Как найти точки покоя уравнения

Простейшие типы точек покоя

Пусть имеем систему двух линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами причем

$begin{cases}dfrac{dx}{dt}=a_{11}x+a_{12}y,\ dfrac{dy}{dt}=a_{21}x+a_{22}y,end{cases}$

(1)

Причём

$Delta=begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}end{vmatrix}ne0$

Точка x=0,~y=0 , в которой правые части уравнений системы (1) обращаются в ноль, называется точкой покоя системы (1).

Для исследования точки покоя системы (1) надо составить характеристическое уравнение

$begin{vmatrix}a_{11}-lambda&a_{12}\a_{21}&a_{22}-lambdaend{vmatrix}=0$

(2)

и найти его корни lambda_1 и lambda_2 .

Возможны следующие случаи.

1. Корни lambda_1,,lambda_2 характеристического уравнения (2) вещественные и разные:

а) lambda_1<0,,lambda_2<0 . Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел, рис. 32);

б) lambda_1>0,,lambda_2>0 . Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел, рис. 33);

в) lambda_1>0,,lambda_2<0 . Точка покоя неустойчива (седло, рис. 34).

2. Корни характеристического уравнения (2) комплексные: lambda_1=p+iq,,lambda_2p-iq:

а) p<0,~qne0 . Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый фокус, рис.35);

б) p>0,~qne0 . Точка покоя неустойчива (неустойчивый фокус, рис.36);

в) p>0,~qne0 . Точка покоя устойчива (центр, рис. 37).

3. Корни lambda_1=lambda_2 кратные:

а) lambda_1=lambda_2<0 . Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел, рис.38, 39);

б) lambda_1=lambda_2>0 . Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел, рис.40, 41).

1 Типы точек покоя в зависимости от корней характеристического уравнения

2 Типы точек покоя в зависимости от корней характеристического уравнения

3 Типы точек покоя в зависимости от корней характеристического уравнения

Пример 1. Определить характер точки покоя (0,0) системы

$begin{cases}dfrac{dx}{dt}=5x-y,\ dfrac{dy}{dt}=2x+y.end{cases}$

Решение. Составляем характеристическое уравнение

$begin{vmatrix}5-lambda&-1\2&1-lambdaend{vmatrix}=0,$ или lambda^2-6lambda+7=0.

Его корни $lambda_1=3+sqrt{2}>0,~lambda_2=3-sqrt{2}>0$ вещественные, разные, положительные. Следовательно, точка покоя (0;0) — неустойчивый узел.

Связь между типами точек покоя и значениями корней характеристического уравнения (2) можно представить наглядно. Для этого введем обозначения $sigma=-(a_{11}+a_{22},)$ $Delta=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$ . Тогда характеристическое уравнение запишется в виде lambda^2+sigmalambda+Delta=0 .

Рассмотрим плоскость с прямоугольными декартовыми координатами Delta и sigma и отметим на ней области, соответствующие различным типам покоя (рис. 42). Из приведенной выше классификации следует, что условиями устойчивости точки покоя являются $operatorname{Re}lambda_1<0,$ $operatorname{Re}lambda_2<0$ . Они выполняются при Delta>0 и sigma>0 , т. е. для точек, которые находятся в первой четверти.

Если lambda_1 и lambda_2 комплексные, то точка покоя будет типа фокуса. Этому условию удовлетворяют точки, которые лежат между ветвями параболы sigma^2=4Delta и не принадлежат оси ODelta (sigma^2<4Delta,~sigmane0) .

Точки полуоси sigma=0 , для которых Delta>0 , соответствуют точкам покоя типа центра.

Точки, расположенные вне параболы sigma^2=4Delta~(sigma^2>4Delta) , соответствуют точкам покоя типа узла.

Область плоскости ODeltasigma , где Delta<0 , содержит точки покоя типа седла.

Исключая особые случаи (прохождение через начало координат), замечаем, что седло может перейти в узел устойчивый или неустойчивый (рис.42). Устойчивый узел может перейти либо в седло, либо в устойчивый фокус. Случай равных корней lambda_1=lambda_2 соответствует границе между узлами и фокусами, т.е. параболе sigma^2=4Delta .

Устойчивые и неустойчивые узлы и фокусы

Пример 2. Исследовать уравнение упругих колебаний с учетом трения и сопротивления среды (при alpha>0 )

$frac{d^2x}{dt^2}+2alpha,frac{dx}{dt}+beta^2x=0,.$

(3)

Решение. Переходим от уравнения (3) к эквивалентной ему системе уравнений

$begin{cases}dfrac{dx}{dt}=y,\ dfrac{dy}{dt}=-2alpha y-beta^2x.end{cases}$

(4)

Для определения характера точки покоя (0,0) системы (4) составляем характеристическое уравнение

$begin{vmatrix}lambda&1\-beta^2&-2alpha-lambdaend{vmatrix}=0,$ или lambda^2+2alphalambda+beta^2=0,

отсюда

$lambda_{1,2}=-alphapmsqrt{alpha^2-beta^2},.$

(5)

Рассмотрим следующие случаи:

а) alpha=0 (сопротивление среды отсутствует). Из (5) получаем $lambda_{1,2}=pm ibeta$ . Точка покоя устойчива — центр (все движения являются периодическими);

б) alpha>0,~alpha^2-beta^2<0 . Корни lambda_1 и lambda_2 комплексно-сопряженные, причем operatorname{Re}lambda<0 . Точка покоя — устойчивый фокус (колебания затухают);

в) alpha<0 (случай «отрицательного трения»), alpha^2-beta^2<0 . Корни lambda_1 и lambda_2 — комплексно-сопряженные, причем operatorname{Re}lambda<0 . Точка покоя — неустойчивый фокус;

г) alpha>0,~alpha^2-beta^2geqslant0 (сопротивление среды велико alphaleqslantbeta ). Корни lambda_1 и lambda_2 — действительные и отрицательные. Точка покоя — устойчивый узел (все движения затухающие и неколеблющиеся);

д) alpha<0,~alpha^2-beta^2geqslant0 (случай большого «отрицательного трения»). Корни lambda_1 и lambda_2 действительные и положительные. Точка покоя — неустойчивый узел.

Пусть имеем систему линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

$frac{dx_i}{dt}= sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j,quad i=1,2,ldots,n~(ngeqslant2).$

(6)

Для нее имеют место аналогичные типы расположения интегральных кривых около начала координат (обобщенное седло, обобщенный узел и т.д.).

Теорема. Если все корни характеристического уравнения для системы (6) имеют отрицательную вещественную часть, то точка покоя системы (6) x_i=0 i=1,2,ldots,n , асимптотически устойчива. Если хотя бы один корень характеристического уравнения имеет положительную вещественную часть, то точка покоя неустойчива.

Пример 3. Будет ли устойчива точка покоя (0,0) системы

$begin{cases}dfrac{dx}{dt}=-x+z,\ dfrac{dy}{dt}=-2y-z,\ dfrac{dt}{dt}=y-z.end{cases}$

Решение. Составляем характеристическое уравнение

$begin{vmatrix}-1-lambda&0&1\0&-2-lambda&-1\0&1&-1-lambdaend{vmatrix}=0,$ или (lambda+1)(lambda^2+3lambda+3)=0.

