Как найти угол астрономия

Почему так трудно определить размеры небесных объектов и расстояния до них? Все дело в том, что размеры удаленных объектов мы можем определить только по сравнению размерами известных объектов, а на небе нам не с чем сравнивать. Мы видим на небе множество светящихся точек, но яркость точки может определяться как ее размером, абсолютной светимостью, так и расстоянием до нее.

Поэтому в астрономии практически невозможно определить оптическими методами линейный размер удаленного объекта, можно определить только его угловой размер.

Древние греки изобрели тригонометрию, которая позволяет определить количественные соотношения между углами, линейными размерами и линейными расстояниями. С помощью простых математических соотношений, включающих базовую тригонометрию, мы можем вычислить расстояния до удаленных объектов, размеры которых известны (или размеры, если расстояния известны).

Уравнение малых углов

Если углы малые, то синус угла примерно равен тангенсу, который, в свою очередь примерно равен самому углу в радианной мере. 

Уравнение малых углов включает в себя угловой размер объекта, его линейный размер и расстояние. Если известны какие-либо две из этих величин, можно вычислить третью. Обратимся к угловому размеру с символом a, выраженному в секундах дуги. Обозначим диаметр объекта как d, а расстояние до него как D. Тогда уравнение малого угла

a / 206 265 = d / D

Число 206 265 называется константой пропорциональности. Число 206 265 на самом деле является числом секунд дуги в угле 57,3°, который является специальным углом, называемым радианом. Радиан определяется как центральный угол дуги, длина которой равна радиусу окружности. Длина окружности равна 2πr, Радиан равен 360° / 2 π = 57,3° или около шестой части полного круга. 

Вот пример использования уравнения малого угла. Предположим, что ваш друг ростом в 2 метра стоит через поле от вас, где он виден под углом ½°, или 1800″. Как он далеко от вас? Мы хотим найти расстояние D, выразим эту величину из уранения:

D = 206 265 d / a

Используя метрические единицы, найдем

D = (2.1 x 10⁵ x 2) / (1.8 x 10³) = 2.3 х 10² метра = 230 метров

Если ваш друг имеет рост 2 метра и угловой размер его составляет ½ ° (или 1800 угловых секунд), расстояние D составляет 230 метров. Обратите внимание, что мы округляем все наши оценки до двух значащих цифр, потому что измерение угла вряд ли будет очень точным.

Как поняли древние греки, уравнение малого угла можно использовать для определения астрономических расстояний. Они не могли точно измерить диаметр Луны, но они знали ее угловой размер a, который также составляет примерно ½°, или 1800″.

Если мы используем современные знания о том, что диаметр Луны составляет около 3500 километров, мы можем оценить расстояние до нее так же, как мы это сделали для расстояния друга выше. В метрических единицах d будет 3,5 × 10⁶ метров. Уравнение будет гласить:

D = (2.1 × 10⁵ × 3.5 × 10⁶) / (1.8 × 10³) ≈ 4 х 10⁸ метров ≈ 4 x 10⁵ километров.

Реальное среднее расстояние до Луны 384 000 км. Неплохая точность!

Методы определения расстояний до звезд

Годичный параллакс

Кажущееся перемещение более близкой звезды на фоне очень далеких звезд происходит по эллипсу с периодом в 1 год и отражает движение наблюдателя вместе с Землей вокруг Солнца. Маленький эллипс, описываемый звездой, называется параллактическим эллипсом. В угловой мере большая полуось этого эллипса равна величине угла, под которым со звезды видна большая полуось земной орбиты, перпендикулярная направлению на звезду. Этот угол называется годичным параллаксом (π).

Параллактические смещения звезд служат неопровержимым доказательством обращения Земли вокруг Солнца. Расстояния до звезд определяются по их годичному параллактическому смещению, которое обусловлено перемещением наблюдателя (вместе с Землей) по земной орбите.

Если CT = a есть средний радиус земной орбиты, SC = r — расстояние до звезды S от Солнца C, а угол π — годичный параллакс звезды, то

Так как годичные параллаксы звезд оцениваются десятичными долями секунды, а 1 радиан равен 206265′′, то расстояние до звезды можно определить из соотношения

При измерении расстояний до звезд астрономическая единица слишком мала. Поэтому для удобства определения расстояний до звезд в астрономии применяется специальная единица длины — парсек (пк), название которой происходит от слов «параллакс» и «секунда».

Парсек — это расстояние, с которого радиус земной орбиты был бы виден под углом в 1′′.

1 пк = 206 265 а. е. = 3,086 · 10¹³ км.

Таким образом, расстояние до звезд в парсеках будет определяться выражением

В астрономических единицах обычно выражаются расстояния до тел Солнечной системы. Расстояния до небесных тел, находящихся за пределами Солнечной системы, обычно выражаются в парсеках, килопарсеках (1 кпк = 10³ пк) и мегапарсеках (1 Мпк = 10⁶ пк), а также в световых годах (1 св. г. = 9,46 · 10¹² км = 63 240 а. е. = 0,3067 пк или 1 пк = 3,26 св. г.).

Световой год — расстояние, которое электромагнитное излучение (в вакууме) проходит за 1 год.

Источник

Фотометрический метод определения расстояний

Освещенности, создаваемые одинаковыми по мощности источниками света, обратно пропорциональны квадратам расстояний до них. Следовательно, видимый блеск одинаковых светил (т.е. освещенность, создаваемая у Земли на единичной площадке, перпендикулярной лучам света) может служить мерой расстояний до них. Выражение освещенностей в звездных величинах (m — видимая, M — абсолютная звездная величина) приводит к следующей основной формуле фотометрических расстояний r_ф(пк):

Для светил, у которых известны тригонометрические параллаксы, можно, определив M по этой же формуле, сопоставить физические свойства с абсолютными звездными величинами. Это сопоставление показало, что абсолютные звездные величины многих классов светил (звезд, галактик и др.) можно оценивать по ряду их физических свойств.

Основным способом оценки абсолютных величин звезд является спектральный способ: в спектрах звезд одного и того же спектрального класса обнаружены особенности, указывающие на их абсолютные величины (чаще всего это усиление линий ионизованных атомов с возрастанием светимости звезд). По таким признакам звезды разделены на классы светимости. По классам и более мелким подклассам светимости, оцениваемым по спектрам звезд, можно находить абсолютные величины с погрешность до 0,5^m. Эта погрешность соответствует относительной погрешности 30%.

Цефеиды (стандартные свечи)

Важный метод определения фотометрических расстояний в Галактике и до соседних звездных систем — галактик — основан на характерном свойстве переменных звезд — цефеид. Короткопериодические цефеиды (с периодами колебаний блеска менее суток) в среднем имеют абсолютную величину +0,5^m. Они встречаются в шаровых звездных скоплениях, в центральной области и сферической короне Галактики и относятся к ее звездному населению II типа. По цефеидам в конечном счете найдены расстояния до шаровых звездных скоплений и установлено расстояние от Солнца до центра Галактики.

Для долгопериодических цефеид (периоды колебаний от 1 до 146 сут.), относящихся к звездному населению I типа (плоской составляющей Галактики), установлена важная зависимость период-светимость, согласно которой, чем короче период колебаний блеска, тем цефеида слабее по абсолютной величине. С помощью этой зависимости можно определить абсолютные величины цефеид по длительности их периодов колебаний блеска и, следовательно, фотометрические расстояния до цефеид и звездных скоплений, спиральных рукавов и звездных систем, где они наблюдаются (см. Период-светимость зависимость). Погрешность определения расстояний по цефеидам составляет для звездных скоплений в среднем 40% (в отдельных случаях меньше).

Чего получил-то? Сам-то хоть понял?                        

                  да вот:

%————————————————————————————————————-
% Drawing a horoscope of a date.
% Input : the date of a horoscope
% Reference: http://naif.jpl.nasa.gov/pub/naif/toolkit_docs/MATLAB/
% Reference: http://ru.scribd.com/doc/57253920/Anatoly-T-fomenko-Mysteries-of-Egyptian-Zodiacs-and-Other-Riddles-of-Ancient-History
% Tested : Matlab R2011b, 24.04.2013 — 09.07.2013
%     By : Poltavsky Sasha         
%    URL : http://www.bible-exodus.narod2.ru/articles/astro_ephemeris/jpl_ephemeris/jpl_ephemeris.html#zodiacs
%—————————————————————————————————————

% ATTENTION !!! ВНИМАНИЕ !!!
% before runing tha script download and install additional files : % перед тем как запустить скрипт, скачайте и добавьте
% ftp://ssd.jpl.nasa.gov/pub/eph/planets/bsp/de422.bsp — ephemeris for 2999 BC … 3000 AD
% ftp://naif.jpl.nasa.gov/pub/naif/generic_kernels/spk/planets/a_old_versions/de408.bsp — ephemeris for 10000 BC … 10000 AD
% http://www.bible-exodus.narod2.ru/articles/astro_ephemeris/jpl_ephemeris/data/my_sites.tpc — or use ‘399’ instead of ‘observer’
% http://www.bible-exodus.narod2.ru/articles/astro_ephemeris/jpl_ephemeris/data/my_frames.tf — or use ‘399’ instead of ‘observer’
% http://naif.jpl.nasa.gov/pub/naif/pds/data/ros-e_m_a_c-spice-6-v1.0/rossp_1000/DATA/FK/RSSD0002.TF
% http://bible-exodus.narod2.ru/articles/astro_ephemeris/jpl_ephemeris/scripts/mice_toolkit_n0064/mice_tol_1e-4_lib.zip — for increasing TOL
% add paths to standart.tm

