Как найти точность по графику

Построение графиков и определение погрешностей по ним

Во многих лабораторных работах оказывается, удобным изображать графически зависимость между изучаемыми величинами. Для того, чтобы построить график, необходимо на основании проделанных измерений составить таблицу, в которой каждому значению одной из величин соответствует определенное значение другой. Для правильного построения графика весьма важным является целесообразный выбор масштаба. Масштаб по каждой оси может быть свой, причем выбирать его следует так, чтобы пределы изменений обеих величин ограничивали на осях отрезки примерно одинаковые по величине, иначе график может оказаться очень сжатым по одной из осей и неудобным для пользования. Если первое значение измеряемой величины сильно отличается от нуля и, особенно, если изменение этой величины невелико, отсчет в начале координат нужно начинать не от нуля, а от какого-то значения, близкого к первому измеренному значению данной величины. Когда масштаб выбран, нужно разделить оси в выбранном масштабе на равные интервалы и надписать на осях значения этих интервалов (рис. 1). После этого на график наносят точки на основании данных таблицы и проводят через них прямую или плавную кривую линию.

Так как все измерения сделаны с той или иной ошибкой, то может иметь место некоторый разброс точек (они не укладываются точно на одной кривой). В этом случае линию нужно проводить между точками так, чтобы возможно большее число точек легло на эту линию, а остальные распреде

лились примерно равномерно выше и ниже ее (рис. 1). С помощью полученного графика можно для любого промежуточного значения одной из величин найти соответствующее ему значение другой величины.

Если при построении графика наблюдается значительный разброс точек, то погрешность можно определить сле дующим образом. Нужно измерить отклонение каждой экспериментальной точки от линии графика по направлению, параллельному той оси, вдоль которой отложена интересующая нас величина, и найти среднее значение этого отклонения. В качестве примера рассмотрим вычисление погрешности по графику, изображенному на рис. 1.

Рис.1

На этом графике представлена зависимость оптической плотности раствора от концентрации. Для того, чтобы с помощью этого графика найти погрешность в определении концентрации, нужно измерить в масштабе все значения ∆С, затем сложить их и разделить на число точек:

Такой способ нахождения погрешности удобен при наличии значительного разброса точек. Если же разброс точек невелик, что можно использовать другой способ определения погрешности по графику. На основании графика можно найти абсолютную ошибку в определении одной величины, если известна абсолютная ошибка в определении другой величины. Пусть график изображает зависимость величины у от величины х. Если какое-то значение величины х измерено с ошибкой ∆х, то надо на соответ ствующей оси около этого значения х отложить отрезок ∆х в выбранном масштабе и по графику найти соответствующий ему отрезок ∆у на другой оси. Найденный отрезок ∆у и будет представлять собой абсолютную ошибку в определении интересующего нас значения величины у. В случае прямолинейного графика ошибка, определенная таким образом, во всех его точках одинакова. Если же график представляет собой кривую линию, то ошибка на разных его участках будет различной.

Рис.2

По графику находят значение концентрации, соответствующее среднему значению оптической плотности D_хср. В нашем случае С_х равно 1,42%. Около значения D_хср на оси ординат откладывают отрезок, равный ∆D_х_ср и по графику находят, какой отрезок соответствует ему на другой оси. Этот отрезок и даст среднюю абсолютную ошибку в опреределении искомой концентрации. Как видно из рис. 2, ∆С_х равно 0,02. Тогда окончательный результат запишется так:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)

Источник

Графическое определение погрешностей

Если изучается зависимость одной величины от другой, то результаты могут быть представлены в виде графика.

Основное достоинство графиков – их наглядность. Посмотрев на график, можно сразу, одним взглядом, охватить вид полученной зависимости, получить о ней качественное представление и отметить наличие различных особенностей: максимумов и минимумов, областей возрастания и убывания, периодичности и т.п. График позволяет также судить о соответствии экспериментальных данных той или иной теоретической зависимости.

При вычерчивании графика в прямоугольной системе координат необходимо руководствоваться следующими правилами.

1. Выбор бумаги. График должен выполнятся на миллиметровой или хотя бы клетчатой бумаге.

2. Выбор координатных осей. По горизонтальной оси принято откладывать ту величину, изменения которой являются причиной изменения другой (т.е. по оси абсцисс – аргумент Х, по оси ординат – функцию Y). На осях координат следует указать название или символ величины и указать, в каких единицах она измеряется:

или

3. Выбор интервала. На графике приводится только та область изменения измеряемых величин, которая была исследована на опыте, поэтому пересечение координатных осей не обязательно должно совпадать с нулевыми значениями Х = 0 и Y = 0. Например:

4. Выбор масштаба. Масштабы на каждой оси выбираются независимо друг от друга, причем так, чтобы экспериментальные точки не сливались друг с другом и чтобы наилучшим образом использовалась площадь бумаги. Следует помнить, что график получается более наглядным, если основная часть кривой имеет наклон, не слишком отличающийся от 45º.

5. Нанесение шкал по осям. Масштаб наносится на осях графика в виде равностоящих “круглых” чисел, например:

Не следует расставлять эти числа слишком густо – достаточно нанести их через 2 или даже через 5 делений:

Дополнительно указывать масштаб, как это делается на географических картах, не следует.

6. Нанесение точек на график. На график наносят все полученные в измерениях значения. Если одна точка измерялась несколько раз, можно нанести среднее и указать погрешность. Координаты экспериментальных точек на осях выписывать не нужно, т.к. это загромождает график и мешает его чтению (на осях наносятся только масштабные деления).

Выносные линии на графике, как правило, не проводятся: научитесь наносить точки на график без их помощи. Выносная линия может в виде исключения быть нанесена, только если какую-либо точку хотят особо выделить на графике.

Размечать масштабные деления на осях координат и наносить на график точки лучше всего сначала карандашом. Вдруг вы решите изменить масштаб или окажется, что какая-то точка случайно поставлена неправильно. Если же с масштабом и расположением точек все в порядке, нетрудно обвести все чернилами. В результате же удается избежать переделок и лишних затрат графической бумаги.

7. Проведение кривой по нанесенным точкам. Так как все измерения сделаны с той или иной погрешностью, то может наблюдаться некоторый разброс точек. Нельзя соединять эти точки простой ломаной линией, проходящей через каждую точку, т.к. это означало бы, что зависимость между двумя величинами носит скачкообразный характер, а это маловероятно. Скорее следует ожидать, что данная зависимость описывается какой-либо плавной кривой. Помните, что всякая особенность на кривой (излом, резкое изменение кривизны и т.д.) требует специального экспериментального доказательства, либо теоретического объяснения. Поэтому чаще всего кривую на графике проводят плавно, избегая изломов и перегибов, причем так, чтобы большее число экспериментальных точек легло на эту линию, а остальные равномерно распределились выше и ниже ее.

8. Выбор наиболее наглядной зависимости. При построении графика нужно стремиться к тому, чтобы он наиболее четко отображал все особенности представляемой зависимости. Для этого часто бывают удобны функциональные масштабы – по осям откладываются не сами измеряемые величины, а их функции, подобранные в соответствии с решаемой задачей. Например, если измеряемая величина изменяется очень сильно, на несколько порядков, удобно применять логарифмический (по осям откладываются логарифмы измеряемых величин) или полулогарифмический масштаб (логарифм откладывается только по одной из осей). С примером полулогарифмической шкалы Вы встретитесь в работе по снятию аудиограммы и частотной характеристики импеданса биологической ткани.

При пользовании функциональных масштабов на оси следует наносить двойную шкалу: одну – равномерную для откладываемой по оси функции (например, lg x), а другую – неравномерную для самой величины (но и на эту шкалу наносят, как обычно, “круглые” числа.

Например:

9. Оформление графиков. Готовый график, снабжается подписью, которая должна содержать точное описание того, что показывает график.

Ниже показан пример построения графика (к лаб. раб.№ 1).

Рис. 1

Зависимость чувствительности α весов от величины нагрузки P.

10. Кривую, построенную по экспериментально полученным точкам для некоторой области изменения аргумента, можно затем использовать для нахождения значений функции для любого промежуточного значения аргумента на этой области. Эта операция называется графическим интегрированием. Например, по графику (рис. 1) можно найти значение чувствительности весов αх при нагрузке Р_х =75 г : α 75 = .

11. На основании графика можно найти абсолютную погрешность в определении одной из величин, если известна абсолютная погрешность другой величины. Пусть график изображает зависимость y = f(x) и известно, что некоторое значение величины Х измерено с погрешностью Δх (точка Х₀). Тогда

Рис. 2

Зависимость y=f(x)

на графике откладывают на соответствующей оси около значения Х₀ величину ΔX в выбранном масштабе и по графику находит соответствующую ей величину отрезка ΔY (см. рис.). Найденное ΔY и будет представлять собой абсолютную погрешность в определении Y.

Источник

Как определить погрешность по графику

Рис.1

Рис.2

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)

Если изучается зависимость одной величины от другой, то результаты могут быть представлены в виде графика.

1. Выбор бумаги. График должен выполнятся на миллиметровой или хотя бы клетчатой бумаге.

или

5. Нанесение шкал по осям. Масштаб наносится на осях графика в виде равностоящих “круглых” чисел, например:

Не следует расставлять эти числа слишком густо – достаточно нанести их через 2 или даже через 5 делений:

Дополнительно указывать масштаб, как это делается на географических картах, не следует.

Во всех случаях кривая должна быть проведена так, чтобы она не закрывала экспериментальных точек. Помните, что результат эксперимента — это точки, а кривая – это только Ваше толкование результата (вообще говоря, не однозначное).