Корни этого уравнения $lambda_1=-1,~lambda_{2,3}=-frac{3}{2}pm i,frac{sqrt{3}}{2}$ имеют отрицательные вещественные части. Следовательно, точка покоя данной системы асимптотически устойчива.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

2.1 Точки покоя системы дифференциальных уравнений

(2.1)

Если точка удовлетворяет условиям , то

Есть решение рассматриваемой системы, при этом точку называют точкой покоя этой системы.

Будем рассматривать однородную систему двух линейных уравнений с постоянными коэффициентами

(2.2)

Точка , очевидно, точка покоя этой системы. Составим характеристический определитель системы

Его корни определяют вид решений и устойчивость точки покоя. Если корни имеют отрицательные вещественные части, то точка покоя устойчива асимптотически.

Если корни чисто мнимые, т. е. , то точка покоя устойчива, но не асимптотически.

Если хотя бы один корень имеет положительную вещественную часть , то точка покоя неустойчива. Если один корень нулевой, а другой отрицательный, то точка покоя устойчива, но не асимптотически. Если два нулевых корня, то точка может быть как устойчивой не асимптотически, так и неустойчивой.

Наиболее наглядно устойчивость и неустойчивость точки покоя проявляется при рассмотрении фазовых траекторий системы (2.2).

Фазовая траектория системы (2.2) есть кривая на плоскости , задаваемая функциями есть решение системы (2.2). На этой кривой обычно стрелками указывают движение точки при возрастании . В зависимости от корней характеристического уравнения различают следующие точки покоя:

1) если корни вещественные отрицательные, то точку покоя называют устойчивым узлом (рис. 2.2).

2) если корни вещественные положительные, точку покоя называют неустойчивым узлом (рис. 2.3).

3) Если корни вещественные разного знака, то точку покоя называют седлом (рис. 2.4).

4) Если корни комплексные, то при положительных вещественных частях точка покоя есть неустойчивый фокус, при отрицательных – устойчивый фокус (рис. 2.5 и 2.6 соответственно).

5) Если корни чисто мнимые, то точка покоя называется центром (устойчива не асимптотически) (рис. 2.7).

Фазовые траектории вблизи различных точке покоя показаны на рис. 2.2 – 2.7. следует отметить, что для асимптотически устойчивой точки покоя все фазовые траектории при стремятся к началу координат. В случае неасимптотической устойчивости (центр) фазовые траектории для всех находятся в ограниченной окрестности начала координат. Для неустойчивой точки покоя существуют траектории, начинающиеся сколь угодно близко к началу и со временем неограниченно удаляющиеся.

Простейшие типы точек покоя

Точка , в которой правые части уравнений системы (1) обращаются в ноль, называется точкой покоя системы (1).

Для исследования точки покоя системы (1) надо составить характеристическое уравнение

и найти его корни и .

Возможны следующие случаи.

1. Корни характеристического уравнения (2) вещественные и разные:

а) . Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел, рис. 32);

б) 0,,lambda_2>0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел, рис. 33);

в) 0,,lambda_2 . Точка покоя неустойчива (седло, рис. 34).

2. Корни характеристического уравнения (2) комплексные:

а) . Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый фокус, рис.35);

qne0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />. Точка покоя неустойчива (неустойчивый фокус, рис.36);

3. Корни кратные:

а) . Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел, рис.38, 39);

б) 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAGgAAAATBAMAAACO11WQAAAALVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACttl6nAAAADnRSTlMAQoFewKTnMRAg0CJxkY7DLSgAAAFdSURBVCjPY2AgC/D4YBc/cgC7uDiYjDPAKsn6GKtwWWg6iJoXgFWW8xU2Ue5kBrMNQJrrJXZ3+G2AM6dOgLF4HzDwXQDSzG+wa7JDeIrRtQDKYnNgYFkApDleYdfUl4BgM4YIQBh8QE0PwCEBM4aBXRAMGiAh8RzZLyGQ4NoH02QHdCQnWIhZCQwghjC/ZWBolIDrCgPrkgNqeggyPi2BYdISLIGbxsAZGAYPAg4tAyRNZqWPGTpVMPSwp8cZ8AZwBaBqgvqJ+SHjUwYGFQzn2RnUBfAu4IWFBjdYDyj0uBJAkgxpDVBNSAHB/JiB7QUwEqE2cUdBAoIVGE8BYO/qGTBgOM8ugIEJmJCsGqCBBw1yxocMcgIgfQzzHDA1AZ3MmcLA7gFR6iIAEzc7kwx0EcgcAUxNIH9tZGhpACeLUkSK4jaGhyemJkiIOQoG4M5UJWnOWLPHu3cXGKgEAGUFSl2PiR1zAAAAAElFTkSuQmCC» style=»vertical-align: middle;» />. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел, рис.40, 41).

Пример 1. Определить характер точки покоя (0,0) системы

Решение. Составляем характеристическое уравнение

lambda_2=3-sqrt<2>>0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» /> вещественные, разные, положительные. Следовательно, точка покоя — неустойчивый узел.

Связь между типами точек покоя и значениями корней характеристического уравнения (2) можно представить наглядно. Для этого введем обозначения . Тогда характеристическое уравнение запишется в виде .

Рассмотрим плоскость с прямоугольными декартовыми координатами и и отметим на ней области, соответствующие различным типам покоя (рис. 42). Из приведенной выше классификации следует, что условиями устойчивости точки покоя являются . Они выполняются при 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADUAAAARBAMAAACP9fljAAAAJ1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAB+jSoGAAAADHRSTlMAwEURoSHbgmbwMZHLPgtLAAAAy0lEQVQY02NgwA+YF+CWYzmKKcakAKFjjmBKzd4GMczxTAC6XKQCx1QQzTpZxgEswLUVLufDwHAaRHMX6EAtVPSCySUyMIiBaDMDRpiFKkJQxkEGBhkQXc7AdNIAKhYCkeSCyjEnA+kCmGEhGWBnguSAvmAHiutMhrvCPAkmtwBkHQMD43FUOWaomeUgdXALo8FmMkxkYMiEWIewMEQC7j+g2zkmCgJBzmRUP+goMB1iYGA7AwYnwH53gtnKMaOtASUQuVwR7IhWBgYAYb0rVmdybtQAAAAASUVORK5CYII=» /> и 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADAAAAAQCAMAAABncAyDAAAAM1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADbQS4qAAAAEHRSTlMA0GginYExwEIB4FEh8BGxVXXvTAAAAL9JREFUKM+1kdsOAyEIREURvC///7WV3U1bL0nbh/pgonJkhjHmbysGir/U24SY6Pv6IKFDte3eyJf18oC+NbH73xjdbKCy7sLXMftz0TsSBsDJBYj6biBVBBLk9y7IYbDwAhpAMaWimYbmkHMcAZMU8FU9Mq9eHKa8doiCJ7sFYAPQOSonfi1n+5QUbwDuRLquKRIaTRu+cuhqYrJK5SmJYxyryUKatNolwIPpQ3BdQ7KY7qBLmdS4Xf7OZpX9AFDMBpP54cUeAAAAAElFTkSuQmCC» />, т. е. для точек, которые находятся в первой четверти.

Если и комплексные, то точка покоя будет типа фокуса. Этому условию удовлетворяют точки, которые лежат между ветвями параболы и не принадлежат оси .

