Как найти угол между направлениями сил

Угол между векторами.

Формула вычисления угла между векторами

Примеры задач на вычисление угла между векторами

Примеры вычисления угла между векторами для плоских задачи

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 3 · 4 + 4 · 3 = 12 + 12 = 24.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 3 2 + 4 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 3 2 = √ 16 + 9 = √ 25 = 5

Найдем угол между векторами:

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 5 · 7 + 1 · 5 = 35 + 5 = 40.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 7 2 + 1 2 = √ 49 + 1 = √ 50 = 5√ 2
| b | = √ 5 2 + 5 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2

Найдем угол между векторами:

Примеры вычисления угла между векторами для пространственных задач

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 3 · 4 + 4 · 4 + 0 · 2 = 12 + 16 + 0 = 28.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 3 2 + 4 2 + 0 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 4 2 + 2 2 = √ 16 + 16 + 4 = √ 36 = 6

Найдем угол между векторами:

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 1 · 5 + 0 · 5 + 3 · 0 = 5.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 1 2 + 0 2 + 3 2 = √ 1 + 9 = √ 10
| b | = √ 5 2 + 5 2 + 0 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2

Найдем угол между векторами:

cos α = a · b | a | · | b | = 5 √ 10 · 5√ 2 = 1 2√ 5 = √ 5 10 = 0.1√ 5

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Нахождение угла между векторами

Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.

Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →

Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В .

Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^

Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.

a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.

Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.

Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.

Нахождение угла между векторами

Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.

Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:

cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →

Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.

Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно — 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.

Решение

Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = — 9 3 · 6 = — 1 2 ,

Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 2 ) = 3 π 4

Ответ: cos a → , b → ^ = — 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.

Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) выглядит так:

cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 0 , — 1 ) , b → = ( 1 , 2 , 3 ) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.

Решение

1. Для решения задачи можем сразу применить формулу:

cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 70 ) = — a r c cos 1 70

1. Также можно определить угол по формуле:

cos a → , b → ^ = ( a → , b → ) a → · b → ,

но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 = — 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = — 1 5 · 14 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Ответ: a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.

Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A ( 2 , — 1 ) , B ( 3 , 2 ) , C ( 7 , — 2 ) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .

Решение

Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = ( 7 — 2 , — 2 — ( — 1 ) ) = ( 5 , — 1 ) B C → = ( 7 — 3 , — 2 — 2 ) = ( 4 , — 4 )

Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = ( A C → , B C → ) A C → · B C → = 5 · 4 + ( — 1 ) · ( — 4 ) 5 2 + ( — 1 ) 2 · 4 2 + ( — 4 ) 2 = 24 26 · 32 = 3 13

Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13

Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В , будет верным равенство:

A B 2 = O A 2 + O B 2 — 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) ,

b → — a → 2 = a → + b → — 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ) ^

и отсюда выведем формулу косинуса угла:

cos ( a → , b → ) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 — b → — a → 2 a → · b →

Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.

Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:

Как найти угол между векторами

Чтобы найти угол ( phi ) между векторами, вы должны сначала найти косинус угла, а затем из него найти арккосинус, то есть:

( phi=arccos (cos phi) )

Косинус угла между векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин. Если векторы заданы на плоскости и имеют координаты ( overline=left(a_ ; a_right), overline=left(b_ ; b_right) ) , то косинус между ними рассчитывается по формуле:

Сила — это одно из важных понятий в физике. Она является причиной изменения состояния любых объектов. В данной статье рассмотрим, что собой представляет эта величина, какие силы бывают, а также покажем, как находить проекцию силы на ось и на плоскость.

Сила и ее физический смысл

В физике сила — это векторная величина, которая показывает изменение количества движения тела за единицу времени. Данное определение полагает силу динамической характеристикой. С точки зрения же статики сила в физике — это мера упругой или пластической деформации тел.

Вам будет интересно:Осевое сечение цилиндра прямого и наклонного. Формулы для площади сечения и его диагоналей

Международная система СИ выражает силу в ньютонах (Н). Что такое 1 ньютон, проще всего понять на примере второго закона классической механики. Математическая запись его следующая:

F¯ = m*a¯

Здесь F¯ — некоторая внешняя сила, действующая на тело массой m, и приводящая к ускорению a¯. Из формулы следует количественное определение одного ньютона: 1 Н — это такая сила, которая приводит к изменению скорости тела массой 1 кг на 1 м/с за каждую секунду.

Вам будет интересно:Предположение — это и высказанная вслух мысль, и основа прогресса

Примерами динамического проявления силы являются ускорение автомобиля или свободно падающего тела в гравитационном земном поле.

Статическое проявление силы, как было отмечено, связано с явлениями деформации. Здесь следует привести следующие формулы:

F = P*S

F = -k*x

Первое выражение связывает силу F с давлением P, которое она оказывает на некоторую площадку S. Через эту формулу 1 Н можно определить как давление в 1 паскаль, прилагаемое к площадке 1 м2. Например, столб атмосферного воздуха на уровне моря давит на площадку 1 м2 с силой 105 Н!

Второе выражение является классической формой записи закона Гука. Например, растяжение или сжатие пружины на линейную величину x приводит к возникновению противодействующей силы F (в выражении k — коэффициент пропорциональности).

Какие силы бывают

Выше уже было показано, что силы могут быть статические и динамические. Здесь скажем, что помимо этой их особенности, они могут быть силами контакта или дальнодействующие. Например, сила трения, реакции опоры — это контактные силы. Причина их появления заключается в справедливости принципа Паули. Последний гласит, что два электрона не могут занимать одно и то же состояние. Именно поэтому прикосновение двух атомов приводит к их отталкиванию.

Вам будет интересно:Определение призмы, ее элементы и виды. Основные характеристики фигуры

Дальнодействующие силы появляются в результате взаимодействия тел через некоторое поле-носитель. Например, такими являются сила гравитации или электромагнитное взаимодействие. Обе силы имеют бесконечный радиус действия, однако, их интенсивность падает, как квадрат расстояния (законы Кулона и всемирного тяготения).

Сила — векторная величина

Разобравшись со смыслом рассматриваемой физической величины, можно перейти к изучению вопроса проекции силы на ось. В первую очередь заметим, что данная величина является векторной, то есть она характеризуется модулем и направлением. Покажем, как рассчитывать модуль силы и ее направление.

Известно, что любой вектор можно задать однозначно в данной системе координат, если известны значения координат его начала и конца. Предположим, что имеется некоторый направленный отрезок MN¯. Тогда его направление и модуль можно определить с помощью следующих выражений:

MN¯ = (x2-x1; y2-y1; z2-z1);

|MN¯| = √((x2-x1)2 + (y2-y1)2 + (z2-z1)2).

Здесь координаты с индексами 2 соответствуют точке N, с индексами 1 — точке M. Вектор MN¯ направлен из M в N.

Для общности мы показали, как находить модуль и координаты (направление) вектора в трехмерном пространстве. Аналогичные формулы без третьей координаты справедливы для случая на плоскости.

Таким образом, модуль силы — это ее абсолютная величина, выраженная в ньютонах. С точки зрения геометрии, модуль — это длина направленного отрезка.

Что такое проекция силы на ось?