Например:

Ниже показан пример построения графика (к лаб. раб.№ 1).

Рис. 1

Зависимость чувствительности α весов от величины нагрузки P.

Рис. 2

Зависимость y=f(x)

Гальванопластика — направление прикладной электрохимии, направленное на создание изделий путем электрохимического осаждения металлов и сплавов на различные носители формы (формообразующие элементы) в жидких средах.

Принцип формирования металлического осадка на поверхности модели, такой же как и при гальваническом нанесении покрытий, но в отличии от классической гальваники (гальваностегии) – толщина формируемых металлических осадков может достигать нескольких сантиметров.

В первой половине 20 века применение гальванопластики с целью получения технических изделий превратилось в полноценную промышленную технологию получения сложных и точных изделий.

При построении калибровочной прямой методом наименьших квадратов считается, что стандарты для калибровки известны с абсолютной правильностью или по крайней мере погрешности стандартов на одной из осей координат несущественны по сравнению с погрешностями откликов прибора на другой оси. Каждый отсчёт показаний шкалы прибора является единичным наблюдением, взятым из генеральной совокупности всех возможных отсчётов показаний шкалы прибора, при введении в него данного химического вещества. Такая ситуация изображена на рисунке:

Небольшие кривые нормального распределения, начерченные на графике, представляют генеральную совокупность всех возможных сигналов прибора при измерении стандартов 0,300, 0,600, 0,900 мг/дм3. Точка А, наблюдаемая в процессе калибровки, расположена близко к центру этого распределения (в пределах ±2σ, обозначенных штрихами). В данной ситуации точка А, представляющая значение оптической плотности стандарта 0,300 мг/л, находится близко к генеральному среднему. Но при измерении необходимо, чтобы калибровочная прямая проходила не через точку А, а точно через центр распределения, который обозначен стрелкой, для чего мы пользовались методом наименьших квадратов. Для минимизации погрешности относительно оси У при составлении градуировочного графика используются средние значения трёх параллельных измерений каждого стандартного образца (см. «Статистическая обработка данных титриметрического анализа»), поэтому эти расчёты мы рассматривать не будем. Мы рассмотрим расчёт доверительных интервалов для коэффициента bи полученной в ходе измерения концентрации вещества в исследуемом растворе xk.

При определении недостоверностей при работе методом градуировочного графика первая необходимая величина, надлежащая определению, — дисперсия, обусловленная рассеянием точек относительно линии регрессии, выраженная уравнением:

Далее определяется дисперсия коэффициента регрессии или стандартного отклонения b:

Доверительные интервалы задаются обычным способом по таблице коэффициентов Стьюдента при доверительной вероятности 95%:

за тем исключением, что число степеней свободы k = n-2, где n– количество стандартов для градуировки.

На практике линию регрессии (линию градуировочного графика) используются, чтобы получить оценку некоторой величины (в нашем случае концентрации железа II) x_k измеряемого вещества, которая вызывает наблюдаемый отклик прибора y_k (поглощение раствора). Дисперсия определяемой величины x_k при наблюдении mоткликов (m – количество параллельных измерений) выражается уравнением:

а) xk – характеристика вещества, ответственного за отклик прибора. В нашем случае xk – концентрация железа II, соответствующая наблюдаемому поглощению раствора y_k_.

б) y_k(∑y_k/m) – средний отклик прибора, полученный для ряда из mизмерений. Часто проводят только одно измерение и поэтому m=1.

в) Величины s 2 _x,_y, b, n, у¯ и ∑U 2 связаны с данными при калибровке прибора и имеют те же самые значения, что мы получили при уточнении градуировочного графика методом наименьшик квадратов.

Стоит обратить особое внимание, что s 2 x_kвозрастает по мере удаления y_k от у¯. Из математического выражения следует, что недостоверность любой оценки регрессии меньше всего вероятна вблизи центра калибровочных данных и поэтому экстраполяция представляет собой очень ненадёжный метод и при измерениях не используется. Разбавление исследуемого раствора подбирается таким образом, чтобы отклик прибора при измерении попадал как можно ближе к центру градуировочной прямой.

Доверительные интервалы для определяемой величины xk выражаются следующим образом:

Продолжим расчёт определения железа IIпо градуировочному графику, построенному по 6 точкам (n=6) с уравнением регрессии у = 0,002245098 + 10914,70588х (см. Применение регрессионного анализа для построения градуировочного графика при фотометрическом анализе).

Допустим, что а) при единичном (m=1) измерении исследуемого раствора получено поглощение равное 0,527, б) при пяти (m=5) повторных измерениях среднее поглощение равно 0,527.

1) Вычисляем дисперсию относительно линии регрессии:

s 2 _x,_y = (∑V 2 – b 2 ∑U 2 )/(n-2) = (0,40539683 – (10914,70588^2)*0,0000000034)/(6-2) = 0,0000880245098

2) Вычисляем стандартное отклонение b:

s 2 b_x,y = s 2 _x,y / ∑U 2 = 0,0000880245098 / 0,0000000034 = 25889,561707

3) Рассчитываем доверительный интервал для коэффициента b:

При доверительной вероятности 95% для φ=n-2=4 коэффициент tα,φ принимает значение 2,776 (см. таблицу коэффициентов Стьюдента).

b = (10914,70588 ± 446,66) ≈ (10915 ± 447)

4) Рассчитаем по уравнению регрессии, выразив его через x, концентрацию железа IIx_kпо поглощению 0,527, полученному в ходе измерения исследуемого раствора:

5) Стандартное отклонение оценки регрессии s 2 x_k для случаев а) m=1 и б) m=5:

а) s 2 x_k = (s 2 _x,y / b 2 ) * [(1/m + 1/n) + (у¯_k — у¯) 2 / b 2 ∑U 2 )] = (0,0000880245098 / 10914,70588^2)*[(1/1 + 1/6) + (0,527 — 0,438833)^2 / (10914,70588^2 * 0,0000000034] = 0,000000000000876218

sx_k = √s 2 x_k = √0,000000000000876218 = 0,000000936065

б) s 2 x_k = (0,0000880245098 / 10914,70588^2)*[(1/5 + 1/6) + (0,527 — 0,438833)^2 / (10914,70588^2 * 0,0000000034] = 0,0000000000002851065

sx_k = √0,0000000000002851065 = 0,0000005339536

6) Рассчитываем доверительный интервал для xk:

а) ДИ = ε α,t =±tα, φ * sx_k = 2,776* 0,000000936065 = 0,000002598

xk = (0,00004807778 ± 0,000002598) ≈ (0,0000481 ± 0,0000026) моль/л

б) ДИ = ε α,t = ±tα, φ * sx_k = 2,776*0,0000005339536 = 0,0000014823

xk = (0,00004807778 ± 0,0000014823) ≈ (0,0000481 ± 0,0000015) моль/л

7) Рассчитываем относительную ошибку определения:
а) εотн = (ε α,t / хk)*100 = 0,0000026*100/0,0000481 = 5,4%

б) εотн = (ε α,t / хk)*100 = 0,0000015*100/0,0000481 = 3,1%

Расчёты относительных ошибок измерений показывают, что использование метода наименьших квадратов не может заменить правильность самих калибровочных данных. Метод наименьших квадратов не должен применяться только для расчётов коэффициентов a и b, но должны рассчитываться также недостоверности относительно линии регрессии по алгоритму, указанному выше. При исключении расчётов недостоверностей статистический метод используется неправильно, и химик-аналитик обманывает себя и других, приводя в своих результатах слишком много значащих цифр.

Образец автоматических расчётов недостоверностей градуировочного графика, построенного по 6 точкам, можно скачать здесь .

1. Петерс Д., Хайес Дж., Хифтье Г. Химическое разделение и измерение. Теория и практика аналитической химии. – М.: «Химия», 1978. – 816 с.

2. А.П.Крешков. Основы аналитической химии. Книга вторая. — М.: «Химия», 1971.- 456 с.

Источник

Страница 1 из 6

lamen
Грустный lamen со своим жалким догматизмом.
Команда форума
Администратор

В этой теме буду писать что-то вроде краткой шпаргалки по погрешностям. Опять же, данный текст ни в коей мере не официальный и ссылаться на него недопустимо. Буду признателен за исправление любых ошибок и неточностей, которые могут быть в этом тексте.

Что такое погрешность?

Запись результата эксперимента вида () означает, что если мы проведем очень много идентичных экспериментов, то в 70% полученные результаты будут лежать в интервале , а в 30% — не будут.

Или, что тоже самое, если мы повторим эксперимент, то новый результат ляжет в доверительный интервал с вероятностью, равной доверительной вероятности .

Как округлять погрешность и результат?

Погрешность округляется до первой значащей цифры, если она не единица. Если единица — то до двух. При этом значащей цифрой называется любая цифра результата кроме нулей впереди.

Пример:

округляем до или или но ни в коем случае не или , поскольку тут 2 значащие цифры — 2 и 0 после двойки.

округляем до или

округляем до или или

Результат округляем таким образом, чтобы последняя значащая цифра результата соответствовала последней значащей цифре погрешности.

Примеры правильной записи:

мм

мм Держим тут в погрешности 2 значащие цифры потому что первая значащая цифра в погрешности — единица.

мм

Примеры неправильной записи:

мм. Здесь лишний знак в результате. Правильно будет мм.

мм. Здесь лишний знак и в погрешности, и в результате. Правильно будет мм.

В работе использую значение, данное мне просто в виде цифры. Например, масса грузиков. Какая у нее погрешность?

Если погрешность явно не указана, можно взять единицу в последнем разряде. То есть если написано m=1.35 г, то в качестве погрешность нужно взять 0.01 г.

