Как найти точки интегрирования

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Изучаем понятие «интеграл»

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x).

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

• Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

• Константу можно выносить из-под знака интеграла:

• Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

• Линейность:

• Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

• При любых точках a, b и с:

Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Содержание:

Интеграл

Центр Гейдара Алиева славится своим архитектурным стилем и является уникальной архитектурной работой. Красота архитектуры была достигнута при помощи решения многих систематических задач. Стены здания выполнены в виде волны и можно сказать, что в проекте не использовались прямые линии. Структура здания крыши, касаясь земли, формирует гладкое и гармоничное изображение. Такая структура представляет собой постмодернистскую архитектуру, а также эффект бесконечности. Линии здания символизируют связь прошлого и будущего. Для построения здания были использованы конструкции в виде металлической решетки, общая длина которой составила 90 км. При установки крыши, общая площадь которой составила 4 га, были использованы 12027 штук специальных панелей, имеющих форму треугольников, прямоугольников, трапеций и параллелограммов различных размеров. Если мы захотим найти площадь какой-либо части здания в виде волны, то нам придется прибегнуть к интегрированию.

Первообразная функции. Неопределенный интеграл

Исследование. Путь, пройденный свободно падающим телом за время

экспериментально. Дифференцируя, находим скорость: Дифференцируя второй раз, найдем ускорение: А как, зная ускорение, найти закон, по которому изменяется скорость а также закон движения

Дифференцирование — это нахождение производной функции. Нахождение функции с заданной производной является действием, обратным к дифференцированию. В этом случае, зная производную или дифференциал, надо найти саму функцию, т. е для функции заданной на определенном интервале, нужно найти такую функцию что на этом интервале выполнялось или

Определение. Функция удовлетворяющая равенству для всех точек на заданном промежутке, называется первообразной для функции заданной на том же промежутке.

Например, функция есть первообразная для функции на промежутке так как для всех справедливо

С другой стороны, вообще для любой постоянной имеем поэтому каждая из функций является первообразной для функции

Таким образом, для заданной функции первообразная функция не является единственной. Если, функции и первообразные функции на определенном промежутке, то для функции на этом же промежутке выполняется тождество Тогда касательная к графику функции в каждой точке параллельна оси абсцисс. Значит график функции будет параллелен оси абсцисс, т. е. на том же промежутке (здесь произвольная постоянная). Отсюда Таким образом получаем, что если функция на заданном промежутке является первообразной для функции то для любой постоянной

называется общим выражением для первообразных функций.

Неопределенный интеграл

Определение. Множество всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом, обозначается и читается как «интеграл эф от икс де икс».

Если функция является одной из первообразных для то но определению

Здесь — знак интеграла, — подынтегральная функция, — переменная интегрирования, — постоянная интегрирования. За переменную интегрирования можно принять любую переменную. Нахождение функции по производной называется интегрированием.

Пример 1. По определению найдите неопределенные интегралы.

a) b) с)

Решение:

Так как:

Пример 2. Найдите интеграл

Решение: подумаем, производной какой функции является функция Например, известно, что производной функции является функция Значит, множителем искомой функции является дробь которая

потом сократиться с коэффициентом 4 и получится

Такой функцией является функция Значит,

Интеграл постоянной и степенной функции

Интеграл постоянной:

Интеграл степенной

функции

Пример 1. Найдите неопределенный интеграл

Решение:

Пример 2. Найдите общий вид первообразных функции

Решение: Так как функция одна из первообразных функции то одна из первообразных функции будет

Тогда общий вид первообразных имеет вид:

Значит,

Свойства неопределенного интеграла

При интегрировании используют следующие свойства:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

Пример 1. Найдите интеграл

Решение:

В отличии от производной, у интеграла нет формулы для интегрирования произведения и частного. Поэтому, если это возможно, функцию представляют в виде суммы или разности, а потом находят первообразную.

Пример. Найдите первообразную функции

Решение: запишем заданную функцию в виде

Тогда получим,

Интегралы показательной функции и функции

Интеграл показательной функции

Интеграл функции

При

При

При в любом промежутке

В общем случае:

Пример. Найдите неопределенные интегралы: a) b)

Решение: a)

b)

Интегралы тригонометрических функций

Пример 1. Найдите интеграл

Решение:

При интегрировании тригонометрических функций удобно использовать тригонометрические тождества.

Пример 2. Найдите первообразную функции

Решение: Так как то

Пример 3. Вычислите интеграл

Решение: Воспользуемся тождеством Тогда,

Пример 4. Найдите интеграл

Решение: Воспользуемся формулой

Прикладные задания

Задании на нахождение постоянной интегрирования

Пример. Найдите первообразную функции график которой проходит через точку:

Решение: Сначала запишем общий вид первообразных функции на промежутке

a) По условию Тогда отсюда Значит, первообразная функции график которой проходит через точку имеет вид

b) По условию Тогда отсюда Значит, первообразная функции график которой проходит через точку имеет вид:

Задания на реальную жизненную ситуацию

Пример 1. Движение. Скорость мяча, брошенного с высоты 1 м вверх, можно выразить как Здесь показывает время в секундах. Запишите функцию, которая позволит найти на какой высоте находится мяч через секунд после начала движения и найдите на какой высоте окажется мяч на 2 секунде.

Решение: гак как то для функции неопределенным интегралом является функция

Как можно найти постоянную

Мяч брошен с высоты 1 м. Т. е. в момент мяч находился на высоте 1 м и Тогда отсюда Значит, в момент высоту на которой находится мяч, можно найти но формуле При получим

Т. е. в момент секундам мяч будет находится на высоте 5,4 м.

Пример 2. Прирост населении. Статистические исследования показывают, что при помощи отношения можно найти прирост городского населения за год. Здесь показывает количество лег после 1960 года, — численность населения в данный год в тыс. человек. Если в 1990 году в городе было 820 тыс. человек, то сколько, приблизительно, тыс. человек будет в городе в 2020 году?

Решение: найдем первообразную для функции показывающую численность населения, соответствующую функции

Теперь найдем постоянную

Например, по условию при численность населения достигла 820 тыс. человек. Подставим (30; 820) в формулу функции. Тогда и

Численность населения в 2020 году соответствует значению функции в

Т. е. в 2020 году численность городского населения будет приблизительно равна 1979800 человек.

Площадь, ограниченная кривой

Представьте, что вы проводите следующее исследование: определение количества солнечной энергии, которую получает растение. Для этого вам необходимо узнать площадь поверхности листа. Разместите лист на бумаге в клетку и приблизительно найдите площадь.

Если продолжить уменьшать размер клеток, то площадь листа можно найти, подсчитав сумму клеток, и, уменьшая приближения, можно достаточно точно найти значение действительной площади. Применяя этот способ, можно найти площади фигур различной формы. Например, можно найти площадь, ограниченную графиком неотрицательной функции непрерывной на отрезке и ограниченной осью абсцисс слева прямой справа прямой

Пример 1. Определите, приблизительно, площадь фигуры, ограниченной графиком осью абсцисс и прямыми и

Решение: На рисунке изображена площадь, ограниченная графиком функции осью абсцисс и прямыми и Показанную площадь можно приблизительно найти при помощи прямоугольников высотой и

Площадь:

Разбивая показанную площадь на еще более маленькие прямоугольники и найдя сумму площадей полученных прямоугольников, можно достаточно точно найти значение, близкое к реальному.

Если отрезок [2; 4] разделить на две части ([2;3] и [3;4]) (рис.а и b), то площадь, приблизительно, равна сумме площадей двух прямоугольников.

a) площадь, приблизительно, равна сумме площадей прямоугольников шириной, равной 1, с высотами и

b) площадь, приблизительно, равна сумме площадей прямоугольников шириной равной 1 с высотами и Значит реальное значение площади удовлетворяет соотношению

В рассмотренном случае площадь точно можно найти по формуле площади трапеции: и дать оценку погрешности, проведенных вычислений.

В 1-ом случае количество интервалов и вычисления отличаются от действительных размеров площади на 1 кв.ед., во 2-ом случае и разность уменьшается до 0,5 кв.ед. Если заданный интервал разделить на еще большее количество малых интервалов, то площадь можно найти как сумму более маленьких прямоугольников и получить значение, достаточно близкое к точному.

Под площадью фигуры, ограниченной графиком функции на отрезке понимают площадь фигуры, ограниченной графиком функции осью абсцисс и прямыми и (эту фигуру также называют криволинейной трапецией). В заданиях мы коротко будем называть это как «площадь, ограниченная кривой». Здесь функция/должна удовлетворять условиям.

Интеграл и его применение

Первообразная

Вы умеете по заданной функции находить ее производную, знаете, что производная применяется во многих областях. В частности, умея дифференцировать, по данному закону движения материальной точки по координатной прямой можно найти закон изменения ее скорости, а именно:

Нередко в механике приходится решать обратную задачу: находить закон движения по известному закону изменения скорости.

Например, из курса физики вам известен такой факт: если скорость изменяется по закону и и то закон движения задается формулой

Вы знаете, что нахождение производной заданной функции называют дифференцированием. Обратную операцию, то есть нахождение функции по ее производной, называют интегрированием.

Определение. Функцию называют первообразной функцией (или коротко первообразной) функции на промежутке если для всех выполняется равенство

Например, функция является первообразной функции на промежутке поскольку на выполняется равенство

Часто в задачах, связанных с первообразной функции, промежуток опускают. В таких случаях считают, что Так, функция является первообразной функции поскольку выполняется равенство

Рассмотрим еще один пример. Функция является первообразной функции на промежутке поскольку на этом промежутке выполняется равенство

Однако на промежутке функция не является первообразной функции так как в точке не выполняется равенство

Рассмотрим функции и Каждая из них имеет одну и ту же производную Поэтому обе функции и являются первообразными функции Понятно, что каждая из функций вида где любое число, является первообразной функции Следовательно, задача нахождения первообразной имеет бесконечно много решений.

Цель интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные на заданном промежутке.

Как связаны между собой все первообразные данной функции, указывает следующая теорема.

Теорема 24.1 (основное свойство первообразной). Если функция является первообразной функции на промежутке и любое число, то функция также является первообразной функции на промежутке . Любую первообразную функции на промежутке можно представить в виде , где некоторое число.

Доказательство. Поскольку функция первообразная функции на промежутке то для всех выполняется равенство Тогда

Следовательно, функция является первообразной функции на промежутке

Пусть функция одна из первообразных функции на промежутке Тогда для всех Имеем:

Согласно признаку постоянства функции (теорема 11.1) получаем, что функция является константой на промежутке то есть где некоторое число. Отсюда

Если функция является первообразной функции на промежутке то запись где любое число, называют общим видом первообразных функции на промежутке

Из основного свойства первообразной следует, что графики любых двух первообразных данной функции можно получить друг из друга параллельным переносом вдоль оси координат (рис. 24.1).

Совокупность всех первообразных функции на промежутке называют ее неопределенным интегралом и обозначают (читают: «интеграл эф от икс де икс»).

Например, функция является первообразной функции на промежутке Из теоремы 24.1 следует, что любую первообразную функции на промежутке можно представить в виде где некоторое число. Это можно записать так:

При решении задач на первообразную удобно пользоваться таблицей, приведенной на форзаце 3.

Покажем на примерах, с помощью каких соображений можно обосновать утверждения, приведенные в этой таблице.

Пример:

Найдите общий вид первообразных функции

Решение:

Поскольку то одной из первообразных функции является функция

Тогда согласно теореме 24.1 запись где любое число, является общим видом первообразных.

Из решения примера 1 следует, что

Пример:

Найдите общий вид первообразных функции на каждом из промежутков и

Решение:

На промежутке имеет место равенствона промежутке имеют место равенства

Следовательно, функция является первообразной функции на промежутке а функция является первообразной функции на промежутке .

Поскольку то на любом промежутке, не содержащем точку 0, запись где любое число, является общим видом первообразных функции

Пример:

Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку

Решение:

Поскольку то функция является одной из первообразных функции Следовательно, искомая первообразная имеет вид где некоторое число. Найдем это число.

Из условия следует, что Тогда Отсюда

Таким образом, искомая первообразная имеет вид

Замечание.

Можно доказать, что функция является первообразной функции на промежутке Пользуясь этим, можно найти, например, первообразную функции на промежутке Поскольку то функция является первообразной функции на промежутке Учитывая равенства можно записать:

Правила нахождения первообразной

При нахождении производных функций вы пользовались не только формулами, записанными в таблице (см. форзац 2), но и правилами дифференцирования. В этом пункте мы рассмотрим три правила нахождения первообразных.

Теорема 25.1. Если функции и являются соответственно первообразными функций и на промежутке то на этом промежутке функция является первообразной функции

Доказательство. Из условия следует, что для любого выполняются равенства и Тогда для любого из промежутка имеем:

Из теоремы 25.1 следует, что

где произвольное число.

Аналогично можно доказать, что

Теорема 25.2. Если функция является первообразной функции на промежутке и некоторое число, то на этом промежутке функция является первообразной функции

Докажите теорему 25.2 самостоятельно.

Теперь можно записать: где произвольное число.

Теорема 25.3. Если функция является первообразной функции на промежутке и некоторое число, отличное от нуля, то на соответствующем промежутке функция является первообразной функции

Доказательство. Используя правило нахождения производной сложной функции, запишем:

Коротко записывают: где произвольное число.

Пример:

Найдите общий вид первообразных функции на промежутке

Решение:

Напомним, что функция является первообразной функции на промежутке Поскольку на данном промежутке выполняется равенство то функция то есть функция является первообразной функции на промежутке Поскольку то функция то есть функция является первообразной функции на промежутке Тогда по теореме 25.2 функция является первообразной функции

Воспользовавшись теоремой 25.1, получаем, что функцияявляется первообразной заданной в условии функции Тогда запись является общим видом первообразных функции

Решение примера 1 можно записать и так:

Пример:

Найдите одну из первообразных функции:

на промежутке

Решение:

1) Поскольку функция является первообразной функции то по теореме 25.3 функция то есть функция является первообразной функции 2) Поскольку то первообразной функции является функция то есть

Тогда первообразная функции имеет вид то есть

Пример:

Для функции найдите первообразную на промежутке график которой проходит через точку

Решение:

Согласно теореме 25.3 запись где любое число, является общим видом первообразных функции на данном промежутке.

На промежутке искомая первообразная имеет вид

где некоторое число. Из условия следует, что Тогда отсюда Следовательно,

Пример:

Скорость движения материальной точки по координатной прямой изменяется по закону Найдите закон движения если (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах).

Решение:

Функция является первообразной функции на промежутке Тогда можно записать

то есть

где некоторое число. Найдем из условия

Имеем: отсюда

Тогда искомый закон движения задается формулой

В пункте 8 вы узнали, как найти производные произведения функций, частного функций и производную сложной функции. Наверное, после ознакомления с материалом этого пункта у вас возник вопрос: как найти первообразные функций или если известны первообразные функций и К сожалению, общих правил нахождения первообразных таких функций не существует.

Площадь криволинейной трапеции. Определенный интеграл

Рассмотрим функцию которая непрерывна на отрезке и принимает на этом промежутке неотрицательные значения. Фигуру, ограниченную графиком функции и прямыми и называют криволинейной трапецией.

На рисунке 26.1 приведены примеры криволинейных трапеций.

Рассмотрим теорему, которая позволяет вычислять площади криволинейных трапеций.

Теорема 26.1. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и прямыми и можно вычислить по формуле

где любая первообразная функции на отрезке

Доказательство. Рассмотрим функцию где которая определена таким правилом.

Если то если то это площадь криволинейной трапеции, показанной штриховкой на рисунке 26.2.

Докажем, что для всех

Пусть произвольная точка отрезка и приращение аргумента в точке Ограничимся рассмотрением случая, когда (случай, когда рассматривают аналогично).

Имеем:

Получаем, что это площадь криволинейной трапеции, заштрихованной на рисунке 26.3.

На отрезке как на стороне построим прямоугольник, площадь которого равна (рис. 26.4). Длины сторон этого прямоугольника равны и где некоторая точка промежутка Тогда Отсюда

Если то Поскольку функция непрерывна в точке то Отсюда, если то

Имеем

Поскольку произвольная точка области определения функции то для любого выполняется равенство Получили, что функция является одной из первообразных функции на отрезке

Пусть некоторая первообразная функции на отрезке Тогда по основному свойству первообразной можно записать где некоторое число.

Имеем:

По определению функции искомая площадь криволинейной трапеции равна Следовательно,

Пример:

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции и прямыми и

Решение:

На рисунке 26.5 изображена криволинейная трапеция, площадь которой требуется найти.

Одной из первообразных функции на отрезке я

является функция Тогда

Пример:

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции и прямой

Решение:

График функции пересекает прямую в точках и (рис. 26.6). Тогда фигура, площадь которой требуется найти, является криволинейной трапецией, ограниченной графиком функции и прямыми

Одной из первообразных функции на отрезке является функция Тогда

Определение. Пусть первообразная функции на промежутке , числа и где принадлежат промежутку . Разность называют определенным интегралом функции на отрезке

Определенный интеграл функции на отрезке обозначают (читают: «интеграл от а до Ъ эф от икс де икс»). Следовательно,

где произвольная первообразная функции на промежутке

Например, функция является первообразной функции на промежутке Тогда для произвольных чисел и где можно записать:

Заметим, что значение разности не зависит от того, какую именно первообразную функции выбрали.