% also you need to add my subroutines : set_observer.m, get_observer.m,
% angl2minsec.m … — they are below in commentc (uncomment Ctrl + T, cut,
% and save with it’s file names, add their paths to MatLab

     clear all;
     cspice_furnsh( ‘d:Documents and SettingsuserМои документыMATLABastromicedatastandard.tm’ );

          fl_lng = 1; % Output language English = 1, Russian =0, Both = 2

               % the horoscope epoch % время гороскопа
     et_horos = cspice_str2et ( ’18:07 12-23-0001 BC’ );
%      et_horos = cspice_str2et ( datestr(now, ‘mmmm dd, yyyy HH:MM:SS UTC+2’));
%      et_horos = cspice_str2et ( ‘2013-07-03 23:59 UTC+0’); % horoscope epoch  — 12-23-0001 BC = Xmas % момент гороскопа
     % the epoch for scale of second zodiac (for publishing date, for example
     et_zodiac_2=et_horos; % ввести свое значние et_zodiac_2 для его отрисовки
     %et_zodiac_2 = cspice_str2et ( ‘1185-03-27 06:00 UTC+2’); % publication epoch  % момент пересчета гороскопа

     % set observer coordinates or , for example ‘CAIRO’ settled in my_sites.bsp % место наблюдения
     [observer, topo_frame ]=set_observer(44.6,3.53333,0);  % Севастополь (близ мыса Фиолент) — для гороскопа Рождества Христова по ФиН
%      [observer, topo_frame ]=set_observer(45,0,0);  % широта, долгота, высота — LAN, LON, ALT
     [lat, lon, alt, sslat, sslon] = get_observer (observer); % for local solar time % узнать долготу места для местного солн.времени

              % to set the time format % установить формат времени (JCAL — Julian calendar % Юлианский календарь)
     TIMFMT  = ‘DD.MM.YYYY ERA HR:MN ::RND::JCAL::UTC’; TIMLEN  = 35;

           abcr = ‘LT+S’; step = cspice_spd/2; crds=’CYLINDRICAL’   ; crd  = ‘LONGITUDE’ ; adj = 0.0;  MAXWIN  = 20000; MAXIVL  = MAXWIN / 2;

%      % adjustment on precession = 360° for 25776 years % поправки на прецессию 360° за 25776 лет
%      % used 1976 IAU precession model, built into SPICE % использована модель «1976 IAU» встроенная в SPICE.
%      [pos1, ~] = cspice_spkpos ( ‘SUN’, et_horos, ‘ECLIPDATE’ , abcr, observer); % позиция планеты от эклиптики той эпохи
%      [pos2, ~] = cspice_spkpos ( ‘SUN’, et_horos, ‘ECLIPJ2000’, abcr, observer); % позиция планеты по нынешней эклиптике
%      [~, lon1, ~] = cspice_recrad(pos1); [~, lon2, ~] = cspice_recrad(pos2); lon3 = lon2-lon1;
%      prcs_at_horos = cspice_convrt(lon3,’radians’,’degrees’);
%      [pos1, ~] = cspice_spkpos ( ‘SUN’, et_zodiac_2, ‘ECLIPDATE’ , abcr, observer); % позиция планеты от эклиптики той эпохи
%      [pos2, ~] = cspice_spkpos ( ‘SUN’, et_zodiac_2, ‘ECLIPJ2000’, abcr, observer); % позиция планеты по нынешней эклиптике
%      [~, lon1, ~] = cspice_recrad(pos1); [~, lon2, ~] = cspice_recrad(pos2); lon3 = lon2-lon1;
%      prcs_zodiac_2 = cspice_convrt(lon3,’radians’,’degrees’);
     % the same easy way % более просто способ
     prcs_at_horos=360/((cspice_tyear*25776)/(now-et_horos)); prcs_zodiac_2=360/((cspice_tyear*25776)/(now-et_zodiac_2));   

            % data array for drawing the zodiac % данные для отрисовки зодиака
      planets = {‘Jup’, ‘Sat’, ‘Ven’, ‘Mars’, ‘Mer’, ‘Sun’, ‘Moon’, ‘Earth’; …
                  ‘JUPITER BARYCENTER’, ‘SATURN BARYCENTER’, ‘VENUS’, ‘MARS’, ‘MERCURY’, ‘SUN’, ‘MOON’, ‘EARTH’};                 
      dots = [15,12,10,10,10,35,35,1];           
      colors = [[0.2 0 0]; [0 0.2 0.3]; [0 0.2 0.1]; [0.6 0 0]; [0.4 0 0]; [0.7 0.5 0]; [0.5 0.4 0.1]; [0.8 0.4 0.1]];
      lats = [0,0,0,0,0,0,0,0]; lats_h = [0,0,0,0,0,0,0,0]; lons = [0,0,0,0,0,0,0,0];
      sky_s = {‘темно — ночь’, ‘астрономические сумерки’, ‘навигационные сумерки’, ‘гражданские сумерки’, ‘светло — день’};
      sky_e = {‘dark — night’, ‘astronomical twilight’, ‘nautical twilight’, ‘civil twilight’, ‘daylight’};
      zodiac_names = {‘<-Овен     ‘, ‘Телец     ‘, ‘Близнецы     ‘, ‘Рак     ‘, ‘Лев     ‘, …
        ‘Дева     ‘, ‘Весы     ‘, ‘Скорпион     ‘, ‘Стрелец     ‘, ‘Козерог     ‘, ‘Водолей     ‘, ‘Рыбы     ‘;
    ‘<-Aries’, ‘Taurus’, ‘Gemini’, ‘Cancer’, ‘Leo’, ‘Virgo’, ‘Libra’, …
    ‘Scorpio’, ‘Sagittarius’, ‘Capricorn’, ‘Aquarius’, ‘Pisces’;
    ‘<-Ari|Овн’, ‘Tau|Тлц’, ‘Gem|Блз’, ‘Cnc|Рак’, ‘Leo|Лев’, ‘Vir|Дева’, …
    ‘Lib|Весы’, ‘Sco|Скрпн’, ‘Sgr|Стрлц’, ‘Cap|Кзрг’, ‘Aqr|Вдл’, ‘Psc|Рыбы’};

           % Ecliptics coordinates of the East point of the local topo frame — восток в координатах эклиптики
    mat1 = cspice_pxform( topo_frame, ‘ECLIPJ2000’, et_horos );
    mat2 = mat1 * cspice_rotate( -0.5*cspice_pi, 3); mat2 = mat2(:,1,:);
    [~, lon_east, lat_east] = cspice_reclat(mat2);
    lon_east = 180 + lon_east * cspice_dpr; lat_east = — lat_east * cspice_dpr;

        % Ecliptics coordinates of the West point of the local topo frame — запад в координатах эклиптики
    mat2 = mat1 * cspice_rotate( 0.5*cspice_pi, 3); mat2 = mat2(:,1,:);
    [~, lon_west, lat_west] = cspice_reclat(mat2);
    lon_west = 180 + lon_west * cspice_dpr; lat_west = — lat_west * cspice_dpr;

                % Ecliptics to horizon inclination — наклон эклиптики к горизонту
    mat1 = cspice_pxform( topo_frame, ‘ECLIPJ2000’, et_horos ); mat1 = mat1(:,3,:);
    [~, lon_p, lat_p] = cspice_reclat(mat1);
    eclip_horiz_incl = — 90 + lat_p * cspice_dpr;
    % North pole longitude in ecliptic
    north_pole_lon_e = 180 + lon_p * cspice_dpr;
    % Longitudes of intercection of ecliptic and horizon
    lon_w_e = north_pole_lon_e — 90 ; if lon_w_e < 0 ; lon_w_e = lon_w_e + 360; end
    lon_e_e = north_pole_lon_e + 90 ; if lon_e_e > 360 ; lon_e_e = lon_e_e — 360; end
    % разница в азимуте между точками пересечения эклиптики и горизонта к точкам востока и запада
    d_lon = asind( tand (10) / tand (eclip_horiz_incl) );

           % output an image of goroscope % вывод гороскопа
      p_place = horzcat(observer, sslat, sslon, ‘ (‘, angl2minsec(lat,2), ‘, ‘, angl2minsec(lon,2), ‘) ‘);
      p_epoch = horzcat( cspice_timout( et_horos, ‘DD.MM.YYYY ERA JCAL HR:MN ::RND::JCAL::UTC UTC ‘),…
          ‘ ( ‘,  cspice_timout(et_horos, ‘DD.MM.YYYY ::UTC’),’ ) ‘, cspice_et2utc( et_horos, ‘J’,    2 ));
      if fl_lng == 0
      p_name_t=horzcat(‘Планеты в созвездиях на ‘, p_epoch, ‘ место ‘, p_place);
      elseif fl_lng > 0
      p_name_t=horzcat(‘Planets in constellations at ‘,p_epoch,’ in ‘, p_place);
      end
      p_name={p_name_t;’ ‘};

            scrsz = get(0,’ScreenSize’);
      h = figure(‘Name’, p_name_t ,’NumberTitle’,’off’, ‘Position’,[1 scrsz(4)/2.6 scrsz(3) (scrsz(4)/2)-20]);