Как считать погрешность сложной функции?

Есть функция от нескольких величин У каждой из этих величин есть своя погрешность. Чтобы найти погрешность функции надо сделать следующее:

символ означает частную производную f по x. Подробнее про частные производные здесь.

Как вообще правильно посчитать погрешность?

Положим, вы меряли одну и ту же величину x несколько (n) раз. Получили набор значений.. Вам необходимо посчитать погрешность разброса, посчитать приборную погрешность и сложить их вместе.

По пунктам.

1. Считаем погрешность разброса

Если все значения совпали — никакого разброса у вас нет. Иначе — есть погрешность разброса , которую надо вычислить. Для начала вычисляется среднеквадратичная погрешность среднего:

здесь означает среднее по всем .
Погрешность разброса получается умножением среднеквадратичной погрешности среднего на коэффициент Стьюдента , который зависит от выбранной вами доверительной вероятности и числа измерений n:

.

Коэффициенты Стьюдента берем из нижеприведенной таблицы. Доверительная вероятность выбитается произвольно, число измерений n мы также знаем.

2. Считаем приборную погрешность среднего

Если погрешности разных точек разные, то по формуле

При этом естественно, у всех доверительная вероятность должна быть одинаковой.

3. Складываем среднее с разбросом

Погрешности всегда складываются как корень из квадратов:

При этом нужно убедиться, что доверительные вероятности с которыми были вычислены и совпадают.

Как по графику определить приборную погрешность среднего? Ну т.е., используя метод парных точек или метод наименьших квадратов, мы найдем погрешность разброса среднего сопротивления. Как найти приборную погрешность среднего сопротивления?

И в МНК и в методе парных точек можно дать строгий ответ на этот вопрос. Для МНК форума в Светозарове есть («Основы…», раздел про метод наименьших квадратов), а для парных точек первое, что приходит в голову (в лоб, что называется) это посчитать приборную погрешность каждого углового коэффициента. Ну и далее по всем пунктам…

Если же не хочешь мучиться, то в лабниках дан простой способ для оценки приборной погрешности углового коэффициента, именно из МНК следующий (например перед работой 1 в лабнике «Электроизмерительные приборы. …» последняя страница Метод.рекомендаций).

, где — величина максимального отклонения по оси Y точки с погрешностью от проведенной прямой, а в знаменателе стоит ширина области нашего графика по оси Y. Аналогично по оси X.

На магазине сопротивлений написан класс точности: 0,05/4*10^-6? Как из этого найти погрешность прибора?

Это означает, что предельная относительная погрешность прибора (в процентах) имеет вид:
, где
— наибольшее значение сопротивления магазина, а — номинальное значение включённого сопротивления.
Легко видеть, что второе слагаемое важно тогда, когда мы работаем на очень малых сопротивлениях.

Подробнее всегда можно посмотреть в паспорте прибора. Паспорт можно найти в интернете, забив марку прибора в гугл.

Литература про погрешности

Рецептурная информация про то как считать погрешности дана во введениях к практикумам, в частности, во вводной части к практикуму «Измерительные приборы».

Гораздо больше информации по этому поводу можно найти в рекомендованной для первокурсников книге:
В.В. Светозаров «Элементарная обработка результатов измерений»

В качестве дополнительной (для первокурсников дополнительной) литературы можно порекомендовать:
В.В.Светозаров «Основы статистической обработки результатов измерений»

И уж тем кто хочет окончательно во всем разобраться непременно стоит заглянуть сюда:
Дж. Тейлор. «Введение в теорию ошибок»

Спасибо Lexxus’у за нахождение и размещение у себя на сайте этих замечательных книжек.
Lexxus
Немного великий
Администратор
VIP

А разве не

?
lamen
Грустный lamen со своим жалким догматизмом.
Команда форума
Администратор

Неа. Последняя значащая цифра результата должна отвечать последней значащей цифре погрешности.
Если мы держим миллиметры в погрешности, то почему их надо убирать в результате?
0,98 можно округлить так: ?
Lexxus
Немного великий
Администратор
VIP

[quote name=’Silver MC’s’ post=’379424′ date=’Oct 5 2010, 16:00′]
0,98 можно округлить так: ?
[/quote]
0.98 можно округлять до 1.0, если погрешность получилась 0.195 и более.
В противном случае, округлять до 1.0 нельзя.
Lexxus
Немного великий
Администратор
VIP

lamen, а вот кстати. Если результат измерения получился, скажем, 4, а погрешность — скажем, 20 (ну, мало ли).
В точности следуя описанной выше логике, я должен округлить результат до порядка первой значащей цифры погрешности (в нашем случае — до десятков), т.е. записать ?
lamen
Грустный lamen со своим жалким догматизмом.
Команда форума
Администратор

[quote name=’Silver MC’s’ post=’379424′ date=’Oct 5 2010, 16:00′]
0,98 можно округлить так: ?
[/quote]

0,98 это результат или погрешность?

[quote name=’Lexxus’ post=’379428′ date=’Oct 5 2010, 16:53′]
lamen, а вот кстати. Если результат измерения получился, скажем, 4, а погрешность — скажем, 20 (ну, мало ли).
В точности следуя описанной выше логике, я должен округлить результат до порядка первой значащей цифры погрешности (в нашем случае — до десятков), т.е. записать ?
[/quote]
Да, именно так, если я правильно понимаю. Связано, как я понимаю, с тем, что погрешность округления самой погрешности в этом случае превысит результат .

То есть я понимаю, что четверка несет в себе некую информацию, которая убивается округлением. Но по сравнению с самой погрешностью, и с ее ошибкой округления, это уже все мало.
А в чем разница 2х примеров? Во втором случае оба числа просто на порядок меньше. Нельзя их записать как-то типа . Это, разве, не полностью аналогичный случай к правильному варианту записи?
lamen
Грустный lamen со своим жалким догматизмом.
Команда форума
Администратор

В первом случае первая цифра в погрешности — единица. Из-за этого мы держим в погрешности 2 знака, чтобы минимизировать ошибку округления погрешности. Во втором — четверка. И мы оставляем только один знак.
Т.е. — правильно?

Думаю, тогда стоит в инструкции более ясно написать, почему предыдущее не правильно.
lamen
Грустный lamen со своим жалким догматизмом.
Команда форума
Администратор

Да. А +- 4.2 — неправильно.Предлагай. У меня-то глаз замылен, мне все кажется понятным .
результат
lamen
Грустный lamen со своим жалким догматизмом.
Команда форума
Администратор

[quote name=’Silver MC’s’ post=’379443′ date=’Oct 5 2010, 17:41′]
результат
[/quote]
Тогда тебе Lexxus ответил.

[quote name=’Chameleon’ post=’379445′ date=’Oct 5 2010, 17:42′]
как так «завернуто»
[/quote]

Слишком сложно для восприятия, имхо. Смешано в кучу правильное и неправильное. Я чуть выше, в примерах правильной записи, добавил строчку, поясняющую различие. И, кстати, про единицу сказано выше.
т.е.если погрешность 0.1 при при результате 0.98 то при округлении я получу 0.9
lamen
Грустный lamen со своим жалким догматизмом.
Команда форума
Администратор
[quote name=’Silver MC’s’ date=’Oct 5 2010, 18:19′]

[snapback]379453[/snapback]

т.е.если погрешность 0.1 при при результате 0.98 то при округлении я получу 0.9[/quote]
Нет. Если погрешность 0,1, то дадо писать так: $0.98pm0.10
Если в погрешности 1я значащая цифра 1, то второй знак обязателен.
PS Если преподаватели немного посвирепствуют, то никакие мануалы и не нужны. Кстати в Светозарове то же самое написано, что и тут.
Мне кажется, стоит еще написать:

1. как округлять пятерку в последнем разряде (у преподавателей разных кафедр похоже требования разные)

1.56
1.54
1.55
1.5

2. на пальцах объяснить что значит частная производная с простеньким примерчиком

Если надо — текст попозже напишу
lamen
Грустный lamen со своим жалким догматизмом.
Команда форума
Администратор

Nick_, а надо ли тут так вдаваться в математику? тем более в элементарную, вроде правил округления?
Lexxus
Немного великий
Администратор
VIP

Проблема в том, что функции многих переменных и частные производные в курсе матанализа, кажется, где-то ближе к концу первого семестра.

Страница 1 из 6

Поделиться этой страницей

Источник

Читайте также:

Access. Базы данных. Определение ключей и составление запросов.
B3.4. Правила оформления графиков
I. Дифракция Фраунгофера на одной щели и определение ширины щели.
I. Определение
I. Определение
I. Определение основной и дополнительной зарплаты работников ведется с учетом рабочих, предусмотренных технологической картой.
I. Определение пероксида водорода (перекиси водорода)
I. Определение проблемы и целей исследования
I. Определение ранга матрицы
I. Пограничное состояние у новорожденных детей. Определение, характеристика, тактика медицинского работника.
I. Сестринский процесс при гипертонической болезни: определение, этиология, клиника. Принципы лечения и уход за пациентами, профилактика.
I. Сестринский процесс при диффузном токсическом зобе: определение, этиология, патогенез, клиника. Принципы лечения и ухода за пациентами

Рис.1

В качестве примера графического вычисления ошибки разберем определение концентрации окрашенного раствора по величине его оптической плотности. В этой работе сначала измеряется оптическая плотность D нескольких растворов с известной концентрацией С и на основании этих данных строится график зависимости оптической плотности от концентрации (рис. 2). Затем измеряется величина оптической плотности D_х раствора неизвестной концентрации. Пусть, она была измерена 3 раза и оказалась равной: 0,76, 0,78 и 0,75. Тогда среднее значение D_хср = 0,76, а средняя абсолютная ошибка ∆D_х_ср = 0 ,0 1.