Действительно, каждую первообразную функции на промежутке можно представить в виде где некоторая постоянная. Тогда

Равенство (1) называют формулой Ньютона—Лейбница.

Следовательно, для вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница надо:

1. найти любую первообразную функции на отрезке
2. вычислить значение первообразной в точках и
3. найти разность

При вычислении определенных интегралов разность обозначают

Используя такое обозначение, вычислим, например, Имеем:

Пример:

Вычислите

Решение:

Имеем:

Если функция имеет первообразную на отрезке и то из формулы Ньютона-Лейбница следует такое свойство определенного интеграла:

Действительно,

Если каждая из функций и имеет первообразную на отрезке то, используя теоремы 25.1 и 25.2, можно доказать (сделайте это самостоятельно) такие свойства определенного интеграла:

Формула Ньютона-Лейбница позволяет установить связь между определенным интегралом и площадью криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и прямыми и

Используя теорему 26.1, можно записать:

Заметим, что в этой формуле рассматриваются непрерывные функции , которые на отрезке принимают только неотрицательные значения. Однако определенный интеграл можно использовать для вычисления площадей более сложных фигур.

Рассмотрим непрерывные на отрезке функции и такие, что для всех выполняется неравенство

Покажем, как найти площадь фигуры , ограниченной графиками функций и и прямыми и (рис. 26.7).

Перенесем фигуру вверх на единиц так, чтобы полученная фигура находилась выше оси абсцисс (рис. 26.8). Фигура ограничена графиками функций и и прямыми

Поскольку фигуры и имеют равные площади, то искомая площадь равна разности где площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и прямыми и (рис. 26.9, а);

площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и прямыми и (рис. 26.9, б)

Таким образом, используя свойства определенного интеграла, можем записать:

Следовательно, если функции и непрерывны на отрезке и для всех выполняется неравенство то площадь фигуры, ограниченной графиками функций и и прямыми и можно вычислить по формуле

Пример:

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций и

Решение:

На рисунке 26.10 изображена фигура, площадь которой требуется найти.

Решив уравнение устанавливаем, что графики функций и пересекаются в двух точках с абсциссами и

Тогда искомая площадь

Вычисление объемов тел

В предыдущем пункте вы узнали, как с помощью интегрирования можно вычислять площадь криволинейной трапеции. Напомним, что если фигура ограничена графиками функций и и прямыми и (рис. 27.1), то ее площадь можно вычислить по формуле

Рассмотрим функцию Величина равна длине отрезка, по которому вертикальная прямая пересекает данную фигуру (рис. 27.2). Следовательно, можно записать:

Оказывается, что последнюю формулу можно обобщить для решения задач на вычисление объемов пространственных тел.

В пространственной прямоугольной декартовой системе координат рассмотрим тело , объем которого равен Пусть плоскость пересекает тело по фигуре с площадью а проекцией тела на ось абсцисс является отрезок (рис. 27.3). Если непрерывная на отрезке функция, то объем тела можно вычислить по формуле

Эту формулу можно доказать, используя идею доказательства теоремы 26.1.

Покажем, как с помощью полученной формулы вывести формулу объема пирамиды.

Пусть дана пирамида с высотой , равной и основанием, площадь которого равна (рис. 27.4). Докажем, что объем пирамиды равен Введем систему координат так, чтобы вершина пирамиды совпала с началом координат, а высота пирамиды принадлежала положительной полуоси абсцисс (рис. 27.5). Тогда основание пирамиды лежит в плоскости Поэтому проекцией пирамиды на ось абсцисс является отрезок

Пусть плоскость пересекает пирамиду по многоугольнику с площадью Понятно, что плоскость сечения параллельна плоскости основания пирамиды. Поэтому многоугольник, образованный в сечении, подобен многоугольнику основания пирамиды. При этом коэффициент неподобия равен Воспользовавшись теоремой об отношении площадей подобных фигур, можно записать:

Отсюда Теперь можно записать:

Пример:

Фигура, ограниченная графиком функции и прямыми (рис. 27.6), вращается вокруг оси абсцисс, образуя тело объема (рис. 27.7). Найдите .

Решение:

При пересечении образовавшегося тела плоскостью где получаем круг (рис. 27.8), радиус которого равен Тогда площадь этого круга равна

Поэтому

Вообще, имеет место такое утверждение.

Если при вращении фигуры, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке функции и прямыми вокруг оси абсцисс образуется тело объема то

Интеграл и его применения

Понятия первообразной и неопределённого интеграла

А вы знаете, что если точка двигаясь по прямой, за время t после начала движения проходит путь s(t), то её мгновенная скорость равна производной функции. На практике встречается обратная задача: найти пройденный путь s(t), если задана скорость движения v(t).

Эту задачу можно переформулировать так: найти функцию s(t), если задана ее производная v(t).

Если , то функция s(t) называется первообразной функцией функции v(t). В общем случае можно ввести такое определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(х) на заданном промежутке (a; b), если для всех х из промежутка (а; b) выполнено.

Пример:

Пусть а — заданное число, a v(t)=at. Тогда функция

является первообразной для функции v(t), так как

Пример:

Пусть . Тогда функция является первообразной для функции , так как

Пример:

Пусть , при

Тогда функция является первообразной для функции ,

так как

Пример:

Пусть ,*>0, Тогда функция

является первообразной для функции , так как

Пример:

Докажите, что функции ,

являются первообразными для функции

Используя таблицу производных, мы можем написать:

Из этой задачи можно сделать вывод:

где С -постоянная является первообразной функцией для функции .

Действительно,

Для заданной функции её первообразная однозначно не определяется.

Именно, любая первообразная для функции на некотором промежутке может быть записана в виде , где F(x) — одна из первообразных для функции на этом промежутке, (С -произвольная постоянная).

Совокупность всех функций вида называется неопределённым интегралом функции и обозначается так: . Таким образом,

В этом обозначении — знак интеграла, f(x) — подынтегральная функция, а выражение — подынтегральное выражение.

Пример:

, так как согласно таблице производных, .

Пример:

Так как .

Пусть

Согласно примеру 4.

График функции можно получить из графика функции с помощью параллельного переноса вдоль оси Оу (рисунок 1). За счет выбора постоянной С можно добиться, чтобы график первообразной проходил через заданную точку.

Пример:

Найдите первообразную для функции , график которой проходит через точку А(3; 10).

Решение:

Любая первообразная функции имеет вид ,

так как .

Подберём постоянную С такую, чтобы график функции

проходил через точку (3; 10): Для этого необходимо,

чтобы при х=3 выполнялось F (3)=10. Отсюда , С = 1.

Следовательно, искомая первообразная имеет вид .

Ответ:

Пример:

Найдите первообразную для функции , график которой проходит через точку А(5; 15).

Решение:

Любая первообразная функции имеет вид

, так как Подберём постоянную С такую, чтобы график функции

проходил через точку (5; 15).

Для этого необходимо, чтобы выполнялось .

Значит отсюда С= 3.

Следовательно, искомая первообразная имеет вид

Ответ:

Пример:

Докажите, что

Решение:

Таблица интегралов

Опираясь на таблицу производных можно составить таблицу интегралов.

Для того, чтобы функция F(x) была первообразной для функции f(х) на некотором промежутке X, необходимо, чтобы обе функции F(x) и f(х) были определены на этом промежутке X.

Например, при , то есть при х > 1,6, согласно таблице интегралов, первообразная равна —

Используя правила дифференцирования, можно сформулировать некоторые правила интегрирования.

Пусть функции F(x) и G(x) на некотором промежутке являются первообразными для функций и соответственно. Справедливы правила:

Правило 1: Функция является первообразной для функции , то есть

Правило 2: Функция является первообразной для функции, то есть:

Пример:

Проинтегрируйте функцию

Решение:

Согласно правилу 1 и 9 пункту таблицы интегралов:

Так как согласно таблице интегралов

Ответ:

Пример:

Проинтегрируйте функцию

Решение:

Найдём интеграл этой функции, используя правила 1, 2 интегирования, а также пункты 1 и 10 таблицы интегралов:

Ответ:

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

При решении таких примеров удобно использовать замену переменных.

Именно, обозначим х² + 8 = u тогда, Отсюда

Проверка: Найдём производную от полученной функции и получим

подынтегральную функцию. Действительно,

Ответ:

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Сделаем замену sinx = t. Тогда и заданный интеграл

получит вид . Согласно пункту 3 таблицы интегралов ,

Проверка.

Ответ:

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

При вычислении этого интеграла помогает тождество

Тогда

Ответ:

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Согласно тождеству и пункту 10 таблицы интегралов:

Ответ:

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Для подынтегральной функции справедлива равенства:

Тогда

Ответ:

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Для вычисления этого интеграла воспользуемся

и . Тогда

Проверка:

Ответ:

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Для вычисления этого интеграла воспользуемся

Ответ:

Приведём также правило интегрирования по частям.

Правило 3*.

Если на некотором интервале X функции и имеют непрерывные производные и , то справедлива формула

(1)

Эта формула называется формулой интегрирования по частям.

Доказательство формулы следует из правила дифференцирования произведения функций и

Примечание. Для использования этого правила: 1) Подъинтсграль-ная функция представляется в виде произведения и ; 2) выражения и подбираются таким образом, чтобы интеграл в правой части формулы вычислялся непосредственно.

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Подберём . Поэтому

. Согласно (1),

Поэтому

Ответ:

Пример:

Вычислить интеграл .

Решение:

Представим подынтегральную функцию в виде произведения функций. Поэтому:.

Тогда

Согласно формуле (1),

Значит,

Проверка:

Ответ:

Пример 3.

Для нахождения интеграла удобно положить .

Решение:

В этом случае (здесь мы взяли первообразную без постоянной С). Согласно формуле интегрирования по частям,

Ответ:

Определенный интеграл, формула ньютона — лейбница

Фигура, изображённая на рисунке 2, называется криволинейной трапецией. Криволинейная трапеция — фигура, ограниченная сверху графиком функции , снизу — отрезком [а; b], а по бокам -отрезками прямых х = а, х = b. Отрезок[а; b] называется основанием криволинейной трапеции.

Возникает вопрос: «Как вычислить площадь криволинейной трапеции?»

Обозначим эту площадь через S. Оказывается, площадь S можно вычислить, опираясь на первообразную для функции f(х). Приведём соответствующие рассуждения.

Обозначим площадь криволинейной трапеции с основанием [a; х] через S (х) (рисунок 3). Точка х — произвольная точка из отрезка [a; b]. В случае х = а отрезок [а; х] превращается в точку, поэтому S(a)=0; а при х = b S(b) = S.

Покажем, что функция S(х) является первообразной для функции f(х), то есть .

Рассмотрим разность , где h > 0 (случай h < 0 рассматривается аналогично). Эта разность равна площади криволинейной трапеции с основанием [х; x + h] (рисунок 4). Отмeтим, что при достаточно малых h эта площадь приблизительно равна то есть Значит,

По определению производной, левая часть этого приближенного равенства при стремится к S'(х). Поэтому при получим равенство . Поэтому S(x) является первообразной для функции

Первообразная S(x) отличается от произвольной первообразной F(x) па постоянную величину, то есть

Положим в этом равенстве х=а получим Отсюда следует, что . Тогда равенство (1) можно записать в виде: . Положим в этом равенстве х=b, получим .

Значит, площадь криволинейной трапеции (рисунок 2) можно вычислить по формуле: , (2)

где F(x) — любая первообразная для функции f (х).

Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции сводится к нахождению первообразной функции F(x) для функции f(х), то есть к интегрированию функции f(х).

Разность F(b) — F(a) называется определённым интегралом от функции f(х) на отрезке [а; b] и обозначается так: (читается как «интеграл от а до б от эф икс де икс»).

Таким образом,

Формула (3) называется формулой Ньютона-Лейбница. Из (2) и (3) имеем:

Обычно при вычислении определенного интеграла принято обозначение:

. В этом случае:

Приведём дополнительные сведения.

Задачу нахождения криволинейной фигуры свели к вычислению определённого интеграла. Рассмотрим непрерывную функцию, определённую на отрезке [а; b]. Разобьем этот отрезок точками а=х₀, х₁.., х_1-n , х_n= b на равные отрезки , и на каждом из этих отрезков , отметим произвольную точку . Умножим длину отрезка на значение заданной функции f(х) в точке и составим сумму

(6)

Видно, что каждое слагаемое в этой сумме есть площадь прямоугольника с основанием и высотой S_n. Тогда сумма S приближенно равна площади криволинейной трапеции (рисунок 5).

Сумма (6) называется интегральной суммой функции f(х) по отрезку [а; b]. Пусть при стремлении n к бесконечности стремится к нулю. Тогда интегральная сумма S_n стремится к некоторому числу. Вот это число называется определенным интегралом от функции f (х) на отрезке [а; b].

Пример:

Найдите площадь криволинейной трапеции, изображённой на рисунке 6.

Решение:

Согласно формуле (4) . Вычислим это значение по

формуле Ньютона — Лейбиица (3). Очевидно, что функция

одна из первообразных для функции. Значит, Ответ: S = 21 (кв. единиц).

Пример:

Найдите площадь заштрихованной фигуры на рисунке 7.

Решение:

По формуле Ньютона-Лейбница и формуле (5): (кв.единиц) Ответ: 2 (кв.единиц).

Пример:

Вычислить определённый интеграл .

Решение:

По формуле Ньютона-Лейбница и формуле (5):

Ответ: 0.

Пример:

Вычислить определённый интеграл

Решение:

По формуле Ньютона-Лейбница и формуле (5):

Ответ: 13,5.

Пример:

Вычислить определенный интеграл

Решение:

Сначала найдём неопределенный интеграл:

Значит

Ответ:

Пример:

Вычислить определённый интеграл

Решение:

Сначала найдем неопределенный интеграл:

Согласно таблице интегралов Значит Ответ:

Определённый интеграл обладает следующими свойствами:

1. Действительно

2.

Значит,

3.Пусть а, b, с — действительные числа. Тогда

(свойство аддитивности определённого интеграла).

4.Пусть — четная функция, тогда

5.Если , тогда .

6.Если ,тогда .

——

Эйлеровы интегралы

Определение 1. Эйлеровым интегралом 1-го рода или бета-функцией называется интеграл 
Эйлеровым интегралом 2-го рода или гамма-функцией называется интеграл
 (2)
Теорема 1. При интеграл (1) сходится.
Доказательство.

Если  то функция − ограничена, при  сходится, поэтому  — сходится .
Если  то функция − ограничена, при сходится, поэтому  — сходится.
Таким образом  сходится.
Теорема 2. При a >0 интеграл (2) – сходится.
Доказательство.

Если x∈[0,1], то функция  − ограничена, при сходится, поэтому
∫-сходится.
Если − ограничена, 
сходится, поэтому  -сходится.
Следовательно  сходится.

Свойства функций В(а,b), Г(а)

Найти 
Решение. По формуле (11): 
n.4. Перепишем формулу (4) в виде:   (14)
что позволяет доопределить функцию Г (а) для отрицательных значений а:

Пример 2.

Найти 
Решение.

Пример 3.

Вычислить интеграл 
Решение.

 

n.5. Рассмотрим

Поэтому  значение интеграла Пуассона.

—-в математике

Интеграл и его применение

1. Первообразная

Определение:

• Функция F (х) называется первообразной для функции на заданном промежутке, если для любого х из этого промежутке F’ (х) = f (х).

Пример:

Для функции на интервалепервообразной является функция поскольку

2. Основное свойство первообразной

Свойство:

Пример:

Поскольку функция яляется первообразной для функции на интервале (см. выше), то общий вид всех первообразных для функции можно записать следующим образом: где С — произвольная постоянная.

Геометрический смысл:

• Графики любых первообразных для данной функции получаются один из другого параллельным переносом вдоль оси Оу.

3. Неопределенный интеграл

Определение:

Совокупность всех первообразных для данной функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается символом то есть где F (х) — одна из первообразных для функции f(x), а С — произвольная постоянная.

Пример:

поскольку для функции на интервале все первообразные можно записать следующим образом: .

4. Правила нахождения первообразных (правила интегрирования)

1. Если F — первообразная для f, a G — первообразная для g, то F + G — первообразная для f + g. Первообразная для суммы равна сумме первообразных для слагаемых.
2. Если F — первообразная для f и с — постоянная, то cF — первообразная для функции
3. Если F — первообразная для f, а k и b — постоянные (причем то — первообразная для функции

Пример:

5. Таблица первообразных (неопределенных интегралов) Функция

Общий вид первообразных где С — произвольная постоянная

1. 1.
2. 2.
3. 3.
4. 4.

Запись с помощью неопределенного интеграла

Объяснение и обоснование:

Понятие первообразной. Основное свойство первообразной

В первом разделе мы по заданной функции находили ее производную и применяли эту операцию дифференцирования к решению разнообразных задач. Одной из таких задач было нахождение скорости и ускорения прямолинейного движения по известному закону изменения координаты х (t) материальной точки: Например, если в начальный момент времени t = 0 скорость тела равна нулю, то есть v (0) = 0, то при свободном падении тело на момент времени t пройдет путь Тогда скорость и ускорение находят с помощью дифференцирования:

Важно уметь не только находить производную заданной функции, но и решать обратную задачу: находить функцию f (х) по ее заданной производной Например, в механике часто приходится определять координату х (t), зная закон изменения скорости v(t), а также определять скорость v (t), зная закон изменения ускорения Нахождение функции f (х) по ее заданной производной f’ (х) называют операцией интегрирования.