Речь о проекциях направленных отрезков на координатные оси и плоскости удобнее всего вести, если предварительно расположить соответствующий вектор в начале координат, то есть в точке (0; 0; 0). Предположим, что у нас имеется некоторый вектор силы F¯. Поместим его начало в точку (0; 0; 0), тогда координаты вектора можно записать так:

F¯ = ((x1 — 0); (y1 — 0); (z1 — 0)) = (x1; y1; z1).

Вектор F¯ показывает направление силы в пространстве в данной координатной системе. Теперь проведем перпендикулярные отрезки из конца F¯ к каждой из осей. Расстояние от точки пересечения перпендикуляра с соответствующей осью до начала координат называется проекцией силы на ось. Не трудно догадаться, что в случае с силой F¯ ее проекции на оси x, y и z будут равны x1, y1 и z1, соответственно. Заметим, что эти координаты показывают модули проекций силы (длину отрезков).

Углы между силой и ее проекциями на координатные оси

Вам будет интересно:Круглый прямой цилиндр, развертка и формула для ее площади

Вычисление этих углов не является сложной задачей. Все, что требуется для ее решения, — это знание свойств тригонометрических функций и умение применять теорему Пифагора.

Например, определим угол между направлением силы и ее проекцией на ось x. Соответствующий прямоугольный треугольник будет образован гипотенузой (вектор F¯) и катетом (отрезок x1). Второй катет — это дистанция от конца вектора F¯ до оси x. Угол α между F¯ и осью x вычисляется по формуле:

α = arccos(|x1|/|F¯|) = arccos(x1/√(x12+y12+z12)).

Как видим, для определения угла между осью и вектором необходимо и достаточно знать координаты конца направленного отрезка.

Для углов с другими осями (y и z) можно записать аналогичные выражения:

β = arccos(|y1|/|F¯|) = arccos(y1/√(x12+y12+z12));

γ = arccos(|z1|/|F¯|) = arccos(z1/√(x12+y12+z12)).

Заметим, что во всех формулах стоят модули в числители, что исключает появление тупых углов. Между силой и ее осевыми проекциями углы всегда меньше или равны 90o.

Сила и ее проекции на плоскости координат

Определение проекции силы на плоскость не отличается от такового для оси, только в данном случае перпендикуляр следует опускать не на ось, а на плоскость.

В случае пространственной прямоугольной системы координат мы имеем три взаимно перпендикулярные плоскости xy (горизонтальная), yz (фронтальная вертикальная), xz (боковая вертикальная). Точки пересечения опущенных из конца вектора перпендикуляров к названным плоскостям равны:

(x1; y1; 0) для xy;

(x1; 0 ; z1) для xz;

(0 ; y1; z1) для zy.

Если каждую из отмеченных точек соединить с началом координат, то мы получим проекцию силы F¯ на соответствующую плоскость. Чему равен модуль силы, мы знаем. Чтобы найти модуль каждой проекции, необходимо применить теорему Пифагора. Обозначим проекции на плоскости как Fxy, Fxz и Fzy. Тогда для их модулей будут справедливы равенства:

Fxy = √(x12+y12);

Fxz = √(x12+ z12);

Fzy = √(y12+ z12).

Углы между проекциями на плоскость и вектором силы

В пункте выше были приведены формулы для модулей проекций на плоскость рассматриваемого вектора F¯. Эти проекции вместе с отрезком F¯ и расстоянием от его конца до плоскости образуют прямоугольные треугольники. Поэтому, как и в случае с проекциями на ось, можно воспользоваться определением тригонометрических функций, чтобы вычислить рассматриваемые углы. Можно записать следующие равенства:

α = arccos(Fxy /|F¯|) = arccos(√(x12+y12) /√(x12+y12+z12));

β = arccos(Fxz/|F¯|) = arccos(√(x12+z12)/√(x12+y12+z12));

γ = arccos(Fzy/|F¯|) = arccos(√(y12+z12)/√(x12+y12+z12)).

Важно понимать, что угол между направлением силы F¯ и соответствующей ее проекцией на плоскость равен углу между F¯ и этой плоскостью. Если рассматривать эту задачу с точки зрения геометрии, то можно сказать, что направленный отрезок F¯ является наклонной по отношению к плоскостям xy, xz и zy.

Где используются проекции сил?

Приведенные формулы для проекций силы на оси координат и на плоскости представляют не только теоретический интерес. Они часто используются при решении физических задач. Сам процесс нахождения проекций называется разложением силы на ее составляющие. Последние представляют собой вектора, сумма которых должна дать исходный вектор силы. В общем случае можно разложить силу на произвольные составляющие, однако, для решения задач удобно пользоваться именно проекциями на перпендикулярные оси и плоскости.

Задачи, где применяются понятие проекций сил, могут быть самыми разными. Например, тот же второй закон Ньютона предполагает, что внешняя сила F¯, действующая на тело, должна быть направлена так же, как вектор скорости v¯. Если их направления различаются на некоторый угол тогда, чтобы равенство оставалось справедливым, подставлять в него следует уже не саму силу F¯, а ее проекцию на направление v¯.

Далее приведем пару примеров, где покажем, как пользоваться записанными формулами.

Задача на определение проекций силы на плоскости и на оси координат

Предположим, что имеется некоторая сила F¯, которая представлена вектором, имеющим следующие координаты конца и начала:

(2; 0; 1);

(-1; 4; -1).

Необходимо определить модуль силы, а также все ее проекции на координатные оси и плоскости и углы между F¯ и каждой ее проекцией.

Начнем решать задачу с вычисления координат вектора F¯. Имеем:

F¯ = (-1; 4; -1) — (2; 0; 1) = (-3; 4; -2).

Тогда модуль силы будет равен:

|F¯| = √(9 + 16 + 4) = √29 ≈ 5,385 Н.

Проекции на оси координат равны соответствующим координатам вектора F¯. Рассчитаем углы между ними и направлением F¯. Имеем:

α = arccos(|-3 |/5,385) ≈ 56,14o;

β = arccos(|4|/5,385) ≈ 42,03o;

γ = arccos(|-2|/5,385) ≈ 68,20o.

Поскольку координаты вектора F¯ известны, можно рассчитать модули проекций силы на плоскости координат. Пользуясь приведенными выше формулами, получаем:

Fxy = √(9 +16 ) = 5 Н;

Fxz = √(9 + 4 ) = 3,606 Н;

Fzy = √(16 + 4 ) = 4,472 Н.

Наконец, остается вычислить углы между найденными проекциями на плоскость и вектором силы. Имеем:

α = arccos(Fxy /|F¯|) = arccos(5/5,385) ≈ 21,8o;

β = arccos(Fxz/|F¯|) = arccos(3,606/5,385) ≈ 48,0o;

γ = arccos(Fzy/|F¯|) = arccos(4,472/5,385) ≈ 33,9o.

Таким образом, вектор F¯ ближе всего наклонен к координатной плоскости xy.

Задача со скользящим бруском по наклонной плоскости

Теперь решим физическую задачу, где необходимо будет применить концепцию проекции силы. Пусть дана деревянная наклонная плоскость. Угол ее наклона к горизонту равен 45o. На плоскости находится деревянный брусок, имеющий массу 3 кг. Необходимо определить, с каким ускорением будет перемещаться этот брусок по плоскости вниз, если известно, что коэффициент трения скольжения равен 0,7.