Рис.2

Если изучается зависимость одной величины от другой, то результаты могут быть представлены в виде графика.

1. Выбор бумаги. График должен выполнятся на миллиметровой или хотя бы клетчатой бумаге.

или

Масштаб должен быть простым и легко читаться, поэтому одна клетка масштабной сетки должна соответствовать удобному числу – 1, 2, 5, 10 … , 0,1, 0,2, 0,5, (но не 3, 7, 11, 13 …), единиц изображаемой на графике величины.

5. Нанесение шкал по осям. Масштаб наносится на осях графика в виде равностоящих “круглых” чисел, например:

Не следует расставлять эти числа слишком густо – достаточно нанести их через 2 или даже через 5 делений:

Дополнительно указывать масштаб, как это делается на географических картах, не следует.

Например:

Ниже показан пример построения графика (к лаб. раб.№ 1).

Рис. 1

Зависимость чувствительности α весов от величины нагрузки P.

Рис. 2

Зависимость y=f(x)

Далее определяется дисперсия коэффициента регрессии или стандартного отклонения b:

за тем исключением, что число степеней свободы k = n-2, где n– количество стандартов для градуировки.

s 2 x_k = (s 2 _x,_y / b 2 ) * [(1/m + 1/n) + (у¯_k — у¯) 2 / b 2 ∑U 2 )] , для этого выражения стоит отметить следующее:

Доверительные интервалы для определяемой величины xk выражаются следующим образом:

1) Вычисляем дисперсию относительно линии регрессии:

s 2 _x,_y = (∑V 2 – b 2 ∑U 2 )/(n-2) = (0,40539683 – (10914,70588^2)*0,0000000034)/(6-2) = 0,0000880245098

2) Вычисляем стандартное отклонение b:

s 2 b_x,y = s 2 _x,y / ∑U 2 = 0,0000880245098 / 0,0000000034 = 25889,561707

3) Рассчитываем доверительный интервал для коэффициента b:

b = (10914,70588 ± 446,66) ≈ (10915 ± 447)

x = -0,000000205695 + 0,00009161950957y

x_k= -0,000000205695 + 0,00009161950957*0,527 = 0,00004807778 ≈ 0,000048 моль/л

5) Стандартное отклонение оценки регрессии s 2 x_k для случаев а) m=1 и б) m=5:

sx_k = √s 2 x_k = √0,000000000000876218 = 0,000000936065

б) s 2 x_k = (0,0000880245098 / 10914,70588^2)*[(1/5 + 1/6) + (0,527 — 0,438833)^2 / (10914,70588^2 * 0,0000000034] = 0,0000000000002851065

sx_k = √0,0000000000002851065 = 0,0000005339536

6) Рассчитываем доверительный интервал для xk:

а) ДИ = ε α,t =±tα, φ * sx_k = 2,776* 0,000000936065 = 0,000002598

xk = (0,00004807778 ± 0,000002598) ≈ (0,0000481 ± 0,0000026) моль/л

б) ДИ = ε α,t = ±tα, φ * sx_k = 2,776*0,0000005339536 = 0,0000014823

xk = (0,00004807778 ± 0,0000014823) ≈ (0,0000481 ± 0,0000015) моль/л

7) Рассчитываем относительную ошибку определения:
а) εотн = (ε α,t / хk)*100 = 0,0000026*100/0,0000481 = 5,4%

б) εотн = (ε α,t / хk)*100 = 0,0000015*100/0,0000481 = 3,1%

2. А.П.Крешков. Основы аналитической химии. Книга вторая. — М.: «Химия», 1971.- 456 с.

Источник

Если
изучается зависимость одной величины
от другой, то результаты могут быть
представлены в виде графика.

При
вычерчивании графика руководствуются
следующими правилами^⁹:

Выбор
бумаги. График
строят только на миллиметровой бумаге
или на бумаге со специальными координатными
сетками. При их отсутствии иногда
приходится (хотя это крайне нежелательно!)
пользоваться бумагой «в клеточку»
или белой бумагой, на которой карандашом
нанесена сетка.

Выбор
координатных осей.
Общепринято по оси абсцисс откладывать
ту величину, изменения которой являются
причиной изменения другой (т. е. по оси
абсцисс – аргумент, по оси ординат
– функцию).

Выбор
масштабов.
Масштаб графика определяется погрешностью
измерения величин, отложенных по осям:
погрешность должна быть видна на графике,
т. е. должна представляться в выбранном
масштабе отрезком достаточной длины,
иначе график не отражает всех деталей
эксперимента и не может быть использован
для графической обработки данных без
потери точности.

Шкала
должна легко читаться, поэтому одна
клетка масштабной сетки должна
соответствовать удобному числу – 0,1;
0,2; 0,5; 1; 2; 5;
10; … (но не 2,5; 3; 4; 7; 1,13; и т.д.) единиц
изображаемой на графике величины.
При неудобном
масштабе нанесение экспериментальных
точек на график и использование графика
требуют неоправданно большого времени
и нередко сопровождаются досадными
ошибками.

Масштабы
по обеим осям выбираются независимо
друг от друга. Однако следует помнить,
что график получается более наглядным,
если основная часть кривой имеет наклон,
не слишком отличающийся от 45°. В этом
случае наиболее удобно анализировать
форму кривой.

Если
при выборе масштабов для обеих осей на
основе величин погрешностей график
получается слишком растянутым в
каком-либо направлении, то это означает,
что измерения соответствующей
величины проведены с излишне высокой
точностью. При таких условиях разумно
несколько увеличить масштаб по оси, для
которой точность измерений меньше, а
затем выбрать масштаб для второй оси
так, чтобы график имел удобную форму,
уже не обращая внимания на величину
погрешности.

Нанесение
шкал по осям.
Оси графика
должны иметь ясные, четкие обозначения.
Рядом с делениями – на удобных расстояниях
– должны быть нанесены цифры, позволяющие
установить значения, соответствующие
делениям шкалы. Масштаб
наносится на осях графика в виде
равноотстоящих «круглых» чисел, например
6; 8; 10; … или 4,74; 4,76; 4,78; … (чтобы не
загромождать график, можно опускать
целую часть числа: 4,74; ,76; ,78; и т.д.). Не
следует расставлять эти числа слишком
густо – достаточно нанести их через 2
или даже через 5 см.
Это не вызывает неудобств, так как при
рассмотрении графика можно легко
восстановить пропущенные значения.
Круглые значения
цифр располагаются на жирных линиях
сетки (на миллиметровой бумаге такие
линии идут через 5 см).

На
оси обязательно указываются обозначение
и единицы измерения соответствующей
величины. При этом множитель, определяющий
порядок величины, включается обычно
в единицы измерения, например: I,
мА;
I,
10³
А
или, иногда, I·10³,
А.

Выбор
интервала.
При построении
графиков следует разумно выбирать
интервал, чтобы измеренные точки
располагались на всей площади листа.
Поэтому на графике приводится только
та область изменения измеренных величин,
которая была исследована на опыте.

Не
следует стремиться к тому, чтобы на
графике обязательно поместилось
начало координат (точка 0,0). Даже в том
случае, когда требуется найти точку
пересечения какой-либо прямой на графике
с одной из координатных осей, нет
необходимости, чтобы эта ось помещалась
на графике; точку пересечения легко
найти расчетом, пользуясь подобием
треугольников. Начало координат помещают
на графике только в том случае, когда
это не требует большого увеличения его
размеров.

Следует
помнить, однако, что иногда точка (0,0)
есть результат измерения, причем
часто – наиболее надежный результат
(например, при определении сопротивления
точка I
= 0; U=
0).

Нанесение
точек на график.
Точки должны
наноситься на график очень тщательно
и аккуратно, чтобы график получился
более точным. Их следует отмечать
карандашом, так как иначе ошибочно
нанесенную точку нельзя удалить с
графика, не испортив его.

Никаких
выносных линий и отметок, поясняющих
построение точек,
на
график наносить
нельзя (так как они загромождают рисунок
и мешают анализировать результаты).
Выносная линия может в виде исключения
быть нанесена, только если какую-либо
точку хотят особо выделить на графике
(например, положение максимума).

Если
на один и тот же график наносятся
различные группы данных (результаты
измерения разных величин; одной величины,
но полученные в разных условиях или
разными авторами и т. п.), то точки,
относящиеся к разным группам, должны
быть помечены различными символами
(кружки, треугольники, звездочки и
т. п.) или нанесены разными цветами,
чтобы их нельзя было спутать.

Изображение
погрешности.
Способ
изображения на графике экспериментальных
результатов зависит от того, известна
ли их случайная погрешность. Если
она неизвестна (что чаще всего и бывает),
то результаты изображаются точками,
а если известна, то лучше изображать их
с помощью крестиков соответствующих
размеров, нанесенных поверх точек.
Полуразмер
креста по горизонтали должен быть равен
стандартной погрешности по оси абсцисс,
а его вертикальный полуразмер –
погрешности по оси ординат.
В том случае, если одна из ошибок – из-за
своей малости – не может быть изображена
графически, результаты изображаются
черточками, вытянутыми на ± σ
в том направлении, где погрешность не
мала.

Можно
также указывать погрешность размером
точек, для этого точки рисуют либо в
виде эллипсов с длиной полуосей, равной
в масштабе графика величине погрешности,
либо в виде прямоугольников таких
же размеров. Нет необходимости указывать
погрешность для каждой точки, но если
погрешность изменяется вдоль кривой,
следует показать это на нескольких
точках.