Таким образом, операция интегрирования является обратной операции дифференцирования. Операция интегрирования позволяет по заданной производной f’ (х) найти (восстановить) функцию (латинское слово integratio означает «восстановление»).

Приведем определения понятий, связанных с операцией интегрирования.

Функция F (х) называется первообразной для функции f (х) на данном промежутке, если для любого х из этого промежутка

Например, для функции на интервалепервообразной является функция поскольку

Отметим, что функция имеет ту же производную Следовательно, функция также является первообразной для функции на множестве R. Понятно, что вместо числа 5 можно подставить любое другое число. Поэтому задача нахождения первообразной имеет бесконечное множество решений. Найти все эти решения позволяет основное свойство первообразной.

Если функция F (х) является первообразной для функции f (х) на заданном промежутке, а С — произвольной постоянной, то функция F (х) + С также является первообразной для функции при этом любая первообразная для функции на данном промежутке может быть записана в виде F (х) + С, где С — произвольная постоянная.

Выражение F (х) + С называют общим видом первообразных для функции f (х).

1) По условию функция F (х) является первообразной для функции f (х) на некотором промежутке I. Следовательно, F’ (х) = f (х) для любого х из этого промежутка Тогдато есть F (х) + С также является первообразной для функции f (х).

2) Пусть функция — другая первообразная для функции f (х) на том же промежутке I, то есть для всехТогда По условию постоянства функции, если производная функции равна нулю на промежутке I, то эта функция принимает некоторое постоянное значение С на этом промежутке. Следовательно, для всех функция Отсюда Таким образом, любая первообразная для функции f (х) на данном промежутке может быть записана в виде F (х) + С, где С — произвольная постоянная. Например, поскольку для функции f (х) = 2х на интервале одной из первообразных является функция (действительно, F’ (х) = то общий вид всех первообразных функции можно записать так: где С — произвольная постоянная.

Замечание. Для краткости при нахождении первообразной функции f (х) промежуток, на котором задана функция , чаще всего не указывают. При этом имеются в виду промежутки возможно большей длины.

Геометрически основное свойство первообразной означает, что графики любых первообразных для данной функции f (х) получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу (рис. 100). Действительно, график произвольной первообразной F (х) + С можно получить из графика первообразной F (х) параллельным переносом вдоль оси Оу на С единиц.

• Заказать решение задач по высшей математике

Неопределенный интеграл

Пусть функция f (х) имеет на некотором промежутке первообразную F (х). Тогда по основному свойству первообразной совокупность всех первообразных для функции f (х) на заданном промежутке задается формулой F (х) + С, где С — произвольная постоянная.

Совокупность всех первообразных для данной функции f (х) называется неопределенным интегралом и обозначается символом то есть где F (х) — одна из первообразных для функции f (х), а С — произвольная постоянная.

В приведенном равенстве знак называют знаком интеграла, функцию — подынтегральной функцией, выражение f (х) dx — подынтегральным выражением, переменную х — переменной интегрирования и слагаемое С — постоянной интегрирования.

Например, как отмечалось выше, общий вид первообразных для функции записывается так: следовательно,

Правила нахождения первообразных (правила интегрирования)

Эти правила аналогичны соответствующим правилам дифференцирования.

Правило 1. Если F — первообразная для f, a G — первообразная для g, то F + G — первообразная для f + g.

Первообразная для суммы равна сумме первообразных для слагаемых.

1 ) Действительно, если F — первообразная для f (в этой кратком формулировке имеется в виду, что функция F(x) — первообразная для функции f (х)), то F’ = f. Аналогично, если G — первообразная для g, то G’ = g. Тогда по правилу вычисления производной суммы имеем (F + G)’ = F’ + G’ = f + g, а это и означает, что F + G — первообразная для f + g. С помощью неопределенного интеграла это правило можно записать так:

то есть интеграл от суммы равен сумме интегралов от слагаемых. Отметим, что правило 1 может быть распространено на любое количестве слагаемых (поскольку производная от любого количества слагаемых равна сумме производных слагаемых).

Правило 2. Если F — первообразная для — постоянная, то cF — первообразная для функции cf.

Действительно, если F — первообразная для f, то F’ = f. Учитывая, что постоянный множитель можно выносить за знак производной, имеем следовательно, cF — первообразная для cf.

С помощью неопределенного интеграла это правило можно записать так:

где с — постоянная, то есть постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Правило З. Если F — первообразная для f, — постоянные (причем то— первообразная для функции

Действительно, если F — первообразная для f, то F’ = f. Учитывая правило вычисления производной сложной функции, имеем

а это и означает, что — первообразная для функции

С помощью неопределенного интеграла это правило можно записать так:

Таблица первообразных (неопределенных интегралов)

Для вычисления первообразных (или неопределенных интегралов), кроме правил нахождения первообразных, полезно помнить табличные значения первообразных для некоторых функций. Чтобы обосновать правильность этих формул, достаточно проверить, что производная от указанной первообразной (без постоянного слагаемого С) равна заданной функции. Это будет означать, что рассмотренная функция действительно является первообразной для заданной функции. Поскольку в записи всех первообразных во второй колонке присутствует постоянное слагаемое С, то по основному свойству первообразных можно сделать вывод, что это действительно общий вид всех первообразных заданной функции. Приведем обоснование формул для нахождения первообразных функций а для других функций предлагаем провести аналогичную проверку самостоятельно.

Для всех

Следовательно, функция является первообразной для функции Тогда по основному свойству первообразных общий вид всех первообразных для функции будет

С помощью неопределенного интеграла это утверждение записывается так:

У функции область определения Рассмотрим функцию

Следовательно, на каждом из промежутков функция

является первообразной для функции Тогда

общий вид всех первообразных для функции С помощью неопределенного интеграла это утверждение записывается так:

Примеры решения задач:

Пример №292

Проверьте, что функция является первообразной для функции на промежутке

Решение:

а это и означает, что F (х) является первообразной для функции

Комментарий:

По определению функция F (х) является первообразной для функции f (х), если

Пример №293

1) Найдите одну из первообразных для функции

2) Найдите все первообразные для функции

3*) Найдите

Решение:

1) Одной из первообразных для функции на множестве R

будет функция поскольку

Комментарий:

1) Первообразную для функции можно попытаться найти подбором. При этом можно рассуждать так: чтобы после нахождения производной получить необходимо брать производную от Но Чтобы производная равняласьдостаточно поставить перед функцией коэффициент

2) По основному свойству первообразных все первообразные для функции можно записать в виде 1 где С — произвольная.

где С — произвольная постоянная. Проще непосредственно использовать формулу из пункта 5 таблицы 17: одной из первообразных для для функции является функция

2) если мы знаем одну первообразную F (х) для функции f (х), то по основному свойству первообразных любую первообразную для функции f (х) можно записать в виде F (х) + С, где С — произвольная постоянная.

3) По определению то есть неопределенный интеграл — это просто специальное обозначение общего вида всех первообразных для данной функции f (х) (которые мы уже нашли в пункте 2 решения).

Пример №294

Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку М (9; 10).

Решение:

Общий вид всех первообразных для функции f (х) следующий:

По условию график первообразной проходит через точку М (9; 10). Следовательно, при х = 9 получаем

Отсюда С = -8. Тогда искомая первообразная:

Комментарий:

Сначала запишем общий вид первообразных для заданной функции F(x) + С, затем воспользуемся тем, что график полученной функции проходит через точку М (9; 10). Следовательно, при х = 9 значение функции F (х) + С равно 10. Чтобы найти первообразную для функцииучтем, что область определения этой функции Тогда эту функцию можно записать так: и использовать формулу нахождения первообразной для функции а именно:

Пример №295

Найдите общий вид первообразных для функции

Решение:

Запишем одну из первообразных для каждого слагаемого. Для функции

первообразной является функция Второе слагаемое запишем так: Тогда первообразной для этой функции будет функция:

Первообразной для функции будет функция будет функция

Тогда общий вид первообразных для заданной функции будет:

Комментарий:

Используем правила нахождения первообразных. Сначала обратим внимание на то, что заданная функция является алгебраической суммой трех слагаемых. Следовательно, ее первообразная равна соответствующей алгебраической сумме первообразных для слагаемых (правило 1). Затем учтем, что все функции-слагаемые являются сложными функциями от аргументов видаСледовательно, по правилу 3 мы должны перед каждой функцией-первообразной (аргумента), которую мы получим по таблице первообразных, поставить 1 множитель

Для каждого из слагаемых удобно сначала записать одну из первообразных (без постоянного слагаемого С), а затем уже записать общий вид первообразных для заданной функции (прибавить к полученной функции постоянное слагаемое С).

Для третьего слагаемого также учтем, что постоянный множитель 2 можно поставить перед соответствующей первообразной (правило 2).

Для первого слагаемого учитываем, что первообразной для является (-ctg х), для второго первообразной для являетсятретьего — первообразной для cos х является sin х (конечно, преобразование второго слагаемого выполняются на области определения этой функции, то есть при 2 — х > 0).

Определенный интеграл и его применение

1. Вычисление определенного интеграла (формула Ньютона-Лейбница)

Формула:

Если функция f (х) определена и непрерывна на отрезке [а; b], a F (х)— произвольная ее первообразная на этом отрезке (то есть F’ (х) = f (х)), то

Пример:

Так как для функции одной из первообразных является

2. Криволинейная трапеция

Определение:

Пусть на отрезке оси Ох задана непрерывная функция f(x), принимающая на этом отрезке только неотрицательные значения. Фигуру, ограниченную графиком функции у = f (х), отрезком оси Ох и прямыми х = а и называют криволинейной трапецией.

Иллюстрация:

3. Площадь криволинейной трапеции

Формула:

Пример:

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

Изображая эти линии, видим, что заданная фигура — криволинейная трапеция. Тогда

4. Свойства определенных интегралов

Если функция f (х) интегрируема на и тои

5. Определение определенного интеграла через интегральные суммы

Пусть функция непрерывна на отрезке . Выполним следующие операции.

1. Разобьем отрезок на отрезков точками (полагаем, что
2. Обозначим длину первого отрезка через , второго — через и т. д. (то есть
3. На каждом из полученных отрезков выберем произвольную точку
4. Составим сумму

Эту сумму называют интегральной суммой функции на отрезке

Если и длины отрезков разбиения стремятся к нулю, то интегральная сумма стремится к некоторому числу, которое называют определенным интегралом функции на отрезке и обозначают

Объяснение и обоснование:

Геометрический смысл и определение определенного интеграла

Как отмечалось, интегрирование — это действие, обратное дифференцированию. Оно позволяет по заданной производной функции найти (восстановить) эту функцию. Покажем, что эта операция тесно связана с задачей вычисления площади.

Например, в механике часто приходится определять координату точки при прямолинейном движении, зная закон изменения ее скорости (напомним, что

Рассмотрим сначала случай, когда точка двигается с постоянной скоростью Графиком скорости в системе координат является прямая , параллельная оси времени t (рис. 101). Если считать, что в начальный момент времени t = 0 точка находилась в начале координат, то ее путь s, пройденный за время t, вычисляется по формуле . Величина равна площади прямоугольника, ограниченного графиком скорости, осью абсцисс и двумя вертикальными прямыми, то есть путь точки можно вычислить как площадь под графиком скорости.

Рассмотрим случай неравномерного движения. Теперь скорость можно считать постоянной только на маленьком отрезке времени . Если скорость v изменяется по закону v = v (t), то путь, пройденный за отрезок времени приближенно выражается произведением. А на графике это произведение равно площади прямоугольника со сторонами (рис. 102). Точное значение пути за отрезок времени равно площади криволинейной трапеции, выделенной на этом рисунке. Тогда весь путь за отрезок времени может быть вычислен в результате сложения площадей таких криволинейных трапеций, то есть путь будет равняться площади заштрихованной фигуры под графиком скорости (рис. 103).

Приведем соответствующие определения и обоснования, которые позволяют сделать эти рассуждения более строгими.

Пусть на отрезке оси задана непрерывная функция , которая принимает на этом отрезке только положительные значения. Фигуру, ограниченную графиком функции отрезком оси и прямыми , называют криволинейной трапецией (рис. 104).

Отрезок называют основанием этой криволинейной трапеции. Выясним, как можно вычислить площадь криволинейной трапеции с помощью первообразной для функции f (х).

Обозначим через S (х) площадь криволинейной трапеции с основанием [а; х] (рис. 105, а), где х — любая точка отрезка При х = а отрезок [а; х] вырождается в точку, и поэтому S (а) = 0, при х = b имеем S (6) = S, где S — площадь криволинейно

Покажем, что S (х) является первообразной для функции , то есть что

По определению производной нам необходимо доказать, что

при Для упрощения рассуждений рассмотрим случай (случай рассматривается аналогично).

Поскольку , то геометрически — площадь фигуры, выделенной на рисунке 105, б.

Рассмотрим теперь прямоугольник с такой же площадью AS, одной из сторон которого является отрезок (рис. 105, в). Поскольку функция f (х) непрерывна, то верхняя сторона этого прямоугольника пересекает график функции в некоторой точке с абсциссой (иначе, рассмотренный прямоугольник или содержит криволинейную трапецию, выделенную на рисунке 105, в, или содержится в ней, и соответственно его площадь будет больше или меньше площади ). Высота прямоугольника равна f (с).

По формуле площади прямоугольника имеем . Тогда(Эта формула будет верной и при

Поскольку точка с лежит между то с стремится к х, если Учитывая непрерывность функции f (х), также получаем, что то есть S (х) является первообразной для функции

Поскольку S (х) является первообразной для функции f (х), то по основному свойству первообразных любая другая первообразная F (х) для функции f (х) для всех отличается от S (х) на постоянную С, то есть

Чтобы найти С, подставим х = а. Получаем F (а) = S (а) + С. Поскольку S (а) = 0, то С = F (а), и равенство (1) можно записать так:

Учитывая, что площадь криволинейной трапеции равна S (b), подставляем в формулу (2) х = b и получаем S = S (b) = F (b) — F (а). Следовательно, площадь криволинейной трапеции (рис. 104) можно вычислить по формуле

где — произвольная первообразная для функции

Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции сводится к нахождению первообразной F (х) для функции f (x), то есть к интегрированию функции f (х).

Разность называют определенным интегралом функции на отрезке и обозначают так:

Запись читается: «Интеграл от а до b эф от икс де икс». Числа а и b называются пределами интегрирования: а — нижним пределом, b — верхним. Следовательно, по приведенному определению

Формулу (4) называют формулой Ньютона—Лейбница.

Вычисляя определенный интеграл, удобно разность F (b) -F (а) обозначать следующим образом: Пользуясь этим обозначением, формулу Ньютона-Лейбница можно записать в следующем виде:

Например, поскольку для функции одной из первообразных является

Отметим, что в том случае, когда для функции f (х) на отрезке существует определенный интеграл функцию f (х) называют интегрируемой на отрезке

Из формул (3) и (4) получаем, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке функции у = f (х), отрезком оси Ох и прямыми х = а и х = b (рис. 104), можно вычислить по формуле Например, площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у = cos х, отрезком оси Ох и прямыми х = 0 и х = — (рис. 106), можно вычислить по формуле

(При вычислении определенного интеграла учтено, что для функции f (х) = cos х одной из первообразных является функция

Замечание. В задачах из курса алгебры и начал анализа на вычисление площадей как ответ чаще всего приводится числовое значение площади. Поскольку на координатной плоскости, где изображается фигура, всегда указывается единица измерения по осям, то в этом случае мы всегда имеем и единицу измерения площади — квадрат со стороной 1. Иногда, чтобы подчеркнуть, что полученное число выражает именно площадь, ответ записывают так: (кв.ед.),то есть квадратных единиц. Отметим, что так записываются только числовые ответы. Если в результате вычисления площади мы получили, например, что то никаких обозначений квадратных единиц не записывается, поскольку отрезок а был измерен в каких-то линейных единицах и тогда выражениеуже содержит информацию о тех квадратных единицах, в которых измеряется площадь в этом случае.

Свойства определенных интегралов

При формулировании определения определенного интеграла мы полагали, что Удобно расширить понятие определенного интеграла и для случая а > b принять по определению, что

Для случая а = b также по определению будем считать, что

Отметим, что формальное применение формулы Ньютона-Лейбница к вычислению интегралов в формулах (5) и (6) дает такой же результат. Действительно, если функция F (х) является первообразной для функции f (х), то

С помощью формулы Ньютона-Лейбница легко обосновываются и другие свойства определенных интегралов, приведенные в пункте 4 таблицы 18.

Если F (х) является первообразной для функции f (х), то для функции первообразной будет функция Тогда

Если F (x) является первообразной для функции f (х), a G (х) — первообразной для функции g (х), то для функции f (х) + g (х) первообразной будет функция F (х) + +G (х). Тогда

Если F (x) является первообразной для функции то

Следовательно, если функция f (х) интегрируема на отрезке и то

Определение определенного интеграла через интегральные суммы

Исторически интеграл возник в связи с вычислением площадей фигур, ограниченных кривыми, в частности, в связи с вычислением площади криволинейной трапеции.

Рассмотрим криволинейную трапецию, изображенную на рисунке 107 (функция f (х) — непрерывна на отрезке ). На этом рисунке основание трапеции— отрезок — разбито на отрезков (не обязательно равных) точками (для удобства будем считать, что Через эти точки проведены вертикальные прямые. На первом отрезке выбрана произвольная точка и на этом отрезке как на основании построен прямоугольник с высотой Аналогично на втором отрезке выбрана произвольная точкаи на этом отрезке f /с ^ как на основании построен прямоугольник с высотой и т. д.