Для начала составим уравнение движения тела. Поскольку на него будут действовать всего две силы (проекция силы тяжести на плоскость и сила трения), то уравнение примет вид:

Fg — Ff = m*a =>

a = (Fg — Ff)/m.

Здесь Fg, Ff — проекция силы тяжести и сила трения, соответственно. То есть задача сводится к вычислению их значений.

Поскольку угол, под которым плоскость наклонена к горизонту, равен 45o, то несложно показать, что проекция силы тяжести Fg вдоль поверхности плоскости будет равна:

Fg = m*g*sin(45o) = 3*9,81/√2 ≈ 20,81 Н.

Эта проекция силы стремится вывести из состояния покоя деревянный брусок и придать ему ускорение.

Согласно определению, сила трения скольжения равна:

Ff = μ*N

Где μ = 0,7 (см. условие задачи). Сила реакции опоры N равна проекции силы тяжести на ось, перпендикулярную наклонной плоскости, то есть:

N = m*g*cos(45o)

Тогда сила трения равна:

Ff = μ*m*g*cos(45o) = 0,7*3*9,81/√2 ≈ 14,57 Н.

Подставляем найденные силы в уравнение движения, получаем:

a = (Fg — Ff)/m = (20,81 — 14,57)/3 = 2,08 м/с2.

Таким образом, брусок будет спускаться по наклонной плоскости, увеличивая за каждую секунду свою скорость на 2,08 м/с.

Второй закон Ньютона в импульсной форме позволяет определить, как меняется скорость тела по модулю и направлению, если в течение некоторого времени на него действует определенная сила:

Работа силы

В механике также важно уметь вычислять изменение скорости по модулю, если при перемещении тела на некоторый отрезок на него действует некоторая сила. Воздействия на тела сил, приводящих к изменению модуля их скорости, характеризуется величиной, зависящей как от сил, так и от перемещений. Эту величину в механике называют работой силы.

Работа силы обозначается буквой А. Это скалярная физическая величина. Единица измерения — Джоуль (Дж).

Работа силы равна произведению модуля силы, модуля перемещения и косинусу угла между ними:

Важно!

Механическая работа совершается, если:

1. На тело действует сила.
2. Под действием этой силы тело перемещается.
3. Угол между вектором силы и вектором перемещения не равен 90 градусам (потому что косинус прямого угла равен нулю).

Внимание! Если к телу приложена сила, но под ее действием тело не начинает движение, механическая работа равна нулю.

Пример №1. Груз массой 1 кг под действием силы 30 Н, направленной вертикально вверх, поднимается на высоту 2 м. Определить работу, совершенной этой силой.

Так как перемещение и вектор силы имеют одно направление, косинус угла между ними равен единице. Отсюда:

Работа различных сил

Любая сила, под действием которой перемещается тело, совершает работу. Рассмотрим работу основных сил в таблице.

Работа силы упругости

Работа силы упругости не может быть определена стандартной формулой, так как она может применяться только для постоянной по модулю силы. Сила же упругости меняется по мере сжатия или растяжения пружины. Поэтому берется среднее значение, равное половине суммы сил упругости в начале и в конце сжатия (растяжения):

Нужно также учесть, что перемещение тела под действием силы упругости равно разности удлинения пружины в начале и конце:

s = x₁ – x₂

Перемещение и направление силы упругости всегда сонаправлены, поэтому угол между ними нулевой. А косинус нулевого угла равен 1. Отсюда работа силы упругости равна:

Работы силы трения покоя

Работы силы трения покоя всегда равна 0, так как под действием этой силы тело не сдвигается с места. Исключение составляет случай, когда покоящееся тело лежит на подвижном предмете, на который действует некоторая сила. Относительно системы координат, связанной с подвижным предметом, работа силы трения покоя будет нулевой. Но относительно системы отсчета, связанной с Землей, эта сила будет совершать работу, так как тело будет двигаться, оставаясь на поверхности движущегося предмета.

Пример №2. Груз массой 100 кг волоком перетащили на 10 м по плоскости, поверхность которой имеет коэффициент трения 0,4. Найти работу, совершенной силой трения скольжения.

A = μmgs cosα = 0,4∙100∙10∙10∙(–1) = –4000 (Дж) = –4 (кДж)

Знак работы силы

Знак работы силы определяется только косинусом угла между вектором силы и вектором перемещения:

1. Если α = 0^о, то cosα = 1.
2. Если 0^о < α < 90^o, то cosα > 0.
3. Если α = 90^о, то cosα = 0.
4. Если 90^о < α < 180^o, то cosα < 0.
5. Если α = 180^о, то cosα = –1.

Работа силы трения скольжения всегда отрицательна, так как сила трения скольжения направлена противоположно перемещению тела (угол равен 180^о). Но в геоцентрической системе отсчета работа силы трения покоя будет отличной от нуля и выше нуля, если оно будет покоиться на движущемся предмете (см. рис. выше). В таком случае сила трения покоя будет направлена с перемещением относительно Земли в одну сторону (угол равен 0^о). Это объясняется тем, что тело по инерции будет пытаться сохранить покой относительно Земли. Это значит, что направление возможного движения противоположно движению предмета, на котором лежит это тело. А сила трения покоя направлена противоположно направлению возможного движения.

Геометрический смысл работы

Графическое определение

Механическая работа численно равна площади фигуры, ограниченной графиком с осями OF и OX.

A = S_фиг

Мощность

Определение

Мощность — физическая величина, показывающая, какую работу совершает тело в единицу времени. Мощность обозначается буквой N. Единица измерения: Ватт (Вт). Численно мощность равна отношению работы A, совершенной телом за время t:

Рассмотрим частные случаи определения мощности в таблице.

Пример №3. Машина равномерно поднимает груз массой 10 кг на высоту 20 м за 40 с. Чему равна ее мощность?

Коэффициент полезного действия

Не вся работа, совершаемая телами, может быть полезной. В реальном мире на тела действует несколько сил, препятствующих совершению работы другой силой. К примеру, чтобы переместить груз на некоторое расстояние, нужно совершить работу гораздо большую, чем можно получить при расчете по формулам выше.

Определения:

• Работа затраченная — полная работа силы, совершенной над телом (или телом).
• Работа полезная — часть полной работы силы, которая вызывает непосредственно перемещение тела.
• Коэффициент полезного действия (КПД) — процентное отношение полезной работы к работе затраченной. КПД обозначается буквой «эта» — η. Единицы измерения эта величина не имеет. Она показывает эффективность работы механизма или другой системы, совершающей работу, в процентах.

КПД определяется формулой:

Работа может определяться как произведение мощности на время, в течение которого совершалась работа:

A = Nt

Поэтому формулу для вычисления КПД можно записать в следующем виде:

Частые случаи определения КПД рассмотрим в таблице ниже:

Устройство	Работа полезная и полная	КПД
Неподвижный блок, рычаг	Aполезн = mgh Асоверш.
Наклонная плоскость	Aполезн = mgh Асоверш. = Fl l — совершенный путь (длина наклонной плоскости).

Пример №4. Определите полезную мощность двигателя, если его КПД равен 40%, а его мощность по паспорту равна 100 кВт.