Проведение
кривых через экспериментальные точки.
Кривую на графике проводят плавно,
избегая изломов и перегибов. Кривая
должна проходить насколько возможно
ближе ко всем нанесенным точкам, но
ни в коем случае не следует стремиться
провести ее через каждую точку. Через
экспериментальные точки всегда следует
проводить самую простую кривую,
совместимую с этими точками,
т. е. кривую, от которой экспериментальные
данные отступают, как правило (в 2/3
случаев), не более чем на стандартную
ошибку. Не следует придавать кривым
никаких изгибов, если экспериментальным
данным – в пределах ошибок – можно
удовлетворить и без этого.

Излом
на кривой можно рисовать только в том
случае, если он не может быть объяснен
погрешностью измерений и если при этом
на его существование указывает большое
число точек. Кроме того, нужно быть
уверенным в отсутствии систематических
ошибок (изломы часто появляются, например,
когда сначала работают на одной шкале
прибора, а затем переходят на другую).
Помните, что
всякая
особенность на кривой (излом, резкое
изменение кривизны и пр.) требует либо
специального экспериментального
доказательства, либо теоретического
объяснения.

При
проведении кривой нужно следить за тем,
чтобы на каждом достаточно большом
ее участке экспериментальные точки
располагались как выше, так и ниже
кривой.

Во
всех случаях кривая должна быть проведена
так, чтобы она не закрывала экспериментальных
точек.

Выбор
наиболее наглядной зависимости.
При построении графика нужно стремиться
к тому, чтобы он наиболее четко отражал
все особенности представляемой
зависимости. Для этого часто бывают
удобны функциональные масштабы – по
осям откладываются не сами измеряемые
величины, а их функции, подобранные в
соответствии с решаемой задачей.

При
графической обработке результатов
следует помнить, что на глаз можно точно
провести через экспериментальные точки
только прямую линию. Поэтому при
построении графика следует стремиться
к тому, чтобы ожидаемая зависимость
имела вид прямой линии.

К
логарифмическому масштабу без особой
необходимости прибегать не следует.
Одна из наиболее часто встречающихся
погрешностей опыта – смещение нуля
отсчета – приводит в этом случае к
сильному искажению прямолинейного
характера кривой.

Бывают,
однако, случаи, когда логарифмический
масштаб необходим. Это происходит,
например, если исследуемая величина
очень сильно изменяется, причем
одновременно интересны очень малые и
очень большие ее значения. Логарифмический
масштаб позволяет все точки уместить
на одном чертеже и исследовать совместно.
Логарифмический масштаб выбирают и в
том случае, если имеются основания
ожидать, что искомая зависимость
является степенной, но показатель
степени неизвестен. Иногда применяют
также полулогарифмический (логарифм
откладывается только по одной из осей)
масштаб. Надо помнить, однако,
что логарифмический
масштаб можно применять без потери
точности, только если относительная
погрешность постоянна для всей кривой.

Оформление
графиков.
Готовый график снабжается заголовком,
который должен содержать точное описание
того, что показывает график.

Разные
группы точек (разные символы) или разные
кривые на графике также должны быть
объяснены. Эти объяснения приводятся
в подписи к графику (внизу листа или на
свободном, не занятом кривой, месте
на самом графике).

Основное
достоинство графиков – их наглядность.
Посмотрев на график, можно получить
качественное представление о
полученной зависимости и отметить
наличие различных особенностей:
максимумов, минимумов, точек перегиба,
областей наибольшей и наименьшей
скорости изменения, периодичности и
т. п. График позволяет также легко
судить о соответствии экспериментальных
данных той или иной теоретической
зависимости и вообще облегчает обработку
измерений.

С
помощью графика можно вести обработку
экспериментальных данных. Графическая
обработка не так точна, как численная,
использующая строгие методы, например
метод наименьших квадратов (см. ниже),
но зато проста, наглядна и в большинстве
случаев не требует длинных вычислений,
давая в то же время очень неплохие
результаты. Более того, на графике обычно
хорошо видны особенности, которые
легко пропустить при формальном
применении численных методов. Поэтому
первичную обработку данных (особенно,
если она проводится непосредственно
во время эксперимента) желательно делать
графически. Конечно, если полученной
точности окажется недостаточно, то
нужно использовать более точные методы.

Очень
часто бывает нужно выразить найденную
из опыта зависимость в виде уравнения
(например, представить ее в виде полинома
у = a+bx+cx²+…,
показательной функции у = ае^bx
и т. п.). Вид этого уравнения может
быть подобран произвольно или получен
на основании каких-либо теоретических
соображений. В обоих случаях необходимо
проверить, пригодна ли данная формула
для представления совокупности
экспериментальных данных, и подобрать
наилучшим образом значения неизвестных
параметров а,
b,
с, …, входящих
в формулу.

Особенно
просто задача решается для линейной
функции

у = а + bх.
(32)

(т. е.
для простых
формул, содержащих один или два неизвестных
параметра).
В этом случае график у(х) – прямая
линия и необходимо найти параметры а
и b
в формуле (32).

Значение
b
находится как угловой коэффициент
полученной прямой ^¹⁰,
а значение а
– как величина
отрезка, отсекаемого ею на оси ординат
[6].

Чтобы
найти погрешность в определении параметра
а,
нужно смещать прямую вниз параллельно
самой себе, пока выше нее не окажется
вдвое больше точек, чем снизу. Затем
следует сместить ее вверх, пока снизу
не окажется вдвое больше точек, чем
сверху. Пусть расстояние между этими
прямыми ровно Δ а
(см. рис. 1).

Рис.
1. Графический метод обработки результатов.
Оценка погрешности в определении
параметра a
[6].

Рис.
2. Графический
метод обработки результатов. Оценка
погрешности в определении параметра b
[6].

Погрешность
в определении а
равна [6]

,
(33)

где
п —
полное число точек на графике.

Погрешность
в определении параметра b
находится аналогичным образом (рис.
2). «Рабочий участок» оси абсцисс (участок,
на котором расположены экспериментальные
точки) делится на три равные части.
Средний участок в дальнейшей работе не
участвует. Для определения
прямая поворачивается так, чтобы на
левом участке выше нее оказалось вдвое
больше точек, чем под ней, а на правом
участке – наоборот. Затем кривая
поворачивается так, чтобы на левом
участке 2/3 точек лежали ниже прямой, а
на правом – ниже нее. Обозначим разницу
в угловых коэффициентах этих прямых
через Δb.
Тогда

,
(34)

где
п —
полное число точек на графике.

Часто
случается, что начальная точка искомой
зависимости хорошо известна и лежит
в начале координат. Как бы ни была сложна
зависимость тока, проходящего через
проводник, от приложенного к нему
напряжения, можно быть уверенным, что
при отсутствии напряжения нет и тока
(мы предполагаем, что в цепи не возникает
термо-э.д.с.). Если чайник не нагревать
и не охлаждать, то изменение его
температуры равно нулю, и т. д. Во всех
этих случаях нулевая точка не просто
известна,— она является самой надежной
из всех, которые используются при
обработке результатов. Задача о
проведении наилучшей прямой сводится
в этом случае к подбору параметра в
формуле

у
= k
x.
(35)

Стандартная
погрешность при определении параметра

в
формуле (35) находится следующим образом.
«Рабочим» участком в этом случае является
весь диапазон по оси Х
от нуля до последней точки. Его следует
разбить на три части и самую левую –
ближнюю к началу координат – часть во
внимание не принимать. Затем нужно
провести через начало координат две
вспомогательные прямые так, чтобы выше
одной из них лежало 2/3 точек, а выше
другой – 1/3. Различие в
между
этими прямыми определяет
.
Стандартная погрешность находится по
формуле

,
(36)

где
п —
полное число точек на графике.

Если
функция у
=f(x)
нелинейна, удобно использовать
функциональный масштаб – график
перечерчивается в новых координатах,
выбранных так, чтобы получить линейную
зависимость.

Зависимость
вида у
= a xⁿ,
например, можно исследовать на графике
=f(x)
или у
= f(xⁿ),
если п
известно. Если же п,
как и а,
подлежит определению из экспериментальных
данных, применяется логарифмический
масштаб lg y = f(lg x),
в котором подбираемая функция
представится прямой lg y = lg a + n lg x;
параметры функции легко определяются
из наклона и начальной ординаты прямой.
Функция вида у = а + b х²подбирается
на графике у = f(x²).
Экспоненциальная функция вида
y = a x²e^—^b^x
(температурная зависимость тока
термоэлектронной эмиссии) изобразится
прямой в координатах lg y/x²и 1/х.

Если
применяется такой метод обработки
результатов, то, как правило, строят два
графика – график в функциональном
масштабе для количественной обработки
и график в натуральном масштабе для
наглядного представления функции.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

II. Обработка по методу Стьюдента

Результаты данной серии измерений, не являющиеся грубыми ошибками, внести в таблицу 2 для обработки по методу Стьюдента.

N/N	h_i	Δh_i	Δh_i 2
<A>= A_i = Σ Δh_i 2 =

1. Рассчитать среднее арифметическое для данной серии измерений: <A>= A_i =

2. Найти отклонение каждого из результатов данной серии измерений от среднего:

Δh_i= h_i — <h> и записать со своим знаком в третий столбец таблицы 2.

3. Найти квадрат отклонений от среднего для каждого из результатов измерений в данной серии и заполнить четвёртый столбец таблицы 2.

4 Найти сумму квадратов отклонений от среднего Σ Δh_i 2 =

5. Рассчитатьоценку среднеквадратичного отклонения результата серии измерений S, которая при ограниченном числе измерений определяется как:

где N – число измерений.