Площадь S заданной криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей построенных прямоугольников. Обозначим эту сумму через длину первого отрезка через

Следовательно, площадь S криволинейной трапеции можно приближенно вычислять по формуле (9), то есть

Сумму (9) называют интегральной суммой функции f (х) на отрезке При этом считают, что функция f (х) непрерывна на отрезке и может принимать любые значения: положительные, отрицательные и равные нулю (а не только неотрицательные, как для случая криволинейной трапеции). Если и длины отрезков, на которые разбито основание трапеции, стремятся к нулю, то интегральная сумма стремится к некоторому числу, которое называют определенным интегралом функции f (х) на отрезке и обозначают Можно доказать, что при этом также выполняется формула Ньютона — Лейбница и все рассмотренные свойства определенного интеграла.

Замечание. Изменяя способ разбиения отрезка на частей (то есть фиксируя другие точки и выбирая на каждом из полученных отрезков другие точки мы будем получать для функции f (х) другие интегральные суммы. В курсе математического анализа доказывается, что для любой непрерывной на отрезке функции f (х) независимо от способа разбиения этого отрезка и выбора точек если и длины отрезков стремятся к нулю, то интегральные суммыстремятся к одному и тому же числу.

Определение определенного интеграла через интегральные суммы позволяет приближенно вычислять определенные интегралы по формуле (9). Но такой способ требует громоздких вычислений, и его используют в тех случаях, когда для функции f (х) не удается найти первообразную (в этих случаях приближенное вычисление определенного интеграла обычно проводят на компьютере с использованием специальных программ). Если же первообразная для функции f(x) известна, то интеграл можно вычислить точно, используя формулу Ньютона-Лейбница (см. пример в пункте 1 таблицы 19 и примеры, приведенные далее).

Примеры решения задач:

Пример №296

Вычислите

Решение:

Ответ: 1.

Комментарий:

Поскольку для функции мы знаем первообразную — это F(x) = tg х , то заданный интеграл вычисляется непосредственным применением формулы Ньютона-Лейбница

Пример №297

Вычислите

Решение:

I способ

Для функции одной из первообразных является

Комментарий:

Возможны два способа вычисления заданного интеграла.

1) Сначала найти первообразную для функции используя правила вычисления первообразных и таблицу первообразных, а затем найти интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.

2) Использовать формулу (8)

и записать заданный интеграл как алгебраическую сумму двух интегралов, каждый из которых можно непосредственно вычислить, как в задаче 1 (для первого слагаемого можно также использовать формулу (7) и вынести постоянный множитель 4 за знак интеграла).

Замечание. Заданный интеграл рассматривается на отрезке [1; 3], где х > 0. Но при х > 0 одной из первообразных для функции является функция F (х) = In х. Поэтому, учитывая, что х > 0, можно, например, записать,что Хотя, конечно, приведенная выше запись первообразной также является верной (поскольку при

Пример №298

Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямыми х = 1, х = 8, осью Ох и графиком функции

Решение:

Изображая эти линии, видим, что заданная фигура — криволинейная трапеция (рис. 108).

Тогда ее площадь ровна

Комментарий:

Заданная фигура является криволинейной трапецией, и поэтому ее площадь можно вычислить по формуле

Также необходимо учесть, что на заданном отрезке [1; 8] значения х > 0, и при этом условии можно записать

Вычисление площадей и объемов с помощью определенных интегралов

1. Площадь криволинейной трапеции

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной неотрицательной на отрезке функции осью Ох и прямыми х = а иравна

2. Площадь фигуры, ограниченной графиками двух функций и прямыми х = а и

Формула

Если на заданном отрезке непрерывные функции и имеют такое свойство, что для всех то Пример Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

Изобразим заданные линии и абсциссы их точек пересечения. Абсциссы точек пересечения:

3. Объемы тел

Если тело помещено между двумя перпендикулярными к оси Ох плоскостями, проходящими через точки где — площадь сечения тела плоскостью, которая проходит через точку и перпендикулярна к оси Ох.

Если тело получено в результате вращения вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке функции у = f (х) и прямыми х = а и то

Объяснение и обоснование:

Вычисление площадей фигур

Обоснование формулы площади криволинейной трапеции и примеры ее применения были приведены выше.

Выясним, как можно вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке 109. Эта фигура ограничена сверху графиком функции снизу графиком функции а также вертикальными прямыми функции непрерывны и неотрицательны на отрезке

Площадь S этой фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций ( — площадь криволинейной трапеции — площадь криволинейной трапеции Но

Следовательно, Таким образом, площадь заданной фигуры можно вычислить по формуле

Эта формула будет верной и в том случае, когда заданные функции не являются неотрицательными на отрезке для этого достаточно выполнения условий, что функции непрерывны на отрезке и (рис. 110, а). Для обоснования справедливости формулы достаточно перенести заданную фигуру параллельно вдоль оси Оу на единиц так, чтобы она разместилась над осью Ох (рис. 110, б). Такое преобразование означает, что заданные функции мы заменили соответственно на функции Площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и прямыми х = а и равна площади заданной фигуры. Следовательно, искомая площадь

Например, площадь фигуры, изображенной на рисунке 111, равна

Вычисление объемов тел

Задача вычисления объема тела с помощью определенного интеграла аналогична задаче нахождение площади криволинейной трапеции.

Пусть задано тело объемом V, причем есть такая прямая (ось Ох на рисунке 112), что какую бы ни взяли плоскость, перпендикулярную к этой прямой, нам известна площадь S сечения тела этой плоскостью. Но плоскость, перпендикулярная к оси Ох, пересекает ее в некоторой точке х. Следовательно, каждому числу х из отрезка (см. рис. 112) поставлено в соответствие единственное число — площадь сечения тела этой плоскостью. Таким образом, на отрезке задана функция S (х). Если функция S непрерывна на отрезке , то справедлива Полное доказательство этой формулы приведено в курсе математического анализа, а мы остановимся на наглядных соображениях, которые приводят к этой формуле.

Разделим отрезок на отрезков одинаковой длины точками

Через каждую точку проведем плоскость перпендикулярную к оси Ох. Эти плоскости разрезают данное тело на слои (рис. 113, а). Объем слоя между плоскостями (рис. 113, б) при достаточно больших п приближенно равен площади сечения, умноженной на «толщину слоя» и поэтому

Точность этого приближенного равенства тем выше, чем тоньше слои, на которые разрезано тело, то есть чем больше

Поэтому По определению определенного интеграла через интегральные суммы получаем, что Следовательно,

Используем полученный результат для обоснования формулы объема тел вращения.

Пусть криволинейная трапеция опирается на отрезок оси Ох и ограничена сверху графиком функции у = f (х), неотрицательной и непрерывной на отрезке . Вследствие вращения этой криволинейной трапеции вокруг оси Ох образуется тело (рис. 114, а), объем которого можно найти по формуле

Действительно, каждая плоскость, которая перпендикулярна к оси Ох и пересекает отрезок этой оси в точке х, дает в сечении с телом круг радиуса f (х) и площадью (рис. 114, б). Отсюда по формуле (2) получаем формулу (3).

Примеры решения задач:

Пример №299

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями и

Решение:

Изобразим заданные линии (рис. 115) и найдем абциссы точек их пересечения:

Комментарий:

Изображая заданные линии (рис. 115), видим, что искомая фигура находится между графиками двух функций. Сверху она ограничена графиком функции а снизу — графиком функции Следовательно, ее площадь можно вычислить по формуле

(оба корня удовлетворяют уравнению (1)).Площадь заданной фигуры равна

Комментарий:

Чтобы найти пределы интегрирования, найдем абсциссы точек пересечения графиков заданных функций. Поскольку ординаты обеих кривых в точках пересечения одинаковы, то достаточно решить уравнение

Для решения полученного иррационального уравнения можно использовать уравнения-следствия (в конце выполнить проверку) или равносильные преобразования (на ОДЗ, то есть при ).

Отметим также, что на полученном отрезке [-1; 0] значение Задача 2 Вычислите объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями Решение

Найдем абциссы точек пересечения заданных линий.

Поскольку заданная фигура — криволинейная трапеция, то объем тела вращения равен

Комментарий:

Изобразим заданную фигуру (рис. 116) и убедимся, что она является криволинейной трапецией. В этом случае объем тела вращения можно вычислять по формуле:

Чтобы найти пределы интегрирования, достаточно найти абсциссы точек пересечения заданных линий.

Как и для задач на вычисление площадей, в ответ записывают числовое значение объема, но можно подчеркнуть, что мы получили именно величину объема, и записать ответ: куб. ед. (то есть кубических единиц).

Замечание. Можно было обратить внимание на то, что заданная фигура симметрична относительно оси и поэтому объем тела, полученного вращением всей фигуры вокруг оси абсцисс, будет вдвое больше объема тела, полученного вращением криволинейной трапеции, которая опирается на отрезок [0; 2].

Простейшие дифференциальные уравнения

Понятия дифференциального уравнения и его решения

До сих пор мы рассматривали уравнения, в которых неизвестными были числа. В математике и ее применениях приходится рассматривать уравнения, в которых неизвестными являются функции. Так, задача о нахождении пути s (t) по заданной скорости сводится к решению уравнения s’ (t) = v (t), где v (t) — заданная функция, a s (t) — искомая функция.

Например, если v (t) = 3 — то для нахождения s (t) необходимо решить уравнение s’ (t) = 3 —

Это уравнение содержит производную неизвестной функции. Такие уравнения называют дифференциальными уравнениями. Решением дифференциального уравнения называется любая функция, удовлетворяющая этому уравнению (то есть функция, при подстановке которой в заданное уравнение получаем тождество).

Пример №300

Решите дифференциальное уравнение

Решение:

Необходимо найти функцию у (х), производная которой равна х + 3, то есть

найти первообразную для функции х + 3. По правилам нахождения первообразных получаем где С — произвольная постоянная.

При решении дифференциальных уравнений следует учитывать, что решение дифференциального уравнения определяется неоднозначно, с точностью до постоянной. Такое решение называют общим решением заданного уравнения.

Обычно к дифференциальному уравнению добавляется условие, из которого эта постоянная определяется. Решение, полученное с использованием такого условия, называют частным решением заданного дифференциального уравнение.

Пример №301

Найдите решение у (х) дифференциального уравнения у’ = sin х, удовлетворяющего условию у (0) = 2.

Решение:

Все решения этого уравнения записываются формулой у (х) = -cos х + С. Из условия у (0) = 2 находим -cos 0 + С = 2. Тогда С = 3. Ответ: у = -cos х + 3.

Решения многих физических, биологических, технических и других практических задач сводится к решению дифференциального уравнения

где k — заданное число. Решениями этого уравнения являются функции

где С — постоянная, которая определяется условиями конкретной задачи.

Например, в опытах установлено, что скорость размножения бактерий (для которых достаточно пищи) связана с массой бактерий в момент времени t уравнением

где — положительное число, которое зависит от вида бактерий и внешних условий. Решениями этого уравнение являются функции

Постоянную С можно найти, например, при условии, что в момент t = 0 масса бактерий известна. Тогда и, следовательно,

Другим примером применения уравнения (1) является задача о радиоактивном распаде вещества. Если — скорость радиоактивного распада в момент времени t, то — постоянная, которая зависит от радиоактивности вещества. Решениями этого уравнения являются функции

Если в момент времени t масса вещества равна и тогда

Отметим, как на практике скорость распада радиоактивного вещества характеризуется периодом полураспада, то есть промежутком времени, в течение которого распадается половина исходного вещества.

Пусть Т — период полураспада, тогда из равенства (3) при t = Т получаем

В этом случае формула (3) записывается

так:

Гармонические колебания

На практике часто встречаются процессы, которые периодически повторяются, например колебательные движения маятника, струны, пружины и т. п.; процессы, связанные с переменным электрическим током, магнитным полем и т. д. Решение многих таких задач сводится к решению дифференциального уравнения

где — заданное положительное число,

Решением уравнения (4) является функция

где — постоянные, которые определяются условиями конкретной задачи. Уравнение (4) называют дифференциальным уравнением гармонических колебаний.

Например, если у (t) — отклонение точки струны, которая свободно колеблется, от положения равновесия в момент времени t, то

где А — амплитуда колебания, — угловая частота, — начальная фаза колебания.

Графиком гармонического колебания является синусоида.

Примеры применения первообразной и интеграла к решению практических задач

Пример №302

Цилиндрический бак, высота которого равна 4,5 м, а радиус основания равен 1 м, заполнен водой. За какое время вода вытечет из бака через круглое отверстие в дне, если радиус отверстия равен 0,05 м?

Решение:

Обозначим высоту бака Н, радиус его основания R, радиус отверстия (длины измеряем в метрах, время — в секундах) (рис. 117).

Скорость вытекания жидкости v зависит от высоты столба жидкости х и вычисляется по формуле Бернулли

где — коэффициент, который зависит от свойства жидкости; для воды Поэтому при уменьшении уровня воды в баке скорость вытекания уменьшается (а не остается постоянной).

Пусть t (х) — время, за которое из бака высоты х с основанием радиуса R вытекает вода через отверстие радиуса (рис. 117).

Найдем приближенно отношение считая, что за время скорость вытекания воды постоянна и выражается формулой (6).

За время объем воды, которая вытекла из бака, равен объему цилиндра высоты с основанием радиуса R (см. рис. 117), то есть равен С другой стороны, этот объем равен объему цилиндра, основанием которого служит отверстие в дне бака, а высота равна произведению скорости вытекания о на время , то есть объем равен Следовательно, Учитывая формулу (6), получаем

Тогда при получаем равенство

Если x = 0 (в баке нет воды), то t (0) = 0, отсюда С = 0. При х = Н находим искомое время

Используя данные задачи, получаем

Пример №303

Вычислите работу силы F при сжатии пружины на 0,06 м, если для ее сжатия на 0,01 м необходима сила 5 Н.

Решение:

По закону Гука, сила F пропорциональна растяжению или сжатию пружины, то есть где х — величина растяжения или сжатия (в метрах), — постоянная. По условию задачи находим . Поскольку при х = 0,01 м

сила.

Следовательно,

Найдем формулу для вычисления работы при перемещении тела (оно рассматривается как материальная точка), которое двигается под действием переменной силы F (х), направленной вдоль оси Ох. Пусть тело переместилось из точки х = а в точку

Обозначим через А (х) работу, выполненную при перемещении тела из точки а в точку х. Дадим х приращение Тогда работа, которая выполняется силой F (х) при перемещении тела из точки х в точкубудем считать постоянной и равной F (х). Поэтому

Тогда при Последнее равенство означает, что А (х) является первообразной для функции F (х).

Учитывая, что А (а) = 0, по формуле Ньютона-Лейбница получаем

Таким образом, работа переменной силы F (х) при перемещении тела из точки а в точку равна

Используя данные задачи, получаем

Сведения из истории:

Интегральное исчисление и само понятие интеграла возникло из необходимости вычисления площадей плоских фигур и объемов тел. Идеи интегрального исчисления берут свое начало в работах древних математиков. В частности, важное значение для развития интегрального исчисления имел метод исчерпывания, предложенный Евдоксом Книдским (ок. 408 — ок. 355 гг. до н. э.) и усовершенствованный А р х им е д о м. По этому методу для вычисления площади плоской фигуры вокруг нее описывается ступенчатая фигура и в нее вписывается ступенчатая фигура. Увеличивая количество сторон полученных многоугольников, находят предел, к которому стремятся площади ступенчатых фигур (именно так в курсе геометрии вы доказывали формулу площади круга). Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. Но прошло более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи были доведены до уровня исчисления. Отметим, что математики XVII в., получившие множество новых результатов, учились на работах Архимеда. Именно в XVII в. было сделано много открытий, касающихся интегрального исчисления, введены основные понятия и термины.

Символ ввел Лейбниц (1675 г.). Этот знак является измененной латинской буквой S (первая буква слова summa). Само слово интеграл ввел Я. Бернулли (1690 г.). Другие известные вам термины, касающие интегрального исчисления, появились значительно позже. Название первообразная для функции, которое применяется сейчас, заменило более раннее «примитивная функция», введенное Лагранжем (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный»: функция — начальная (или первообразная) для функции f (х), которая образуется из F (х) дифференцированием. Понятие неопределенного интеграла и его обозначение ввел Лейбниц, а обозначение определенного интеграла ввел К. Ф у р ь е (1768—1830).

Следует отметить, что при всей значимости результатов, полученных математиками XVII в., интегрального исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, на которых основывается решение многих отдельных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования. Это сделали Ньютон и Лейбниц, которые независимо друг от друга открыли факт, известный нам под названием формулы Ньютона-Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Необходимо было еще научиться находить первообразные для многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисления созданы. Методы интегрального исчисления активно развивались в следующем столетии (прежде всего следует назвать имена Л.Эйлера, который закончил систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитие интегрального исчисления значительный вклад внесли российские математики украинского происхождения М. В. Остроградский (1801 — 1862), В.Я.Буняковский (1804-1889).

—11клас

Применение интеграла

С помощью интегралов можно определять не только площади фигур, но и многие другие величины, приближённые значения которых выражаются интегральными суммами, т.е. суммами вида  Такие суммы принято обозначать  Подграфик функции  — математическая модель каждой такой величины, поэтому вычислять границы этих сумм можно по формуле Ньютона—Лейбница. Рассмотрим четыре примера таких задач.

