Как найти удельную теплоемкость двухатомного газа - Autoru.top

Решение задач дело полезное, но не всегда интересное. Чтобы вы справлялись с решением задач по теме «Теплоемкость идеального газа» быстрее, приведем здесь несколько примеров и вопросов с объяснениями.

Подписывайтесь на наш телеграм-канал, чтобы получать полезную и интересную рассылку.

Задачи по теме «Теплоемкость идеального газа» с решениями

Повторение и практика – залог успеха в любом деле. И решение задач не исключение. Поэтому не забываем держать под рукой памятку по задачам и полезные формулы

Задача №1. Определить удельную теплоемкость идеального газа

Условие

Определить молярную массу M двухатомного газа и его удельные теплоемкости, если известно, что разность cр — cv удельных теплоемкостей этого газа равна 260 Дж/(кг*К)

Решение

По определению:

Значит, газ из задачи – кислород. Если кто не понял, как это определяется, учитесь пользоваться таблицей Менделеева.

Считаем удельные теплоемкости:

Ответ: 32 г/моль; 649 Дж/кг*К; 909 Дж/кг*К.

Задача №2. Удельная теплоемкость

Условие

Плотность некоторого газа при нормальных условиях ρ = 1,25 кг/м3. Отношение удельных теплоемкостей γ = 1,4. Определить удельные теплоемкости cv и сp этого газа.

Решение

Исходя из отношения удельных теплоемкостей, можно сделать вывод, что газ – двухатомный, i=5. При постоянном объеме удельная теплоемкость равна:

Молярную массу можно найти из уравнения Клапейрона-Менделеева:

Отсюда:

Ответ: 742 Дж/кг*К; 1039 Дж/кг*К.

Задача №3. Молярная теплоемкость

Условие

Вычислить молярные теплоемкости газа, зная, что его молярная масса М = 4∙10 3 кг/моль и отношение удельных теплоемкостей ср/сv = 1,67.

Решение

Удельные теплоемкости равны:

Можно найти:

Ответ: 12,4 Дж/моль*К; 20,71 Дж/моль*К

Задача №4. Теплоемкость при изопроцессах

Условие

На рисунке изображен изотермический процесс с газом постоянной массы. Сравните теплоемкость в процессе АВ с теплоемкостью этой же массы газа в изохорном процессе.

Решение

Теплоемкость при изохорном процессе является постоянной величиной. При изотермическом процесса она равна бесконечности. Значит, теплоемкость в процессе АВ больше.

Ответ: Теплоемкость в процессе АВ больше.

Задача №5. Теплоемкость при политропическом процессе

Условие

Найдите молярную теплоемкость идеального газа при политропическом процессе pVn = const, если показатель адиабаты газа равен γ. При каких значениях показателя политропы n теплоемкость газа будет отрицательной?

Решение

Запишем первое начало термодинамики, выражения для работы и изменения внутренней энергии в политропическом процессе соответственно:

Если количество вещества и изменение температуры принять равными единице, это выражение будет равно молярной теплоемкости (по определению теплоемкости):

Ответ: см. выражение выше.

Вопросы по теме «Теплоемкость идеального газа»

Вопрос 1. Что такое теплоемкость идеального газа?

Ответ. Когда газу сообщается определенное количество теплоты, меняется его температура.

Отношение количества теплоты, сообщенного газу, к изменению его температуры, называется теплоемкостью идеального газа.

Вопрос 2. Что такое молярная и удельная теплоемкость идеального газа?

Ответ. Молярная и удельная теплоемкости активно используются в термодинамике. Молярная теплоемкость – это теплоемкость одного моля вещества.

Удельная теплоемкость – теплоемкость единичной массы вещества.

Вопрос 3. Как определяется теплоемкость газа при изопроцессах?

Ответ.

При изотермическом процессе T=const. Теплоемкость равна плюс/минус бесконечности.
При адиабатном процессе нет теплообмена с окружающей средой, теплоемкость равна нулю.
При изохорном процессе газ не совершает работы, а теплоемкость равна:

Здесь i – количество степеней свободы молекул газа. Для одноатомных газов i=3, для двухатомных i=5.