      % цвет неба в зависимсти от наличия солнца на небе, the color of sky relatively sun’s presens
   [pos, ~] = cspice_spkpos ( ‘SUN’, et_horos, topo_frame, abcr, observer);
   [~, ~, sun_alt] = cspice_reclat(pos); sun_alt=sun_alt * cspice_dpr;
   if fl_lng == 0; sky_t = horzcat(‘Высота солнца’,angl2minsec(sun_alt,0),’, ‘);
   else sky_t = horzcat(‘Altitude of sun is’,angl2minsec(sun_alt,0),’, ‘); sky_s = sky_e;
   end

      if sun_alt < -12 && sun_alt > -18; sky_color= [0.5 0.4 0.6]; sky_s = horzcat(sky_t, cell2mat(sky_s(2))) ;
   elseif sun_alt < -7 && sun_alt > -12 ; sky_color= [0.8 0.7 0.7]; sky_s = horzcat(sky_t, cell2mat(sky_s(3))) ; % навигационные сумерки
   elseif sun_alt < 0 && sun_alt > -7 ; sky_color= [0.9 0.9 0.9]; sky_s = horzcat(sky_t, cell2mat(sky_s(4))) ; % гражданские сумерки
   elseif sun_alt > 0; sky_color= [1 1 1]; sky_s = horzcat(sky_t, cell2mat(sky_s(5))) ; % светло — день
   elseif sun_alt < -18 ; sky_color= [0.3 0.4 0.6]; sky_s = horzcat(sky_t, cell2mat(sky_s(1))) ;
   end % темно — ночь

      %   % drawing the Earth’s body — тело цельное, слева восток — не касается границы графика, справа — запад
%    if (lon_e_e + d_lon) < 360 && (lon_e_e — d_lon) < 360 && (lon_w_e + d_lon) > 0 && (lon_w_e — d_lon) > 0 && (lon_e_e > lon_w_e)
   e1=lon_e_e + d_lon ; e2 = lon_e_e — d_lon ; w1=lon_w_e + d_lon ; w2 = lon_w_e — d_lon ; y=[10 -10 -10 10 ]; y2=y; y3=y;

      if lon_e_e > lon_w_e
   x=[e1 e2 w1 w2]; x2=x()+360; x3=x()-360;
   elseif lon_e_e < lon_w_e
   x=[e1 e2 w1-360 w2-360]; x2= [e1+360 e2+360 w1 w2]; x3=[]; y3=[];
   end

       fill([360 360 0 0 ], y, sky_color); hold on
   f1=fill(x, y, [.7 .8 .7], x2, y2, [.7 .8 .7], x3, y3, [.7 .8 .7]); set(f1,’facealpha’,.5)

        title(p_name); 

   % calculating of positions of planets % расчет позиций планет
   if fl_lng == 0
   fprintf ( ‘nn позиции планет в эклиптике J2000.0, на %s nn’, cspice_timout( et_horos, ‘DD.MM.YYYY ERA JCAL HR:MN ::RND::JCAL::UTC UTC’)) ;
   else
   fprintf ( ‘nn the positions of planet at ecliptics J2000.0, на %s nn’, cspice_timout( et_horos, ‘DD.MM.YYYY ERA JCAL HR:MN ::RND::JCAL::UTC UTC’)) ;
   end
  fl=0; %
  n=numel(planets(1,:)); % количество записей
  for ii=1:n-1
  target=planets(2,ii);
     [pos, ~] = cspice_spkpos ( target, et_horos, ‘ECLIPJ2000’, abcr, observer); % позиция планеты
     [~, lon_p, lat_p] = cspice_recrad(pos); % картезианские координаты в радиальные небесной сферы
     lons(ii) = lon_p * cspice_dpr;  lats(ii)= lat_p * cspice_dpr ;
     [pos, ~] = cspice_spkpos ( target, et_horos, topo_frame, abcr, observer);
     [~, ~, lat_h] = cspice_reclat(pos); lats_h(ii) =lat_h * cspice_dpr; %az=-(-180+lon);
     fprintf ( ‘%s LON %st LAT %st n’, cell2mat(target), num2str(lons(ii)), num2str(lats(ii)));
     text(360,-18- ii*5, planets(1,ii)); text(345,-18- ii*5, horzcat(‘Lon   ‘, num2str(lons(ii))));
     text(300,-18- ii*5, horzcat(‘Lat   ‘, num2str(lats(ii))));
     text(260,-18- ii*5, horzcat(‘Alt   ‘, num2str(lats_h(ii))));
  end

         % drawing planets % отрисовка планет
     n=numel(lons(:)); % количество записей
     for ii=1:n-1
      text(lons(ii)+1,lats(ii)+3, planets(1,ii), ‘HorizontalAlignment’,’right’)
      p=scatter(lons(ii), lats(ii), dots(ii), colors(ii,:), ‘filled’);
     end

          if fl_lng == 0
     text(360,-65,’Шкалы: красным начала созвездий, синим границы зодиака на момент гороскопа.                             Спасибо НАСА! ® Полтавский Саша, vasnas@live.com’);
     text(180, -25, sky_s);
     else
     text(360,-65,’Scales: red — begining of constellations, blue —  zodiac»s segments at epoch of horoscope.             Thanks to NASA! ® Poltavsky Sasha, vasnas@live.com’);
     text(180, -25, sky_s);
     end

      ax1=gca; axis image ; set(ax1,’XDir’,’reverse’, ‘Color’, [0.9 0.9 1],’XColor’, [0.5 0 0], ‘Layer’, ‘top’);
% beginings of constellations in  ecliptics at J2000.0 % начала созвездий по эклиптике J2000
set(ax1,’Xtick’, [31, 56, 92, 118, 137, 172, 215, 236, 266, 296, 326, 349], ‘XLim’,[0,360], ‘YLim’,[-10,10]);
% names of constellations % названия создвездий

if fl_lng==0 ; zodiac_names_out = zodiac_names(1,:);
elseif fl_lng == 1 ; zodiac_names_out = zodiac_names(2,:);
elseif fl_lng == 2; zodiac_names_out = zodiac_names(3,:);
end
set(gca,’XTickLabel’,zodiac_names_out)
grid on

  % scale of zodiac at goroscope epoch — blue % шкала зодиака на эпоху гороскопа — синяя

    Ax2=axes(‘Position’, get(ax1,’Position’),’XAxisLocation’,’top’); axis image ;
  set(Ax2,’XLim’,[0 360], ‘YLim’,[-10 10], ‘color’,’none’,’XColor’, [0 0 0.7]) % ‘xtick’,(prcs_at_horos:30:360+prcs_at_horos)
  set(Ax2, ‘xticklabel’, zodiac_names_out,’xtick’, prcs_at_horos:30:360+prcs_at_horos,’XDir’,’reverse’,’FontSize’,8 ,’Yticklabel’,»)
  grid on

    if et_horos ~= et_zodiac_2
  % scale of zodiac at publications (or anything else) epoch — green % шкала зодиака на эпоху публикации — зеленая
  Ax3=axes(‘Position’,get(ax1,’Position’),’XAxisLocation’,’top’); axis(‘image’); set(Ax3,’XLim’,[0 360], ‘YLim’,[-10 10]);
  set(Ax3,’color’,’none’); set(Ax3,’XColor’, [0 0.7 0])
  set(Ax3,’xtick’,(prcs_zodiac_2:30:360+prcs_zodiac_2),’xticklabel’,(0:30:360),’XDir’,’reverse’);
  set(Ax3,’Yticklabel’,»,’TickDir’, ‘out’,’FontSize’,8)
  grid on
  end

    % scale of zodiac at publications (or anything else) epoch — green % шкала зодиака на эпоху публикации — зеленая
  Ax4=axes(‘Position’,get(ax1,’Position’),’XAxisLocation’,’bottom’); axis(‘image’); set(Ax4,’XLim’,[0 360], ‘YLim’,[-10 10]);
  set(Ax4,’color’,’none’,’XColor’, [0 0.2 0])
  set(Ax4,’xtick’, (0:30:360),’xticklabel’,(0:30:360),’XDir’,’reverse’);
  set(Ax4,’Yticklabel’,»,’TickDir’, ‘out’,’FontSize’,7)
  grid on

   box off
 cspice_kclear
 clear all

   %  %————————————————————————————————————-
% % Getting coordinates of observer, after function set_observer(). Output in degree,
% % Reference: http://naif.jpl.nasa.gov/pub/naif/toolkit_docs/MATLAB/
% % Tested : Matlab R2011b
% %     By : Poltavsky Sasha          04.05.2012
% %    URL : www.bible-exodus.narod2.ru/articles/astro_ephemeris/jpl_ephemeris/jpl_ephemeris.html#get_kernel_data
% %—————————————————————————————————————
%
% function  [lat, lon, alt, sslat, sslon] = get_observer (observer, varargin)
% if nargin == 0 ; observer = ‘DYN’; end
%
% [val, found] = cspice_gdpool( horzcat(‘TKFRAME_’,observer, ‘_TOPO_ANGLES’), 2, 1 ); lat=90+val;
% if ~found; error(horzcat(‘the latitude of ‘,observer,’ was not found in the pool!’)); end
% [val, found] = cspice_gdpool( horzcat(‘TKFRAME_’,observer, ‘_TOPO_ANGLES’), 1 ,1);  lon= — val;
% if ~found; error(horzcat(‘the longtitude of ‘,observer,’ was not found in the pool!’)); end
% %[val, found] = cspice_gdpool( horzcat(‘TKFRAME_’,observer, ‘_TOPO_ALT’), 1 ,1);  alt = val;
% %[alt, found] = cspice_gdpool( horzcat(observer, ‘_LATLON’), 3 ,1);
% %if ~found; error(horzcat(‘the altitude of ‘,observer,’ was not found in the pool!’)); end
% alt=0;
%     
%
%       
% if lat < 0; sslat = sprintf(‘% 2.2fS’,abs(lat)); else sslat = sprintf(‘% 2.2fN’,abs(lat)); end
% if lon < 0; sslon = sprintf(‘% 2.2fW’,abs(lon)); else sslon = sprintf(‘% 2.2fE’,abs(lon)); end
% end
%

