Метод оценок
При решении задач в целых числах иногда используется подход, основанный на построении и применении различного рода оценок выражений, входящих в условия задач. Рассмотрим примеры.
Пример №55.
Доказать, что уравнение
не имеет целых положительных решений.
Доказательство. Пусть, ради определённости, 
Тогда
откуда находим оценку 
т.е. 
— не удовлетворяет условию задачи. Аналогично рассматривается случай 
Пример №56.
Сумма обратных величин трёх натуральных чисел равна 1. Найти эти числа (наборы, а не упорядоченные тройки).
Решение:
Пусть x,y,z — искомые натуральные числа. Условия задачи приводят к уравнению
Очевидно, что для того чтобы это равенство выполнялось, необходимо, чтобы хотя бы одно из чисел не превосходило 3. Без ограничения общности будем считать, что 
. Тогда X = 2 или X = 3 .
1) Пусть X = 2 , тогда
хотя бы одно из чисел у или z не превосходит 4. Ради определённости, пусть это 
. Тогда у = 3 или у = 4 . В первом случае z = 6 , и имеем три числа 
. Во втором случае Z = 4 , и находим ещё одну тройку {2;4;4}.
2) Пусть теперь X = 3, тогда
хотя бы одно из чисел у или z не превосходит 3. Ради определённости, пусть это 
. Тогда у = 2 или у = 3. В первом случае z = 6 , и имеем числа {3;2;6} — уже было. Во втором случае z = 3 , и получаем набор { 3;3;3} .
Ответ: это наборы чисел {2;3;6}, {2;4;4}, {3;3;3}.
Пример №57.
Найти все упорядоченные тройки (x,y,z) натуральных чисел, удовлетворяющих равенству
Решение:
Приведём уравнение к виду 
Так как 
, то получаем: 
1) Если x = 1, то, подставляя в уравнение, находим 
, что невозможно, так левая часть в этом равенстве больше 1, а правая — меньше 1.
2) Если x = 2 , то получаем 
Справа стоит целое число, следовательно, 
, откуда 
При z = 1 имеем 
при z = 2 имеем 
при z = 4 находим у = 3 . Ответ: 
Пример №58.
Непустое множество X состоит из конечного числа N натуральных чисел. Чётных чисел в X меньше двух третей от N , а нечётных не больше 36% от N . Какое минимальное значение может принимать число N ?
Решение:
Пусть n — число нечётных чисел в X . По условию,
Воспользуемся тем свойством, что для целых чисел m,k строгое неравенство 
равносильно нестрогому 
. Поэтому
По свойству транзитивности из последнего неравенства получаем, как следствие, оценку
Далее действуем перебором (с проверкой).
Если N = 13 , то, подставив в неравенство (1), получим: 
что невозможно при целых n .
Если N = 14, то, подставив в неравенство (1), получим: 
Этому условию удовлетворяет n= 5 (т.е. нашлось n). Ответ: 
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Предмет математика
Эти страницы возможно вам будут полезны:
Попробую изложить логику вычислений (она может быть не идеальной).
1) Произведение и сумма чисел в условии должна равняться n, то есть x, y, z однозначно меньше числа n.
2) Мне надо перебрать все возможные значения этих чисел x, y, z. Для этого я запускаю три цикла подбора-перебора этих чисел. Поэтому он их не с потолка берет, а подбирает в этих циклах
| Pascal | ||
|
3)После того, как некие значения x, y, z (а точнее, любые значения x, y, z) выбраны, необходимо проверить, подходят ли они по условию. Поэтому
| Pascal | ||
|
4) Если они по условию подходят, мне необходимо вывести их на экран
| Pascal | ||
|
5) Кроме вывода на экран подходящих значений x, y, z мне надо учесть вариант, когда решений нет. Именно для этого я использую k. k — это счетчик возможных решений.Изначально я считаю,что решений у данной задачи нет, поэтому k=0. Как только программа находит хоть одно решение, к принимает ненулевое значение и, собственно говоря, необходимость в нем отпадает…
Необходимо написать программу, которая определяет количество троек натуральных чисел (x,y,z), таких что:
0 < x < y < z < N,
Где N — натуральное число, 0 < N < 1000
Понимаю, что задача состоит в правильном использовании комбинаторных формул. Однако идей нет. Вариант в лоб (через 3 цикла и перебор не подходит для меня). Нет идей. Не нужно ничего писать, если можно подтолкните к правильному решению.
задан 22 янв 2018 в 10:37
3
Как уже написали в комментариях, посчитать число троек (x, y, z) натуральных чисел, таких что
0 < x < y < z < N
можно так:
-
Сначала уберём условие упорядоченности, то есть посчитаем число троек (
x,y,z), таких что каждое из трёх чисел больше нуля и меньшеNПолучится
N - 1*N - 2*N - 3троек (первое число можно выбратьN - 1способами, второеN - 2способами, …) -
Теперь рассмотрим три различных числа, например {1, 2, 3}. Всего троек, составленных из этих чисел будет
6 = 3 * 2 * 1штук (следствие предыдущего пункта дляNравного3+1). Нам подходит ровно одна из этих шести троек — когда числа стоят по возрастанию
Таким образом, ответ равен (N - 1) * (N - 2) * (N - 3) / 6
1/а + 1/х + 1/у = 1 (чтобы не переключать раскладку).
Пусть а — число, меньше которого нет среди а, х. у.
а равно 2 или 3, так как 1/4 + 1/4 + 1/4 < 1.
Пусть а = 2. Тогда х = 2 + 4/(у — 2)
4/(у — 2) — целое, если в знаменателе -4, -2, -1, 1, 2 или 4.
Первые 3 отпадают; 2 тройки: 2; 4; 4 и 2, 3, 6.
Пусть а = 3. Тогда 2х = 3 + 9/(2у — 3) (целое).
Отсюда тройка: 3; 3; 3.
Var A:array[1..100] of real;
i,n:byte;
Begin
write('Введите n: ');readln(n);
For i:=1 to n do
Begin
write('A[',i,'] = ');
readln(A[i]);
End;
For i:=2 to n-1 do
if A[i]<=((A[i+1]+A[i-1])/2) then writeln(A[i]:6:2,A[i-1]:6:2,A[i+1]:6:2);
readln;
End.