Точки полуоси , для которых 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADUAAAARBAMAAACP9fljAAAAJ1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAB+jSoGAAAADHRSTlMAwEURoSHbgmbwMZHLPgtLAAAAy0lEQVQY02NgwA+YF+CWYzmKKcakAKFjjmBKzd4GMczxTAC6XKQCx1QQzTpZxgEswLUVLufDwHAaRHMX6EAtVPSCySUyMIiBaDMDRpiFKkJQxkEGBhkQXc7AdNIAKhYCkeSCyjEnA+kCmGEhGWBnguSAvmAHiutMhrvCPAkmtwBkHQMD43FUOWaomeUgdXALo8FmMkxkYMiEWIewMEQC7j+g2zkmCgJBzmRUP+goMB1iYGA7AwYnwH53gtnKMaOtASUQuVwR7IhWBgYAYb0rVmdybtQAAAAASUVORK5CYII=» />, соответствуют точкам покоя типа центра.

Точки, расположенные вне параболы 4Delta)» png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />, соответствуют точкам покоя типа узла.

Область плоскости , где , содержит точки покоя типа седла.

Исключая особые случаи (прохождение через начало координат), замечаем, что седло может перейти в узел устойчивый или неустойчивый (рис.42). Устойчивый узел может перейти либо в седло, либо в устойчивый фокус. Случай равных корней соответствует границе между узлами и фокусами, т.е. параболе .

Пример 2. Исследовать уравнение упругих колебаний с учетом трения и сопротивления среды (при 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADEAAAAQBAMAAABNQoq8AAAALVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACttl6nAAAADnRSTlMAAcGe2BFbQSGBMfCxcU2qjNsAAADDSURBVBjTY2AgDYgvxCHB5WyyALtM9wW2HUhcDgs4006A8TGyyprjAlCWiwCjCpDNekkzACLQrA6RYnwkwKgHZK42DVFghkq5CcBlAhi4NjOwPSuGGtMJlmJ/xMCgV8DA9JSB6yXc8kg3IMEKkelTAOo2gMv4Iuypm8DA+DoArgVkGiPQbdpgGdY3DDAXQP3DAPKPiAFjkRMbiqsZ1iWwPweGkY+RafYxEL8IJsHA5jklAeSShQysIHtYEaHD2JbKwAAA/gYrl5lLD9QAAAAASUVORK5CYII=» />)

Решение. Переходим от уравнения (3) к эквивалентной ему системе уравнений

Рассмотрим автономную систему второго порядка:

Название автономная система оправдано тем, что решение само управляет своим изменением, поскольку производные dx₁ /dt и dx₂ /dt зависят только от x₁ и x₂ и не зависят от t.

Обозначим
и .
Пусть — решение автономной системы второго порядка. Тогда уравнения

задают в параметрической форме кривую на плоскости . Эта кривая называется фазовой кривой или фазовой траекторией системы.Плоскость, на которой расположены фазовые траектории называется фазовой плоскостью автономной системы.

Точка , в которой правая часть системы обращается в нуль, , называется положением равновесия системы. Положение равновесия называют также точкой покоя автономной системы.

Точка покоя называется устойчивой по Ляпунову, если:
1) существует такое , что для при существует решение задачи Коши с начальным условиям ;
2) для всякого существует такое , что если и , то при всех .
Устойчивая точка покоя называется асимптотически устойчивой, если
при достаточно малых .

Очевидно, что линейная автономная система

имеет единственную точку покоя: x₁(t) = 0, x₂(t) = 0, при всех . При этом характер точки покоя (0, 0) (ее устойчивость, асимптотическую устойчивость, неустойчивость) можно установить по значениям собственных чисел l₁ и l₂ матрицы системы.
А именно, пусть l₁ и l₂ — собственные значения матрицыA исследуемой системы:

если l₁ и l₂— действительные отрицательные числа, то точка покоя устойчива и называется устойчивым узлом (пример 1);
если l₁ и l₂ — действительные положительные числа, то точка покоя неустойчива и называется неустойчивым узлом (пример 2);
если l₁ и l₂ — действительные числа, имеющие разные знаки, то точка покоя неустойчива и называется седлом (пример 3);
если l₁ и l₂ — комплексные числа, l_1,2 =Rell ± Imll и Rel не превышает нуля, то точка покоя устойчива, точнее, при Rel =0 точка устойчива, но не асимптотически устойчива и называется центром (пример 4), при Rel 0, то точка покоя неустойчива и называется неустойчивым фокусом (пример 6);
если l₁ = l₂ — отличные от нуля действительные числа, то точка покоя — узел специального вида, называемый диакритическим, устойчивым при отрицательных l₁ = l₂ и неустойчивым при положительных l₁ = l₂ (пример 7);
если l₁ = 0 и l₂ № 0, то существует прямая, проходящая через начало координат, все точки которой являются точками покоя (пример 8);
если l₁ = l₂ = 0, то все точки плоскости являются точками покоя.

ПРИМЕР 1. Поведение решений в окрестности устойчивого узла.

ПРИМЕР 2. Поведение решений в окрестности неустойчивого узла.

ПРИМЕР 3. Поведение решений в окрестности седла.

ПРИМЕР 4. Поведение решений в окрестности центра.

ПРИМЕР 5. Поведение решений в окрестности устойчивого фокуса.

ПРИМЕР 6. Поведение решений в окрестности неустойчивого фокуса.

ПРИМЕР 7. Поведение решений в окрестности диакритического узла.

ПРИМЕР 8. Вырожденный случай. Прямая, состоящая из точек покоя.

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

источники:

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=prostyeishie-tipy-tochek-pokoya

http://old.exponenta.ru/EDUCAT/class/courses/ode/theme13/theory.asp

Источник

Рассмотрим систему

(2.1)

Если точка
удовлетворяет условиям,
то

есть решение
рассматриваемой системы, при этом точку
называют точкой покоя этой системы.

Будем рассматривать
однородную систему двух линейных
уравнений с постоянными коэффициентами

(2.2)

Точка
,
очевидно, точка покоя этой системы.
Составим характеристический определитель
системы

Его корни
определяют вид решений и устойчивость
точки покоя. Если корниимеют отрицательные вещественные части,
то точка покоя устойчива асимптотически.

Если корни чисто
мнимые, т.е.
,
то точка покоя устойчива, но не
асимптотически.

Если хотя бы один
корень имеет положительную вещественную
часть
,
то точка покоя неустойчива. Если один
корень нулевой, а другой отрицательный,
то точка покоя устойчива, но не
асимптотически. Если два нулевых корня,
то точка может быть как устойчивой не
асимптотически, так и неустойчивой.

Наиболее наглядно
устойчивость и неустойчивость точки
покоя проявляется при рассмотрении
фазовых траекторий системы (2.2).

Фазовая траектория
системы (2.2) есть кривая на плоскости
,
задаваемая функциямиесть решение системы (2.2). На этой кривой
обычно стрелками указывают движение
точки при возрастании.
В зависимости от корней характеристического
уравнения различают следующие точки
покоя:

если корни
вещественные отрицательные, то точку
покоя называют устойчивым узлом (рис.
2.2).
если корни
вещественные положительные, точку
покоя называют неустойчивым узлом
(рис. 2.3).
Если корни
вещественные разного знака, то точку
покоя называют седлом (рис. 2.4).
Если корни
комплексные, то при положительных
вещественных частях точка покоя есть
неустойчивый фокус, при отрицательных
– устойчивый фокус (рис. 2.5 и 2.6
соответственно).
Если корни чисто
мнимые, то точка покоя называется
центром (устойчива не асимптотически)
(рис. 2.7).