 Объём тела вращения

Пусть тело образовано вращением подграфика функции  вокруг оси  Каждое тело вращения можно представить составленным из очень большого количества круглых пластинок, цилиндров с малыми высотами  (рис. 127). Радиус каждого такого цилиндра зависит от  и равен  Объём одного цилиндрика, соответствующего переменной  равен  Всему телу вращения соответствует интегральная сумма

Следовательно, его объём

Пример №594

Пусть надо найти вместимость сосуда высотой 4 дм, осевое сечение которого — график функции  (рис. 128). Для неотрицательных значений  график такой функции симметричен относительно биссектрисы первого координатного угла графику функции  Поэтому искомый объём сосуда равен объёму тела, образованного вращением подграфика функции  на  вокруг оси  (рис. 129). Итак, искомый объём

С помощью определённых интегралов можно вычислять не только объёмы тел вращения, но и многих других тел: пирамид, усечённых пирамид и т. д.

Работа переменной силы

Если в результате действия постоянной силы  тело перемещается в направлении её действия на расстояние  то при этом выполняется работа  А если на тело действует сила не постоянная, а переменная?

Например, чтобы растянуть пружину на 1 см, на 2 см и т. д., надо прикладывать всё большую и большую силу. Согласно закона Гука, сила  которую необходимо приложить, чтобы растянуть пружину на расстояние пропорциональна этому расстоянию (для допустимых значений Коэффициент  различен для разных пружин. Например, если для растяжения пружины на 1 м надо приложить силу 50 Н, то  Какую выполняют работу, растягивая такую пружину на расстояние 

Поделим отрезок  на который растягивается пружина, точками  на  равных частей (рис. 130). Пусть  — длина каждой части. Чтобы растянуть пружину на

расстояние  т. е. переместить её конец из точки  надо приложить силу  При этом выполненная работа приближённо равна  Чтобы растянуть пружину на расстояние  надо приложить силу  и выполнить работу, которая приближённо равна  и т. д. Следовательно, чтобы растянуть пружину на расстояние  надо выполнить работу, приближенное значение которой равно интегральной сумме

Значение  с увеличением  (и соответствующим уменьшением  всё меньше отличается от точного значения искомой работы  т. е. если   Следовательно,

Если 

Сила давления жидкости

Пусть разница уровней воды по обе стороны от ворот шлюза равна 8 м. Ворота имеют прямоугольную форму, их ширина  (рис. 131). Чему равна сила давления воды на ворота?

Известно, что с увеличением глубины давление воды увеличивается. Оно выражается формулой  — глубина в метрах,  — давление воды в килопаскалях. Пусть  — разница уровней воды.

Разобьём этот отрезок точками  на  равных частей и через них мысленно проведём горизонтальные прямые, которые разделят ворота шлюза на  равных полос. Если , то площадь каждой полосы равна   Давление на первую, вторую, третью и т. д. полосы приближённо равно соответственно  Поэтому общая сила давления воды на ворота шлюза приближённо равна сумме

Полученное произведение ширины ворот  на интегральную сумму — приближённое значение силы давления воды на ворота. Точное её значение    

Экономическое содержание интеграла

Пусть функция  описывает изменение производительности некоторого производства в течение определённого времени. Найдём объём продукции  произведённой за промежуток времени 

Отметим, что когда производительность не изменяется в течение времени  — постоянная функция), то объём продукции  произведённой за некоторый промежуток времени  задаётся формулой  В общем случае справедливо приближённое равенство  Оно тем точнее, чем меньше 

Разобьём отрезок  равных частей точками  Для объёма продукции  произведённой за промежуток времени  имеем  

Следовательно,

Если  то каждое из использованных приближённых paвенств становится более точным, следовательно 

Если  — производительность труда в момент времени  то объём произведённой продукции за промежуток  можно вычислить по формуле 

Известный вам определённый интеграл учёные называют интегралом Римана, он применяется к ограниченным функциям и конечным интервалам интегрирования. Но решение многих важных задач нуждалось в нахождении границ бесконечных сумм, определённых широким классом функций и на бесконечных промежутках. Впоследствии были введены такие интегралы: интегралы Лебега, Стилтьеса, интегралы кратные, криволинейные и т. д. Их рассматривают в высших учебных заведениях.

Пример №595

Керосин содержится в цилиндрическом резервуаре (рис. 132), осевое сечение которого — квадрат со стороной 2 м. Какую работу нужно выполнить, чтобы откачать весь керосин из резервуара через отверстие в его верхнем основании, если плотность керосина равна 

Решение:

Решим сначала задачу в общем виде. Разобьём высоту цилиндра  равных частей точками  Через каждую точку деления параллельно основанию цилиндра проведём плоскость. Объём каждого из образовавшихся маленьких цилиндров равен  а масса —  где  — плотность жидкости в резервуаре, — радиус основания цилиндра, а 

Чтобы тело массой  поднять на высоту  нужно выполнить работу  В этих условиях работа по откачке жидкости, содержащейся в  цилиндре, выражается формулой  а общая работа (по откачке жидкости из всего резервуара) —

По условию задачи  поэтому

Ответ. 

Пример №596

Производительность труда бригады рабочих в течение смены приближённо определяется формулой   — рабочее время в часах. Определите объём продукции, выпущенной за 5 рабочих часов.

Решение:

Объём выпуска продукции в течение смены является первообразной от функции, выражающей производительность труда. Поэтому

Ответ.  единиц.

Содержание:

1. Определённый интеграл
2. Геометрическое содержание определённого интеграла
3. Основные свойства определённого интеграла
4. Непосредственное вычисление определённого интеграла
5. Вычисление определённого интеграла методом подстановки
6. Вычисления определённого интеграла частями
7. Приближённые методы вычисления определённых интегралов
8. Практическое применение определённого интеграла
9. Вычисление площадей плоских фигур
10. Объём тела вращения
11. Путь, пройденный точкой
12. Сила давления жидкости
13. Несобственные интегралы
14. История определенного интеграла
15. Определенный интеграл в математике
16. Геометрический смысл интеграла
17. Понятие определенного интеграла
18. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
19. Задача о нахождении площади криволинейной трапеции
20. Задача об определении пройденного пути материальной точки
21. Задача о нахождении объема продукции
22. Основные свойства определенного интеграла
23. Связь между определенным и неопределенным интегралами
24. Формула Ньютона-Лейбница
25. Методы вычисления определенного интеграла
26. Непосредственное определенное интегрирование
27. Вычисление интеграла методом подстановки
28. Интегрирования по частям в определенном интеграле
29. Длина дуги плоской кривой
30. Вычисление площади геометрической фигуры
31. Вычисление объемов тел по известным площадям поперечных сечений
32. Вычисление объема тела вращения
33. Приближенное вычисление определенных интегралов
34. Формула прямоугольников
35. Формула трапеций
36. Формула Симпсона

Определённый интеграл

Определенный интеграл – это число, а именно величина площади криволинейной трапеции. Неопределенный интеграл – это функция (точнее, семейство функций), которая является первообразной для интегрируемой функции.

Понятие определённого интеграла:

Пусть функция f(х) определена на промежутке  Считаем для удобства, что функция f(х) на указанном промежутке неотъемлемая и  Разобьём этот отрезок на n частей точками  На каждом из отрезков  возьмём произвольную точку  и вычислим сумму:

где  Эта сумма называется интегральной суммой функции f(х) на отрезке 

Геометрически (рис. 1) каждое слагаемое интегральной суммы равно площади прямоугольника с основанием  и высотой , а вся сумма равна площади фигуры, которую получили соединением всех указанных выше прямоугольников.

Очевидно, при всех возможных разбиениях отрезка  на части получим разные интегральные суммы, а значит и разные ступенчатые фигуры.

Будем увеличивать число точек разбиения так, чтобы длина наибольшего отрезка   стремилась к нулю. Во многих случаях при таком разбиении интегральная сумма будет стремиться к некоторому конечному пределу, независимым ни от способа, которым выбираются точки деления  ни от того, как выбираются промежуточные точки

Это предел и называют определённым интегралом для функции f(х) на отрезке 

Определённым интегралом для функции f(х) на отрезке  называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремлении к нулю длины большего частичного промежутка. Он обозначается  и читается «интеграл от  до b от функции f(х) по dx», или сокращённо «интеграл от  до b от f(х)dx».

По определению 

Число  называется нижней границей интегрирования; число b — верхней границей; отрезок  — отрезком интегрирования.

Отметим, что любая непрерывная на промежутке  функция f(х) имеет определённый интеграл на этом отрезке.

Геометрическое содержание определённого интеграла

Если интегрированная на отрезке  функция f(х) неотъемлемая, то определённый интеграл  численно равен площади S криволинейной трапеции ABb (рис. 1).

Уточним, что криволинейную трапецией называют фигуру, ограниченную графиком непрерывной функции у=f(х), где , прямыми х=, х=b и осью ОХ.

Следовательно, геометрическое содержание определённого интеграла — это площадь криволинейной трапеции.

Рассмотрим криволинейную трапецию CHKD (см. рис. 2), в которой абсцисса точки С равна х, а точки . График функции у=f(х) пересекает ось OY в точке А. Тогда площадь криволинейной трапеции CHKD равна разности площади криволинейных трапеций OAKD и OAHC.

Поскольку площадь криволинейной трапеции ОАНС зависит от х, то её можно изобразить символом S(х). Аналогично, площадь криволинейной трапеции CHKD является функцией от  и её можно обозначить . Поэтому площадь криволинейной трапеции CHKD равна разности  и S(х) и обозначается символом 

Построим два прямоугольника CHED и CMKD. Площадь первого равна Поскольку площадь криволинейной трапеции CHKD не меньшая площадь прямоугольника  CHED и не большая площади прямоугольника CMKD, то можно записать неравенство:

Разделим обе части этого неравенства на  и найдём пределы выражений при 

Вспомним, что  и учитывая непрерывность функции f(х), 

получим:

отсюда

,

то есть производная площади криволинейной трапеции равна функции, которая задаёт верхнюю границу трапеции.

Таким образом, площадь криволинейной трапеции является одной из первичных функций, которая задаёт верхнюю границу трапеции, и может быть вычислена с помощью интегрирования.

Последнее равенство верно для всех х с промежутка . Подставим вместо х число . Получим . Но S()=0, ведь криволинейная трапеция преобразуется в отрезок, поэтому  Таким образом,

При х=b получим выражение для вычисления площади криволинейной трапеции

Полученное выражение для вычисления S является приростом первичной F(х) на . Поскольку первичные отличаются только на постоянную, то очевидно, что все они будут иметь одинаковый прирост на промежутке . Отсюда выходит ещё одно определение определённого интеграла:

определённым интегралом называют прирост произвольной первичной при изменении аргумента от  до b.

Данное определение записывают в виде формулы Ньютона-Лейбница:

 

где F(х) — первичная для функции f(х).

Основные свойства определённого интеграла

Все ниже приведённые свойства сформулированы в предположении, что данные функции интегрированы на определённых промежутках.

1. Определённый интеграл с одинаковыми границами интегрирования равен нулю:

2. При перестановке границ интегрирования определённый интеграл меняет знак на противоположный:

3. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

где 

4. Постоянный множитель можно вынести за знак определённого интеграла:

5. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функции равен алгебраической сумме определённых интегралов от функции, сто доказываются:

Доказательство свойств базируется на формуле ньютона-Лейбница. Как пример, докажем свойство 3:

что и требовалось доказать.

Данное свойство легко иллюстрировать графически (рис. 3).

или

На рис. 3 легко увидеть справедливость утверждения теоремы о среднем.

Теорема. Если функция f(х) непрерывна на промежутке , то существует точка с которая принадлежит данному промежутку, такая, что

То есть, площадь криволинейной трапеции  равна площади прямоугольника со сторонами f(с) и (b — ).

Непосредственное вычисление определённого интеграла

Для вычисления определённого интеграла при условии существования первичной пользоваться формулой Ньютона-Лейбница:

По этой формуле виден порядок вычисления определённого интеграла:

1) найти неопределённый интеграл от данной функции;

2) в полученную первичную подставить на место аргумента сначала в верхнюю, а потом нижнюю границу интеграла;

3) найти прирост первично, то есть вычислить интеграл.

Пример 1: Вычислить интеграл:

Решение: Использовав указанные правила, вычислим данный определённый интеграл:

Ответ: 

Пример: Вычислить интеграл:

Решение: Используем определение степени с дробным отрицательным показателем и вычислить определённый интеграл:

Ответ: 

Пример 3: Вычислить интеграл:

Решение: Интеграл от разности функций заменим разностью интегралов от каждой функции.

Ответ: 

Пример 4: Вычислить интеграл:

Решение: Используем определения степени с дробным показателем, правило деления суммы на число и вычислить определённый интеграл от суммы:

Ответ: 

Вычисление определённого интеграла методом подстановки

Вычисление определённого интеграла методом подстановки выполняется в такой последовательности:

1) ввести новую переменную;

2) найти дифференциал новой переменной;

3) найти новые границы определённого интеграла;

4) всё подынтегральное выражение выразить через новую переменную;

5) вычислить полученный интеграл.

Пример 5. Вычислить интеграл: 

Решение: Сделаем замену  тогда 

Вычислим границы интегрирования для переменной t.

При х=0 получаем t_н=8-0=8, при х=7 получим t_b=8-7=1.

Выразим подынтегральное выражение через t и dt и перейдём к новым границам, получим:

Пример 6. Вычислить интеграл: 

Решение: Будем считать, что х³+2=t, тогда . Определим границу интегрирования для переменной t. При х=1, получим  при х=2 получим 

Выразим подынтегральное выражение через t и dt, затем перейдём к новым пределам, получим:

Ответ: 

Пример 7. Вычислить интеграл: 

Решение: Пусть  тогда 

Вычислим границы интегрирования для переменной t:

Выразим подынтегральное выражение через t и dt, и перейдём к новым пределам, получим:

Ответ: 

Пример 8. Вычислить интеграл: 

Решение: Сначала преобразуем подынтегральное выражение:

Вычислим интеграл от разности функций, заменив его разностью определённых интегралов от каждой функции:

Ответ: 

Вычисления определённого интеграла частями

Если функции  и их производные  непрерывны на промежутке , то формула интегрирования для определённого интеграла имеет вид:

.

Пример 9. Вычислить интеграл: 

Решение:

Ответ:

Пример 10. Вычислить интеграл: 

Решение:

Ответ:

Приближённые методы вычисления определённых интегралов

В тех случаях, когда вычислить определённый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница невозможно или сложно, используют методы приближённого интегрирования. Все они основываются на простых геометрических построениях. Очевидно, что при достаточно малом отрезке  площадь S криволинейной трапеции приближённо равна площади прямоугольника («левого» прямоугольника рис. 4а, и «правого» прямоугольника рис. 4б), трапеции (рис. 5) или параболы (рис. 6).

Запишем следующие приближённые равенства:

Чтобы добиться большей точности при нахождении площади S, промежуток от  разбивают на n равных частей (рис. 7) (при приближении параболами промежуток разбивают на 2n частей).

Если для каждой из маленьких дуг использовать предыдущие приближения, то для всей площади S получим приближённое значение представленное в виде суммы площадей криволинейных трапеций:

Первые две формулы носят названия формул «левых» и «правых» прямоугольников соответственно, третья — формулы трапеции, а последняя — формулы Симпсона.

Пример 11. Вычислить по формулам прямоугольников и трапеций  при n=10.

Решение: Разделим отрезок [0; 1] на (n=10) заданное количество частей. Тогда составим таблицу значений подынтегральной функции в точках разбиения.

По формуле «левых» прямоугольников имеем:

По формуле «правых» прямоугольников имеем:

По формуле трапеции получим:

Для достижения большей точности число разбиений отрезка необходимо увеличить, например взять n=20.

Практическое применение определённого интеграла

С помощью определённого интеграла можно решать задачи физики, механики и т. д., которые тяжело или невозможно решить методами элементарной математики. Так, понятия определённого интервала используют при решении задач на вычисление площади фигур, работы переменной силы, давления на вертикальную поверхность, пути, пройденного телом и ряда других. Рассмотрим некоторые из них.

Вычисление площадей плоских фигур

Если фигура Ф является криволинейной трапецией, то её площадь S_ф согласно геометрическому содержанию определённого интеграла равна:

Если фигура Ф  не является криволинейной трапецией, то вычисления её площади сводится к одному из следующих случаев:

а) кривая у=f(х)<0 на ,

в этом случаи площадь можно вычислить по формуле:

б) если f(х)= 

в этом случаи для нахождения площади фигуры находят точку с, как абсциссу точки перегиба графиков функций  а площадь вычисляют по формуле:

 

в) если фигура ограничена двумя кривыми у=f₁(х) и у=f₂(х), (),

в этом случаи площадь S_ф находят по формуле:

Пример 12. Вычислить площадь фигуры, ограниченную гиперболой ху=1, осью ОХ и прямыми х=1; х=е (рис. 11).

Решение: Использовав формулу вычисления площади криволинейной трапеции, получаем:

Ответ: S=1 кв. ед.

Пример 13. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями у=х² и у²=х (рис. 12).

Решение: найдём пределы интегрирования, то есть абсциссы точек перегиба графиков функций у=х² и у²=х. Для этого решим систему:

Вычисление площади фигуры сводится к случаю в)  поэтому

Ответ: S_ф = 1/3 кв. ед.