6. По таблице ! найти коэффициент Стьюдента:

Для N= 9 и Р= 0,95 t= 2,31

7. Вычислить абсолютную погрешность по формуле: α = t S=

8. Сравнить значение вычисленной абсолютной погрешности α с погрешностью прибора и записать окончательное значение абсолютной погрешности измерений:

2.2.1. Стандартная запись окончательного результата

В процессе обработки результатов наблюдений необходимо:

1) в стандартной форме записи окончательного результата погрешность измерения принято выражать числом с одной или двумя значащими цифрами. Значащими цифрами числа называю все его цифры, начиная с первой слева, отличной от нуля цифры. Две цифры указываются при наиболее точных измерениях, а также, если цифра старшего разряда числа, выражающего погрешность, равна или меньше трёх:

h= (6,78 ±0,05) м; или l=(3,21 ± 0,17) м;

2) Числовое значение результата измерения представляется в таком виде, чтобы и среднее значение и абсолютная погрешность имели одинаковое число десятичных знаков после запятой. При этом для больших и малых чисел используют стандартную запись в виде произведения: а 10 n , где 1 ≤ а ≤ 10;

3) При окончательной оценке вычисленного значения абсолютной погрешности необходимо сопоставить его с абсолютной погрешностью измерительного прибора (λ). Если вычисленное значение абсолютной погрешности в 10 раз меньше погрешности прибора, то за величину абсолютной погрешности принимают погрешность прибора. Если же вычисленное значение абсолютной погрешности равно погрешности прибора, то величину абсолютной погрешности принимают равной сумме вычисленной погрешности и погрешности прибора: Δh _{окончат.} = Δh_вычисл_. +λ.

4) Если в результате измерений получается ряд совершенно одинаковых значений измеряемой величины, то в качестве абсолютной погрешности измерений берётся погрешность прибора λ Для приборов, имеющих нониус (верньер), погрешность измерений берётся равной погрешности нониуса.

2.2.2..Правила округления

При записи результатов измерений, а также при их обработке, округление результата проводится согласно следующим правилам:

1. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов меньше 5, то последняя сохраняемая цифра не изменяется. Лишние цифры в целых числах заменяют нулями, а в десятичных дробях отбрасывают. Например, число 847563 при сохранении четырёх значащих цифр должно быть округлено до 847500, а число 354,345 — до 354, 3.

2. Если старшая отбрасываемая цифра больше или равна 5, но за ней следуют отличные от нуля цифры, то последнюю сохраняемую цифру увеличивают на единицу. Например, при сохранении трёх значащих цифр число 123, 51 округляют до 124, а 34598 – до 34600.

3. Если отбрасываемая цифра равна 5, а следующие за ней цифры неизвестны, то последнюю сохраняемую цифру не изменяют, если она чётная, и, увеличивают на 1, если она нечётная, например: число 22.5 при сохранении двух значащих цифр округляют до 22, а число 31,5 — до 32.

4. Из правил округления имеется исключение: при округлении погрешности последняя сохраняемая цифра увеличивается на 1, если старшая сохраняемая цифра 3 или больше.

Например, пусть < h > = 3,455 м, а Δ h = 0,043 м,

тогда правильная запись окончательного результата выглядит так:

§ 3. Обработка результатов косвенных измерений физических величин

Основная задача косвенных измерений – нахождение искомой величины, которая является функцией одного или нескольких аргументов: U=f(A,B,C…). Обычно вид функции известен, а величины А, В, С… измеряются непосредственно в эксперименте. По результатам этих измерений необходимо получить оценку величины U и определить точность этой оценки.

Среднее арифметическое значение и погрешность косвенных измерений можно вычислить двумя методами:

1. Можно при каждом наблюдении величин А, В, С…вычислять значение U, а среднее арифметическое значение и доверительный интервал вычислять по тому же методу, что и для прямых измерений.

2. можно найти среднее значение и абсолютную погрешность каждого аргумента по всем измерениям, а затем оценку искомой величины по формуле:

Величину абсолютной погрешности вычисляют по формуле:

Причем все частные производные при А =<A>, B=<B>,C=<C>… , а значения DА, DВ, DС… вычисляют в результате прямых измерений.

Частные производные нужно взять по всем переменным, а затем, если получилось несколько слагаемых, содержащих дифференциал одной и той же переменной, нужно сгруппировать эти слагаемые с учетом их знаков, появившихся при дифференцировании, и вынести общий дифференциал за скобку. После этого нужно взять сумму абсолютных величин частных дифференциалов и заменить знак дифференциала знаком абсолютной погрешности D. При этом доверительная вероятность для погрешности косвенного измерения будет такой же, как и для погрешности аргументов.

Запишем формулу (3.2) для нескольких частных случаев.

1 погрешность от произведения U=A k B l C j :

2Погрешность от суммы U=A+B:

3 Погрешность от сложной суммы рассмотрим на таком примере а=cb 2 +z 3 : введем следующие обозначения: x=cb 2 y=z 3 , тогда

Da=(Dx 2 +Dy 2 ) 0. 5 , где Dx=cb 2 ((Dc/c) 2 +(2Db/b) 2 ) 0. 5 Dy=3z 2 Dz,

подставив полученные выражения в начальную формулу, найдем абсолютную погрешность Dа нашего выражения.

Рассмотрим пример. Для вычисления ускорения свободного падения методом математического маятника расчетная формула имеет вид:

Введем обозначения А=l₁-l₂, B=T₁ 2 , C=T₂ 2 , D=B-C, упростив выражение получим:

Используя формулу (3.3) находим погрешность от произведения:

Если же функция удобна для логарифмирования, то сначала проще найти относительную погрешность:

А затем найти абсолютную погрешность: DU=e<U>

Для облегчения вычислений рекомендуется использовать таблицу1:

Формулы для вычисления погрешности функций

№ пп	функция	Абсолютная погрешность	Относительная погрешность
X k	k<x> k-1 Dx	kDx/<x>
X 1/k	Dx/(k<x> k-1/k )	Dx/k<x>
lnx	Dx/<x>	Dx/(<x>ln<x>)
e kx	ke k<x> Dx
lgx	0.4343Dx/<x>	0.4343Dx/<x>lg<x>
a kx	k lna×a k<x> Dx	k lna Dx
x/(1+x)	Dx/(1+<x>) 2	kDx/((<x>(1+x))
1/x k	kDx/<x> k-1	kDx/<x>
Sin kx	k cos k<x> Dx	k ctg k<x>Dx
Cos kx	k sin k<x> Dx	k tg k<x>Dx
Tg kx	kDx/cos 2 k<x>	2kDx/sin 2k<x>
Ctg kx	kDx/sin 2 k<x>	2kDx/sin 2k<x>

При использовании различных констант (ускорение свободного падения, скорость света в вакууме) погрешность определяют как разность данного приближенного значения и более точного. Например, используется значение ускорения свободного падения g=9,81 м/с 2 . более точное значение равно 9,807 м/с 2 , следовательно, Dg=0,003 м/с 2 . Часто для числа p используют приближенное его значение 3,14, а более точное – 3,142. следовательно, абсолютная погрешность равна 0,002.

Если константу округляют так, что число значащих цифр в ней больше их числа в значениях других аргументов, то константа практически не вносит погрешностей в результат измерений.

При использовании таблицы необходимо погрешность аргумента тригонометрических функций брать в радианах.

Оценка погрешностей при определении искомой величины по таблице или графику.

Ряд величин необходимо брать из таблиц. При этом часто приходится пользоваться методом интерполяции. Интерполяция – нахождение приближенных значений функции y=f(x) в точках х, лежащих между точками x_i (i=1,2,3,4…), если известны значения функции f(x_i) лишь в этих точках, причем х₁<x₂<x₃…<x_n. Простейшая линейная интерполяция для х, принадлежащая отрезку [x₁; x₂], составляется по формуле:

t°,°C	r, кг/м 3
998,43
998,23
998,02
997,79

Например, надо найти плотность воды при температуре 20,4°С. по таблице и вышеприведенной формуле находим: r=998,23+0,4×(998,02-998,23)/(21-20)=

Если используются табличные данные, то абсолютные погрешности этих величин принимаются равными 5 единицам разряда, следующего за последней значащей цифрой числа. В приведенном примере Dr=0,005 кг/м 3 .

Если измеряемая величина определяется по графику, то абсолютная погрешность, с которой определяется искомая величина, также находится из графика. Пусть величина а имеет погрешность Dа, отвечающую на графике, например, одному делению в выбранном масштабе. Тогда абсолютная погрешность функции Df(a) определяется на данном участке кривой как изменение ординаты, вызванное изменением абсциссы на величину Dа (см. рис.1)

Рис.1 нахождение абсолютной погрешности по графику

В том случае, когда требуется проследить зависимость какой-то физической величины от другой, например, зависимость коэффициента преломления среды от длины световой волны, при обработке результатов измерений обычно используют графический метод. При этом следует сначала, не производя точных измерений, проследить за ходом кривой y=f(x) в широком интервале измеряемых величин. Это позволит заранее обнаружить значения аргумента, при которых функция меняется очень заметно (области максимума, минимума, точки перегиба). Очевидно, что в этих областях измерения надо производить чаще, т.е. при меньших изменениях значения аргумента.

При построении графиков следует руководствоваться следующими правилами.

1. Графики нужно строить на миллиметровой бумаге

2. При построении графика следует заранее выбрать масштаб, нанести деления масштаба по осям координат и лишь после этого приступать к нанесению экспериментальных точек. Значения независимого аргумента откладываются по оси абсцисс, а по оси ординат – значения функции.

3. по координатным осям необходимо указать не только откладываемые величины, но и единицы измерения.