Фазовые траектории
вблизи различных точке покоя показаны
на рис. 2.2 – 2.7. следует отметить, что для
асимптотически устойчивой точки покоя
все фазовые траектории при
стремятся к началу координат. В случае
неасимптотической устойчивости (центр)
фазовые траектории для всехнаходятся в ограниченной окрестности
начала координат. Для неустойчивой
точки покоя существуют траектории,
начинающиеся сколь угодно близко к
началу и со временем неограниченно
удаляющиеся.

2.3. Решение задач

Решение.

Корни
,
т.е.

Ответ: Точка покоя
– неустойчивый фокус (рис. 2.5).

Рис. 2.2

Рис. 2.3

Рис. 2.4.

Решение.

Корни
.

Ответ. Точка покоя
– центр (рис. 2.7).

Решение.

Корни – комплексные,
.

Ответ. Точка покоя
– устойчивый фокус (рис. 2.6).

Решение.

Корни
– корни вещественные положительные.

Ответ. Точка покоя
– неустойчивый узел (рис. 2.3).

2.4. Исследование
на устойчивость по первому приближению.

Пусть исследуется
на устойчивость точка покоя
системы

(4.1)

(т.е. предполагается
).

Пусть
– дважды непрерывно дифференцируемы
в окрестности точки.
Для системы (4.1) составим уравнения
первого приближения в окрестности
начала координат.

(4.2),

где
.
(Здесь учтено, что).

Исследование на
устойчивость точки покоя (4.2) вместо
исследования на устойчивость точки
покоя (4.1) называется исследованием на
устойчивость по первому приближению.

Справедливы
следующие теоремы:

Если все корни
характеристического уравнения системы
(4.2)
имеют отрицательную вещественную часть,
то точка покоясистемы (4.1) асимптотически устойчива.
Если хотя бы один
корень характеристического уравнения
системы (4.2) имеет вещественную
положительную часть, то точка покоя
системы (4.1) неустойчива.

Замечание.
Если среди корней характеристического
уравнения (4.2) есть корни с отрицательной
вещественной частью и нулевые или чисто
мнимые, то исследование на устойчивость
системы (4.2) не дает ответа на вопрос об
устойчивости точки покоя
системы (4.1).

Указанные выше
теоремы I
и II
дают возможность решать задачу об
устойчивости точки покоя системы (4.1)
на основе исследования более простой
системы (4.2).

Решение примеров.
Исследовать на устойчивость точку покоя
.

Теоремы I
и II
применимы.

Здесь
,
ее дифференциал в точкеравен,
ее дифференциал.

Уравнения первого
приближения:

Один корень
положительный, следовательно, точка
покоя неустойчива.

Теоремы I
и II
применимы, т.к.
дважды (и более) непрерывно дифференцируемы.

Уравнения первого
приближения

Все корни
отрицательные. Точка покоя асимптотически
устойчива.

Функции Ляпунова
и теорема Ляпунова об устойчивости.

Будем рассматривать
систему (4.1) из предыдущего параграфа в
окрестности точки покоя
.
Сформулируем теорему Ляпунова об
устойчивости.

Если существует
непрерывно дифференцируемая функция
такая, что

1)
в окрестности начала координат, за
исключение точки,
где;

2)
,
то точка покоя системы (4.1) устойчива.

Если
обращается в нуль лишь при,
то точка покоя асимптотически устойчива.

Функция
при этом называется функцией Ляпунова,
аназывается производной от функции
Ляпунова по времени, вычисленной в силу
системы (4.1) и обозначается:

Теорема Ляпунова
дает метод установления устойчивости
точки покоя системы путем подбора
соответствующей функции
.

Решение примеров.

Установить
устойчивость точки покоя
.

Рассмотрим функцию
,

в окрестности
начала
за исключением самого начала. Поэтому
все условия теоремы Ляпунова выполнены.
Точка покоя системы асимптотически
устойчива. Заметим, что установить
устойчивость по первому приближению в
данном случае невозможно, так как один
из корней характеристического уравнения
равен нулю.

Рассмотрим
,

Как и в предыдущем
случае устанавливаем, что в силу теоремы
Ляпунова точка покоя устойчива
асимптотически:

всюду, за исключением
начала координат.

Уравнения первого
приближения

Имеют характеристическое
уравнение вида

Все корни чисто
мнимые, поэтому теоремы об устойчивости
по первому приближению не дают ответа
на вопрос об устойчивости.

Источник

2.1 Точки покоя системы дифференциальных уравнений

(2.1)

Если точка удовлетворяет условиям , то

Есть решение рассматриваемой системы, при этом точку называют точкой покоя этой системы.

Будем рассматривать однородную систему двух линейных уравнений с постоянными коэффициентами

(2.2)

Точка , очевидно, точка покоя этой системы. Составим характеристический определитель системы

Если корни чисто мнимые, т. е. , то точка покоя устойчива, но не асимптотически.

1) если корни вещественные отрицательные, то точку покоя называют устойчивым узлом (рис. 2.2).

2) если корни вещественные положительные, точку покоя называют неустойчивым узлом (рис. 2.3).

3) Если корни вещественные разного знака, то точку покоя называют седлом (рис. 2.4).

5) Если корни чисто мнимые, то точка покоя называется центром (устойчива не асимптотически) (рис. 2.7).

Простейшие типы точек покоя

Точка , в которой правые части уравнений системы (1) обращаются в ноль, называется точкой покоя системы (1).

Для исследования точки покоя системы (1) надо составить характеристическое уравнение

и найти его корни и .

Возможны следующие случаи.

1. Корни характеристического уравнения (2) вещественные и разные:

а) . Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел, рис. 32);

в) 0,,lambda_2 . Точка покоя неустойчива (седло, рис. 34).

2. Корни характеристического уравнения (2) комплексные:

а) . Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый фокус, рис.35);

3. Корни кратные:

а) . Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел, рис.38, 39);

Пример 1. Определить характер точки покоя (0,0) системы

Решение. Составляем характеристическое уравнение

Область плоскости , где , содержит точки покоя типа седла.

Исключая особые случаи (прохождение через начало координат), замечаем, что седло может перейти в узел устойчивый или неустойчивый (рис.42). Устойчивый узел может перейти либо в седло, либо в устойчивый фокус. Случай равных корней соответствует границе между узлами и фокусами, т.е. параболе .

Решение. Переходим от уравнения (3) к эквивалентной ему системе уравнений

Теория устойчивости дифференциальных уравнений с примерами решения и образцами выполнения

Рассмотрим вопрос о зависимости решения задачи Коши от начальных данных. Пусть дана задача Коши

Если функция f(t, х) непрерывна по совокупности аргументов и имеет ограниченную производную в некоторой области изменения t, х, содержащей точку (tо, xo), то решение задачи Коши (1)-(2) существует и единственно. Если изменять значения t0 и хо, то будет меняться и решение. Возникает важный в приложениях вопрос: как оно будет меняться? Вопрос этот имеет и большое принципиальное значение. Действительно, если какая-либо физическая задача приводит к задаче Коши, то начальные значения находятся из опыта и за абсолютную точность измерения ручаться нельзя. И если сколь угодно малые изменения начальных данных способны сильно изменять решение, то математическая модель окажется малопригодной для описания реального процесса.

