Как найти удлинение в сопромате

Рассмотрим
однородный стержень с одним концом,
жестко за­деланным, и другим — свободным,
к которому приложена централь­ная
продольная сила Р
(рис. 2.2). До нагружения стержня его
длина равнялась l -после
нагружения она стала равной l + Dl
(рис. 2.2). Величину Dl
называют абсолютным удлинением стержня.

Рис. 2.2

Если
в нагруженном стержне напряженное
состояние является однородным, т.е. все
участки стержня находятся в одинаковых
ус­ловиях, деформация e
остается одной и той же по длине стержня
и равной

. (2.1)

Если
же по длине стержня возникает неоднородное
напряжен­ное состояние, то для
определения его абсолютного удлинения
не­обходимо рассмотреть бесконечно
малый элемент длиной dz
(рис. 2.2). При растяжении он увеличит
свою длину на величину D dz
и его деформация составит:

. (2.2)

В
пределах малых деформаций при простом
растяжении или сжатии закон Гука
записывается в следующем виде:

s = E e . (2.3)

Величина
Е
представляет собой коэффициент
пропорциональ­ности, называемый
модулем упругости материала первого
рода. Из совместного рассмотрения
уравнений (2.2) и (2.3) получим:

,

откуда
с учетом того, что

и
,

окончательно
получим:

. (2.4)

Если
стержень изготовлен из однородного
изотропного мате­риала с Е = const,
имеет постоянное поперечное сечение
F = const
и нагружен по концам силой Р,
то из (2.4) получим

. (2.5)

При
решении многих практических задач
возникает необходи­мость, наряду с
удлинениями, обусловленными действием
механи­ческих нагрузок, учитывать
также удлинения, вызванные темпера­турным
воздействием. В этом случае пользуются
принципом неза­висимости действия
сил, и полные деформации рассматривают
как сумму силовой и температурной
деформаций:

, (2.6)

где
a — коэффициент
температурного расширения материала;
t -пе­репад
температуры тела. Для однородного
стержня, нагруженного по концам
продольными силами Р
и равномерно нагретого по длине, получим:

. (2.7)

2.3. Пример расчета (задача № 1)

Для
стального бруса квадратного сечения
сжатого силой Р
с учетом собственного веса при исходных
данных приведенных ниже, требу­ется
(рис. 2.3, а):

1. Определить
количество расчетных участков;

2. Составить
аналитические выражения для нормальных
сил N_z ,
нормальных напряжений s_z
и вычислить их значения для каж­дого
из участков с учетом их собственных
весов;

3. Построить
эпюры N_z
и s_z
;

4. Вычислить
перемещение верхнего конца колонны от
дейст­вия силы Р
и собственного веса.

Исходные данные: Р = 20 кН;
l₁ = l₂ = l₃ = 0,4 м;
модуль упругости стали Е = 2,1×10⁸ кН/м²;
F₁ = 4×10^-2 м²;
F₂ = 9×10^-2 м²;
F₃ = 25×10^-2 м²;
g = 78
кН/м³
.

Решение

1. Определение
количества участков.
Так как нор­мальная сила N_z
зависит от величин внешних сил, в данном
случае включающих в себя и собственный
вес колонны, а последний, в свою очередь,
от размеров попе­речного сечения F_i
и
объемного веса g,
то границами участков следует назначать
те сечения, в которых приложены внешние
сосредоточенные силы и где происходит
скачкообразное изменение площади
попе­речного сечения или объемного
веса материалов конструкций.

Исходя
из вышесказанного, учитывая g
= const,
брус будет иметь три участка:

1 участок — от
0 до сечения В
(где приложена сила Р);

2 участок — от
сечения
В
до сечения
С;

3 участок — от
сечения
С
до сечения
D.

Следует
заметить, что при определении нормальных
напряже­ний используются те же участки.

1. Составить
   аналитические выражения для нор­мальных
   сил N_z,
   нормальных напряжений s_z
   и вычис­лить их значения для каждого
   из участков, с учетом их собственных
   весов.
   Для
   этого воспользуемся методом сече­ний.

1 участок
(0 — В)
0 £ z₁ £ 0,4
м.