При изобарном процессе теплоемкость определяется соотношением Мейера:

Вопрос 4. Как еще связаны теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объеме?

Ответ. Отношение теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме обозначается греческой буквой «гамма» и называется показателем адиабаты.

Вопрос 5. Как называются процессы, в которых теплоемкость газа остается неизменной?

Ответ. Такие процессы называются политропными. Адиабатный процесс – частный случай политропного процесса.

Теплоемкость реального газа не равна теплоемкости идеального газа и может сильно отличаться.

Нужна помощь в решении задач и выполнении других заданий? Специальный студенческий сервис готов оказать ее!

Источник

Теплоемкостью
системы
тел
(тела)
называется физическая величина, равная
отношению количества теплоты dQ,
которое нужно затратить для нагревания
системы тел (тела), к изменению температуры
dТ,
характеризующей
это нагревание:

.
[C]=Дж/К.

Удельной
теплоемкостью
вещества с
называется скалярная величина, равная
отношению теплоемкости однородного
тела С
к его массе:

.
[c]=
Дж/(кг.К)

Молярной
теплоемкостью
называется физическая величина, численно
равная отношению теплоемкости системы
С
к количеству вещества n,
содержащегося в ней:

.
[C_m]=Дж/(моль.К)

Различают
молярные теплоемкости при постоянном
объеме и постоянном давлении:

;

.

Уравнение,
связывающее молярные теплоемкости при
постоянном давлении и постоянном объеме
имеет вид (уравнение Майера):

C_p
– C_V=
R.

Подробно
это уравнение, его вывод мы обсудим в
следующем параграфе.

Учитывая
распределение энергии по степеням
свободы и уравнение Майера, получим
распределение теплоемкостей C_p
и C_V
по степеням свободы:

,

При
рассмотрении термодинамических процессов
удобно пользоваться соотношением:

Величина g
определяется числом и характером
степеней свободы молекулы.

Молекула	Характер связи между атомами	Число поступ	степеней вращат.	свободы i	C_V	C_p	g
Одно-атомная	–	3	—	3			1,67
Двух-атомная	жесткая	3	2	5			1,40
Трех-атомная	жесткая	3	3	6	3R	4R	1,33

Обратимся
к двухатомной молекуле. Если связь между
атомами жесткая, то число степеней
свободы равна 5 (три поступательных и
две вращательных). Теперь предположим,
что связь упругая, то есть атомы могут
совершать колебания друг относительно
друга. Тогда требуется еще одна координата
для определения конфигурации молекулы,
это расстояние между атомами. Следовательно,
у двухатомной молекулы в общем случае
шесть степеней свободы. Во многих случаях
колебательное движение атомов не
возбуждается. Но если колебания
совершаются и их амплитуды малы (по
сравнению с расстоянием между атомами),
то такие колебания можно считать
гармоническими. Атомы в этом случае
являются гармоническими осцилляторами.
Но осциллятор обладает как кинетической,
так и потенциальной энергией. Для
гармонического
осциллятора, как известно из механики,
средние значения кинетической и
потенциальной энергии равны между
собой. Тогда по закону равнораспределения
на каждую колебательную степень свободы
приходится kT/2
в виде кинетической энергии и kT/2
в виде потенциальной энергии. Энергия,
приходящаяся на одну колебательную
степень свободы равна не kT/2,
а 2.
kT/2=
kT.
Поэтому при подсчете степеней свободы
надо число колебательных степеней
свободы удвоить. Для двухатомного газа

причем
С_V
не зависит от температуры. Что же
наблюдалось на опыте?

Опыт
показал (рис.17.1), что в определенном
интервале температур эта теплоемкость
составляет всего (5/2)R, при очень низких
температурах она уменьшалась до (3/2)R, а
при высоких становится больше 3R. Это
означает, что при низких температурах
молекулы участвуют только в поступательном
движении. По мере повышения Т молекулы
начинают совершать и вращательные
движения. И лишь при высоких температурах
она совершает все три вида движения
(добавляется колебательное).

