Как найти точку минимума гиперболы

Гиперболой
называется множество всех точек
плоскости, модуль разности расстояний
от каждой из которых до двух заданных
точек этой же плоскости, называемых
фокусами, есть величина постоянная,
меньшая, чем расстояние между фокусами.

К

аноническое уравнение гиперболы:

(9)

где

—
действительная полуось,

—
мнимая полуось гиперболы,

—
фокусное расстояние. Числа

,

,

связаны соотношением

.
(10)

Координаты
фокусов

,

.

Точки

и


называются
вершинами гиперболы, точка O
– центром
гиперболы.

Важными
характеристиками гиперболы являются:

—
эксцентриситет

(1<
<
)
(11)

если

~ 1, то ветви гиперболы широкие, почти
вертикальные,

если

~

,
то ветви гиперболы узкие, гипербола
приближается к оси Ox.

—
асимптоты

.
(12)

Прямоугольник

,
центр которого совпадает с точкой О,
а стороны равны и параллельны осям
гиперболы называется основным
прямоугольником гиперболы. Диагонали
основного прямоугольника лежат на
асимптотах.

—
директрисы
гиперболы
– прямые, параллельные мнимой оси
гиперболы и отстоящие от нее на расстоянии,
равном

.
Уравнения директрис:

,

.
(13)

—
фокальные
радиусы
определяются формулами:

для точек правой
ветви гиперболы:

,

;
(14)

для точек левой
ветви:

,

.
(15)

Рис. 5. Гипербола,
ее асимптоты и основной прямоугольник

Если

,
то гипербола (9) называется равносторонней
(равнобочной). Ее уравнение принимает
вид

.
(16)

Если
фокусы гиперболы лежат на оси

,
то уравнение гиперболы имеет вид:

(17)
эксцентриситет этой гиперболы равен

,
асимптоты определяются уравнениями

,
уравнения директрис

.
Гипербола (17) называется сопряженной
гиперболе (9).

Пример
3.1.

Дано
уравнение гиперболы

.
Найти:

1. длины
   его полуосей;

2. координаты
   фокусов;

3. эксцентриситет
   гиперболы;

4. уравнения
   асимптот и директрис;

5. фокальные
   радиусы точки
   

6. на
   гиперболе найти точку, для которой
   расстояние от левого фокуса в 3 раза
   больше, чем от правого.

Решение.

Разделив
обе части уравнения

на

,
приведем уравнение гиперболы к
каноническому виду:

Отсюда:

1)

,

,
т.е. действительная полуось

,
мнимая полуось

.

2)
Используя соотношение (10), находим

,
т.е.

.
Запишем фокусы гиперболы:

,

.

3)
По формуле (11) находим эксцентриситет
гиперболы

.

4)
Уравнения асимптот и директрис найдем
по формулам (12) и (13):

и

.

5)
точка

лежит
на правой ветви гиперболы

,
используем формулы (14):

,

.

6)
Найдем на гиперболе точку

такую, что

.
Используя формулы (14) и

,
получим:

;

Находим

и

.

Поскольку

лежит на гиперболе

,
то ординаты соответствующих точек
найдем из этого уравнения при найденных
значениях x:

и,
если

,
то

(это число не существует в нужном нам
смысле), а если

,
то

.

Итак,
получили две точки на гиперболе,
удовлетворяющие данным условиям:

и

.

Пример
3.2.

Составить
уравнение гиперболы, симметричной
относительно координатных осей, которая
проходит через точку

и ее асимптоты имеют уравнения

.

Решение.

Подставим
координаты точки

в уравнение (9):

.

Уравнения
асимптот гиперболы

,
поэтому

,
тогда

.
Получим систему двух уравнений:

Запишем
уравнение гиперболы:

Задачи для
самостоятельного решения:

1.
Дана гипербола

.
Найти: 1) полуоси

и

;
2) фокусы;

3)
эксцентриситет; 4) уравнения асимптот;
5) уравнения директрис.

2.
Дана гипербола

.
Найти: 1) полуоси

и

;
2) фокусы;

3)
эксцентриситет; 4) уравнения асимптот;
5) уравнения директрис.