В данном случае необязательно переводить единицы измерения в СИ. Но в таком случае ответ мы тоже получим в кВт. Из этой формулы выразим полезную мощность:

Алиса Никитина | Просмотров: 12k

Содержание:

1. Система сходящихся сил
2. Равнодействующая системы сходящихся сил
3. Разложение силы по заданным направлениям
4. Разложение силы по двум заданным направлениям
5. Разложение силы по трем заданным направлениям
6. Проекция силы на ось и плоскость
7. Аналитический способ определения равнодействующей
8. Условия и уравнения равновесия системы сходящихся сил
9. Геометрическое условие равновесия
10. Аналитические условия равновесия. Уравнения равновесия
11. Методика решения задач на равновесие
12. Примеры решения задач на равновесие под действием системы сходящихся сил
13. Система сходящихся сил и решение задач
14. Условия равновесия системы совпадающих сил
15. Геометрический метод решения задач
16. Аналитический метод решения задач
17. Проекция силы на ось и на плоскость
18. Аналитические условия равновесия системы совпадающих сил
19. Образец выполнения  и решения задач на темы С2
20. Система сходящихся сил на плоскости
21. Геометрическое условие равновесия системы сходящихся сил
22. Геометрический метод решения задач
23. Аналитические условия равновесия системы сходящихся сил
24. Примеры решения задач на тему: Система сходящихся сил

Система сходящихся сил — это такая система сил, действующих на абсолютно твёрдое тело, в которой линии действия всех сил пересекаются в одной точке. Такая система сил является на плоскости статически определимой, если число неизвестных сил в ней не больше двух.

На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.

Система сходящихся сил

Определение:

Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, называется системой сходящихся сил. Системы сходящихся сил могут быть плоскими и пространственными.

Нехай на тверде тіло діє система збіжних сил , лінії дії яких перетинаються в точці О (рис. 2.1, а).

Используя теорему 1.1, § 1.3, перенесем силы вдоль линий их действия в точку В и получим эквивалентную систему сил, приложенных к твердому телу в одной точке (рис. 2.1, б), которую еще называют пучком.

Равнодействующая системы сходящихся сил

Силы, приложенные в одной точке твердого тела, можно добавлять, используя аксиому о параллелограмм сил. Пусть к телу в точке О приложена система n сходящихся сил (рис. 2.2, а).

Найдем равнодействующую сил  и (рис. 2.2, а):

(индекс в обозначении равнодействующей соответствует количеству положительных сил).

К равнодействующей добавим силу . Получим

Составим равнодействующую с последней силой и получим равнодействующую n сил. Итак,  есть система сходящихся сил эквивалентна одной силе — равнодействующей, которая равна векторной сумме этих сил и приложена в точке пересечения линий их действия 

Как видно из рис. 2.2, б, построение параллелограммов сил эквивалентна построении векторного многоугольника сил. Для системы сил, изображенной на рис. 2.2, б, векторный многоугольник сил построим следующим образом: к концу вектора присоединим вектор, геометрически ровный , а с его конца отложим вектор и так далее. Вектор, проведенный из точки приложения первой силы до конца вектора , является равнодействующей силой . Полученный таким образом многоугольник называется силовым или многоугольником сил. 

Замыкающая сторона силового многоугольника, которая направлена против его обхода, определяет равнодействующую как по величине, так и по направлению (Рис. 2.2, б). Определение равнодействующей системы сходящихся сил по правилу параллелограмма или силового многоугольника называется геометрическим способом определения равнодействующей.

В случае плоской системы сходящихся сил силовой многоугольник используется для графического определения равнодействующей. Изображая силы в определенном масштабе, величину равнодействующей силы определим непосредственным измерением ее на чертеже. Геометрический способ определения равнодействующей используется в графостатици.

Разложение силы по заданным направлениям

Разложить данную силу на несколько составляющих — значит найти такую систему нескольких сил, для которых данная сила равнодействующей. Эта задача является
неопределенной и имеет однозначное решение лишь при задании дополнительных условий. Такими дополнительными условиями могут, например, быть: 1) задания двух направлений, вдоль которых должны действовать составляющие силы; 2) задания
модулей обеих составляющих сил; 3) задания модуля одной составляющей силы и
направление второй. Рассмотрим два частных случая.

Разложение силы по двум заданным направлениям

Задача сводится к построению такого параллелограмма, у которого сила, которая разлагается, является диагональю, а стороны параллельны заданным направлениям. Например, на рис. 2.3, а, показано, что сила розкладаеься по направлениям АВ и AD на силы  и — составляющие силы (сила и прямые АВ и АD лежат в одной плоскости).

Разложение силы по трем заданным направлениям

Если заданные направления АВ, АС и АD не лежащих в одной плоскости, то задача является определенной и сводится к построению такого параллелепипеда, в которого диагональ является заданной силой , а ребра параллельны заданным направлениям и определяют составляющие (рис. 2.3, б).

Проекция силы на ось и плоскость

Аналитический способ решения задач статики основывается на понятии о проекции силы на ось. Проекция силы на ось является алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между положительным направлением оси и силой (Рис. 2.4)

Отметим, что:

Проекцией силы на плоскость Oxy называется вектор, который
соединяет проекции начала и конца вектора на эту плоскость (рис. 2.5).

В отличие от проекции силы на ось, проекция силы на плоскость является векторной величиной. Она характеризуется не только своим модулем, но и направлением в плоскости Oxу. Модуль проекции силы на плоскость 

где θ — угол между направлением силы и плоскостью. В некоторых случаях для определения проекции силы на ось выгоднее найти сначала ее проекцию на плоскость,
в которой эта ось лежит, а потом найденную проекцию на плоскость спроектировать на эту ось.

Например, в случае, изображенном на рис. 2.5, таким способом найдем, что: 

При решении многих задач механики удобно задавать силу через ее проекции на оси прямоугольной декартовой системы координат (рис. 2.6):

где , — проекции силы на соответствующие оси координат; — единичные орты осей  По известным проекциями силы на оси координат можно определить модуль силы и углы, которые она образует с координатными осями, по формулам:

Аналитический способ определения равнодействующей

Кроме геометрического существует еще и аналитический способ определения равнодействующей системы сходящихся сил. Если равенство (2.1) спроектируем на оси
декартовой системы координат (рис. 2.2, а), то получим:

где — проекции равнодействующей на оси координат; , — проекции силы на оси координат.

Итак, проекция равнодействующей системы сходящихся сил на эту ось равна алгебраической сумме проекций составляющих сил на эту же ось.

Поскольку формулы (2.7) определяют проекции равнодействующей на три взаимно перпендикулярные оси, то модуль и направление равнодействующей вычисляются по формулам:

Условия и уравнения равновесия системы сходящихся сил

По определению уравновешенной системы сил имеем

а для системы сходящихся сил (см. § 2.2) получили

Сравнивая эквивалентности (а) и (б), получим векторное условие равновесия: для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы ее равнодействующая была равна нулю: 

Векторное равенство (2.9) является необходимым и достаточным условием равновесия
системы сходящихся сил. Условия, которым при этом должны удовлетворять самые силы, можно выразить в геометрической или аналитической форме.

Геометрическое условие равновесия

Как известно, равнодействующая — это замыкающая сторона силового многоугольника (рис. 2.2, б). Условие (2.9) будет выполняться только тогда, когда конец последней силы совместится с началом первой силы при построении силового многоугольника, то есть когда силовой многоугольник будет замкнутым. Необходимым и достаточным условием равновесия системы сходящихся сил есть замкнутость ее силового многоугольника (рис. 2.2, в).