Классическая
теория такое поведение объяснить не
может. Объяснение было получено в рамках
квантовой теории. В зависимости
теплоемкости от температуры проявляются
квантовомеханические свойства молекул
— энергия вращательного и колебательного
движения у них меняется скачками на
величину h,
где —
частота вращения или колебания, h
— постоянная Планка. Так как получить
такой прирост энергии молекула может
лишь при соударении с другой, движущейся
с большей поступательной скоростью, то
при низких температурах колебания и
вращения не происходят (соответствующие
степени свободы «вымораживаются»). При
более высокой температуре средняя
энергия, приходящаяся на каждую из этих
степеней, зависит от соотношения между
hn
и kT.

Итак, при
низких температурах происходит только
поступательное движение, нет молекул,
которые обладали бы вращательными, тем
более колебательными движениями. При
средних температурах все молекулы
участвуют как в поступательном, так и
во вращательном движении, но не участвуют
в колебательном. При высоких температурах
все молекулы вовлечены и в колебательное
движение. При охлаждении теплоемкость
понижается с (7/2)R до (5/2)R. Это объясняется
тем, что колебательная степень свободы
«вымораживается». При последующем
понижении вымораживаются вращательные
степени свободы.

Выходит, что
классическая теория о равнораспределении
энергии по степеням свободы при низких
температурах практически не применима.
Оно верно только для высоких температур.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Решение: нормальные условия: давление p = 10⁵ Па, температура T = 273 К. Из уравнения Клапейрона – Менделеева
[ begin{array}{l} {pcdot V=frac{mcdot Rcdot T}{M} ,{rm ; ; ; ; ; }rho =frac{m}{V} ,} \ {M=frac{mcdot Rcdot T}{Vcdot p} =frac{rho cdot Rcdot T}{p} .} end{array} ]
M – молярная масса газа, R = 8,31 Дж/(моль∙К) – универсальная газовая постоянная, V – объём. Число степеней свободы двухатомного газа i = 5. Удельная теплоёмкость при постоянном объёме
[ c_{v} =frac{icdot R}{2cdot M} =frac{icdot p}{2cdot rho cdot T}. ]
Удельная теплоёмкость при постоянном давлении
[ c_{p} =frac{left(i+2right)cdot R}{2cdot M} =frac{left(i+2right)cdot p}{2cdot rho cdot T}. ]
Ответ: с_v = 640,4 Дж/(кг∙К), с_р = 896,5 Дж/(кг∙К)

Источник

Из текста статьи «Физическая природа теплоемкости из теории «распаковки молекул» » опубликованной в журнале «Диалоги о науке» №4, 2010, с. 64-68. Автор исходного текста – Хайдаров Геннадий Гасимович. Научное изложения в статьях ^[1] и ^[2].

Предложена геометрическая модель расположения молекул в веществе. Доказана взаимосвязь и получена расчетная формула для внутренней энергии и поверхностного натяжения. Следствием данной модели является связь и расчетные формулы для определения значений теплоемкостей для одно-, двух- и трехатомных газов. Выявлено влияние пространственного расположения атомов на значение теплоемкости молекулы.
We propose a geometrical model of the arrangement of molecules in a substance. There was proved correlation between the internal energy and the surface tension also obtained formulas for it. Result of this model is formulas for calculating values of specific heats for one-, two- and triatomic gas. There was influence spatial arrangement of atoms on the value of specific heat of the molecule.

История вопроса[править]

Теории, основанные на геометрическом моделировании испарения вещества и подтвержденные обработкой экспериментальных справочных данных, доказали сущность физической природы поверхностного натяжения. К этим теориям относятся теория «распаковки», опубликованная Г. Хайдаровым в 1983 году [1] и теория «салями метода», опубликованная Виктором Ф. Вайскопфом (Victor F. Weisskopf) в 1985 году. Обе эти теории базируются на одном принципе: при испарении молекул вещества происходит разрыв связей каждой молекулы с соседними по всем шести направлениям осей координат (х, -x, y, -y, z, -z), а при изучении поверхностного натяжения молекул вещества происходит разрыв связей с одного из шести направлений, перпендикулярного поверхности разрыва. Разница двух вышесказанных теорий состоит в небольшой разнице в геометрических интерпретациях процессов испарения (и поверхностного натяжения) и в областях применения данных теорий. В теории 1983 года, кроме общей концепции была еще опубликована конечная формула для расчета поверхностного натяжения для веществ, подтвержденная справочными данными для 64 веществ при температурах от -253 до +200 градусов Цельсия.
В первом приближении формулу для определения коэффициента поверхностного натяжения жидкости можно записать через удельную теплоту парообразования как:

${displaystyle sigma =left(r-{frac {RT}{M}}left(1-{frac {rho _{v}}{rho }}right)right)cdot {frac {M^{1/3}rho ^{2/3}}{6N^{1/3}}}}$

(1)

или через внутреннюю энергию U:

${displaystyle sigma =Uleft({frac {M^{1/3}rho ^{2/3}}{6N^{1/3}}}right)}$

(2)

где
r – теплота парообразования, Дж/кг;
rho – плотность жидкости, кг/ м³; ${displaystyle rho _{v}}$ – плотность пара, кг/ м³;
– универсальная газовая постоянная, Дж/(кмоль * K);
T – температура, K;
U – внутренняя энергия жидкости, Дж/кг;
M – молекулярная масса, кг/кмоль;
N – число Авогадро, кмоль^-1 ;
${displaystyle m_{1}=M/N}$ – масса одной молекулы жидкости, кг;

В настоящей статье собраны следствия данной теории, связанной с представлением физической природы теплоемкости вещества [2]. На взгляд автора понятие теплоемкости, как коэффициента пропорциональности между работой на нагревание веществ на один градус имеет очень узкий физический смысл. Рассмотрим первые два следствия теории «распаковки» относительно теплоемкости молекул газа и третье следствие относительно большего, чем три количества атомов в молекуле.

Следствие ^[2] № 1. Определение удельной теплоемкости двухатомного газа при постоянном объеме[править]

Допустим, что удельная теплоемкость при постоянном объеме молекулы одноатомного газа равна

${displaystyle cv_{1}=3/2*R~,}$

(3)

где cv – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме, Дж/(K* кмоль)
Определим теплоемкость при постоянном объеме молекулы двухатомного газа и докажем, что она равна cv = 5/2R.
Решение. Каждая молекула одноатомного газа по теории «распаковки молекул» может свободно перемещаться (более точно — иметь возможность свободного перемещения при получении дополнительной энергии) по шести направлениям трехмерного пространства. Тогда на каждое направление приходится 1/6 энергии, то есть

{displaystyle E1=(3/2*R)/6=3/12*R=1/4*R~,}

(4)

где E1 – удельная энергия одного направления газа при постоянном объеме, Дж/(K* кмоль).
В двухатомной молекуле каждый атом может свободно перемещаться по 5 из 6 направлениям. В сумме для двух атомов в двухатомной молекуле получим возможность перемещения атомов по пяти направлениям каждому и суммарную 5 + 5 = 10. С учетом энергии одного направления E1=1/4R получим конечное значение для теплоемкости двухатомного газа

${displaystyle cv_{2}=10*E1=10*1/4*R=5/2*R~}$

(5)

Что и требовалось доказать.

Следствие № 2. Определение удельной теплоемкости трехатомного газа при постоянном объеме. Теоретический вывод эмпирического значения теплоемкости для трехатомных молекул газа равного 3R[править]

Допустим, что теплоемкость при постоянном объеме молекулы одноатомного газа равна cv = 3/2*R, где cv – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме, Дж/(K* кмоль)
Определим теплоемкость при постоянном объеме молекулы трехатомного газа и докажем, что эмпирическое значение теплоемкости при постоянном объеме равного 3R (cv = 3R) справедливо только для симметричных молекул газа. Дело в том, что для трехатомных молекул газов возможно два решения задачи (в отличие от двухатомных). Первое решение выполним для симметричной трехатомной молекулы в виде равностороннего треугольника из трех атомов. Второе решение выполним для цепочки из трех атомов, расположенных друг за другом.
Первое решение. Из геометрии хорошо известно, что углы равностороннего треугольника, равны 60 градусов, и рассмотрев центр атома в вершине данного треугольника, получим два вектора к центрам других атомов под углом 30 градусов (напомним, что синус 30 градусов равен 0,5). То есть для каждого атома в вершине равностороннего треугольника каждый атом может свободно перемещаться: вверх — в плоскости молекулы (1), перпендикулярно к плоскости молекулы — к нам (1) и от нас (1), наполовину (0,5) влево вниз (1*Sin(30)=0,5) и наполовину (0,5) вправо вниз (1*Sin(30)=0,5). Итого в сумме: 1+1+1+0,5+0,5 = 4. Для трех одинаковых атомов 3*4=12. С учетом энергии одного направления E1=1/4R получим конечное значение для теплоемкости симметричного трехатомного газа с молекулой в виде равностороннего треугольника из атомов