3.
Составить уравнение гиперболы, фокусы
которой расположены на оси абсцисс
симметрично относительно начала
координат, зная, кроме того, что:

1)
ее оси

и

;

2)
расстояние между фокусами

и ось

;

3)
расстояние между фокусами

и эксцентриситет

;

4)
ось

и эксцентриситет

;

5)
уравнения асимптот

и расстояние между фокусами

;

6)
расстояние между директрисами равно

и расстояние между фокусами

;

7)
расстояние между директрисами равно

и ось

;

расстояние между директрисами равно

и эксцентриситет

;

9)
уравнения асимптот

и расстояние между директрисами равно

;

10)
точки

и

гиперболы;

11)
точка

гиперболы и эксцентриситет

;

12)
точка

гиперболы и уравнения асимптот

;

13)
точка

гиперболы и уравнения директрис

;

14)
уравнения асимптот

и уравнения директрис

.

4.
Составить уравнение гиперболы, фокусы
которой расположены на оси ординат
симметрично относительно начала
координат, зная, кроме того, что:

1)
ее полуоси

и

(буквой

мы обозначаем полуось гиперболы,
расположенную на оси абсцисс);

2)
расстояние между фокусами

и эксцентриситет

;

3)
уравнения асимптот

и расстояние между вершинами равно 48;

4)
расстояние между директрисами равно

и эксцентриситет

;

5)
уравнения асимптот

и расстояние между директрисами равно

.

5.
Установить, какие линии определяются
следующими уравнениями:

1)

;
2)

;
3)

;
4)

.

Изобразить
эти линии на чертеже.

6.
Вычислить площадь треугольника,
образованного асимптотами гиперболы

и прямой

.

7.
Дана точка

на гиперболе

.
Составить уравнения прямых, на которых
лежат фокальные радиусы точки

.

8.
Убедившись, что точка

лежит на гиперболе

,
определить фокальные радиусы точки

.

9.
Эксцентриситет гиперболы

,
фокальный радиус ее точки

,
проведенный из некоторого фокуса, равен
16. Вычислить расстояние от точки

до односторонней с этим фокусом
директрисы.

10.
Эксцентриситет гиперболы

,
расстояние от точки

гиперболы до директрисы равно 4. Вычислить
расстояние от точки

до фокуса, одностороннего с этой
директрисой.

11.
Эксцентриситет
гиперболы

,
центр ее лежит в начале координат, один
из фокусов

.
Вычислить расстояние от точки

гиперболы с абсциссой, равной 13, до
директрисы, соответствующей заданному
фокусу.

12.
Эксцентриситет гиперболы

,
центр ее лежит в начале координат, одна
из директрис дана уравнением

.
Вычислить расстояние от точки

гиперболы с абсциссой, равной 10, до
фокуса, соответствующего заданной
директрисе.

13.
Определить точки гиперболы

,
расстояние от которых до правого фокуса
равно 4,5.

14.
Определить точки гиперболы

,
расстояние от которых до левого фокуса
равно 7.

15.
Составить уравнение гиперболы, если ее
эксцентриситет равен 2 и фокусы совпадают
с фокусами эллипса

.

16.
Составить уравнение гиперболы, фокусы
которой лежат в вершинах эллипса

,
а директрисы проходят через фокусы
этого эллипса.

17.
Найти уравнение гиперболы, вершины и
фокусы которой находятся в соответствующих
фокусах и вершинах эллипса

.

18.
Определить эксцентриситет равносторонней
гиперболы.

19.
Определить эксцентриситет гиперболы,
если отрезок между ее вершинами виден
из фокусов сопряженной гиперболы под
углом

.

20.
Прямая

касается гиперболы, фокусы которой
находятся в точках

и

.
Составить уравнение этой гиперболы.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Свойства гиперболы

1) Область определения и область значений

По аналитическому заданию функции видно, что х ≠-a, поскольку знаменатель дроби не может ровняться нулю. Таким образом получим:

D(f)=(-∞;-а) U (-a;+∞)

Область значений

Е(f)=(-∞;+∞)

2) Нули функции

Если b=0, то график функции не пересекает ось ОХ;

Если b≠0, то гипербола имеет одну точку пересечения с ОХ:*

x=-(k+ab)/b

3) Промежутки знакопостоянства

Рассмотрим только 2 простых случая, остальные случаи вы можете рассмотреть аналитически самостоятельно по алгоритму из раздела Свойства функций -> Знакопостоянство

Случай 1: a=0, b=0, k>0

f(x)>0, при x ∈ (0; +∞)

f(x)<0, при x ∈ (-∞;0)

Случай 1: a=0, b=0, k<0

f(x)<0, при x ∈ (0; +∞)

f(x)>0, при x ∈ (-∞;0)

4) Промежутки монотонности

Аналогично с промежутками знакопостоянства рассмотрим только 2 случая

Случай 1: a=0, b=0, k>0

Функция убывает при

x ∈ (-∞;0) U (0; +∞)

Функция возрастает при

x ∈ (-∞;0) U (0; +∞)

5) Четность и нечетность

Функция является нечетной при a=0, b=0, то есть если имеет вид y=k/x

Гипербола:

Определение: Гиперболой называется геометрическое место точек абсолютное значение разности расстояний от которых до двух выделенных точек

Получим каноническое уравнение гиперболы. Выберем декартову систему координат так, чтобы фокусы

Рис. 31. Вывод уравнения гиперболы.