Аналитические условия равновесия. Уравнения равновесия

Аналитические условия равновесия системы сходящихся сил вытекают из условия (2.9), согласно которой модуль равнодействующей равна нулю. Используя формулу (2.8), получаем или, согласно с (2.7),

Это означает, что для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на три взаимно перпендикулярные
оси равны нулю.

Равенства (2.10) называются аналитическими условиями равновесия системы сходящихся сил.

Для случая плоской системы сходящихся сил будем иметь:

Итак, задачи на равновесие системы сходящихся сил можно решать двумя способами — геометрически и аналитически. Первый способ удобен для плоской системы сходящихся сил.

Аналитические условия равновесия (2.10) или (2.11), расписаны для конкретной задачи, в которые входят неизвестные параметры, реакции связей, активные силы, расстояния, углы и т.д., называются уравнениями равновесия.

При решении задач статики реакции связей всегда есть неизвестными величинами. Для их определения используют условия равновесия той или другой системы сил.

Задачи, в которых число неизвестных величин равно числу уравнений равновесия, в которые они входят, называются статически определенными. Системы, для которых это имеет место, называются статически определенными.

Задачи, в которых число неизвестных величин больше, чем число уравнений равновесия, в которые входят эти величины, называются статически неопределенными. Системы, для которых это имеет место, называются статически неопределенными.

Методика решения задач на равновесие

Все задачи на равновесие желательно решать по такой методике.

1. Следуя масштаба, сделать четкий схематический рисунок к задачи.

2. Выбрать объект равновесия. Последним может быть точка, тело или
система тел, к которым приложено заданные и неизвестные силы. Если заданы
силы действуют на одно тело, а неизвестные — на второе, то необходимо рассматривать
равновесие системы тел в целом или последовательно равновесие каждого тела.
3. Изобразить на рисунке все заданные силы, приложенные к объекту равновесия.

4. Условно освободить объект равновесия от наложенных связей, а их действие заменить реакциями связей. Изобразить на рисунке реакции связей.
5. Выяснить, какая система сил действует на объект равновесия и условия равновесия рационально использовать.
6. В соответствии с условиями равновесия составить уравнение равновесия или выполнить соответствующие графические построения.
7. Решить уравнение равновесия, найти неизвестные величины и проанализировать полученные результаты.
Все расчеты в процессе решения задачи рекомендуется выполнять в общем виде, а числовые значения подставлять только в конечные алгебраические выражения.

Примеры решения задач на равновесие под действием системы сходящихся сил

Задача 2.1. Однородная горизонтальная балка, вес которой, содержится в равновесии шарнирно-неподвижной опорой А и шарнирнорухомою опорой В (рис. 2.7). Определить реакции опор.

Решение. Объектом равновесия выберем балку АВ, на которую действует одна заданная сила приложенная посередине длины балки (рис. 2.7, б).

Мысленно освободимся от связей. Линия действия реакции  перпендикулярна к плоскости, на которую опирается шарнирно-подвижная опора В. Известная точка приложения реакции (точка А). Очевидно, что балка находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, которые лежат в одной плоскости. Найдем точку пересечения линий их действия. Для этого продолжим линии действия сил и  до пересечения в точке О. Согласно теореме о трех непараллельных силах, линия действия реакции должна пройти через точку В (по линии АО) (Рис. 2.7, б).

Балка находится в равновесии под действием трех сходящихся сил . Используем геометрическое условие равновесия и построим замкнутый треугольник сил (рис. 2.7, в). Для этого в выбранном масштабе отложим вектор силы  с начала которого проведем прямую, параллельную линии АО, а с конца — прямую, параллельную линии ВО. Точка пересечения этих прямых определит конец вектора и начало вектора . С треугольника сил определим величины неизвестных реакций  и .

Поскольку в , а линия действия силы является медианой и высотой основы АВ, поэтому также . Перенесем найдены углы на силовой треугольник. Решив его, получим 

Задача 2.2. Вертикальный стояк подъемного крана опирается на подпятник A и подшипник В (рис. 2.8, а). В точке С действует вертикальная нагрузка Р = 20 кН. Высота стояка АВ равна 2 м, вылет стрелы крана — 4 м. Найти опорные реакции при условии, что кран находится в
равновесии.

Решение. Рассмотрим равновесие крана. На него действует заданная сила приложена в точке С. Применим принцип освобождения от связей и найдем направление реакций связей. Линия действия реакции в подшипнике — горизонтальная; линия действия реакции подпятника — неизвестно. поскольку три силы , взаимно уравновешенные (кран находится в равновесии), лежат в одной плоскости и непараллельные, то они должны пересекаться в одной точке согласно теореме о трех силы. Найдем точку пересечения D линий действия сил  и и соединим с ней точку А (рис. 2.8, б). прямая AD будет линией действия реакции . Данную задачу также решим, используя геометрическую условие равновесия сходящейся системы сил. построим
замкнутый силовой треугольник (рис. 2.8, в). Видим, что треугольник сил подобен треугольника АВD (рис. 2.8, б). С подобия треугольников записываем отношение соответствующих сторон:

откуда определяем величины реакции связей  и 

Задачи 2.1, 2.2 могут быть решены аналитическим способом, с использованием условий равновесия произвольной плоской системы сил (см. раздел 6).

Задача 2.3. Груз Р весом 2 кН содержится в равновесии лебедкой D с помощью каната, перекинутого через блок B (рис 2.9, а). пренебрегая трением на блоке, определить усилия в стержнях AB и CВ, считая, что крепления в точках A, B и С — шарнирные. Углы показано на рис. 2.9, а. Размерами блока и весом стержней пренебречь.

Решение. Объект равновесия выбираем блок B, который рассматриваем как точку. К нему приложена заданная сила тяжести груза . Мысленно освободимся от связей и заменим действие их на блок В реакциями связей. Поскольку стержни АВ и ВС погружены в точке В, а их соединения — шарнирные, то они могут быть только или растянутыми или сжатыми,
то есть реакции стержней будут направлены вдоль их осей.

Стержень АВ является растянутый, поэтому его реакция будет направлена от точки В к
точки А, стрижень ВС — сжат, и его реакция направлена от точки С к точке В. Натяжение каната ВD будет направлен по линии каната, и, поскольку трением между блоком и канатом
пренебрегаем, то.

На блок В действует система сходящихся сил, расположенных в плоскости рисунка. Для решения задачи используем аналитические условия равновесия. Для этого выберем систему координат с началом в точке В (рис. 2.9, б) и запишем два уравнения равновесия (2.11):

Решим эти уравнения и определим неизвестные величины:

Анализируя полученные результаты, мы видим, что усилия и полученные со знаком «+». Это означает, что действительно стержень AB работает на растяжение, а стержень ВС — на сжатие.

Задача 2.4. Найти усилия, возникающие в стержнях АВ, АС и AD (рис. 2.10) под действием
силы и силы тяжести груза  подвешенного в точке А. Плоскость прямоугольника АВОС — горизонтальная, крепления стержней в точках A, B, C, D — шарнирные, сила  и груз Р находятся в вертикальной плоскости OAD. углы показаны на рисунке.