Справедлива следующая теорема о непрерывной зависимости решения от начальных условий.

Теорема:

Если правая часть f(t, х) дифференциального уравнения

непрерывна по совокупности переменных и имеет ограниченную частную производную в некоторой области G изменения t , х, то решение

удовлетворяющее начальному условию непрерывно зависит от начальных данных.

Иными словами, пусть через точку проходит решение x(t) уравнения (1), определенное на отрезке Тогда для любого найдется такое решение уравнения (1), проходящее через точку существует на отрезке и отличается там от x(t) меньше чем на

Аналогичная теорема справедлива и для системы дифференциальных уравнений

При выполнении условий теоремы (1) решение задачи Коши существует, единственно и непрерывно зависит от начальных данных. В этом случае говорят, что задача Коши поставлена корректно. Существенным является то обстоятельство, что отрезок [а, b] изменения t конечен. Однако во многих задачах нас интересует зависимость решения от начальных данных в бесконечном промежутке Переход от конечного промежутка, в котором рассматривается непрерывная зависимость решения от начальных значений, к бесконечному существенно меняет характер задачи и методы исследования. Эта проблема относится к теории устойчивости, созданной А.М. Ляпуновым.

Остановимся вкратце на понятии о продолжаемости решения. Пусть имеем систему дифференциальных уравнений

где t — независимая переменная (время); искомые функции; функции, определенные для из некоторой области Если функции

в их области определения непрерывны по совокупности аргументов и имеют ограниченные частные производные по то для системы (3) справедлива локальная теорема существования:

для каждой системы значений

существует единственное решение

системы (3), определенное в некотором интервале изменения t и удовлетворяющее начальным условиям

Введем следующее понятие. Пусть

— решение задачи Коши (3)-(4), определенное на некотором интервале I = (t1,t2). Это решение может бьггь продолжено, вообще говоря, на больший интервал времени. Решение

называется продолжением решения если оно определено на большем интервале и совпадает с при Решение называется неограниченно продолжаемым (неограниченно продолжаемым вправо или влево), если его можно продолжить на всю ось (на полуось или соответственно).

Для дальнейших рассмотрений важен вопрос о существовании решения хi(t), (глобальная теорема существования). Этим свойством обладает линейная система

где — непрерывные функции на Для нее каждое решение существует на (неограниченно продолжаемо вправо) и единственно.

Не все системы обладают таким свойством. Например, для скалярного уравнения

непрерывна и имеет производные всех порядков по х. Нетрудно проверить, что функция

является решением задачи

Однако это решение существует только в интервале зависящем от начального условия, и не-продолжаемо на полуинтервал

Уравнение (5) есть уравнение сверхбыстрого размножения, когда прирост пропорционален числу всевозможных пар. Его решение показывает, что при таком законе прироста населения количество населения становится бесконечным за конечное время (в то время как обычный закон прироста — экспоненциальный).

Задача:

Показать, что решения уравнения

нельзя продолжить неограниченно ни вправо, ни влево.

Устойчивость по Ляпунову. Основные понятия и определения

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

где функция f(t,x) определена и непрерывна для и х из некоторой области D и имеет ограниченную частную производную . Пусть функция

есть решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию

Пусть, далее, функция

есть решение того же уравнения, удовлетворяющее другому начальному условию

Предполагается, что решения определены для всех неограниченно продолжаемы вправо.

Определение:

Решение уравнения (1) называется устойчивым по Ляпунову при если для любого такое, что для всякого решения х = x(t) этого уравнения из неравенства

для всех (всегда можно считать, что

Это значит, что решения, близкие по начальным значениям к решению остаются близкими и при всех Геометрически это означает следующее. Решение

уравнения (1) устойчиво, если, какой бы узкой ни была е-полоска, содержащая кривую , все достаточно близкие к ней в начальный момент интегральные кривые х = x(t) уравнения целиком содержатся в указанной е-полоске при всех (рис. 1).

Если при сколь угодно малом хотя бы для одного решения х = x(t) уравнения (1) неравенство (3) не выполняется, то решение этого уравнения называется неустойчивым. Неустойчивым следует считать и решение, не продолжаемое вправо при

Определение:

Решение уравнения (1) называется асимптотически устойчивым, если

1) решение устойчиво;

2) существует такое, что для любого решения х = x(t) уравнения (1), удовлетворяющего условию имеем

Это означает, что все решения х = x(t), близкие по начальным условиям к асимптотически устойчивому решению , не только остаются близкими к нему при , но и неограниченно сближаются с ним при

Вот простая физическая модель. Пусть шарик лежит на дне полусферической лунки (находится в положении равновесия). Если малым возмущением вывести шарик из этого положения, то он будет колебаться около него. При отсутствии трения положение равновесия будет устойчивым, при наличии трения колебания шарика будут уменьшаться с возрастанием времени, т. е. положение равновесия будет асимптотически устойчивым.

Пример:

Исследовать на устойчивость тривиальное решение

Решение , очевидно, удовлетворяет начальному условию

Решение уравнения (*), удовлетворяющее начальному условию

Легко видеть (рис. 2), что, какова бы ни была -полоска вокруг интегральной кривой х = 0, существует , например, такое, что любая интегральная кривая для которой целиком содержится в указанной полоске для всех Следовательно, решение устойчиво. Асимптотической устойчивости нет, поскольку решение при не стремится к прямой х = 0.

Пример:

Исследовать на устойчивость тривиальное решение уравнения

Решение уравнения (**), удовлетворяющее начальному условию

Возьмем любое > 0 и рассмотрим разность решений

Поскольку для всех , из выражения (***) следует, что существует например, такое, что при имеем

Согласно определению (1) это означает, что решение уравнения (**) устойчиво. Кроме того, имеем

поэтому решение асимптотически устойчиво (рис. 3).

Пример:

Показать, что решение

В самом деле, при сколь угодно малом решение

этого уравнения не удовлетворяет условию

при достаточно больших t > to. Более того, при любых имеем

Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений

где функции fi определены для из некоторой области D изменения и удовлетворяют условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Предположим, что все решения системы (4) неограниченно продолжаемы вправо при

Определение:

системы (4) называется устойчивым по Ляпунову при если для любого > 0 существует такое, что для всякого решения той же системы, начальные значения которого удовлетворяют условию

для всех т. е. близкие по начальным значениям решения остаются близкими для всех

Если при сколь угодно малом хотя бы для одного решения не все неравенства (5) выполняются, то решение называется неустойчивым.

Определение:

системы (4) называется асимптотически устойчивым, если:

1) решение это устойчиво;

2) существует такое, что всякое решение системы, для которого

Пример:

Исходя из определения устойчивости по Ляпунову, показать, что решение системы

удовлетворяющее начальным условиям

устойчиво.

Решение системы (*), удовлетворяющее начальным условиям (**), есть

Решение этой системы, удовлетворяющее условиям имеет вид

Возьмем произвольное > 0 и покажем, что существует такое, что при выполняются неравенства

для всех Это и будет означать, согласно определению, что нулевое решение системы (*) устойчиво по Ляпунову. Очевидно, имеем:

то при будут иметь место неравенства

для всех т.е. действительно нулевое решение системы устойчиво по Ляпунову, но эта устойчивость не асимптотическая.