Пример 14. Вычислить площадь фигуры ограниченной параболами у=4-х²; у=х²-2х (рис. 13).

Решение: Найдём границы интегрирования, то есть абсциссы точек перегиба графиков функций у=4-х² и у=х²-2х. Для этого решим систему:

Искомую площадь вычисляем по формуле

Ответ: S=9 кв. ед.

Объём тела вращения

Объём тела, образованного вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции , ограниченной непрерывной кривой у=f(х), (где ),  отрезком  оси ОХ и отрезками прямых  и  (рис. 14), вычисляется по формуле:

Пример 15. Вычислить объём шара радиусом R (рис. 15).

Решение: Шар образован вращением вокруг оси ОХ круга, ограниченного кругом х²+у²=R² с центром в начале координат и радиусом R.

Учитывая симметрию круга относительно оси ординат, сначала найдём половину искомого объёма:

Ответ:  (куб. ед.).

Путь, пройденный точкой

Если точка движется прямолинейно и её скорость  является известной функцией времени, то путь, который прошла точка за промежуток времени , вычисляется по формуле:

Пример 16. Тело движется прямолинейно со скоростью  Найти путь, пройденный телом за 10 с.

Решение: Используя формулу находим:

.

Ответ: S = 250 (м).

Пример 17. Скорость тела, которое движется прямолинейно равна   Вычислить путь, который прошло тело от начала движения до остановки.

Решение: В момент остановки скорость тела равна нулю, то есть

Следовательно, тело остановится через 4 с.

Путь, который прошло тело за это время, вычисляем по формуле:

Ответ: 

Работа силы.

Если переменная силы F=F(x) действует в направлении оси ОХ, то работа силы на отрезке  вычисляется по формуле:

Пример 18. Вычислить работу силы, которая необходима при сжимании пружины на 0,08 м., если для сжимания её на 1 см., необходима сила 10Н.

Решение: Согласно закона Гука, сила F, которая растягивает или сжимает пружину на х метров, равна F=kх, где k — коэффициент пропорциональности.

Следовательно, 10=k*0.01, то есть k=1000, отсюда F=kx=1000x.

Искомую работу находим по формуле:

Ответ: А= 3,2 (Дж).

Пример 19. Сила 196,2Н растягивает пружины на 18 см. Какую работу она выполняет?

Решение: Согласно закона Гука F=kx, отсюда  F = 1090х. Находим искомую работу:

Ответ: А=17,7 (Дж).

Пример 20. Для сжатия пружины на 3 см. необходимо выполнить работу в 16 Дж. На какую длину можно сжать пружину, выполнив работу в 144 Дж.?

Решение: Согласно закона Гука, F=kx; тогда

Ответ: Пружину можно сжать на 9 см.

Сила давления жидкости

Сила давления Р жидкости плотностью р на вертикальную пластину, погружённую в жидкость, вычисляется по формуле:

Где  ускорение свободного падения, S — площадь пластинки, а глубина погружения пластинки меняется от a до b.

Пример 21. Вычислить силу давления воды на одну из стенок аквариума, длиною 30 см. и высотою 20 см.

Решение: Стенка аквариума имеет форму прямоугольника, поэтому S=0,3х, где . Плотность воды равна 1000 кг/м³. Тогда сила давления воды на стенку аквариума, вычисляется по формуле:

Ответ: Р=58,86 (Н).

Пример 22. Вычислить силу давления бензина на стенки цилиндрического бака высотой 3 м. и радиусом 1 м. 

Решение: Площадь поверхности стенки цилиндрического бака , где . Плотность бензина — 800 кг/м³. Тогда сила давления бензина на стенки бака будет:

Ответ: Р= 2,2*10⁵ (Н).

Пример 23. Вычислить давление воды на погружённую в неё вертикальную треугольную пластину, с основанием 6 м. и высотой 2 м., считая, что вершина треугольника лежит на поверхности воды, а основание параллельно ей (рис. 16).

Решение: Пусть NM — ширина пластины на уровне BE=х. Из схожих треугольников ABC и MBN, находим

Использовав формулу получаем:

Ответ: Р = 78480 (Н).

Несобственные интегралы

Интегралы с бесконечными границами интегрирования или от функций, которые имеют бесконечный разрыв называют несобственными.

Несобственные интегралы с бесконечными границами интегрирования определяют следующим образом:

где с — произвольное действительное число.

Несобственные интегралы от функций с бесконечными разрывами также вычисляют через предельный переход.

Если функция разрывная на одном конце отрезка интегрирования, например, в точке х=b, то

если же функция f(х) имеет безграничный разрыв в точке х=с, где  и непрерывна во всех других точках этого промежутка, то

Если приведённые выше пределы существуют для конкретного интеграла, то его называют сходящимся, если же предела не существует — расходящимся.

Поскольку вычисление пределов — трудоёмкая работа, то иногда для вычисления схожести несобственного интеграла можно воспользоваться признаком схожести:

Признак схожести: Пусть  Тогда, если  сходящийся, то и  будет сходящимся.

Геометрически, в прямоугольной системе координат, несобственный интеграл — это площадь криволинейной трапеции с бесконечной основой либо «незакрытой» сверху.

Пример 1: Вычислить интеграл 

Решение: Это несобственный интеграл с верхней границей равной . Согласно определения

Следовательно, интеграл сходящийся.

Пример 2: Вычислить интеграл 

Решение: Это несобственный интеграл, так как функция  неопределённая в точке х=0 и . Согласно определениям

Вычислим  частями:

Ответ:

История определенного интеграла

Интегральный расчет получен в результате определения площади и объема. Эмпирически обнаруженные правила измерения площади и объема некоторых простейших фигур были известны древним восточным ученым. Уже в 2000 году до нашей эры. Египтяне и вавилоняне, в частности, знали правила расчета площади круга и расчета объема усеченной пирамиды на основе квадрата. Древнегреческая наука значительно продвинула расчет площади и объема различных фигур. Особенно значительный вклад внес Архимед. Архимед обнаружил множество человеческих территорий и значительное количество объемов тела, основываясь на идее, что плоская фигура состоит из бесчисленных прямых линий, а геометрическое тело состоит из бесчисленных параллельных плоских частей.

Архимед (287-212 до н.э.) — древнегреческий математик, физик, астроном и изобретатель. Родился в Сиракуз (Сицилия) и жил во времена Первой и Второй Поенских войн. Архимед является автором многих технических изобретений. Ирригационные машины с нулевой точкой, подъемные механизмы (винты Архимеда), рычажные системы, блоки для подъема тяжелых предметов, военные метательные машины. Его метательная машина заставила римлян отказаться от попыток совершить набег на город и заставить их пойти на осаду.

Математические исследования Архимеда намного опередили свое время и были правильно оценены только в эпоху исчисления. Архимед вычислил площадь эллипса, параболы и осколков из сегментов и нашел площадь поверхности и шара, сегмент шара и сферы, а также объем различных вращающихся тел и их сегментов. Он также относится к понятию центра тяжести тела, находит положение центра тяжести различных людей и тел и дает математический вывод закона биений. Архимед, как сообщается, находит решение проблемы определения количества золота и серебра в короне жертвоприношения короля Сиракузы Иерона во время омовения и крика «Эврика!» Его величайшим достижением в астрономии было создание планетария — полой вращающейся сферы, которая могла наблюдать Солнце и пять планет, фазы Луны, а также движение Солнца и лунное затмение.

Архимед был убит римским солдатом во время захвата Сиракузы. Согласно легенде, он сталкивался со словами «Не трогай мою фотографию». На могиле Архимеда был установлен памятник с изображением шара и цилиндра вокруг него. Надпись показала, что эти объемы тела i, i называются двумя.

Систематическое развитие подобные представления получили значительно позже — лишь в веке.

Теорема Архимеда о том, что площадь круга равна площади треугольника с основанием, равным окружности, и высотой, равной радиусу, I. Площадь круга состоит из бесконечного числа треугольников, которые в совокупности равны одинаковой высоте, радиусу и треугольнику, основание которого равно сумме всех оснований, окружности.

Кеплер (Kepler) Йохан (1571-1630) — немецкий астроном и математик. Родился в Вайль-дер-Штадт (Вюртемберг, Германия). Обрабатывая наблюдения датского астронома Г. Врага, он установил три закона движения планет. Он изложил теорию солнечных и лунных затмений, их причины и методы прогнозирования. Изобрел самый легкий телескоп. Это до сих пор называют его именем. Он нашел 92 вращающихся тела как оригинальный метод интеграции.

Используя такие рассуждения, Кеплер нашел объем многих новых революционных тел. Закон Кеплера, известный в астрономии, также был фактически получен с использованием приближенного интегрирования.

Удивительно остроумный трюк Архимеда. Но Кеплер и другие ученые не были строгими, и, самое главное, в принципе, они обладали свойством геометрического преобразования.

Кавальер и, Торричелли, Ферма, Паскаль и другие ученые века еще больше приблизились к современным представлениям об интеграле. Барроу установил связь между задачей о разыскании площади и задачей о разыскании касательной. А И. Ньютон и Г. Лейбниц независимо друг от друга в 70-х годах века отделили эту связь от упомянутых частных геометрических задач и создали алгоритмы дифференциального и интегрального исчислений.

И. Ньютон открыл взаимность операций дифференциации и интеграции. Он отметил, что все задачи нового анализа сводятся к двум взаимно противоположным задачам, которые можно сформулировать с точки зрения механики: 1) Использование известного пути к скорости в определенный момент 2) определите путь, пройденный в конкретное время по известной скорости движения. В данном случае «время» понималось просто как общее обсуждение всех переменных. Он также вводит понятие дифференциации. И. Ньютон намечает программу построения анализа на основе учения о пределе, не давая впрочем формального определения этого понятия, получившего глубокое развитие в математике века.

Г. Лейбниц использует нотацию для выражения определенных различных способов вычисления площадей и получения касательных в единую систему взаимосвязанных аналитических концепций и для бесконечного отслеживания действий определенных алгоритмов. Это может быть выполнено. Кроме того, различие в основном понималось как небольшая разница между двумя смежными значениями величины (поэтому символ -первая буква латинского слова (дифференция) — разница и отношение производной к производной) кривой считалась многоугольником с бесконечно большой бесконечно малой стороной, касательной в виде прямой линии, следующей за одной из таких сторон. Г. Лейбниц ввел понятие интегрирования как сумму бесконечного числа производных. Следовательно, Г. Основной концепцией анализа Лейбница была дифференциация как дифференциал и интеграция как сумма.

Дальнейшее развитие методы интегрирования получили в и веках. В веке в работах Л. Эйлера были найдены практически все известные в настоящее время приемы интегрирования в элементарных функциях. В веке О. Коши он аналитически доказал существование интегралов от непрерывных функций, реконструированных производных и интегральных вычислений и построил концепцию пределов функций в качестве основы для них.

Дальнейшее обобщение концепции интеграции связано с немецким ученым Б. Риманом и французским ученым А. Лебегом.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Определенный интеграл в математике

Пусть на отрезке задана функция Проделаем следующие 5 операций над отрезком и функцией

1. Раздробим отрезок на частей при помощи точек где

Для единообразия обозначений положим еще Наибольшую из разностей где мы обозначим через . Эта величина, характеризующая, насколько мелко раздроблен отрезок

называется рангом произведенного дробления.

2. На каждом отрезке выберем по точке и вычислим значение нашей функции в этой точке.

3. Умножим на длину отрезка

4. Сложим все полученные произведения, т. е. составим сумму

Эта сумма носит название интегральной суммы или суммы Римана (по имени немецкого математика 19-го века, изучавшего такие суммы).

5. Будем измельчать произведенное дробление, заставляя стремиться к нулю. Во многих случаях при этом измельчении сумма Римана будет стремиться к некоторому конечному пределу не зависящему ни от способа, каким выбираются точки деления ни от того, как выбираются промежуточные точки

Этот предел

и называется определенным интегралом от функции по промежутку Он обозначается символом

Числа называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок — промежутком интегрирования. Таким образом Определенный интеграл есть конечный предел суммы Римана при стремлении к нулю ранга дробления, порождающего эту сумму

Так как определенный интеграл есть предел некоторой переменной величины, а вовсе не всякая переменная имеет предел, то не у всякой функции существует определенный интеграл. Однако справедлива важная

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке то интеграл

существует.

Эту теорему мы примем без доказательства. В дальнейшем будут рассматриваться, главным образом, функции непрерывные, хотя справедлива и более общая

Теорема. Интеграл существует, если кусочно непрерывна.

Понятие .кусочно непрерывной* функции легко разъяснить на простом примере. Пусть функция задана и непрерывна на а функция на Тогда функция совпадающая с при и при (чему равно безразлично), как бы состоит из двух непрерывных кусков (рис. 199). Такая функция и называется .кусочно непрерывной*. Она может состоять и из нескольких непрерывных кусков. Все же, если не будет оговорено противное, подынтегральные функции будут предполагаться непрерывными.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Геометрический смысл интеграла

Пусть — положительная непрерывная функция, заданная на отрезке

Заметим, что дробление, т. е. набор точек деления не полностью определяет сумму Для задания нужно указать еще промежуточные

точки

Рассмотрим (рис. 200) фигуру, ограниченную снизу осью сверху линией (т. е. графиком нашей функции), а с боков прямыми Если бы линия

была прямой, то наша фигура представила бы собой обыкновенную трапецию. В общем же случае эта фигура называется криволинейной трапецией.

Найдем площадь этой криволинейной трапеции. Для этого разложим отрезок на малых отрезков точками

Если через точки деления провести прямые то они разрежут нашу криволинейную трапецию (рис. 201) на узких полосок. Каждую из этих полосок можно приближенно принять за прямоугольник. В самом деле, если бы функция в пределах отрезка была постоянной, то полоска, имеющая своим основанием этот отрезок, и в самом деле была бы прямоугольником. В действительности не будет постоянной на но благодаря своей

непрерывности эта функция не успевает заметно измениться на если только этот отрезок весьма мал. Иными словами, почти постоянна на отрезках когда эти отрезки малы, а это и значит, что упомянутые полоски почти являются прямоугольниками (один такой прямоугольник заштрихован на рис. 201). Принимая за значение на всем ее значение в какой-нибудь точке этого отрезка (выбор этой точки безразличен, поскольку речь все равно идет о приближенном подсчете, а все точки отрезка равноправны), получаем, что высотой прямоугольника, за который мы принимаем нашу полоску, будет

Поскольку длина основания этого прямоугольника, очевидно, равна то площадь одной полоски приближенно равна произведению Отсюда для интересующей нас площади всей криволинейной трапеции получается приближенное равенство

Из самого вывода ясно, что точность этого равенства тем выше, чем меньше отрезки т. е. чем меньше ранг дробления Но тогда точное значение площади будет пределом написанной суммы при

Поскольку, однако, сумма (8) является суммой Римана, то по самому

определению ее пределом при

служит интеграл

Таким образом мы приходим к формуле

Читая ее справа налево, выясняем

Геометрический смысл интеграла.

Если

непрерывна и положительна на то интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями

Интеграция может быть использована для поиска областей, объемов, центральных точек и многих полезных вещей. Но это часто используется, чтобы найти область под графиком функции

Примеры с решением

Пример 1:

Найти

Решение:

Фигура, ограниченная линиями (рис. 202), есть обыкновенная трапеция. Ее площадь равна полусумме оснований, умноженной на высоту:

откуда

Пример 2:

Найти

Решение:

Линия есть расположенная выше половина окружности Та часть линии, которая получается при изменении лежит в 1-м координатном угле. Отсюда ясно, что фигура, ограниченная линиями является (рис. 203) четвертью круга с центром в начале координат и радиусом Площадь этой фигуры равна откуда

Сейчас мы еще не научились вычислять определенные интегралы, я в этих примерах нам пришлось прибегнуть к помощи геометрии. В дальнейшем, наоборот, с помощью интегрального исчисления мы сможем вычислять площади различных криволинейных фигур *).

Два простейших свойства интеграла. Когда мы занимались неопределенными интегралами, то отмечали, что

Таким образом, в записи подынтегральной функции и в записи результата интегрирования независимая переменная обозначалась одной и той же буквой. Стало быть, обозначение этой независимой переменной, которую называют переменной интегрирования, оказывалось существенным .

Это становится ясным, если мы вспомним хотя бы, как вычисляетсяинтеграл Ведь его надо записать сначала в виде а затем в виде Значит, Таким образом, нам совсем не безразлично, написать ли (что верно) или (что уже неверно!).

I. Обозначение переменной интегрирования в определенном интеграле никакой роли не играет

Читатель сразу поймет это, если задаст себе вопрос: который из двух интегралов

Больше? Ясно, что они одинаковы! Более отчетливо мы разберемся в этом, если заметим, что для вычисления любого из интегралов мы должны разбить отрезок [3, 5] на мелкие части, в каждой части выбрать по точке и вычислить в ней значение подынтегральной функции (а она в обоих интегралах одна и та же: удвоенный куб аргумента, сложенный с самим аргументом) и т. д. Иными словами все вычисления в обоих случаях будут тождественными. Также обстоит дело и в более общем случае интегралов чем и доказано формулированное свойство чем и доказано формулированное свойство I определенного интеграла.