Расстояние между фокусами (фокусное расстояние) равно Согласно определению, для гиперболы имеем Из треугольников по теореме Пифагора найдем соответственно.

Следовательно, согласно определению имеем

Возведем обе части равенства в квадрат, получим

Перенося квадратный корень в левую часть, а все остальное в правую часть равенства, находим Раскроем разность квадратов Подставим найденное выражение в уравнение и сократим обе части равенства на 4, тогда оно перейдет в уравнение Вновь возведем обе части равенства в квадрат Раскрывая все скобки в правой части уравнения, получим Соберем неизвестные в левой части, а все известные величины перенесем в правую часть уравнения, получим Введем обозначение для разности, стоящей в скобках Получим Разделив все члены уравнения на величину получаем каноническое уравнение гиперболы: Для знака “+” фокусы гиперболы расположены на оси Ох, вдоль которой вытянута гипербола. Для знака фокусы гиперболы расположены на оси Оу, вдоль которой вытянута гипербола.

Проанализируем полученное уравнение. Если точка М(х;у) принадлежит гиперболе, то ей принадлежат и симметричные точки и следовательно, гипербола симметрична относительно координатных осей, которые в данном случае будут называться осями симметрии гиперболы (Рис. 32). Найдем координаты точек пересечения гиперболы с координатными осями: т.е. точками пересечения гиперболы с осью абсцисс будут точки т.е. гипербола не пересекает ось ординат.

Рис. 32. Асимптоты и параметры гиперболы

Определение: Найденные точки называются вершинами гиперболы.

Докажем, что при возрастании (убывании) переменной х гипербола неограниченно приближается к прямым не пересекая эти прямые. Из уравнения гиперболы находим, что При неограниченном росте (убывании) переменной х величина следовательно, гипербола будет неограниченно приближаться к прямым

Определение: Прямые, к которым неограниченно приближается график гиперболы называются асимптотами гиперболы.

В данном конкретном случае параметр а называется действительной, а параметр b — мнимой полуосями гиперболы.

Определение: Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к действительной полуоси гиперболы

Из определения эксцентриситета гиперболы следует, что он удовлетворяет неравенству Кроме того, эта характеристика описывает форму гиперболы. Для демонстрации этого факта рассмотрим квадрат отношения мнимой полуоси гиперболы к действительной полуоси Если эксцентриситет и гипербола становится равнобочной. Если и гипербола вырождается в два полубесконечных отрезка

Пример:

Составить каноническое уравнение гиперболы, если мнимая полуось b = 5 и гипербола проходит через точку М(4; 5).

Решение:

Для решения задачи воспользуемся каноническим уравнением гиперболы, подставив в него все известные величины:

Следовательно, каноническое уравнение гиперболы имеет вид

Пример:

Составить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы — в вершинах эллипса

Решение:

Для определения координат фокусов и вершин эллипса преобразуем его уравнение к каноническому виду. Эллипс: или Следовательно, большая полуось эллипса а малая полуось Итак, вершины эллипса расположены на оси и на оси Так как то эллипс вытянут вдоль оси абсцисс Ох. Определим расположение фокусов данного эллипса Итак, Согласно условию задачи (см. Рис. 33):

Рис. 33. Параметры эллипса и гиперболы

Вычислим длину мнимой полуоси Уравнение гиперболы имеет вид:

Гипербола в высшей математике

Рассмотрим уравнение

Решая его относительно , получим две явные функции

или одну двузначную функцию

Функция имеет действительные значения только в том случае, если . При функция действительных значений не имеет. Следовательно, если , то точек с координатами, удовлетворяющими уравнению (3), не существует.

При получаем.

При каждому значению соответствуют два значения , поэтому кривая симметрична относительно оси . Так же можно убедиться в симметрии относительно оси . Поэтому в рассуждениях можно ограничиться рассмотрением только первой четверти. В этой четверти при увеличении х значение у будет также увеличиваться (рис. 36).

Кривая, все точки которой имеют координаты, удовлетворяющие уравнению (3), называется гиперболой.

Гипербола в силу симметрии имеет вид, указанный на рис. 37.

Точки пересечения гиперболы с осью называются вершинами гиперболы; на рис. 37 они обозначены буквами и .