Из устойчивости нетривиального решения дифференциального уравнения не следует ограниченности этого решения. Рассмотрим, например, уравнение

Решением этого уравнения, удовлетворяющим условию х(0) = 0, является функция

Решение, удовлетворяющее начальному условию имеет вид

Геометрически очевидно (рис.5), что для всякого существует например такое, что любое решение x(t) уравнения, для которого верно неравенство удовлетворяет условию Последнее означает, что решение устойчиво по Ляпунову, однако это решение является неограниченным при

Из ограниченности решений дифференциального уравнения не следует устойчивости решений.
Рассмотрим уравнение

Оно имеет очевидные решения

Интегрируя уравнение (6), находим

Все решения (7) и (8) ограничены на Однако решение неустойчиво при так как при любом имеем

Таким образом, ограниченность и устойчивость решений являются понятиями, независимыми друг от друга.

Замечание:

Исследуемое на устойчивость решение

системы (4) всегда можно преобразовать в тривиальное решение

другой системы заменой

В самом деле, пусть имеем (для простоты) одно дифференциальное уравнение

и пусть требуется исследовать на устойчивость какое-либо решение этого уравнения. Положим, что

(величину называют возмущением). Тогда

и подстановка в (*) приводит к равенству

Но — решение уравнения (*), поэтому

Обозначив здесь правую часть через F(t, у), получим

Это уравнение имеет решение так как при его левая и правая части тождественно по t равны нулю:

Таким образом, вопрос об устойчивости решения уравнения (*) приводится к вопросу об устойчивости тривиального решения уравнения (***), к которому сводится (*). Поэтому в дальнейшем мы будем, как правило, считать, что на устойчивость исследуется тривиальное решение.

Устойчивость автономных систем. Простейшие типы точек покоя

Нормальная система дифференциальных уравнений называется автономной, если ее правые части fi не зависят явно от t, т. е. если она имеет вид

Это значит, что закон изменения неизвестных функций, описываемый автономной системой, не меняется со временем, как это бывает с физическими законами. Пусть имеем автономную систему

и пусть (а1, a2, …, аn) — такая совокупность чисел, что

Тогда система функций

будет решением системы (1). Точку фазового пространства (x1, x2,…, хn) называют точкой покоя (положением равновесия) данной системы. Рассмотрим автономную систему (1) , для которой

есть точка покоя этой системы. Обозначим через S(R) шар

и будем считать, что для рассматриваемой системы в шаре S(R) выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Определение:

Будем говорить, что точка покоя

системы (1) устойчива, если для любого существует такое что любая траектория системы, начинающаяся в начальный момент все время затем остается в шаре Точка покоя асимптотически устойчива, если:

1) она устойчива;

2) существует такое что каждая траектория системы, начинающаяся в точке Mо области стремится к началу координат, когда время t неограниченно растет (рис. 7).

Поясним это определение примерами.

Пример:

Траектории здесь — концентрические окружности

с центром в начале координат — единственной точкой покоя системы. Если взять то любая траектория, начинающаяся в круге , остается все время внутри , а следовательно, и внутри , так что имеет место устойчивость. Однако траектории не приближаются к началу координат при и точка покоя не является асимптотически устойчивой.

Пример:

Пусть дана система

поэтому траекториями являются лучи, входящие в начало координат (рис.8). Можно снова выбрать Любая точка траектории, находившаяся в начальный момент внутри , остается все время в круге и, кроме того, неограниченно приближается к началу координат при Следовательно, наблюдается асимптотическая устойчивость.

Пример:

Возьмем, наконец, систему

и траекториями являются лучи, исходящие из начала координат, но в отличие от примера 2 движение по лучам происходит в направлении от центра. Точка покоя неустойчива.

Простейшие типы точек покоя

Исследуем расположение траекторий в окрестности точки покоя х = 0, у = 0 системы двух линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами:

Решение будем искать в виде

Для определения получаем характеристическое уравнение

Величины с точностью до постоянного множителя определяются из системы

Возможны следующие случаи.

А. Корни характеристического уравнения (3) — действительные и различные. Общее решение системы (2) имеет вид

Пусть Точка покоя (0,0) в этом случае асимптотически устойчива, так как из-за наличия множителей все точки каждой траектории, находившиеся в начальный момент в произвольной окрестности начала координат, при достаточно большом t переходят в точки, лежащие в сколь угодно малой, окрестности начала координат, а при стремятся к этому началу. Такая точка покоя называется устойчивым узлом

При С2 = 0 из (4) получаем

и траекториями являются два луча, входящие в начало координат с угловым коэффициентом

Аналогично, при С1 = 0 получаем еще два луча, входящие в начало координат с угловым коэффициентом

Пусть теперь и (для определенности) Тогда в силу (4)

т. е. все траектории (исключая лучи в окрестности точки покоя О(0,0) имеют направление луча

2. Если то расположение траекторий такое же, как и в предыдущем случае, но точки движутся по траекториям в противоположном направлении. Точка покоя рассматриваемого типа называется неустойчивым узлом (рис. 10).

Пример:

Для нее точка О(0,0) — точка покоя. Характеристическое уравнение

имеет корни так что налицо неустойчивый узел. Перейдем от данной системы к одному уравнению

Оно имеет решения

так что траекториями системы будут лучи падающие с координатными полуосями, семейство парабол, касающихся оси Oх в начале координат (рис. 11)

3. Пусть теперь тогда точка покоя неустойчива.

При С2 = 0 получаем решение

С возрастанием t точка этой траектории движется по лучу

в направлении от начала неограниченно удаляясь от него. При С1 = 0 имеем:

Отсюда видно, что при возрастании t точка движется по лучу

в направлении к началу координат . Если так и при траектория покидает окрестность точки покоя. Точка покоя рассматриваемого типа называется седлом (рис. 12).

Пример:

Исследуем характер точки покоя О(0,0) системы

Характеристическое уравнение системы

имеет корни Перейдем к одному уравнению

интегрируя которое получаем

Уравнение (6) имеет также решения

Таким образом, интегральные кривые этого уравнения (траектории системы (5)) — равнобочные гиперболы и лучи, совпадающие с координатными полуосями.

Б. Корни характеристического уравнения — комплексные: Общее решение системы (2) можно представить в виде

где C1 и C2 — произвольные постоянные, а — некоторые линейные комбинации этих постоянных

Пусть в этом случае множитель стремится к нулю при а вторые множители в (7) — ограниченные периодические функции. Траектории — спирали, асимптотически приближающиеся к началу координат при Точка покоя х = 0, у = 0 асимптотически устойчива. Она называется устойчивым фокусом (рис. 13).,
Если то этот случай переходит в предыдущий при замене t на -t. Траектории не отличаются от траекторий предыдущего случая, но движение по ним при возрастании t происходит в противоположном направлении. Точка покоя неустойчива — неустойчивый фокус.
Если же то решения системы (2) — периодические функции. Траекториями являются замкнутые кривые, содержащие внутри себя точку покоя, называемую в этом случае центром (рис. 14). Центр является устойчивой точкой покоя, однако асимптотической устойчивости нет, так как решение

не стремится к нулю при

Пример. Рассмотрим систему уравнений

Характеристическое уравнение системы

имеет комплексные корни

Перейдем от системы к одному уравнению

и введем полярные координаты Тогда

Используя уравнение (9), находим, что

Эти интегральные кривые являются логарифмическими спиралями, навивающимися на начало координат, которое достигается в пределе при в зависимости от того, будет ли а 0. Налицо точка покоя типа фокуса. В частном случае, когда а = 0, уравнение (9) принимает вид

Интегральные кривые этого уравнения — окружности с центром в начале координат, которое при а = 0 является точкой покоя системы (8) типа центра.