% %————————————————————————————————————-
% % Setting coordinates of observer, input in degree,
% % Reference: http://naif.jpl.nasa.gov/pub/naif/toolkit_docs/MATLAB/
% % Tested : Matlab R2011b
% %     By : Poltavsky Sasha          04.05.2012
% %    URL : www.bible-exodus.narod2.ru/articles/astro_ephemeris/jpl_ephemeris/jpl_ephemeris.html#get_kernel_data
% %—————————————————————————————————————
% function  [observer, frame] = set_observer (lat, lon, alt, varargin)
% if nargin == 1; name = lat;
%     [~ , found] = cspice_bods2c(name);     
%     if (found); observer = name; frame =  strcat(observer,’_TOPO’);
%     else
%         disp(‘The point of surface or the frame DYN_TOPO for the body are not specified’)
%     end
% else
%     if nargin == 2; observer = ‘DYN’; frame =  strcat(observer,’_TOPO’); alt=0; end
%     if nargin == 3; observer = ‘DYN’; frame =  strcat(observer,’_TOPO’); end
%       
%       cspice_pdpool(‘TKFRAME_DYN_TOPO_ANGLES’,[-lon; -90 + lat; 180]);
%       cspice_lmpool(horzcat(‘DYN_LATLON = (‘, num2str(lat), ‘,’, num2str(lon), ‘,’, num2str(alt), ‘ )’ ));
%       %cspice_lmpool(horzcat(‘TKFRAME_DYN_TOPO_ALT = (‘,num2str(alt),’ )’));
%       
%       
%       
% end
%
%       
% return

% %————————————————————————————————————-
% % Function of translating decimal degrees into sexagesimal system
% % Tested : Matlab R2011b
% %     By : Poltavsky Sasha          02.06.2012
% %    URL : www.bible-exodus.narod2.ru/articles/astro_ephemeris/jpl_ephemeris/jpl_ephemeris.html#angle_10_to_60
% %—————————————————————————————————————
% % an   — angle in decimal degrees
% % prec — precision in «
%
% function anstr = angl2minsec (an, prec, varargin)
%
%       if nargin == 1 ; sprec=’0′;
%       else
%           sprec=int2str(prec);
%       end
%       
%       if an<0 ; s_sign=’-‘; else s_sign=’ ‘; end
%       
%       an1=fix(abs(an));
%       an2=abs(rem(an,1));
%       an2=an2*0.6;
%       an3=rem(an2*100,1)*100;
%       an2=fix(an2*100);
%       an3=an3*0.6;
%       anstr=sprintf(‘%s%s°%s»%s»‘, s_sign, int2str(an1), int2str(an2), num2str(an3, strcat(‘%2.’,sprec,’f’)));
% return

Владимир Юрьевич Протасов
«Квант» №2, 2010

Небо над головой — самый древний учебник геометрии. Первые понятия, такие как точка и круг, — оттуда. Скорее даже не учебник, а задачник. В котором отсутствует страничка с ответами. Два круга одинакового размера — Солнце и Луна — движутся по небу, каждый со своей скоростью. Остальные объекты — светящиеся точки — движутся все вместе, словно они прикреплены к сфере, вращающейся со скоростью 1 оборот в 24 часа. Правда, среди них есть исключения — 5 точек движутся как им вздумается. Для них подобрали особое слово — «планета», по-гречески — «бродяга». Сколько человечество существует, оно пытается разгадать законы этого вечного движения. Первый прорыв произошел в III веке до н.э., когда греческие ученые, взяв на вооружение молодую науку — геометрию, смогли получить первые результаты об устройстве Вселенной. Об этом и пойдет речь.

Чтобы иметь некоторое представление о сложности задачи, рассмотрим такой пример. Представим себе светящийся шар диаметром 10 см, неподвижно висящий в пространстве. Назовем его S. Вокруг него на расстоянии чуть больше 10 метров обращается маленький шарик Z диаметром 1 миллиметр, а вокруг Z на расстоянии 6 см обращается совсем крохотный шарик L, его диаметр — четверть миллиметра. На поверхности среднего шарика Z живут микроскопические существа. Они обладают неким разумом, но покидать пределы своего шарика не могут. Всё, что они могут, — смотреть на два других шара — S и L. Спрашивается, могут ли они узнать диаметры этих шаров и измерить расстояния до них? Сколько ни думай, дело, казалось бы, безнадежное. Мы нарисовали сильно уменьшенную модель Солнечной системы (S — Солнце, Z — Земля, L — Луна).

Вот такая задача стояла перед древними астрономами. И они ее решили! Более 22 веков назад, не пользуясь ничем, кроме самой элементарной геометрии — на уровне 8 класса (свойства прямой и окружности, подобные треугольники и теорема Пифагора). И, конечно, наблюдая за Луной и за Солнцем.

Над решением трудились несколько ученых. Мы выделим двух. Это математик Эратосфен, измеривший радиус земного шара, и астроном Аристарх, вычисливший размеры Луны, Солнца и расстояния до них. Как они это сделали?

Как измерили земной шар

То, что Земля не плоская, люди знали давно. Древние мореплаватели наблюдали, как постепенно меняется картина звездного неба: становятся видны новые созвездия, а другие, напротив, заходят за горизонт. Уплывающие вдаль корабли «уходят под воду», последними скрываются из вида верхушки их мачт. Кто первый высказал идею о шарообразности Земли, неизвестно. Скорее всего — пифагорейцы, считавшие шар совершеннейшей из фигур. Полтора века спустя Аристотель приводит несколько доказательств того, что Земля — шар. Главное из них: во время лунного затмения на поверхности Луны отчетливо видна тень от Земли, и эта тень круглая! С тех пор постоянно предпринимались попытки измерить радиус земного шара. Два простых способа изложены в упражнениях 1 и 2. Измерения, правда, получались неточными. Аристотель, например, ошибся более чем в полтора раза. Считается, что первым, кому удалось сделать это с высокой точностью, был греческий математик Эратосфен Киренский (276–194 до н. э.). Его имя теперь всем известно благодаря решету Эратосфена — способу находить простые числа (рис. 1).

Если вычеркнуть из натурального ряда единицу, затем вычеркивать все четные числа, кроме первого (самого числа 2), затем все числа, кратные трем, кроме первого из них (числа 3), и т. д., то в результате останутся одни простые числа. Среди современников Эратосфен был знаменит как крупнейший ученый-энциклопедист, занимавшийся не только математикой, но и географией, картографией и астрономией. Он долгое время возглавлял Александрийскую библиотеку — центр мировой науки того времени. Работая над составлением первого атласа Земли (речь, конечно, шла об известной к тому времени ее части), он задумал провести точное измерение земного шара. Идея была такова. В Александрии все знали, что на юге, в городе Сиена (современный Асуан), один день в году, в полдень, Солнце достигает зенита. Исчезает тень от вертикального шеста, на несколько минут освещается дно колодца. Происходит это в день летнего солнцестояния, 22 июня — день наивысшего положения Солнца на небе. Эратосфен направляет своих помощников¹ в Сиену, и те устанавливают, что ровно в полдень (по солнечным часам) Солнце находится точно в зените. Одновременно (как написано в первоисточнике: «в тот же час»), т. е. в полдень по солнечным часам, Эратосфен измеряет длину тени от вертикального шеста в Александрии. Получился треугольник ABC (АС — шест, АВ — тень, рис. 2).

Итак, солнечный луч в Сиене (N) перпендикулярен поверхности Земли, а значит, проходит через ее центр — точку Z. Параллельный ему луч в Александрии (А) составляет угол γ = ACB с вертикалью. Пользуясь равенством накрест лежащих углов при параллельных, заключаем, что AZN = γ. Если обозначить через l длину окружности, а через х длину ее дуги AN, то получаем пропорцию . Угол γ в треугольнике АВС Эратосфен измерил, получилось 7,2°. Величина х — не что иное, как длина пути от Александрии до Сиены, примерно 800 км. Ее Эратосфен аккуратно вычисляет, исходя из среднего времени движения верблюжьих караванов, регулярно ходивших между двумя городами, а также используя данные бематистов — людей специальной профессии, измерявших расстояния шагами. Теперь осталось решить пропорцию , получив длину окружности (т. е. длину земного меридиана) l = 40000 км. Тогда радиус Земли R равен l/(2π), это примерно 6400 км. То, что длина земного меридиана выражается столь круглым числом в 40000 км, не удивительно, если вспомнить, что единица длины в 1 метр и была введена (во Франции в конце XVIII века) как одна сорокамиллионная часть окружности Земли (по определению!). Эратосфен, конечно, использовал другую единицу измерения — стадий (около 200 м). Стадиев было несколько: египетский, греческий, вавилонский, и каким из них пользовался Эратосфен — неизвестно. Поэтому трудно судить наверняка о точности его измерения. Кроме того, неизбежная ошибка возникала в силу географического положения двух городов. Эратосфен рассуждал так: если города находятся на одном меридиане (т. е. Александрия расположена в точности к северу от Сиены), то полдень в них наступает одновременно. Поэтому, сделав измерения во время наивысшего положения Солнца в каждом городе, мы должны получить правильный результат. Но на самом деле Александрия и Сиена — далеко не на одном меридиане. Сейчас в этом легко убедиться, взглянув на карту, но у Эратосфена такой возможности не было, он как раз и работал над составлением первых карт. Поэтому его метод (абсолютно верный!) привел к ошибке в определении радиуса Земли. Тем не менее, многие исследователи уверены, что точность измерения Эратосфена была высока и что он ошибся менее чем на 2%. Улучшить этот результат человечество смогло только через 2 тысячи лет, в середине XIX века. Над этим трудилась группа ученых во Франции и экспедиция В. Я. Струве в России. Даже в эпоху великих географических открытий, в XVI веке, люди не смогли достичь результата Эратосфена и пользовались неверным значением длины земной окружности в 37000 км. Ни Колумб, ни Магеллан не знали, каковы истинные размеры Земли и какие расстояния им придется преодолевать. Они-то считали, что длина экватора на 3 тысячи км меньше, чем на самом деле. Знали бы — может, и не поплыли бы.