Проведя
сечение 1 — 1
на расстоянии z₁
от
начала координат (точка 0), рассмотрим
равновесие верхней части. При этом, к
рас­сматриваемой части прикладываются
в центре ее тяжести собствен­ный вес
и нормальная сила
,
заменяющую действие отброшен­ной
нижней части бруса на верхнюю
рассматриваемую (рис. 2.3,б).
Составив уравнение равновесия
рассматриваемой верхней части ко­лонны
по оси z ,
получим:

.

В
свою очередь, собственный вес верхней
части колонны оп­ределяется следующим
образом:

кН.

Тогда
выражение для нормальной силы будет
иметь вид:

кН,

а
для нормальных напряжений
:

кН/м².

Так
как,
илинейно
зависят отz₁ ,
то для построения их графиков (эпюр)
достаточно определить значения этих
величин на границах участка, т.е.

при
z₁ = 0

при
z₁ = 0,4 м кН;

кН/м².

Знаки
минус при
и
указывают
на то, что принятое на­правление для
этих величин не совпадает с действительным,
т. к. в принятой схеме продольная сила
не растягивает, а сжимает первый участок.

2
участок (В — С)
0,4 м £ z₂ £ 0,8
м.

Аналогично
предыдущему проводим сечение 2-2
на расстоянии z₂
(рис. 2.3, в).
Для верхней части составляем уравнение
равновесия åz = 0 .

В
это уравнение войдут: собственный вес
первого участка Р₁ =
= g F₁ l₁;
собственный вес отсеченной части второго
участка

;
сосредоточенная силаР
= 20 кН, а также сила
.

Тогда
уравнение равновесия примет вид:

Р₁ +  + P + = 0,

отсюда

= —P — g F₁ l₁ —  = -20 — 78×4×10^-2×0,4 — 78×9×10^-2
(z₂ -0,4) = 
  = -7,02×(z₂ + 2,62678)
кН.

Учитывая
постоянство площади поперечного сечения
на втором участке, выражение для
нормального напряжения может быть
запи­сано таким образом:

êÍ/ì².

Вычислим
значения ординат
ив граничных сечениях второго участка:

при
z₂ = 0,4 м кН,

кН/м²;

при
z₂ = 0,8 м кН,

кН/м².

3
участок (С — D)
0,8 м £ z₃ £
1,2 м.

Составив
уравнение равновесия åz = 0
(рис. 2.3, г)
для верхней части бруса, получим:

Р₁ + Р₂ +  + P + = 0,

откуда

= —P — g F₁ l₁ — g F₂ l₂ — g F₃ (z₃ — l₁ — l₂)= -20 — 78×4×10^-2×0,4 —
— 78×9×10^-2 ×0,4 — 78×25×10^-2 (z₃ — 0,8) = -19,5×(z₃ + 0,43364)
кН.

Выражение
для напряжения:

кН/м².

Вычислим
значения ординат

и
в граничных сечениях третьего участка:

при
z₃
= 0,8 м (0,8) =-19,5 (0,8 + 0,43364) = -24,056
кН,

(0,8) =-78 (0,8 + 0,43364) = -96,224кН/м²;

при
z₃
= 1,2 м (1,2) =-19,5 (1,2 + 0,43364) = -31,856
кН,

кН/м².

3. Построение
эпюр N_z
и s_z

По причине линейной зависимости
нормальной силы и напряжений от координаты
z
для построения их эпюр достаточно
значений N_z
и
s_z
в
граничных сечениях каждого из участков
(см. рис. 2.3, д, е).
Необходимым условием правильности
построения этих графиков является
выпол­нение следующих требований:

— скачок
в эпюре N_z
должен находиться в точке приложения
сосредоточенного усилия и быть равным
по величине значению этой силы;

— скачки
в эпюре s_z
должны
совпадать с точками приложения внешней
силы Р
и изменения площади поперечного сечения
ко­лонны.

После
анализа полученных эпюр (рис. 2.3, д, е)
легко можно убедиться, что построения
выполнены правильно.

4. Вычисление
перемещения верхнего конца ко­лонны
от действия всех сил.
Полное перемещение со­гласно закону
Гука может быть вычислено по формуле

.