В. Корни характеристического уравнения кратные: Случай этот — скорее исключение, а не правило, так как сколь угодно малое изменение коэффициентов системы разрушает его. Применяя метод исключения, находим, что общее решение системы уравнений (2) имеет вид

( — некоторые линейные комбинации С1, С2).

Если то из-за наличия множителя решения х(t), y(t) стремятся к нулю при Точка покоя х = 0, у = 0 асимптотически устойчива. Ее называют устойчивым вырожденным узлам (рис. 15). Он отличается от узла в случае А. 1 (там одна из траекторий имела касательную, отличную от всех остальных). Возможен также дикритический узел (см. рис. 8).
При замена t на -t приводит к предыдущему случаю, но движение по траекториям происходит в противоположном направлении. Точка покоя в этом случае называется неустойчивым вырожденным узлом.

Пример:

Для системы уравнений

имеет кратные корни Деля второе уравнение системы на первое, найдем

Поэтому все интегральные кривые проходят через начало координат, и все они имеют там ось Оу общей касательной.

Мы перебрали и исчерпали все возможности, поскольку случай исключен условием

Пример:

Исследовать уравнение малых колебаний маятника с учетом трения.

Уравнение малых колебаний маятника в этом случае имеет вид

где x — угол малого отклонения маятника от вертикали, к — коэффициент трения. Заменим уравнение (*) эквивалентной системой

Характеристическое уравнение для системы (**)

Если 0

— частота колебаний, а величины А, а определяются из начальных условий.

График решения и фазовая кривая при 0

Сформулируем результаты, касающиеся устойчивости решений системы п линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим для системы (10) характеристическое уравнение

Справедливы следующие предложения:

1) если все корни характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть, то все решения системы (10) асимптотически устойчивы. Действительно, в этом случае все слагаемые общего решения содержат множители стремящиеся к нулю при

2) если хотя бы один корень характеристического уравнения имеет положительную действительную часть, то все решения системы неустойчивы;

3) если характеристическое уравнение имеет простые корни с нулевой действительной частью (т. е. чисто мнимые или равные нулю корни), а остальные корни, если они есть, имеют отрицательную действительную часть, та все решения устойчивы, но асимптотической устойчивости нет.

Эти результаты относятся и к одному линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами.

Следует обратить внимание на то, что для линейной системы все решения либо устойчивы, либо неустойчивы одновременна

Теорема:

Решения Системы линейных дифференциальных уравнений

либо все одновременно устойчивы, либо неустойчивы.

Преобразуем произвольное частное решение

системы (11) в тривиальное с помощью замены

Система (11) преобразуется при этом в линейную однородную систему относительно yi(t):

Следовательно, все частные решения системы (11) в смысле устойчивости ведут себя одинаково, а именно как тривиальное решение однородной системы (12).

В самом деле, пусть тривиальное решение

системы (12) устойчиво. Это значит, что для любого такое, что для всякого другого решения системы из условия следует, что

Замечая, что получаем, что из условия

для всякого решения исходной системы (11). Согласно определению, это означает устойчивость решения этой системы.

Это предложение не имеет места для нелинейных систем, некоторые решения которых могут быть устойчивыми, а другие — неустойчивыми.

Пример:

Рассмотрим нелинейное уравнение

Оно имеет очевидные решения

Решение x(t) = -1 неустойчиво, а решение x(t) = 1 является асимптотически устойчивым. В самом деле, при все решения

стремятся к +1. Это означает, согласно определению, что решение x(t) = 1 асимптотически устойчиво.

Замечание:

Как и в случае n = 2, можно исследовать расположение траекторий в окрестности точки покоя О(0,0,0) системы (10). Для n = 3 возможны так называемые узлофокусы (рис. 17), седлофокусы (рис. 18) и т. д.

Метод функций Ляпунова

Метод функций Ляпунова состоит в исследовании устойчивости точки покоя системы дифференциальных уравнений с помощью подходящим образом выбранной функции — так называемой функции Ляпунова, причем делается это без предварительного построения решения системы; в этом неоценимое преимущество метода.

Ограничимся рассмотрением автономных систем

для которых Xi = 0, i = 1, 2,…, n, есть точка покоя.

Идея метода состоит в следующем. Предположим, что на устойчивость исследуется точка покоя системы (1). Если бы с возрастанием t точки всех траекторий приближались к началу координат или хотя бы не удалялись от него, то рассматриваемая точка покоя была бы устойчивой. Проверка выполнения этого условия не требует знания решений системы. Действительно, если р — расстояние от точки траектории до начала координат

(производная вдоль траектории): Правая часть в (2) есть известная функция от х1, х2,…, хn, и можно исследовать ее знак. Если окажется, что то точки на всех траекториях не удаляются от начала координат при возрастании t и точка покоя хi = 0, i = 1, 2,…, n, устойчива. Однако точка покоя может быть устойчивой и при немонотонном приближении к ней с возрастанием t точек траекторий (например, в случае, когда траектории — эллипсы). Поэтому А. М. Ляпунов вместо функции р рассматривал функции v (x1, x2, … , хn), являющиеся в некотором смысле «обобщенным расстоянием» от начала координат.

Определение:

Функция v(x1, х2, … xn), определенная в некоторой окрестности начала координат, называется знакоопределенной (знакоположительной или знакоотрицательной), если в области G

где h — достаточно малое положительное число, она может принимать значения только одного определенного знака и обращается в нуль лишь при

Так, в случае n = 3 функции

будут знакоположительными, причем здесь величина h > 0 может быть взята сколь угодно большой.

Определение:

Функция называется знакопостоянной (положительной или отрицательной), если она в области G может принимать значения только одного определенного знака, но может обращаться в нуль и при

будет знакопостоянной (положительной). В самом деле, функцию v(x1, x2, x3) можно представить так:

отсюда видно, что она неотрицательна всюду, но обращается в нуль и при а именно при X3 = 0 и любых, x1, х2 таких, что х1 = -х2.

Пусть — дифференцируемая функция своих аргументов, и пусть

являются некоторыми функциями времени, удовлетворяющими системе дифференциальных уравнений (1). Тогда для полной производной функции v повремени имеем

Определение:

Величина определяемая формулой (3), называется полной производной функции v по времени, составленной в силу системы уравнений (1).

Определение:

Функций обладающую свойствами:

1) дифференцируема в некоторой окрестности начала координат;

2) определенно-положительна в и

3) полная производная функции , составленная в силу системы (1),

всюду в , называют функцией Ляпунова.

Теорема:

Теорема Ляпунова об устойчивости. Если для системы дифференциальных уравнений

существует дифференцируемая знакоопределенная функция , полная производная которой по времени, составленная в силу системы (1), есть знакопостоянная функция (знака, противоположного с v) или тождественно обращается в ноль, то тонка покоя системы (1) устойчива.