Решение. Объект равновесия выберем узел А. На него действуют заданные силы и   Мысленно освободим узел А от связей. Реакции идеальных жестких стержней   и  направлены по осям стержней.

На узел А действует пространственная система сходящихся сил. Выберем систему координат с началом в точке О и запишем уравнение равновесия (2.10):

Решим полученную систему уравнений и определим неизвестные величины усилий в стержнях:

Полученные результаты свидетельствуют о том, что стержни АВ и АС работают на растяжение, а стержень АD — на сжатие.

Система сходящихся сил и решение задач

Система сходящихся сил — это такая система сил, действующих на абсолютно твёрдое тело, в которой линии действия всех сил пересекаются в одной точке. Такая система сил является на плоскости статически определимой, если число неизвестных сил в ней не больше двух.

Условия равновесия системы совпадающих сил

Совпадающими называются силы, линии действия которых
пересекаются в одной точке.

Если все силы по линиям их действия перенести в эту точку, то получим эквивалентную систему сил, которая приложена к одной точке. Равнодействующая  системы прилагаемых к одной точки сил, приложенная к той же точке и изображается замыкающим вектором силового многоугольника, который построен на прибавляемых силах. Равнодействующая  равняется векторной сумме прибавляемых сил:

Поскольку система смежных сил может быть заменена одной силой (равнодействующей), то необходимым и достаточным условием равновесия тела под действием системы совпадающих сил является равенство нуля этого равнодействующего:

Геометрически это уравнение означает, что в построенном многоугольнике конец последнего вектора совпадает с началом первого, то есть многоугольник представляет
собой замкнутую фигуру.

В случае, когда на тело действуют три уравновешенные совпадающие силы, силовой (векторный) многоугольник сводится к силовому треугольнику. Решение задачи на равновесие в этом случае сводится к нахождению сторон треугольника с помощью тригонометрических формул.
 

Теорема о трех непараллельных силах. Если тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, то линии действия этих сил обязательно пересекаются в одной точке и лежат в одной плоскости, то есть силы образуют плоскую систему совпадающих сил.

Теорема о трех силах облегчает решение задачи на равновесие твердого тела в том случае, когда направление одной из сил неизвестно. Найдя точку пересечения линий действий двух сил, направления которых известны, можно определить направление линии действия третьей силы, поскольку она должна проходить через точку приложения этой силы и точку пересечения линий действий первых двух сил.
 

Геометрический метод решения задач

Непосредственное использование сил многоугольника для решение задач статики сводится к геометрическому построению в масштабе векторного многоугольника с
дальнейшим определением неизвестных элементов с помощью тригонометрических формул. При решении задач на равновесие твердого тела геометрическим методом рекомендуется соблюдать следующий порядок:

1. Выделить объект равновесия;

2. Показать на чертежах точки примера и направления активных сил, действующих на объект равновесия;

3. Выяснить характер связей и возможные направления их реакций;

4. Построить замкнутый силовой многоугольник (построение надо начинать с силы, которая известна как по модулю, так и по направлению);

5. Из силового многоугольника найти неизвестные величины.
 

Аналитический метод решения задач

Аналитический метод решения задачи рекомендуется использовать в тех случаях, когда требуется определить скорости точек для большого числа положений плоской фигуры.

Проекция силы на ось и на плоскость

Общим способом определения модуля и направления равнодействующей является аналитический, который тоже следует из условия (C2.1) и базируется на аналитическом методе обозначения силы.
Аналитический метод обозначения силы заключается в том, что, выбрав некоторую прямоугольную систему координат (рис.C2.1), силу раскладывают по правилу параллелепипеда на три составляющие,

Алгебраические значения длин направленных отрезков и называются
проекциями силы на оси  и  и обозначаются  и 

Если и  — единичные векторы,  которые направленны по  осями  и  соответственно, а  и  —  проекции силы на эти оси, то

Модуль и направление силы по известным проекциям на
три взаимно перпендикулярные оси  и  можно получить из формул:

При определении проекции силы на ось возможны 4 случаи (рис.C2.2).

1. Вектор силы образует острый угол  с положительным направлением координатной оси (черта С2.2, а). В этом случае проекция силы на ось  положительная и по модулю  равна:

2. Вектор силы образует с положительным направлением оси тупой угол (рис.С2.2, б). В этом случае проекция силы на ось отрицательная и по модулю равна:

3. Вектор силы образует прямой угол с осью  (рис.С2.2, в.). В этом случае проекция силы на ось равняется нулю:

4. Сила параллельна к координатной оси. В этом случая сила проецируется на ось в натуральную величину со знаком плюс, когда ее направление совпадает с положительным направлением оси (рис.С2.2, г), и со знаком минус в противоположном случае (рис.С2.2, д):

В некоторых случаях для нахождения проекции силы на ось удобнее сначала найти ее проекцию на плоскость, в которой лежит эта ось, а уже затем спроектировать найденную проекцию на нужную ось.

Например, в случае, что изображен на рис. 2.3, сначала лучше спроектировать
силу  на плоскость  и получить проекцию  а уже затем найти проекции силы на оси  и  и  Тогда:

Аналитические условия равновесия системы совпадающих сил

Пусть силы образуют систему совпадающих сил, тогда равнодействующая  равна их геометрической сумме и тогда по теореме о проекции равнодействующей на оси системы координат:

Если тело под действием заданной системы сил находится в равновесии, то  итак  или с учетом (С2.7) получаем следующие условия равновесия тела под действием системы совпадающих сил:

Таким образом, для равновесия пространственной системы совпадающих сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций этих сил на каждую из трех
координатных осей равнялась нулю.

При решении задачи аналитическим способом до трех первых пунктов, приведенных в разделе С2.2, надо добавить следующие:

4. Выбрать декартовую систему координат 

5. Составить уравнение равновесия твердого тела в проекциях на оси координат;

6. Решить полученную систему уравнений равновесия и найти неизвестные величины.

Образец выполнения  и решения задач на темы С2

Задача 1

Задано:

Определить: натяжение  нити ВС; реакцию  стержня АВ.
 

Решение.

Центр шарнира точка В находится в равновесии под действием сил натяжения нитей
 , и реакции невесомого стержня  Причем  по модулю равняется 
(п. С1.4, задача 1).

Таким образом, точка В находится в равновесии под действием трех сил, лежащих в одной плоскости и линии действия которых пересекаются в одной точке.

Величину и направление реакции  и величину натяжения нити  определим геометрически, воспользовавшись условием равновесия системы смежных сил в векторной форме:

Для решения уравнения (1) построим силовой (векторный) треугольник (рис.2).

Для этого из произвольной точки Р (полюса) отложим вектор  величина которого
нам известна. Поскольку векторный треугольник должен быть замкнутым, то с начала этого вектора проведем направление а с конца — направление  до взаимного пересечения (точка С).

Векторы  и  направим таким образом, чтобы векторный треугольник был замкнутым.

Определив углы  треугольника, можно записать теорему синусов:

Отсюда получим:

Ответ:  

Задача 2

Задано: 

 
Определить: натяжение нити  и реакции   и стержней AD и BD.
 

Решение. Шарнир D находится в равновесии под действием силы тяжести   натяжения нити  реакций  и  невесомых стержней АD и BD (п.С1.4, задача 2).