В чем причина столь высокой точности метода Эратосфена (конечно, если он пользовался нужным стадием)? До него измерения были локальными, на расстояниях, обозримых человеческим глазом, т. е. не более 100 км. Таковы, например, способы в упражнениях 1 и 2. При этом неизбежны ошибки из-за рельефа местности, атмосферных явлений и т. д. Чтобы добиться большей точности, нужно проводить измерения глобально, на расстояниях, сравнимых с радиусом Земли. Расстояние в 800 км между Александрией и Сиеной оказалось вполне достаточным.

Упражнения
1. Как вычислить радиус Земли по следующим данным: с горы высотой 500 м просматриваются окрестности на расстоянии 80 км?
2. Как вычислить радиус Земли по следующим данным: корабль высотой 20 м, отплыв от берега на 16 км, полностью исчезает из вида?
3. Два друга — один в Москве, другой — в Туле, берут по метровому шесту и ставят их вертикально. В момент, в течение дня, когда тень от шеста достигает наименьшей длины, каждый из них измеряет длину тени. В Москве получилось а см, а в Туле — b см. Выразите радиус Земли через а и b. Города расположены на одном меридиане на расстоянии 185 км.

Как видно из упражнения 3, опыт Эратосфена можно проделать и в наших широтах, где Солнце никогда не бывает в зените. Правда, для этого нужны две точки обязательно на одном меридиане. Если же повторить опыт Эратосфена для Александрии и Сиены, и при этом сделать измерения в этих городах одновременно (сейчас для этого есть технические возможности), то мы получим верный ответ, при этом будет не важно, на каком меридиане находится Сиена (почему?).

Как измерили Луну и Солнце. Три шага Аристарха

Греческий остров Самос в Эгейском море — теперь глухая провинция. Сорок километров в длину, восемь — в ширину. На этом крохотном острове в разное время родились три величайших гения — математик Пифагор, философ Эпикур и астроном Аристарх. Про жизнь Аристарха Самосского известно мало. Даты жизни приблизительны: родился около 310 до н.э., умер около 230 до н.э. Как он выглядел, мы не знаем, ни одного изображения не сохранилось (современный памятник Аристарху в греческом городе Салоники — лишь фантазия скульптора) . Много лет провел в Александрии, где работал в библиотеке и в обсерватории. Главное его достижение — книга «О величинах и расстояниях Солнца и Луны», — по единодушному мнению историков, является настоящим научным подвигом. В ней он вычисляет радиус Солнца, радиус Луны и расстояния от Земли до Луны и до Солнца. Сделал он это в одиночку, пользуясь очень простой геометрией и всем известными результатами наблюдений за Солнцем и Луной. На этом Аристарх не останавливается, он делает несколько важнейших выводов о строении Вселенной, которые намного опередили свое время. Не случайно его назвали впоследствии «Коперником античности».

Вычисление Аристарха можно условно разбить на три шага. Каждый шаг сводится к простой геометрической задаче. Первые два шага совсем элементарны, третий — чуть посложнее. В геометрических построениях мы будем обозначать через Z, S и L центры Земли, Солнца и Луны соответственно, а через R, R_s и R_l — их радиусы. Все небесные тела будем считать шарами, а их орбиты — окружностями, как и считал сам Аристарх (хотя, как мы теперь знаем, это не совсем так). Мы начинаем с первого шага, и для этого немного понаблюдаем за Луной.

Шаг 1. Во сколько раз Солнце дальше, чем Луна?

Как известно, Луна светит отраженным солнечным светом. Если взять шар и посветить на него со стороны большим прожектором, то в любом положении освещенной окажется ровно половина поверхности шара. Граница освещенной полусферы — окружность, лежащая в плоскости, перпендикулярной лучам света. Таким образом, Солнце всегда освещает ровно половину поверхности Луны. Видимая нам форма Луны зависит от того, как расположена эта освещенная половина. При новолунии, когда Луна вовсе не видна на небе, Солнце освещает ее обратную сторону. Затем освещенная полусфера постепенно поворачивается в сторону Земли. Мы начинаем видеть тонкий серп, затем — месяц («растущая Луна»), далее — полукруг (эта фаза Луны называется «квадратурой»). Затем день ото дня (вернее, ночь от ночи) полукруг дорастает до полной Луны. Потом начинается обратный процесс: освещенная полусфера от нас отворачивается. Луна «стареет», постепенно превращаясь в месяц, повернутый к нам левой стороной, подобно букве «С», и, наконец, в ночь новолуния исчезает. Период от одного новолуния до другого длится примерно четыре недели. За это время Луна совершает полный оборот вокруг Земли. От новолуния до половины Луны проходит четверть периода, отсюда и название «квадратура».

Замечательная догадка Аристарха состояла в том, что при квадратуре солнечные лучи, освещающие половину Луны, перпендикулярны прямой, соединяющей Луну с Землей. Таким образом, в треугольнике ZLS угол при вершине L — прямой (рис. 3). Если теперь измерить угол LZS, обозначим его через α, то получим, что  = cos α. Для простоты мы считаем, что наблюдатель находится в центре Земли. Это несильно повлияет на результат, поскольку расстояния от Земли до Луны и до Солнца значительно превосходят радиус Земли. Итак, измерив угол α между лучами ZL и ZS во время квадратуры, Аристарх вычисляет отношение расстояний до Луны и до Солнца. Как одновременно застать Солнце и Луну на небосводе? Это можно сделать ранним утром. Сложность возникает по другому, неожиданному, поводу. Во времена Аристарха не было косинусов. Первые понятия тригонометрии появятся позже, в работах Аполлония и Архимеда. Но Аристарх знал, что такое подобные треугольники, и этого было достаточно. Начертив маленький прямоугольный треугольник Z’L’S’ с тем же острым углом α = L’Z’S’ и измерив его стороны, находим, что , и это отношение примерно равно 1/400.

Получается, что Солнце в 400 раз дальше от Земли, чем Луна. Эту константу — отношение расстояний от Земли до Солнца и от Земли до Луны — мы будем обозначать буквой κ. Итак, мы нашли, что κ = 400.

Шаг 2. Во сколько раз Солнце больше Луны?

Для того чтобы найти отношение радиусов Солнца и Луны, Аристарх привлекает солнечные затмения (рис. 4). Они происходят, когда Луна загораживает Солнце. При частичном, или, как говорят астрономы, частном, затмении Луна лишь проходит по диску Солнца, не закрывая его полностью. Порой такое затмение даже нельзя разглядеть невооруженным глазом, Солнце светит как в обычный день. Лишь сквозь сильное затемнение, например, закопченное стекло, видно, как часть солнечного диска закрыта черным кругом. Гораздо реже происходит полное затмение, когда Луна на несколько минут полностью закрывает солнечный диск.

В это время становится темно, на небе появляются звезды. Затмения наводили ужас на древних людей, считались предвестниками трагедий. Солнечное затмение наблюдается по-разному в разных частях Земли. Во время полного затмения на поверхности Земли возникает тень от Луны — круг, диаметр которого не превосходит 270 км. Лишь в тех районах земного шара, по которым проходит эта тень, можно наблюдать полное затмение. Поэтому в одном и том же месте полное затмение происходит крайне редко — в среднем раз в 200–300 лет. Аристарху повезло — он смог наблюдать полное солнечное затмение собственными глазами. На безоблачном небе Солнце постепенно начало тускнеть и уменьшаться в размерах, установились сумерки. На несколько мгновений Солнце исчезло. Потом проглянул первый луч света, солнечный диск стал расти, и вскоре Солнце засветило в полную силу. Почему затмение длится столь короткое время? Аристарх отвечает: причина в том, что Луна имеет те же видимые размеры на небе, что и Солнце. Что это значит? Проведем плоскость через центры Земли, Солнца и Луны. Получившееся сечение изображено на рисунке 5a. Угол между касательными, проведенными из точки Z к окружности Луны, называется угловым размером Луны, или ее угловым диаметром. Так же определяется угловой размер Солнца. Если угловые диаметры Солнца и Луны совпадают, то они имеют одинаковые видимые размеры на небе, а при затмении Луна действительно полностью загораживает Солнце (рис. 5б), но лишь на мгновение, когда совпадут лучи ZL и ZS. На фотографии полного солнечного затмения (см. рис. 4) ясно видно равенство размеров.

Вывод Аристарха оказался поразительно точен! В реальности средние угловые диаметры Солнца и Луны отличаются всего на 1,5%. Мы вынуждены говорить о средних диаметрах, поскольку они меняются в течение года, так как планеты движутся не по окружностям, а по эллипсам.