Переходя к другому важному его свойству, заметим, что в выражении

мы предполагали Что же следует понимать под символом

На этот вопрос легко ответить, если вспомнить геометрический смысл интеграла. В нашем случае боковые стороны криволинейной трапеции сливаются в одну прямую и трапеция вырождается в прямолинейный отрезок (рис. 204). Площадь этого отрезка равна нулю, а потому и

т.е.

Определенный интеграл с совпадающими пределами интегрирования равен нулю.

Например,

Понятие определенного интеграла

Рассмотрим непрерывную функцию не принимающую отрицательных значений, так что график ее целиком лежит выше оси в некоторых точках. Пусть такие числа, что функция определена при Кривая и прямые ограничивают некоторую область плоскости, называемую областью под кривой от

или криволинейной трапецией.

Если требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, то можно, например, покрыть плоскость сетью мелких квадратов и сосчитать число квадратов, лежащих внутри нашей области (рис. 12.1). Это не дает еще всей площади, поскольку некоторые из квадратов лежат частично внутри, а частично вне рассматриваемой области. Но если сделать сеть достаточно густой. то можно вычислить с любой степенью точности.

Можно вычислить площадь криволинейной трапеции и с помощью тонких прямоугольников. Лейбниц считал, что криволинейная трапеция составлена из бесконечно тонких прямоугольников (рис. 12.2). Каждый такой прямоугольник поднимается над точкой интервала он имеет высоту и бесконечно

Малую ширину площадь ого равна, следовательно, Общая же площадь есть сумма всех таких площадей.

Напомним, Лейбниц писал Символ означал у него сумму. Этот символ происходит от удлинения буквы

(первой буква слова Summa). Погаже ученик Лейбница Иоган Вернул-ли предложил отличат!» «целостную сумму бесконечно малых» от обычной суммы и предложил знак именовать интегралом от латинского слова integrals (целостный). Фурье усовершенствовал обозначение Лейбница, предложив явно указывать начальное и конечное значения

Рассуждения математиков XIX века носили нестрогий характер. Термин бесконечно малая величина не был достаточно строго определен, что приводило к противоречиям. Строгое определение основано на понятии предела и интегральной суммы. Оно вобрало в себя качественный смысл определения Лейбница и устранило нечеткость формулировок.

Пусть функция неотрицательна на Разобьем отрезок на промежутков точками

На каждом отрезке разбиения выберем точку и положим

Тогда произведение равно площади прямоугольника ,-со сторонами

Сумма площадей всех таких прямоугольников равна сумме вида

Эта сумма представляет площадь ступенчатой фигуры. Чем уже ступеньки, тем ближе площадь ступенчатой фигуры к площади криволинейной трапеции (рис. 12.2). Естественно ожидать, что при неограниченном возрастании числа промежутков, так что наибольшая из их длин стремится к нулю, сумма стремится к площади криволинейной трапеции

Введем теперь точное определение. Пусть на отрезке задана функция (теперь уже не обязательно неотрицательная). Разобьем отрезок на промежутков точками

На каждом отрезке разбиения выберем точку и положим

Сумму вида

назовем интегральной суммой для функции Очевидно, что интегральная сумма зависит от способа разбиения отрезка точками так и от выбора точек на каждом из промежутков разбиения Обозначим через максимальную из длин отрезков где

Определение. Пусть предел интегральной суммы

при стремлении к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции на и обозначается

а сама функция называется интегрируемой на отрезке т.е.

Эта запись читается: «интеграл от а до бэ эф от икс дэ икс». При этом число называется нижним пределом, число его верхним пределом («пределы интегрирования» не имеют ничего общего с термином «предел функции»); функция подынтегральной функцией, выражение подынтегральным выражением, а задача о нахождение интегрированием функции на отрезке

Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы существенно различные понятия. Неопределенный интеграл представляет функцию (а точнее семейство функций), а определенный интеграл — это число.

Из определения следует, что величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т. е.

Верхний предел может быть больше или меньше нижнего

В первом случае

Во втором случае

Поэтому по определению полагают

Понятие определенного интеграла распространяют и на случай интеграл с равными пределами считается равным нулю:

Это соглашение оправдано тем, что интегральная сумма стремится к нулю при сближении

Очевидно, если функция интегрируема на отрезке то она и ограничена на этом отрезке. В самом деле, если не ограничена на отрезке то она не ограничена на некотором отрезке За счет выбора точки

интегральную сумму можно сделать сколь угодно большой, а такая интегральная сумма не имеет конечного предела, что противоречит определению, согласно которому предел интегральной суммы существует и конечен.

Покажем на примере функции Дирихле, что обратное утверждение неверно: существует ограниченная функция, не являющаяся интегрируемой. Напомним, что функция Дирихле равна единице в рациональных точках и нулю — в иррациональных. На любом отрезке эта функция ограничена, но не является интегрируемой на нем. Действительно, если в каждом отрезке выбрать рациональную точку то интегральная сумма

Если выбрать иррациональную точку то и

Таким образом, с одной стороны а, с другой стороны

Поэтому предел интегральных сумм не существует и функция Дирихле не является интегрируемой.

Отметим без доказательств, что справедливы следующие утверждения:

1. Если функция интегрируема на отрезке то она интегрируема на любом отрезке содержащимся в

2. Если функция непрерывна на отрезке то она интегрируема на этом отрезке.

3. Если функция имеет на отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то она интегрируема на

Пример 3:

Вычислить

Решение. Запишем выражение для интегральной суммы, предполагая, что все отрезки разбиения имеют одинаковую длину равную где число отрезков разбиения, причем для каждого из отрезков , разбиения точка совпадает с правым концом этого отрезка, т.е где (В силу интегрируемости функции выбор такого «специального» способа разбиения отрезка интегрирования на части и точек , на отрезках разбиения не повлияет на искомый предел интегральной суммы.) Тогда

Известно, что сумма квадратов чисел натурального ряда равна

Следовательно,

Анализ приведенного примера показывает, что успешное решение поставленной задачи оказалось возможным благодаря тому, что интегральную сумму удалось привести к виду, удобному для нахождения предела. Однако такая возможность существует далеко не всегда, поэтому долгое время задача интегрирования конкретных функций оставалась задачей чрезвычайно сложной.

Пример 4:

Вычислить:

Решение:

а) Произвольная первообразная для функции имеет вид Для нахождения интеграла 3 по формуле Ньютона—Лейбница возьмем такую первообразную, у которой (см. замечание выше). Тогда

что совпадает, конечно, с результатом, полученным в примере 11.1.

б) Первообразную подынтегральной функции найдем, используя формулу (10.9). Применяя формулу Ньютона—Лейбница, получаем При нахождении интеграла из примера 11.26 было использовано свойство приращения первообразной

где- некоторое число.

Заметим,что введеное ранее определение (11.2) и его следствие (11.3) согласованы с формулой Ньютона-Лейбница. Действительно,

и

Таким образом, и при применении формулы Ньютона-Лейбница несущественно, какой из пределов интегрирования больше: верхний или нижний.

Пример 5:

Вычислить

Решение:

Положим Тогда

Если то

Следовательно

Рассмотрим теперь, как выполняется интегрирование по частям в определенном интеграле.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Пусть неотъемлемая функция определена и непрерывна на отрезке где и — конечные числа.            

Задача о нахождении площади криволинейной трапеции

Пусть плоская фигура ограничена графиком функции осью вертикальными прямыми (рис. 23.1). Эта геометрическая фигура называется криволинейной трапецией для функции на отрезке    

Рис. 23.1

Необходимо определить ее площадь.
Для решения задачи выполним следующее:

1) разобьем отрезок произвольно образом на частей точками:

2) выберем на каждом из частичных отрезков произвольную точку

Длину частичного отрезка обозначим через

3) вычислим значение функции в точках и составим сумму произведений этих значений с длинами частичных отрезков:

Сумма называется интегральной суммой для функции на отрезке Геометрический смысл этой суммы очевиден — это сумма площадей прямоугольников с основами и высотами

4) найдем границу при условии, что и наибольшая (максимальная) длина частных отрезков стремится к нулю.

Если существует конечный предел интегральной суммы при условии, что при то ее принимают за числовое значение площади криволинейной трапеции для на

Задача об определении пройденного пути материальной точки

Задача об определении пройденного пути материальной точки за промежуток времени от до Пусть скорость прямолинейного движения материальной точки задана как функция времени Необходимо найти путь, который пройдет точка за промежуток времени от до

Если скорость не изменяется в течение времени, то есть — постоянная величина, то путь  пройденный точкой за промежуток времени вычисляется по формуле

При переменной скорости совершаем те же действия, что и в предыдущей задаче:

1) разобьем отрезок в частичных промежутков времени точками:

2) выберем на каждом из частичных отрезков времени произвольную точку

3) вычислим значения скорости в точке  то есть на каждом отрезке времени и определим путь пройденный точкой за промежуток времени как произведение тогда весь путь, пройденный за время приближенно определяется интегральной суммой для функции на отрезке

4) найдем границу интегральной суммы при и при

Если существует конечный предел интегральной суммы (при условии — при ), то ее и принимают за числовое значение пути пройденного материальной точкой за промежуток времени

Задача о нахождении объема продукции

Пусть функция  описывает зависимость производительности труда некоторого производства от времени Необходимо найти объем продукции произведенной за промежуток времени

Если производительность не меняется в течение времени, то есть — постоянная величина, то объем продукции произведенной за промежуток времени вычисляется по формуле При переменной производительности труда, используя приближенную равенство где которая будет тем более точной, чем меньше будет выполним следующие действия:

1) разобьем отрезок на промежутки времени точками:

2) выберем на каждом из отрезков произвольную точку

3) вычислим производительность труда в каждой точке то есть  для каждого промежутка времени; определим объем продукции произведенной за время как произведение если на каждом промежутке времени считать производительность труда постоянной величиной; тогда полный объем продукции приближенно определяется как интегральная сумма для функции на отрезке

4) найдем границу если стремится к нулю и и получим объем продукции, произведенной за промежуток времени

Следует отметить, что при решении этих трех различных задач, были выполнены одни и те же действия, и мы пришли к одному и тому же итоге — возникает необходимость определить границу интегральной суммы.

Если существует конечный предел интегральной суммы для функции на отрезке найденная при условии, что при неограниченном возрастании числа точек разбиения которая не зависит ни от способа разбиения отрезка на части, ни от выбора точек то эта граница называется определенным интегралом функции на отрезке и обозначается Следовательно,

где — пределы интегрирования ( — нижняя, — верхняя)

 — подынтегральная функция;

 — дифференциал переменной интегрирования;

 — подынтегральное выражение.

Теорема 23.1 (о существовании определенного интеграла). Если функция непрерывна на отрезке или ограничена на нем и имеет конечное число точек разрыва первого рода, то существует конечное предел интегральной суммы, и она не зависит ни от способа разбиения отрезка на части, ни от выбора точек внутри них для составления интегральной суммы, то есть существует определенный интеграл от функции

Теорема существования определенного интеграла примем без доказательства.
Соответственно, функция для которой на отрезке существует определенный интеграл, называется интегрируемой на этом отрезке.

Вернемся к первой из рассмотренных задач и приведем геометрический смысл определенного интеграла: если функция неотъемлемая на конечном отрезке где  то определенный интеграл

численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой отрезком и прямыми и

Основные свойства определенного интеграла

Поскольку по определению определенный интеграл является границей интегральной суммы, то доказательства его свойств базируется на свойствах границ с привлечением, для наглядности и лучшего понимания, геометрического содержания определенного интеграла.

1 (о интеграл с равными пределами интегрирования). Для любой интегрируемой функции определенный интеграл с равными пределами интегрирования равен нулю:

ведь криволинейная трапеция вырождается в вертикальный отрезок.

2 (об изменении знака). Если функция интегрируема на то имеет место формула

то есть, если поменять местами пределы интегрирования, то определенный интеграл изменит свой знак на противоположный.

Действительно, в интегральной сумме приросты меняют знак на противоположный.

3 (о стабильном множителе). Если функция интегрируема на то постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

поскольку как общий множитель слагаемых интегральной суммы можно вынести за знак суммы и, соответственно, за знак границы.

4 (о определенном интеграле от суммы функций). Если функции и интегрируемые на то интеграл от их суммы или разности равна соответственно сумме или разности интегралов от этих функций:

Справедливость (23.11) следует из того, что интегральную сумму левой части равенства можно представить в виде алгебраической суммы двух интегральных сумм:

а по свойству границы суммы функций и получаем (23.11).

Свойство распространяется на любое конечное число слагаемых.

5 (о аддитивности). Если отрезок интегрирования разбит на две части, то определенный интеграл на равна сумме интегралов на этих частях:

так как по геометрическим содержанием таком разбивке соответствуют две криволинейные трапеции, сумма площадей которых равна площади выходной трапеции.
Свойство распространяется на любое конечное число частей разбиения.

6 (о переходе к определенному интегралу в неровностях). Если на отрезке интегрирования значения функций и связанные неравенством то такой же, по знаку, неравенством связаны определенные интегралы от этих функций :

Действительно, при одном и том же разбиении отрезка на части слагаемые интегральной суммы для и будут связаны тем же знаком неравенства, и те же функции, а предельный переход не изменит знака неравенства.

7 (о границах значений определенного интеграла). Если и — наибольшее и наименьшее значения функции то есть и  то

Если функция определена и непрерывна на отрезке то среди ее значений на этом отрезке существуют меньше и больше то есть (рис. 23.2). Тогда (23.14) можно рассматривать как следствие свойства (23.13), а именно:

при этом

тогда

и свойство доказано.

Если доводить это свойство по геометрическим содержанием определенного интеграла (рис. 23.2), то площадь криволинейной трапеции, которая соответствует определенному интегралу, не может быть меньше (больше) за площадь прямоугольника с основанием высота которого, соответственно, наименьшим (крупнейшим ) значением функции на

Рис. 23.2

8 (теорема о среднем). Если функция непрерывна на отрезке то на нем найдется такая точка что:

Таких точек на промежутке может быть несколько.
Отношение определенного интеграла от функции на отрезке к длине отрезка интегрирования называется средним значением функции:

С геометрической точки зрения теорема о среднем (рис. 23.3) означает, что площадь под кривой на отрезке интегрирования равна площади прямоугольника с высотой и основой 

Рис. 23.3

Связь между определенным и неопределенным интегралами

Если функция интегрируема на отрезке то она интегрируема и на отрезке  где Интеграл от такой функции также является функцией от и называется интегралом с переменным верхним пределом интегрирования. Обозначим его через

В этом выражении переменная интегрирования обозначена буквой чтобы отличить ее от верхней границы интегрирования. Численно функция равна площади криволинейной трапеции, основой которой является промежуток

Теорема 23.2. Если функция непрерывна на отрезке то в каждой точке   производная от функции по переменным верхним пределом равна подынтегральной функции от верхней границы интегрирования, то есть:

Доказательство. Для доказательства этой теоремы применим определение производной.
По условию функция непрерывна на отрезке поэтому она непрерывна и на любом отрезке Предоставим аргумента прирост  тогда и функция также получит некоторый прирост

Последний интеграл было получено с помощью свойства 5 определенного интеграла. Поскольку

то применяя на отрезке теорему о среднем (23.15), получим:

где 

Переходя к пределу при а также ввиду того, что при этом и получим:

Равенство значит, что функция является первоначальной для функции на отрезке Следовательно, с теоремы 23.2 следует важное следствие: для всякой непрерывной на отрезке функции существуют первобытные на этом отрезке, одной из которых является определенный интеграл с переменным верхним пределом. Поэтому согласно определению неопределенного интеграла в семье первичных имеем:

Формула (23.19) описывает связь между определенным и неопределенным интегралами: неопределенный интеграл является суммой определенного интеграла с переменным верхним пределом и произвольной действительной постоянной.

Формула Ньютона-Лейбница

Теорема 23.3 (основная формула интегрального исчисления). Если функция интегрируема на отрезке то определенный интеграл от  является разницей значений любой из ее первоначальных функций в точках и

Формула (23.20) для вычисления определенного интеграла называется формулой Ньютона-Лейбница

Доказательство основывается на соотношении (23.19), которое позволяет любую первоначальную функции на отрезке записать так: . Последнее равенство будет справедливой при соответствующем выборе постоянной для всех значений

Подставляя вместо поочередно и  получаем (23.20):

Отметим, что поскольку все первоначальные отличаются друг от друга только константой, то разница не зависит от выбора

Для обозначения прироста первоначальной на отрезке вводят символ двойной подстановки который удобно использовать при решении примеров:

Заметим, что именно формула Ньютона-Лейбница отображает тесная связь между неопределенным и определенным интегралами. По этой формуле вычисления определенного интеграла сводится к двум шагов:

1) нахождение одной из первоначальных для на (по сути это нахождение неопределенного интеграла)
2) вычисление значений первоначальной в точках, соответствующих границам интегрирования и определение разницы между ее значениями на верхней и нижней границах.

Вычислим определенный интеграл: 

Обычно шаги 1), 2) осуществляют одной цепочкой:

Методы вычисления определенного интеграла

При вычислении определённых интегралов используются методы непосредственного интегрирования, замены переменной (подста-. новки) и интегрирования по частям. Непосредственное интегрирование предполагает сведение данного интеграла с помощью алгебраических и арифметических преобразований к формулам таблицы основных интегралов и использование формулы Ньютона-Лейбница.