4. при выборе масштаба надо стремиться к тому, чтобы кривая занимала весь лист. Шкала для каждой переменной может начинаться не с нуля, а с наименьшего округленного значения и кончаться наибольшим.

5. чем крупнее масштаб, тем точнее график. Наименьшее расстояние, которое можно отсчитывать на графике, должно быть не менее величины абсолютной ошибки измерения. Лучше всего брать масштаб графика таким, чтобы величина абсолютной ошибки соответствовала на графике отрезку 1мм. Это относится к величинам, откладываемым как по оси абсцисс, так и по оси ординат.

6. нанесенные на график точки полагается обводить кружком радиусом, равным абсолютной ошибке измеряемой величины. Вообще говоря, размер экспериментальных точек, наносимых на график, не являются произвольным, а должен быть выбран в соответствии с точностью измерений. Вокруг каждой точки должен быть построен прямоугольник со сторонами, равными абсолютной погрешности аргумента и функции. В частном случае этот прямоугольник превратится в квадрат, который можно заменить окружностью. Так в большинстве случаев погрешности значений функции больше погрешности аргумента, то наносят только погрешности функции в виде отрезка длиной, равной удвоенной погрешности в данном масштабе. При этом экспериментальные точки находятся в середине этого отрезка. Который в обоих концах ограничивается черточками (см. рис.).

7. нанесенные экспериментальные точки соединяют между собой плавной линией, без искривлений и углов (их наличие говорит о том, что в наблюдениях или вычислениях допущены грубые ошибки). Следовательно, график может служить для контроля и улучшения наблюдений.

8. кривая должна охватывать как можно больше точек или проходить между ними так, чтобы по обе стороны от нее точки располагались равномерно.

9. кривая на графике должна получаться не слишком крутой и не слишком пологой. Это достигается выбором разных масштабов по координатным осям.

Рис.2 Изображение результата на графике.

Пользуясь кривой можно проводить интерполирование, т.е. находить значение искомой величины для таких значений аргумента, которые непосредственно не наблюдались. Для этого из любой точки оси абсцисс можно провести ординату до пересечения с этой кривой. Длина этой ординаты будет представлять значение искомой величины для соответствующего значения независимого аргумента. Кроме того, можно определить значения одной величины, которые соответствуют максимальному или минимальному значению другой, хотя последняя и не определяется непосредственно.

Вопросы для самоконтроля

1. что называется физической величиной?

2. Что называется Измерением физической величины?

3. Какое измерение называется прямым?

4. Что называется действительным значением физической величины?

5. Что называется абсолютной, относительной погрешностью измерения?

6. каким образом можно увеличить точность измерения?

7. Как классифицируются погрешности по своим свойствам?

8. Как вычисляется оценка абсолютной погрешности прямого измерения?

9. как найти погрешность нониуса штангенциркуля, если она не указана на приборе?

10. каков алгоритм обработки результатов многократных измерений?

11. Как производят округление числового значения среднего арифметического?

12. сколько значащих цифр оставляется в окончательной записи погрешности результата измерения?

13. Как устроен штангенциркуль?

14. чему равна погрешность измерения, если в результате наблюдений получается ряд совершенно одинаковых значений?

15. как записывается окончательный результат измерения если:

b) <V>=28.038м 3 DV=0.13м 3

d) <p>=274.386Па Dp=0.176Па

16. какое измерение называется косвенным?

17. как определяется погрешность результатов косвенных измерений?

18. в каких единицах выражается погрешность аргумента тригонометрических функций?

19. как оценивается абсолютная погрешность в случае однократного наблюдения?

20. чему равна абсолютная погрешность числа p, если используется значение p=3,14, а более точное – 3,142?

21. как определяется абсолютная погрешность физических констант?

22. как находится абсолютная погрешность величины, значение которой берется из таблицы?

23. как находится абсолютная погрешность величины ,которая определяется по графику?.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1

Оценка измеряемой физической величины с помощью доверительного интервала.

Цель работы: усвоить обработку результатов прямых измерений, измерить высоту цилиндрического тела.

Приборы и инструменты: штангенциркуль, цилиндрическое тело.

При домашней подготовке необходимо: 1) проработать пп.3.1-3.5 настоящих указаний, 2)составить бланк отчета о лабораторной работе, 3)приготовить ответы на вопросы для самоконтроля.

Штангенциркуль служит для линейных измерений. Он состоит из масштабной линейки 1 и нониуса 2 (см.рис.3). цена деления масштабной линейки 1 мм. Нониус – специальная шкала, дополняющая обычный масштаб и позволяющая повысить точность измерений в 10..20 раз. Нониус изготовляется так, что длина делений нониуса равна (kN-1) делений шкалы Na_н=(kN-1)а_ш, где а_н, а_ш – цена деления нониуса и основной шкалы. Величина l= а_ш/N называется погрешностью нониуса. Масштабная линейка и нониус снабжены измерительными выступами (губками) 3 и 4,расстояние между которыми изменяется при перемещении нониуса вдоль масштабной линейки. Винт 5 служит для фиксирования положения нониуса на масштабной линейке.

При измерениях штангенциркулем внешних размеров тело слегка зажимается между выступами 3 и 4. при этом нулевая отметка шкалы нониуса смещается относительно нулевой отметки масштабной линейки на величину длины l измеряемого тела. По масштабной линейке отсчитывают целое число наименьших делений n, до нулевой отметки шкалы нониуса и смотрят, какая отметка шкалы нониуса m совпадает с некоторой отметкой шкалы масштабной линейки. Зная величины n, m по формуле l=(n+lm) определяют нужный размер тела. Погрешность нониуса l наносится на масштабной линейке штангенциркуля.

1. ознакомиться с устройством штангенциркуля.

2. измерить высоту цилиндрического тела

3. обработка результатов наблюдений.

Порядок выполнения работы

1. убедиться, что штангенциркуль исправен, определить погрешность нониуса.

2. поместить цилиндр между выступами 3 и 4 штангенциркуля, слегка сжать их и произвести отсчет.

3. проделать еще 10 раз операции описанные в п.2

4. обработать результаты наблюдений.

1. титульный лист

4. исключение грубых погрешностей

5. обработка результатов наблюдений по методу Стьюдента

6. окончательный результат.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2

Измерение объема тела.

Цель работы: достичь прочного усвоения метода Стьюдента, усвоить обработку косвенных измерений; найти объем цилиндрического тела.

Приборы и материалы: штангенциркуль, цилиндрическое тело.

При домашней подготовке следует: проработать пп.3.1-3.5 настоящих указаний, 2)составить бланк отчета о лабораторной работе, 3)приготовить ответы на вопросы для самоконтроля, 4)вывести формулу для нахождения абсолютной погрешности измерения объема.

1. измерение диаметра цилиндра

2. измерение объема цилиндра

Порядок выполнения работы.

1. убедиться, что штангенциркуль исправен, определить погрешность нониуса.

2. поместить цилиндр между выступами 3 и 4 штангенциркуля, слегка сжать их и произвести отсчет.

3. проделать еще 10 раз операции описанные в п.2

4. обработать результаты наблюдений

5. вычислить объем цилиндра по формуле <V>=(p<d> 2 <h>)/4 <d>, <h> —среднее значение диаметра и высоты цилиндра соответственно

Определение абсолютной, относительной и приведенной погрешности результата измерения. Построение графиков погрешностей на диапазоне измерений

3. Построить графики абсолютной, относительной и приведенной погрешностей на диапазоне измерений.

1) Составим таблицу:

∆_V, В

2) Класс точности задан числом без кружка, следовательно, приведенная погрешность γ_v, % во всех точках шкалы не должна превышать по модулю класса точности:

3) Рассмотрим худший случай, когда приведенная погрешность принимает максимальное по абсолютной величине значение:

4) Найдем абсолютную погрешность ∆_V:

За нормируемое значение V_N принимаем размах шкалы, т.к. она содержит 0 ⟹ V_N = 150

5) Рассчитаем значение относительной погрешности δ_V, %:

6) Строим графики абсолютной, относительной и приведенной погрешностей на диапазоне измерений:

7) Записать результат измерения с указанием его погрешности:

Результат измерения равен 110,45 В и абсолютная погрешность ∆_V остается всегда постоянной, следовательно, результат измерения с указанием погрешности будет выглядеть так:

Исходные данные

Класс точности

Диапазон измерений, Ом

Показание, Ом

1. Определить абсолютную, относительную и приведенную погрешности результата измерения;

2. Записать результат измерения с указанием его погрешности;

3. Построить графики абсолютной, относительной и приведенной погрешностей на диапазоне измерений.

Погрешности экспериментальных результатов

Любое число, которое выдает нам эксперимент, это результат измерения. Измерение производится прибором, и это либо непосредственные показания прибора, либо результат обработки этих показаний. И в том, и в другом случае полученный результат измерения неидеален, он содержит погрешности. И потому любой грамотный физик должен не только предъявить численный результат измерения, но и обязан указать все сопутствующие погрешности. Не будет преувеличением сказать, что численный экспериментальный результат, предъявленный без указания каких-либо погрешностей, бессмыслен.

В физике элементарных частиц к указанию погрешностей относятся исключительно ответственно. Экспериментаторы не только сообщают погрешности, но и разделяют их на разные группы. Три основных погрешности, которые встречаются чаще всего, это статистическая, систематическая и теоретическая (или модельная) погрешности. Цель такого разделения — дать четкое понимание того, что именно ограничивает точность этого конкретного измерения, а значит, за счет чего эту точность можно улучшить в будущем.

Статистическая погрешность связана с разбросом значений, которые выдает эксперимент после каждой попытки измерить величину.