Соединив центр Земли Z с центрами Солнца S и Луны L, а также с точками касания Р и Q, получим два прямоугольных треугольника ZSP и ZLQ (см. рис. 5a). Они подобны, поскольку у них есть пара равных острых углов β/2. Следовательно, . Таким образом, отношение радиусов Солнца и Луны равно отношению расстояний от их центров до центра Земли. Итак, R_s/R_l = κ = 400. Несмотря на то, что их видимые размеры равны, Солнце оказалось больше Луны в 400 раз!

Равенство угловых размеров Луны и Солнца — счастливое совпадение. Оно не вытекает из законов механики. У многих планет Солнечной системы есть спутники: у Марса их два, у Юпитера — четыре (и еще несколько десятков мелких), и все они имеют разные угловые размеры, не совпадающие с солнечным.

Теперь мы приступаем к решающему и самому сложному шагу.

Шаг 3. Вычисление размеров Солнца и Луны и расстояний до них

Итак, нам известно отношение размеров Солнца и Луны и отношение их расстояний до Земли. Эта информация относительна: она восстанавливает картину окружающего мира лишь с точностью до подобия. Можно удалить Луну и Солнце от Земли в 10 раз, увеличив во столько же раз их размеры, и видимая с Земли картина останется такой же. Чтобы найти реальные размеры небесных тел, надо соотнести их с каким-то известным размером. Но из всех астрономических величин Аристарху пока известен только радиус² земного шара R = 6400 км. Поможет ли это? Хоть в каком-то из видимых явлений, происходящих на небе, появляется радиус Земли? Не случайно говорят «небо и земля», имея в виду две несовместные вещи. И всё же такое явление есть. Это — лунное затмение. С его помощью, применив довольно хитроумное геометрическое построение, Аристарх вычисляет отношение радиуса Солнца к радиусу Земли, и цепь замыкается: теперь мы одновременно находим радиус Луны, радиус Солнца, а заодно и расстояния от Луны и от Солнца до Земли.

При лунном затмении Луна уходит в тень Земли. Спрятавшись за Землю, Луна лишается солнечного света, и, таким образом, перестает светить. Она не исчезает из вида полностью, поскольку небольшая часть солнечного света рассеивается земной атмосферой и доходит до Луны в обход Земли. Луна темнеет, приобретая красноватый оттенок (через атмосферу лучше всего проходят красные и оранжевые лучи). На лунном диске при этом отчетливо видна тень от Земли (рис. 6). Круглая форма тени еще раз подтверждает шарообразность Земли. Аристарха же интересовал размер этой тени. Для того, чтобы определить радиус круга земной тени (мы сделаем это по фотографии на рисунке 6), достаточно решить простое упражнение.

Упражнение 4. На плоскости дана дуга окружности. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок, равный ее радиусу.

Выполнив построение, находим, что радиус земной тени примерно в раза больше радиуса Луны. Обратимся теперь к рисунку 7. Серым цветом закрашена область земной тени, в которую попадает Луна при затмении. Предположим, что центры окружностей S, Z и L лежат на одной прямой. Проведем диаметр Луны M₁M₂, перпендикулярный прямой LS. Продолжение этого диаметра пересекает общие касательные окружностей Солнца и Земли в точках D₁ и D₂. Тогда отрезок D₁D₂ приближенно равен диаметру тени Земли. Мы пришли к следующей задаче.

Задача 1. Даны три окружности с центрами S, Z и L, лежащими на одной прямой. Отрезок D₁D₂, проходящий через L, перпендикулярен прямой SL, а его концы лежат на общих внешних касательных к первой и второй окружностям. Известно, что отношение отрезка D₁D₂ к диаметру третьей окружности равно t, а отношение диаметров первой и третьей окружности равно ZS/ZL = κ. Найдите отношение диаметров первой и второй окружностей.

Если решить эту задачу, то будет найдено отношение радиусов Солнца и Земли. Значит, будет найден радиус Солнца, а с ним и Луны. Но решить ее не удастся. Можете попробовать — в задаче не достает одного данного. Например, угла между общими внешними касательными к первым двум окружностям. Но даже если этот угол был бы известен, решение будет использовать тригонометрию, которую Аристарх не знал (мы формулируем соответствующую задачу в упражнении 6). Он находит более простой выход. Проведем диаметр A₁A₂ первой окружности и диаметр B₁B₂ второй, оба — параллельные отрезку D₁D₂. Пусть C₁ и С₂ — точки пересечения отрезка D₁D₂ с прямыми A₁B₁ и А₂В₂ соответственно (рис. 8). Тогда в качестве диаметра земной тени возьмем отрезок C₁C₂ вместо отрезка D₁D₂. Стоп, стоп! Что значит, «возьмем один отрезок вместо другого»? Они же не равны! Отрезок C₁C₂ лежит внутри отрезка D₁D₂, значит C₁C₂ < D₁D_2. Да, отрезки разные, но они почти равны. Дело в том, что расстояние от Земли до Солнца во много раз больше диаметра Солнца (примерно в 215 раз). Поэтому расстояние ZS между центрами первой и второй окружности значительно превосходит их диаметры. Значит, угол между общими внешними касательными к этим окружностям близок к нулю (в реальности он примерно 0,5°), т. е. касательные «почти параллельны». Если бы они были в точности параллельны, то точки A₁ и B₁ совпадали бы с точками касания, следовательно, точка C₁ совпала бы с D₁, а C₂ с D₂, и значит, C₁C₂ = D₁D₂. Таким образом, отрезки C₁C₂ и D₁D₂ почти равны. Интуиция и здесь не подвела Аристарха: на самом деле отличие между длинами отрезков составляет менее сотой доли процента! Это — ничто по сравнению с возможными погрешностями измерений. Убрав теперь лишние линии, включая окружности и их общие касательные, приходим к такой задаче.

Задача 1′. На боковых сторонах трапеции А₁А₂С₂С₁ взяты точки B₁ и В₂ так, что отрезок В₁В₂ параллелен основаниям. Пусть S, Z u L — середины отрезков А₁А₂, B₁B₂ и C₁C₂ соответственно. На основании C₁C₂ лежит отрезок М₁М₂ с серединой L. Известно, что и . Найдите А₁А₂/B₁B₂.

Решение. Так как , то , а значит, треугольники A₂SZ и M₁LZ подобны с коэффициентом SZ/LZ = κ. Следовательно, A₂SZ = M₁LZ, и поэтому точка Z лежит на отрезке M₁A₂. Аналогично, Z лежит на отрезке М₂А₁ (рис. 9). Так как C₁C₂ = t·М₁М₂ и , то .

Далее, треугольники A₂C₂M₁ и A₂B₂Z подобны. Их коэффициент подобия равен

Следовательно,

С другой стороны,

Значит, . Из этого равенства сразу получаем, что .

Итак, отношение диаметров Солнца и Земли равно , а Луны и Земли равно .

Подставляя известные нам величины κ = 400 и t = 8/3, получаем, что Луна примерно в 3,66 раза меньше Земли, а Солнце в 109 раз больше Земли. Так как радиус Земли R нам известен, находим радиус Луны R_l = R/3,66 и радиус Солнца R_s = 109R.

Теперь расстояния от Земли до Луны и до Солнца вычисляются в один шаг, это может быть сделано с помощью углового диаметра. Угловой диаметр β Солнца и Луны составляет примерно полградуса (если быть совсем точным, 0,53°). Как древние астрономы его измеряли, об этом речь впереди. Опустив касательную ZQ на окружность Луны, получаем прямоугольный треугольник ZLQ с острым углом β/2 (рис. 10).

Из него находим , что примерно равно 215R_l, или 62R. Аналогично, расстояние до Солнца равно 215R_s  = 23 455R.

Всё. Размеры Солнца и Луны и расстояния до них найдены.

Упражнения
5. Докажите, что прямые A₁B₁, A₂B₂ и две общие внешние касательные к первой и второй окружностям (см. рис.  пересекаются в одной точке.
6. Решите задачу 1, если дополнительно известен угол между касательными между первой и второй окружностью.
7. Солнечное затмение может наблюдаться в одних частях земного шара и не наблюдаться других. А лунное затмение?
8. Докажите, что солнечное затмение может наблюдаться только во время новолуния, а лунное затмение — только во время полнолуния.
9. Что происходит на Луне, когда на Земле происходит лунное затмение?

О пользе ошибок

На самом деле всё было несколько сложнее. Геометрия только формировалась, и многие привычные для нас еще с восьмого класса школы вещи были в то время совсем не очевидны. Аристарху потребовалось написать целую книгу, чтобы изложить то, что мы изложили на трех страницах. И с экспериментальными измерениями тоже всё было непросто. Во-первых, Аристарх ошибся с измерением диаметра земной тени во время лунного затмения, получив отношение t = 2 вместо . Кроме того, он, вроде бы, исходил из неверного значения угла β — углового диаметра Солнца, считая его равным 2°. Но эта версия спорная: Архимед в своем трактате «Псаммит» пишет, что, напротив, Аристарх пользовался почти правильным значением в 0,5°. Однако самая ужасная ошибка произошла на первом шаге, при вычислении параметра κ — отношения расстояний от Земли до Солнца и до Луны. Вместо κ = 400 у Аристарха получилось κ = 19. Как можно было ошибиться более чем в 20 раз? Обратимся еще раз к шагу 1, рисунок 3. Для того чтобы найти отношение κ = ZS/ZL, Аристарх измерил угол α = SZL, и тогда κ = 1/cos α. Например, если угол α был бы равен 60°, то мы получили бы κ = 2, и Солнце было бы вдвое дальше от Земли, чем Луна. Но результат измерения оказался неожиданным: угол α получался почти прямым. Это означало, что катет ZS во много раз превосходит ZL. У Аристарха получилось α = 87°, и тогда cos α =1/19  (напомним, что все вычисления у нас — приближенные). Истинное значение угла , и cos α =1/400. Так погрешность измерения менее чем в 3° привела к ошибке в 20 раз! Завершив вычисления, Аристарх приходит к выводу, что радиус Солнца равен 6,5 радиусов Земли (вместо 109).