Непосредственное определенное интегрирование

Поскольку вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница предполагает сначала взятия неопределенного интеграла, а затем выполнение арифметических действий, то это означает, что принципиальных различий в методах нахождения неопределенного и вычисления определенного интегралов нет, следовательно, непосредственное вычисление определенного интеграла предусматривает непосредственное неопределенное интегрирование (нахождение одной из первоначальных).

Вычислим интеграл 

Вычисление интеграла методом подстановки

Напомним, что существует два типа подстановок, которые используются при интегрировании с применением новой переменной: и

Пусть для определенности при вычислении интеграла проведения подстановку

Теорема 23.4 (о замене переменной в определенном интеграле). если:
1) функция и ее производная непрерывные на отрезке [, α β];
2) значение в точках и такие, что и
3) составлена функция непрерывна на то

то сравнивая результаты интегрирования по переменным и получаем справедливость (23.22).

Подстановка в случае существования обратной к функции сводится к рассматриваемой:

Отметим, что при вычислении определенного интеграла методом подстановки нет необходимости возвращаться к исходной переменной, вместо этого нужно находить пределы интегрирования по новой переменной.

Вычислим определенные интегралы:

Интегрирования по частям в определенном интеграле

Рассмотрим случай, когда при вычислении определенного интеграла нахождения первоначальной требует применения интегрирования по частям.

Теорема 23.5 (формула интегрирования по частям для определенного интеграла). Если в определенном интеграле подынтегральное выражение представлен в виде произведения где и — дифференцируемы на отрезке функции, то выполняется соотношение:

Доказательство. Поскольку

то

Применяя к левой части последнего равенства формулу Ньютона-Лейбница, а также учитывая, что а v d ¢ x d = v, получим

отсюда окончательно имеем:

Теорема доказана.

Соотношение (23.23) называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

Если пределы интегрирования симметричны относительно нуля, то для упрощения вычислений целесообразно учитывать четности и нечетности подынтегральной функции.

Так, если — четная функция, то

а если — нечетная функция, то

Это легко обосновать, опираясь на формулу Ньютона-Лейбница.
Вычислим определенные интегралы:

Подынтегральная функция является четной, то есть  поэтому

Применение определенного интеграла в некоторых геометрических и экономических задачах

Длина дуги плоской кривой

Пусть функция является непрерывной и дифференцируемой на отрезке Найдем на этом отрезке длину линии, соответствующей графику данной функции.

Разобьем отрезок произвольным образом на частей точками разделения и впишем в дугу кривой ломаную линию (рис. 24.1) . Длиной дуги называется предел длины вписанной ломаной линии при неограниченном уменьшении длин ее звеньев.

Рис. 24.1

Пусть абсциссами вершин ломаной линии имеет значение Тогда длина одного звена ломаной согласно теореме Пифагора определяется формулой:

где 

Отсюда

На каждом частичном отрезке функция удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа, поэтому существует точка такая, что

Тогда

Длина всей ломаной линии определяется как сумма длин ее звеньев: и представляет собой интегральную сумму для сложной функции

Следовательно, длина дуги кривой, соответствующей графику функции на отрезке составляет:

Если кривая задана уравнениями в параметрической форме

то длина дуги такой кривой определяется формулой:

где и — значение параметра соответствующие концам дуги.

Наряду с хорошо известной декартовой системой координат  в которой каждой точке плоскости соответствует пара чисел — проекций точки на координатные оси, пользуются также полярной системой координат.
Зафиксируем на плоскости некоторую точку — полюс — и луч — полярную ось. Выберем произвольным образом отличную от полюса точку (рис. 24.2).

Расстояние от полюса до точки называется полярным радиусом точки

Угол наклона полярного радиуса к полярной оси называется полярным углом точки В точке полярный угол определен.

Числа и называются полярными координатами точки , и пишут: или
Полюс полярная ось и масштабный (единичный) отрезок определяют полярную систему координат

Полярный угол определяется неоднозначно: при заданном точки с координатами где совпадают. Обычно значение берут из промежутка или и называют их главными значениями полярного угла.

Уравнения является уравнением линии в полярных координатах, если координаты любой точки на линии удовлетворяют его, и наоборот, если пара чисел удовлетворяет уравнению, то и являются координатами точки, принадлежащей линии:

где — закон, который отображает свойство точек линии, и — текущие координаты точек линии.

Связь между координатами точки в полярной и декартовой (рис. 24.3) системах координат легко устанавливается, если полюс совпадает с началом декартовой системы координат, а полярная ось лежит на оси абсцисс, и масштаб систем одинаков.

Рис. 24.3

С получаем формулы перехода от декартовых к полярным координатам:

где  или 

Если дуга задается уравнением в полярных координатах:

то по формулам (24.2) и (24.4) определяем:

Следовательно, длину дуги в полярных координатах находим по формуле:

где и — значение полярного угла, соответствующие концам дуги.

Вычислить длину дуги кривой

Сначала надо установить пределы интегрирования. для этого найдем область определения данной функции, решив систему неравенств:

Далее находим производную функции

следовательно,

По формуле (24.1) имеем:

Рассмотрим пример нахождения длины дуги, если кривая заданная параметрически. Система уравнений

определяет линию, которая называется астроидом (рис. 24.4). Найдем ее длину.

Рис. 24.4

Кривая симметрична относительно осей и Следовательно, определим длину всей дуги, а именно той части, расположенной в первой четверти. Тогда параметр изменяется от до

Находим производные от и сумму их квадратов:

По формуле (24.2) получаем:

Соответственно, длина всей астроиды равна: 

Найдем длину дуги, заданной в полярных координатах уравнением Эта кривая называется кардиоидой (рис. 24.5).

Рис. 24.5

Кардиоида симметрична относительно полярной оси, поэтому найдем половину ее длины. Итак, полярный угол будет изменяться от до
Имеем:

По формуле (24.5) получаем:

Тогда длина всей линии равна: 

Вычисление площади геометрической фигуры

Вычисление площади плоской фигуры в декартовых координатах опирается на геометрический смысл определенного интеграла.

Рассмотрим несколько случаев вычисления площадей геометрических фигур.

1. По геометрическому содержанию определенный интеграл от непрерывной функции x на отрезке численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции осью и прямыми и при условии , что функция на отрезке является неотъемлемой.
То есть для имеем:

2. Если функция на отрезке неположительные (рис. 24.6), т.е. то определенный интеграл от нее также будет числом неположительные, потому что он является границей интегральной суммы, а значит сохраняет знак подынтегральной функции. Тогда для площадь криволинейной трапеции равна:

Рис. 24.6

3. Если функция на отрезке меняет знак (рис. 24.7), проходя через точки то для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком такой функции и осью  отрезок надо разбить на три промежутки  на которых знак функции остается постоянным, и применить формулы (24.7) и (24.8).
Следовательно, если функция несколько раз меняет знак на промежутке то формулы (24.7) и (24.8) можно объединить в одну:

Рис. 24.7

4. Если надо определить площадь фигуры, ограниченной кривыми по данным на отрезке  причем то эта площадь (рис. 24.8) вычисляется по формуле:

Рис. 24.8

5. Если плоская фигура ограничена графиком непрерывной на промежутке функции прямыми и осью ординат (рис. 24.9), то площадь такой фигуры вычисляется по формуле:

Рис. 24.9

Найдем площадь фигуры, ограниченной графиком функции прямой и осью (рис. 24.10).

Рис. 24.10

Устанавливаем пределы интегрирования:
Поскольку функция на отрезке неотъемлемая, то по формуле (24.7) имеем:

Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями: и (рис. 24.11).

Рис. 24.11

Промежутком интегрирования является отрезок
Поскольку подынтегральная функция на отрезке  неположительная, то по формуле (24.8) имеем:

Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями: (рис. 24.12).

Рис. 24.12

Функция на промежутке интегрирования меняет знак в точке Поэтому по формуле (24.9) имеем:

Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями: (рис. 24.13).

Рис. 24.13

Для определения границ интегрирования находим точки пересечения линий:

Откуда получаем:

Согласно формуле (24.10) имеем:

Подчеркнем, что в формуле (24.10) в роли всегда выступает функция, график которой ограничивает фигуру сверху.

6. Пусть фигура ограничена кривой, уравнение которой задано в параметрической форме, то есть зависимость задается параметрически системой уравнений

где которая определяет некоторую кривую на отрезке

Площадь фигуры, как и раньше, вычисляем по формуле (24.7), но в ней сделаем замену переменной: тогда
Следовательно,

Найдем площадь фигуры, ограниченной эллипсом (рис. 24.14), заданным параметрическими уравнениями

Рис. 24.14

Поскольку эллипс симметричен относительно осей координат, то найдем площадь -ой части площади, расположенной в первой четверти.

Определим границы интегрирования. Если изменяется от то по системе уравнений

получаем, что параметр изменяется от

Осуществляем по формуле (24.12) определено интегрирование:

Отсюда площадь всей фигуры равна:

7. Площадь криволинейного сектора

Рассмотрим в полярных координатах геометрическую фигуру, которая ограничена линией и двумя лучами где функция непрерывна при (рис. 24.15). Такую фигуру называют криволинейным сектором для на  Вычислим площадь этого сектора.

Рис. 24.15

Выполняем те же шаги, которые осуществлялись при решении задачи нахождения площади криволинейной трапеции:

1) разобьем криволинейный сектор для на произвольным образом на частей с центральными углами

2) выберем на каждом из частичных секторов произвольный луч под углом к полярной оси;

3) вычислим площадь кругового сектора радиуса с центральным углом по известной формуле: площадь криволинейного сектора на приближенно равен сумме всех

которая является интегральной суммой для сложной функции от

4) найдем границу интегральной суммы при условии, что при которая, в случае ее существования, определяет площадь криволинейного сектора:

Вычислим площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда где — положительное число (рис. 24.16).

Рис. 24.16

При чередовании от полярный радиус описывает кривую, ограничивает криволинейный сектор По формуле (24.14) имеем:

Вычисление объемов тел по известным площадям поперечных сечений

Пусть имеем некоторое геометрическое тело, для которого известна площадь любого сечения этого тела плоскостью перпендикулярной к оси (рис. 24.17). Выведем формулу для вычисления объема тела для чего составим соответствующую интегральную сумму как это делалось при определении понятия определенного интеграла:

Рис. 24.17

1) разобьем тело произвольным образом на частей (слоев) плоскостями: (на рисунке показано слой на );

2) выберем на каждом частичном промежутке произвольную точку и для каждой такой точки построим цилиндрическое тело, образующая которого параллельна оси а направляющая является контуром сечения тела плоскостью (на рисунке он не изображен)

3) вычислим объем цилиндра с площадью основания и высотой тогда объем тела на промежутке приближенно равен сумме всех частных объемов

которая является интегральной суммой для функции на промежутке

4) найдем границу интегральной суммы при условии, что при которую, в случае ее существования, принимают за объем тела по площадям поперечных сечений:

Найдем объем тела, ограниченного плоскостями и  и однополостным гиперболоидом, который задан уравнением: 

Проведем плоскость (рис. 24.18). В сечении получим эллипс:

Перейдем к каноническому уравнению эллипса:

где 

Площадь сечения находим по известной формуле площади фигуры, ограниченной эллипсом (24.13):

Следовательно, вычислим объем тела по формуле (24.15) с переменной интегрирования 

Вычисление объема тела вращения

Пусть на промежутке задана непрерывная функция Надо определить объем тела, которое образовалось при вращении криволинейной трапеции для на вокруг оси (рис. 24.19). Такое тело называется тело вращения.

Рис. 24.19

При вращении каждая точка дуги кривой описывает круг, а поперечным сечением тела вращения является круг радиуса с центром на оси площадь которого определяется по известной формуле: где

На этом основании расчетную формулу для вычисления объема тела образованного вращением криволинейной трапеции для функции на промежутке вокруг оси получим как частный случай формулы (24.15) при условии, что

Найдем объем шара радиуса Его можно рассматривать как результат вращения вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной полукругом на отрезке

Объем этого шара можно найти по формуле (24.16):

Если в соотношении для формально заменить на то получим формулу объема тела, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной линиями — функция, обратная к

Приближенное вычисление определенных интегралов

Формула Ньютона-Лейбница как основная формула интегрального исчисления является главным средством вычисления определенного интеграла, если при нахождении первоначальной не возникает трудностей. В случае, если неопределенный интеграл «не берется», то есть первоначальную нельзя представить в виде конечного числа элементарных функции, или подынтегральная функция задана графиком или таблицей, то используют приближенные формулы. Эти формулы основаны на геометрическом смысле определенного интеграла как площади криволинейной трапеции.

Формула прямоугольников

Пусть надо вычислить определенный интеграл от непрерывной на отрезке функции Согласно определению определенного интеграла построим интегральную сумму для функции

Поделим отрезок равных частей длины — точками 

Вычислим значение функции в точках а именно

Тогда площадь криволинейной трапеции, изображенной на рис. 24.23, а вместе с тем и определенный интеграл для функции на отрезке приближенно равна сумме площадей прямоугольников с высотами и основами

Рис. 24.23

Полученное выражение (24.24) называется формулой прямоугольников с высотами вычисленным на левой грани частичных интервалов.

Если высоты прямоугольников взять равными значениям функции на правой грани частичных интервалов, то формула прямоугольников иметь вид:

Поскольку для функции непрерывной на существует конечное предел интегральной суммы при и то можно утверждать, что ошибка при вычислении интеграла будет тем меньше, чем больше Абсолютная погрешность при этом вычисляется по формуле:

где

Относительная погрешность определяется как отношение абсолютной погрешности к точному значению интеграла и подается в процентах.

Формула трапеций

Рассмотрим еще один способ приближенного вычисления определенного интеграла.

Как и в предыдущем случае, отрезок делится на равных частей точками и в этих точках вычисляются значения функции (рис. 24.24). Построим прямоугольные трапеции с высотами и основами длиной и

Рис. 24.24

Каждая часть площади под кривой будет приближенно равняться площади прямоугольной трапеции со средней линией и высотой а площадь всей криволинейной трапеции для функции на отрезке приближенно равна площади под ломаной, то есть сумме площадей всех
трапеций, ограниченных сверху отрезками этой ломаной.

Соответственно, получаем:

Это и есть формула трапеций. Формула (24.26), как и в предыдущем случае, будет тем точнее, чем больше число

Можно доказать, что если функция f имеет непрерывную ограниченную производную которая удовлетворяет неравенство (где — постоянная), то для формул прямоугольников и трапеций абсолютная погрешность определяется неравенством:

Для функций, которые имеют ограниченную вторую производную (где — постоянная), для абсолютной погрешности имеет место такая оценка:

Формула Симпсона

Поделим отрезок на четное число одинаковых частей (рис. 24.25). Функцию на отрезке заменим параболой которая проходит через точки  и с осью симметрии, параллельной оси

Рис. 24.25

Аналогичные параболы строим и для всех остальных пар частичных отрезков.
Сумма площадей криволинейных трапеций, ограниченных параболами, и даст приближенное значение интеграла.

Покажем, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху параболой, проходящей через три точки равна:

где — длина отрезка — промежуток интегрирования (рис. 24.26).

Рис. 24.26

Коэффициенты параболы  и значение функции в точках с абсциссами связанные такими соотношениями:

Найдем площадь криволинейной трапеции для на отрезке

С учетом значений функции в точках с абсциссами и следует, что 

Итак,  то есть получили равенство (24.28). Применяя на каждом отрезке формулу (24.28), при получим:

Если сложить левые и правые части записанных равенств, то получим:

или

— формула Симпсона, или формула парабол.

Если функция имеет непрерывную четвертую производную и где — наибольшее значение y  в интервале то абсолютная погрешность формулы парабол определяется неравенством:

Таким образом, формула Симпсона (при одинаковом количестве частичных отрезков разбиения промежутка интегрирования) дает наилучшее приближение к искомому интеграла по сравнению с формулами прямоугольников или трапеций.

Вычислим интеграл применив непосредственное интегрирование.

Сравним этот результат с результатами приближенного вычисления по формулам прямоугольников, трапеций, парабол при и найдем абсолютные и относительные погрешности этих вычислений.

Для применения выведенных формул приближенного вычисления определенных интегралов разобьем отрезок на 10 равных частей. Тогда длина каждого отрезка равна а значение функции в точках разбиения:

Составим таблицу значений функции для каждой границы интервала разбиения.

                                                                                                                                                           Таблица 24.1

По формуле прямоугольников (24.24), если принимать высоты прямоугольника значение вычисленное на левой грани частичного интервала, находим:

По формуле прямоугольников (24.25), если принимать высоты прямоугольника значение на правой грани частичного интервала, получаем несколько иное значение:

По формуле трапеций (24.26) имеем промежуточное значение по сравнению с обеими формулами прямоугольников:

По формуле парабол (24.30):

При вычислении интеграла по формуле прямоугольников (24.24) абсолютная погрешность составляет:

а относительная погрешность равна:

При вычислении интеграла по формуле прямоугольников (24.25) абсолютная и относительная погрешности составляют: 

 или 

При вычислении интеграла по формуле трапеций имеем:

 и 

При вычислении интеграла по формуле парабол получаем:

 и 

Итоговая таблица (табл. 24.2) убедительно подтверждает, что формула парабол действительно дает наибольшую точность при приближенном вычислении определенных интегралов. Конечно, если подынтегральная функция отлична от многочлена второго или третьей степени, то погрешность не будут нулевыми.

                                                                                                                                                       Таблица 24.2

По объему вычислительной работы формула Симпсона не имеет преимуществ перед другими формулами.