Реакции  и  направим вдоль стержней от D, примем, что стержни растянуты.

Все силы приложены к одной точке D и для определение неизвестных реакций можно воспользоваться аналитическими условиями равновесия системы совпадающих сил.

С точкой О свяжем пространственную систему координат, направив ось  перпендикулярно плоскости АВС, а оси  и  расположим в этой плоскости.

Спроектировав все силы на оси выбранной системы координат, достанем:

Из уравнения (1) находим: 
Выразим из уравнения (2) натяжение нити и  подставим в уравнение (3):

Откуда:

Если при решении задачи какая-то из реакций приобретает отрицательное значение, то это означает, что направление этой реакции надо изменить на противоположное. Тогда, действительное направление реакций и  невесомых стержней DA и DB противоположно изображенным на рисунке, а сами стержни будут не растянутыми, как указывалось в начале, а сжатыми.
Ответ: 

Система сходящихся сил на плоскости

Система сходящихся сил на плоскости — это такая система сил, действующих на абсолютно твёрдое тело, в которой линии действия всех сил пересекаются в одной точке. Такая система сил является на плоскости статически определимой, если число неизвестных сил в ней не больше двух.

Геометрическое условие равновесия системы сходящихся сил

Сходящимися называются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке (рис.2.1, а).

Если перенести все силы вдоль линии их действия в эту точку, получим эквивалентную систему сил, приложенных к одной точке.

Равнодействующая данной системы сил, которые проходят через точку , приложена к этой же точке и изображается замыкающей стороной силового многоугольника, который построен (рис.2.1, б)

на прилагаемых силах, то есть равнодействующая равна векторной сумме прилагаемых сил:

Поскольку система сходящихся сил может быть заменена одной силой — равнодействующей, то необходимым и достаточным условием равновесия тела под действием системы сходящих сил является равенство нулю этой равнодействующей:

Геометрически это условие состоит в том, чтобы конец последнего вектора совпадал с началом первого в векторном (силовом) многоугольнике, построенном из сил системы, то есть силы должны образовывать замкнутый многоугольник.

Если тело находится в равновесии под действием трех сходящихся сил, то силовой многоугольник сводится к силовому треугольнику. Решения же задачи о равновесии в этом случае требует нахождения неизвестных элементов треугольника с помощью тригонометрических формул или измерений.

При решении задач на равновесие тела под действием трех сил часто приходится пользоваться теоремой о трех силах:

Если тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия этих сил обязательно пересекаются в одной точке, то есть силы образуют сходящуюся систему сил.

Теорема о трех непараллельных силах облегчает решение задач на равновесие твердого тела в тех случаях, когда направление одной из трех сил неизвестное. Определив точку пересечения линий действия двух сил, направление которых известно, можно указать направление линии действия третьей силы, поскольку она должна пройти через точку приложения этой силы и точку пересечения линий действия первых двух сил.

Геометрический метод решения задач

Непосредственное использование многоугольника сил при решение задач статики приводит к геометрическим построениям с последующим определением неизвестных элементов с помощью, например, формул тригонометрии.

При решении задач на равновесие твердого тела геометрическим методом рекомендуется придерживаться следующего порядка:

1. Выделить объект, который будет рассматриваться в равновесии.
2. Установить и показать на схеме активные силы, действующие на тело.
3. Выяснить характер связей и установить направления их реакций.
4. Построить замкнутый силовой многоугольник (построение надо начинать с сил, известных по модулю и по направлению).
5. Из силового многоугольника определить неизвестные силы.

Аналитические условия равновесия системы сходящихся сил

Наиболее общим способом определения модуля и направления равнодействующей является аналитический, который базируется на аналитическом определении силы.

Если выбрать некоторую прямоугольную систему координатных осей (рис.2.2.), то силу по правилу параллелограмма (в данном случае — прямоугольника) можно разложить на две составляющие и .

Алгебраические значения длин направленных отрезков и называются проекциями силы на оси  и  и обозначаются и .

Если и единичные векторы, что направлены по осям  и , а 

Модуль и направление силы по известным проекциям на взаимно перпендикулярные оси ,  находят из следующих формул:

При определении проекции силы на ось возможны следующие случаи (рис.2.3):

Рис. 2.3

1. Сила образует острый угол  с положительным направлением оси (рис.2.3, а). В этом случае проекция силы на ось имеет положительный знак и по модулю равна

2. Сила образует с положительным направлением оси тупой угол (рис.2.3, б). В этом случае ее проекция на координатную ось имеет отрицательный знак и равна

3. Сила образует прямой угол с координатной осью (рис.2.3, в). В этом случае проекция силы на ось равна нулю: 

4. Сила параллельна координатной оси (рис.2.3, г, д). В этом случае сила проецируется в натуральную величину и проекция положительна, если ее направление совпадает с положительным направлением оси (рис.2.3, г), и отрицательная, если направление силы совпадает с отрицательным направлением оси (рис.2.3, д).

Если силы представляют собой систему сходящихся сил, то равнодействующая равна их геометрической сумме, а ее проекции на оси:

Поскольку модуль равнодействующей определяется по формуле

то тело под действием системы сходящихся сил будет находиться в равновесии, когда , а это возможно, когда и . В результате получим следующие аналитические условия равновесия тела под действием системы сходящихся сил:

Таким образом, для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех этих сил на каждую из координатных осей равнялись нулю.

При решении задач аналитическим способом нужно выполнить три первых пункта, указанные в параграфе 2.2, а затем следующие:

4. Выбрать декартову систему координат .

5. Составить уравнения равновесия твердого тела в проекциях на эти оси координат.

6. Решить систему составленных уравнений и определить неизвестные величины.

Примеры решения задач на тему: Система сходящихся сил

Задача № 1

Идеальный стержень удерживается в равновесии нерастяжимой нитью . К шарниру стержня на нити подвешено тело весом (рис.2.4).

Определить натяжение нити и реакцию стержня , если

Решение. Рассмотрим равновесие узла (рис.2.4). К узлу приложена сила , которая перенесена вдоль линии действия от центра масс тела к точке , натяжение нити и реакция стержня . Таким образом, узел  находится в равновесии под действием трех сил , и , которые лежат в одной плоскости и имеют одну и ту же точку пересечения.

Величину и направление усилия и величину натяжения нити определим геометрическим методом, воспользовавшись геометрическим условием равновесия плоской системы сходящихся сил. Запишем геометрическое условие равновесия системы действующих сил на точку :

Согласно записанному векторному уравнению построим силовой треугольник.

Для этого с произвольной точки (рис. 2.5) отложим в некотором масштабе вектор . С точки начала вектора проведем прямую, параллельную линии действия реакции , а с точки конца вектора  — прямую, параллельную линии действия реакции . Проведенные прямые пересекутся в точке , образовав треугольник . Укажем направление сил, руководствуясь тем, что при добавлении векторов начало каждого следующего вектора должно исходить из конца предыдущего.

Найти неизвестные величины можно или померив соответствующие стороны силового треугольника, или, по известным углам треугольника из теоремы синусов:

Откуда: 

Ответ: 

Задача № 2

Нить с двумя телами на концах и перекинута через блоки  и  (рис.2.6). В точке к нити, находящейся между блоками, прикрепил груз При равновесии системы нить  образовала с горизонталью угол , а нить .