Ошибки были неизбежны, учитывая несовершенные измерительные приборы того времени. Важнее то, что метод оказался правильным. Вскоре (по историческим меркам, т. е. примерно через 100 лет) выдающийся астроном античности Гиппарх (190 – ок. 120 до н.э.) устранит все неточности и, следуя методу Аристарха, вычислит правильные размеры Солнца и Луны. Возможно, ошибка Аристарха оказалась в конце концов даже полезной. До него господствовало мнение, что Солнце и Луна либо вовсе имеют одинаковые размеры (как и кажется земному наблюдателю), либо отличаются несильно. Даже отличие в 19 раз удивило современников. Поэтому не исключено, что, найди Аристарх правильное отношение κ = 400, в это никто бы не поверил, а может быть, и сам ученый отказался бы от своего метода, сочтя результат несуразным. Известный принцип гласит, что геометрия — это искусство хорошо рассуждать на плохо выполненных чертежах. Перефразируя, можно сказать, что наука в целом — это искусство делать верные выводы из неточных, или даже ошибочных, наблюдений. И Аристарх такой вывод сделал. За 17 веков до Коперника он понял, что в центре мира находится не Земля, а Солнце. Так впервые появилась гелиоцентрическая модель и понятие Солнечной системы.

Что в центре?

Господствовавшее в Древнем Мире представление об устройстве Вселенной, знакомое нам по урокам истории, заключалось в том, что в центре мира — неподвижная Земля, вокруг нее по круговым орбитам вращаются 7 планет, включая Луну и Солнце (которое тоже считалось планетой). Завершается всё небесной сферой с прикрепленными к ней звездами. Сфера вращается вокруг Земли, делая полный оборот за 24 часа. Со временем в эту модель многократно вносились исправления. Так, стали считать, что небесная сфера неподвижна, а Земля вращается вокруг своей оси. Затем стали исправлять траектории движения планет: круги заменили циклоидами, т. е. линиями, которые описывают точки окружности при ее движении по другой окружности (об этих замечательных линиях можно прочитать в книгах Г. Н. Бермана «Циклоида», А. И. Маркушевича «Замечательные кривые», а также в «Кванте»: статья С. Верова «Тайны циклоиды» №8, 1975, и статья С. Г. Гиндикина «Звездный век циклоиды», №6, 1985). Циклоиды лучше согласовывались с результатами наблюдений, в частности, объясняли «попятные» движения планет. Это — геоцентрическая система мира, в центре которой — Земля («гея»). Во II веке она приняла окончательный вид в книге «Альмагест» Клавдия Птолемея (87–165), выдающегося греческого астронома, однофамильца египетских царей. Со временем некоторые циклоиды усложнялись, добавлялись всё новые промежуточные окружности. Но в целом система Птолемея господствовала около полутора тысячелетий, до XVI века, до открытий Коперника и Кеплера. Поначалу геоцентрической модели придерживался и Аристарх. Однако, вычислив, что радиус Солнца в 6,5 раз больше радиуса Земли, он задал простой вопрос: почему такое большое Солнце должно вращаться вокруг такой маленькой Земли? Ведь если радиус Солнца больше в 6,5 раз, то его объем больше почти в 275 раз! Значит, в центре мира должно находиться Солнце. Вокруг него вращаются 6 планет, включая Землю.³ А седьмая планета, Луна, вращается вокруг Земли. Так появилась гелиоцентрическая система мира («гелиос» — Солнце). Уже сам Аристарх отмечал, что такая модель лучше объясняет видимое движение планет по круговым орбитам, лучше согласуется с результатами наблюдений. Но ее не приняли ни ученые, ни официальные власти. Аристарх был обвинен в безбожии и подвергся преследованиям. Из всех астрономов античности только Селевк стал сторонником новой модели. Больше ее не принял никто, по крайней мере, у историков нет твердых сведений на этот счет. Даже Архимед и Гиппарх, почитавшие Аристарха и развившие многие его идеи, не решились поставить Солнце в центр мира. Почему?

Почему мир не принял гелиоцентрической системы?

Как же получилось, что в течение 17 веков ученые не принимали простой и логичной системы мира, предложенной Аристархом? И это несмотря на то, что официально признанная геоцентрическая система Птолемея часто давала сбои, не согласуясь с результатами наблюдений за планетами и за звездами. Приходилось добавлять всё новые окружности (так называемые вложенные циклы) для «правильного» описания движения планет. Самого Птолемея трудности не пугали, он писал: «К чему удивляться сложному движению небесных тел, если их сущность нам неизвестна?» Однако уже к XIII веку этих окружностей накопилось 75! Модель стала столь громоздкой, что начали раздаваться осторожные возражения: неужели мир в самом деле устроен так сложно? Широко известен случай с Альфонсом X (1226–1284), королем Кастилии и Леона, государства, занимавшего часть современной Испании. Он, покровитель наук и искусств, собравший при своем дворе пятьдесят лучших астрономов мира, на одной из научных бесед обмолвился, что «если бы при сотворении мира Господь оказал мне честь и спросил моего совета, многое было бы устроено проще». Подобная дерзость не прощалась даже королям: Альфонс был низложен и отправлен в монастырь.⁴ Но сомнения остались. Часть из них можно было бы разрешить, поставив Солнце в центр Вселенной и приняв систему Аристарха. Его труды были хорошо известны. Однако еще много веков никто из ученых не решался на такой шаг. Причины были не только в страхе перед властями и официальной церковью, которая считала теорию Птолемея единственно верной. И не только в инертности человеческого мышления: не так-то просто признать, что наша Земля — не центр мира, а лишь рядовая планета. Все-таки для настоящего ученого ни страх, ни стереотипы — не препятствия на пути к истине. Гелиоцентрическая система отвергалась по вполне научным, можно даже сказать, геометрическим причинам. Если допустить, что Земля вращается вокруг Солнца, то ее траектория — окружность с радиусом, равным расстоянию от Земли до Солнца. Как мы знаем, это расстояние равно 23 455 радиусов Земли, т. е. более 150 миллионов километров. Значит, Земля в течение полугода перемещается на 300 миллионов километров. Гигантская величина! Но картина звездного неба для земного наблюдателя при этом остается такой же. Земля то приближается, то удаляется от звезд на 300 миллионов километров, но ни видимые расстояния между звездами (например, форма созвездий), ни их яркость не меняются. Это означает, что расстояния до звезд должны быть еще в несколько тысяч раз больше, т. е. небесная сфера должна иметь совершенно невообразимые размеры! Это, между прочим, осознавал и сам Аристарх, который писал в своей книге: «Объем сферы неподвижных звезд во столько раз больше объема сферы с радиусом Земля-Солнце, во сколько раз объем последней больше объема земного шара», т. е. по Аристарху выходило, что расстояние до звезд равно (23 455)²R, это более 3,5 триллионов километров. В реальности расстояние от Солнца до ближайшей звезды еще примерно в 11 раз больше. (В модели, которую мы представили в самом начале, когда расстояние от Земли до Солнца равно 10 м, расстояние до ближайшей звезды равно … 2700 километров!) Вместо компактного и уютного мира, в центре которого находится Земля и который помещается внутри относительно небольшой небесной сферы, Аристарх нарисовал бездну. И эта бездна испугала всех.

Венера, Меркурий и невозможность геоцентрической системы

Между тем невозможность геоцентрической системы мира, с круговыми движениями всех планет вокруг Земли, может быть установлена с помощью простой геометрической задачи.

Задача 2. На плоскости даны две окружности с общим центром О, по ним равномерно движутся две точки: точка М по одной окружности и точка V по другой. Докажите, что либо они двигаются в одном направлении с одинаковой угловой скоростью, либо в некоторый момент времени угол MOV тупой.

Решение. Если точки движутся в одном направлении с разными скоростями, то через некоторое время лучи ОМ и OV окажутся сонаправленными. Далее угол MOV начинает монотонно возрастать до следующего совпадения, т. е. до 360°. Следовательно, в некоторый момент он равен 180°. Случай, когда точки движутся в разных направлениях, рассматривается так же.

Теорема. Ситуация, при которой все планеты Солнечной системы равномерно вращаются вокруг Земли по круговым орбитам, невозможна.

Доказательство. Пусть О — центр Земли, М — центр Меркурия, а V — центр Венеры. Согласно многолетним наблюдениям, у Меркурия и Венеры разные периоды обращения, а угол MOV никогда не превосходит 76°. В силу результата задачи 2 теорема доказана.

Конечно, древние греки неоднократно встречались с подобными парадоксами. Именно поэтому, чтобы спасти геоцентрическую модель мира, они заставили планеты двигаться не по окружностям, а по циклоидам.

