольная точка плоскости, отличная от , будут наклонными и поэтому их длина больше чем .

Итак, расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости.

Если точка принадлежит плоскости, то в этом случае расстояние от нее до плоскости равно нулю.

Расстояние от точки до отрезка (рис. 6.17) определяется по такому алгоритму: 1) проводим перпендикуляр из точки к прямой ; 2) если основание этого перпендикуляра принадлежит данному отрезку , то искомое расстояние равно длине отрезка (рис. 6.17, а); в другом случае оно равно длине отрезка или (в зависимости от того, какая из точек — или — лежит ближе к точке ) (рис. 6.17, б). Аналогично определяется расстояние от точки до луча.

Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине общего перпендикуляра этих прямых (рис. 6.18). Это вытекает из того, что все такие перпендикуляры равны между собой, а каждый отрезок с концами и на данных прямых, не являющийся их общим перпендикуляром, имеет длину, большую чем длина общего перпендикуляра .
 

Теорема 2 (о расстоянии между параллельными прямой и плоскостью)

Расстояние между параллельными прямой и плоскостью равно длине общего перпендикуляра, проведенного из произвольной точки прямой к плоскости.

Данная теорема доказывается рассуждениями, аналогичными приведенным выше, о расстоянии между параллельными прямыми.
 

Теорема 3 (о расстоянии между параллельными плоскостями)

Расстояние между параллельными плоскостями равно длине общего перпендикуляра, проведенного из произвольной точки одной плоскости ко второй.

Доказательство:

Пусть имеем две параллельные плоскости  и  (рис. 6.19). Поскольку прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна
и второй, то перпендикуляр , проведенный из произвольной точки одной из этих плоскостей ко второй, будет перпендикуляром и к первой, т.е. их общим перпендикуляром. Поскольку любые два попарно взятых общих перпендикуляра , и параллельных плоскостей и  параллельны, то они равны между собой как отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями. Для полного доказательства теоремы остается показать, что любой отрезок с концами в данных плоскостях и , не являющийся их общим перпендикуляром, больше общего перпендикуляра .

А это вытекает из того, что перпендикуляр , к плоскости меньше наклонной к этой плоскости. Теорема доказана.

Понятие расстояния между точками широко применяется в разнообразных сферах жизни человека — от науки до быта и досуга. Используется оно в тех случаях, когда размерами реальных объектов, расстояние между которыми вычисляется, в данных условиях можно пренебречь. Так мы говорим о расстоянии между звездами, планетами, передатчиками и принима-телями информации, населенными пунктами, ядрами атома и электронами на его орбите и т.п.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Сначала рассмотрим определение перпендикуляра, проведенного к двум скрещивающимся прямым, и докажем его существование и единственность.

Общим перпендикуляром к двум скрещивающимся прямым называется отрезок с концами на этих прямых, перпендикулярный каждой из них.

Теорема 4

Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром к параллельным плоскостям, проходящим через эти прямые.

Доказательство:

Действительно, пусть и — данные скрещивающиеся прямые (рис. 6.20). Проведем прямые и , соответственно параллельные и , так, что прямая пересекается с прямой , а прямая . Через прямые и и и которые попарно пересекаются, проводим плоскости  и .
Плоскости  и  — параллельные. Произвольные прямые , которые пересекают прямую и перпендикулярны плоскости , лежат в одной плоскости. Назовем ее . Эта плоскость пересекает плоскость по прямой , параллельной . Пусть точка — точка пересечения прямых , и некой прямой , а точка — точка пересечения той же прямой и . Тогда прямая , перпендикулярная плоскости , перпендикулярна и плоскости , поскольку . Отсюда вытекает, что и .

Отрезок — общий перпендикуляр к плоскостям и , а следовательно, и к прямым и . Докажем, что он единственный. Пусть прямые и имеют другой общий перпендикуляр . Проведем через точку прямую , параллельную . Прямая перпендикулярна прямой , а следовательно, и .

Поскольку она перпендикулярна прямым и, которые проходят через точку , то она перпендикулярна плоскости . Тогда параллельна прямой . Имеем, что через прямые и , как через параллельные прямые, можно провести плоскость и она будет содержать скрещивающиеся прямые и . А это невозможно. Получили противоречие. Теорема доказана.
 

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.
 

Пример №2

Отрезок перпендикулярен плоскости треугольника , стороны , и которого соответственно равны 13 см, 14 см и 15 см. Найдите расстояние от точки до стороны , если .
 

Решение:

Пусть — высота данного остроугольного треугольника (рис. 6.21). Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, и длина будет расстоянием от точки до стороны . Определим ее из прямоугольного треугольника (поскольку ), то ). Для этого предварительно найдем .

Из формулы для площади треугольника .
Необходимую площадь определим по формуле Герона:
Тогда и.

Ответ. 20 см.

Пример №3

Прямая перпендикулярна плоскости ромба, диагонали которого пересекаются в точке . Докажите, что расстояния от точки до всех сторон ромба равны между собой.

Доказательство:

Пусть — ромб и — точка пересечения его диагоналей (рис. 6.22). Тогда — центр вписанной в ромб окружности. Пусть — точки касания сторон к окружности. Тогда . Поскольку , то по теореме о трех перпендикулярах . Итак, — расстояния от точки до сторон ромба. Из равенства треугольников вытекает, что . Ч.т.д.

Пример №4

Точка не лежит в плоскости прямоугольного треугольника и находится на расстояниях и от прямых, содержащих катеты и (рис. 6.23). — перпендикуляр к плоскости этого треугольника. Докажите, что четырехугольник -прямоугольник.
 

Доказательство:

Поскольку отрезки и — расстояния от точки соответственно до прямых и , то и . По условию , поэтому и  — проекции наклонных и на плоскость и (по теореме о трех перпендикулярах). Однако по условию, поэтому — прямоугольник. Ч.т.д.