В
данном случае это выражение принимает
следующий вид:

Так
как величины определенных интегралов
равны площадям, очерченным соответствующими
подынтегральными функциями, то для
вычисления перемещений Dl_i
достаточно
вычислить площади эпюры N_z
на
каждом из этих участков и разделить их
на E_i
F_i
.
Следовательно,

м.

Соседние файлы в папке 1

• #
• #
• #

  25.04.2014747.01 Кб42П1.DOC

• #
• #
• #
• #
• #

Примеры решения задач по сопротивлению материалов



На этой странице приведен еще один пример решения задачи по Сопромату, где необходимо найти внутренние усилия, напряжения и линейные удлинения на участках и в сечениях бруса, нагруженного продольной силой и собственным весом.

Результаты расчетов оформлены эпюрами продольных сил, напряжений и удлинений бруса.

Студентам технических специальностей ВУЗов в качестве методической помощи предлагаются к скачиванию готовые варианты контрольных работ по сопромату (прикладной механике). Представленные задания и примеры их решения предназначены, в частности, для учащихся Алтайского Государственного технического университета.
Варианты контрольных работ можно скачать в формате Word для ознакомления с порядком решения заданий, или для распечатывания и защиты (при совпадении вариантов).

***

Расчет стержня

Условие задачи:

Стержень, жестко закрепленный одним концом, состоящий из трех участков длиной l₁…l₃, и площадью А₁…А₃, находится под действием собственного веса и силы F, приложенной на координате l_F (см. рис. 1).
Материал стрежня – сталь Ст.3.

Требуется:

Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений σ и перемещений δ.

Исходные данные:

• l₁ = 1,1 м;
• l₂ = 1,0 м;
• l₃ = 0,9 м;
• А₁ = 40 см²;
• А₂ = 20 см²;
• А₃ = 25 см²;
• F = 70 кН;
• l_F = l₁ + l₂;
• Опора расположена вверху.

Справочная информация:

Удельный вес стали Ст.3:   γ = (77…79)×10³ Н/м³.
Для расчетов принимаем удельный вес равным   γ = 78×10³ Н/м³.
Модуль продольной упругости (модуль Юнга) для стали Ст.3:   Е = 2×10¹¹ Н/м².

Указания:

Собственный вес стержня можно представить в виде распределенной нагрузки q₁ = γ×А₁.
Ось z, направление силы F и нумерацию участков вести от опоры.

Решение задачи:

1. Вычерчиваем схему стержня в соответствии с исходными данными.

2. Расчет ведем от свободного конца стержня, т. е. с III-го участка.
Рассекаем стержень на силовом участке и отбрасываем часть стержня, содержащую опору (верхнюю часть).
Составляем уравнения для нахождения продольной силы N, нормального напряжения σ и удлинения стержня ∆l на силовом участке III:

2.1. Поскольку сила F на участке III не действует, то продольная сила на этом участке представлена только весом стержня, который увеличивается по мере удаления от плоскости 3-3. При этом зависимость величины продольной силы F от координаты z₃ будет прямо пропорциональной, поскольку изменяется только координата, а площадь сечения А₃ и плотность стали γ остается неизменной по всему участку.
Уравнение для продольной силы на участке:

N = q₃×z3 = γ×А₁×z₃,

где
q₃ – вес стержня, представленный в виде распределенной нагрузки (Н/м);
z₃ – координата рассматриваемого сечения стержня по оси z (м);
А₃ – площадь сечения участка III (м²);
γ – удельный вес материала стержня (для стали Ст.3 — γ = 78×10³ Н/м³).

Тогда в сечении 3-3 продольная сила будет равна нулю (т. к. и координата и вес равны нулю), а в сечении 2-2 (верхнем сечении участка III) продольная сила определится по формуле:

N₃ = q₃×z₃ = l₃× γ×А₃ = 0,9×78×10³×25×10^-4 = 175,5 Н.

2.2. Нормальное напряжение на силовом участке III определяем, как отношение продольной силы к площади участка в каждом рассматриваемом сечении стержня:

σ₃ = N₃/А₃.

Тогда в сечении 3-3 нормальное напряжение будет равно нулю (т. к. продольная сила равна нулю), а в сечении 2-2 (со стороны участка III) определится по формуле:

σ₃ = N₃/А₃ = 175,5/25×10^-4 =70222,2 Па   или   σ₃ ≈0,07 МПа.