Доказательство теоремы не совсем честно, поскольку Меркурий и Венера вращаются не в одной плоскости, как в задаче 2, а в разных. Хотя плоскости их орбит почти совпадают: угол между ними — всего несколько градусов. В упражнении 10 мы предлагаем вам устранить этот недостаток и решить аналог задачи 2 для точек, вращающихся в разных плоскостях. Другое возражение: может быть, угол MOV бывает тупым, но мы этого не видим, поскольку на Земле в это время день? Принимаем и это. В упражнении 11 нужно доказать, что для трех вращающихся радиусов всегда настанет момент времени, когда они будут образовывать друг с другом тупые углы. Если на концах радиусов — Меркурий, Венера и Солнце, то в этот момент времени Меркурий и Венера будут видны на небе, а Солнце — нет, т. е. на земле будет ночь. Но должны предупредить: упражнения 10 и 11 значительно сложнее задачи 2. Наконец, в упражнении 12 мы предлагаем вам, ни много ни мало, вычислить расстояние от Венеры до Солнца и от Меркурия до Солнца (они, конечно, вращаются вокруг Солнца, а не вокруг Земли). Убедитесь сами, насколько это просто, после того, как мы узнали метод Аристарха.

Упражнения
10. В пространстве даны две окружности с общим центром О, по ним равномерно с разными угловыми скоростями движутся две точки: точка М по одной окружности и точка V по другой. Докажите, что в некоторый момент угол MOV тупой.
11. На плоскости даны три окружности с общим центром О, по ним равномерно с разными угловыми скоростями движутся три точки. Докажите, что в некоторый момент все три угла между лучами с вершиной О, направленными в данные точки, тупые.
12. Известно, что максимальное угловое расстояние между Венерой и Солнцем, т. е. максимальный угол между лучами, направленными с Земли к центрам Венеры и Солнца, равно 48°. Найдите радиус орбиты Венеры. То же — для Меркурия, если известно, что максимальное угловое расстояние между Меркурием и Солнцем равно 28°.

Последний штрих: измерение угловых размеров Солнца и Луны

Следуя шаг за шагом рассуждениям Аристарха, мы упустили лишь один аспект: как измерялся угловой диаметр Солнца? Сам Аристарх этого не делал, пользуясь измерениями других астрономов (по-видимому, не совсем верными). Напомним, что радиусы Солнца и Луны он смог вычислить, не привлекая их угловые диаметры. Посмотрите еще раз на шаги 1, 2 и 3: нигде значение углового диаметра не используется! Он нужен только для вычисления расстояний до Солнца и до Луны. Попытка определить угловой размер «на глазок» успеха не приносит. Если попросить несколько человек оценить угловой диаметр Луны, большинство назовут угол от 3 до 5 градусов, что в разы больше истинного значения. Сказывается обман зрения: ярко-белая Луна на фоне темного неба кажется массивной. Первым, кто провел математически строгое измерение углового диаметра Солнца и Луны, был Архимед (287— 212до н.э.) Он изложил свой метод в книге «Псаммит» («Исчисление песчинок»). Сложность задачи он осознавал: «Получить точное значение этого угла — дело нелегкое, потому что ни глаз, ни руки, ни приборы, при помощи которых производится отсчет, не обеспечивают достаточной точности». Поэтому Архимед не берется вычислить точное значение углового диаметра Солнца, он лишь оценивает его сверху и снизу. Он помещает круглый цилиндр на конце длинной линейки, напротив глаза наблюдателя. Линейка направляется на Солнце, и цилиндр придвигается к глазу до тех пор, пока он не заслонит собой Солнце полностью. Затем наблюдатель уходит, а на конце линейки отмечается отрезок MN, равный размеру человеческого зрачка (рис. 11).

Тогда угол α₁ между прямыми МР и NQ меньше углового диаметра Солнца, а угол α₂ = POQ — больше. Мы обозначили через PQ диаметр основания цилиндра, а через О — середину отрезка MN. Итак, α₁ < β < α₂ (докажите это в упражнении 13). Так Архимед находит, что угловой диаметр Солнца заключен в пределах от 0,45° до 0,55°.

Неясным остается, почему Архимед измеряет Солнце, а не Луну. Он был хорошо знаком с книгой Аристарха и знал, что угловые диаметры Солнца и Луны одинаковы. Луну же измерять гораздо удобнее: она не слепит глаза и границы ее видны отчетливее.

Некоторые древние астрономы измеряли угловой диаметр Солнца, исходя из продолжительности солнечного или лунного затмения. (Попробуйте восстановить этот способ в упражнении 14.) А можно сделать то же, не дожидаясь затмений, а просто наблюдая закат Солнца. Выберем для этого день весеннего равноденствия 22 марта, когда Солнце восходит точно на востоке, а заходит точно на западе. Это означает, что точки восхода Е и заката W диаметрально противоположны. Для земного наблюдателя Солнце движется по окружности с диаметром EW. Плоскость этой окружности составляет с плоскостью горизонта угол 90° – γ, где γ — географическая широта точки М, в которой находится наблюдатель (например, для Москвы γ = 55,5°, для Александрии γ = 31°). Доказательство приведено на рисунке 12. Прямая ZP — ось вращения Земли, перпендикулярная плоскости экватора. Широта точки М — угол между отрезком ZP и плоскостью экватора. Проведем через центр Солнца S плоскость α, перпендикулярную оси ZP.

Плоскость горизонта касается земного шара в точке М. Для наблюдателя, находящегося в точке М, Солнце в течение дня движется по окружности в плоскости α с центром Р и радиусом PS. Угол между плоскостью α и плоскостью горизонта равен углу MZP, который равен 90° – γ, поскольку плоскость α перпендикулярна ZP, а плоскость горизонта перпендикулярна ZM. Итак, в день равноденствия Солнце заходит за горизонт под углом 90° – γ. Следовательно, во время заката оно проходит дугу окружности, равную β/cos γ, где β — угловой диаметр Солнца (рис. 13). С другой стороны, за 24 часа оно проходит по этой окружности полный оборот, т. е. 360°.

Получаем пропорцию где Т — продолжительность заката (единица измерения — час). Зная γ и измерив время Т, находим β = 0,53°.

Упражнения
13. Докажите, что угол α₁ между прямыми МР и NQ (см. рис. 11) меньше углового диаметра Солнца, а угол α₂ = POQ — больше.
14. Предложите способ измерения угловых размеров Луны во время лунного затмения.

С автором статьи можно связаться по адресу: v-protassov@yandex.ru.

¹ В некоторых источниках сообщается легенда о том, что одним из них был друг Эратосфена — великий Архимед.
² Неизвестно, знал ли Аристарх об измерении Эратосфена или пользовался другим значением радиуса Земли. Это не так важно, поскольку он брал радиус Земли в качестве единицы длины.
³ Именно шесть, а не девять, поскольку Уран, Нептун и Плутон были открыты гораздо позже. Совсем недавно, 13 сентября 2006 года, по решению Международного астрономического союза (IAU) Плутон лишился статуса планеты. Так что планет в Солнечной системе теперь восемь.
⁴ Истинной причиной опалы короля Альфонса была, видимо, обычная борьба за власть, но его ироничное замечание об устройстве мира послужило веским поводом для его недругов.

Наверняка многие входят в ступор, когда слышат фразы вроде «диаметр Луны составляет половину градуса» или «угловое расстояние между компонентами двойной звезды равно 5 секунд дуги». Какие в небе могут быть секунды, минуты и градусы? Попробуем с этим разобраться, а также научиться измерять расстояния между небесными объектами при помощи собственных рук.

Всем известно, что условно небо можно представить в виде сферы, на которую спроецированы изображения космических объектов. А наблюдатель всегда находится в ее центре. В связи с этим измерения на небе вполне разумно выражать в градусной мере. Таким образом, если у нас имеется две точки на небе, то расстояние между ними будет представлять из себя угол, образованный прямыми, проведенными из этих точек в глаз наблюдателя. Сложно? Тогда зацените картинку.

Сразу все стало понятно, не так ли? Угловое расстояние между двумя объектами на изображении есть угол α.

Всего в окружности 360, а в ее половине — 180 градусов. Таким образом, между двумя противоположными точками на горизонте 180°. Угловое расстояние между горизонтом и точкой зенита — 90°.

На рисунке в начале статьи указаны расстояния между некоторыми звездами в созвездиях Большой и Малой медведиц. По ним можно «откалибровать» пальцы для небесных измерений. Средние результаты приблизительно таковы:

Как это работает? Просто полностью вытяните руку и расположите пальцы так, как на изображении, чтобы измерить угловое расстояние между интересующими вас объектами.

Градусы — довольно большая величина для небесных тел. Говоря об их размерах и расстояниях между ними, часто используют минуты (′) и секунды (″) дуги. Здесь все предельно просто: в одном градусе 60 минут, а в одной минуте… сами догадаетесь, сколько секунд? Секунда дуги — величина очень маленькая. Примерно такой угловой диаметр имеет пятирублевая монета с расстояния в 4 километра. Невооруженный глаз, каким бы орлиным он ни был, никогда не увидит ее.

И напоследок приведу примеры угловых расстояний и размеров на небесной сфере.

• Солнце и Луна имеют диаметр 0,5° (30′).
• Расстояние между Мицаром и Алькором составляет 12′.
• Невооруженный глаз человека способен видеть объекты с угловым размером минимум 1′.
• Венера достигает диаметра 1′.
• Максимальный угловой размер Юпитера — 45″, а Сатурна — 22″.
• В 100-мм телескоп нельзя увидеть объекты с угловым диаметром менее полутора секунд дуги.