Систематическая погрешность характеризует несовершенство самого измерительного инструмента или методики обработки данных, а точнее, недостаточное знание того, насколько «сбоит» инструмент или методика.

Теоретическая/модельная погрешность — это неопределенность результата измерения, которая возникла потому, что методика обработки данных была сложная и в чем-то опиралась на теоретические предположения или результаты моделирования, которые тоже несовершенны. Впрочем, иногда эту погрешность считают просто разновидностью систематических погрешностей.

Наконец, в отдельный класс, видимо, можно отнести возможные человеческие ошибки, прежде всего психологического свойства (предвзятость при анализе данных, ленность при проверке того, как результаты зависят от методики анализа). Строго говоря, они не являются погрешностью измерения, поскольку могут и должны быть устранены. Зачастую это избавление от человеческих ошибок может быть вполне формализовано. Так называемый дважды слепой эксперимент в биомедицинских науках — один тому пример. В физике частиц есть похожие приемы (см. заметку Что означает «слепой анализ» при поиске новых частиц?).

Что означает погрешность

Стандартный вид записи измеренной величины с погрешностью знаком всем. Например, результат взвешивания какого-то предмета может быть 100 ± 5 грамм. Это означает, что мы не знаем абсолютно точно массу, она может быть и 101 грамм, и 96 грамм, а может быть и все 108 грамм. Но уж точно не 60 и не 160 грамм. Мы говорим лишь, сколько нам показывают весы, и из каких-то соображений определяем тот примерный разброс, который измерение вполне могло бы дать.

Тут надо подчеркнуть две вещи. Во-первых, в бытовой ситуации значение 100 ± 5 грамм часто интерпретируется так, словно истинная масса гарантированно лежит в этом диапазоне и ни в коей мере не может быть 94 или 106 грамм. Научная запись подразумевает не это. Она означает, что истинная масса скорее всего лежит в этом интервале, но в принципе может случиться и так, что она немножко выходит за его пределы. Это становится наиболее четко, когда речь идет о статистических погрешностях; см. подробности на страничке Что такое «сигма»?.

Во-вторых, надо четко понимать, что погрешности — это не ошибки эксперимента. Наоборот, они являются показателем качества эксперимента. Погрешности характеризуют объективный уровень несовершенства прибора или неидеальности методики обработки. Их нельзя полностью устранить, но зато можно сказать, в каких рамках результату можно доверять.

Некоторые дополнительные тонкости, связанные с тем, что именно означают погрешности, описаны на странице Тонкости анализа данных.

Как записывают погрешности

Указанный выше способ записи не уточняет, что это за погрешность перед нами. В физике элементарных частиц при предъявлении результатов источники погрешностей принято уточнять. В результате запись результата может иногда принять пугающий своей сложностью вид. Таких выражений не надо бояться, просто нужно внимательно посмотреть, что там указано.

В самом простом случае экспериментально измеренное число записывается так: результат и две погрешности одна за другой:

μ = 1,33 ± 0,14 ± 0,15.

Тут вначале всегда идет статистическая, а за ней — систематическая погрешность. Если же измерение не прямое, а в чем-то опирается на теорию, которая тоже не идеально точна, то следом за ними приписывается теоретическая погрешность, например:

μ = 1,33 ± 0,14 ± 0,15 ± 0,11.

Иногда для пущей понятности явно указывают, что есть что, и тогда погрешностей может быть даже больше. Это делается вовсе не для того, чтобы запутать читателя, а с простой целью: упростить в будущем расчет уточенного результата, если какой-то один из источников погрешностей будет уменьшен. Вот пример из статьи arXiv:1205.0934 коллаборации LHCb:

Означает эта длинная строка следующее. Тут записана измеренная детектором вероятность выписанного распада B_s-мезона, которая равна [1,83 ± четыре вида погрешностей] · 10 –5 . В перечислении погрешностей вначале идет статистическая погрешность, потом систематическая погрешность, затем погрешность, связанная с плохим знанием некоторой величины f_s/f_d (неважно, что это такое), и наконец, погрешность, связанная с плохим знанием вероятности распада B 0 -мезона (потому что измерение B_s-распада косвенно опирается на B 0 -распад).

Нередки также случаи, когда погрешности в сторону увеличения и уменьшения разные. Тогда это тоже указывается явно (пример из статьи hep-ex/0403004):

И наконец, совсем экзотический случай: когда величина настолько плохо определена, что погрешность пишут не к самому числу, а к показателю степени. Например, 10 12 ± 2 означает, что величина вполне может лежать где-то между 10 миллиардами и 100 триллионами. В этом случае обычно нет большого смысла разделять погрешности на разные типы.

Величина со всеми явно указанными погрешностями часто не очень удобна для работы, например при сравнении теории и эксперимента. В этом случае погрешности суммируют. Эти слова ни в коем случае нельзя воспринимать как простое сложение! Как правило, речь идет о сложении в квадратах: если все три типа погрешностей обозначить как Δx_stat., Δx_sys., Δx_theor., то глобальная погрешность обычно вычисляется по формуле

Стоит еще добавить, что в других разделах физики нередко используют иную запись: вместо символа «±» погрешность просто помещают в скобках. Тогда ее понимают так: это погрешность, выраженная в единицах последней значащей цифры. Например, 100(5) означает 100 ± 5, а 1,230(15) означает 1,230 ± 0,015. В этом случае принципиально важно писать правильное число нулей в результате измерения, ведь запись 1,23(15) уже будет означать вдесятеро большую погрешность: 1,23 ± 0,15.

Как изображают погрешности

Когда экспериментально измеренные значения наносятся на график, погрешности тоже приходится указывать. Это обычно делают в виде «усов», как на рисунке слева. Такие «усы» с засечками относятся к глобальной погрешности. Если же хочется разделить статистические и систематические погрешности, то делают так, как показано на рисунке справа. Здесь засечки показывают только статистические погрешности, а полные усы во всю длину отвечают глобальным погрешностям. Другой вариант: выделение полных погрешностей цветом, как это показано, например, на рисунке с данными ATLAS по хиггсовскому бозону.

Наконец, когда экспериментальная точка имеет отдельные погрешности по обеим осям, то их тоже наносят, и результат выглядит в виде крестика.

Источник

Построение графиков и определение погрешностей по ним

Графическое определение погрешностей

Как определить погрешность по графику

lamen
Грустный lamen со своим жалким догматизмом.
Команда форума
Администратор

Lexxus
Немного великий
Администратор
VIP

lamen
Грустный lamen со своим жалким догматизмом.
Команда форума
Администратор

Lexxus
Немного великий
Администратор
VIP

Lexxus
Немного великий
Администратор
VIP

lamen
Грустный lamen со своим жалким догматизмом.
Команда форума
Администратор

lamen
Грустный lamen со своим жалким догматизмом.
Команда форума
Администратор

lamen
Грустный lamen со своим жалким догматизмом.
Команда форума
Администратор

lamen
Грустный lamen со своим жалким догматизмом.
Команда форума
Администратор

lamen
Грустный lamen со своим жалким догматизмом.
Команда форума
Администратор

lamen
Грустный lamen со своим жалким догматизмом.
Команда форума
Администратор

Lexxus
Немного великий
Администратор
VIP

Поделиться этой страницей

II. Обработка по методу Стьюдента

Определение абсолютной, относительной и приведенной погрешности результата измерения. Построение графиков погрешностей на диапазоне измерений

Погрешности экспериментальных результатов

Что означает погрешность

Как записывают погрешности

Как изображают погрешности

Не пропустите также:

Построение графиков и определение погрешностей по ним

Графическое определение погрешностей

Как определить погрешность по графику

lamen Грустный lamen со своим жалким догматизмом. Команда форума Администратор

Lexxus Немного великий Администратор VIP

lamen Грустный lamen со своим жалким догматизмом. Команда форума Администратор

Lexxus Немного великий Администратор VIP

Lexxus Немного великий Администратор VIP

lamen Грустный lamen со своим жалким догматизмом. Команда форума Администратор

lamen Грустный lamen со своим жалким догматизмом. Команда форума Администратор

lamen Грустный lamen со своим жалким догматизмом. Команда форума Администратор

lamen Грустный lamen со своим жалким догматизмом. Команда форума Администратор

lamen Грустный lamen со своим жалким догматизмом. Команда форума Администратор

lamen Грустный lamen со своим жалким догматизмом. Команда форума Администратор

Lexxus Немного великий Администратор VIP

Поделиться этой страницей

II. Обработка по методу Стьюдента

Определение абсолютной, относительной и приведенной погрешности результата измерения. Построение графиков погрешностей на диапазоне измерений

Погрешности экспериментальных результатов

Что означает погрешность

Как записывают погрешности

Как изображают погрешности

Не пропустите также:

lamen
Грустный lamen со своим жалким догматизмом.
Команда форума
Администратор

Lexxus
Немного великий
Администратор
VIP

lamen
Грустный lamen со своим жалким догматизмом.
Команда форума
Администратор

Lexxus
Немного великий
Администратор
VIP

Lexxus
Немного великий
Администратор
VIP

lamen
Грустный lamen со своим жалким догматизмом.
Команда форума
Администратор

lamen
Грустный lamen со своим жалким догматизмом.
Команда форума
Администратор

lamen
Грустный lamen со своим жалким догматизмом.
Команда форума
Администратор

lamen
Грустный lamen со своим жалким догматизмом.
Команда форума
Администратор

lamen
Грустный lamen со своим жалким догматизмом.
Команда форума
Администратор

lamen
Грустный lamen со своим жалким догматизмом.
Команда форума
Администратор

Lexxus
Немного великий
Администратор
VIP