Приведем идею доказательства. Пусть для определенности есть знакоположительная функция, для которой Так как

причем v = 0 лишь при то начало координат есть точка строгого минимума функции В окрестности начала координат поверхности уровня

функции v являются, Как можно показать, замкнутыми поверхностями, внутри которых находится начало координат. Чтобы картина стала нагляднее, остановимся на случае n = 2. Так как только для то поверхность

в общих чертах напоминает параболоид, вогнутый Вверх (рис. 19).

Линии уровня представляют собой семейство замкнутых кривых, окружающих начало координат. При этом если то линия уровня целиком лежит внутри области, ограниченной линией Зададим При достаточно малом С > 0 линия уровня v = С целиком лежит в е-окрестности начала координат, но не проходит через начало. Следовательно, можно выбрать такое, что окрестность начала координат целиком лежит внутри области, ограниченной линией v = С, причем в этой окрестности v

существует дифференцируемая знакоопределенная функция полная производная которой по времени, составленная в силу системы, есть также знакоопределенная функция знака, противоположного с v, то тонка покоя системы (1) асимптотически устойчива.

Пример:

Исследовать на устойчивость точку покоя О(0,0) системы

Выберем в качестве функции v(x, y) функцию

Эта функция знакоположительная. В силу системы (*) найдем

Из теоремы 3 следует, что точка покоя О(0,0) системы (*) устойчива (центр). Асимптотической устойчивости нет, так как траектория системы (*) — окружности.

Пример 2. Исследовать на устойчивость точку покоя О(0,0) системы

Таким образом, есть знакоотрицательная функция. В силу теоремы 4 точка покоя О(0,0) системы (**) устойчива асимптотически.

Теорема:

О неустойчивости. Пусть для системы дифференциальных уравнений

существует дифференцируемая в окрестности начала координат функция такая, что v(0,0,…, 0) = 0. Если ее полная производная составленная в силу системы (4), есть знакоположительная функция и сколь угодно близко от начала координат имеются точки, в которых функция принимает положительные значения, то точка покоя системы (4) неустойчива.

Пример:

Исследовать на устойчивость точку покоя О(0,0) системы

Для нее функция

знакоположительная. Так как сколь угодно близко к началу координат найдутся точки, в которых v > 0 (например, вдоль прямой у = 0), то выполнены все условия теоремы 5 и точка покоя О(0,0) неустойчива (седло).

Метод функций Ляпунова оказывается универсальным и эффективным для широкого круга проблем теории устойчивости. Недостаток же метода в том, что достаточно общего конструктивного способа построения функций Ляпунова пока нет. В простейших случаях функцию Ляпунова можно искать в виде

Устойчивость по первому (линейному) приближению

Пусть имеем систему дифференциальных уравнений

и пусть есть точка покоя системы, т. е.

Будем предполагать, что функции дифференцируемы в окрестности начала координат достаточное число раз. Применяя формулу Тейлора, разложим функции fi по х в окрестности качала координат

а слагаемые Ri содержат члены не ниже второго порядка малости относительно Система дифференциальных уравнений (1) примет вид

Так как понятие устойчивости точки покоя O(0,0,…, 0) связано с малой окрестностью начала координа’т в- фазовом пространстве, то естественно ожидать, что поведение решения (1) будет определяться главными линейными членами разложения функций fi по х. Поэтому наряду с системой (3) рассмотрим систему

называемую системой уравнений первого (линейного) приближения для системы (3).

Вообще говоря, строгой связи между системами (3) и (4) нет. Рассмотрим, например, уравнение

Здесь f(x) = 0; линеаризированное уравнение для уравнения (5) имеет вид

Решение уравнения (6) является устойчивым. Оно же, будучи решением исходного уравнения (5), не является для него устойчивым. В самом деле, каждое действительное решение уравнения (5), удовлетворяющее начальному условию имеет вид и перестает существовать при (решение не продолжаемо вправо).

Теорема:

Если все корни характеристического уравнения

имеют отрицательные действительные части, то точка покоя системы (4) и системы (3) асимптотически устойчива.

При выполнении условий теоремы возможно исследование на устойчивость по первому приближению.

Теорема:

Если хотя бы один корень характеристического уравнения (7) имеет положительную действительную часть, то точка покоя Xi= 0 системы (4) и системы (3) неустойчива.

В этом случае также возможно исследование на устойчивость по первому приближению.

Наметим идею доказательства теорем 6 и 7.

Пусть для простоты корни характеристического уравнения (7) — действительные и различные. В этом случае существует такая невырожденная матрица Т с постоянными элементами, что матрица будет диагональной:

где — матрица из коэффициентов системы (4). Положим

и система (4) преобразуется к виду

или, в силу выбора матрицы Т,

Система (3) при том же преобразовании перейдет в систему

причем в опять входят члены не ниже второго порядка малости относительно Yi при

Рассмотрим следующие возможности:

1. Все корни — отрицательные. Положим

тогда производная в силу системы (8) будет иметь вид

где малая более высокого порядка, чем квадратичная форма

Таким образом, в достаточно малой окрестности точки O(0, 0,…, 0) функция у(y1,y2, …, yn) знакоположительна, а производная знакоотрицательна, и, значит, точка покоя O (0,0,…, 0) асимптотически устойчива.

2. Некоторые из корней положительные, а остальные — отрицательные. Положим

Отсюда видно, что сколь угодно близко к началу координат найдутся точки (например, такие, у которых Что касается производной то, поскольку отрицательны, производная — знакоположительная функция. В силу теоремы 5 точка покоя O (0,0,…, 0) неустойчива.

В критическом случае, когда все действительные части корней характеристического уравнения неположительны, причем действительная часть хотя бы одного корня равна нулю, на устойчивость тривиального решения системы (3) начинают влиять нелинейные члены Ri и исследование на устойчивость по первому приближению становится невозможным.

Пример:

Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя х = 0, у = 0 системы

Система первого приближения имеет вид

Нелинейные члены удовлетворяют нужным условиям: их порядок не меньше 2. Составляем характеристическое уравнение для системы (**):

Корни характеристического уравнения нулевое решение системы (*) неустойчиво.

Пример:

Исследуем на устойчивость точку покоя О(0, 0) системы

Точка покоя х = 0, у = 0 системы (*) асимптотически устойчива, так как для этой системы функция Ляпунова

удовлетворяет условиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. В частности,

В то же время точка покоя х = 0, у = 0 системы

В самом деле, для функции в силу системы (**) имеем

т.е. — функция знакоположительная. Сколь угодно близко от начала координат 0(0,0) имеются точки, в которых

В силу теоремы 5 заключаем о неустойчивости точки покоя О(0,0) системы (**).

Для системы (*) и (**) система первого приближения одна и та же:

для системы (***) имеет чисто мнимые корни — критический случай (действительные части корней характеристического уравнения равны нулю). Для системы первого приближения (***) начало координат является устойчивой точкой покоя — центром. Системы (*) и (**) получаются малым возмущением правых частей (***) в окрестности начала координат. Однако эти малые возмущения приводят к тому, что для системы (*) точка покоя О(0,0) становится асимптотически устойчивой, а для системы (**) неустойчивой.

Этот пример показывает, что в критическом случае нелинейные члены могут влиять на устойчивость точки покоя.

Задача. Исследовать на устойчивость точку покоя О(0,0) системы