${displaystyle cv_{3}=12E1=12*(1/4*R)=3R~}$

(6)

Получаем первое решение – эмпирическое значение cv=3R для трехатомных молекул газов.
Второе решение. Рассмотрим цепочку молекул. В случае для незамкнутой цепочки (в отличие от первого случая) начальный и конечный атомы цепочки имеют по 5 свободных перемещений в трехмерном пространстве. Данная цифра была подробно объяснена в первом следствии. А промежуточный атом имеет 4 свободных перемещения, так как он связан с двух сторон цепочкой. Итого в сумме: 5+4+5 = 14. С учетом энергии одного направления E1=1/4R получим конечное значение для теплоемкости трехатомного газа с молекулой в виде цепочки атомов

${displaystyle cv_{3}=14E1=14*(1/4*R)=3,5R~}$

(7)

Получаем второе решение – значение cv=3,5R для молекулы из трех атомов, расположенных в цепочку.
Если продолжить рассуждения для цепочки их четырех, пяти и далее атомов, то получим формулу

${displaystyle cv_{n}=(5+4*(n-2)+5)*1/4*R=(2+4*n)*(1/4*R)=(1/2+n)R~,}$

(8)

где n – число атомов в цепочке молекулы (при n>=2)
Данная формула имеет аналогичную идею известной в молекулярно-кинетической теории и статистической физике формуле:

${displaystyle cv_{i}=i/2*R~,}$

(9)

где i – число степеней свободы молекулы.
Но для расчетов по формуле (9) приходится делать допущения и изменения значений степеней свободы в зависимости от числа атомов. То есть, брать различные значения i (степени свободы) для поступательного и вращательного движений. Для одного атома i=3 – поступательные степени свободы равные единице 1, для двух атомов в молекуле прибавить к трем еще две вращательные степени свободы. Иначе ответ не сойдется с экспериментом. В наших следствиях из «теории распаковки» №2 и №3 нет различных понятий поступательных и вращательных степеней свободы, а есть одинаковая возможность свободного перемещения атомов для любого направления движения. В этом преимущество теории «распаковки молекул» перед формулой со степенями свободы для определения теплоемкости многоатомных молекул и веществ.
Таким образом, мы видим, что теория «распаковки молекул» и ее два следствия легко и просто объясняют известные в физике формулы. Теория применима для определения теплоемкости двухатомных и трехатомных газов. Объясняет область и границы применимости эмпирической формулы сv3 = 3R. Согласуется с формулой из статистической физики для теплоемкости газа и не требует условного деления степеней свободы на поступательные и вращательные.

Следствие № 3. Зависимость удельной теплоемкости для многоатомных молекул (веществ) от пространственного расположения атомов в молекуле[править]

Если бы все атомы в молекуле располагались в цепочку, тогда для определения теплоемкости таких молекул можно было бы применить формулу (8). Но уже, начиная с трехатомной молекулы (трех и более атомов) возможны различные пространственные расположения атомов в пространстве, что показано в следствии №2.
Поэтому сейчас для примера влияния пространственного расположения атомов в молекуле на её теплоёмкость рассмотрим варианты
абстрактных молекул из 6 и 8 атомов.
Допустим, что теплоемкость при постоянном объеме молекулы одноатомного газа равна cv = 3/2 R, где cv – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме, Дж/(K* кмоль). Определим теплоемкость при постоянном объеме многоатомных молекул (веществ). Рассмотрим первое решение для симметричных (в трехмерном пространстве) расположений атомов и второе решение для пространственной цепочки из атомов. Не станем перебирать в статье все возможные варианты расположения атомов в молекуле, а рассмотрим две основные тенденции расположения. Для пространственной симметрии рассмотрим:
шесть атомов (в виде трехгранной призмы) получим число возможных перемещений для одного атома 4 (смотри следствие №2) минус одно возможное перемещение – 1. Итого: 4-1 =3 для одного атома.
Для шести атомов: 3*6 = 18. Тогда, cv6 = 18* 1/4R = 4,5R
Для восеми атомов (в виде кубика) получим число возможных перемещений для одного атома 3.
Для восьми атомов: 3*8 = 24. Тогда, cv8 = 24* 1/4R = 6R
То есть для объемных фигур получим:

для призмы из шести атомов cv6 = 18* 1/4R = 4,5R ,
Для кубика из восьми атомов cv8 = 24* 1/4R = 6R .

Для цепочки атомов посчитаем по формуле (8) или просто суммируем общее количество атомов:

шесть атомов 5+4+4+4+4+5 = 26. Тогда, cv6 = 26* 1/4R = 6,5R ,
восемь атомов 5+4+4+4+4+4+4+5 = 34. Тогда, cv8 = 34* 1/4R = 8,5R .

Из расчета по теории «распаковки молекул» следует важный вывод, что пространственное расположение атомов в виде цепочки и пространственное расположение атомов в виде замкнутой геометрической фигуры (например, трехгранной призмы, куба) даст разные значения удельных теплоемкостей молекул вещества. То есть вышеприведенный расчет теплоемкости однозначно показывает, что пространственная структура вещества явно влияет на теплофизические свойства.
Этого утверждения нельзя получить из понятия «число степеней свободы» в «молекулярно-кинетической теории», так как в формуле (9) не заложена пространственная структура молекулы вещества, что приводит к подгонке значений для степеней свободы. Таким образом, найдена ограниченность применения понятия «число степеней свободы» в «молекулярно-кинетической теории», то есть в указанной теории речь идет о пространственном расположении молекул только в виде цепочек, начиная с двух и более атомов, с вращательными степенями свободы. Такое представление, на мой взгляд, несправедливо для объемного расположения атомов в молекуле с замкнутыми связями между атомами (например, с кольцевыми или с другим «не цепочным» расположениями атомов).

Выводы[править]

Физическая природа теплоемкости определенная из теории «распаковки» позволяет:
1. Без введения дополнительных допущений о «степенях свободы» правильно определить значения удельных теплоемкостей при постоянном объеме для двухатомных и трехатомных газов.
2. Определить влияние пространственного расположения атомов в молекуле (в веществе) на теплоемкость молекулы (вещества).

Внешние ссылки[править]

видеоклип — теплоемкость газов из теории распаковки
видеоклип о физической природе поверхностного натяжения из теории «распаковки»

Ссылки[править]

<references>
^[1]

^[2]

↑ ^а ^б
Г.Г. Хайдаров Журнал физической химии. 1983, № 10, с. 2528-2530 О связи поверхностного натяжения с теплотой парообразования (PDF)
↑ ^а ^б ^в
Хайдаров Г.Г., Хайдаров А.Г., Машек А. Ч. Физическая природа поверхностного натяжения жидкости // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 4. 2011. Выпуск 1. с.3-8. (скачать полный текст можно с http://elibrary.ru)

Источник

Задачи по теме «Теплоемкость идеального газа» с решениями

Задача №1. Определить удельную теплоемкость идеального газа

Задача №2. Удельная теплоемкость

Задача №3. Молярная теплоемкость

Задача №4. Теплоемкость при изопроцессах

Задача №5. Теплоемкость при политропическом процессе

Вопросы по теме «Теплоемкость идеального газа»

История вопроса[править]

Следствие [2] № 1. Определение удельной теплоемкости двухатомного газа при постоянном объеме[править]

Следствие № 3. Зависимость удельной теплоемкости для многоатомных молекул (веществ) от пространственного расположения атомов в молекуле[править]

Выводы[править]

Внешние ссылки[править]

Ссылки[править]

Не пропустите также:

Следствие ^[2] № 1. Определение удельной теплоемкости двухатомного газа при постоянном объеме[править]