2.3. Удлинение бруса на участке III определяем по закону Гука, с учетом изменяющегося по координате z веса стержня:

∆l₃ = ∫[N₃/(E×A₃)]dz,

где Е – модуль продольной упругости стали;   Е = 2×10¹¹ Н/м².

Удлинение изменяется по линейной зависимости от нижнего сечения (3-3) до верхнего сечения (2-2) участка, при этом в сечении 3-3 оно будет равно нулю, поскольку продольная сила N₃ в этом сечении равна нулю, а в сечении 2-2 удлинение будет равно:



3. Проводим расчет продольных сил, нормальных напряжений и удлинений стержня на участках II и I, учитывая, что к сечению 2-2 участка II приложена продольная сила F, которая по отношению к участкам II и I является растягивающей (т. е. положительной).

3.1. Продольная сила на участках II и I будет равна:

В начале участка II:

N₂¹ = F + N₃ = 70000 + 175,5 = 70175,5 Н  или  N₂¹ ≈ 70,175 кН.

В конце участка II и в начале участка I:

В конце участка I:

N₁² = N₁¹ + q₁×z₁ = F + l₁× γ×А₁ = 70331,5 + (1,1×78×10³×40×10^-4) =70674,7 Н  или  N₁² ≈ 70,67 кН.

3.2. Нормальное напряжение на участках II и I:

В начале участка II:
σ₂¹ = N₁² /А₂ = 70175/20×10^-4 = 35087500 Па  или  σ₂¹ ≈ 35,09 МПа.

В конце участка II:
σ₂² = N₂²/А₂ = 70331,5 /20×10^-4 = 35 165 750 Па  или  σ₂² ≈ 35,16 МПа.

В начале участка I:
σ₁¹ = N₁¹/А₁ = 70331,5 /40×10^-4 = 17 582 875 Па  или  σ₁¹ ≈ 17,58 МПа.

В конце участка I:
σ₁² = N₁²/А₁ = 70674,7 /40×10^-4 = 17668675 Па  или  σ₁² ≈ 17,7 МПа.

3.3. Удлинение стержня на участках II и I:

4. Определяем перемещения сечений стержня:

• δ_0-0 = 0 мм;
• δ_1-1 = ∆l₁ = 0,0991 мм;
• δ_2-2 = ∆l₁ + ∆l₂ = 0,0991 + 0,1785 = 0,2776 мм;
• δ_3-3 = ∆l₁ + ∆l₂ + ∆l₃ = 0,0991 + 0,1785 + 0,000158 = 0,2777 мм.

5. Результаты расчетов сводим в Таблицу 1, и строим эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений (см. рис. 1).

Таблица 1. Значения продольной силы, нормального напряжения и удлинения стержня по сечениям силовых участков.

***

Пример расчета вала на скручивание

Контрольная по сопромату для ВУЗов



При растяжении возникает удлинение стержня – разница между длиной стержня до и после погрузки. Эта величина еще называется абсолютной деформацией.

$Delta l = l-l_0$

Как показывают опыты, удлинение зависят от значения продольной силы, от площади сечения и от длины стержня.

При этом отмечено, что при увеличении силы или длины стержня удлинения увеличивается пропорционально.

При изменении площади удлинения, наоборот, обратно пропорционально площади сечения. Есть

$Delta l = frac{N l}{E A}$,

где Е — определенный коэффициент пропорциональности.

Записав по другому, получим

$frac{N}{A} = frac{Delta l}{l} E$

Введем следующее понятие.

Относительная деформация (относительное удлинение) – отношение удлинения к начальной длине стержня.

$epsilon=frac{Delta l}{l}$

Тогда, учтя что N/A = $sigma$, получим зависимость между напряжениями и относительными деформациями

  — закон Гука.

Закон Гука — утверждение, согласно которому деформация, возникающая в материале, пропорциональна напряжений. Открытый закон в 1660 году английским ученым Робертом Гуком.

Величина E называется модуль упругости (модуль Юнга). Это величина, характеризующая свойства материала сопротивляться растяжению или сжатию. Назван в честь английского физика XIX века Томаса Юнга.

Модуль упругости численно равен напряжению, которые могли бы возникнуть при единичных относительных деформациях (при $epsilon$ = 1).