Определить вес тел и . Силами трения в блоках пренебречь.

Решение. Сначала выясним, равновесие какого объекта надо рассмотреть при решении задачи. По условию задачи нужно определить вес тела и вес тела , которые приложены к центрам масс тел и направлены вертикально вниз. Каждое тело натягивает нить с силой, равной его весу. Блок меняет направление нити, а соответственно, и направление силы натяжения нити. Силы и  по модулю, равны и , но направлены вдоль и .

Поскольку прямые и пересекаются в точке , к которой можно приложить и заданную силу , то при решении задачи надо рассматривать равновесие точки .

Таким образом, на объект равновесия, точку (рис.2.6), действуют силы натяжения ветки нити ; натяжения ветки нити ; весы тела . (Вес тел и учитывать не надо, поскольку они приложены не к объекту равновесия точки ).

Составим уравнение равновесия. Для этого, выберем систему координат с началом в точке , спроецируем силы на оси и составим уравнение равновесия.

Для проекций на ось  достанем:

Знак проекции — плюс, поскольку она направлена по положительному направлению оси . Знак проекции — минус, поскольку она направлена по отрицательному направлению оси . Проекция силы на ось равна нулю.

Сумма проекций всех сил на ось равна:

Проекции сил и  имеют знак плюс, поскольку направлены по положительному направлению оси . Проекция силы  имеет знак минус, поскольку направлена по отрицательному направлению оси.

С учетом численных значений тригонометрических функций и величины , уравнения примут вид:

Найдя из первого уравнения:

и подставив во второе, получим:

Ответ: 

Задача № 3

Однородный стержень (рис.2.7), что прикреплено к вертикальной стенке с помощью шарнира , удерживается под углом к вертикали с помощью троса , который образует угол со стержнем.

Определить величину и направление реакции петли, если вес стержня 

Решение. Задачу решим геометрическим и аналитическим способами, используя теорему о равновесии тела под действием 3-х сил.

Рассмотрим равновесие стержня . На стержень действует активная сила — сила тяжести и реакции связей: натяжение троса ; реакция цилиндрического шарнира .

Направление натяжения троса известное — реакция направлена вдоль троса к точке . Направление реакции шарнира предварительно указать нельзя. Для определения направления реакции воспользуемся теоремой о трех силах, так как стержень находится в равновесии под действием трех сил , и .

Найдем точку пересечения линий действия силы тяжести и натяжение троса  — это точка . Согласно теореме о трех силах, линия действия реакции тоже должна пройти через эту точку.

На рис.2.7 равнобедренный (углы при вершинах и равны ). Поскольку линия действия () силы тяжести проходит через середину стержня и представляет собой среднюю линию , то точка делит сторону пополам.

Соответственно, отрезок является одновременно высотой, медианой и биссектрисой треугольника .

Таким образом

После определения направления реакции , можно переходить к вычислению величин реакций.

Запишем геометрическое условие равновесия системы сил, действующих на стержень :

Согласно записанному векторному уравнению построим замкнутый силовой треугольник (рис.2.8). 

Для этого из произвольной точки в некотором масштабе проводим вектор силы тяжести  . Через точку  проводим прямую, параллельную линии действия реакции , а через точку конца вектора проводим прямую, параллельную линии действия натяжения .

Проведенные прямые пересекаются в точке , образовав силовой треугольник . Поскольку (рис. 2.7) и . ( рис. 2.8) подобные, то

Из силового треугольника находим:

Решим задачу аналитическим способом. Для этого выберем прямоугольную систему координат (рис.2.7) и составим уравнение равновесия в проекциях на оси:

Из первого уравнения выразим и подставим во второе уравнение:

Отсюда получим:

Ответ: 

Балка (рис.2.9) закреплена шарнирно-неподвижной опорой в точке и шарнирно-подвижной в точке . К середине балки под углом приложена сила

Определить реакции опор  и  для двух случаев наклона подвижной опоры (рис.2.9, а и 2.9, б). Весом балки пренебречь.

Решение. Рассмотрим равновесие балки , изображенной на рис.2.9,а. На балку действует активная сила и реакции опор  и  (рис. 2.10). Опора шарнирно-подвижная, ее реакция направлена перпендикулярно опорной поверхности. Поскольку, в данном случае опорная поверхность параллельна оси балки, то реакция перпендикулярна . Опора шарнирно-неподвижная и направление ее реакции предварительно указать нельзя.

Для определения направления реакции (угла  ) воспользуемся теоремой о трех силах. Линии действия силы и реакции пересекаются в точке . Таким образом, линия действия тоже должна пройти через точку .

С рис.2.10 видно, что — равнобедренный и прямоугольный, то есть . Откуда:

Теперь перейдем к определению величин реакций опор.

Составим уравнение равновесия сил в проекциях на оси выбранной системы координат :

С учетом числовых значений:

В результате получим:

Ответ: 

Перейдем к определению реакций опор балки , что изображена на рис.2.9,б.

В этом случае, реакция составляет с осью балки угол . Линия действия реакции (рис.2.11) проходит через точку , в которой пересекаются линии действия силы и реакции .

Определим угол между реакцией и осью балки :

Составим уравнение равновесия для системы сил, действующей на балку:

С учетом числовых данных:

Добавив уравнение получим:

Подставив значение в первое уравнение, найдем :

Ответ: 

Услуги по теоретической механике:

1. Заказать теоретическую механику
2. Помощь по теоретической механике
3. Заказать контрольную работу по теоретической механике

Учебные лекции:

1. Статика
2. Момент силы
3. Пара сил
4. Произвольная система сил
5. Плоская произвольная система сил
6. Трение
7. Расчет ферм
8. Расчет усилий в стержнях фермы
9. Пространственная система сил
10. Произвольная пространственная система сил
11. Плоская система сходящихся сил
12. Пространственная система сходящихся сил
13. Равновесие тела под действием пространственной системы сил
14. Естественный способ задания движения точки
15. Центр параллельных сил
16. Параллельные силы
17. Система произвольно расположенных сил
18. Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки
19. Кинематика
20. Кинематика твердого тела
21. Движения твердого тела
22. Динамика материальной точки
23. Динамика механической системы
24. Динамика плоского движения твердого тела
25. Динамика относительного движения материальной точки
26. Динамика твердого тела
27. Кинематика простейших движений твердого тела
28. Общее уравнение динамики
29. Работа и мощность силы
30. Обратная задача динамики
31. Поступательное и вращательное движение твердого тела
32. Плоскопараллельное (плоское) движение твёрдого тела
33. Сферическое движение твёрдого тела
34. Движение свободного твердого тела
35. Сложное движение твердого тела
36. Сложное движение точки
37. Плоское движение тела
38. Статика твердого тела
39. Равновесие составной конструкции
40. Равновесие с учетом сил трения
41. Центр масс
42. Колебания материальной точки
43. Относительное движение материальной точки
44. Статические инварианты
45. Дифференциальные уравнения движения точки под действием центральной силы и их анализ
46. Динамика системы материальных точек
47. Общие теоремы динамики
48. Теорема об изменении кинетической энергии
49. Теорема о конечном перемещении плоской фигуры
50. Потенциальное силовое поле
51. Метод кинетостатики
52. Вращения твердого тела вокруг неподвижной точки