Часть гиперболы, расположенная в первой и четвертой четвертях, называется правой ветвью, а часть гиперболы, расположенная во второй и третьей четвертях, — левой ветвью.

Рассмотрим прямую, заданную уравнением . Чтобы не смешивать ординату точки, расположенной на этой прямой, с ординатой точки, расположенной на гиперболе, будем обозначать ординату точки на прямой , а ординату точки на гиперболе через . Тогда , (рассматриваем только кусок правой ветви, расположенной в первой четверти). Найдем разность ординат точек, взятых на прямой и на гиперболе при одинаковых абсциссах:

Умножим и разделим правую часть на

или

Окончательно

Будем придавать все большие и большие значения, тогда правая часть равенства будет становиться все меньше и меньше, приближаясь к нулю. Следовательно, разность будет приближаться к нулю, а это значит, что точки, расположенные на прямой и гиперболе, будут сближаться. Таким образом, можно сказать, что рассматриваемая часть правой ветви гиперболы по мере удаления от начала координат приближается к прямой .

Вследствие симметрии видно, что часть правой ветви, расположенная в четвертой четверти, будет приближаться к прямой, определяемой уравнением . Также кусок левой ветви, расположенный во второй четверти, приближается к прямой , а кусок левой ветви, расположенный в третьей четверти, — к прямой .

Прямая, к которой неограниченно приближается гипербола при удалении от начала координат, называется асимптотой гиперболы.

Таким образом, гипербола имеет две асимптоты, определяемые уравнениями (рис. 37).

1. Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютное значение разности расстояний до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а (рис.1). Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

Координаты фокусов гиперболы: F(c;0) и F₁(-c;0). Расстояние между фокусами равно 2с.
Точки пересечения гиперболы с осью абсцисс А(а;0) и A₁(—а;0) называются действительными вершинами.

Рис.2

Отрезок АА₁ = 2а называется действительной осью гиперболы. Точки В (0;b) и В₁(0;—b) называются мнимыми вершинами гиперболы, а отрезок ВВ₁ = 2b называется мнимой осью гиперболы.
Эксцентриситет гиперболы

Расстояния r и r₁ точки М(x;у) гиперболы до ее фокусов называются фокальными радиусами этой точки и определяются формулами:

если точка М лежит на правой ветви;

если точка М лежит на левой ветви.
Две прямые PQ и P₁Q₁ параллельные мнимой оси гиперболы и
отстоящие от нее на расстоянии a/e, называются директрисами гиперболы. Их уравнения:

или

Отношение расстояний любой точки гиперболы до фокуса и соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы

Прямые RS и R₁S₁ определяемые уравнениями

называются асимптотами гиперболы.
Уравнение гиперболы с осями, параллельными координатным осям, имеет вид:

где x₀, у₀ — координаты центра гиперболы. Две гиперболы, выраженные уравнениями


называются сопряженными (рис.3). Они имеют общие асимптоты.

Рис. 3.                                        Рис. 4.

Если оси гиперболы равны, т. е. a = b, то гипербола называется равнобочной или равносторонней (рис.4). Ее уравнение имеет вид

ее асимптотами служат биссектрисы координатных углов. Если за оси координат принять асимптоты равносторонней гиперболы, то ее уравнение примет вид

2. Парабола

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных oт данной точки — фокуса и данной прямой — директрисы (рис.5).
Каноническое уравнение параболы имеет вид

где Р — есть расстояние от фокуса до директрисы. Вершина параболы находится в начале координат, осью симметрии служит ось абсцисс.
Координаты фокуса F(p/2;0). Уравнение директрисы PQ параболы имеет вид

Фокальный радиус точки М(х;у) параболы равен:

Эксцентриситет параболы считается равным единице, е=1. Если осью симметрии параболы служит ось ординат (рис.6). то уравнение параболы имеет вид:


Рис. 3.                                        Рис. 4.
Уравнение директрисы в этом случае

Уравнение параболы с осью симметрии, параллельной одной из координатных осей, имеет вид:

или

где (x₀; y₀) — координаты вершины параболы.

3. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах

Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах имеют один и тот же вид:

где е — эксцентриситет кривой.
Если е<1, то кривая, определяемая уравнением (27), есть эллипс; если е>1, то кривая — гипербола и если е=1, то кривая — парабола.
р — фокальный параметр для эллипса и гиперболы находится по формуле

Для параболы р имеет то же значение, что и в уравнении

у² = 2рх.

При этом полюс расположен для эллипса в левом фокусе, для гиперболы — в правом фокусе.